Chapitre 2 : notions d’acoustique physique1 Introduction et caractéristiques principales des sons

L’acoustique physique est le domaine de la physique qui étudie les phénomènes sonores.

Le son est une vibration acoustique qui se transmet depuis une source, jusqu’à un récepteur(l’oreille ou un micro) engendrant ainsi une sensation auditive ou un signal sonore électrique.

1.1 définitions et notions générales

Le son est la conséquence d’une interaction mécanique (choc ou action entretenue) entredeux structures (doigt et corde, objet qui tombe sur le sol, vent dans les feuilles).

Il résulte de cette interaction un mouvement de vibration d’une partie des structures (la sourcesonore) : chaque point de la source a un mouvement d’oscillation autour d’une position derepos.

La vibration acoustique créée en certains points d’un milieu (la source) va se transmettre deproche en proche à travers le milieu grâce à l’élasticité du milieu : une particule d’airdéplacée va déplacer la particule voisine ; celle-ci va repousser la première vers sa positioninitiale ; la seconde particule déplacée va déplacer une troisième, etc. de proche en proche.On dit alors qu’une onde acoustique progressive se propage à partir d’un centred’ébranlement.

La propagation du son peut se visualiser comme une vibration des éléments d’un milieuautour d’une position d’équilibre.

Mouvement périodique créant des ondes de pression

Après le passage de l’onde, le milieu reprend son état initial. Comme pour les autres typesd’ondes, il n’y a pas de déplacement de matière dans l’espace, mais bien un transfert d’énergiedepuis la source jusqu’au récepteur.

Il faut bien distinguer :

� le mouvement vibratoire de chaque élément du milieu (mouvement périodique dechaque particule du milieu autour de sa position d’équilibre) ;

� la propagation de ce mouvement vibratoire dans le milieu (transmission dumouvement vibratoire de proche en proche, d’une particule du milieu à ses voisines).

Contrairement à la lumière qui peut se propager dans le vide, cettevibration se propage seulement grâce à un support matériel ; de plus,la propagation du son s’effectue à une vitesse faible par rapport à cellede la lumière.

La propagation du son dans les solides élastiques est plus rapide quedans les liquides et beaucoup plus rapide que dans les gaz.

Dans le vide, le son ne se propage pas et dans les milieux poreux oumous, la propagation est faible et irrégulière.

Toute onde (en particulier les ondes mécaniques) peut être transversale (transverse) oulongitudinale, selon la direction de la vibration par rapport à la direction de propagation del’onde.

Par exemple, l’onde qui se propage à la surface de l’eau esttransversale, car la direction de vibration (haut-bas) estperpendiculaire à la direction de propagation de l’onde (situéedans le plan horizontal). L’onde parcourant une corde tendueest aussi une onde transversale.

Ondes transversalesDans une onde transversale, le mouvement de la matière formant le milieu est dans unedirection perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde. C’est le cas, par exemple, desondes dans une corde.

Par exemple, l’onde qui se propage dans un ressort à boudinsest une onde longitudinale, car la direction de vibration est lamême que la direction de propagation de l’onde.

Ondes longitudinalesDans une onde longitudinale, l’oscillation de la matière formant le milieu est dans la mêmedirection que la direction de propagation de l’onde. On peut faire ce type d’onde dans unressort.

https://www.youtube.com/watch?v=Rbuhdo0AZDU

La vidéo suivante montre une animation des deux types d’ondes

http://www.youtube.com/watch?v=Rbuhdo0AZDU

Onde transverse et onde longitudinale

La vidéo suivante vous montre qu’on peut faire les deux types d’ondes dans un ressort.

http://www.youtube.com/watch?v=ilZj8JUTvy8

Ondes transverses et longitudinales

L’applet suivant vous permet d’explorer le mouvement de la matière lors du passage d’une ondetransversale

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/ondes/transversales/onde.htm

ou longitudinale

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/ondes/longitudinales/son.htm

On peut voir dans cette vidéo un petit canard se déplacer autour d’une position d’équilibre lors du passage de vagues. Il n’est pas entrainé par la vague.

http://www.youtube.com/watch?v=-o-VgeabKjI

Petit canard

Quand on observe des vagues sur une plage, il est évident qu’elles poussent de la matière,comme des algues ou des surfeurs. Ces vagues s ont différentes parce qu’elles déferlent. C’estce qui arrive quand la hauteur de l’onde devient trop grande par rapport à la profondeur. Ils’agit d’un type d’onde bien différent de ce qu’on va traiter ici. On traite ici d’ondes quicorrespondent aux vagues qui ne déferlent pas.

On montre que l’onde acoustique peut être transverse ou longitudinale :

� elle est transverse (la vibration est perpendiculaire à la direction de propagation, commepour une corde vibrante) dans les solides.

� elle est longitudinale (la vibration est parallèle à la direction de propagation, comme pourun ressort) dans les fluides (gaz ou liquides).

Dans la suite du cours, comme nous aborderons peu la propagation du son dans les solides,nous aurons affaire essentiellement à des ondes longitudinales.

https://sites.google.com/site/physicsflash/home/sound

Onde sonore longitudinale harmonique

https://sites.google.com/site/physicsflash/home/transverse

Onde transverse harmonique

1.2 Nature des ondes acoustiques dans l’air

Dans l’air, milieu gazeux caractérisé par une pression voisine de la pression atmosphériquenormale (patm = 101 325 Pa) et une vitesse des particules d’air nulle, le son se transmet sous laforme d’une oscillation longitudinale des particules du milieu autour de leur positiond’équilibre (que l’on peut caractériser par une élongation ou une vitesse acoustique) ; cetteoscillation provoque une oscillation longitudinale de pression périodique autour de la valeurnormale, engendrant une suite d’états de compression ou de dépression des « particules » dumilieu, causés par le passage de la perturbation acoustique. La valeur de cette variation depression est appelée pression acoustique.

Ici, la vibration de la corde (celle d’un instrument de musique par exemple) compresse les molécules d’air, puis créé une dépression. Ces

alternances de compressions et décompressions forment l’onde sonore.

Les molécules ne se déplacent pas sur de grandes distances. Elles oscillent légèrement

autour d’une position moyenne.

Propagation d’une onde sonore au fil du temps dans l’air et loin de la source

http://spiral.univ-lyon1.fr/files_m/M5423/WEB/acoustique/anim/ondeSonore/ondeSonore.swf

Plusieurs grandeurs mathématiques indépendantes, fonctions du point du milieu (x,y,z) etde l’instant d’observation t, représentent donc la propagation du signal sonore dans l’air :

� la pression acoustique p(x,y,z;t), valeur algébrique (c’est-à-dire avec un signe) qui s’ajouteà la pression atmosphérique pour donner la pression totale :

Remarque :Les pressions acoustiques audibles sont comprises entre 20 µPa (seuil d’audibilité) et 20 Pa(seuil de douleur).

tot atm( , , ; ) ( , , ; )p x y z t p p x y z t= +

En effet, lorsque la pression d'un fluide est modifiée, la température évolue dans le mêmesens et il se produit alors un transfert de chaleur des zones « chaudes » (en compression) versles régions « froides » (en détente). Mais ce transfert s'effectue à une vitesse de l'ordre de 0,5m/s dans l'air soit 700 fois inférieure à la célérité du son. Ces effets thermiques sont doncnégligeables et les phénomènes de propagation acoustiques seront toujours supposésadiabatiques (sans échanges de chaleur).

Sur un plan thermodynamique, on montre que la propagation de l’onde acoustique dans unmilieu s’effectue de manière adiabatique, c’est-à-dire sans échange de chaleur avecl’extérieur. Il s’ensuit que le passage de l’onde acoustique modifie périodiquement latempérature du milieu.

Ces grandeurs obéissent toutes les trois à l’équation générale des ondes (ou équation ded’Alembert), par exemple pour la pression :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 ( , , ; )( , , ; ) ( , , ; )

p x y z tp x y z t p x y z t

x y z c t

∂ ∂ ∂ ∂∆ ≡ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

� l’élongation acoustique U(x,y,z;t)(mesurant le déplacement de laparticule située en l’absence d’ondeacoustique au point de coordonnées(x,y,z) autour de cette positionmoyenne) ou la vitesse acoustiquevp(x,y,z;t) (mesurant la vitesse dedéplacement de la particule située enl’absence d’onde acoustique au point decoordonnées (x,y,z) autour de cetteposition moyenne) décrivent lecomportement mécanique instantané (àl’instant t) de chaque particule du milieude propagation, qui se déplace autourde sa position d’équilibre (decoordonnées x,y, z).

http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm

Applet en local

Comme pour le ressort, le déplacement (élongation) et la

pression acoustique sont en général déphasés ; ils sont par

exemple en quadrature (déphasage de 90°) si la

propagation de l’onde s’effectue en onde planes.

1.3 Equation de propagation du son dans un fluide, première méthode

1.4.1 Module de compressibilité, définition

La définition du module de compressibilité est la suivante : lorsqu’une particule de fluide devolume V subit dans un milieu sans perte une augmentation de pression dP, son volumediminue d’une valeur dV ; naturellement, la diminution relative de volume dV/V estproportionnelle à l’augmentation de pression dP ; le module de compressibilité est le facteurde proportionnalité entre le taux de diminution du volume et l’augmentation de pression,c’est-à-dire en formule :

Au passage d’une onde, le fluide est localement comprimé et étiré ; localement la pression dufluide, à l’instant t, s’écrit :

0( , ) ( , )P x t P P x t= + ∆

où ∆P(x,t) = p(x,t) est la pression acoustique qui s’ajoute à la pression atmosphérique P0.

Corrélées à ces variations locales de pression, des variations locales de volume sont produitesau passage de l’onde.

Ces deux variations sont liées entre elles par le coefficient ou module de compressibilité dufluide.

1.4 Equation de Propagation du son dans les fluides, deuxième méthode

dVdP

Vχ= −

Le signe moins traduit le fait que le volume de la particule de fluide diminue lorsque lapression augmente.

Le module de compressibilité s’exprime en Pa-1. Son ordre de grandeur est de :

Milieu Module de compressibilité

Gaz 10-5 Pa-1

Liquide 10-9 Pa-1

Solide 10-11 Pa-1

Ce tableau indique que les gaz sont, à température comparable, dix mille fois pluscompressibles que les liquides, et un million de fois plus que les solides : ces valeurs expliquentles différences de vitesse du son observées selon la nature du milieu.

1.4.2 Module de compressibilité et module de Young

Pour un solide, on définit habituellement le module de Young E par le rapport entre lacontrainte de traction σ (force par unité de surface) appliquée à un matériau et ladéformation ε qui en résulte (un allongement relatif ε=∆l/l) ; ce rapport est constant tant quecette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte.

Le module de Young se calcule donc par la formule :

Eσ

ε=

Le module de Young s’exprime en Pa et est la contrainte mécanique qui engendrerait unallongement de 100% de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur),si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façonpermanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur soit atteinte.

Le module de Young correspond à l’inverse du module de compressibilité χ.

Analysons l’action de l’onde sur le fluide :

On considère un cylindre horizontal, d’axe Ox, de section S, rempli d’un fluide parfait (sansviscosité). On suppose alors qu’une onde se propage suivant l’axe Ox.

On considère une fine tranche de fluide (un disque), de volume (dV)0=Sdx, comprise entre lesplans x et x+dx.

Au passage de l’onde longitudinale, à l’instant t, cette tranche est déformée :

� le plan x est déplacé en x+U(x,t)

� le plan x+dx est déplacé en x+dx+U(x+dx,t)

La déformation se traduit alors par un nouveau volume dV :

( ) [ ] [ ]0

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )dV dV dV S x dx U x dx t x U x t Sdx S U x dx t U x t= + ∆ = + + + − − = + + −

(dV)0

x

S

x x+dx

(dV)0

dV

),( txU ),d( txxU +

1.4.3 Equation de propagation l’onde sonore

On peut alors calculer la variation de volume engendrée par le passage de l’onde :

( ) [ ]( , ) ( , )dV S U x dx t U x t∆ = + −

Or, la quantité dx étant infinitésimale (fine tranche), on a le droit de poser le développementau 1er ordre en dx suivant : ( , )

( , ) ( , )U x t

U x dx t U x t dxx

∂+ = +

∂

Il reste alors : et donc :( )

( , )d d .

U x tV x S

x

∂∆ =

∂(dV)0

( )( )

0

( , )( , )

dV U x tx t

dV xθ

∆ ∂≡ =

∂

où l’on a défini la dilatation θ(x,t) ou variation relative de volume.

La perturbation introduite dans le gaz conduit aussi à une modification de sa pression.

Soit P(t,x) la pression à l'instant t à la position x du disque. On appelle surpression ou pressionacoustique, notée p(t,x), la différence entre la pression totale P(t,x) et la pression à l‘étatd‘équilibre P0 :

On peut déterminer p(t,x) à partir de la loi d‘évolution thermodynamique du gaz au cours dela transformation subie. Du point de vue physique, celle-ci a lieu suffisamment rapidement,de telle sorte que le gaz n'a pas la possibilité d‘échanger de la chaleur avec le milieu extérieur(transformation adiabatique, δQ = 0).

En outre, la transformation étant réversible, l‘équation

implique aussi qu'elle est isentropique (à entropie constante, dS = 0), cf. annexe 1.

Par conséquent la loi d‘évolution thermodynamique du gaz est donnée par l‘équation :

et on obtient (avec dS = 0), cf. annexe 1, paragraphe A1.6 :

La dilatation devient :

Or, le facteur multiplicatif de p(t,x) n'est autre que le coefficient de compressibilitéisentropique χS (avec un signe moins), calculé ici avec un volume (dV)0 :

On obtient ainsi :

d'ou on déduit :

Et finalement :

qui relient la pression acoustique au déplacement généré par l’onde.

( )( ) ( )

( )

0 0

1( , ).

S

dV dVp t x

dV dV Pθ

∆ ∂ = =

∂

( , )( , ),

S

U t xp t x

xθ χ

∂= = −

∂

1 ( , ) 1( , ) .

S S

U t xp x t

xθ

χ χ

∂= − = −

∂

Comme l’onde provoque un déplacement des particules fluides par rapport à leurs positionsd’équilibre, celles-ci sont donc animées d’une certaine vitesse…

On définit alors la vitesse particulaire : c’est tout simplement la dérivée partielle dudéplacement par rapport au temps.

( , )( , )

p

U x tv x t

t

∂=

∂

Au passage de l’onde, celle-ci subit des déformations qui résultent de l’application de forces.Faisons le bilan des forces qui s’exercent et appliquons le Principe Fondamental de laDynamique :

D'après la définition de la pression, la force agissant sur une surface est proportionnelle à lapression existant dans le gaz dans la région où se trouve la surface. Si on désigne par Fx=F(t,x)la force totale extérieure a la tranche agissant sur le disque de gaz se trouvant a l'abscisse x etpar Fx+dx=F(t,x + dx) celle agissant sur le disque a l'abscisse x + dx, on trouve pour la forcetotale agissant sur la tranche de gaz contenue entre les deux disques :

F dm γ=Σr r

Pour obtenir l‘équation du mouvement, il faut tenir compte des forces qui interviennent lorsdu mouvement du gaz. Considérons de nouveau une tranche de gaz localisée entre lesabscisses x et x + dx.

x

S

x x+dx

),( txU ),d( txxU +

(dV)0

pvr

xF xxF d+

ou, encore, en développant la fonction p(t,x+dx) jusqu'au premier ordre en dx autour dupoint x :

En utilisant la relation entre p et U, on trouve :

D'autre part, la masse volumique étant ρ0, la masse de gaz contenue dans la tranche, dont levolume est : est :

L'accélération moyenne de la tranche est donnée par :

(Celle-ci étant déjà multipliée dans l‘équation du mouvement par la masse qui contient lefacteur infinitésimal dx, il suffit de considérer une accélération moyenne commune à tous lespoints du gaz de la tranche.)

L‘équation du mouvement (équation de Newton) s‘écrit :

et, en utilisant une équation précédente, on trouve finalement :

qui est l‘équation du mouvement des ondes sonores.

( , )p t xdF S dx

x

∂= −

∂

2

2

pvU

t t

∂∂=

∂ ∂

2

2

1p U

x xχ

∂ ∂= −

∂ ∂

2

0 2

( , ) ( , )U x t p t xSdx dF S dx

t xρ

∂ ∂= = −

∂ ∂

2 2

0 2 2

( , ) 1 ( , )U x t U t x

t xρ

χ

∂ ∂=

∂ ∂

On peut alors en déduire que la vibration étudiée se propage à la vitesse c, telle que:

0 2

0

1 1c

cρ χ

ρ χ= ⇒ =

où c est la célérité de l’onde acoustique ou vitesse de propagation de l'onde.

La pression acoustique et la vitesse acoustique, données par : et :

obéissent à la même équation d’ondes, en effet :

et de la même manière :

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )U x t U x t

x c t

∂ ∂=

∂ ∂

Cette relation est analogue à l’équation générale des ondes :

1 ( , )( , )

U x tp x t

xχ

∂= −

∂

2 3 2 2 2

2 3 2 2 2 2 2 2

( , ) 1 ( , ) 1 1 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , )p x t U x t U x t U x t p x t

x x x c t c t x c tχ χ χ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − = − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( , )( , )p

U x tv x t

t

∂=

∂

2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) 1 ( , ) 1p pv x t v x tU x t U x t U x t

x x t t x c t t c t

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0( , ) cos

xU x t U t

cω

= −

A partir de cette vibration, on peut alors en déduire les expressions de la pression acoustiqueet de la vitesse particulaire :

C’est-à-dire :

1 ( , )( , )

U x tp x t

xχ

∂= −

∂[ ]0

1cos( )U t x c

xω ω

χ

∂= − −

∂0

1sin( )U t x c

c

ωω ω

χ= − −

p0

0( , ) sinx

p x t p tc

ω

= − −

00

Up

c

ω

χ=amplitude de pression acoustique

Considérons par exemple une solution harmonique progressive de l’équation d’onde del’élongation :

On peut de même expliciter l’expression de la vitesse particulaire :

( , )( , )p

U x tv x t

t

∂=

∂[ ]0

cos( )U t x ct

ω ω∂

= −∂

0 sinx

U tc

ω ω

= − −

vp0

amplitude de vitesse particulaire

0 sinp

xv t

cω

= − −

1.4.4 Solutions harmoniques de l’équation de propagation

0

0 0

( , ) ( , )

sin

P x t P p x t

xP p t

cω

= +

= − −

0( , ) cosx

U x t U tc

ω

= −

P(x0,t)

P0

P0-p0

P0+p0

U(x0,t)

-U0

U0

t

vp0

-vp0

vp(x0,t)

0( , ) sinp p

xv x t v t

cω

= − −

On observe que la vitesse particulaire et la pression acoustique sont en phase, et sont enquadrature par rapport à l’élongation.

