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Act5120 UQM

Chapitre 1: Rappel de la statistique mathmatique

UQM - Chapitre 1. Page 1 de 93

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Plan de lexpos

Introduction

Lestimation ponctuelle de paramtres.

Diffrentes mthodes destimation.

Ltude sur la qualit des estimateurs.

Lestimation par intervalle de confiance.

Les tests dhypothses.

Exemples et exercices.


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IntroductionPourquoi faut-il un cours sur le modle de survie? La rponse est relativementsimple: parce que les donnes qui servent modliser la dure de vie dunindividu ou dun item donn ou, de faon plus gnrale, le temps avant quunvnement bien dfini (par exemple dcs, divorce, gurison, rechute, faillite,panne, emploi, etc), se produise sont souvent incompltes ( i.e. les donnes sontcensures ou tronques). Comme nous voulons effectuer des analysesstatistiques partir de ces donnes, il faut modifier les modles et mthodes

"traditionnels" afin quils puissent composer avec la censure ou la troncation.


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Commenons avec quelques notions de bases, survenant assez frquemment enpratique, pour saisir le rle appliqu de la thorie destimation, une composanteimportante de la thorie de linfrence statistique.

Pour faire de lestimation dun paramtre, disons , au niveau de la population,et de rpondre des questions, survenant assez frquemment en pratique, noussupposons que chaque membre de la population en question possde uncaractre observable X, que la connaissance de X(pour un ou plusieurs

lments) nous donnera de linformation sur , et enfin que la rpartition (deslments par rapport aux valeurs possibles) de Xdpend du paramtre .Donc, il sagit dobserver un certain nombre de fois, disons n fois, ce caractreXet extraire linformation sur ce paramtre en question.


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Plus formellement, nous supposons lexistence dune variable alatoire X(caractre observable) dont la distribution de probabilit F(x|) (i.e.rpartition des lments par rapport aux valeurs possibles de X) dpend deparamtre. Nous reposons le problme destimation de sur nobservations

indpendantes sur X, autrement dit sur n variables alatoires indpendantesX1, X2, , Xn suivant une loi identique celle de X. En langage statistique(ou probabiliste) lorsquon parle dun chantillon alatoire de taille nsur unevariable alatoire X F(x|)on sous-entend n variable alatoire

X1, X2, , Xn i.i.d. X (oui.i.d. F(x|)).


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Pour obtenir des rsultats prcis et intressants, nous faisons un certain nombredhypothses lies lexprience effectue sur la loi commune F(x|)desvariables X1, X2, , Xn de lchantillon.

Nous restreindrons notre tude, dans les chapitres 12 et 15, la statistique dite

paramtrique. Dans cette approche, les diffrentes lois considres possibles apriori pour les variables Xi sont dans la famille paramtrique, cest dire danslensemble{F(x|)} de lois de probabilits sur. Nous chercherons alors dterminer une fonction de rpartition F(x|) qui est en accord avec lesdonnes et estimer le paramtre inconnu . Nous tudierons les cas o lesdonnes sont compltes et individuelles, groupes, tronques ou censures.

Lorsquon ignore la forme spcifique de la loi inconnue F(x|) et quon na pasde bonnes raisons pour supposer quelle appartienne telle ou telle familleparamtrique, nous aborderons alors, dans les chapitres 13 et 14, lanalysestatistique de ces modles dite non paramtrique.


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Une statistique

Une statistique (ou une rgle de calcul) calcule partir dun chantillonalatoire ou dune exprience randomise est une variable alatoire. On appelledistribution dchantillonnage la loi de probabilit dune statistique.

Exemples:

Moyenne chantillonnale: T1 = 1nn

i=1 Xi =X

Variance chantillonnale: T2 = 1n1

ni=1(Xi

X)2 =S2

Fonction de rpartition chantillonnale:T3 =

1n

(Nombres dobservations pour lesquelles Xi x) =Fn(x) Statistique dordre n: T4 =M ax{X1, X2, , Xn} =X(n)

Statistique dordre 1: T5 =M in{X1, X2, , Xn} =X(1) tendue chantillonnale: T6 =X(n) X(1)


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Chaque ralisation x1, x2, , xn de lchantillon alatoire X1, X2, , Xn,quon appelle les donnes statistiques ou observations, produit une valeur dechacune des statistiques. Par exemple, les donnes 4,3; 2,2; 2,7; 2,8 produirontles valeurs X= 3, S2 = 0, 82, F4(2, 3) = 0, 25.

Le traitement thorique dun problme dinfrence portant sur une populationX F(x|)consiste choisir une statistique approprie (par exemple,X , S2 , Fn(x) etc.) et associer chaque valeur de la statistique choisie unedcision propos du paramtre. Ladcisionpeut prendre diffrentes formes,trois desquelles seront traites ici:

1. Estimation ponctuelle: On peut dcider que le paramtre a telle ou tellevaleur.

2. Estimation par intervalle: On peut dcider que le paramtre se trouvevraisemblablement dans tel ou tel intervalle.

3. Test dhypothses: On peut dcider que la valeur du paramtre est ounest pas gale un nombre fix davance.


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Lestimation ponctuelleconsiste trouver unestimateur dun paramtreinconnu , cest--dire, une statistique dont les valeurs auraient tendance, en uncertain sens, sapprocher du paramtre. Par exemple, la moyennearithmtique

(X1, X2, , Xn) =Xest gnralement utilise comme

estimation de lesprance mathmatique des variables X1, X2,

, Xn, et la

variance chantillonnale2(X1, X2, , Xn) =S2 est utilise commeestimation de leur variance.

Lestimation par intervalle de confianceconsiste dterminer deux bornes et, toutes deux fonctions des observations, et affirmer que le paramtre se situeentre ces deux bornes. Une telle affirmation peut, bien sr, tre errone, maisles bornes sont dtermines de faon que la probabilit derreur soit faible.

Un test dhypothseconsiste dterminer une rgle pour dcider quand unehypothse H0 concernant un paramtre doit tre rejete. Par exemple, RejeterlhypothseH0 que = 10si X >14, 3est une rgle, ouun test statistique.


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Estimation ponctuelle

Toute statistique T =T(X1, X2, , Xn)utilise pour faire une estimationdun paramtre est appele estimateur de et note

(X1, X2, , Xn).

Dans certains cas, le choix dun estimateur est naturel et intuitif: nous

estimons la moyenne dune population par la moyenne Xde lchantillon; etnous estimons une probabilit de succs par la proportion de succs danslchantillon. Mais il nous faut des critres objectifs pour choisir un estimateur,car parfois

1) plusieurs estimateurs semblent aussinaturels lun que lautre;2) aucun estimateur ne se prsente lesprit comme particulirement naturel;

3) certains estimateurs peuvent sembler naturels alors que dautres sont enfait meilleurs. Un exemple du dernier est le cas dune variance 2.

Lestimateur le plus naturel premire vue est

S2 = 1

n

ni=1

(Xi X)2 ;

mais il se trouve que lestimateur S2 est en un certain sens prfrable.


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Lestimateur et lestimation

Rsumons, un estimateur(X1, X2, , Xn)est une entit alatoire et uneestimation de

(x1, x2, , xn)est une entit fixe quon obtient en utilisant les

donnes(x1, x2,

, xn)sur (X1, X2,

, Xn). Lequel faut-il juger,

lestimateur ou lestimation?Nous savons que cest lestimateur qui produit lestimation, donc il fautsinterroger sur les qualits de lestimateur. tant donne quun estimateur estune variable alatoire, on ne peut porter de jugement sur ses qualits et ses

dfauts quen terme probabiliste et/ou frquentiste.La thorie destimation ponctuelle suggre des techniques destimation avecleur heuristique (mthode des moindres carrs, vraisemblance maximum,mthodes des moments, etc...) et propose des proprits objectives (meilleurque, sans biais, convergent, efficace, asymptotiquement...,etc...) quon pourraitsouhaiter pour un estimateur.


