1

CHỦ ĐỀ 12. ĐA THỨC. CỘNG TRỪ ĐA THỨC

A. Lý thuyết

1. Khái niệm đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa

thức đó. Người ta thường dùng các chữ cái in hoa đặt tên cho các đa thức như A; B; C; P; Q…

Ví dụ 1: 2 2 312 5

2A x xy x y y= − + − là một đa thức.

Các hạng tử của đa thức A là: 2 2 312 ; ; 5 ;

2x xy x y y− −

Chú ý: Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.

2. Thu gọn đa thức

Đưa đa thức về dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng).

• Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

• Bước 2: Cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.

Ví dụ: Thu gọn đa thức

3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó

Ví dụ: Đa thức P = x6 - 2y5 + x4y5 + 1 có bậc là 9

Chú ý:

2

+ Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.

+ Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

Ví dụ : Thu gọn đa thức và tìm bậc của đa thức đó

= − + − + − +5 2 5 2 1P 3xy x y 7xy 3xy 3x y xy 1

2

Lời giải:

Ta có: = − + − + − +5 2 5 2 1P 3xy x y 7xy 3xy 3x y xy 1

2

( ) ( ) = − + − + + − +

5 5 2 2 13xy 3xy x y 3x y 7xy xy 1

2

= + +2 132x y xy 1

2

Bậc của đa thức thu gọn là 3

4. Cộng, trừ đa thức.

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm như sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng.

• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Ví dụ 1: Cộng hai đa thức M = 5x2y + 5x + 3 và N = xyz - 4x2y + 5x - 1

2

Ta có: M + N = (5x2y + 5x + 3) + (xyz - 4x2y + 5x - 1

2)

= 5x2y + 5x + 3 + xyz - 4x2y + 5x - 1

2

= (5x2y - 4x2y) + (5x + 5x) + xyz + (3 - 1

2)

3

= x2y + 10x + xyz + 5

2

Ví dụ 2: Trừ hai đa thức P = 5x2y - 4xy2 + 5x - 3 và Q = xyz - 4x2y + xy2 - 5x - 1

2

Ta có: P – Q = (5x2y - 4xy2 + 5x – 3) - (xyz - 4x2y + xy2 - 5x - 1

2)

P – Q = 5x2y - 4xy2 + 5x – 3 - xyz + 4x2y - xy2 + 5x + 1

2

P – Q = (5x2y + 4x2y) + (- 4xy2 - xy2 ) + (5x + 5x) - xyz + (– 3 + 1

2)

P – Q = 9x2y - 5xy2 + 10x - xyz – 5

2

B. Bài tập vận dụng.

Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức, biểu thức nào là đa thức:

a) 3;

b) 3x-2;

c) x2(x-1);

d) 3x2yz;

e) 3x;

f) -6xyz

Lời giải:

Các biểu thức là đơn thức: 3; 3x; 3x2yz; -6xyz

Các biểu thức là đa thức: 3; 3x; 3x2yz; -6xyz ; 3x-2; x2(x-1)

Bài 2: Cho các đơn thức: A= -5xy; B = 11xy2; C = x2y3.

a) Tìm hệ số và bậc của đơn thức D = A.B.C.

b) Các đơn thức trên có thể cùng có giá trị dương hay không, tại sao?

Lời giải:

4

a) D = -5xy.11xy2.x2y3 = (-5.11)(xxx2)(yy2y3) = -55 x4y6

Hệ số: -55, Bậc: 10

b) D= -55.x4y6 ≤ 0 với mọi x, y nên A, B, C không thể cùng có giá trị dương.

Chú ý: Để kiểm tra các đơn thức có cùng âm, cùng dương, hay những bài toán chứng minh

đơn thức không cùng âm, không cùng dương, chứng minh ít nhất một đơn thức

âm.....Ta nhân các đơn thức với nhau rồi đánh giá kết quả thu được:

Bài 3: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức, biểu thức nào không phải là đa

thức.

a) 2xy + 3x2 - 4x2yz2;

b) 𝑧𝑦2−3𝑥𝑦

2;

c) 3𝑥−4𝑥𝑦𝑧

𝑥𝑦 ;

Lời giải:

Đa thức là: 2xy + 3x2 - 4x2yz2; 𝑧𝑦2−3𝑥𝑦

2;

biểu thức 3𝑥−4𝑥𝑦𝑧

𝑥𝑦 không phải đa thức.