On note aussi que le rapport des amplitudes de la pression et de la vitesse vaut :

0

0 0

0

1 1.

p

p U

v c U c

ρχωρχ

χ ω χ χ= = = =

1.5 Célérité des ondes acoustiques

On peut démontrer (cf. paragraphe 1.4) que dans un milieu fluide ou solide, la vitesse cd’une onde acoustique (ou célérité) vaut :

1

.c

χ ρ=

où χ (prononcez « khi ») est le module de compressibilité adiabatique du fluide et ρ(prononcez « rho ») est la densité ou masse volumique du fluide.

Les solides sont plus denses que les liquides, et beaucoup plus denses que les gaz. Ce n’estdonc pas ce facteur qui explique pourquoi le son va plus vite dans les liquides que dans lesgaz et encore plus dans les solides (puisque cette formule indique qu’une plus grandedensité du fluide diminue la célérité). Comme on sait que le son va plus vite dans lesliquides et dans les solides que dans les gaz, pour rendre compte des vitesses du sonobservées, il faut donc s’intéresser au deuxième paramètre qui intervient dans cetteformule, le module de compressibilité (cf. paragraphe 1.4.1).

1.5.1 Formule générale (milieu fluide ou solide)

Par exemple, le module de compressibilité de l’eau est de l’ordre de 0,5.10-9 Pa-1, sadensité est d’environ 1000 kg/m3, donc la vitesse du son dans l’eau vaut :

De la même manière, le module de compressibilité de l’acier vaut 0,00625.10-9 Pa-1 et sadensité vaut environ 7770 kg/m3, donc la vitesse du son dans l’acier vaut :

9 6

1 1 11414m/s

. 0,5.10 .1000 0,5.10c

χ ρ − −= = = ≈

9 9

1 1 14537m/s

. 0,00625.10 .7770 48,6.10c

χ ρ − −= = = ≈

Lorsque le milieu est presqu’un gaz parfait, la transformation adiabatique obéit à la loi :

. cstePVγ =

En utilisant la loi des gaz parfaits :

où n est le nombre de moles de gaz, T la température absolue en Kelvin, R la constante desgaz parfaits qui vaut R=8,314 J.mol-1K-1, on peut encore écrire :

et donc mettre la célérité sous la forme finale :

. . .PV n R T=

où γ est un coefficient sans unité qui vaut 1,66 pour les gaz monoatomiques, 1,40 pour lesgaz diatomiques (comme O2, N2), 1,33 pour les gaz triatomiques (CO2) et quasi 1 pour les gazpluri atomiques et les liquides.

Si on utilise cette loi pour calculer le module de compressibilité adiabatique χ, on obtient endifférentiant la relation précédente :

1

.Pχ

γ=

et donc pour la célérité :.P

cγ

ρ=

. .R Tc

M

γ=

où est la masse molaire du fluideP PV RT

c MnM M

γ γ γ

ρ= = =

1.5.2 Célérité dans un gaz parfait

Cette dernière relation montre que :

Pour l’air (composé de 21% d’oxygène O2 et de 79% d’azoteN2), la masse molaire M vaut à peu près 28,95.10-3 kg, γ=1,4et on a donc pour la célérité :

Par exemple, à 0°C (soit 273,15K), on calcule 331,4 m/s(proche de la valeur expérimentale, qui est de 331,7 m/s), à20°C (soit 293,15K), on calcule 343,3 m/s (proche de la valeurexpérimentale qui est de 344 m/s).

Les résultats dans le tableau ci-contre montrent qu’entre -30°Cet +30°C, la vitesse du son dans l’air augmente d’environ 0,607m/s par degré.

3

1,4.8,314.20,05.

28,95.10

Tc T

−= =

La célérité du son dans un gaz ne dépend pas de la pression, mais elle est proportionnelleà la racine carrée de la température absolue.

On remarque aussi sur la formule générale que la célérité su son est inversementproportionnelle à la racine carrée de la masse molaire M du gaz.

Pour l’hélium, gaz monoatomique dont la masse molaire vaut 4g, la vitesse du son à 20°Cvaut :

3

1,66.8,314.293,151005,7 (m/s)

4.10Hec

−= =

Pour l’hydrogène, gaz diatomique dont la masse molaire vaut 2g, la vitesse du son à 20°Cvaut :

2 3

1,4.8,314.293,151306,2 (m/s)

2.10H

c−

= =

Illustration sonore : la vitesse du son dans l'hélium

. .R Tc

M

γ=

Par conséquent, le son se propage beaucoup plus vite dans les gaz plus légers que l’air,comme par exemple l’hydrogène et l’hélium.

Propriétés de quelques substances à P0 = 1 atm. = 1,01325 105 Pa ; M est la masse

molaire ;c est la vitesse du son ; ρ0 est la masse volumique ;γ=Cp/Cv est le rapport des

chaleurs spécifiques à pression constante et à volume constant.

1.5.3 Exercices

1. On voit souvent dans les westerns des indiens plaquer leur oreille contre les rails d’acierpour entendre venir les trains. Considérons 2 indiens A et B au bord de la voie. A écouteavec l’oreille plaquée contre le rail, tandis que B écoute debout. Le son se propage à 340m/s dans l’air et à 5000 m/s dans l’acier.

� Si le train est à 1km, calculer le temps supplémentaire qu’il faut à B pour entendre letrain par rapport à A (Rép. : 2,74s).� Si on considère qu’il faut au moins 50ms de décalage pour que l’oreille perçoiveeffectivement un décalage, à quelle distance minimale pourra-t-on considérer que latechnique d’écouter avec l’oreille sur le rail devient inutile. (Rép. : 18m).

2. On se place face à un mur, et on crie en direction de celui-ci. Déterminer la distanceminimale au-delà de laquelle l’écho sera perceptible. On considère qu’il faut un décalagede 50 ms entre deux sons pour qu’ils soient perçus comme différents par l’oreille. (Rép. :8,5m).

3. Un théâtre possède une scène de 5m deprofondeur. Le mur de fond comporteune tenture. Peut-on l’enlever sansrisque de produire un écho sur le murdu fond ?

Considérons le cas d’un spectateur placé à 15m de la scène. Montrer qu’il ne perçoit pasl’écho. Pour quelle profondeur minimale de scène y aurait-il perception de l’écho ? (Rép. :8,5m).

4. On assiste à une projection de cinéma en plein air. Le son est diffusé par une seuleenceinte située au milieu de la scène. La largeur du parterre est de 15m. Considérons unspectateur M situé à 15m de l’écran.� Pour ce spectateur, quel est le retard entre l’arrivée du son et celle de l’image ? (Rép. :44ms).� Le son est copié à côté de la piste image, et la pellicule défile à 24 images par seconde.Pour que le son parvienne en même temps que l’image au point M, on décale, sur lapellicule, la piste sonore par rapport à la piste image. À combien d’images doitcorrespondre le décalage ? (Rep. : une image).� On place deux haut-parleurs à la hauteur du pointM, de part et d’autre du parterre (fig. a). La pistesonore de ces deux haut-parleurs est synchrone avecla piste image. Calculer, en M, le retard entre le sonémis par les haut-parleurs frontaux et les haut-parleurs latéraux. Est-il nécessaire de retarderélectroniquement (en utilisant une ligne à retard) leson des haut-parleurs latéraux ? (On considèrera quel’oreille humaine distingue deux sons si la différenceentre leurs temps d’arrivée excède 50 ms). (Rép. : 22ms, non).� Même question mais pour un point P situé à 30mde la scène (fig. B). (Rép. : 66ms, oui).

1.6 Caractéristiques physiques du signal sonore

1.6.1 Représentation temporelle du signal sonore

Il s’agit d’une représentation plane, mettant en relation l’oscillation de pression en fonction dutemps.

Des appareils comme les oscilloscopes ou les logiciels d’édition de son donnent ce type dereprésentation.

La vue globale montre l’évolution globale du son : attaque, phase stationnaire et extinction duson. Pendant la phase stationnaire, on peut remarquer sur le zoom la périodicité du signal.

Représentation temporelle d’un son de saxophone alto

1.6.2 Distinction entre sons et bruits

Il est difficile de donner une distinction claire et générale entre les « sons » et les « bruits ».

En effet, on pourrait penser que les bruits sont surtout caractérisés par l’absence depériodicité dans la perturbation acoustique.

Mais malheureusement, certaines perturbations acoustiques non périodiques ne sont pas desbruits ; par exemple, le son d’une cloche n’est pas périodique mais est en réalité formé deplusieurs composants non harmoniques, mais de fréquences fixes. C’est donc un « soncomplexe » (puisque c’est une superposition de sons purs), mais non périodique.

Ce qui caractériserait mieux le bruit serait donc le caractère aléatoire, intermittent de cesvibrations acoustiques. Mais un bruit de moteur par exemple est formé du mélange d’unesérie de sons complexes périodiques et de sons complexes non périodiques.

Une définition générale du bruit pourrait donc être : le bruit est une sensation auditivedésagréable ou gênante. Cette définition psychologique est pour le moins imprécise…

Un son…Un bruit…

« Rien ne vous rend plus tolérant au bruit d'une soirée chez vos voisins que d'y être invité. » Franklin P. Jones

La longueur d’onde (λ) est la distance parcourue par l’onde pendant une période ; elle semesure en mètres (m). Cette grandeur est reliée à la période et à la fréquence par lesformules suivantes :

où c est évidemment la célérité du son.

La fréquence (f ou ν) d’une vibration acoustique correspond au nombre d’oscillations parseconde. Cette grandeur s’exprime en Hertz (Hz). Les fréquences audibles par l’hommes’étendent environ de 16 Hz à 20 000 Hz. On parle d’infrason en dessous de 16 Hz etd’ultrason au-dessus de 20 000 Hz.

.c

c Tf

λ = =

1.6.3 Grandeurs physiques caractérisant l’aspect périodique du son

La période (T) est l’intervalle de temps nécessaire pour effectuerune oscillation complète. Elle mesure donc la périodicitétemporelle du phénomène. Elle se mesure en secondes (s) etcorrespond à l’inverse de la fréquence f (T=1/f).

Puisqu’un son correspond à un phénomène ondulatoire, on peut caractériser le son, commetous les types d’ondes, par les grandeurs physiques mesurant la double périodicité duphénomène ondulatoire :

http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/OMP4.swf

Notion de longueur d’onde

On vérifie sans peine que la longueur d’onde et la période d’un son pur se calculent parles formules :

1.6.4 Cas particulièrement simple d’onde acoustique, le son pur ou son simple

Cette perturbation correspond à la solution la plus simple de l’équation générale desondes à une dimension, qui est une fonction sinusoïdale du type :

( )( ; ) sinmp r t p t krω= ±

où ω (la pulsation de l’onde, en rad/s) et k (le nombre d’onde, en rad/m) sont desconstantes liées à la période et à la longueur d’onde. La valeur maximale de laperturbation pm est appelée amplitude de l’onde. Le signe – correspond à une onde sedéplaçant vers les x positifs, et le signe + à une onde se déplaçant vers les x négatifs.

c kω =

2 2 et T

k

π πλ

ω= =

Comme λ=c.T, la pulsation et le nombre d’onde sont liés par la relation :

Une perturbation acoustique dont l’évolution temporelle est sinusoïdale est qualifiée deson pur ou son simple. Si l’évolution temporelle du signal n’est pas une sinusoïde, le sonest dit complexe ou composé. Le cas le plus simple de son pur, dans l’hypothèse oùl’amplitude de la perturbation ne diminue pas au fil de la propagation est appelé ondeplane sinusoïdale.

Pour interpréter k et σ, dessinons l’onde sinusoïdale e fonction de l’espace x, au temps t = 0.

Si l’on dessinait l’onde sur 1 mètre, on aurait σ fois une longueur d’onde complète, d’oùl’appellation de nombre d’onde pour σ.

Si l’on dessinait l’onde sur 2π mètres, on aurait k fois une longueur d’onde complète, d’oùl’appellation de nombre d’onde angulaire pour k.

On utilise aussi souvent la pulsation ω (en rad/s)définie par :

et le nombre d’onde angulaire k (en rad/m) défini par :

et plus rarement le nombre d’onde σ (en m-1) défini par 1σ

λ=

Pour interpréter ω et f, dessinons en fonction du temps t l’onde sinusoïdale en x = 0.

La fréquence f est le nombre d’oscillations par seconde.

Si l’on dessinait l’onde sur 1 seconde, on aurait f fois une période complète.

Si l’on dessinait l’onde sur 2π secondes, on aurait ω fois une période complète.

Remarque :

La fréquence d’un son pur (ou de l’harmonique fondamentale d’un son composé) estassociée est associée à la sensation de hauteur que notre oreille attribue au son.

À un son grave correspond une petite fréquence tandis qu’à un son aigu correspond unegrande fréquence.

400 Hz 500 Hz 800 Hz 900 Hz 1 000 Hz

Quelques exemples :

L’amplitude d’un son pur est associée à la sensation de force que notre oreille attribueau son.

http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/phy_chi/Menu/Activites_pedagogiques/animations_flash/clavier_p.swf

Le mathématicien Joseph Fourier (1768-1830) amontré que toute fonction y(t) continue etpériodique (non sinusoïdale) de fréquence f peutêtre décomposée en une série de termes (unesérie est une somme avec un nombreéventuellement infini de termes) ; le premierterme est constant, le second terme estsinusoïdal de fréquence f, et les autres termessont sinusoïdaux de fréquences 2f, 3f, 4f, etc.

Chaque terme de la série est caractérisé par uneamplitude et une phase déterminées et estappelé partiel harmonique. Le premierharmonique porte le nom de fondamental.

0 1 1 2 2 3 3( ) sin( ) sin(2 ) sin(3 ) ...y t A A t A t A tω ϕ ω ϕ ω ϕ= + + + + + + +

harmonique 1 harmonique 2 harmonique 3dit fondamental

termeconstant

1.6.5 Théorème de décomposition spectrale de Fourier des sons périodiques

La détermination des harmoniques composant un signal porte le nom d’analyse de Fourier dusignal.

Les coefficients (amplitudes et phases) des différents termes se calculent par intégration dansla théorie de Fourier.

Une décomposition en série de Fourier peut s’écrire mathématiquement mais se représentesouvent sous la forme d’un graphique présentant l’amplitude des différents signaux purscomposant le signal en fonction de la fréquence des harmoniques.

Ce diagramme porte le nom de représentation spectrale du signal (ou spectre de Fourier dusignal).

Inversement, pour créer n’importe quel signal périodique, on peut réaliser la synthèse Fourieren additionnant dans les bonnes proportions différents signaux purs.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/son/analyseur.php

Analyse de Fourier

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/son/synthese_son.php

Synthèse de Fourier

http://www.ostralo.net/3_animations/swf/harmoniques.swf

Synthèse de Fourier

Illustrations du théorème de Fourier

Diagrammes temporels du signal

Spectre de Fourier du signal

Série de Fourier du signal

|bn |

0 ω 2ω 3ω 4ω

2A/π

A/π

2A/3π2A/4π

Tessiture musicale (zones blanches en bas) et tessiture spectrale (zones en haut de densité variable, les parties les plus sombres correspondant aux sommets du spectre).

Tessiture musicale des principales voix humaines

Comme nous l’avons dit, on appelle son pur une onde acoustique sinusoïdale. Un son pur estcaractérisé totalement par sa fréquence, et son amplitude.

Un son complexe ou son composé est une oscillation généralement périodique, mais nonsimplement sinusoïdale.

1.6.6 Sons purs, sons complexes

On distingue deux types de sons composés : les sons harmoniques et les sonsinharmoniques.

� Un son harmonique est un son dont l’évolution temporelle reste périodique.

Par application du théorème de Fourier, le régime sonore d’un son harmonique peut êtreconsidéré comme la superposition de sinusoïdes pures (appelées partiels harmoniques),dont les fréquences ont un rapport entier avec une fréquence particulière, appeléefréquence fondamentale.

À l’inverse, toute superposition de sons purs ne peut pas être qualifiée de son harmonique.

Visualisation d'une somme de composantes harmoniques

http://psych.hanover.edu/JavaTest/Media/Chapter10/MedFig.Timbre.html

http://www.nst.ing.tu-bs.de/schaukasten/fourier/en_idx.html

http://www.falstad.com/fourier/

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/fourier/fourier1/fourier1.html

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/fourier/fourier2/fourier2.html

Comme pour les sons purs, à la fréquence fondamentale d’un son harmonique correspond lasensation de hauteur du son.

À l’amplitude du son harmonique correspond plutôt la force du son.

On divise habituellement le spectre sonore en catégories de sons dont les limites ne sont pasnettement fixées :

Plage de fréquences Qualification

< 16 Hz Infrason ou infrabasse

16 à 150 Hz extrême grave

de 150 Hz à 250 Hz Basse ou grave

de 250 Hz à 1500 Hz médium

de 1500 Hz à 3500 Hz aigu

de 3500 Hz à 16 000 Hz extrême aigu

> 16 000 Hz ultrason

Signal sonore harmonique ne comportant que trois partiels harmoniques.

Signal sonore d’un son de guitare, son composé harmonique très riche en partiels harmoniques.

�On peut aussi obtenir des sons non périodiques en sommant des sons purs dont lesfréquences ne sont pas des multiples d’une fréquence fondamentale. Ce sont aussi des sonscomplexes ou composés. Ils sont qualifiés de sons inharmoniques. Le degré d’inharmonicitédes sons peut être variable. Par exemple, une cloche développe un signal inharmoniquecomposé de zones fréquentielles harmoniques sans relation entre elles.

Cloche

1.6.7 Transformation de Fourier des vibrations non périodiques

�On appelle donc son bruité ou plus simplement bruit, tout son dont la distribution spectraleest continue dans une bande plus ou moins large de fréquences.

Les bruits sont caractérisés par la largeur de bande de fréquences, une hauteur qui peut danscertains cas être décelables (et qui correspond plutôt à la fréquence centrale de la bande defréquences sollicitée), une durée, etc.

Représentation temporelle (a) et spectrale (b) d’un bruit.

Freinage

1.6.8 Représentation du son par un modèle à trois dimensions et différentes phases du son

Dans le plan dynamique, on peut distinguer trois phases dans le son : l’attaque, le corps du son et l’extinction.

1.6.9 Exercices

1. Soit un signal sonore de période T=0,01s et d’amplitude 5.

� Calculer la fréquence fondamentale de ce signal.� Déterminer la valeur des fréquences des harmoniques de rang 4 et 6.� Calculer l’amplitude des 2 harmoniques précédents si le rapport entre l’amplitude de

la fondamentale et l’amplitude de rang n varie selon n2.(Rép. : 100 Hz, 400 Hz, 600 Hz, 0,3125, 0,139)

2. Soit le spectre suivant :

Donner l’expression mathématique X(t) de ce signal.