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Au niveau mathmatique, les qualits quon souhaite dun estimateur(X1, X2, , Xn)et ceci pour tout , sont traduites par: E

= ;

E ou E 2 est petit ; quand n , il faut bien sr prciser aussi le mode de

convergence ;

E 2 0quand n ;

n / en loi vers N(0, 1) ; etc...


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Biais

Lebiais dun estimateur(X1, , Xn) pour le paramtre est la diffrenceentre la valeur moyenne de

(X1, , Xn) et quon dsigne parB

,alors

B =E(X1, , Xn) On peut aussi voirB comme la valeur moyenne de lerreur .Remarque: Les variables X1, X2, , Xn suivent une loi identique qui dpendde . videment, la valeur moyenne de va dpendre de et n. Soit

=, n .Ainsi lebiais de dpend aussi de et n;

B = B, n .


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Un estimateur est ditesans biaispour si sonbiaisest identiquement nul i.e.B, n =E = 0,

ou galement, si sa valeur moyenne est identiquement gale , cest--dire

E = .

Il est diteasymptotiquement sans biais si

B, n 0 lorsque n


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Exemple 1.

Soient X1, X2,

, Xn un n-chantillon de loi fx|(, ) Xest un estimateur sans biais pour .

2 = 1n

ni=1(X1 )2 est un estimateur sans biais pour 2.

2 = 1n ni=1(X1 X)2 est un estimateur biais pour 2. Le biais de cetestimateur:B2 = 2/n.On remarque que le biais est ngatif, ce quimontre que lestimateur2

est infrieur la vraie valeur du paramtre 2

en moyenne.


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Exemple 2. (plus pratique!)

Une caisse populaire aimerait connatre le nombre moyen de transactions faites un guichet automatique par ses clients. La recherche de cette informationimplique certains cots, et on prfre utiliser un chantillon plutt que depasser en revue le dossier de tous les clients. Nous allons supposer que:

Cette caisse populaire na que 5 clients (N= 5) Lchantillon alatoire simple sera form de deux clients (n= 2) que nous

identifierons leur numro de compte (de 1 5).Numro du compte Nombre de transactions

1 15

2 18

3 22

4 25

5 10

= 1

N

i

yi = 18 ; 2 =

1

N

i

(yi )2 = 27, 6.


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chantillons de taille 2La liste de tous les chantillons possibles de taille 2:

(15,18) (15,22) (15,25) (15,10) (18,22)

(18,25) (18,10) (22,25) (22,10) (25,10)

La moyenne de tous les chantillons possibles de taille 2:

y1=16,5 y2 =18,5 y3 =20 y4 =12,5 y5 =20

y6=21,5 y7=14 y8=23,5 y9=16 y10=17,5

On peut rsumer la distribution de la moyenne chantillonnale de Y dans latableau suivant:

Y = y 12,5 14 16 16,5 17,5 18,5 20 21,5 23,5

pY

(y) 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 2/10 1/10 1/10

Lesprance mathmatique de notre estimateur de la moyenne est:

E() = E(Y) = y

ypY(y)

= 12, 5 1

10+ 14

1

10+ + 23, 5

1

10= 18

Yest donc un estimateur sans biais de.


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Exemple 3.

Supposons une population avec fonction de densit ou de probabilit

f(x | ) = 1

ex/ , x >0

0 sinon

o est un paramtre positif inconnu. Comme E(X) =, on peut estimer ceparamtre par:

=X= 13 (X1+ X2+ X3)o X1, X2, X3 (disons dun chantillon de taille 3) sont i.i.d. X. LestimateurXest sans biais pour .

Proposons un autre estimateur de , disons Y = Mdiane(X1, X2, X3). Est-il

sans biais pour , c--d. E(Y| ) =?


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Solution:Trouvons dabord la densit de Y, fY(y), comme E(Y | ) =

y fY(y)dy et utilisons le fait

que fY(y) = ddy

FY(y), nous commenons par FY(y):

FY(y) = Pr[Y y] = Pr[Mdiane (X1, X2, X3) y]

= Pr[X1, X2, X3 y] + Pr[X1, X2 y, X3 > y]

+ Pr[X1, X3 y, X2 > y]

+ Pr[X2, X3 y, X1 > y]

= F3X (y) + 3 F2X (y) (1 FX (y)) comme Xisont i.i.d. FX

=

(1 ey/ )3 + 3(1 ey/ )2ey/ si y > 0

0 si y 0

de faite que

FX (y) =

y

fX (x)dx =

y0

1

ex/ dx = ex/y

0= 1 ey/ si y > 0

0 si y 0


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La fonction de densit fY(y) de Y est donc:

fY(y) =

ddy FY(y) = . . . = 6 [e2y/ e3y/ ], y > 0

0 si y 0

finalement:

E(Y | ) =

0 y6

[e2y/ e3y/ ]dy

= 3

0

y2

e2y/ dy 2

0

y3

e3y/ dy

= 3/2 2/3 =5

6=

Alors la mdiane est un estimateur biais pour , si X1, X2, X3 sont i.i.d. de loi Exp (). Le biaisest

BY = E(Y | ) =5

6 =

6


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Exemple 4.

Supposons que X1, X2, , Xn sont i.i.d. U(0, ), o > 0 c--d.

fX

(x | ) = 1

si 0 < x <

0 sinon

Montrons que n = Max(X1, . . . , Xn) est asymptotiquement sans biais pour .

Solutions:

Il faut montrer que

limn

E(n | ) = limn

y fn

(y)dy =

o la densit de la variable alatoire n est fn(y) = d

dyF

n(y) avec F

n(y) est la fonction de

rpartition de n.

Fn

(y) = Pr[n y] = Pr[max(X1, X2 , Xn) y]

= Pr[X1 y, X2 y, , Xn y]

= Pr[X1 y] Pr[X2 y] Pr[Xn y] comme X1, X2, . . . , Xn sont indpendants

= (FX (y))n comme X1, X2, . . . , Xn sont i.i.d. FX.


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Comme

FX (y) = Pr(X y) =

y

fX (x)dx

=

0 si y < 0

y

01

dy = y

si 0 < y <

1 si y >

Alors

Fn

(y) =

0 si y < 0y

nsi 0 y

1 si y >

et par consquent:

fn

(y) =d

dyF

n(y) =

0 si y < 0

nyn1

n si 0 y

0 si y >


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ce qui implique enfin:

E(n | ) =

0

y

nyn1n

dy = nn

0

yndy

=n

n

yn+1

n+ 1

0 =

n n+1

n(n+ 1)

= n

n+ 1

On voit que n est biais:

E(n | ) = ,

mais asymptotiquement sans biais:

limn

E(n | ) = limn

n

n+ 1

= .


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Estimateur convergent

Lestimateur

(X1, X2, , Xn) tant une fonction de lchantillon, il est fonction de la taille de

lchantillon et ainsi on a une suite de variables alatoires n, n = 1, 2, . On peut alorsparler de convergence en probabilit dun estimateur vers la valeur du paramtre cest--dire den vers la constante .On dit alors quun estimateurn du paramtre est convergent si > 0,

limn

Pr

n

>

= 0

et on noten Pr .

En mots, un estimateur convergent scarte du paramtre avec une faible probabilit, si la taillede lchantillon est assez grande.

Lexemple de base destimateur convergent est la moyenne empirique Xn. La loi faible des grandsnombres affirme que Xn est un estimateur convergent de lesprance de X.


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Puisque la convergence est vers une constante, on peut utiliser le critre dfini suivant:

Si

E

n

et V ar

n

0

alors n Pr .

Ce rsultat est beaucoup plus simple dmontrer que la convergence en probabilit selon ladfinition. Par contre si ce critre ne fonctionne pas, il ne faut pas conclure que lestimateur nest

pas convergent puisque ce sont uniquement des conditions suffisantes. On peut interprter lecritre de convergence en probabilit comme tant le fait que si la taille de lchantillon est assezgrande alors la valeur sera suffisamment prs du paramtre.

Pour la preuve de ce critre, utilisez lingalit de Chebychev.

