练 周周清 高 中 - xuexibao.com€¦ · ，故吟A忆B忆C忆的面积S= 1 2 ·a· 姨 6 a 8 =...
4
学习报·高中数学北师大·必修 2 高中 责编 陈记梅 照排 仇晓凤 主编 王 静 终审 李双孝 练 · 周周清 数学 北师大 必修 2 山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/ （F） 笠广告经营许可证号/员源园园园园源园园园园源源 笠本报向全国各省（市）级教研员赠报，欢迎来电咨询 笠随时征订热线 / 0351-3239622 邮政订户服务热线 / 0351-3239623 笠印刷/河南豫晋印务有限公司 地址/郑州市管城区金岱工业园区 笠本报四开四版 笠订阅/全国各地邮局（所） 笠单价 1.25 元 学期定价 30.00 元 学习报 高中数学 出版时间： 圆园20.1 期数： 4 期 内容： 员3 期 简单几何体； 直观图；三视图 员4 期 空间图形的基 本关系与公理 员5 期 平行关系 员6 期 垂直关系 出版时间： 圆园20.2 期数： 4 期 内容： 员7 期 简单几何体的 面积和体积 员8 期 第一章章节 复习 19 期 直线的倾斜角 和斜率；直线的方程；两条 直线的位置关系 圆0 期 两条直线的交 点；平面直角坐标系中的 距离公式 出版时间： 圆园20.3 期数： 4 期 内容： 圆1 期 圆与圆的方程 （圆的标准方程，圆的一般 方程，直线与圆、圆与圆的 位置关系） 22 期 直线 与圆 、圆 与圆的位置关系；空间直 角坐标系 23 期 第二章章节 复习 24 期 必修 2 总复习: 各章知识梳理、复习导航、 综合性问题、综合能力测 试题 《必修 2 》编辑进度 关注公众号可在网上商城直 接订阅《学习报》及相关产品 （上接第 猿 版） 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法， 围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清 的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有 把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部 分只需掌握住两种题目就能以不变应万变. 斜二测画法的实质是其画法规则： 员. 在直观图中， x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅； 圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（ 重合 ）的线段，在画 直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）； 猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长 度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要 减半. 对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型： 一、知原图形，求解其直观图的有关问题 例员 已知正吟A BC的边长为葬 ，求其直观图的面 积. 分析： 在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测 画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大 小，最后求得直观图面积. y B A O Cx B忆 y忆 C忆 x忆 D忆 O忆 A忆 图 1 图 2 解：在正吟ABC中建立坐标系， 韵为边粤悦的中点， 如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆= 45毅，作B忆D忆彝A 忆C忆. 由OB = 3 姨 a 2 和斜二测画法规则可知 O忆B忆= 3 姨 a 4 ， A忆 C忆 =a ， B忆 D忆 =O忆 B忆 · sin45毅= 3 姨 a 4 · 2 姨 2 = 6 姨 a 8 ，故吟A 忆B忆C忆的面积S= 1 2 · a · 6 姨 a 8 = 6 姨 a 2 16 . 二、知直观图，求原图形的有关问题 例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形， 求吟A BC的面积. 分析： 在直观图中适当建立坐标系， 由斜二测画 法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小， 最后求得原图形的面积. 解： 在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆 轴， A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所 示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连 接O忆B忆，则O忆B忆= 3 姨 a 2 ， 蚁D忆O忆B忆=45毅， 蚁O忆B忆D忆=90毅， 亦O忆D忆= 6 姨 a 2 . 由斜二测画法规则知OD= 6 姨 a， AC=a， BD= 3 姨 a 2 ， 亦S 吟A BC = 1 2 · a · 6 姨 a= 6 姨 a 2 2 . B忆 y忆 D忆 x忆 C忆 O忆 A忆 B D A OC x 图 3 图 4 y 点评： 此类问题在求解时，一般要作一些辅助线， 作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的 线段. 余 音 绕 梁 余 音 绕 梁 阴 江 西 李 小 勇 斜 二 测 画 法 赏 析 图 1 4 （上接第 猿 版） 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法， 围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清 的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有 把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部 分只需掌握住两种题目就能以不变应万变. 斜二测画法的实质是其画法规则： 员. 在直观图中， x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅； 圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（ 重合 ）的线段，在画 直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）； 猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长 度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要 减半. 对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型： 一、知原图形，求解其直观图的有关问题 例员 已知正吟A BC的边长为葬 ，求其直观图的面 积. 分析： 在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测 画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大 小，最后求得直观图面积. y B A O Cx B忆 y忆 C忆 x忆 D忆 O忆 A忆 图 1 图 2 解：在正吟ABC中建立坐标系， 韵为边粤悦的中点， 如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆= 45毅，作B忆D忆彝A 忆C忆. 由OB = 3 姨 a 2 和斜二测画法规则可知 O忆B忆= 3 姨 a 4 ， A忆 C忆 =a ， B忆 D忆 =O忆 B忆 · sin45毅= 3 姨 a 4 · 2 姨 2 = 6 姨 a 8 ，故吟A 忆B忆C忆的面积S= 1 2 · a · 6 姨 a 8 = 6 姨 a 2 16 . 二、知直观图，求原图形的有关问题 例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形， 求吟A BC的面积. 分析： 在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画 法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小， 最后求得原图形的面积. 解： 在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆 轴， A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所 示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连 接O忆B忆，则O忆B忆= 3 姨 a 2 ， 蚁D忆O忆B忆=45毅， 蚁O忆B忆D忆=90毅， 亦O忆D忆= 6 姨 a 2 . 由斜二测画法规则知OD= 6 姨 a， AC=a， BD= 3 姨 a 2 ， 亦S 吟A BC = 1 2 · a · 6 姨 a= 6 姨 a 2 2 . B忆 y忆 D忆 x忆 C忆 O忆 A忆 B D A OC x 图 3 图 4 y 点评： 此类问题在求解时，一般要作一些辅助线， 作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的 线段. 余 音 绕 梁 余 音 绕 梁 阴 江 西 李 小 勇 斜 二 测 画 法 赏 析 图 1 4 （上接第 猿 版） 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法， 围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清 的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有 把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部 分只需掌握住两种题目就能以不变应万变. 斜二测画法的实质是其画法规则： 员. 在直观图中， x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅； 圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（ 重合 ）的线段，在画 直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）； 猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长 度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要 减半. 对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型： 一、知原图形，求解其直观图的有关问题 例员 已知正吟A BC的边长为葬 ，求其直观图的面 积. 