3. Soit le signal :

� Tracer le spectre de X(t)� Est-ce un signal harmonique ? Si oui déterminer la fréquence fondamentale.(Rép. : 100 Hz)

( ) 10sin(400 ) 15sin(500 ) 8sin(600 ) 6sin(700 ) 4sin(800 )X t t t t t t= + + + +

4. On enregistre une note « la » (440 Hz) sur la piste optique d’une pellicule de cinéma35mm. Une copie vidéo de ce film est ensuite réalisée. Or, la vitesse de défilement est de24 images par seconde pour le cinéma et de 25 images par seconde pour la vidéo. Lafréquence perçue lors de la diffusion n’est donc pas la même selon qu’on assiste à uneprojection cinéma ou vidéo. Calculer la variation de fréquence entre les deux types deprojection (calculer la fréquence perçue en vidéo). Cette différence est-elle perceptible,sachant que le seuil différentiel relatif de fréquence est de l’ordre de 1%. (Rép. : 458,3 Hz,soit une variation de 4%, bien perceptible).

Voici, par exemple quelques sons de même fréquence fondamentale mais de timbresdifférents :

1.6.10 Timbre d’un son complexe

Le timbre est la caractéristique sonore qui permet de différencier deux sources qui ontpour l’oreille même hauteur et même force.

C’est grâce au timbre qu’on distingue une même note jouée au piano ou au violon, ouque l’on reconnaît la voix d’une personne.

Le timbre dépend de l’amplitude relative et de la durée des différentes harmoniquescomposant un son.

Illustration de l’effet du spectre sur le timbre :

reconstruction spectrale progressive d'un son de cloche et d'un son de guitare

Remarque : le timbre ne dépend pas des phases relatives des différents harmoniques. Cerésultat porte le nom de loi d'Ohm-Helmholtz et peut s’énoncer comme suit :

Somme de sinus Somme de cosinus

« En audition monaurale, deux sons distincts seulement par leur spectre de phase ne sont pas discernables (ils ont le même timbre)».

Le timbre perçu d’un son complexe dépend seulement du nombre et de la force relative deses partiels harmoniques, mais pas de leurs phases relatives.

Nous verrons dans la partie « Acoustique physiologique » que l’audition binaurale permet unabaissement de 3 dB du seuil d'audibilité et que l'audition binaurale permet la localisationspatiale de la source sonore par analyse du déphasage

http://psych.hanover.edu/JavaTest/Media/Chapter10/MedFig.Ohms.html

Alors que dans de nombreux cas, on peut entendre un son complexe, formé de nombreusesfréquences comme étant caractérisé par une seule hauteur tonale, on peut aussi souventdécomposer ce son et entendre les fréquences individuelles qui le composent. Le lien ci-dessous permet de mettre en évidence cette capacité. Sur le graphique représentant l’ondesonore, on voit que le stimulus est composé de 10 fréquences toutes multiples de lafondamentale 200 Hz. En-dessous, on peut contrôler chaque composante du stimulus. Lescomposantes sont numérotées de 0 à 9, 0 se rapportant à la fondamentale, 1 correspond àune fréquence de 400 Hz, etc. Pour chaque composante, on peut à l’aide du curseur modifierla fréquence et aussi ajouter ou enlever cette composante à l’aide de la boîte Cancel en-dessous du curseur. Le bouton Reset restaure les paramètres initiaux. Cliquer sur le boutonPlay pour commencer. La plupart des auditeurs entendent tout d’abord une hauteur tonaleunique, sans discriminer les différentes fréquences, ce qui traduit une écoute synthétique.Seuls certains musiciens expérimentés peuvent séparer les différentes composantes. Pour lesautres, une petite aide peut nous donner la capacité de séparer les différentes composantes,c’est-à-dire d’entendre de façon analytique. Cliquer maintenant sur la case Cancel de lapremière composante et enlever cette composante par cancellation avec une copie du tondéphasé de 180°. Ensuite, cliquer sur la case Cancel pour restaurer la composante. Lasuppression et l’ajout de cette composante devraient vous permettre de vous focaliser surcette composante et de l’entendre séparément du reste du son. En répétant le travail surchacune des autres composantes et la fondamentale vous permettra d’entendre chaquecomposante du son initial. La fondamentale est en général déjà perçue car c’est souvent ellequi détermine la hauteur du son complexe ; elle n’a donc pas à être écoutée séparément. Onpeut également changer la fréquence de chaque composante pour voir si un changement defréquence, comme un changement d’intensité, permet d’isoler une composante.

1.6.11 Représentation du signal sonore à l’aide d’un sonogramme

Le sonogramme ou (représentation sonographique) d’un son met en relation les fréquencescomposantes du son avec le temps. Cette représentation apporte donc des renseignements surl’évolution du spectre dans le temps. De plus, l’épaisseur d’un trait représente l’intensitérelative de la fréquence par rapport aux autres fréquences. Il s’agit juste d’une impressionqualitative. Un trait épais sera perçu comme une fréquence forte, alors qu’un trait fin seraperçu comme une fréquence faible.

Sonogramme de trois notes successives de la gamme diatonique du piano. La répartition des fréquences, très riche au départ (transitoire), tend à s’appauvrir a cours du temps.

Sonagramme des notes do-mi-sol jouées au piano

Sonogrammes de sons réels typiques simples : en (a) son harmonique (raies équidistantes),en (b) spectre de son inharmonique, en (c) choc bref comportant toutes les fréquences, en(d) choc grave et sourd, en (e) choc aigu, en (f) souffle grave comme un « ch », en (g)souffle aigu comme un « ss ».

Sonogramme d’une gamme croissante sur une guitare. On distingue la hauteur qui monte, ainsi que les écarts fréquentiels entre partiels qui augmentent.

1.6.12 Complémentarité des trois types de représentations du signal sonore : illustrations

Au commencement du son, il est impossible de distinguer une forme périodique car noussommes dans la phase du transitoire d’attaque (partie bruitée). À t=0,5s on distingueparfaitement la forme d’onde (6 périodes). À t=1s, la forme d’onde se simplifie et tend versune sinusoïde, ce qui est significatif d’une perte d’harmoniques importantes. Notons que lapériode reste invariable, la hauteur perçue est bien constante.

La perte des harmoniques les plus aigus est très visible au cours du temps. À t=0s (ou plusexactement sur l’intervalle d’analyse), on voit déjà émerger les composantes harmoniques àpartir d’un spectre continu (le bruit du transitoire d’attaque).

Sonogramme d’une note de guitare Fa3 (349 Hz)

Analyse au sonagraphe de la séquence musicale indiquée en haut de la figure, jouée au violonen mezzo forte. Le premier diagramme donne la représentation temporelle, le second est lesonagramme proprement dit et le dernier une série de 6 spectres correspondant aux instantsindiqués par les lignes pointillées.

1.7 Grandeurs physiques importantes, aspect énergétique

Comme pour toutes les ondes, le passage des ondes acoustiques dans un milieu ne causeaucun déplacement de matière, mais s’accompagne d’un transfert d’énergie.

Dans cette section, nous introduisons les grandeurs physiques utiles à la mesure de l’énergietransportée par l’onde acoustique.

Les grandeurs énergétiques dépendent de l’amplitude de la perturbation acoustique etdéterminent la sensation de « force » du son : avec une grande amplitude (de grossesdifférences de pression), le son est fort, avec une petite amplitude le son est faible.

Voici, par exemple quelques sons qui ne différent que par leur amplitude (de gauche àdroite, chaque son a une amplitude double du précédent) :

Remarque : subjectivement, il ne semble pas que les sons soient « deux fois plus forts ».

1.7.1 Valeurs instantanée, maximum et quadratique moyenne (RMS) d’une grandeur oscillante

Dans un phénomène périodique, la valeur de la grandeur change à chaque instant : on parled’une succession de valeurs instantanées. Comme celles-ci varient continuellement, il esttentant de vouloir calculer la « valeur moyenne » de la perturbation. Malheureusement, celle-ci est généralement nulle sur une période, puisque la surface négative compense exactementla surface positive sur un cycle.

Comme nous le verrons, dans le calcul de l’énergietransportée par chaque phénomène périodique,ces valeurs instantanées interviennent toujours aucarré.

Par conséquent, il est logique de calculer la valeurmoyenne du carré des valeurs instantanées.

Dans la suite du cours, Nous noterons toujours par une barre les valeurs quadratiquesmoyennes ; par exemple,

désigne la pression quadratique moyenne.

p

La racine carrée de la moyenne du carré des valeurs instantanées d’une grandeur estappelée valeur quadratique moyenne (ou valeur RMS), ou encore (par analogie avecl’électricité) valeur efficace.

Exemple : prenons le cas où la pression acoustique évolue sinusoïdalement dans le temps(son pur) ; on identifie alors :

� la valeur instantanée de la pression acoustique :

� la valeur maximale ou amplitude de la pression acoustique :

� le carré de la valeur instantanée de la pression acoustique :

� la moyenne du carré de la pression acoustique calculée sur une période d’oscillation :

� la valeur quadratique moyenne de la pression acoustique :

� On a donc finalement pour un son pur :

max( ) sinp t p tω=

maxp

2 2 2

max( ) sinp t p tω=

2 2 2 2

max

0

2

2 2 2

max max

0

1 1( ) sin

1sin

2

t T T

t

p p t dt p tdtT T

p xdx p

π

ω+

< >= =

= =

∫ ∫

∫

2 maxmax

2

22

pp p p= < > = =

2 max

2

pp p= < > =

1.7.2 Notion d’impédance acoustique d’un milieu

Pour tous les phénomènes périodiques (mécaniques, électriques et acoustiques), on peutdéfinir la notion d’impédance (Z) d’un milieu comme étant le rapport de la cause à l’effet :

cause = impédance du milieu

effetDans le cas de l’onde acoustique, les particules du milieu entrent en vibration lors du passagede l’onde et acquièrent une vitesse acoustique, à cause de la variation de pression créée parl’onde.

La cause est donc la pression acoustique. L’effet est la vitesse acoustique.

Le rapport de la pression acoustique à la vitesse acoustique est appelé impédance acoustiqueintrinsèque du milieu.

Dans le cas des ondes planes, on a vu que la pression acoustique et la vitesse particulaire sonten phases, le rapport de ces deux grandeurs est donc indépendant du temps, donc :

pression acoustique = impédance acoustique intrinsèque du milieu

vitesse acoustique

En formule :

i

pZ

v=

En hommage à lord Rayleigh, l’impédance acoustique se mesure en rayls (1 rayl = 1kg.m-2.s-1),mais on utilise aussi par analogie avec l’électricité les ohms acoustiques.

On peut démontrer (cf. paragraphe 1.4) que dans un milieu fluide, l’impédance acoustiqueintrinsèque est égale au produit de deux paramètres du milieu, sa masse volumique ρ (enkg.m-3) et la célérité c (en m.s-1) de l’onde acoustique dans ce milieu :

.i

Z cρ=

Pour l’air à 0°C, Zi=1,293 (kg/m3).331,7(m/s)=429 rayls. Pour l’air à 20°C, l’impédanceacoustique vaut Zi=1,204 (kg/m3).343,4(m/s)= 413,5 rayls, que l’on arrondit souvent à 400rayls.

Pour l’eau, Zi=1000(kg/m3).1480(m/s)=1,5.106 rayls.

Une onde sonore de pression acoustique quadratique moyenne donnée produira donc unmouvement plus important (de plus grande vitesse) des particules dans l’air que dans l’eau.

Impédance de l’air en fonction de la température

1.7.3 Densité volumique d’énergie ou pression de radiation

On peut définir la densité volumique d’énergie comme la quantité d’énergie par unité devolume transportée par l’onde au cours de la propagation.

Elle se décompose en :T c p

e e e= +

énergie cinétique énergie potentielle

� due à la vitessedes particules

� due aux interactionsentre particules

212c p

e vρ=22 1

2 2p

p Ue

xχ

χ

∂ = =

∂

2

102

cos ( )c

xe U t

t cρ ω ∂

= − ∂

2

102

sin ( )c

xe U t

cρ ω ω

= − −

2 2 2102

sin ( )c

xe U t

cρω ω

= −

2

0

1cos ( )

2p

xe U t

x cω

χ

∂ = − ∂

2

01sin ( )

2p

U xe t

c c

ωω

χ

= −

2 220

2sin ( )

2p

U xe t

c c

ωω

χ

= −

2 2 2102

sin ( )c

xe U t

cρω ω

= −

2 220

2sin ( )

2p

U xe t

c c

ωω

χ

= −

2

1

cχ

ρ=

2 2 2102

sin ( )x

U tc

ρω ω

= −

c pe e=

Par conséquent : 2 2T c pe e e= = 2 2 2

0 sin ( )T

xe U t

cρω ω

⇒ = −

Calcul de la valeur moyenne dans le temps :

00

0

1( , )

T

T Txe e x t dt

T= ∫

0

2 2 2

0

0

1sin ( )

T

T x

xe U t dt

T cρ ω

= −

∫

12

1 cos 2 ( )x

tc

ω

− −

0

2 2 2

0

0

1sin ( )

T

T x

xe U t dt

T cρω ω

= −

∫

12

1 cos 2 ( )x

tc

ω

− −

0

2 2 10 2

0 0

1cos 2 ( )

T T

T x

xe U dt t dt

T cρω ω

= − −

∫ ∫2T 0

0

2 2102T x

e Uρω⇒ =

densité volumique d’énergie moyenne

Remarque :

la densité volumique d’énergie est donnée en J.m-3, soit encore :

J.m-3 = N.m.m-3 = Pa.m2.m.m-3 = Pa

la densité volumique d’énergie a donc la dimension d’une pression : on l’appelle aussipression de radiation.

0

2 2102T rx

e P Uρω= =

La puissance acoustique instantanée (P) d’une perturbation acoustique est définie commeétant l’énergie W(t) transportée par l’onde par unité de temps :

( )dW

P tdt

=

Elle s’exprime en Watt (W) comme toutes les puissances.

Entre les instants t et t+δt, si F(x,t) est la force qui s’exerce sur une particule située en x àl’instant t lors du passage de l’onde, si p(x,t) est la pression acoustique, si vp est la vitesse de laparticule, δU(x,t) le déplacement de la particule pendant l’intervalle δt, et S est la surface dufront d’onde qui s’exerce sur la particule, on peut écrire :

( , ) ( , )( , ). ( , ) ( , ) ( , ). ( , )p

U x t U x tW F x t U x t F x t p x t S v x t

t t

δδ δ

δ

∂= = = =

∂

et donc :

Finalement :

La puissance acoustique instantanée est donc le produit de la surface du front d’onde, de lapression acoustique et de la vitesse acoustique.

( , ).( ) ( , ). . ( , )

p

W F x t UP t p x t S v x t

t t

δ

δ

∂= = =

∂

1.7.4 Puissance acoustique

À 1000 Hz, les puissances audibles sont comprises entre 10-12 W et 1W.

( ) ( , ). . ( , )pP t p x t S v x t=

L’intensité acoustique instantanée I(x,t) d’un son est la puissance acoustique instantanée quitraverse une unité de surface du front d’onde (un front d’onde étant le lieu des points del’espace qui sont tous dans le même état vibratoire) :

L’intensité acoustique moyenne vaut donc :

2( ) ( , )( ) ( , ). ( , )

p

i

P t p x tI t p x t v x t

S Z= = =

La valeur minimale de l’intensité acoustique à laquelle l’oreille est sensible à la fréquence de1000 Hz est de l’ordre de 10-12 W.m-2. Le seuil de douleur correspond à une valeur d’environ1W.m-2.

1.7.5 Intensité acoustique

1 ( , )( , )

U x tp x t

xχ

∂= −

∂

( , )( , )p

U x tv x t

t

∂=

∂Comme on a : et :

On peut encore écrire : 1 U UI

x tχ

∂ ∂= −

∂ ∂

2

i

pI

Z=

1 U UI

x tχ

∂ ∂= −

∂ ∂

0 sin -x

U tc c

ωω

0 sinx

U tc

ω ω

− −

2 2201

( , ) sinU x

I x t tc c

ωω

χ

⇒ = −

2

1

cχ

ρ=

2 2 2

0 sinx

c U tc

ρ ω ω

= −

Calcul de la valeur moyenne dans le temps :

00

0

1( , )

T

xI I x t dt

T= ∫

0

2 2102x

I c Uρ ω⇒ =

Pour une onde plane harmonique, donnée par :

On trouve pour l’intensité acoustique moyenne :

0( , ) cosx

U x t U tc

ω

= −

0( , )I x t

tT

2sin

0xI

Remarque :

cette intensité acoustique est directement proportionnelle à la pression de radiation :

rI P c=

Par ailleurs, on peut exprimer l’intensité acoustique en fonction de l’amplitude de pressionacoustique :

0 0p c Uρ ω= 2 2 2 2 2

0 0p c Uρ ω⇒ =22 2

0 0

2 2i i

p p pI

c Z Zρ⇒ = = =

1.7.6 Niveaux acoustiques en puissance, en intensité et en pression

L’utilisation des unités d’intensité acoustiques (W/m2) ou de pression acoustique (Pa) n’estpas très pratique en raison de l’étendue énorme de la plage couverte.

Par exemple, l’oreille est sensible à la fréquence de 1000 Hz aux intensités acoustiquescomprises entre 10-12 W.m-2 et 1W.m-2 et les puissances audibles sont comprises entre 10-12

W et 1W.

De la même manière, les pressions acoustiques audibles sont comprises entre 20 µPa (seuild’audibilité) et 20 Pa (seuil de douleur).

Pour comprimer ces échelles, on utilise en général les logarithmes. Cet usage se justifieaussi par le fait que la loi de Weber-Fechner montre que la sensation auditive croîtlogarithmiquement vis-à-vis de l’intensité acoustique (cf. chapitre 5, acoustiquephysiologique).

On introduit donc une autre manière de mesurer ces grandeurs par l’utilisation du bel (B)ou plutôt du décibel (dB). Au sens strict du terme, celui-ci n’est pas une unité, mais plutôtun nombre pur sans dimension.

1.7.6.a Motivation de l’utilisation des niveaux en acoustique

http://psych.hanover.edu/JavaTest/Media/Chapter10/MedFig.DecibelScale.html

La gamme d'intensité perçue par notre oreilleest considérable. Si l'on veut représenter surune règle son étendue, on se heurte à unproblème de taille : si on fait correspondre 1cm sur la règle à l'intervalle d'intensité entre 0(pas de son) et le seuil absolu d'audibilité, leseuil de douleur se trouve à 10+14 cm del'origine de la règle, soit à un milliard dekilomètres !

La règle nécessaire pour représenter l'échelledes intensités que perçoit l'oreille humaine estdonc réduite si on trace les logarithmes desintensités plutôt que les intensités elles-mêmes : le seuil absolu d'audibilité (10-16)équivaut à -16 en unités logarithmiques et leseuil de douleur équivaut à -2 en unitéslogarithmiques. Il suffit donc d'une règlegraduée en puissance de 10 pour représentercette échelle qu'on appelle alors l'échellelogarithmique décimale.

Deux remarques : d’une part dans ces graphiques, plutôt anciens, on utilise les valeurs del’intensité acoustique en W/cm2, le seuil d’audibilité vaut donc 10-16 W/cm2, d’autre part, leseuil de douleur est ici associé à 1014 fois plus, c’est-à-dire à 140 dB.