Exemples: Soit X un caractre tudi tel que E (X) = , V ar (X) = 2 alors

i. X est un estimateur convergent pour

ii. S2 = 1n

Xi

2 est un estimateur convergent pour 2iii. S2 est un estimateur convergent pour 2


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Un exempleSoit X1, X2 , Xn un chantillon de variable alatoire dont la densit

f(x | ) =

x1 , si 0 < x < 1

0 sinon

o est un paramtre positif inconnu. Montrer que X1X

est un estimateur convergent pour .

Solution: Pour tout c > 0,

E(Xc) = 10

xcx1 dx = x+c +c

10

=

+c.

En particulier, en prenant c = 1 puis c = 2, on obtient:

E(X) =

+ 1, E(X

2) =

+ 2, et V ar(X) =

( + 1)2( + 2).

Nous dduisons alors pour la moyenne dchantillon X:

E(X) = +1

.

V ar(X) = n(+1)2(+2)

qui 0 quand n + .

X est un estimateur convergent pour

+ 1.


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La suite de la solution de cet exemple est base sur la proposition suivante:

Soit n un estimateur convergent du paramtre , et une fonction de R dans R, continue au

point . Alors ((n)) est un estimateur convergent de ().

Une application simple de cette proposition: Considrons comme modle la loi uniforme sur [0, ],o le paramtre est inconnu. La moyenne empirique Xn est un estimateur convergent de

lesprance de la loi, qui vaut /2. Donc n = 2Xn est un estimateur convergent de .

Revenons notre exemple prcdent et considrons la fonction h(y) = y1y

. Cette fonction est

continue en tout point de y = 1. Comme X est un estimateur convergent pour +1

, il sensuit

que h(X) est un estimateur convergent pour h( +1 ) si +1 = 1. Il ne reste plus qu observer

que h(X) = X1X

, que

h(

1 + ) =

1+

1 1+

=

et que la condition

1+ = 1 est satisfaite car > 0.


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Prcision dun estimateur

La proprit que la moyenne de lentit alatoire

soil gale (ou que la

moyenne de lerreur soit gale zro) est certainement dsirable du pointde vue de lestimation, car tout autre chose tant gale, on va certainement

prfrer un estimateur sans biais un autre qui ne le serait pas.

Cependant, la valeur moyenne nest pas une bonne mesure de lerreur delestimation car les erreurs positives jouent contre les erreurs ngatives dans lecalcul de la moyenne. Donc, part le biais, il faut aussi tenir compte de lavaleur moyenne de

ou de

2. Nous allons opter pour la deuximecar la fonction valeur absolue nest pas plaisante du point de vue du calcul

analytique.


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Erreur quadratique moyenne

On appelleerreur quadratique moyennede lestimateur

par rapport au

paramtreest la valeur moyenne de 2 quon dsigne parEQM; alors

EQM =E 2

Remarque 1. La variance V ar(

)dun estimateur est un critre important dans

la mesure o il caractrise la dispersion des valeurs de dans lespace des

chantillons possibles. Toutefois il sagit de la dispersion autour de lamoyenne E()et non pas autour de . Pour prendre en compte lcart parrapport on introduit alors ce critre derreur quadratique moyenne

Remarque 2. Lorsque

constitue un estimateur sans biais de , son erreur

quadratique moyenne est gale sa variance.Remarque 3. Lerreur quadratique moyenne peut se dcomposer alors sous la

forme:

EQM

=V ar

+ B2


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Remarque 4. Lapplication des deux premiers critres peut mener un conflitpuisquun estimateur biais peut avoir un cart quadratique moyen pluspetit quun estimateur non biais. Par exemple, si on considre uncaractre lune loi normale de moyenne et de variance 2, on peutconsidrer deux estimateurs de 2 bass sur un chantillon de taille n :

S2 = 1

n 1ni=1

Xi X

2et S2 =

1

n

ni=1

Xi X

2On peut montrer que E

S2

=2 et que V ar

S2

= 24/ (n 1)ce qui

implique que EQM2 S2 = 24/ (n 1).Dun autre ct, on a S2 = (n 1) S2/ncest--dire que

E

S2

= n 1

n 2 et V ar

S2

= 2 (n 1)

n2 4

et ainsi

EQM2 S2 = 2n 1n2 4Selon le critre 1, lestimateur S2 est meilleur que S2 et selon le critre 2,S2 est meilleur que S2. La diffrence est minime et on prfre partradition utiliser S2 comme estimateur.


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Remarque 5. En adaptant ce critre deEQMpour juger de la prcision dun

estimateur, le problme est de chercher le meilleur estimateur au sens dece critre, ce qui nous conduit la dfinition suivante:

Soient1 et2 deux estimateurs du paramtre , on dit que1 domine(ou plus prcis) que

2 si

EQM(1) EQM(2) .Pour lexemple prcdent, S2 est plus efficace que S2:

EQM(S2) EQM(S2) = 3n 1(n 1)n2

4

qui est toujours positif.

Un estimateur qui est sans biais pour est dit donc variance minimalesi pour tout autre estimateur

sans biais pour on a

V ar() V ar() .On souhaite alors de trouver parmi les estimateurs sans biais dunparamtre celui dont la variance est la plus faible. Il sagit l dunestimateur sans biais de variance minimale.


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Exemple 1:

Soit X1, X2 , Xn un chantillon de variable alatoire de loi de bernoullide paramtre inconnu . Considrons comme estimateur de :

= 0.5. Il

est biais car pour tout , E() = 0.5 =. De plusEQM() = E(0.5 )2

= (0.5 )2

Cet estimateur est le meilleur selon le critre de lEQM lorsque =0,5 carlerreur quadratique moyenne au point 0,5 est nul. Par contre, cet EQMaugmente quand sloigne de 0,5.

RemarquezEQM0() =EQM1()=0,25.


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Exemple 2:

X = nombre de clients le samedi dans un supermarch, X P(). Laralisation dun chantillon de taille 7 donne:

501, 522, 475, 526, 481, 498, 506

Nous proposons comme estimateur de :1 =x= 501.3 ou, commeE(X) =V ar(X) =, lestimateur

2 =s2 = 362.6.

Les deux sont des estimateurs sans biais et nous retiendrons plutt la

premire estimation. En effet

V ar(1)V ar(

2)

= 2

n n

2

2(n 1)4 = n

2(n 1) 1 ,

1 est donc plus prcis que2


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Exemple 3: Soit estimer le paramtre pdune loi de Bernoulli (ou en

situation pratique, une proportion ppar sondage dans une population).Soit X le total (ou leffectif) empirique de succs observe. Montrons quesi pest au voisinage de 1/2la statistique

p1 =

X+ 1

n + 2

est prfrable au sens de EQM la proportion empirique naturellep2 =X/npour estimer p.Comme Xest de loiB(n, p), on a E(

p2) =pet

EQM(p2) =V ar(p2) = p(1 p)n

.

Pour lestimateurp1, on aE(p1) =

np + 1

n + 2

et V ar(p1) = np(1 p)

(n + 2)2

do

EQM(

p1) =

np(1 p)(n + 2)2

+np + 1

n + 2p

2=

(1 2p)2 + np(1 p)(n + 2)2

.


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En faisant le rapport de cette EQMpar rapport celle dep2, on obtientn

(n + 2)2

n +

(1 2p)2p(1 p)

Or pour p= 1/2ceci veut dire que n2

/(n + 1)

2

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Exemple 4: la page 18, nous avons vu que 1 = Xet 2 = 65Y sont tous

deux estimateurs sans biais pour o Y =Mdiane(X1, X2, X3) avecX1, X2, X3 sont i.i.d. de loi exponentielle de paramtre . De ce quiprcde:

EQM(

1) =V ar(X) =

1

3V ar(Xi) =

1

3 2 .

De mme

EQM(2) = V ar(2) =E(22) E2(2)= E

6

5Y

2 2 =

6

5

2 E(Y2) 2

= 6

5

2 19

182 2 = 0, 52 2 ,

comme

E(Y2) =

0

y2fY(y)dy=

0

y2 6 (e2y/ e3y/)dy= = 1918 2 .

1 est donc plus prcis que

2.


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Exemple 5: Supposons que X1, X2, , Xn sont i.i.d. X U(0, ), o >0.