分析： 在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测 画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大 小，最后求得直观图面积. y B A O Cx B忆 y忆 C忆 x忆 D忆 O忆 A忆 图 1 图 2 解：在正吟ABC中建立坐标系， 韵为边粤悦的中点， 如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆= 45毅，作B忆D忆彝A 忆C忆. 由OB = 3 姨 a 2 和斜二测画法规则可知 O忆B忆= 3 姨 a 4 ， A忆 C忆 =a ， B忆 D忆 =O忆 B忆 · sin45毅= 3 姨 a 4 · 2 姨 2 = 6 姨 a 8 ，故吟A 忆B忆C忆的面积S= 1 2 · a · 6 姨 a 8 = 6 姨 a 2 16 . 二、知直观图，求原图形的有关问题 例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形， 求吟A BC的面积. 分析： 在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画 法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小， 最后求得原图形的面积. 解： 在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆 轴， A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所 示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连 接O忆B忆，则O忆B忆= 3 姨 a 2 ， 蚁D忆O忆B忆=45毅， 蚁O忆B忆D忆=90毅， 亦O忆D忆= 6 姨 a 2 . 由斜二测画法规则知OD= 6 姨 a， AC=a， BD= 3 姨 a 2 ， 亦S 吟A BC = 1 2 · a · 6 姨 a= 6 姨 a 2 2 . B忆 y忆 D忆 x忆 C忆 O忆 A忆 B D A OC x 图 3 图 4 y 点评： 此类问题在求解时，一般要作一些辅助线， 作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的 线段. 余 音 绕 梁 余 音 绕 梁 阴 江 西 李 小 勇 斜 二 测 画 法 赏 析 图 14 M C 图 12 三棱锥叫作 的棱长为葬， 酝， 晕 长度 （ ） . 9 的面积 何体的俯 赃赃赃赃赃赃赃赃援 题 （本大题共2小题 字说明、 明过程或演算步 分）已知图员 是某圆 线长援 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 图 14 图 1 4 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 图 14 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 图 14 球，而 的直线为旋转轴 ，球面所围成的 以看作是空 集合. 一个 何体，它 内部部分.而空 球，而乒 球的定义；而 是球.根据定义， 半 旋转所形 叫做球体， 距 俯视图 症结剖析： 症 图的宽与俯视 1.概念性出错 例1 图1 中的几何体是不 是棱台？ 图1 症状展示： 图1中的几何体是 棱台. 症结剖析： 应该根据棱台的定义来加以判断，不能 只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由 于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点， 或者说该几何体不能还原出棱锥来. 药到病除： 图1中的几何体不是棱台. 专家点评： 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面 所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台 的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这 样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点. 2.外观性出错 例2 铅球和乒乓球都是球吗？ 症状展示： 铅球和乒乓球都是球. 症结剖析： 根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓 球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而 乒乓球是空心的，不符合球的定义. 药到病除： 铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义， 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体， 简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于 或等于定长的点的集合. 专家点评： 球是一个几何体，它不仅包括球的表 面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是 球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心 球而形成的. 3.操作性出错 例3 画出图2所示的组合体的三视图. 图2 症状展示： 三视图如图3： 图3 主视图 左视图 俯视图 症结剖析： 症状中的主视图和左视图的高不相等， 左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视 图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线 加以表示. 药到病除： 正确的三视图如图4： 图4 主视图 俯视图 左视图 专家点评： 根据三视图的画法 规则，主视图和左视图的高应该是 相等的，左视图的宽应该与俯视图 的高一致，主视图的长与俯视图的 长应对齐. 而错解中这三个地方都 存在问题. 4.判断性出错 例4 一个几何体是由若干小正 方体组合而成的，它的三视图如图5 所示，试判断该几何体的形状. 主视图 左视图 俯视图 图5 图6 症状展示： 该几何体的形状如图6所示. 症结剖析： 对于同一个空间几何体，由于位置的 摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视 图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定 会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？ 药到病除： 其实，除了以上这种可能外，还有几种 可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示： 图7 还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画. 专家点评： 一个空间几何体摆放的位置不一样，可 能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间 几何体不一定相同. 图2 如图3： 左视 方体组合而 所示，试判断 1.概念性出错 例1 图1 中的几何体是不 是棱台？ 图1 症状展示： 图1中的几何体是 棱台. 症结剖析： 应该根据棱台的定义来加以判断，不能 只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由 于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点， 或者说该几何体不能还原出棱锥来. 药到病除： 图1中的几何体不是棱台. 专家点评： 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面 所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台 的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这 样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点. 2.外观性出错 例2 铅球和乒乓球都是球吗？ 症状展示： 铅球和乒乓球都是球. 症结剖析： 根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓 球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而 乒乓球是空心的，不符合球的定义. 药到病除： 铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义， 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体， 简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于 或等于定长的点的集合. 专家点评： 球是一个几何体，它不仅包括球的表 面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是 球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心 球而形成的. 3.操作性出错 例3 画出图2所示的组合体的三视图. 图2 症状展示： 三视图如图3： 图3 主视图 左视图 俯视图 症结剖析： 症状中的主视图和左视图的高不相等， 左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视 图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线 加以表示. 药到病除： 正确的三视图如图4： 图4 主视图 俯视图 左视图 专家点评： 根据三视图的画法 规则，主视图和左视图的高应该是 相等的，左视图的宽应该与俯视图 的高一致，主视图的长与俯视图的 长应对齐. 而错解中这三个地方都 存在问题. 4.判断性出错 例4 一个几何体是由若干小正 方体组合而成的，它的三视图如图5 所示，试判断该几何体的形状. 主视图 左视图 俯视图 图5 图6 症状展示： 该几何体的形状如图6所示. 症结剖析： 对于同一个空间几何体，由于位置的 摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视 图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定 会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？ 药到病除： 其实，除了以上这种可能外，还有几种 可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示： 图7 还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画. 