1

2

10logW

PL

P=

Comme l’intensité acoustique est proportionnelle au carré de la pression acoustique, ondéfinit par contre le niveau en décibels relatifs pour la pression acoustique par :

1

2

20logp

pL

p=

De la même manière, le niveau en décibels relatifs pour l’intensité acoustique (qui est unepuissance par unité de surface) est défini par :

1

2

10logI

IL

I=

On peut définir tout d’abord une échelle de décibels relatifs, permettant de comparer deuxondes acoustiques

Le niveau de puissance en décibels relatifs est défini comme étant égal à 10 fois le logarithmede base 10 du rapport d’une puissance P1 à une puissance P2.

1.7.6.b niveaux en décibels relatifs

Une puissance ou une intensité double correspondra donc à un écart de niveaux de 3dB.

Une pression acoustique double correspondra donc à un écart de niveaux de 6dB.

Application :

Si deux sources produisent des intensités I1 et I2 telles que :

( )

11 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 , les deux sources diffèrent d'un niveau en intensité 10 log 10.0,3 3dB

3 , 10log3 4,8dB

105 , 10 log5 10log 10 1 0,3 7dB

2

10 , 10 log10 10

100 , 1

I

I

I

I

I

II I L

I

I I L

I I L

I I L dB

I I L

= = = = +

= = = +

= = = = − = +

= = = +

= = 2

1 2

1 2

0log10 20

...

10,5 , 10log 0,5 10log 10log 2 3dB

2

10,1 , 10log 10log10 10dB

10

I

I

dB

I I L

I I L

= +

= = = = − = −

= = = − = −

Pour définir un niveau absolu pour les grandeurs, il faut introduire une grandeur deréférence, normalisée, qui sert d’étalon de comparaison.

Pour l’intensité acoustique, on choisit dans l’air le seuil normalisé d’audition à 1000 Hz, soitI0=10-12 W.m-2.

Pour l’acoustique sous-marine, la référence est I0=0,666 10-18 W.m-2.

Le niveau d’intensité acoustique LI, exprimé en décibels absolus , d’un son d’intensité I estdéfini par :

0

10logI

IL

I=

1.7.6.c niveaux en décibels absolus

Représentation graphique du niveau sonore en intensité LI en fonction de l’intensité acoustique I

De la même manière, pour les niveaux en pression, on fixe la pression de référence dans l’airà p0=2.10-5 Pa (c’est pourquoi on utilise souvent la notation dB(SPL) Sound Pressure Level pourles niveaux de pression acoustique pour rappeler que la pression de référence est fixée à 20micropascals) et dans l’eau à p0=1µPa.

Le niveau de pression acoustique Lp, exprimé en décibels absolus, d’un son dont la pressionacoustique est p vaut :

0

20logp

pL

p=

Pour les niveaux en puissance (surtout utilisés pour les sources), la puissance acoustique deréférence est P0=10-12W et le niveau de puissance acoustique d’une source, exprimé endécibels absolus vaut :

0

10logW

PL

P=

Ordres de grandeur de la puissance acoustique pour quelques sources

Par exemple,

� Un son d’intensité acoustique égale à 10 fois I0 aura un niveau d’intensité acoustique en décibels absolus égal à :

� Un son d’intensité acoustique égale à 8 fois I0 aura un niveau d’intensité acoustique en décibels absolus égal à :

� Le seuil de douleur correspond à un niveau d’intensité acoustique en décibels absolus de :

Les niveaux de pression et de puissance de ce seuil de douleur sont eux aussi de 120 dB.

Attention : les niveaux ne s’ajoutent pas directement !!! Ce sont les intensités qui s’ajoutent.

Cf. paragraphe 2.6, sources multiples en champ libre, pour le calcul du niveau résultant.

max

12

0

I 110log 10log 10.12 120dB

10I

LI

−= = = = +

0

0

1010log 10log10 10dB

I

IL

I= = = +

30

0

810log 10log8 10log 2 30.log 2 9dB

I

IL

I= = = = = +

Régime Pression

efficace

Vitesse de

vibration

efficace

des

molécules

d’air (1)

Vitesse

maximum

des

molécules

d’air

Amplitude

maximum

de

vibration(2)

Intensité

acoustique

Puissance

acoustique (3)

Niveau

Formule P=I.S=I.4πd2

Seuil d’audition

2.10-5Pa 0,0484µm/s 0,0684µm/s 10,88pm 0,97 10-12W/m2 1,22 10-11 W 0dB

Voix parlée

10-2Pa 0,0242mm/s 0,0342mm/s 5,44nm 2,42.10-7W/m2 3,04 10-6 W 54dB

Seuil de douleur

20Pa 4,84cm/s 6,84cm/s 10,88µm 0,97 W/m2 12,2 W 120dB

max eff . 2v v=eff eff /v p Z=

1. Avec Z=413kg/m2.s (impédance acoustique intrinsèque à 20°C et 1 atm)2. Pour une fréquence de vibration f de 1000 Hz3. Puissance calculée pour qu’une source située à d=1m produise ces pressions

max /(2 )A v πν=2

eff /I p Z=e f fpeff

-520log

2.10P

pL =

1.8 Bruits normalisés en acoustiques : bruits blanc, rose et rouge

Les bruits blanc et rose (ou rouge) sont des bruits dont les spectres sont continus (c’est-à-direcontiennent toutes les fréquences). Les termes blanc et rose (ou rouge) font référence auspectre d’une lumière blanche et à celui d’une lumière rose (ou rouge) : alors qu’une lumièreblanche contient toutes les fréquences visibles de façon égale, une lumière rose (ou rouge)contient plus de basses fréquences (rouge) que de hautes fréquences (bleu).

Le bruit blanc possède une densité spectrale d’énergie acoustique (et donc une puissance,une pression ou une intensité acoustiques) constante pour toutes les fréquences :

Graphiquement, on obtient pour tous les niveaux :

0 0 0 0( ) , ( ) , ( ) , ( )W f W P f P p f p I f I= = = =

Un bruit blanc est un bruit qui n’a ni hauteur, ni rythme, pour lequel aucune zone defréquence ne diffère d’une autre et pour lequel aucun segment temporel ne diffère d’unautre.

Illustration sonore : bruit blanc

Bruit blanc sur la plage de 0 à 1000 Hz.

Le bruit rose est défini par le fait que sa densité spectrale diminue d’un facteur 2 quand lafréquence double, ou plus généralement :

0 0 0 00 0 0 0( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) .

f f f fW f W P f P p f p I f I

f f f f= = = =

Graphiquement, les courbes de niveaux sont donc linéairement décroissantes, avec uneperte de 3 dB par octave :

Le bruit rouge est défini de façon similaire, mais sa densité spectrale diminue d’un facteur4 quand la fréquence double. Il n’est quasiment jamais utilisé en pratique.

Ce bruit est donc plus riche en basses fréquences qu’en sons aigus.

Illustration sonore : bruit rose

2 Propagation des ondes acoustiques en champ libre

À partir d’une source de vibrations, les ondes se propagent dans diverses directions.

L’ensemble des pressions acoustiques en tout point de l’espace s’appelle le champ acoustiquerayonné par la source ou rayonnement de la source.

On parle de propagation en champ libre lorsque le milieu de propagation ne présente aucunobstacle à la propagation des ondes sonores. Nous verrons que les caractéristiques depropagation trouvées dans ce contexte pourront être reprises dans un contexte plus généralde la propagation en espace clos (ou en salle) sous l’appellation de champ acoustique direct.

L’onde sonore se propageant à une certaine vitesse(c=340 m/s), il existe un certain nombre de pointsatteints en même temps par l’onde sonore qui sepropage dans tout l’espace.

On appelle front d’onde l’ensemble des points du milieuatteints en même temps par l’onde.

Tous les points d’un front d’onde ont donc la mêmephase. En chaque point d’un front d’onde, lapropagation de l’onde se fait perpendiculairement à lasurface du front d’onde.

Fronts d’ondes en champ libre

2.1 définitions et caractéristiques générales

2.2.1 Ondes planes

Une onde plane progressive est caractérisée par desfronts d’ondes qui sont des plans infinis parallèles, tousperpendiculaires à une même direction de propagationdésignée par le vecteur

En prenant par exemple ce vecteur dans la direction z,alors cette onde ne dépend pas des coordonnées x et y :

2.2 Types d’ondes

Même si une onde plane pure n'existe pas dans la nature, il est possible de s'en approcherdans un domaine limité de l'espace. Il suffit que les fronts d'onde soient suffisamment planset parallèles dans le volume considéré.

où est le vecteur d’onde, proportionnel au nombre d’onde k et perpendiculaire auxfronts d’onde et ω est la pulsation.

( )( ; ) sin .mp r t p t k rω= −r r r

k kn=r r

On peut montrer que pour les ondes planes, la pression acoustique et la vitesse acoustiquesont en phase dans l’espace et dans le temps.

Une onde plane est monochromatique (ou harmonique) lorsqu'elle ne contient qu’une seule fréquence f = ω/ 2π. Une telle onde plane a la forme sinusoïdale.

Les ondes planes harmoniques acoustiques sont des solutions de l’équation générale desondes de la forme :

Remarque :

Une onde plane est rarement monochromatique, car elle aurait une extension temporelleinfinie.

Toutefois, une onde plane réelle peut cependant être décomposée en ondes planesmonochromatiques, dont les vecteurs d'onde sont parallèles à une seule et même direction :

où est une fonction à valeurs complexes appelée spectre d'ondes planes et peut êtrede différentes formes (gaussienne, etc.).

Cette superposition d'ondes planes monochromatiques permet de décrire toute onde plane.

Comme l’intensité acoustique est la puissance acoustique par unité de surface qui traversele front d’onde, et que la surface du front d’onde est un plan dont la surface ne varie pas enfonction de la distance à la source, l’intensité acoustique d’une onde plane ne dépend pas dela distance r à la source :

source constanteP

IS

= =

22

max constante2 i i

p pI

Z Z= = =

De même, la pression acoustique efficace d’une onde plane ne dépend pas de la distance rà la source, puisque :

Graphiquement,

(Cf. paragraphe 1.5.2).

2.2.2 Ondes sphériques

Dans un milieu isotrope, les ondes vont sepropager à la même vitesse dans toutes lesdirections : les fronts d’onde sont alors dessphères concentriques, centrées sur lasource.

Une onde sphérique est une onde dont les fronts d'onde sont des sphères.

La figure montre qu’à partir d’une certaine distance de la source, on peut assimiler cetteonde sphérique à une onde plane, en tenant compte du fait que l’énergie acoustique serépartit toujours bien sur une sphère (et donc décroît comme r2).

Dans un milieu homogène et isotrope, la propagation de l'onde est donnée par l'équationd'onde en coordonnées sphériques :

où :�r est la distance à un pôle ;�t, le temps ;�s(r, t), l'amplitude de l'onde�k, le nombre d'onde ;�ω la pulsation.

Les ondes sphériques harmoniques acoustiques sont des solutions de l’équation généraledes ondes de la forme :

( )max( , ) sinp

p r t t krr

ω ϕ= − +

On peut montrer que pour les ondes sphériques, la pression acoustique et la vitesseacoustique sont déphasées de 90°.

La solution harmonique de cette équation est l'onde sphérique monochromatique :

Dans le cas général, l'amplitude s'écrit comme composée d'ondes monochromatiques :

où :�k(ω) est la relation de dispersion ;�s0(ω) et ϕ(ω) sont des constantes.

Puisque l’intensité acoustique est la puissance acoustique par unité de surface qui traversele front d’onde, et que la surface de ce front d’onde est une sphère dont la surface augmenteen fonction du carré de la distance à la source, l’intensité acoustique d’une onde sphériqueest inversement proportionnelle au carré de la distance r à la source :

source source

2S 4 r

P PI

π= =

De la même manière, la pression acoustique efficace d’une onde sphérique est inversementproportionnelle à la distance r à la source, puisque :

2 2

max

2

1 ( )

2 i i

p p rI

r Z Z= =

Graphiquement,

Illustration mécanique des ondes planes et des ondes sphériques

(Cf. paragraphe 1.5.2).

On dit qu’une source est omnidirective si elle rayonne la même quantité d’énergie danstoutes les directions.

En pratique, on peut considérer qu’une source est omnidirective si ses dimensions sontpetites par rapport à la longueur d’onde du son qu’elle émet.

Une source, pour une taille donnée, est donc d’autant plus omnidirective que la fréquenceémise est basse.

La seule source qui est omnidirective pour toutes les fréquences est une source ponctuelle.

2( )

4

P PI r

S rπ= =

2.3 Source omnidirective

2.3.1 définition

Une source omnidirective engendre des fronts d’onde sphériques.

À une distance r d’une source omnidirective de puissance P, l’intensité reçue vaut :

2.3.2 intensité

2.4 Source directive

En général, l’énergie n’est pas uniformément répartie autour de la source : la source estdirective.

En particulier, un maximum d’énergie sonore est émise dans certains axes liés à la source.

2.4.1 définition

La directionnalité d’une source dépend de la fréquence émise.

Les sources acoustiques sont toujours plus directives pour les fréquences élevées que pour lesbasses fréquences.

Notons :

� Iaxe(r) = intensité de la source dans l’axe à une distance r ;� I(r,θ) = intensité à la distance r et dans un angle θ par rapport à l’axe ;� Imoy(r) = intensité moyenne à la distance r (moyenne de I(r,θ) pour toutes les directions θ).

L’intensité moyenne Imoy(r) pourrait être calculée par moyenne arithmétique des intensitésI(r,θ) mesurées dans toutes les directions, mais il est plus simple de la calculer à l’aide de lapropriété suivante :

Dans cette perspective, Imoy(r) est égale au rapport de la puissance totale émise par la sourcedivisée par la surface de la sphère de rayon r :

moy 2I ( )

4

Pr

rπ=

l’intensité moyenne à une distance r est l’intensité que donnerait, à la même distance, unesource omnidirective de même puissance P que la source directive

2.4.2 Intensité et intensité moyenne

Pour chaque fréquence, on ne représente que les contributions situées dans un intervalle de3 dB au-dessous du maximum détecté pour cette fréquence.

On observe un rayonnement omnidirectionnel jusqu’à 500 Hz, puis une prédominance dans lazone du chevalet (0°) entre 550 et 1 500 Hz.

De 2 000 Hz à 5 000 Hz, on note de nombreux pics variables avec la fréquence.

Directionnalité du son émis par un violon (dans le plan horizontal passant par le chevalet de l’instrument).

Directionnalité comparée de la flûte traversière, du trombone à coulisse et du violon.

Légende et commentaire des graphiques précédents

Tous les points d’enregistrement sont à la surface d’une demi sphère de 2m de rayon dontl’instrumentiste est le centre. 1, 2, 3 et 4 sont dans un plan horizontal passant parl’instrument, 5, 6, 7 et 8 sont dans un second plan horizontal situé à 1m du premier ; 9 estdans l’axe vertical passant par la tête du musicien, à 2 m du premier plan.

� Pour la flûte, très grande variabilité du champ sonore selon l’angle du micro. Le signal leplus intense est fourni par le micro au zénith (position n°9).

� Pour le trombone, le rayonnement est très homogène mais avec une nette prédominancedans l’axe du pavillon (position n°1).

� Pour le violon, le spectre est homogène aux basses fréquences, même dans le dos del’instrumentiste (position n°3) ; on remarque d’importantes variations selon la position dumicrophone par rapport à l’instrument à partir de 500 Hz. On peut observer aussi lerenforcement de la zone comprise entre 500 et 1 500 Hz dans l’axe du manche (position n°8).

On appelle facteur de directivité Q de la source la quantité :

axe

moy

( )

( )

I rQ

I r=

Propriétés :

� le facteur de directivité est un nombre sans unité,� il ne dépend pas de la distance r à la source,� il augmente toujours avec la fréquence, quel que soit le type de source.

On appelle indice de directivité la quantité :

10logID Q=

Mesuré en dB, l’indice de directivité représente la différence entre le niveau dans l’axe de lasource et le niveau moyen dans toutes les autres directions (c’est-à-dire le niveau quedonnerait une source omnidirective de même puissance).

Plus ID est élevé, plus la source est directive. Pour une source omnidirective, Q=1 et ID=0.

Par exemple, le facteur de directivité de la voix est d’environ 1 jusqu’à 1 000 Hz puis, ilaugmente avec la fréquence (Q=2 à 4 000 Hz).

2.4.3 facteur et indice de directivité

Exemples de facteurs de directivité

2.4.4 Intensité dans l’axe

En substituant l’expression de Imoy(r) dans celle du facteur de directivité, on obtient :

2

axe axe

moy

4I r IQ

I P

π= =

On peut donc écrire que l’intensité dans l’axe à une distance r de la source vaut :

axe 2( )

4

PQI r

rπ=

Cette expression se réduit évidemment à celle d’une source omnidirective dans le cas oùQ=1.

2.5 Niveau d’intensité acoustique à une distance donnée de la source.

Le niveau de puissance LW d’une source est la grandeur vraiment caractéristique d’une sourcecar il est indépendant de la distance par rapport à celle-ci ; il vaut :

où P est la puissance acoustique émise par la source (en watts) et P0 la puissance acoustiquede référence, égale à 10-12 W.

Par contre, le niveau d’intensité de la source LI est fonction non seulement de la puissance dela source, mais aussi de la configuration de l’espace autour de la source et de la position dupoint de mesure par rapport à la source.

2.5.1 Niveau d’intensité d’une source omnidirectionnelle en champ libre

Par exemple, pour une source ponctuelle omnidirectionnelle en champ libre (= sans paroiréfléchissante), la propagation se fait selon une onde sphérique et on peut relier LI à LW

comme suit :

c’est-à-dire finalement :

0

10logW

PL

P=

2

2 12

0

10log 10log 10log 4 20log 10log 44 .10

20log 11

I W W

W

I PL L r L r

I r

L r

π ππ −

= = = − = − −

≈ − −

20log 11I WL L r= − −

Abaque du niveau sonore Lp en fonction de la distance r (source-auditeur) et du niveau de puissance de la source LW

Mais, même si la source reste omnidirectionnelle, il faut aussi tenir compte de la position dela source par rapport à des parois non absorbantes.

Le comportement d’une source placée près d’un mur, à l’angle de deux murs ou dans un coinne sera pas identique.

Pour tenir compte de ce phénomène, on introduit un facteur multiplicatif de situation oufacteur d’encastrement Θ pour la source, fixé comme suit :

Situation de la source Propagation Valeur de ΘΘΘΘ

Source en champ libre sphérique Θ=1

Source à proximité d’un mur plan réfléchissant hémisphérique Θ=2

Source à l’angle de deux murs plans réfléchissants Quart de sphère Θ=4

Source dans un coin entre trois murs plans réfléchissants Huitième de sphère Θ=8

2.5.2 Niveau d’intensité d’une source omnidirectionnelle encastrée

Dans le cas (a), Θ=2 (effet du sol), dans le cas (b), Θ=4 et dans le cas (c), Θ=8.