Comparez les EQM de 1 = 2

X,

2 =

n+1

n X(n),et 3 =X(n) pourestimer .

Rappelons que EQM() =V ar(| ) + B2(), E(X) = 2

et

V ar(X) =

2

12 . Alors:E(1) = 2E(X) = 1 est sans biais pour .

E(2) = E

n + 1

n X(n)

=2 est de mme sans biais pour .

E(3) = E(X(n)) = n

n + 1 E(2) =

n

n + 1 3 est biais pour

dont le biais est:B3

= n

n + 1 =

n + 1.

Donc:

EQM(1) = V ar(1| )

= 4V ar(X)

n=

2

3n.


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De mme: EQM(2) =V ar(2| ) =E(22| ) 2 o

E(22| ) = E n + 1

n Y2 | = n + 1

n

2E(Y2 | )

= n + 1n 2

0

y

2 nyn1

n dy

=

n + 1

n

2 nyn+2nn + 2

0

=n + 1

n

2 n2n + 2

= (n + 1)22

n(n + 2) .

Ce qui donne:

EQM(2) = (n + 1)22

n(n + 2) 2 =

2

n(n + 2).


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Et enfin lerreur quadratique moyenne pour lestimateur 3 est:

EQM(3) = V ar(3| ) + (E(3| ) )2

= V ar n

n + 12

| +

2

(n + 1)2

= n2

(n + 1)2

2

n(n + 2)

+

2(n + 2)

(n + 1)2(n + 2)

= 2

(2n + 2)(n + 1)2(n + 2)

= 22

(n + 1)(n + 2).


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Remarques: Pour n = 1

1 = 2X1 2 = 2X

3 = X1

EQM (i ) 2

32

32

33 a un biais mais une variance plus petite pour compenser.

Pour n = 2

1 = X1 +X2 2 =

32

max(X1, X2) 3 = max(X1, X2)

EQM (i) 2

62

82

6

2 est un estimateur plus prcis que 1 et 3.

Pour n 3

1 = 2X 2 =

n+1n X(n)

3 = X(n)

EQM (i ) 2

3n2

n(n+2)22

(n+1)(n+2)

2 est un estimateur plus prcis que1 et

3, en effet:

2

n(n + 2)< 22

(n+ 1)(n + 2)< 2

3n.


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Estimation par intervalle

Un estimateur donne une valeur unique comme estimation, et cette valeur apeu de chance de concider avec celle du paramtre. Un statisticien qui, avecun chantillon de botes de conserves, obtient le poids moyen 7,50 onces,

donnera cette valeur comme estimation de la moyenne de la population. Cestla meilleure estimation que lui fournissent ses donnes, mais laffirmation lamoyenne de la population est de 7,50est presque certainement fausse. Uneaffirmation du genre la moyenne de la population se trouve entre 7,25 et 7,75,qui est une affirmation plus faible que la prcdente, a plus de chance dtrevraie. Lestimation par intervalle de confiance consiste entourer dunintervalle(I, S)la valeur de lestimateur et affirmer plutt se trouve dans(I, S). On peut alors choisir Iet Sde telle sorte que la probabilit que cetteproposition soit vraie soit assez leve.

Le but de lestimation par intervalle est de fournir la prcision duneestimation par un intervalle - lintervalle de confiance - auquel on peutassocier une probabilit fixe lavance de contenir la vraie valeur.


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Dfinition: Un intervalle de confiance de niveau100(1 )% pour leparamtre est un intervalle alatoire de bornes I(X1, . . . , X n) et

S(X1, . . . , X n) tel quePr

(I, S) 1 . 0<

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Intervalle de confiance pour

Si X1, X2, . . . , X n sonti.i.d. Xde moyenne alors la distribution de estapproximativementN(, )par le thorme central limite.Pour construire un intervalle de confiance de niveau 100(1

)%, il faut trouver

lepoint critique suprieur z de la distribution normale standardtel que:

P(Z z) = 2

o Z N(0, 1) .

En choisissant alors le point critique z(/2) de cette faon, on obtient

Prz/2

z/2 = 1 et les manipulations donnent

Pr z/2 + z/2 = 1 donc lintervalle

z/2 ; + z/2

contient avec probabilit 100(1 )%o P(z(/2) Z z(/2)) = 1 .


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Remarque 1:

Lcart-type de lestimateur

=

V ar()est fonction de , disons

(),

alors si la solution des ingalits

z/2

() z/2

savre trop complexe, on remplace

() par

()et lintervalle est alors z/2() ; + z/2()

Voir lexemple 1 la page 54 et lexemple 3 la page 58.


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Remarque 2:

Lintervalle de confiance nest pas unique. Dans lexemple prcdant il tait

possible de poser Prz(3/4) z(/4) = 1 au dpart et dedduire lintervalle

z(3/4) ; + z(/4)

qui est unI.C.respectant la dfinition. Il est plus raisonnable de partager lerisque en deux parties gales mais non obligatoire.


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Intervalle de confiance pour une moyenne

On va considrer le cas dobservations provenant dune distribution F(x|, )o la variance est connue, un cas simple mais peu raliste. On fait a afin de seconcentrer sur le raisonnement derrire linfrence statistique.

Si X1, X2, . . . , X n sonti.i.d. X N(, )alors X N(,/n).Si X1, X2, . . . , X n sonti.i.d. Xde moyenne et dcart type alors ladistribution de Xest approximativementN(,/n)par le thorme centrallimite.

Un intervalle de confiance de niveau1 pour estx z/2

n

oz/2 est le point critique suprieur/2 de la distribution normale standard.

Cet intervalle est exact si la distribution de la population est normale etapproximativement correct si nest grand dans les autres cas.


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Remarque: I.C. pour la moyenne: cas de inconnu

Soit X1, X2, . . . , X n i.i.d. F(x|, ). Alors lintervalle de confiance avec connu est bas sur le fait que:

X /

n

N(0, 1) .

Si est inconnu, il faut le remplacer par s, lcart type de lchantillon.

Note: Lcart type de la distribution de Xest: X =/n. On lestime pars/

n quon appelle lerreur standard(standard deviation vs standard error).


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Considrons

T = X

s/

n .

On a vu que si nest grand, Tsuit approximativement une loiN(0, 1) . En fait,est distribu selon une distribution t avecn

1 degrs de libert.

Les ailes de ces distributions sont plus lourdes que celles de la normalestandard. Ceci implique que les quantiles suprieurs dune tn sont plusgrands que ceux duneN(0, 1).

Une loi de Student est symtrique par rapport 0, sa moyenne est 0 et sa

variance est n/(n 2)pour n >2.

Un intervalle de confiance de niveau1 pour est:

x t s

no t, note aussi tn1;/2, est le point critique suprieur/2 dune t(n 1),soitP(T > t) =/2 oT t(n 1).


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I.C. et la mthode de la fonction pivot

Nous introduisons maintenant la mthode de la fonction pivot qui permet dersoudre la plus part des cas classiques de la construction des intervalles deconfiance.

Dfinition: Une fonctionpv(X1, X2, Xn|) est appele fonction pivot si:1. la loi depv(X1, X2, Xn|) est connue et ne dpend pas de.

2. pour tous rels u1 etu2 tels queu1 u2 et tout(x1, x2, xn), la doubleingalitu1 pv(x1, x2, xn|) u2

peut se rsoudre ou pivoter en selon:

t1(x1, x2, xn) t2(x1, x2, xn).


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Lexistence dune fonction pivot assure une procdure dintervalle de confiancede niveau donne quelconque.

En effet, il suffit de choisir, sur la loi connue, des quantiles u1 et u2 tels que:

Pr u1 pv(x1, x2, xn| u2) = 1 puis de faire pivoterpour encadrer . Cest ce qui a t effectu pourlintervalle de confiance pour la moyenne inconnue pour une populationnormale de variance connue.


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Exemple 1: Soient X1, X2, Xniid

Exp(), la fonctionpv(X1, X2, Xn|) =X

est un pivot.

Exemple 2: Soient X1, X2, Xniid

N(, ), si connu, la fonction

pv(X1, X2, Xn|) = X /

n

est un pivot.