专家点评： 一个空间几何体摆放的位置不一样，可 能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间 几何体不一定相同. 1.概念性出错 例1 图1 中的几何体是不 是棱台？ 图1 症状展示： 图1中的几何体是 棱台. 症结剖析： 应该根据棱台的定义来加以判断，不能 只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由 于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点， 或者说该几何体不能还原出棱锥来. 药到病除： 图1中的几何体不是棱台. 专家点评： 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面 所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台 的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这 样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点. 2.外观性出错 例2 铅球和乒乓球都是球吗？ 症状展示： 铅球和乒乓球都是球. 症结剖析： 根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓 球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而 乒乓球是空心的，不符合球的定义. 药到病除： 铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义， 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体， 简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于 或等于定长的点的集合. 专家点评： 球是一个几何体，它不仅包括球的表 面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是 球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心 球而形成的. 3.操作性出错 例3 画出图2所示的组合体的三视图. 图2 症状展示： 三视图如图3： 图3 主视图 左视图 俯视图 症结剖析： 症状中的主视图和左视图的高不相等， 左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视 图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线 加以表示. 药到病除： 正确的三视图如图4： 图4 主视图 俯视图 左视图 专家点评： 根据三视图的画法 规则，主视图和左视图的高应该是 相等的，左视图的宽应该与俯视图 的高一致，主视图的长与俯视图的 长应对齐. 而错解中这三个地方都 存在问题. 4.判断性出错 例4 一个几何体是由若干小正 方体组合而成的，它的三视图如图5 所示，试判断该几何体的形状. 主视图 左视图 俯视图 图5 图6 症状展示： 该几何体的形状如图6所示. 症结剖析： 对于同一个空间几何体，由于位置的 摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视 图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定 会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？ 药到病除： 其实，除了以上这种可能外，还有几种 可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示： 图7 还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画. 专家点评： 一个空间几何体摆放的位置不一样，可 能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间 几何体不一定相同. 阴北京 崔君强（特级教师） 三视图问题，是高考常考内容，其立足于正投影， 难点在于如何通过几何体的三视图得到几何体的立 体直观图，进而解决问题. 【典例1 】如图1，在棱长 为2的正方体A BCE-A 1 B 1 C 1 E 1 中，在OO 1 上有一点D 满足 DO= 2 姨 ，若S 1 ， S 2 ， S 3 分别表 示三棱锥D - A BC在平面A BCE、 平面ECC 1 E 1 、平面AEE 1 A 1 上的 正投影图形的面积，则（ ） . A.S 1 =S 2 =S 3 B.S 1 =S 2 ，且S 3 屹S 1 C.S 1 =S 3 ，且S 3 屹S 2 D.S 2 =S 3 ，且S 1 屹S 3 【关注概念 明理抉微】 一个几何体在一个平面上的正投影，就是投影线 垂直于投影面的平行投影.而三视图，是将几何体作前 后、左右、上下三个方向的正投影. 本题实际上就是三 视图问题，因此我们可利用三视图的定义来完成解答. 【典例解答】 如图2，将点D分别向三个平面作正投影，分别得 到三个投影面（图中阴影部分），即得到如下的三视图 （图3 ）， S3 左视图 S1 俯视图 S2 主视图 图 3 图 2 C B1 B A D E A 1 E1 O D3 D1 C1 O1 由于正方体棱长为2， DO= 2 姨 ，通过计算三视图 中阴影部分S 1 ， S 2 ， S 3 的面积，可知选D. 【典例2 】某多面体的三视图如图4所示，则该多面 体为______面体，该多面体的各个面的面积值的集合 为_________________. 【关注概念 明理抉微】 三视图，是将几何体作前后、左右、上下三个方向 的正投影，我们将三视图 还原为立体直观图时，除 能够直接看出立体直观 图的简单问题外，一般多 采用先找到大轮廓，再依 据俯视图、主视图、左视 图的顺序，利用平面进行 切割，摘除多余部分而 得到. 在应用中要注意三 视图中的线是实线还是 虚线，实线在前面能看到，虚线在后面看不到.在计算 中要注意三视图中所给的数据是立体直观图中的哪 条线的数据，避免弄错使计算结果错误. 方法：轮廓切割.注意：实线与虚线. 解： 利用上述分析所给 出的方法，观察所给三视图， 不难得到立体直观图的大轮 廓为正方体，再利用平面切 割，注意实虚线，得到立体直 观图为A BCDA 忆C忆 （图5 ） . 所以，该几何体为七面 体，七面体的七个面有一个 是正方形，两个全等的正三角形，四个全等的等腰直 角三角形. 通过三视图所给数据进行计算，该多面体的各个 面的面积值集合为｛2， 2 3 姨 ， 4 ｝ . D A B C C忆 图 5 A忆 D忆 B忆 C C1 B1 B A D E A 1 O1 O 图 1 E1 2020 年 1 月 1 日 第 13 期 13 1589 2020 年 1 月 1 日 （上接第 猿 版） 2. 若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一 定不是（ ） . A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ） . 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 甲 乙 丙 图 10 淤长方体； 于圆锥； 盂三棱锥； 榆圆柱援 粤.榆盂于 月.淤盂于 悦.淤于盂 阅.榆于盂 4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几 何体中与“数”字面相对的字面是（ ） . 粤.我 月.学 悦.欢 阅.喜 A N D M C B 图 12 数 喜 欢 我 学 图 11 5援 已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面 体，如图员2，若正四 面 体粤月悦阅的棱长为葬， 酝， 晕分 别为棱月悦， 粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ） . 粤援葬 月. 圆 姨 葬 圆 悦. 猿 姨 葬 圆 阅. 猿 姨 葬 3 远援 （安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月 考） 如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶 点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） . 圆 圆 圆 3 姨 圆 3 姨 主视图 左视图 俯视图 图 13 粤援圆 月援 猿 姨 悦援源 阅援 猿 圆 仔 二、填空题 （ 本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分 ） 7. 若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为 猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆 倍 ，则 两 底 面 圆 的 半径分 别 为 赃赃赃赃_____赃赃援 愿援 （圆园员怨年员 月员 日 《每 日 一 题》） 如图14，正三棱柱的底面周 长为怨，截去一个底面周长为猿的 正三棱柱，所得几何体的俯视图 的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援 三、解答题 （本大题共2小题，共24分，解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9援 （员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底 面的面积和母线长援 20 30 主视图 左视图 俯视图 图 15 员园援 （ 员圆分 ）如图员远， 月悦椅耘云 ， 悦阅彝月悦于点悦， 悦阅彝 耘云于点阅，点粤 在射线阅耘上移动，把图形粤 月悦阅绕直 线耘云旋转一周，得到一个几何体. 当点粤 选在射线 阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不 同，分别画出它的三视图并比较其异同点. E A B C F D 图 16 斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法， 围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清 的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有 把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部 分只需掌握住两种题目就能以不变应万变. 斜二测画法的实质是其画法规则： 员. 在直观图中， x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅； 圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（ 重合 ）的线段，在画 直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）； 猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长 度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要 减半. 