Par exemple, pour une source ponctuelle omnidirectionnelle située dans un coin (Θ=8), ontrouve :

soit une augmentation de 9 dB par rapport à une source en champ libre.

20log 2I W

L L r= − −

En tenant compte de ce facteur multiplicatif de situation, on peut alors relier LI à LP commesuit :

2

2 12

0

.10 log 10log 10log 10log 4 10log 20log 11

4 .10I W W

I PL L r L r

I rπ

π −

Θ= = = + Θ − = + Θ − −

2.5.3 Niveau d’intensité d’une source directive encastrée ou non

Pour une source directive de facteur de directivité Q et caractérisée par un facteurd’encastrement Θ, l’intensité dans l’axe vaut :

Le niveau d’intensité dans l’axe vaut donc directement :

où QT est le facteur de directivité total qui vaut :

axe 2( )

4

PQI r

rπ

Θ=

10log 20log 11I W TL L Q r= + − −

.T

Q Q= Θ

Abaque de la différence Lp-LW en fonction de la distance r (source-auditeur) et du facteur de directivité total Q de la source

2.5.4 Exercices

1. Lors d’un concert en plein air, le public est disposé sur un parterre dont le premier rangest à 5m et le dernier rang à 45m de la scène. Calculer la différence de niveau entre lepremier et le dernier rang. (Rép. : 19 dB).

2. Soit un haut-parleur considéré comme une source isotrope ayant un niveau de puissanceLW=105 dB ; déterminer la distance à laquelle il doit être placé pour que le niveau sonoreperçu soit de 90 dB. (Rép. : 1,58m).

3. Si un haut-parleur de niveau de puissance LW=105 dB est encastré au centre d’un mur,quelle est la directivité totale QT du haut-parleur ? Déterminer la distance source-auditeur pour que le niveau perçu soit de 90 dB ? (Rép. : 2, 2,24m).

4. On mesure 102 dB à 1m d’un haut-parleur.� Calculer le niveau de puissance du haut-parleur et sa puissance acoustique W.� Calculer le niveau sonore à 10m.� Jusqu’à quelle distance entendrait-on quelque chose si la propagation s’effectuait

sans obstacle ? Est-ce réaliste ? Pourquoi ?(Rép. : 113 dB, 0,2W, 82dB, 126 km).

� À quelles distances r1 et r2

respectivement du piano et de lachanteuse faut-il se placer pour que lesintensités dues à chaque source soientégales ?

� Le piano est à 2m derrière lachanteuse, déterminer l’amplificationnécessaire pour que les intensitéssoient égales à 10 m de la chanteuse.

(Rép. : r1=10r2, 14dB)

5. Une chanteuse produisant un niveau sonore de 50 dB à 1m est accompagnée par un pianoqui produit un niveau de pression de 70 dB à 1m.

6. Un haut-parleur rayonne de manière uniforme dans l’espace en champ libre. Le haut-parleur a un facteur de directivité total Q=2 et il produit à 1m un niveau sonore de 92dBlorsqu’il est alimenté sous 1W électrique efficace.� Calculer le niveau sonore de la source à 2m, 4m et 5,6m lorsque le haut-parleur est

alimenté sous 1W électrique efficace.� Calculer l’amplitude de la pression acoustique à 1m et à 5,6m dans les conditions

précédentes.� Calculez le niveau de puissance LW de la source et sa puissance W.

(Rép. : 86 dB, 80 dB, 77 dB, 1,126 Pa, 0,2 Pa, 100 dB, 9,95.10-3 W)

2.6 Sources multiples en champ libre : « addition » de niveaux sonores

Considérons plusieurs sources sonores qui émettent simultanément. Supposons que l’onconnaisse le niveau de chaque source, et que l’on souhaite connaître le niveau totalproduit par leur superposition.

Établir le niveau en pression acoustique ou en intensité d’un son revient à mesurer l’énergietransportée par ce son.

Si plusieurs sons se superposent, on ne peut pas obtenir le niveau global en additionnant lesvaleurs de chaque niveau pris séparément.

Lorsque plusieurs sources fonctionnent simultanément, il y a superposition des ondessonores et risque d’interférences, notamment pour des sources qui produisent des signauxmono-fréquentiels (sons purs) qui peuvent conduire à des baisses de niveaux sonores assezsignificatives en certains points du milieu (cf. section 3 de ce chapitre).

Dans le cas le plus général de signaux composés (spectre fréquentiel étendu), les risquesd’interférence existent mais ont peu d’influence sur le niveau sonore résultant. Par contre,cela peut être très sensible sur le timbre résultant qui peut dénaturer l’un ou l’autre dessignaux.

Illustration : niveau sonores résultant

Pour la détermination du niveau sonore résultant de la superposition de sources noncorrélées, on applique le principe de superposition.

Les pressions acoustiques instantanées s’ajoutent dans tous les cas.

Mais il faut distinguer deux situations :

� les sources ne sont pas corrélées, c’est-à-dire qu’elles sont indépendantes et sans relationentre elles (c’est le cas le plus général) ;

� les sources sont corrélées, c’est-à-dire qu’elles ne sont pas indépendantes entre elles, plusparticulièrement qu’elles ont une relation de phase entre elles (elles sont en phase, ou enopposition de phase).

2.6.1 « Addition » de sources non corrélées

Considérons le cas général, où les sources sontindépendantes : piano et flûte, trafic routier etventilation d’un bureau, etc. Les tracés temporelsdes différentes pressions n’ont alors rien encommun. Notons que lorsque plusieurs instrumentsjouent à l’unisson, les petits décalages entremusiciens sont suffisants pour que les pressionsproduites ne soient plus rigoureusement en phase,et ces sources peuvent toujours être considéréescomme non corrélées.

Exemple :

Soient deux niveaux absolus à globaliser, par exemple L1=50 dB et L2=55 dB.

Calculons les intensités acoustiques associées : 511 1 0

0

5,522 2 0

0

10log =50dB donc 10 .

10log =55dB donc 10 .

IL I I

I

IL I I

I

= =

= =

Puisque les intensités s’additionnent, le niveau global L vaut :

( )5 5,51 2

0

10log 10log 10 10 56,19dBI I

LI

+= = + =

2.6.1.a Principe de superposition en champ libre

Soient deux sources S1 et S2 produisant en un même point M de l’espace les intensitésacoustiques respectives I1 et I2, l’intensité acoustique résultante perçue en ce point M est :

En effet, lorsque deux sons sont reçus en même temps, ce sont les énergies transportées parchacun d’eux qui s’additionnent, et donc les intensités acoustiques.

Généralisation : si n sources, d’intensités respectives I1, …, In fonctionnent simultanément,l’intensité acoustique au point M vaut :

Total 1 2I I I= +

Total

1

n

i

i

I I=

=∑

Que vaut la pression acoustique efficace totale ?

En utilisant les relations : et :

et le principe de superposition en champ libre :

On obtient :

La pression acoustique efficace résultante est donc telle que :

2

11

.

pI

cρ=

2

22

.

pI

cρ=

Total 1 2I I I= +

22 2 2 2

Total1 2 1 2Total 1 2

. . . .

pp p p pI I I

c c c cρ ρ ρ ρ

+= + = + = =

2 2 2

Total 1 2p p p= +

2.6.1.b Pression acoustique efficace résultante

2.6.1.c Calcul du niveau sonore résultant en général (pour deux sources non corrélées)

Le niveau d’intensité résultant en M est :

Chaque source prise individuellement produit un niveau sonore au point M valant :

Ce qui nous permet d’établir les expressions des intensités I1 et I2 en fonction des niveaux enintensités produits en M :

Par application du principe de superposition, le niveau résultant en M a pour expression :

Soit en remplaçant I1 et I2 :

Total

0

10.logI

I

IL =

1

1

0

10.logI

I

IL =

2

2

0

10.logI

I

IL =et :

1/10

1 0.10 ILI I= et : 2

/10

2 0.10 ILI I=

Total 1 2

0 0

+I10.log 10.log

I II

I IL = =

( )1 2/10 /10

10.log 10 10I IL L

IL = +

Evolution du niveau sonore résultant pour deux sources fonctionnant simultanément

Le graphique précédent permet de constater que le niveau résultant n’évolue pas dans desproportions énormes et reste proche du niveau en intensité le plus fort produit par une dessources.

Trois règles peuvent être établies :

� dans la plupart des cas, si le niveau en intensité de l’une des sources est supérieur de 10 dBà l’autre niveau sonore, nous pouvons négliger le niveau le plus faible, pour en déduiredirectement que le niveau résultant est égal au niveau en intensité le plus fort.

� lorsque les deux sources produisent le même niveau d’intensité en un point donné, leniveau résultant est augmenté de 3 dB par rapport au niveau d’une seule source.

� lorsque les deux sources produisent un niveau sonore proche en un point donné(différence des niveaux inférieures à 10 dB), l’utilisation de l’expression générale du niveaurésultant est nécessaire.

Remarque :

Dans le cas de la première règle, la forte différence de niveaux (plus de 10 dB) ne permetpas de dire que la source la plus faible ne sera pas entendue. Nous verrons dans le chapitreconsacré à la psycho-acoustique que le mécanisme de l’audition est plus fin dans lediscernement des sons qu’un simple sonomètre (cf. effet de masque).

Détail de l’évolution du niveau résultant lorsque les niveaux des deux sources sont proches

2.6.1.d Addition de n sources non corrélées

On peut généraliser facilement le raisonnement précédent au cas de n sources non corrélées,de niveaux respectifs LI1

, LI2, …, LIn

; le niveau résultant total s’écrit alors :

En particulier, si n sources corrélées ont une même intensité I, l’intensité totale vaut :

et le niveau total vaut donc :

( )1 2

tot

/10/10 /1010.log 10 10 ... 10 II I n

LL L

IL = + + +

tot .I n I=

tot

0

.10 log 10logI I

n IL L n

I= = +

2.6.2 « Addition » de sources corrélées

On dit que deux sources sont corrélées si leurspressions possèdent des relations de phase. Ellessont parfaitement corrélées si les pressions sontrigoureusement en phase ou en opposition de phase,mais cette situation est rare dans la pratique : lessources sont généralement plus ou moins corréléeset le tracé temporel de leurs pressions présente desressemblances plus ou moins fortes.

Par exemple, lorsqu’on place une source de basse fréquence contre une paroi réfléchissante,la pression réfléchie est en phase avec la pression directe.

On admettra que lorsque deux ondes sont parfaitement corrélées, leurs pressions acoustiquess’ajoutent, par conséquent la pression totale est égale à la somme des pressions :

Pour deux sources en phase produisant la même pression p, la pression acoustique totale vautdonc 2p. Pour deux sources en opposition de phase de même pression acoustique p, lapression acoustique totale est donc nulle.

tot 1 2p p p= +

2.6.3 Exercices

1. Calculer le niveau global produit par deux sources émettant en même temps etcaractérisées par des niveaux respectifs de 70 dB et 74 dB. (Rép. : 75 dB)

2. Un groupe choral composé de 6 chanteurs se produit sur un podium en plein air. À ladistance r du podium, le niveau perçu est jugé trop faible. Pour l’augmenter, on a le choixentre deux solutions : se rapprocher ou augmenter le nombre de chanteurs.

� Pour avoir une augmentation de 10dB du niveau (ce qui correspond à une sensation deson deux fois plus fort), à quelle distance faut-il se placer de la scène ? (Rép. : r/3).� Si on choisit de rester à la distance r, combien faut-il ajouter de chanteurs pour que leniveau augmente de 10 dB ? (Rép. : 54 chanteurs).

3. Un groupe de rock est formé d’un chanteur (niveau 55dB), de deux guitares électriques(chacune de niveau 62 dB) et d’une batterie (de niveau 67 dB). Quel sera le niveausonore lorsque le groupe entier répètera ? (Rép. : 69 dB)

4. Dans une salle, le bruit de fond est de 62 dB. Ce bruit a deux origines indépendantes, uneventilation et le bruit en provenance de la rue. Si on stoppe la ventilation, le niveau debruit de circulation seul est de 57 dB. Déduisez-en le bruit de la ventilation. (Rép. : 60dB)

5. Un orateur prononce un discours en plein air qu’il faut enregistrer. On ne peut pasapprocher à moins de 5m. Pour avoir plus de « proximité », en tendant le bras, on peutavancer le micro d’un mètre.

� Combien de dB gagne-t-on en tendant ainsi le bras ? (Rép. : 2dB).� Combien de dB aurait-on gagné en tendant le bras de la même manière mais en étantsitué à 12m ? (Rép. : 0,7dB).�Sachant qu’une différence de 1dB n’est pas audible par l’oreille, déterminer la distancelimite au-delà de laquelle l’augmentation de niveau obtenue en tendant le bras n’est plusperceptible ? (Rép. : 9,3m).

6. Lors d’un concert en plein air, un orchestre symphonique accompagne une chorale.Lorsqu’il joue sans la chorale, l’orchestre produit dans un fortissimo un niveau de 75 dB à10m. On estime à 55 dB le niveau produit par un seul choriste à 10m.

� Combien faut-il de choristes pour qu’à 10m, le niveau de la chorale soit égal au niveaude l’orchestre ? (Rép. : 100).� En plus de la chorale (dont le nombre est fixé par la réponse à la question précédente),on souhaite recruter une soliste dont le niveau dépassera, à 10m, celui de l’orchestre etde la chorale réunis. Pendant les auditions, si cette soliste est entendue à 3m, quel niveaudoit-elle produire à cette distance ? (Rép. : 88dB).

7. Un microphone reçoit les émissions sonores provenant de deux sources distinctes S1 etS2. Lorsque S1 fonctionne seule, le niveau sonore mesuré est LP1

. Lorsque S2 fonctionneseule, le niveau sonore mesuré est LP2

.

� Donner l’expression littérale des intensités sonores respectives I1 et I2 correspondantau fonctionnement de chaque source. Calculer ensuite les valeurs de I1 et I2 sachantque LP1

=70 dB et que LP2=60dB.

� Calculer la valeur du niveau total LPTotalobtenu lorsque les deux sources fonctionnent

simultanément.

� La puissance de la source sonore S1 considérée comme isotrope est W1=4.10-3W.Calculer l’intensité sonore I1 à la distance d=6m de la source, la source S2 nefonctionnant plus.

� On s’éloigne d’une distance x du point où I1 a été mesurée. On enregistre alors unaffaiblissement de 5 dB. De quelle distance x s’est-on éloigné ?

(Rép. : 10-5 W.m-2, 10-6 W.m-2,70,4 dB, 8,84.10-6 W.m-2, 4,66m ).

8. Soient deux sources isotropes HP1 et HP2, distantes de 5m. Le rayonnement de ces deuxsources est uniforme.

Les sons produits par les deux sources sont tels qu’à 1m de chaque source, le niveau sonoreest de 90 dB, chaque haut-parleur est alimenté sous 1 watt électrique.

1) Seul HP1 fonctionne et HP2 n’émet rien

a) Calculer la pression acoustique au point M1, à 2m du haut-parleur HP1 (rép. : 0,31 Pa)b) En déduire l’intensité acoustique IHP1(2m) et la puissance acoustique W de la source HP1

(rép. : 2,4.10-4 .m-2 et 1,2.10-2W)c) Quelle est la pression acoustique en M2 (r1=3m) ? Déterminer la relation générale entre la

pression acoustique à une distance r1 et la pression acoustique à 1m. (rép. : 0,158 Pa)

2) HP1 et HP2 fonctionnent

a) Calculer la pression acoustique résultante en M2 pour r1=5m (calculer l’intensitéacoustique résultante auparavant). (rép. : 0,155 Pa)

b) Quel est le gain acoustique G par rapport au cas précédent ? (rép. : 3dB)

La source HP1 émet un signal de 1 000 Hz tel qu’à 1m le niveau sonore soit de 90 DB. Lasource HP2 émet un signal de 500 Hz tel qu’à 1m le niveau sonore soit de 86 dB.

a) Calculer le niveau sonore résultant en M1 pour r1=5m (rép. : 76,7 dB)b) Calculer le niveau sonore résultant en M2 pour r1=5m (rép. : 76,45 dB)c) Calculer le niveau sonore résultant en M3 pour r1=5m (rép. : 75,54 dB)d) Conclure

3.0 Phénomène d’interférence pour les ondes, étude qualitativeUn phénomène d’interférence est une superposition d’ondes. Le résultat de la rencontre dedeux ondes est particulièrement simple : les déplacements provoqués par chacune des ondess’additionnent. C’est ce qu’on appelle le principe de superposition.

Illustrons le tout par un exemple. Deux ondes ayant une formerectangulaire se dirigent l’une vers l’autre. Les distances sontindiquées en centimètres sur la figure par un quadrillage.Chaque onde a une vitesse de 1 cm/s et provoque undéplacement de 1 cm de la corde par rapport à la positiond’équilibre.À t = 1 s, les devants de chaque onde arrivent en contact etl’interférence commence. À t = 2, l’onde de longueur 1 seretrouve au milieu de l’onde de longueur 3. On voit qu’à cetendroit, les déplacements provoqués par chaque onde (qui estde 1 cm) s’additionnent pour faire un déplacement de 2 cm. À t= 3 s, l’interférence se termine et à t = 4, on voit les deux ondesqui reprennent leur forme initiale et continue leur chemin. Lepassage des deux ondes l’une à travers l’autre n’affecte pas dutout la forme des ondes. Elles reprennent la même forme aprèsqu’elles aient interféré.

3 Phénomènes de superpositions d’ondes acoustiques

Dans ce cas, le déplacement de la corde est plus grand à l’endroit où les ondes se superposent que le déplacement provoqué par une seule onde. On parle alors d’interférence constructive.

Vous pouvez admirer un magnifique clip illustrant le résultat de la rencontre de deux ondes sur une corde. L’onde du haut est l’onde allant vers la droite. L’onde du milieu est l’onde allant vers la gauche et au bas on retrouve l’addition de ces deux ondes :

http://www.youtube.com/watch?v=8IRZYOC7DeUAddition de deux ondes

Vous pouvez aussi regarder cette démonstration :

http://www.youtube.com/watch?v=YviTr5tH8jwInterférence constructive

Dans cet autre exemple, une des ondes faisant un déplacementnégatif sur la corde. À t = 2, la petite onde se retrouve au milieude la grande onde. À l’endroit où les ondes se superposent, ledéplacement fait par la grande onde (1 cm) s’additionne audéplacement fait par la petite onde (-1 cm). Le résultat est 0 cmet on voit que la corde est à sa position d’équilibre partout où lapetite onde interfère avec la grande onde.

Dans ce cas, le déplacement de la corde est nul à l’endroit où les ondes se superposent. Onparle alors d’interférence destructive.

On voit encore une fois qu’après le passage des ondes l’une à travers l’autre, elles ont reprisexactement la même forme qu’elles avaient avant de se superposer.