Bài 4: Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được .

a) A = 4x2 – 5xy + 3y2 ; B = 3x2 + 2xy - y2

3 2 2 4 3 2 2 41 1b) C x 2x y xy y 1; D x x y xy y 2

3 2= − + − + = − − + − −

Lời giải:

a) A + B = (4x2 – 5xy + 3y2 + 1) + (3x2 + 2xy - y2)

= 4x2 – 5xy + 3y2 + 1 + 3x2 + 2xy - y2

= (4x2 + 3x2) + (– 5xy + 2xy) + (3y2 - y2) + 1

= 7x2 – 3xy + 2y2 + 1

Bậc của đa thức A + B là 2

5

A - B = (4x2 – 5xy + 3y2 + 1) - (3x2 + 2xy - y2)

= 4x2 – 5xy + 3y2 + 1 - 3x2 - 2xy + y2

= (4x2 - 3x2) + (– 5xy - 2xy) + (3y2 + y2) + 1

= x2 – 7xy + 4y2 + 1

Bậc của đa thức A - B là 2

+ = − + − + + − − + − −

3 2 2 4 3 2 2 41 1b) C D x 2x y xy y 1 x x y xy y 2

3 2

= − + − + − − + − −3 2 2 4 3 2 2 41 1x 2x y xy y 1 x x y xy y 2

3 2

( ) ( ) = − + − − + + + − − + −

3 3 2 2 2 2 4 41 1x x 2x y x y xy xy y y (1 2)

2 3

=− + − −2 2 45 4x y xy 2y 1

2 3

Bậc của đa thức C + D là 4

− = − + − + − − − + − −

3 2 2 4 3 2 2 41 1C D x 2x y xy y 1 x x y xy y 2

3 2

= − + − + + + − + +3 2 2 4 3 2 2 41 1x 2x y xy y 1 x x y xy y 2

3 2

( ) ( ) = + + − + + − + − + + +

3 3 2 2 2 2 4 41 1x x 2x y x y xy xy y y (1 2)

2 3

= − − +3 2 23 22x x y xy 3

2 3

Bậc của đa thức C - D là 3

Bài 5: Cho đa thức A = −2 xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1 – 7x2 – 3y2 – 2x2 + y2

B = 5x2 + xy – x2 – 2y2

6

a) Thu gọn đa thức A, B. Tìm bậc của A, B.

b) Tính giá trị của A tại x = 1

2

−; y = -1

c) Tính C = A + B.

d) Tìm D = A – B.

Lời giải:

a) A = −2 xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1 – 7x2 – 3y2 – 2x2 + y2

= (−2 xy2 + 5xy2) + (3xy + 5xy) + 1 + (– 7x2 – 2x2) + (– 3y2 + y2)

= 3xy2 + 8xy – 9x2 – 2y2 + 1

B = 5x2 + xy – x2 – 2y2 = (5x2 – x2)+ xy – 2y2 = 4x2 + xy – 2y2

b) Tại x = 1

2

−; y = -1, giá trị của biểu thức A là

A = 3. 1

2

−(-1)2 + 8.

1

2

−.(-1) – 9

21

2

−

– 2(-1)2 + 1

= 3

2

− + 4 -

9

4 - 2 + 1

= 3 9

2 4

− −

+ (4 – 2 + 1)

= 15

4

−+ 3 =

3

4

−

c) C = A + B = (3xy2 + 8xy – 9x2 – 2y2 + 1) + (4x2 + xy – 2y2)

= 3xy2 + 8xy – 9x2 – 2y2 + 1+ 4x2 + xy – 2y2

= 3xy2 + (8xy + xy) + (– 9x2 + 4x2) + (– 2y2 – 2y2) + 1

= 3xy2 + 9xy – 5x2 – 4y2 + 1

d) D = A – B = (3xy2 + 8xy – 9x2 – 2y2 + 1) - (4x2 + xy – 2y2)

= 3xy2 + 8xy – 9x2 – 2y2 + 1- 4x2 - xy + 2y2

7

= 3xy2 + (8xy - xy) + (– 9x2 - 4x2) + (– 2y2 + 2y2) + 1

= 3xy2 + 7xy – 13x2 + 1

C. Bài tập tự tuyện.

1. Bài tập trắc nghiệm.

Bài 1: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào không phải đơn thức?