对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型： 一、知原图形，求解其直观图的有关问题 例员 已知正吟A BC的边长为葬 ，求其直观图的面 积. 分析： 在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测 画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大 小，最后求得直观图面积. y B A O Cx B忆 y忆 C忆 x忆 D忆 O忆 A忆 图 1 图 2 解：在正吟ABC中建立坐标系， 韵为边粤悦的中点， 如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆= 45毅，作B忆D忆彝A 忆C忆. 由OB = 3 姨 a 2 和斜二测画法规则可知 O忆B忆= 3 姨 a 4 ， A忆 C忆 =a ， B忆 D忆 =O忆 B忆 · sin45毅= 3 姨 a 4 · 2 姨 2 = 6 姨 a 8 ，故吟A 忆B忆C忆的面积S= 1 2 · a · 6 姨 a 8 = 6 姨 a 2 16 . 二、知直观图，求原图形的有关问题 例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形， 求吟A BC的面积. 分析： 在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画 法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小， 最后求得原图形的面积. 解： 在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆 轴， A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所 示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连 接O忆B忆，则O忆B忆= 3 姨 a 2 ， 蚁D忆O忆B忆=45毅， 蚁O忆B忆D忆=90毅， 亦O忆D忆= 6 姨 a 2 . 由斜二测画法规则知OD= 6 姨 a， AC=a， BD= 3 姨 a 2 ， 亦S 吟A BC = 1 2 · a · 6 姨 a= 6 姨 a 2 2 . B忆 y忆 D忆 x忆 C忆 O忆 A忆 B D A OC x 图 3 图 4 y 点评： 此类问题在求解时，一般要作一些辅助线， 作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的 线段. 阴 河 南 马 显 俊 1.概念性出错 例1 图1 中的几何体是不 是棱台？ 图1 症状展示： 图1中的几何体是 棱台. 症结剖析： 应该根据棱台的定义来加以判断，不能 只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由 于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点， 或者说该几何体不能还原出棱锥来. 药到病除： 图1中的几何体不是棱台. 专家点评： 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面 所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台 的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这 样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点. 2.外观性出错 例2 铅球和乒乓球都是球吗？ 症状展示： 铅球和乒乓球都是球. 症结剖析： 根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓 球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而 乒乓球是空心的，不符合球的定义. 药到病除： 铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义， 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体， 简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于 或等于定长的点的集合. 专家点评： 球是一个几何体，它不仅包括球的表 面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是 球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心 球而形成的. 3.操作性出错 例3 画出图2所示的组合体的三视图. 图2 症状展示： 三视图如图3： 图3 主视图 左视图 俯视图 症结剖析： 症状中的主视图和左视图的高不相等， 左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视 图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线 加以表示. 药到病除： 正确的三视图如图4： 图4 主视图 俯视图 左视图 专家点评： 根据三视图的画法 规则，主视图和左视图的高应该是 相等的，左视图的宽应该与俯视图 的高一致，主视图的长与俯视图的 长应对齐. 而错解中这三个地方都 存在问题. 4.判断性出错 例4 一个几何体是由若干小正 方体组合而成的，它的三视图如图5 所示，试判断该几何体的形状. 主视图 左视图 俯视图 图5 图6 症状展示： 该几何体的形状如图6所示. 症结剖析： 对于同一个空间几何体，由于位置的 摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视 图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定 会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？ 药到病除： 其实，除了以上这种可能外，还有几种 可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示： 图7 还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画. 专家点评： 一个空间几何体摆放的位置不一样，可 能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间 几何体不一定相同. 2 2 主视图 2 左视图 2 2 俯视图 图 4 毫 厘 千 里 毫厘千里 高屋建瓴 余 音 绕 梁 余 音 绕 梁 — — — 三 视 图 关 注 概 念 明 理 抉 微 —— —三视图 斜 二 测 画 法 法 赏 析 阴 江 西 李 小 勇 法 赏 析 斜 二 测 画 法 赏 析 图 14 专家门诊 错题诊断 —— —简单几何体的结构、三视图和直观图
Transcript of 练 周周清 高 中 - xuexibao.com€¦ · ，故吟A忆B忆C忆的面积S= 1 2 ·a· 姨 6 a 8 =...
学习报·高中数学北师大·必修 2
高 中责编 陈记梅 照排 仇晓凤
主编 王 静 终审 李双孝练·周周清
数 学
北师大 必修 2
山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/（F）
笠广告经营许可证号/员源园园园园源园园园园源源 笠本报向全国各省（市）级教研员赠报，欢迎来电咨询 笠随时征订热线 / 0351-3239622 邮政订户服务热线 / 0351-3239623笠印刷/河南豫晋印务有限公司 地址/郑州市管城区金岱工业园区 笠本报四开四版 笠订阅/全国各地邮局（所） 笠单价 1.25 元 学期定价 30.00 元
学 习 报高 中 数 学
出版时间：圆园20.1期数：4 期
内容：
员3 期 简单几何体；
直观图；三视图
员4 期 空间图形的基
本关系与公理
员5 期 平行关系
员6 期 垂直关系
出版时间：圆园20.2期数：4 期
内容：
员7 期 简单几何体的
面积和体积
员8 期 第 一 章 章 节
复习
19 期 直线的倾斜角
和斜率；直线的方程；两条
直线的位置关系
圆0 期 两条直线的交
点；平面直角坐标系中的
距离公式
出版时间：圆园20.3期数：4 期
内容：
圆1 期 圆与圆的方程
（圆的标准方程，圆的一般
方程，直线与圆、圆与圆的
位置关系）
22 期 直线与圆、圆
与圆的位置关系；空间直
角坐标系
23 期 第 二 章 章 节
复习
24期 必修 2 总复习:各章知识梳理、复习导航、
综合性问题、综合能力测
试题
《必修 2》编辑进度
关注公众号可在网上商城直接订阅《学习报》及相关产品
（上接第 猿 版）
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法，
围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清
的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有
把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部
分只需掌握住两种题目就能以不变应万变.斜二测画法的实质是其画法规则：
员.在直观图中，x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅；圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（重合）的线段，在画
直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）；
猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长
度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要
减半.对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型：
一、知原图形，求解其直观图的有关问题
例员 已知正吟ABC的边长为葬，求其直观图的面
积.分析：在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测
画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大
小，最后求得直观图面积.yB
A O C x
B忆y忆
C忆x忆D忆O忆A忆
图 1 图 2解：在正吟ABC中建立坐标系，韵为边粤悦的中点，
如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆=45毅，作B忆D忆彝A忆C忆.
由OB= 3姨 a2 和斜二测画法规则可知O忆B忆=
3姨 a4 ，A忆C忆=a，B忆D忆=O忆B忆·sin45毅= 3姨 a
4 ·2姨
2 =6姨 a8 ，故吟A忆B忆C忆的面积S= 1
2·a· 6姨 a8 = 6姨 a2
16 .