Encore une fois, vous pouvez admirer la rencontre de deux ondes, mais cette fois-ci une ondefait un déplacement positif (celle allant vers la droite) et une autre fait un déplacement négatif(celle allant vers la gauche)

http://www.youtube.com/watch?v=95macpu6xgMSoustraction d’ondes

et la démonstration :

http://www.youtube.com/watch?v=URRe-hOKuMsInterférence destructive

Ces éléments sont vrais uniquement pour des milieux linéaires. Nous ne traiterons pas desmilieux non linéaires dans lesquels la superposition des ondes n’est pas simplement la sommedes ondes. La forme des ondes après leur passage une à travers l’autre est différente parrapport à la forme avant qu’elles se rencontrent dans les milieux non linéaires.

On peut réécrire cette expression sous la forme :

Par conséquent :

Lorsque deux ondes harmoniques de même direction et de même fréquence sesuperposent dans un milieu, leur résultante est toujours une onde harmonique de mêmefréquence, mais dont l’amplitude varie d’un point à l’autre du milieu.

En effet, soient deux vibrations harmoniques :( )

( )1 1 1

2 2 2

( ) cos

( ) cos

p t p t

p t p t

ω ε

ω ε

= +

= +

La pression acoustique résultante est la somme algébrique des deux pressions, donc :

( ) ( )1 1 2 2( ) cos cosp t p t p tω ε ω ε= + + +

( )( ) cosp t p tω ε= +

La somme de deux vibrations de même fréquence et de même direction est encore unevibration harmonique de même fréquence, mais déphasée d’un angle ε et d’une amplitude p.

3.1 Superposition de deux ondes harmoniques de même direction et de même fréquence

3.1.1 étude théorique générale

Exemple : addition de deux ondes harmoniques de même fréquence et de même direction

En appliquant par exemple le théorème de Pythagoregénéralisé dans le triangle OBC, on peut écrire :

2 2 22 cosOC OB BC OB BC= + − OBC

Comme les angles <OBC> et (ε2-ε1) sont supplémentaires (puisque la somme des anglesd’un quadrilatère fait 360°),

et on trouve, en substituant :

et finalement :

( )2 1cos cosOBC ε ε= − −

( )2 2 2

1 2 1 2 2 12 cos (*)p p p p p ε ε= + + −

( )2 2

1 2 1 2 2 12 cosp p p p p ε ε= + + −

Pour déterminer les caractéristiques de l’onde acoustiquerésultante (amplitude et déphasage), on peut utiliser laméthode des vecteurs de Fresnel : on associe chaquevibration à un vecteur tournant de Fresnel, et l’égalitéalgébrique précédente se traduit par le fait que le schémavectoriel ci-contre doit être vérifié :

Calculons p et ε.

On retrouve directement la relation (*) entre les amplitudes, en sommant membre àmembre le carré des relations (1) et (2) :

De manière plus simple, les règles de l’addition vectorielle appliquées au diagramme deFresnel permettent d’écrire :

1 1 2 2

1 1 2 2

donc .cos cos cos (1)

donc .sin sin sin (2)

OG OF FG OF OE p p p

OJ OI IJ OI OH p p p

ε ε ε

ε ε ε

= + = + = +

= + = + = +

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uur uur uur uuuur

De plus, en divisant (2) par (1) membre à membre, on obtient aussi le déphasage :

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sintan

cos cos

p p

p p

ε εε

ε ε

+=

+

( )

( )

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 cos cos sin sin

2 cos

p p p p p

p p p p

ε ε ε ε

ε ε

= + + +

= + + −

La valeur de l’amplitude p et du déphasage ε sont fonctions des amplitudes p1 et p2 et desdéphasages ε1 et ε2.

Si les amplitudes p1 et p2 sont fixées, l’amplitude résultante ne dépend que du déphasagerelatif ε2 -ε1.

Cas particuliers :

� les deux vibrations sont en phase : ε2-ε1=0 ou 2k.π (où k entier quelconque)

La vibration résultante est aussi en phase (ε=ε1=ε2) et son amplitude se réduit à :

c’est-à-dire :

2 2 2 2

1 2 1 2 1 22 .1 ( )A A A A A A A= + + = +

1 2A A A= +

Lorsque les ondes sont en phase, l’amplitude résultante est la somme des amplitudes.

� les deux vibrations sont en opposition de phase : ε2-ε1=π ou (2k+1).π (où k entier quelconque)

Comme cos(ε2-ε1)=-1, la vibration résultante est en phase avec l’une des ondes et enopposition avec l’autre, et l’amplitude résultante est telle que :

2 2 2 2

1 2 1 2 1 22 .( 1) ( )A A A A A A A= + + − = −

1 2A A A= −

Lorsque les ondes sont en opposition de phase, l’amplitude résultante est la différence desamplitudes.

et vaut donc :

Remarque :

Dans ce dernier cas, si les amplitudes sont égales, la résultante des deux vibrations s’annule :il n’y a plus de vibration (la somme de deux sons peut être le silence).

Conclusions de l’étude théorique :

La somme de deux vibrations harmoniques de même direction et de même fréquence estune vibration harmonique de même fréquence dont l’amplitude est comprise entre lasomme et la différence des deux amplitudes.

Si ε2-ε1=0 (c’est-à-dire si les ondes sont en phase), l’amplitude résultante est la somme desamplitudes.

Si ε2-ε1=π (c’est-à-dire si les ondes sont en opposition de phase), l’amplitude résultante estla différence des amplitudes.

3.1.2 Interférences résultants de la superposition de deux sources synchrones

Deux sources sont dites synchrones lorsqu’elles vibrent à la même fréquence et sont de plusen phase.

Considérons deux sources synchrones S1 et S2, émettant des ondes demême amplitude dans un milieu, par exemple des ondes planes de laforme :

1 21 1 2 2( ) cos 2 et ( ) cos 2

d dt tp t A p t A

T Tπ π

λ λ

= − = −

Puisque les sources sont synchrones, les élongations des deux ondes reçues à l’instant t aupoint M sont données par :

( , ) cos 2t x

p x t AT

πλ

= −

La différence de phase (notée ∆ε dans l’étude générale) entre les deux vibrations est ici de :

où l’on a introduit la différence de marche ∆m=d1-d2 entre les chemins parcourus par les deuxondes.

( )1 2

2 2d d m

π πε ϕ

λ λ∆ ≡ ∆ = − = ∆

Si les ondes se rencontrent en un point M du milieu, situé à une distance d1 de la source S1 etd2 de la source S2, le point M est soumis à la résultante de ces deux vibrations. On parle alorsd’un phénomène d’interférences.

Si l’on applique les conclusions de l’étude théorique précédente, le point M va vibrer avecune amplitude résultante maximale A=A1+A2 lorsque la différence de phase ∆ε entre les deuxondes sera égale à un nombre entier de fois pair de fois π, c’est-à-dire lorsque la différencede marche entre les deux ondes sera égale à un nombre pair de fois la demi longueur d’onde ;ces points où l’amplitude résultante est maximale sont appelés les ventres du phénomèned’interférence :

2ventres 2 2 (où k )

2m k m k Z

π λϕ π

λ⇔ ∆ = ∆ = ⇔ ∆ = ∈

De la même manière, le point M va vibrer avec une amplitude minimale A=A1-A2 (nulle siA1=A2, c’est-à-dire si le point M n’est pas trop éloigné des sources S1 et S2) lorsque ladifférence de phase ∆ε entre les deux ondes sera égale à un nombre impair de fois π, c’est-à-dire lorsque la différence de marche entre les deux ondes sera égale à un nombre impair defois la demi longueur d’onde ; ces points où l’amplitude résultante est minimale sont appelésnœuds du phénomène d’interférence :

2noeuds (2 1) (2 1) (où k )

2m k m k Z

π λϕ π

λ⇔ ∆ = ∆ = + ⇔ ∆ = + ∈

Si on représente dans un milieu bidimensionnel la position des nœuds et des ventres devibration du phénomène d’interférence produit par deux sources S1 et S2, on trouve deuxréseaux d’hyperboles dont les sources sont les foyers (chaque valeur de k correspond à unehyperbole).

Rappel : le lieu géométrique des points du plan tels que la différence de leurs distances à deuxpoints fixes est une constante est une hyperbole dont les points fixes sont les foyers ; unehyperbole est une courbe formée de deux branches infinies, présentant des asymptotes.

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optiphy/interfer.html

Visualisation du réseau de ventres obtenus par interférences de deux sources ponctuelles synchrones

Explication ondulatoire du phénomène d’interférences

Lumière + lumière = obscurité !!!

Interférences lumineuses

Dans le triangle S2PA, par Pythagore,

( )2

2 2

2 12

ad D x

= + +

( )2

2 2

1 22

ad D x

= + −

( ) ( )2 2

2 1 2 1 2 12 2a a

d d d d d dx x

→ − = → − + =

2 1 2 1Or 2ax

d d D d dD

+ ≈ → − =

( )2 1

22

2 2

ax k Dd d k k x k

D a

λ λ λ− = ∈ → = → =�

k

Dx k

a

λ= 0 1 20 ; 1 ; 2 ;......

D D Dx x x

a a a

λ λ λ= × = × = ×

1 0 2 1 3 2 1.........

k ki x x x x x x x x −= − = − = − = = −

i a

D

Di

a

λ= → λ =

Dans le triangle S1PA, par Pythagore,

Eclairement maximum en P de l’écran, si

A un k donné correspond un x que nous appellerons xk :

Si nous appelons interfrange la distance i telle que :

En conclusion, l’interfrange est proportionnelle à la longueur d’onde :

http://www.dailymotion.com/video/x26t9gi_interferences-sonores-mises-en-evidence-au-mit_school

Un bon exemple : interférences sonores mises en évidence au MIT

https://www.youtube.com/watch?v=q2AynYYMskA

Un exemple peu convainquant d’interférences sonores

Application du phénomène d’interférence : trombone de Koenig et mesure de la vitesse du son

L’auditeur (ou un microphone), placé en O, perçoit le sonrésultant de la superposition des ondes qui lui parviennent parces deux chemins acoustiques.

Si les deux trajets sont égaux, les ondes arrivent en phase et leson perçu est intense (interférence constructive, ventre devibration). Mais en faisant glisser le premier tube sur le second,comme un trombone, on allonge un chemin par rapport àl’autre (ABC ici). Lorsque la différence de marche est de λ/2, lessons interfèrent de manière destructive et on n’entend plusrien. On a un nœud de vibration.

En continuant à allonger le trajet ABC, on perçoit de nouveaule son avec un maximum d’intensité quand la différence dechemin est égale à λ, puis un nouveau silence lorsque ladifférence de marche est de 3λ/2, et ainsi de suite...

Il suffit de mesurer sur l’échelle graduée E le déplacement du tube qui fait passer d’un silenceau suivant (ou d’un maximum à l’autre) pour connaître la longueur d’onde λ. Une fois lalongueur d’onde connue, la fréquence étant connue, on peut aussi utiliser ce dispositif pourcalculer la vitesse du son c dans le gaz qui remplit l’appareil (puisque λ=c/f)

Une source sonore (par exemple un diapason, ici en D) émet un son de fréquence f à l’entréed’un trombone à coulisse, constitué de deux tubes ABC et AB’C formant deux dérivations parlesquelles peut se propager le son.

Cette période est appelée période du battement ; son inverse est appelé fréquence dubattement et est égale à la différence des deux fréquences.

Par exemple, pour deux sons de fréquences 440 et 444 Hz, on trouve une fréquence debattement de 4 Hz, c’est-à-dire une période battement de 1/4 s, tout à fait audible.

3.1.3 Phénomène de battement

Ce phénomène résulte de la superposition de deuxmouvements oscillatoires harmoniques de même direction,d’amplitudes voisines, mais de fréquences légèrementdifférentes. Le phénomène se manifeste par la perceptions’un son unique, mais dont l’amplitude est variablelentement dans le temps (d’où le terme de battement).

En particulier, cette amplitude s’annule toutes les périodesTb.

Illustration sonore du phénomène de battements

2 1

1 1b

b

Tf f f

= =−

400 Hz - 401 Hz 400 - 410 Hz 400 - 600 HzBattements lents Battements rapides Pas de battements perceptibles

Analyse de Fourier du battement rapide entre les sons 400 Hz et 410 Hz

Analyse temporelle du battement rapide entre les sons 400 Hz et 410 Hz

( ) ( )1 1 1 2 2 2( ) cos et ( ) cosx t A t x t A tω ϕ ω ϕ= + = +

Comme les pulsations diffèrent peu, on peut en première approximation traiter la deuxièmeonde comme si elle avait la même pulsation que la première, mais avec une différence dephase ∆ϕ(t) par rapport à la première variable lentement dans le temps donnée par :

( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 1 2 1( ) cos ( ) cosx t A t t A t tω ϕ ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ = + + ∆ = + + − + − Puisqu’à présent les deux ondes ont même direction et même fréquence, on peut appliquerles résultats de l’analyse théorique précédente :

l’amplitude résultante est maximale (égale à la somme des amplitudes) lorsque ∆ϕ(t)=2kπ(ondes en phase) et minimale (égale à la différence des amplitudes) lorsque ∆ϕ(t)=(2k+1)π(ondes en opposition de phase). Entre ces deux extrêmes, l’amplitude résultante prend desvaleurs intermédiaires comprises entre la somme et la différence des amplitudes. L’amplituderésultante est donc fonction du temps.

Soient deux mouvements oscillatoires harmoniques dont les pulsations (et donc lesfréquences) sont voisines, reçus en un point du milieu :

3.1.3.a Analyse approchée

La vibration résultante peut donc être assimilée à une vibration harmonique de pulsationquasiment égale à ω1 mais d’amplitude lentement variable dans le temps.

( )1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) cosx t x t x t t tω= + ≈ + ΦA

Graphiquement, l’onde résultante a la forme :

On appelle période du battement la durée Tb qui s’écoule entre deux amplitudes maximalesconsécutives. La fréquence du battement fb est l’inverse de cette période.

Pour la calculer, considérons deux maxima consécutifs, qui se produisent en des temps t1 et t2

tels que : ( )

( )1 2 1 1 2 1

2 2 1 2 2 1

( ) 2 - ( ) 2

( ) 2 ( 1) - ( ) 2 ( 1)

t k t k

t k t k

ϕ π ω ω ϕ ϕ π

ϕ π ω ω ϕ ϕ π

∆ = ⇒ + − =

∆ = + ⇒ + − = +

En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on obtient :

et la période du battement vaut donc :

( )( )2 1 2 1 2t tω ω π− − =

2 1

2 1 2 1

2 1 1b

b

T t tf f f

π

ω ω= − = = =

− −

La fréquence du battement est bien égale à la différence des deux fréquences.

3.1.3.b Analyse exacte

Si on ne veut pas faire d’approximation pour se ramener à l’étude théorique précédente, dela superposition de deux ondes harmoniques de même fréquence, on peut calculer lerésultat exact de la superposition des deux ondes harmoniques, d’amplitudes égales et defréquences différentes ; on obtient, à l’aide d’une des formules de Simpson :

( ) ( )

( )

1 2

1 1 2 2

2 1 2 1 1 2 1 2

( ) ( ) ( )

cos cos

2 cos cos ( )cos2 2 2 2

x t x t x t

A t A t

A t t t t

ω ϕ ω ϕ

ω ω ϕ ϕ ω ω ϕ ϕω ϕ

= +

= + + +

− − + + = + + = +

A

On voit que l’onde résultante x(t) est formée du produit d’une onde harmonique, dont lapulsation ω est la moyenne arithmétique des pulsations ω1 et ω2, mais dont l’amplitude A(t)est lentement variable dans le temps, selon une fonction (co)sinusoïdale.Cette formule rend tout à fait compte du profil graphique de l’onde résultante (cf. diapositiveprécédente) : une fonction (co)sinusoïdale oscillant rapidement multipliée par une amplitudevariable dans la courbe enveloppe est une (co)sinusoïde variant lentement.

Deux maxima d’amplitude consécutifs correspondent bien sûr à deux valeurs du tempsconsécutives solutions de l’équation :

et on retrouve donc bien la même période de battement que dans l’analyse approchée.

2 1 2 1

2 2t k

ω ω ϕ ϕπ

− −+ =

3.1.3.c Applications du phénomène de battement

Lors de l’accord des instruments à cordes d’un orchestre, un violoniste ne peut pas percevoirune différence d’un demi-hertz entre deux cordes (sa corde « la » et celle de son voisin parexemple) jouées consécutivement ; par contre, une oreille un tant soit peu entraînée peutentendre le battement produit par deux cordes accordées à un demi-hertz près jouéessimultanément.

Pour s’accorder, les violonistes éliminent donc le battement en modifiant légèrement la tensionde leur corde.

Accord de l’unisson par élimination des

battements

Battement entre 440 Hz et 442 Hz

Le même procédé peut être employé pour accorder d’autres intervalles que l’unisson, mais cene sont plus les battements entre les fondamentaux qu’il faut écouter, mais les battementsqui se produisent entre les harmoniques, de rangs variables, selon les notes à accorder.

Par exemple, supposons accordé lefa-2, à 174,6 Hz (en tempéramentégal). Le fa-3, son octave doit êtreaccordé à 2 × 174,6=349,2 Hz. Si lefa-3 est accordé initialement trophaut (par exemple à 351,2 Hz), lesecond harmonique du fa-2 qui apour fréquence 349,2 Hz produiraavec le fondamental du fa-3 unbattement de 351,2-349,2=2 Hz. Cebattement est perceptible etl’accord se fera en diminuant lafréquence du fa-3 jusqu’à ladisparition du battement.

De la même manière, pour accorder le la-2 (accord de la tierce majeure), dont le fondamentalthéorique vaut 220 Hz, on peut se baser sur le battement qui se produit entre la quatrièmeharmonique du la-2 (de fréquence 4 × 220=880 Hz) et la cinquième harmonique du fa-2(située à 5 × 174,6 Hz=873 Hz). L’accord ne se fait pas ici par élimination du battement, maispar ajustement de sa vitesse.

Accord de la quinte par élimination des

battements

Accord de la tierce par ajustement de la vitesse du battement

Accord de l’octave par élimination des

battements

Théorie de l’accordage du pianohttp://www.youtube.com/watch?v=R2nghVIsMKY&spfreload=10

Implication des harmoniques dans l’accordage du pianohttp://www.youtube.com/watch?v=czhZ3BtBz7g

Fréquences des dix octaves de la gamme chromatique tempérée.

3.2 Superposition d’ondes harmoniques de même fréquence mais se propageant dans desdirections différentes

Considérons deux ondes sinusoïdales de même fréquence, ayant la même amplitude et sedéplaçant dans des directions opposées (l’analyse générale précédente n’est donc pasapplicable). Lorsqu'elles se rencontrent, elles se superposent, donnant lieu à une onde ditestationnaire :

3.2.1 Ondes stationnaires à une dimension, définition et propriétés principales

Observations :

L’onde stationnaire est caractérisée par le fait que :

� tous les points du milieu passent en même temps par leur position d’équilibre, et tous lespoints passent en même temps par leur position extrême, c’est-à-dire que tous les pointsvibrent en phase.