Si est inconnu (voir le prochain chapitre), la fonction

pv(X1, X2, Xn|) = X s/

n

et la fonction

pv(X1, X2, Xn|) = S2

2

sont des pivots.


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Un exemple

Soit X1, X2, . . . , X n un chantillon de taille n dune population de fonction dedensit

f(x) = 1

x(1

) pour 0< x 0 .

a. Montrer que Yi = ln(Xi)est de loi exponentielleb. Concluez que = 1

n

ni=1 ln(Xi)est un estimateur sans biais de

c. Dterminer la variance ded. Si n= 1et la seule observation est X1 = 0, 25, dterminer un intervalle deconfiance 90% pour . (Considrez Y =Y1/ comme pivot).

e. Soit Y =X(n). Montrer que Z=Yn/ est de loi uniforme sur (0; 1).

Utiliser ce fait pour dterminer un intervalle de confiance 90% pour

tant donn lchantillon suivant:0, 3 0, 5 0, 12 0, 15 0, 17 0, 21 0, 32 0, 45 0, 68 0, 78 0, 85


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f. Utiliser le fait que = 111

i=1 ln(1/Xi)est de loi gamma de paramtres= 11 et = 1 pour dterminer un intervalle de confiance 90% pour

tant donn lchantillon ene. Voici quelques valeurs de la fonction derpartitionF(x)dune loi gamma de paramtres = 11 et = 1:

x 0, 01 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20 0, 80 0, 85 0, 90 0, 95 0, 99

F(x) 4, 77 6, 17 7, 02 7, 64 8, 16 13, 65 14, 41 15, 41 16, 96 20, 14

h. Utiliser le fait que

= 1

11i=1 ln(1/Xi)est peu prs de loi normale pour

dterminer un intervalle de confiance 90% pour tant donnlchantillon ene.


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Exemple 1: I.C. approximatif pour p dans une population binomiale

On considre un caractre Xde loi Bin (1, p), on veut un I.C.pour leparamtrepbas sur un chantillon de taille n. On se base sur la statistique

p= 1n ni=1 Xi cest--dire la proportion de succs observe dans lchantillon.On sait par leT.C.L.que

n p p

p (1 p) N(0, 1)

On utilise la relation

Pr

z/2

n p p

p (1 p) z/2

1


t i lI C A i l ti bti t

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pour construire lI.C.Aprs manipulations, on obtient

Pr(p p)2p (1 p) n z

2/2 1

Pr

(

p p)2 n z2/2p (1 p)

1

Prp2 2pp +p2 n z2/2 p p2 0 1 Pr

np2 2pn + z2/2p + n + z2/2p2 0 1 On a une quation du second degr qui est ngative lorsque pest entre les deuxracines puisque 2pn + z

2/2

est toujours positif. Les racines de cette quations

sont

r1 =

1

2

n + z2/2

2

pn + z2/2+

4

pnz2

/2+ z4

/2 4z2

/2n

p2

,

r2 = 12 n + z2/2

2pn + z2/2 4pnz2/2+ z4/2 4z2/2np2


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Cela veut dire que Pr(r1 p r2) 1 et lI.C.est

p

2

pn + z2

/2

4

pnz2

/2(1

p) + z4

/2

2n + z2/2

Cet intervalle est assez difficile valuer mais on peut simplifier en utilisant lastatistique

n

p pp (1 p)

qui est approximativement N(0, 1). LIC est alors donn par

p

p z/2

p (1

p)

n


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Exemple 2: Intervalle de confiance pour 2

dans une population normale

On utilise la statistique(n 1) S2

2 2n1

pour construire lIC. La relation de base est

Pr

2n1;1/2

(n 1) S22

2n1;/2

= 1

et lIC est

2 (n 1) S22n1;/2

; (n 1) S22n1;1/2

Remarque: La taille de lchantillon a une influence sur la longueur de

lintervalle de confiance : si la taille augmente alors lI.C.

a une longueur quidiminue. On appelle prcision la demi longueur de lintervalle de confiancelorsque ce dernier est symtrique par rapport la statistique. On utilise laprcision pour dterminer une taille dchantillon.


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Exemple 3: I.C. approximatif pour dans une population dune variablealatoire poissonienne.

Soit X1, X2, . . . , X n un chantillon de taille n dune population de fonction de

probabilit p(x) = xe

x!

. En se basant sur la statistique = 1nni=1 Xi,E(X) =, V ar(X) =/n et enfin sur le pivot correspondant:Pr

z/2

X

/n

z/2 1 ,

nous pivotons(!) pour dduire unI.C. 100(1 )%comme suit:1 = Pr[|X | z/2

/n]

= Pr

(X )2 z2/2

n= Pr

2

2X+ z2/2

1

n

+ X2 0


soit encore

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soit encore

= Pr 2X+ z2/2 1n2X+ z2/2 1n

2

4X22

= Pr X+ z2/22n z/22n z2/2+ 4nXqui donne comme I.C. 100(1 )% pour :

x +z2/2

2n z/2

2n

z2/2

+ 4nx .

Une deuxime mthode alternative pour cet intervalle est, comme V ar() = n

,

de lestimer parV ar() =n = Xn, ce qui dduit comme I.C. 100(1 )%pour:

x z/2

x

n


T t dh th

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Tests dhypothses

La thorie des tests dhypothses est quivalente celle de lestimation par intervallede confiance. Nous tentons de dcider si les donnes confirment ou contredisent uneopinion a priori concernant la valeur dun paramtre de la population. Voici desexemples:

situation bernouillinne: Un organisme anticipe que la proportion p desindividus dune population(trs grande) possdant une certaine particularit(fumeurs. protestants. chmeurs etc) est suprieure 1/2, (ou une valeur p0dintrt particulier).

situation poissonnienne: Un chercheur postule que le taux de ralisationdun vnement (nombre moyen de naissances par jour, nombre moyen decollisions par semaine, nombre moyen dappels par heure pour un servicetlphonique, etc) est infrieur 4 (ou une valeur 0 dintrt particulier).

La valeur moyenne dun certain caractre X (poids, taille, temps dattente

entre deux appels ou deux accidents) soumis des perturbations des auhazard est infrieure ou gale 0

Une compagnie nonce que la dure moyenne de vie des pneus, dune certainemarque, est au moins 20,000 milles


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Un agronome se demande si lemploi dun nouvel engrais produirait une rcoltede bl plus leve compare un engrais employ frquemment par des fermiers.

Une compagnie dassurance veut sassurer, avant la mise en march dunenouvelle police dassurance, que les individus gs de 50 ans vivent en moyenne15 ans de plus.

Une association de mdecins veut confirmer quune nouvelle piluleanticonception- nelle, mise en march par une compagnie pharmaceutique, estau moins scure 99%.

Un chercheur prtend que la relation entre deux caractres X et Y est linairesauf pour une perturbation alatoire de moyenne zro et de variance 2:Y = + X +

Une quipe de recherche postule quil ny a pas de diffrence significative entreles rcoltes moyennes de tabac par acre obtenues par quatre mthodes

diffrente dirrigations utilises dans un pays; elle postule de plus quil ny apas dinteraction significative entre diffrents types dengrais et diffrents typedirrigation,


Dfinitions:

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fi

Unehypothse statistiqueest un nonc (une affirmation) concernant lescaractristiques (valeurs des paramtres, forme de la distribution desobservations etc.) dune population.

Un test dhypothse(ou test statistique) est une dmarche qui a pour but de

fournir une rgle de dcision permettant, sur la base de rsultats dchantillon,de faire un choix entre deux hypothses statistiques.

Lhypothseselon laquelle on fixe priori un paramtre de la population unevaleur particulire sappelle lhypothse nulleet est note H0. Le test est fait

pour mesurer la force de linformation contreH0. Elle est habituellement sousla forme dun nonc reprsentant aucun effet ou aucune diffrence.

Nimporte quelle autre hypothse qui diffre de lhypothse H0 sappellelhypothse alternative(ou contre-hypothse) et est note Ha. Lnonc

reprsentant ce quon pense tre la ralit si H0 nest pas satisfaite.