二、知直观图，求原图形的有关问题
例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形，
求吟ABC的面积.分析：在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画
法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小，
最后求得原图形的面积.解：在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆
轴，A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连
接O忆B忆，则O忆B忆= 3姨 a2 ，蚁D忆O忆B忆=45毅，蚁O忆B忆D忆=90毅，
亦O忆D忆= 6姨 a2 . 由斜二测画法规则知OD= 6姨 a，
AC=a，BD= 3姨 a2 ，亦S吟ABC= 1
2·a· 6姨 a= 6姨 a2
2 .
B忆y忆D忆
x忆C忆O忆A忆
B D
A O C x图 3 图 4
y
点评：此类问题在求解时，一般要作一些辅助线，
作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的
线段.
余音绕梁
余音绕梁
阴
江西
李小勇
斜二测画法赏析
图 14
（上接第 猿 版）
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法，
围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清
的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有
把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部
分只需掌握住两种题目就能以不变应万变.斜二测画法的实质是其画法规则：
员.在直观图中，x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅；圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（重合）的线段，在画
直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）；
猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长
度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要
减半.对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型：
一、知原图形，求解其直观图的有关问题
例员 已知正吟ABC的边长为葬，求其直观图的面
积.分析：在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测
画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大
小，最后求得直观图面积.yB
A O C x
B忆y忆
C忆x忆D忆O忆A忆
图 1 图 2解：在正吟ABC中建立坐标系，韵为边粤悦的中点，
如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆=45毅，作B忆D忆彝A忆C忆.
由OB= 3姨 a2 和斜二测画法规则可知O忆B忆=
3姨 a4 ，A忆C忆=a，B忆D忆=O忆B忆·sin45毅= 3姨 a
4 ·2姨
2 =6姨 a8 ，故吟A忆B忆C忆的面积S= 1
2·a· 6姨 a8 = 6姨 a2
16 .
二、知直观图，求原图形的有关问题
例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形，
求吟ABC的面积.分析：在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画
法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小，
最后求得原图形的面积.解：在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆
轴，A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连
接O忆B忆，则O忆B忆= 3姨 a2 ，蚁D忆O忆B忆=45毅，蚁O忆B忆D忆=90毅，
亦O忆D忆= 6姨 a2 . 由斜二测画法规则知OD= 6姨 a，
AC=a，BD= 3姨 a2 ，亦S吟ABC= 1
2·a· 6姨 a= 6姨 a2
2 .
B忆y忆D忆
x忆C忆O忆A忆
B D
A O C x图 3 图 4
y
点评：此类问题在求解时，一般要作一些辅助线，
作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的
线段.
余音绕梁
余音绕梁
阴
江西
李小勇
斜二测画法赏析
图 14
（上接第 猿 版）
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法，
围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清
的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有
把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部
分只需掌握住两种题目就能以不变应万变.斜二测画法的实质是其画法规则：
员.在直观图中，x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅；圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（重合）的线段，在画
直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）；
猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长
度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要
减半.对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型：
一、知原图形，求解其直观图的有关问题
例员 已知正吟ABC的边长为葬，求其直观图的面
积.分析：在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测
画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大
小，最后求得直观图面积.yB
A O C x
B忆y忆
C忆x忆D忆O忆A忆
图 1 图 2解：在正吟ABC中建立坐标系，韵为边粤悦的中点，
如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆=45毅，作B忆D忆彝A忆C忆.
由OB= 3姨 a2 和斜二测画法规则可知O忆B忆=
3姨 a4 ，A忆C忆=a，B忆D忆=O忆B忆·sin45毅= 3姨 a
4 ·2姨
2 =6姨 a8 ，故吟A忆B忆C忆的面积S= 1
2·a· 6姨 a8 = 6姨 a2
16 .
二、知直观图，求原图形的有关问题
例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形，
求吟ABC的面积.分析：在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画
法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小，
最后求得原图形的面积.解：在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆
轴，A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连
接O忆B忆，则O忆B忆= 3姨 a2 ，蚁D忆O忆B忆=45毅，蚁O忆B忆D忆=90毅，
亦O忆D忆= 6姨 a2 . 由斜二测画法规则知OD= 6姨 a，
AC=a，BD= 3姨 a2 ，亦S吟ABC= 1
2·a· 6姨 a= 6姨 a2
2 .
B忆y忆D忆
x忆C忆O忆A忆
B D
A O C x图 3 图 4
y
点评：此类问题在求解时，一般要作一些辅助线，
作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的
线段.
余音绕梁
余音绕梁
阴
江西
李小勇
斜二测画法赏析
图 14
MC
图 12三棱锥叫作
的棱长为葬，酝，晕长度 （ ）.
9的面积
何体的俯赃赃赃赃赃赃赃赃援题（本大题共2小题
字说明、 明过程或演算步
分）已知图员 是某圆
线长援
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
图 14图 14
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
图 14
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
图 14
球，而
的直线为旋转轴，球面所围成的
以看作是空集合.一个 何体，它
内部部分.而空
球，而乒
球的定义；而
是球.根据定义，
半 旋转所形叫做球体，
距
俯视图
症结剖析：症图的宽与俯视
1.概念性出错例1 图1中的几何体是不
是棱台？
图1症状展示：图1中的几何体是
棱台.症结剖析：应该根据棱台的定义来加以判断，不能
只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由
于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点，
或者说该几何体不能还原出棱锥来.药到病除：图1中的几何体不是棱台.专家点评：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面
所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台
的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点.
2.外观性出错
例2 铅球和乒乓球都是球吗？
症状展示：铅球和乒乓球都是球.症结剖析：根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓
球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而
乒乓球是空心的，不符合球的定义.药到病除：铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义，
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，
简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于或等于定长的点的集合.
专家点评：球是一个几何体，它不仅包括球的表
面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心球而形成的.
3.操作性出错例3 画出图2所示的组合体的三视图.
图2症状展示：三视图如图3：
图3
主视图 左视图
俯视图
症结剖析：症状中的主视图和左视图的高不相等，左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线加以表示.
药到病除：正确的三视图如图4：
图4
主视图
俯视图
左视图
专家点评：根据三视图的画法
规则，主视图和左视图的高应该是
相等的，左视图的宽应该与俯视图
的高一致，主视图的长与俯视图的
长应对齐 .而错解中这三个地方都
存在问题.4.判断性出错
例4 一个几何体是由若干小正
方体组合而成的，它的三视图如图5所示，试判断该几何体的形状.