� les amplitudes de vibration des différents points du milieu ne sont pas identiques : ellesvarient entre l’amplitude nulle (ces points sont les nœuds de l’onde stationnaire) et l’amplitudemaximale (ces points sont les ventres de l’onde stationnaire) ; de plus, les maximums(ventres) et les minimums (nœuds) de vibration sont régulièrement répartis et fixes.

http://vd.educanet2.ch/lukas.schellenberg/anims/ondesstat/Ondesstat.html

http://www.youtube.com/watch?v=jovIXzvFOXo

http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/son/melde/melde.htm

https://www.youtube.com/watch?v=pWekXMZJ2zM

Illustrations spectaculaires du phénomène d’ondes stationnaires

https://www.youtube.com/watch?v=uENITui5_jU

https://www.youtube.com/watch?v=3y4EaJrJP9w

Une méthode particulièrement simple d’obtenir des ondes stationnaires est d’utiliser lapropriété de réflexion des ondes sur un obstacle fixe.

3.3.2 Obtention d’ondes stationnaires à une dimension par réflexion sur un obstacle

http://www.u-bourgogne.fr/PHYSIQUE/OndeStat/OndeStat.htmlhttp://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02bis/meca/ondesta.htmlhttp://www.walter-fendt.de/ph14e/stwaverefl.htm

où T est la tension dans la corde et µ la masse linéique de la corde.

Une perturbation sinusoïdale yS1(t)=A.sin(2πt/T) produite à une extrémité S1 de la corde (la

gauche pour notre exemple) se propage dans la corde(vers la droite) sous la forme :

Arrivée à l’autre extrémité, soit après un temps t*=l/c, elle se réfléchit, et engendre ainsi uneonde de même fréquence mais se propageant dans l’autre direction dans la corde :

1( , ) sin 2

S

t xy x t A

Tπ

λ

= −

2

( *) ( ) 2( , ) sin 2 sin 2 *

S

t t l x t l xy x t A A t t

T Tπ π

λ λ λ

− − = − + = − + − ∀ ≥

3.2.2.a Cas de la corde vibrante, fixée aux deux extrémités

Tc

µ=

Prenons l'exemple d'une corde vibrante delongueur l, fixée à ses deux extrémités S1 et S2.

On montre que la vitesse de propagation des ondesmécaniques dans la corde vaut :

L’onde résultante en P à l’instant t vaut donc :

2( ) sin 2 sin 2

t x t l xy t A A

T Tπ π

λ λ λ

= − + − + −

En appliquant la formule de Simpson bien connue sin p+sin q=2sin[(p+q)/2]cos[(p-q)/2], onobtient :

( ) 2 sin 2 cos 2l x t l

y t AT

π πλ λ

− = −

On voit que l’onde résultante est le produit d’une fonction harmonique du temps,indépendante de la position du point P et d’une fonction dépendant uniquement del'abscisse x. La fonction donnant l’onde résultante est donc de la forme f (x) g (t). Différentspoints de la corde vibrent donc avec des amplitudes différentes (l’amplitude dépend de laposition x), mais tous les points vibrent avec la même période et en phase.

On remarque que l’amplitude de la vibration résultante s’annule bien en x=l (extrémité fixe).La position x=l est bien entendu toujours un nœud, puisque c’est le point S2 où l’onde seréfléchit une première fois.

Mais en fait, S1 doit aussi toujours être un nœud (pour qu’à la réflexion suivante, après unaller-retour dans le tube, l’onde réfléchie reconstitue l’onde initiale produite en S1. On doitdonc imposer qu’en x=0, on ait toujours un nœud, c’est-à-dire :

sin 2 0 sinl

nπ πλ

= =

Une onde stationnaire ne peut donc exister dans un milieu fini que pour certaines longueursd’onde, et donc certaines fréquences, appelées fréquences propres du milieu.

Pour notre corde, fixe à ses deux extrémités, ces fréquences propres valent :

2n

n

c ncf

lλ= =

où n est un entier et c la célérité des ondes mécaniques dans la corde.

Ce sont les fréquences des ondes sinusoïdales qui peuvent s'établir dans la corde enrespectant les conditions aux limites. On les appelle fréquences propres de vibration de lacorde.

La fréquence propre fondamentale de la corde est :

Les fréquences propres supérieures sont des multiples de la fréquence fondamentale(harmoniques).

Pour chaque fréquence propre fn de la corde, on a donc une onde stationnaire; on parle ausside modes propres de vibration.

1

1

2 2

c Tf

l l µ= =

Remarque :

La condition de fréquence pour obtenir une onde stationnaire dans un milieuunidimensionnel de longueur l peut aussi s’interpréter simplement de la manière suivante :il faut que la longueur d’onde de l’onde λ soit telle le temps de parcours aller-retour del’onde progressive (égal à 2l/c) soit un multiple entier de la période T de l’onde (pourredémarrer un nouveau cycle d’oscillation dans le même état de phase, par un ventre), c’est-à-dire, en formule :

parcours .

2. .

2 .

t n T

ln T n

c c

l n

λ

λ

=

= =

=

Les longueurs d’onde donnant lieu à des ondes stationnaires sont donc données par :

et par conséquent, les fréquences valent bien :

2n

l

nλ =

.

2n

n

c n cf

lλ= =

Voyons où sont situés les nœuds et les ventres de l’onde stationnaire.

Les positions des nœuds s’obtiennent en résolvant l’équation :

sin 2 0 sinn

l xkπ π

λ

−= =

Ils sont donc situés à des distances y=l-x de l’extrémité S2 données par :

Deux nœuds consécutifs sont donc séparés par une distance de λ/2.

2 4

k ky l x k k Zλ

= − = ∀ ∈

De la même manière, les ventres de l’onde stationnaire sont situés à des positions x qui sontsolution de l’équation :

sin 2 sin2

l xk

ππ π

λ

− = +

c’est-à-dire en :

(2 1) 4

k ky l x k k Zλ

= − = + ∀ ∈

Bien sûr, deux ventres consécutifs sont aussi séparés par une distance de λ/2.

Voici les premiers modes normaux de vibration de la corde vibrante, fixée aux deux extrémités :

Modes normaux de vibration d'une corde vibrante

http://www.falstad.com/loadedstring/

3.2.2.b Cas de la corde vibrante, fixée à une seule extrémité

Si la corde n’est fixée qu’à une extrémité, l’autre extrémité est libre et correspond à un ventre,tandis que l’extrémité fixe correspond toujours à un nœud.On trouve après un calcul analogue les fréquences propres et les modes propres suivants :

Seuls sont présent les modes associés aux harmoniques impairs et la fréquence fondamentaleest la moitié de la fréquence fondamentale de la corde fixée aux deux extrémités.

1

1

4 4

c Tf

l l µ= =

( ) ( )2 1

2 1 2 1 1

4 4n

n c n Tf n

l l µ−

− −= = ≥

Remarque :

Cette formule se comprend facilement puisqu’il faut deux allers-retours de l’onde sur lacorde (soit une distance 4l) pour retrouver l’onde dans le même état de phase (maximumpositif, par exemple), mais après une, ou trois, ou cinq périodes d’oscillation complète, c’est-à-dire 4l/c=(2n-1).T, avec n=1,2,3 etc.

Voici les premiers modes normaux de vibration de la corde vibrante, dont une seuleextrémité est fixe :

Pour un tuyau ouvert, l’onde stationnaire est caractérisée par un ventre de vibration à chaqueextrémité ouverte (un ventre de vibration est ici un ventre de vitesse, ce qui signifie que l’airvibre beaucoup, très vite, mais que la pression y est nulle).

Les fréquences propres d’un tuyau ouvert, pour lesquelles la colonne d’air peut produire desondes stationnaires, sont donc données par la même relation que pour la corde vibrante fixéeaux deux extrémités:

2n

n

c ncf

lλ= =

où n est un entier et c la célérité du son dans le tuyau.

La fréquence fondamentale vaut donc :

Les fréquences supérieures appelées harmoniques sont des multiples (pairs et impairs) de lafréquence fondamentale.

3.2.2.c Cas du tuyau sonore ouvert (tube ouvert-ouvert)

On peut effectuer exactement le même genre de raisonnement dans le cas d’une colonned’air, dans laquelle l’air est mis en vibration à une extrémité, toujours ouverte, et dont l’autreextrémité peut-être soit ouverte (on parle alors de tuyau ouvert), soit fermée (tuyau fermé).

avec :1

.c

χ ρ=

1

1 1

2 2 .

cf

l l χ ρ= =

Les modes de vibration d’un tuyau sonore ouvert aux deux extrémités ont la forme suivante(un ventre de vibration signifiant que l’air vibre beaucoup, mais que la pression acoustique estnulle) :

Pour un tuyau fermé, l’onde stationnaire est caractérisée par un ventre de vibration àl’extrémité ouverte et un nœud à l’extrémité fermée.

Les fréquences propres d’un tuyau ouvert, pour lesquelles la colonne d’air peut produire desondes stationnaires, sont donc données par la même relation que pour la corde vibrante libreà une extrémité :

où n est un entier et c la célérité du son dans le tuyau.

La fréquence fondamentale vaut donc :

Les fréquences supérieures appelées harmoniques sont des multiples impairs de la fréquencefondamentale.

3.2.2.d Cas du tuyau sonore fermé (tube ouvert-fermé)

avec :1

.c

χ ρ=( )

2 1

2 1 1

4n

n cf n

l−

−= ≥

1

1 1

4 4 .

cf

l l χ ρ= =

Les modes de vibration d’un tuyau sonore ouvert à une extrémité et fermé à l’autre ont laforme suivante (un ventre de vibration signifiant que l’air vibre beaucoup, mais que lapression acoustique est nulle) :

Les ondes stationnaires sont différentes dans un tube ouvert ou fermé

Tube ouvert-ouvert Tube fermé-ouvert

3.2.2.e explication intuitive des ondes stationnaires dans un tuyau fermé ou ouvert

�Cas du tuyau fermé :

Considérons le déplacement d’une onde progressive plane dans un tuyau ouvert à uneextrémité et fermé à l’autre (tuyau fermé). Lorsque l’onde, issue du côté ouvert du tuyau,arrive contre le fond du tuyau (obstacle solide), l’onde est réfléchie sans changement de signede la pression, suivant le principe d’action-réaction de Newton.

Une compression progressant dans le tuyau reste donc une compression après réflexion. Il enest de même si l’onde progressive était une dépression et non une compression. De plus, uneextrémité fermée correspond alors à un ventre de pression (et donc à un nœud de vibration).

� Cas du tuyau ouvert :

Considérons à présent une onde progressive envoyée dans un tuyau dont l’extrémité est cettefois ouverte (tuyau ouvert). Lorsque, par exemple, une compression arrive au niveau del’orifice, elle sort du tuyau mais crée juste en arrière du trou une brusque dépression qui sepropage alors vers la source. C’est donc comme si l’onde progressive de compression s’´etaitréfléchie dans le milieu, mais en changeant de signe. Le même processus prend place si l’ondeincidente est une dépression. Une extrémité ouverte correspond donc toujours à un nœud depression (et donc à un ventre de vibration).

Ces notions permettent de comprendre comment est déterminée la fréquence propre d’untuyau fermé ou ouvert.

Illustration : ondes stationnaires dans les tuyaux ouvert et fermé

Onde progressive dans un tuyau ouvert

Onde progressive dans un tuyau fermé

Considérons un tuyau fermé, de longueur L. Le raisonnement précédent montre que l’ondeprogressive doit parcourir 4 longueurs du tuyau avant de se retrouver dans les mêmesconditions que les conditions initiales (signe de l’onde, c’est-à-dire surpression ou dépression,et sens de propagation de l’onde ). La période caractéristique d’un tuyau fermé est donc de4L/c, ou c est la vitesse du son dans l’air. Nous obtenons ainsi la fréquence proprefondamentale du tuyau fermé, f1= c/4L.

Pour le tuyau ouvert, le même raisonnement aboutit à la conclusion suivante : l’ondeprogressive doit parcourir 2 longueurs de tuyau pour réaliser un cycle complet, à cause duchangement de signe de la perturbation du côté de l’ouverture et du côté de la source. Lapériode caractéristique d’un tuyau ouvert est donc de 2L/c, ou c est la vitesse du son dans l’air.La fréquence propre fondamentale du tuyau ouvert est donc donnée par f1=c/2L.

Tuyau fermé et ouvert.

Illustration sonore : ondes stationnaires dans une colonne d’air (tuyau fermé)

3.2.3 Ondes stationnaires à deux dimensions

Des surfaces mises en vibration peuvent être le siège d'ondes stationnairesbidimensionnelles.

Par exemple, des plaques métalliques convenablement excitées présentent des points où ledéplacement est maximum (les ventres de vibration) et d'autres où le déplacement est nul(les nœuds de vibrations). Pour visualiser ces points, on saupoudre la plaque vibrante desable.

Le sable est éjecté des régions ou l'amplitude des vibrations est maximale (lignes ventrales)et se rassemble dans les régions où l'amplitude est faible ou nulle (lignes nodales). Onobtient ainsi des figures symétriques appelées figures de Chladni (du nom de Ernst-Florent-Fédéric Chladni (1756-1827), physicien allemand).

Une même plaque peut fournir, selon la façon dont elle est attaquée, des figures de Chladnidistinctes ; chacune d'elles correspond à un mode de vibration et à une fréquence (audible)distincte. Plus il y a de lignes et plus rapprochées elles sont, plus la fréquence est élevée. Onpeut aussi faire varier la figure de Chladni en immobilisant un point de la plaque (entouchant la plaque en ce point), on oblige ainsi une ligne nodale à passer par ce point ouencore en changeant le point d'attaque.Les membranes tendues (tambour, timbale, grosse caisse...) satisfont aux mêmes lois.

Ondes stationnaire sur une plaque rectangulaire excitée par un archet

Ondes stationnaires sur une plaque rectangulaire excitée par un vibreur

De la même manière, pour la table d’harmonie d’un instrument de musique, on peutobserver des ondes stationnaires pour certaines fréquences :

4 Effet DopplerL‘effet Doppler (aussi appelé effet Doppler-Fizeau pour les ondes électromagnétiques) setraduit par un décalage entre la fréquence de l'onde émise par la source et la fréquence del'onde reçue par l’observateur, lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un parrapport à l'autre ; il apparaît aussi lorsque l'onde se réfléchit sur un objet en mouvement parrapport à l'émetteur ou au récepteur, qui joue alors le rôle de source secondaire.

4.1 Description intuitive du phénomène

Soit une source S immobile (représentée envert) qui émet un son de période T, et delongueur d’onde λ=c.T, et un observateurimmobile (représenté en rouge). Si ondessine l’onde émise à intervalles réguliers(par exemple toute les périodes), on faitapparaître des sphères concentriques,centrées sur la source, mais séparées l’unede l’autre par une longueur d’onde. Lors dela réception des ondes par l’observateur, ladistance séparant les fronts d’onde est lamême que lors de l’émission des frontsd’onde par la source : la longueur d’ondereçue (resp. la fréquence reçue) est lamême que la longueur d’onde émise par lasource (resp. la fréquence émise).

4.1.1 Observateur et source immobiles

4.1.2 Observateur immobile et source s’éloignant

Quand la source s’éloigne de l'observateur (point rouge), les fronts d'onde reçus parl’observateur sont plus distants que si la source était immobile : la longueur d'onde reçueaugmente, la fréquence reçue diminue et l'observateur perçoit un son plus grave.

La source (point vert) se déplace vers lagauche avec une vitesse constante

ajustable.A des intervalles de temps égaux, cettesource émet une onde sphérique qui sepropage avec la vitesse c = 340 m/s. Lavitesse de la source est mesurée enunités relatives (la valeur de 10correspond à la célérité du son).

Quand la source se rapproche de l'observateur (point rouge), les fronts d'onde reçus parl’observateur sont plus resserrés que si la source était immobile : la longueur d'onde reçuediminue, la fréquence reçue augmente et l'observateur perçoit un son plus aigu.

La source (point vert) se déplace vers ladroite avec une vitesse constante

ajustable.A des intervalles de temps égaux, cettesource émet une onde sphérique qui sepropage avec la vitesse c = 340 m/s. Lavitesse de la source est mesurée enunités relatives (la valeur de 10correspond à la célérité du son).

4.1.3 Observateur immobile et source approchant

Quand la vitesse du mobile atteint celle de l'onde dans le milieu, il y a une concentration del'énergie vibratoire sur le mobile qui provoque des phénomènes non linéaires complexes(ondes de choc, mur du son).

Cas particulier : la source se déplace à la vitesse du son dans le milieu (écoulement sonique)

La source (point vert) se déplace vers ladroite avec une vitesse constante égale àla célérité du son. La source constitue lesommet d’un cône formé par les frontsd’onde qu’elle entraîne avec elle, c’est lecône de Mach.

On dit ainsi d'un avion qu'il vole à Mach 1si sa vitesse est égale à celle du son(environ 340 m.s-1 ou 1200 km.h-1 dansl’air aux conditions normales), à Mach 2 sisa vitesse correspond à deux fois lavitesse du son, et ainsi de suite. Il estnommé en l'honneur du physicien etphilosophe autrichien Ernst Mach.

4.1.4 Source immobile, observateur mobile

Le point vert représente la source immobile; le rond rouge le récepteur mobile serapprochant ou s'éloignant de la source. La vitesse de déplacement du récepteur est uneconstante. On observer sur les courbes tracées à droite que la période pour le récepteur esten général différente de celle de la source (sauf lorsqu‘e le récepteur est immobile) et leschangements de période lors d'un demi-tour ou au passage par la source (correspondants àla transition « se rapproche »/« s'éloigne »).

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/son/doppler.php

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/son/doppler_explication.php

4.2 Description mathématique générale du phénomène

On peut démontrer que dans le cas le plus général (source et observateur mobiles), lamodification de fréquence entre l’onde émise (de fréquence f) et l’onde reçue (de fréquencef’) est donnée par la relation :

cos'

cos

O O

S S

c Vf f

c V

θ

θ

+=

+

où VO et VS sont les vitesses de la source et del’observateur, et θO et θS les angles orientésformés par les vecteurs vitesses del’observateur et de la source par rapport à ladirection observateur-source OS.

Cette formule est valable tant que les vitesses de la source et de l’observateur sont petitespar rapport à la célérité de l’onde. Elle est aussi non relativiste et ne s’applique donc pastelle quelle aux ondes électromagnétiques.

4.3 Cas particuliers

� si l’observateur O est immobile et que la source S s’approche :

le son est plus aigu.

� si l’observateur O est immobile et que la source S s’éloigne :

le son est plus grave.

� si l’observateur O s’approche de la source S immobile :

le son est plus aigu.

� si l’observateur O s’éloigne de la source S immobile :

le son est plus grave.