Note: Cest lhypothse nulle qui est soumise au test et toute la dmarche dutest seffectue en considrant cette hypothse comme vraie.


Axiomatique: Nous traitons seulement de situations pour lesquelles une et une

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seule des hypothses H0 et Ha est vraie. Par consquent le rejet de lhypothseH0 entrainerait implicitement lacceptation de Ha et vice versa.

Problmatique et modlisation: Une vrification sans erreur dune hypothseconcernant une population est impossible moins quon observe la populationentire. Or nous cherchons une thorie rationnelle pour trouver de bons critres

de dcision qui, dpendant dun nombre fini dobservations de la population,peuvent conduire aumeilleur choix possible entreH0 etHa.

Nous supposons donc quil existe une caractristique numrique X, observablechez chaque lment de la population et que la rpartition de Xdpend dun

paramtre, Xsuit une loi f(x|). Nous supposons aussi que lensemble Hdesvaleurs admissibles pour est connu, et la connaissance exacte de conduit la vraie hypothse H0 ou Ha. Donc nous postulons que le problme H0 versusHa divise lespace paramtrique en deux parties non vides H0 et Ha:

H0Ha = HH0Ha = et H0 : H0Ha : Ha


nonc du problme: Nous avons notre disposition une variable alatoire X

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p pqui suit une loi f(x

|)dont le paramtre est inconnu; on sait cependant que

H. Nous avons deux hypothses complmentaires concernant la valeur :

H0 : H0Ha : Ha

.

Comme exemple: on sintresse au taux de polluant dans la fabrication dunecomposante lectronique. Supposons que le taux acceptable est de 75 p.p.m.(parties par million), on sintresse au paramtre qui donne le taux moyen,lhypothse nulle est H0 : 75 et lalternative est Ha : >75.

Nous avons donc choisir entre deux actions complmentaires: d0 :rejeter H0et d1 :rejeter H1. Pour guider notre choix nous observons nfois la variable X.Nous devons prendre soit laction d0 soit laction d1 en se basant surlchantillon alatoire X1, X2, . . . , X n.

Le critre de la dcision: Par lexemple qui suit, nous tudions pas pas cecritre et nous dfinissons le langage correspondant.


Exemple 1

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Exemple 1.

Un manufacturier de gouttes optomtriques met sur le march une nouvellesolution dans des bouteilles de 30 mlpour lesquelles il prtend quil y a enmoyenne 5ml dun certain produit chimiqueAdans chaque bouteille.Toutefois, on suspecte quil pourrait y avoir plus de 5 mlpar bouteille, ce quiserait dangereux pour les yeux. Par exprience du processus de fabrication, onsait que la quantit du produit chimique dans une bouteille de 30 mlestdistribue selon une loi normale de moyenne 5 ml(si on met la quantitannonce) et un cart type de 2,1 ml. Si on en met trop, alors la moyenne

devrait tre plus grande que 5 ml.

On prend donc un chantillon de 15 bouteilles et on mesure la quantit duproduit chimiqueAdans chacune dentre elles. On obtient la quantit moyennede produit chimique pour les 15 bouteilles: x= 6, 2. Est ce une indicationsuffisante quon met une trop grande quantit du produit chimiqueAdans lesbouteilles?


Suite

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Suite...

Question: Si on met la bonne quantit, alors = 5 ml. Quelle est laprobabilit que la moyenne de 15 observations sous cette hypothse donne unrsultat au moins aussi lev que la valeur observe, soit 6,2 ml?

Rponse(voir la page 10 ci-dessous): Si on met vraiment 5 ml par bouteille enmoyenne, alors la probabilit est de 0,013.

Conclusion: Puisque cette probabilit est faible (en moyenne 1,3% deschantillons de taille 15 donneraient des rsultats plus levs que a si onmettait5 mlpar bouteille) on a une bonne indication que le manufacturier metune trop grande quantit du produit chimique

A.


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Notes: Nous savions lavance(avant de voir les donnes) que sil tait pour y

avoir un problme, alors >5. Si la moyenne tait moins que 5, ce neserait pas dangereux pour les yeux.

Le test est bas sur une statistique qui estime le paramtre dans H0.LorsqueH0 est vraie, on sattend ce que la valeur de lestimateur soitproche de celle spcifie par H0.

Des valeurs estimes loignes de la valeur du paramtre dans H0 sont uneindication lencontre de H0. Lhypothse alternative dtermine ladirection qui va lencontre de H0.

Les hypothses sont donc:

H0 : 5. Cest la quantit indique sur ltiquette.Ha : >5. Ce quon pense tre la ralit siH0 nest pas satisfaite


Seuil de signification empirique

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Seuil de signification empirique

La probabilit,calcule en faisant lhypothse queH0 soit vraie, que lastatistique de test est au moins aussi extrme que la valeur observe sappelle leseuil de signification empiriquedu test ouP-valeur.

Plus cette valeur est petite, moins H0 semble plausible la lumire des donnes.

Exemple du produit chimique: Soit X1, X2 Xn i.i.d.N(, = 2.1). Nousobservonsx = 6, 2.

H0 := 5 v.s. H a : > 5La P-valeurdu test est donc

P(X 6.2|H0 : = 5) = P

X 0/

n

6.2 52.1/

15

= P(Z

2.22)

= 0, 0132

o la variable alatoire Z=

n(X 0)/ est de loi normale standard, du fait quela loi de la statistique du test, X, est une loi normaleN(x = 5, x = 2.1/

15).


Signification statistique

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S g fi q

Dans notre dmarche, nous allons tablir des rgles de dcision qui vont nousconduire lacceptation ou au rejet de lhypothse nulle H0. Toutefois cettedcision est fonde sur une information partielle, les rsultats dun chantillon.Il est donc statistiquement impossible de prendre la bonne dcision coup sr.

En pratique, on met en oeuvre une dmarche qui nous permettrait, longterme de rejeter tort une hypothse nulle vraie dans une faible proportion decas. La conclusion qui sera dduite des rsultats de lchantillon aura uncaractre probabiliste: on ne pourra prendre une dcision quen ayantconscience quil y a un certain risque quelle soit errone. Ce risque nous estdonn parle seuil de signification du test.

Le seuil de signification du test est la mesure statistique qui indique laprobabilit avec laquelle on est dispos risquer de commettre lerreur derejeter tort lhypothse nulle.

Ce risque, consenti donc lavance et que nous notons , snonce enprobabilit ainsi:

=P(rejeter H0| H0 vraie) .


Rgion critique

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g q

Aprs avoir tablir lhypothse nulle, le seuil de signification du test , lanature de la statistique (ou de la variable observe Xde la population) utiliser, il sagit maintenant de determiner la (ou les ) valeur(s) critique(s) de lastatistique du test. Il peut y avoir une ou deux de ces valeurs selon le test est

unilatral ou bilatral. Cest cette valeur critique qui donne(nt) la valeur de lavariable statistique partir de laquelle on rejettera lhypothse nulle.

Largion critique(appele galement rgion de rejet) dun test est lensembledes valeurs de lchantillon pour lesquels on rejette lhypothse nulle, on dit

que cest la rgion de rejet de lhypothse nulle associ au test statistique.Laire de cette rgion correspond la probabilit . Si par exemple, on choisit= 0.05, cela signifie que lon admet davance que la variable dchantillonnagepeut prendre, dans 5% des cas, une valeur se situant dans la zone de rejet deH0, bien que H0 soit vraie et ceci uniquement daprs le hasard de

lchantillonnage.

Sur la distribution dchantillonnage correspondra aussi une rgioncomplmentaire, dite rgion dacceptationde H0 (ou rgion de non-rejet) deprobabilit 1 .


Dans lexemple de produit chimique et sous lhypothse H0, la loi de lastatistique du test X est une loi normale ( = 5 = 2 1/

15)

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statistique du test, X, est une loi normale

N(x = 5, x = 2.1/

15).

Schma de dcision: Il sagit de reprsenter graphiquement le seuil designification du test et la rgion de rejet de H0 et de dterminer la valeurcritique pour X sous H0:

la rgion de rejet de lhypothse H0 au seuil de risque 5% est [5, 891; +[.