主视图 左视图
俯视图图5 图6
症状展示：该几何体的形状如图6所示.症结剖析：对于同一个空间几何体，由于位置的
摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视
图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定
会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？
药到病除：其实，除了以上这种可能外，还有几种
可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示：
图7还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画.专家点评：一个空间几何体摆放的位置不一样，可
能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间
几何体不一定相同.
图2如图3：
左视
方体组合而
所示，试判断
1.概念性出错例1 图1中的几何体是不
是棱台？
图1症状展示：图1中的几何体是
棱台.症结剖析：应该根据棱台的定义来加以判断，不能
只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由
于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点，
或者说该几何体不能还原出棱锥来.药到病除：图1中的几何体不是棱台.专家点评：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面
所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台
的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点.
2.外观性出错
例2 铅球和乒乓球都是球吗？
症状展示：铅球和乒乓球都是球.症结剖析：根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓
球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而
乒乓球是空心的，不符合球的定义.药到病除：铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义，
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，
简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于或等于定长的点的集合.
专家点评：球是一个几何体，它不仅包括球的表
面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心球而形成的.
3.操作性出错例3 画出图2所示的组合体的三视图.
图2症状展示：三视图如图3：
图3
主视图 左视图
俯视图
症结剖析：症状中的主视图和左视图的高不相等，左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线加以表示.
药到病除：正确的三视图如图4：
图4
主视图
俯视图
左视图
专家点评：根据三视图的画法
规则，主视图和左视图的高应该是
相等的，左视图的宽应该与俯视图
的高一致，主视图的长与俯视图的
长应对齐 .而错解中这三个地方都
存在问题.4.判断性出错
例4 一个几何体是由若干小正
方体组合而成的，它的三视图如图5所示，试判断该几何体的形状.
主视图 左视图
俯视图图5 图6
症状展示：该几何体的形状如图6所示.症结剖析：对于同一个空间几何体，由于位置的
摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视
图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定
会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？
药到病除：其实，除了以上这种可能外，还有几种
可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示：
图7还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画.专家点评：一个空间几何体摆放的位置不一样，可
能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间
几何体不一定相同.
1.概念性出错例1 图1中的几何体是不
是棱台？
图1症状展示：图1中的几何体是
棱台.症结剖析：应该根据棱台的定义来加以判断，不能
只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由
于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点，
或者说该几何体不能还原出棱锥来.药到病除：图1中的几何体不是棱台.专家点评：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面
所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台
的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点.
2.外观性出错
例2 铅球和乒乓球都是球吗？
症状展示：铅球和乒乓球都是球.症结剖析：根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓
球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而
乒乓球是空心的，不符合球的定义.药到病除：铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义，
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，
简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于或等于定长的点的集合.
专家点评：球是一个几何体，它不仅包括球的表
面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心球而形成的.
3.操作性出错例3 画出图2所示的组合体的三视图.
图2症状展示：三视图如图3：
图3
主视图 左视图
俯视图
症结剖析：症状中的主视图和左视图的高不相等，左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线加以表示.
药到病除：正确的三视图如图4：
图4
主视图
俯视图
左视图
专家点评：根据三视图的画法
规则，主视图和左视图的高应该是
相等的，左视图的宽应该与俯视图
的高一致，主视图的长与俯视图的
长应对齐 .而错解中这三个地方都
存在问题.4.判断性出错
例4 一个几何体是由若干小正
方体组合而成的，它的三视图如图5所示，试判断该几何体的形状.
主视图 左视图
俯视图图5 图6
症状展示：该几何体的形状如图6所示.症结剖析：对于同一个空间几何体，由于位置的
摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视
图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定
会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？
药到病除：其实，除了以上这种可能外，还有几种
可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示：
图7还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画.专家点评：一个空间几何体摆放的位置不一样，可
能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间
几何体不一定相同.
阴北京 崔君强（特级教师）
三视图问题，是高考常考内容，其立足于正投影，
难点在于如何通过几何体的三视图得到几何体的立
体直观图，进而解决问题.【典例1】如图1，在棱长
为2的正方体ABCE-A 1B1C1E1中，在OO 1上有一点D满足
DO= 2摇姨 ，若S1，S2，S3分别表
示三棱锥D-ABC在平面ABCE、平面ECC1E1、平面AEE1A1上的
正投影图形的面积，则（ ）.A.S1=S2=S3 B.S1=S2，且S3屹S1C.S1=S3，且S3屹S2 D.S2=S3，且S1屹S3【关注概念 明理抉微】
一个几何体在一个平面上的正投影，就是投影线
垂直于投影面的平行投影.而三视图，是将几何体作前
后、左右、上下三个方向的正投影.本题实际上就是三视图问题，因此我们可利用三视图的定义来完成解答.
【典例解答】
如图2，将点D分别向三个平面作正投影，分别得到三个投影面（图中阴影部分），即得到如下的三视图（图3），
S3左视图
S1俯视图
S2主视图
图 3图 2C
B1
BA
D
E
A 1
E1
O
D3D1
C1O1
由于正方体棱长为2，DO= 2摇姨 ，通过计算三视图中阴影部分S1，S2，S3的面积，可知选D.
【典例2】某多面体的三视图如图4所示，则该多面体为______面体，该多面体的各个面的面积值的集合为_________________.
【关注概念 明理抉微】三视图，是将几何体作前后、左右、上下三个方向
的正投影，我们将三视图还原为立体直观图时，除能够直接看出立体直观图的简单问题外，一般多采用先找到大轮廓，再依据俯视图、主视图、左视图的顺序，利用平面进行切割，摘除多余部分而得到.
在应用中要注意三视图中的线是实线还是虚线，实线在前面能看到，虚线在后面看不到.在计算中要注意三视图中所给的数据是立体直观图中的哪条线的数据，避免弄错使计算结果错误.
方法：轮廓切割.注意：实线与虚线.解：利用上述分析所给
出的方法，观察所给三视图，不难得到立体直观图的大轮廓为正方体，再利用平面切割，注意实虚线，得到立体直观图为ABCDA忆C忆（图5）.
所以，该几何体为七面体，七面体的七个面有一个是正方形，两个全等的正三角形，四个全等的等腰直角三角形.
通过三视图所给数据进行计算，该多面体的各个
面的面积值集合为｛2，2 3摇姨 ，4｝.