10, ' 1 si ; '

1

SO S S

SS

vcv f f f f v c f f

vc v c

c

θ π

= = ⇒ = = ≅ + << > − −

10, 0 ' 1 si ; '

1

SO S S

SS

vcv f f f f v c f f

vc v c

c

θ

= = ⇒ = = ≅ − << < + +

0, 0 ' 1 > ; 'O OS O

c v vv f f f f f f

c cθ

+ = = ⇒ = = + >

0, ' 1 ; 'O OS O

c v vv f f f f f f

c cθ π

− = = ⇒ = = − < <

4.4 Etude théorique de l’effet Doppler

Nous considèrerons le cas général ou la source, notée S, et l'observateur, noté R (récepteur),ont des mouvements indépendants, avec des vitesses respectives VS et VR constantes parrapport au référentiel du laboratoire.4.4.1 Vitesses colinéaires à l’axe source-observateurNous supposons d'abord que les deux vitesses sont colinéaires suivant l'axe joignant lasource à l'observateur. Dans ce cas, les vitesses peuvent ^être représentées par leurs valeursalgébriques VS et VR suivant cet axe

La source S et l'observateur R sont en mouvement suivant un même axe.

Supposons que la source se trouve à l'instant t = 0 a la position S1. A cet instant, l'observateurse trouve a la position R0, telle que S1R0 = l. La source émet à cet instant un signal sonore ouune onde sonore au maximum de son amplitude. La vitesse de l'onde est c. L'onde vaatteindre l'observateur à l'instant t = t1. Mais entretemps l'observateur se sera déplacé d'unedistance R0R1 = VRt1.

La distance parcourue par l'onde est donc :

En tenant compte de la vitesse de l'onde, cette distance est égale aussi a ct1. D'où l‘égalité :

qui nous donne la valeur de t1 :

Au bout d'une période T, la source se trouve à la position S2, telle que S1S2 = VST. A cet instant(t = T) elle émet son deuxième signal où l'onde a sa nouvelle amplitude maximale. L'onde vaatteindre l'observateur à l'instant t2. Entretemps, l'observateur aura parcouru à partir de saposition initiale la distance R0R2 = VRt2. D'autre part, la distance S2R2 est égale à :

Mais la distance S2R2 peut aussi s'exprimer en fonction de la vitesse de l'onde. En tenantcompte de l'intervalle de temps entre l'instant d‘émission de l'onde en S2 (t = T) et l'instantd'arrivée en R2 (t = t2), nous avons :

Nous obtenons ainsi l‘égalité :

d'ou on déduit la valeur de t2 :

Pour l'observateur, la période T’ de l'onde correspond à la différence entre les deux tempsd'enregistrement de l'arrivée de l'onde, c'est-à-dire :

En remplaçant t2 et t1 par leurs expressions, nous trouvons :

La relation entre la période T’ mesurée par l'observateur en mouvement relatif par rapport àla source et la période T de l'onde mesurée dans un référentiel où la source est fixe est ainsi :

En introduisant les fréquences respectives :

nous obtenons aussi la relation entre les fréquences :

Nous constatons que lorsque VS est positif et VR = 0, c'est-à-dire lorsque la source serapproche de l'observateur, ν’>ν, ce qui est conforme aux observations expérimentales :l'observateur enregistre une plus grande fréquence (son plus aigu). Le même effet se produitlorsque l'observateur se rapproche de la source (VR < 0 et VS = 0). En revanche, lorsque VS = VR

on trouve ν’=ν , ce qui s'explique par le fait que le mouvement relatif de l'observateur et dela source est absent dans ce cas, même si les deux ont un mouvement de déplacement parrapport au référentiel fixe du laboratoire. Finalement, il faut noter que les relationsprécédentes sont indépendantes de la distance existant entre la source et l'observateur et nedépendent que de leurs vitesses et de la vitesse de l'onde.

On pourrait s'attendre a ce que l'effet Doppler ne dépende que de la vitesse relative :

de l'observateur et de la source. Or les équations précédentes font état de contributionsdissymétriques de

Ceci est du a la nature différente des deux types de mouvement. Supposons d'abordl'observateur fixe et la source mobile. Une fois l'onde émise par la source, l'observateur voitl'onde arriver avec une vitesse c, puisque l'observateur est fixe dans le référentiel dulaboratoire et c représente justement la vitesse de l'onde dans un référentiel fixe ; le fait quela source a une vitesse au moment de l‘émission de l'onde n'a pas d'influence sur la vitessede propagation de l'onde, qui dépend uniquement des propriétés du milieu, lequel est fixe.

Supposons maintenant la source fixe et l'observateur mobile avec la vitesse VR. Dans ce cas,celui-ci va voir l'onde arriver avec une vitesse c-VR. [Cette formule est obtenue en utilisant laloi de composition des vitesses dans le cas des référentiels mobiles. Puisque l'observateur sedéplace, son référentiel de mesure est mobile par rapport au référentiel fixe et il faut alorstenir compte de la vitesse de déplacement VR du premier par rapport au second.] Ainsi, nousconstatons que les deux types de déplacement ne font pas intervenir des expressionssymétriques de la vitesse de l'onde relativement à

En revanche, la situation est complètement différente pour les ondes électromagnétiques. Lathéorie de l‘électromagnétisme est régie par la théorie de la relativité restreinte (enopposition a la relativité de Galilée utilisée en Mécanique non-relativiste).

Dans cette théorie, les ondes électromagnétiques peuvent se déplacer indépendamment detout milieu matériel.

Dans le vide, leur vitesse de déplacement est égale a c (vitesse de la lumière) dans tous lesréférentiels fixes ou en mouvement avec une vitesse constante. Par conséquent, tous lesobservateurs enregistrent la même vitesse de déplacement de l'onde et une symétriecomplète est établie entre les deux situations source mobile et observateur fixe d'une part etsource fixe et observateur mobile de l'autre. Seul le mouvement relatif entre la source etl'observateur intervient dans ce cas.

4.4.2 Cas généralLes relations précédentes peuvent aussi se généraliser aux cas où les vitesses de la source etde l'observateur ne sont plus colinéaires à l'axe initial S1R0. Supposons que les vecteursvitesses VS et VR fassent des angles respectifs θS et θR avec l'axe S1R0 (voir figure ci-dessous).Nous représentons par n le vecteur unitaire porte par S1R0 et dirige de S1 vers R0. Dans cettesituation, les points S2, R1 et R2 des instants ultérieurs ne se trouvent plus sur l'axe S1R0, maissur les axes définis par les vitesses VS et VR.

La source S et l'observateur R ont des vitesses arbitraires dans l'espace.

La résolution exacte de ce problème est compliquée. Néanmoins elle se simplifie lorsque ladistance initiale entre la source et l'observateur (S1R0) est beaucoup plus grande que lesdistances parcourues par la source et l'observateur pendant des intervalles de temps del'ordre d'une période (T). Dans ce cas, les longueurs S1S2, R0R1 et R0R2 sont très petites devantl. Ceci signifie que les angles :

sont petits.

Remarque : ne pas confondre ces angles avec θS et θR, lesquels sont arbitraires.

Par conséquent, la distance S2R0 peut être remplacée en très bonne approximation par ladistance H2R0, où H2 est la projection de S2 sur l'axe S1R0. De même, les distances S1R1 et S1R2

peuvent être remplacées par leurs projections S1I1 et S1I2 sur l'axe S1R0. A partir de là, on seretrouve dans la même situation que celle vue plus haut lorsque la source et l'observateur sedéplaçaient sur l'axe S1R0. La seule différence reside dans le fait que suivant cet axe ce nesont plus les vitesses entières qui interviennent, mais leurs projections :

et :

Les équations générales de l’effet Doppler deviennent :

Elles représentent les lois de transformation des périodes et des fréquences dans le casgénéral, les quantités primées étant celles mesurées par l'observateur et les quantités nonprimées celles mesurées dans un référentiel où la source et l'observateur sont tous les deuxfixes.

Lorsque les vitesses de la source et de l'observateur sont petites par rapport à la vitesse depropagation de l'onde :

on peut utiliser l'approximation :

et les équations précédentes s‘écrivent :

Dans cette approximation, la symétrie entre source et observateur est rétablie, puisque seuleleur vitesse relative apparaît.

4.5 Illustrations de l’effet Doppler avec des ondes acoustiques

Mise en mouvement d’un diapason Diapason tournant

Klaxon d’une voiture mobile entendu par un observateur extérieur à la voiture et fixe.

Klaxon d’une voiture mobile entendu par un observateur extérieur à la voiture mais mobile en sens inverse.

Klaxon d’une voiture mobile entendu par un observateur intérieur à la voiture.

Annexe 1 : notions de thermodynamique

A1.1 Notions de température, de pression

Un fluide est considéré comme étant en état d'équilibre lorsqu'on constate que toutes lesgrandeurs macroscopiques qui sont utilisées pour la description de son état gardent unevaleur constante au cours du temps. En particulier, on ne constate aucune vitessed'écoulement global d'une partie à l'autre du fluide.

Toutefois, un fluide en état d'équilibre reste le siège d'une agitation microscopique, due aumouvement incessant et désordonné de ses atomes. Ce mouvement est appelé agitationthermique. A cause de ce mouvement, chaque atome possède une certaine énergie cinétiqueEci (i = 1,..., N). L'énergie cinétique moyenne de chaque atome est :

La température du milieu, désignée par T, est une quantité qui représente le degré d'agitationthermique de celui-ci et est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des atomes.

On a ainsi pour les gaz monoatomiques la relation :

où la constante de proportionnalité k est appelée constante de Boltzmann, avec pour valeurk=1,38.10-23 J.K-1. Le nombre multiplicatif 3 dans l‘équation précédente provient des troisdegrés de liberté que possède l'atome au cours de son mouvement dans l'espace.

L'énergie cinétique étant une quantité positive, on déduit de l'équation précédente que latempérature T, appelée aussi température absolue, est une quantité positive ou nulle. Elleatteint sa valeur minimale nulle, appelée aussi zéro absolu, lorsque l'agitation thermique cesse(< Ec >= 0). La relation entre la température absolue, mesurée en kelvin (symbole K), et latempérature conventionnelle, notée ici tC et mesurée en degré Celsius (symbole °C), est :

Ainsi, 0 °C correspond à 273,15 K et le zéro absolu à -273,15 °C.

La relation reliant la température à l’énergie cinétique moyenne nous permet aussi d'obtenirla valeur moyenne du carré de la vitesse des atomes en fonction de la température. Puisque :

m étant la masse de l'atome, on obtient :

A cause de l'agitation thermique, les atomes du fluide viennent constamment percuter lesparois du récipient ou de l'enceinte où est placé le fluide et de ce fait ils exercent une forcecontre celles-ci. On définit la pression du fluide, notée P, comme étant la force exercée parunité de surface ; sous forme infinitésimale, on a la relation :

La pression peut être définie même à l'intérieur du fluide, loin des parois ; en effet on peut àtout instant plonger dans le fluide une surface très mince (afin de ne pas perturber l'état dusystème) et mesurer ainsi la force qui s'exerce sur cette surface placée en un point arbitrairedu fluide.

La pression a la dimension d'une force par surface ou d'une façon équivalente d'une énergiepar volume, c'est à dire d'une densité volumique d'énergie. Elle se mesure en pascal (symbolePa), égal à (1/1,013).10-5 atmosphère (atm).

A1.2 Notion de gaz parfait

L'approximation des gaz parfaits consiste à négliger les interactions et les collisions mutuellesdes constituants du gaz et à traiter le mouvement de chaque particule, considérée commeponctuelle, indépendamment de celui des autres. Dans ces conditions la physique statistiquepermet assez facilement le calcul de diverses valeurs moyennes. En utilisant la définition de lapression, on trouve :

où N est le nombre des atomes et V le volume du gaz. En utilisant l‘équation donnant lamoyenne du carré de la vitesse, on obtient la relation :

qui est appelée équation d'état des gaz parfaits. Cette équation est indépendante de lanature du gaz parfait considéré. En particulier, tous les gaz parfaits, considérés à la mêmetempérature, occupant le même volume et ayant la même pression, contiennent le mêmenombre de molécules; c'est la loi d'Avogadro.

L'équation d'état des gaz parfaits peut être réécrite de diverses manières. On introduitgénéralement le nombre d'Avogadro NAv qui représente le nombre d'atomes contenu dans 12g de 12C, soit NAv= 6, 022.1023. La constante des gaz parfaits R est définie par :

On définit la mole comme étant la quantité de matière d'un gaz correspondant à NAv atomesou molécules. Si N est le nombre total d'atomes, le nombre de moles est alors : nm = N/NAv. Lavaleur numérique de R est : R = 8, 314 J.mol-1.K-1. L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit :

Les conditions normales de température et de pression sont définies comme étant :T=273,15K et P=1 atm=1, 01325.105 Pa. Dans ces conditions, le volume occupé par une moled'un gaz parfait est, d'après l‘équation précédente, Vm=22,4 litres.

Les vitesses moyennes d'agitation thermiques sont alors de l'ordre de quelques centaines demètres par seconde ou plus. Par exemple, on trouve pour l'hélium (masse molaire=4 g) :v*≈1300 m.s-1.

Pour un gaz parfait, on peut définir l’énergie interne comme étant l'énergie cinétique totaledes atomes. Pour un gaz monoatomique on trouve :

L'équation d'état montre que les trois variables P, V et T ne sont pas indépendantes. Deuxd'entre elles seulement sont indépendantes, la troisième étant complètement déterminée parl'équation d'état. Dans ce cas, on peut considérer le volume (par exemple) comme fonctionde la pression et de la température :

Des variations indépendantes de P et de T entraînent des variations de V :

où les indices T et P indiquent que la température et la pression sont respectivementmaintenues constantes.

Considérons maintenant une transformation lente du système, au cours de laquelle latempérature reste constante ; une telle transformation est appelée isotherme ; parconséquent dT = 0 et on déduit de l‘équation précédente :

On définit le coefficient de compressibilité isotherme χT par la relation :

Pour les gaz parfaits, en utilisant l‘équation des gaz parfaits, on trouve :

ce qui nous donne :

Nous notons que χT n'est pas une constante.

A1.3 Notion de chaleur, de travail

Une autre quantité importante apparaissant en thermodynamique est la chaleur. Ellereprésente une forme d'énergie de rayonnement électromagnétique de faible fréquence,appelée aussi énergie thermique ou calorifique, transférée d'un système à un autre et quireste souvent partiellement ou totalement irrécupérable. Des exemples d'énergie thermiquesont donnés par les phénomènes de chauffage, de frottement d'objets, de freinage, d'effetJoule dans les circuits électriques, etc. Le transfert de chaleur fait varier l'énergie interne d'unsystème. La variation infinitésimale correspondante sera désignée par δQ (comptéepositivement pour l'énergie reçue).

D'autre part, la dilatation de volume du gaz permet aussi d'effectuer un travail mécanique, enpoussant par exemple une cloison mobile. Le travail fourni par le système pour undéplacement infinitésimal dl d'une surface dS est égal à :

où nous avons utilisé la définition de la pression.

En désignant par δW le travail infinitésimal algébrique reçu par le système, nous avons :

Ainsi δW est négatif lorsque le volume du gaz augmente. Cette équation reste aussi valable(algébriquement) lorsque le gaz est comprimé sous l'effet d'une force extérieure (parl'intermédiaire d'un piston par exemple) ; δW est alors positif.

A1.4 Transformations réversibles et irréversibles

L'équation précédente est en fait valable uniquement lorsque la transformation considérée estréversible, c'est-à-dire constituée d'une succession d'états d'équilibre infiniment voisins ; dansce cas, la pression interne du gaz est contrebalancée à chaque instant par la pression externeexercée sur la cloison mobile et celle-ci a un mouvement avec une vitesse presque constante,généralement faible et négligeable devant la vitesse moyenne d'agitation thermique.

Une transformation qui ne remplit pas cette condition est appelée irréversible. Dans un tel casla pression exercée à chaque instant sur la cloison mobile n'est pas égale à la pressiond'équilibre du gaz.

Une transformation réversible a la propriété d'être inversible, en ce sens qu'en empruntant lechemin inverse de la transformation, on peut faire repasser le système et le milieu extérieurpar tous les états antérieurs.

La variation (algébrique) de l'énergie interne du gaz est ainsi égale, au cours d'unetransformation infinitésimale réversible, à la somme de la quantité de chaleur et du travailreçus par le système :

[Remarque : Nous avons désigné les variations infinitésimales du travail et de la chaleur pardes symboles commençant par δ et non par d, pour souligner le fait qu'elles ne représententpas des différentielles totales ou exactes. Il n'existe pas de fonctions explicites appelées travailet chaleur dont les quantités précédentes seraient les différentielles totales.]

A1.5 Notion d’entropie

Lorsqu'un système isolé ne se trouve pas dans un état d'équilibre, il subit des transformationsirréversibles jusqu'à ce qu'un état d'équilibre soit atteint, à partir duquel il restemacroscopiquement inchangé. Pour décrire les transformations irréversibles il est nécessaired'introduire une nouvelle quantité, appelée entropie, notée S, qui est définie sous formeinfinitésimale par la relation :

valable pour toutes les transformations réversibles ou irréversibles.

On montre en physique statistique que lorsqu'un système isolé subit des transformationsirréversibles, il tend à évoluer vers une configuration possédant la probabilitéthermodynamique maximale de réalisation. Lors d'une telle évolution l'entropie du systèmeaugmente. L'équilibre n'est atteint que lorsque l'entropie atteint sa valeur maximale. Parexemple, un système initialement hors d'équilibre, dans lequel la pression et la densité desparticules varient d'un point à l'autre, laissé isolé, évolue vers un état d'équilibre où ellesseront les mêmes partout.

Lorsqu'une transformation est réversible, avec échange de chaleur avec le milieu extérieur, onpeut utiliser les deux équations précédentes pour trouver :

A1.6 Transformation adiabatique ou isentropique

Une transformation est appelée adiabatique lorsque le système n'échange pas de chaleuravec le milieu extérieur. On a dans ce cas δQ = 0. Si en outre la transformation est réversible,l‘équation précédente implique dS = 0. Une telle transformation est donc aussi appeléeisentropique.

On montre que lors d'une transformation isentropique, la pression et le volume d'un gazparfait évoluent suivant l'équation :

appelée loi de Laplace, où γ est une constante calculable. Pour un gaz monoatomique, γ =5/3, et pour un gaz diatomique, γ = 7/5.

Au lieu de décrire l'état du système par la pression et la température, on peut aussi la décrirepar la pression et l'entropie. Dans ce cas, le volume V du système sera fonction de P et de S :

Pour des variations indépendantes de P et de S, on aura :

Lorsque la variation est isentropique, dS = 0 et on obtient :

On définit le coefficient de compressibilité isentropique χs par la relation :

Pour un gaz parfait, on trouve d'après l‘équation :

ce qui donne pour χs :

qui est à comparer au coefficient de compressibilité isotherme χs.