A. 2 B. 5x + 9 C. x3y2 D. 3x

Bài 2: Sau khi thu gọn đơn thức 2.(-3.x3.y)y2 ta được đơn thức nào trong các đơn thức sau?

A. -6x3y3 B. 6x3y3 C. 6x3y2 D. -6x2y3

Bài 3: Tìm hệ số trong đơn thức -36a2.b2.x2.y3 với a, b là hằng số

A. -36 B. -36a2b2 C. 36a2b2 D. -36a2

Bài 4: Tích của hai đơn thức 2 63

5x y z và 3 2 24x y z− có bậc là:

A. 16 B. 15 C. 14 D. 13

Bài 5: Có mấy nhóm đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Bài 6: Tổng các đơn thức 3x2y4 và -7x2y4 là

A. 10x2y4 B. -10x2y4 C. -4x2y4 D. -4x4y6

Bài 7: Hiệu của hai đơn thức 4x3y và -2x3y là

A. -6x3y B. 3x3y C. 2x3y D. 6x3y

Bài 8: Thu gọn đa thức -3x2 - 0,5x2 + 2,5x2 ta được:

A. -2x2 B. x2 C. -x2 D. -3x2

Bài 9: Bậc của đa thức xy + xy5 + x5yz là

8

A. 6 B. 7 C. 5 D. 4

Bài 10: Cho các đa thức A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy + y2; C = -x2 + 3xy + 2y2. Tính

A - B – C. Hãy chọn đáp án đúng.

A. -10x2 + 2xy

B. -2x2 - 10xy

C. 2x2 + 10xy

D. 2x2 - 10xy

2. Bài tập tự luận.

Bài 1: Thu gọn các đơn thức sau, rồi tìm hệ số, phần biến, bậc của mỗi đơn thức:

a) A = 2x2yz.(-3xy3z) ;

b) B = (-12xyz).( -4

3x2yz3)y;

c) C = 5ax2yz.(-8xy3 bz)2 ( a, b là hằng số cho trước);

d) D = 15xy2z.(-4

3x2yz3)3. 2xy

e) E = 3 2 3 45 2. .

4 5x x y x y

−

f) F =

Bài 2: Thu gọn mỗi đa thức sau rồi tìm bậc của mỗi đa thức đó.

2 3 2 3 2 2 3 2 2 315 7 8 12 11 12A x y x x y x x y x y= + − − + −

5 4 2 3 5 4 2 31 3 13 2

3 4 2B x y xy x y x y xy x y= + + − + −

2 2 2 21 1 2C x y xy x y xy 1

2 3 3= − + + +

2 2 2 21 1D xy z 3xyz xy z xyz 2

5 3= + − − −

Bài 3: Tìm đa thức M, biết :

( )5 4 2 2 53 8. .

4 9x y xy x y

− −

9

a) M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b) M + (3x2 y − 2xy3 ) = 2x2 y − 4xy3

c) 2 2 2 2 21

( xy x x y) M xy x y 12

+ − − = − + +

Bài 4:

a) Cho 3 đơn thức : -2x2y10 ; 11x3y5 ; -4x7y11. Hỏi giá trị của ba đơn thức đó có thể cùng âm

được không, tại sao?

b) Chứng tỏ trong 3 đơn thức sau, có ít nhất một đơn thức có giá trị âm: 3x4yz2; -xy3z2t;

6x5y4t3

HD: Tính tích 3 đơn thức rồi kiểm tra xem kết quả âm hay dương.

Bài 5:

a) Cho A = 2x2yz và B = xy2z. CMR nếu 2x + y ⋮ m thì A + B ⋮ m ( với x,y nguyên).

b) Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2. Chứng tỏ rằng nếu x, y nguyên và x + y chia

hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13.

HD: Phân tích được a, A+B = xyz(2x+y). b, A+B = xy(x+y)…