DAB
C
C忆
图 5
A忆D忆
B忆C
C1
B1
BA
D
E
A 1O1
O图 1
E1
2020年 1月 1日 第 13期
131589
2020 年 1月 1日
（上接第 猿 版）
2.若一个棱锥的各条棱都相等，则这个棱锥一
定不是（ ）.A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
3援如图10所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视
图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（ ）.
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
主视图 左视图
俯视图
甲 乙 丙
图 10淤长方体；于圆锥；盂三棱锥；榆圆柱援粤.榆盂于 月.淤盂于悦.淤于盂 阅.榆于盂4.一个几何体的表面展开平面图如图11，该几
何体中与“数”字面相对的字面是（ ）.粤.我 月.学悦.欢 阅.喜
A
N
DM
C
B
图 12
数
喜
欢我
学
图 115援已知所有棱长都相等的三棱锥叫作正四面
体，如图员2，若正四面体粤月悦阅的棱长为葬，酝，晕分
别为棱月悦，粤阅的中点，则酝晕的长度为（ ）.粤援葬 月. 圆摇姨 葬
圆悦. 猿摇姨 葬
圆 阅. 猿摇姨 葬3
远援（安徽省六安市毛坦厂中学圆园员怨届高三猿月月
考）如图13是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）.
圆 圆圆 3姨
圆3姨
主视图 左视图
俯视图
图 13粤援圆 月援 猿摇姨 悦援源 阅援 猿圆 仔二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.若圆台的母线长为圆葬，母线与轴的夹角为
猿园毅，一个底面圆的半径是另一个底面圆半径的圆倍，则两底面圆的半径分别为
赃赃赃赃_____赃赃援愿援（圆园员怨年员月员日 《每日一
题》）如图14，正三棱柱的底面周长为怨，截去一个底面周长为猿的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共2小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）已知图员5是某圆锥的三视图，求其底
面的面积和母线长援
2030
主视图 左视图
俯视图
图 15
员园援（员圆分）如图员远，月悦椅耘云，悦阅彝月悦于点悦，悦阅彝耘云于点阅，点粤在射线阅耘上移动，把图形粤月悦阅绕直线耘云旋转一周，得到一个几何体.当点粤选在射线阅耘上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.
EA
B
CF
D
图 16
斜二测画法是画几何图形直观图的基本方法，
围绕这一知识点可以命制各种类型的题目，数不清
的数学问题常常使学生头晕眼花，究其原因是没有
把握住斜二测画法的实质，若能把握住其实质，此部
分只需掌握住两种题目就能以不变应万变.斜二测画法的实质是其画法规则：
员.在直观图中，x忆轴和y忆轴的夹角是45毅或135毅；圆.在原图形中与曾轴或赠轴平行（重合）的线段，在画
直观图时要与x忆轴和y忆轴平行（重合）；
猿.在原图形中平行于曾轴的线段，在直观图中长
度保持不变，而平行于赠轴的线段，在直观图中长度要
减半.对于斜二测画法的考查不外乎下面两种题型：
一、知原图形，求解其直观图的有关问题
例员 已知正吟ABC的边长为葬，求其直观图的面
积.分析：在原三角形中适当建立坐标系，由斜二测
画法规则得到直观图中有关线段的长度和角的大
小，最后求得直观图面积.yB
A O C x
B忆y忆
C忆x忆D忆O忆A忆
图 1 图 2解：在正吟ABC中建立坐标系，韵为边粤悦的中点，
如图1所示，则其直观图如图2所示，其中蚁x忆O忆y忆=45毅，作B忆D忆彝A忆C忆.
由OB= 3姨 a2 和斜二测画法规则可知O忆B忆=
3姨 a4 ，A忆C忆=a，B忆D忆=O忆B忆·sin45毅= 3姨 a
4 ·2姨
2 =6姨 a8 ，故吟A忆B忆C忆的面积S= 1
2·a· 6姨 a8 = 6姨 a2
16 .
二、知直观图，求原图形的有关问题
例圆 若吟ABC的直观图为边长为葬的正三角形，
求吟ABC的面积.分析：在直观图中适当建立坐标系，由斜二测画
法规则得到原图形中有关线段的长度和角的大小，
最后求得原图形的面积.解：在吟ABC的直观图上，以A忆C忆所在直线为x忆
轴，A忆C忆的中点O忆为坐标原点建立坐标系，如图3所示，过点B忆作直线B忆D忆平行于x忆轴，交y忆轴于点D忆，连
接O忆B忆，则O忆B忆= 3姨 a2 ，蚁D忆O忆B忆=45毅，蚁O忆B忆D忆=90毅，
亦O忆D忆= 6姨 a2 . 由斜二测画法规则知OD= 6姨 a，
AC=a，BD= 3姨 a2 ，亦S吟ABC= 1
2·a· 6姨 a= 6姨 a2
2 .
B忆y忆D忆
x忆C忆O忆A忆
B D
A O C x图 3 图 4
y
点评：此类问题在求解时，一般要作一些辅助线，
作辅助线的一般思想是：尽量作与坐标轴平行或重合的
线段.
阴河南 马显俊
1.概念性出错例1 图1中的几何体是不
是棱台？
图1症状展示：图1中的几何体是
棱台.症结剖析：应该根据棱台的定义来加以判断，不能
只看几何体的表面现象.上图中的几何体不是棱台，由
于这个几何体的四条侧棱延长后不一定相交于一点，
或者说该几何体不能还原出棱锥来.药到病除：图1中的几何体不是棱台.专家点评：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面
所截后，截面和底面之间的部分.根据定义，可知棱台
的相应性质：上、下底面平行，且对应边成比例.只有这样，才能保证棱台的各侧棱延长后相交于一点.
2.外观性出错
例2 铅球和乒乓球都是球吗？
症状展示：铅球和乒乓球都是球.症结剖析：根据球的定义，铅球是一个球，而乒乓
球不是球，这是因为铅球是实心球，符合球的定义；而
乒乓球是空心的，不符合球的定义.药到病除：铅球是球，而乒乓球不是球.根据定义，
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，
简称球.其实球还可以看作是空间到定点的距离小于或等于定长的点的集合.
专家点评：球是一个几何体，它不仅包括球的表
面，而且还包括球面的内部部分.而空心球可以看作是球的一个组合体，即从一个大球中挖去一个小的同心球而形成的.
3.操作性出错例3 画出图2所示的组合体的三视图.
图2症状展示：三视图如图3：
图3
主视图 左视图
俯视图
症结剖析：症状中的主视图和左视图的高不相等，左视图的宽与俯视图的高不一致，主视图的长与俯视图的长没有对齐. 必要时还可以对看不到的棱用虚线加以表示.