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Exemple 3.

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Un standardiste prtend quil reoit en moyenne 2 appels par minutes. Lepatron voudrait dmontrer que le nombre dappels par minute est infrieur 2.Pour ce faire, il procde de la faon (peu recommandable) suivante. unmoment alatoire de la journe, il entre chez le standardiste et attend larrivedu prochain appel. Il note son temps dattente: 3 minutes. A-t-il lvidencequil faut pour dclarer que le nombre moyen dappels est infrieur 2?Formulez une hypothse et une alternative et trouver une rgion critique detaille = 0, 05?.

Solution: Soit X le temps dattente. On suppose que X Exp(). Soit lenombre moyen dappels par minute. On veut tester H0 := 2contreHa : 1/2. On rejetteH0 si{X C}o Cdoit satisfaire P(X C| = 1/2) = 0, 05.

P(X C| = 12

) =exp(2C) = 0, 05 C= 12

ln(0, 05) = 1, 479.

Donc on rejette H0 si X 1, 479. Puisque X= 3, 5% de risque derreur, onrejette H0 et on conclut que

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Test pour le paramtre dune variable de loi de Poisson: Un dfaut dans lafabrication des bouteilles se prsente sous la forme de minuscules bulles dans leverre. Le nombre moyen de bulles dans le verre des bouteilles fabriques par

une certaine compagnie est sens tre de 3 par bouteille si le processus est bienrgl. On dcide de prlever une bouteille au hasard pour tester lhypothseque le procd est bien rgl, cest--dire, H0 := 3. Si la bouteille contient 8bulles, doit-on rejeter H0 5% de risque derreur?

Solution: Si limportant est de dtecter un procd pour lequel est tropgrand, cest dire si on pose Ha : >3, on rejettera alors H0 := 3 lorsqueX Co Xest le nombre de boules dans une bouteille et Cdoit satisfaire laP(X C| H0 := 3) 5%.


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On calcule donc P(X C| = 3)pour diverses valeurs de C, jusqu ce quontrouve la plus petite valeur qui satisfait P(X C| = 3) 5%(la loi deXest uneP(= 3)).

C 5 6 7 8 9 10P(X C| = 3) 0,1847 0,0839 0,0335 0,0119 0,0038 0,0011

On choisira donc comme point critique C= 7 et la rgion critique est{X 7}(la taille de cette rgion critique est 0,0335). La rgion critique{X 6}neserait pas acceptable car

P(X 6|= 3) = 0, 0839 0, 05 .

X= 8 se trouve dans le rgion critique, on doit alors rejeter H0 5% de risquederreur.


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Une faon moins onreuse deffectuer ce test consiste dterminer laP-valeurau point X = 8, sans ncessairement dterminer le point critique. On a trouvque P(X 8|= 3) = 0, 0119; et puisque P-valeur< 0,05, on rejette alors cetest 5% derreur (voir le graphique suivant.)


Remarques...

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1. Les seuils de signification les plus utilises sont = 0.05 et = 0.01, dpendantdes consequences de rejeter tort lhypothse H0.

2. La P-valeurest le plus petit niveau auquel les donnes sont significatives.

3. La P-valeurcontient plus dinformation que le rsultat dun test avec niveaude signification fixe. Si un rsultat est significatif au niveau 5%, lest-il auniveau 1%?

4. Si la P-valeurest infrieure ou gale , le rsultat du test est considrestatistiquement significative au niveau .

5. Un test dhypothse bilatral de niveau rejette lhypothse H0 : =0 si etseulement si lintervalle de confiance de niveau 1 pour ne contient pas .

6. tapes dun test

noncer les hypothses nulle et alternative.

(Optionnel) Spcifier le niveau de signification.

Calculer la valeur de la statistique de test.

Calculer la P-valeurpour les donnes observes. Si elle est plus petite que, le rsultat est significatif au niveau .


Test dhypothses et dcision

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Lorsquon confronte deux hypothses statistiques laide dun test, on doitconsidrer quil y a la ralit (la valeur relle du paramtre) et la dcision quiest prise. Cela mne deux types derreurs:

Si lhypothse H0 est fausse, on aimerait rejeter H0 le plus souvent possible. Laprobabilit quun test de niveau fixe rejette H0 lorsquune alternativeparticulire est vraie sappelle la puissance du test envers cette alternative.

La probabilit dune erreur de type Iest le niveau de signification et laprobabilit dune erreur de type II, note aussi par , pour une alternativeparticulire est 1 moins sa puissance.


Dans lexemple de produit chimique: Les hypotheses confronter taient

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p p q yp

H0 := 5versus Ha : >5. Supposons quon veut calculer la puissance duntest de niveau 5% pour lalternative Ha := 5, 5.Puisquon fait le test auniveau 5% et que P(Z >1, 645) = 0, 05, alors on rejette H0 lorsque

X

5.89, (la rgion critique)

cest dire P(X 5, 89|H0) = 0, 05 .

Lapuissance du testest donc

P(X 5, 89|Ha := 5, 5) = P( X 5, 52.1/

15

5, 89 5, 52.1/

15

)

= P(Z 0, 904)= 0, 1736 .


Illustration

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Densit de la moyenne sous H0 et Ha


Remarques

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Le risque de premire espce est choisi priori. Toutefois le risque dedeuxime espce dpend de lhypothse alternative Ha et on ne peut lecalculer que si on spcifie des valeurs particulires du paramtre danslhypothse Ha que lon suppose vraie.

Pour un mme risque et une mme taille dchantillon n, on constateque, si lcart entre la valeur du paramtre pose en H0 et celle supposedans lhypothse vraie Ha augmente, le risque diminue.

Une rduction du risque de premire espce (de = 0.05 = 0.01parexemple) largit la zone dacceptation de H0. Toutefois, le test estaccompagne dune augmentation du risque de deuxime espce . On nepeut donc diminuer lun des risques quen consentant augmenter lautre.

Pour une valeur fixe de et un dtermin, laugmentation de la tailledchantillon aura pour effet de donner une meilleure prcision puisqueX =/

n diminue. La zone dacceptation de H0 sera alors plus

restreinte, conduisant une diminution du risque . Le test est alors pluspuissant.


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Plus lhypothse alternative sloigne de H0, plus la puissance augmente.Si tout le reste demeure fixe, on peut augmenter la puissance dun test enaugmentant la taille de lchantillon.

Considrons lexemple prcdent, on a vu quon rejet H0 := 5 lorsque

X 5 + 1, 645 2.1/15ou de faon gnrale si X 0+ z /npourun test unilatrale droite de niveau : H0 :=0 v.s. H a : > 0.

La puissance pour Ha :=a devient

(a) = PX 0+ z /

n |

Ha := a= P

X a/

n

0+ z /

n a/

n

= PZ z+0 a

/n Cette fonction de puissance (a)( cest aussi1 (a) ) est unefonction croissante en a > m0 et en net dcroissante en .


Exemple 2.

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Pour tester lhypothse H0 :p= 0, 4. On prlve des observations une unejusqu ce quon ait un succs. Soit Xle nombre dessais effectus.

a. Montrer que X

6est une rgion critique de niveau 10% .

Solution: X G(p) etP(X 6|p= 0, 4) = (1 0, 4)5 = 0, 077760, 10.

La rgion critique{X 5} ne serait pas acceptable car

P(X 5|p = 0, 4) = (1 0, 4)4

= 0, 12960, 10 .

b. Dterminer la puissance de ce test au point p= 0, 3.

Solution: La fonction de puissance est

(pa) =P(X 6|p=pa) = (1 pa)5.

au point pa = 0, 3, la puissance du test est: (0, 3) = 0, 16807.


c. Une autre approche consiste tirer des observations jusqu ce quon aitdeux succs. Si Yest le nombre dessais effectu considrons la rgion

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critique{Y :Y > C}. Pour quelle valeur de Ca-t-on un test de niveau10%? Dterminez la puissance de ce test au point p= 0, 3. Lequel desdeux tests est meilleur?

Solution: Ici X BN(n = 2, p= 0, 4) et on cherche P(X C|p = 0, 4), orcette probabilit est la mme que la probabilit que les

C premiers essais

donnent 0 ou 1 succs: cest dire: P(Y < 2|p= 0, 4) oY B(n=C, p = 0, 4). Soit alors

P(X C|p=p0) =C

0

p00(1 p0)C +

C1

p10(1 p0)C1

Partant de petites valeurs de C, on sarrte la premire pour laquelle 0, 10. On trouve que P(X > 8|p = 0, 4) = 0, 106 etP(X > 9|p= 0, 4) = 0, 0705. La rgion critique sera donc{Y >9}.

La fonction de puissance est

(pa) = P(X > 9

|p= pa)

= (1 pa)9 + 9pa(1 pa)8

= 0, 196 pour pa = 0, 3

Ce deuxime test est nettement plus puissant.


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d. Une troisime approche consiste choisir un nombre fixe dobservations.Supposons quon prlve un chantillon de taille n= 13. Si Zest lenombre de succs, considrons la rgion critique{z :z C}. Pour quellevaleur de Ca-t-on un test de niveau 10%? Comment ce test compare-t-ilaux deux premiers?

Solution: Z B(n= 13;p), et

P(Z 3|p = 0, 4) = 0, 169 et P(Z 2|p= 0, 4) = 0, 057 .

La rgion critique sera donc{Z 9}. De mme, la puissance du test aupoint p= 0, 3 est

(0, 3) = P(Z 2|p= 0, 3)

=13

0

(0, 3)0(0, 7)13 +

131

(0, 3)1(0, 7)12 +

132

(0, 3)2(0, 7)11

= 0, 202 .

Puissance suprieure encore celle des deux premiers, malgr une rgion

critique de taille infrieure.


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e. Remarquez quavec le test en (a), il ne sera jamais ncessaire de traiterplus de 5 patients. Ainsi la comparaison avec le test en (d) qui utilise 13patients, est injuste. Reprenez le test avec n= 5.

Solution: Soit W le nombre de succs en 5 essais. On rejette H0 si

{W0}; la taille de cette rgion critique estP(W 0|p = 0, 4) = (1 p)5 = (1 0, 4)5 = 0, 07776 .

La fonction de puissance est (p) = (1 p)5. Soit (0, 3) = 0, 16807 . Ce testest donc identique au premier.


Test pourdune normale avec connue

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Soit X1, X2, . . . , X n i.i.d.N(, )avec lcart type connu. Considronslhypothse nulle

H0 :=0 .

Sous cette hypothse, X N(0, /n), lavaleur de la statistique de testestz =

x 0/

n

(1)

et Za une distribution normale standard. Donc la P-valeurde H0 v.s.

Ha : > 0 est P(Z > z)

Ha : < 0 est P(Z < z)

Ha : =0 est 2P(Z > |z|)

o Z N(0, 1)et z est donne par (1).CesP-valeurssont exactes si les Xi sont normales et approximativementcorrectes lorsque nest grand si la loi des Xi nest pas normale.


Exemple

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Le National Center for Health Statistics rapporte que la moyenne de la pressionsystolique pour les cadres masculins de 35-44 ans est de 128 avec un cart typede 15. Le directeur mdical dune compagnie se rend compte que pour les 72

cadres dans ce groupe dge de sa compagnie, x= 126, 07. Est-ce suffisant pourconclure que la pression artrielle systolique moyenne dans la compagnie diffrede la moyenne nationale?

Les hypothses sont H0 := 128 versus Ha : = 128. La statistique de test apour valeur

z = x 0

/

n =

126, 07 12815/

72

= 1, 09 .

LaP-valeurest 2P(Z > | 1, 09|) = 0, 2758, donc on na pas beaucoupdinformation lencontre de H0

Note: Les donnes ne dmontrent pas que la moyenne est de 128. Tout au plus,on peut dire que les donnes ne contredisent pas H0. Mais on na pas dmontrque H0 est vraie.


Test avec niveau de signification fixe

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LaP-valeurde certains tests nest pas toujours facile calculer. Parfois ondtermine lavance leniveau de signification. Pour ce faire, on doit dterminerlargion critique, soit les valeurs de Zpour lesquelles on va rejeter H0.

Pour tester H0 :=0 lorsque X1, X2, . . . , X n i.i.d.N(, )avec lcarttype connu, on calcule la valeur de la statistique de test

z = x 0

/

n .

On rejette H0 auniveau de signification contre lhypothse unilatrale

Ha : > 0 si z > z

ou Ha : < 0 si z < z

o z est le point critique suprieur de niveau .Si lalternative est bilatrale, Ha : =0, alors on rejette H0 lorsque|z| > z/2 o z/2 est le point critique suprieur de niveau /2.


Exemple

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Test SAT dadmission luniversit. Le pointage typique la partie mathmatiquede cet examen est habituellement de 475. La distribution du pointage est normaleavec un cart type de 100. Mais comme ce nest quune minorit des finissants dusecondaire qui font lexamen, quelquun fait le commentaire suivant: Si tous les

finissants du secondaire faisaient lexamen, la moyenne ne dpasserait pas 450.Afin de vrifier cette hypothse, on fait une exprience. On prend un E.A.S. de 500finissants de la Californie et la moyenne de leur pointage est de x = 461. Y a-t-ilsuffisamment dvidence pour rejeter lhypothse que la moyenne ne dpasse pas450?

On fait le test au niveau 1%. Les hypothses sont H0 := 450 versus Ha : > 450.On obtient

z = x 0

/

n=

461 450100/

500

= 2, 46 .

Parce que lhypothse Ha est unilatrale, on rejette H0 si z est suprieur au point

critique. Puisque P(Z >2, 326) = 0.01, dans notre cas, z = 2, 46> 2, 326et onrejette alors H0 au niveau 1%.

Notez que la P-valeurest P(Z > 2, 326) = 0, 0069

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Soit X1, X2, . . . , X n i.i.d.N(, )avec lcart type inconnu. Considronslhypothse nulle

H0 :=0 .

Sous cette hypothse, T = n(X 0)/s t(n 1), lavaleur de la statistiquede testest

t= x 0

s/

n . (2)

Donc laP-valeurde H0 v.s.

Ha : > 0 est P(T > t)

Ha : < 0 est P(T < t)

Ha : =0 est 2P(T > |t|)

o T t(n 1)et test donne par (2).CesP-valeurssont exactes si les Xi sont normales et approximativementcorrectes lorsque nest grand si la loi des Xi nest pas normale.


Test avec niveau de signification fixe

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Si on dtermine lavance le niveau de signification, on dtermine alors largion critique, soit les valeurs de T o T t(n 1)pour lesquelles on varejeter H0.

Pour tester H0 :=0 lorsque X1, X2, . . . , X n i.i.d.N(, )avec lcarttype inconnu, on calcule la valeur de la statistique de test

t= x 0

s/

n .

On rejette H0 auniveau de signification contre lhypothse unilatrale

Ha : > 0 si t > t

ou Ha : < 0 si t < t

o t est le point critique suprieur de niveau dune t(n 1).Si lalternative est bilatrale, Ha : =0, alors on rejette H0 lorsque|t| > t/2o t/2 est le point critique suprieur de niveau /2.


Test pour une proportion

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Soitpla proportion de succs dans un E.A.S.de taille ndune population o laprobabilit de succs est p(ou encore X B(n, p)etp=X/n). On a vu dansun des chapitres que si n est grand, la distribution de

pest approximativement

N(p,p(1 p)/n).

Pour faire de linfrence, on a besoin destimer lcart type. Pour testerH0 :p=p0, on peut alors utiliser

p0(1 p0)/n(puisque si p=p0 alors

V ar(

p) =p(1 p)/n =p0(1 p0)/n). La statistique du test est:

Z= p p0p0(1 p0)/n (3)LaP-valeurapproximative de H0 v.s.

Ha : p > p0 est P(Z > z)

Ha : p < p0 est P(Z < z)

Ha : p =p0 est 2P(Z > |z|)o Z N(0, 1)et z est donne par (3).


Chap01.5120

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