药到病除：正确的三视图如图4：
图4
主视图
俯视图
左视图
专家点评：根据三视图的画法
规则，主视图和左视图的高应该是
相等的，左视图的宽应该与俯视图
的高一致，主视图的长与俯视图的
长应对齐 .而错解中这三个地方都
存在问题.4.判断性出错
例4 一个几何体是由若干小正
方体组合而成的，它的三视图如图5所示，试判断该几何体的形状.
主视图 左视图
俯视图图5 图6
症状展示：该几何体的形状如图6所示.症结剖析：对于同一个空间几何体，由于位置的
摆放不一样可能会得到不同的主视图、左视图、俯视
图，那么在观察得到相同的视图时，空间几何体一定
会是同一个几何体或者是相同的几何体吗？
药到病除：其实，除了以上这种可能外，还有几种
可能的形状，下面给出其他的几种可能，如图苑所示：
图7还有其他的几种情况，请读者自己尝试去画一画.专家点评：一个空间几何体摆放的位置不一样，可
能会得到不同的三视图，但是有相同的三视图的空间
几何体不一定相同.
22
主视图
2
左视图
22
俯视图图 4
毫厘千里毫厘千里
高屋建瓴余音绕梁
余音绕梁
———三视图
关 注 概 念 明 理 抉 微———三视图
斜二测画法法赏析
阴
江西
李小勇法
赏析
斜二测画法赏析
图 14
专家门诊 错题诊断———简单几何体的结构、三视图和直观图
学习报·高中数学北师大·必修 2学习报·高中数学北师大·必修 2 责编 陈记梅
照排 仇晓凤
责编 陈记梅
笠本报向全国各省（市）级教研员赠报 信息反馈电话 猿圆猿怨远源圆（兼传真） 笠本报四开四版 全学年 缘圆 期 可随时预订、补订和增订 订阅热线 4432858
照排 仇晓凤练·周周清练·堂堂清
笠高中各科电话（区号 0351） 语文 3239655 数学 3239640 物理、化学、生物 3239627 笠投稿邮箱/[email protected] 笠报社地址/太原市三墙路坝陵北街盛世华庭 粤员 座 圆员 层 邮编/0300园怨 笠编辑质量监督联系电话/0351 - 猿圆猿怨远圆远
栏 目 设 置第一版 悟·提能力本版主要栏目：传道授业：对本期的知识学
生应该怎样去学习才能理解的
更到位更准确，（员）讲解一些对课
本上难以理解的知识点，（圆）课
本外的但在课堂上需要补充的
知识，（猿）关于本期内容前后衔接
的一些知识点的介绍。
高屋建瓴：对于基础知识涉
及到的基础方法应该怎么用，结
合适当的例题讲解，让大多数学
生达到轻松掌握基本知识及其
解法的目的。
答疑解惑：通过师生问答的
形式，将对本期知识中有疑问的
地方解惑，使学生能在轻松的气
氛中掌握知识。
思想方法：针对当期知识点，
根据新课标所要求学生掌握的
常用数学思想方法进行重点启
发与培养，以帮助学生形成良好
的数学思维习惯。
茅塞顿开：通过例题的求解
过程，阐述解题策略及思路的形
成过程。目的在于培养学生自主学
习的能力，以及对问题的深入掌握。
一击即破：针对有些问题的
一些特殊的巧妙的方法解析，侧
重在传统思路基础上的巧与妙，
重点在思考上。
举一反三：以课本典型例题
或习题为主，对其背景、限制条
件、设问方式等进行变换探究，使同
学们能够打开视野，触类旁通。
知行合一：立足于数学知识
在实际生产和生活中的应用，以
及在其他学科领域中的应用，把
实际问题转化为数学模型来讲
求解，以期达到知行合一的目的。
金榜题名：针对某个知识点
在高考中的题型进行回顾、展
望，并探求其求解策略及技巧，
让学生提前了解并熟悉高考的
相关题型。
运筹帷幄：对于本期基础知
识涉及到的基础方法应该怎么
用，结合适当的例题讲解，化难
为易，让大多数学生达到轻松掌
握基本知识及其解法的目的。或
剖析对某个知识点与其他知识
点的交汇综合，追求思路方法的
拓展性，目的在于培养学生完整
的知识系统。
毫厘千里：对各种典型的错
题进行归类，提炼出针对某类错
误的解题策略。将常考、易错和
能举一反三的典型试题按专题
分类，帮学生掌握考点，做少量
的题，掌握一类题的典型解法。
妙趣横生：从学生的知识结
构和思维发展水平的实际出发，
拓宽学生的知识视野，以增加数
学学习的趣味性。
数学文化：以数学发展史为
主，展示丰富多彩的数学文化，
使读者体会到数学是人类智慧
的结晶，并从中受到启迪，开拓
思路。
第二版 练·堂堂清堂堂清：通过课时分类中对
应的基础题型训练，让学生了解
所学内容在考试中的考查方式，
以什么形式、题材、材料来设计
问题。
第三、四版 练·周周清同步分层能力测试题：紧跟
教学进度，不可使用历年高考原
题，可采用一部分高考或竞赛改
编题（改编题请标明出处）。
章节能力测试题：对整章内
容的综合测试。
模块综合能力测试题：对对
应模块所有知识点的综合测试。
2020年 1月 1日 第 13期2020年 1月 1日 第 13期
学 习 报高 中 数 学
时间：45分钟 满分：愿远分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号 1 4，7 1，圆，猿，缘，远，愿，怨，员园，员员，员圆
一、选择题（本大题共6小题，每小题缘分，共30分）
1.下列四种说法中正确的是（ ）.A.棱柱的某些侧棱延长后可能相交
B.棱锥的侧面可以是梯形
C.棱台的所有侧棱延长后必交于同一点
D.所有面都是三角形的几何体是棱锥
2.一个晴朗的上午，小明拿着一块长方形的木
板在阳光下做投影实验，长方形的木板在地面上
形成的投影不可能是（ ）.
A B C D3.如图1所示，下列几何体各自的三视图中，有且
仅有两个视图相同的是（ ）.
①正方体 ②圆锥 ③三棱柱 ④正四棱锥
图 1A.淤于 B.淤盂C.淤榆 D.于榆4.用一个平面截半径为圆缘糟皂的球，若截面面
积是圆圆缘仔糟皂圆，则球心到截面的距离为（ ）援
A.20cm B. 10姨 cmC.2 5姨 cm D.40cm缘援（广东省清远市
2019届高三上学期期末
（文））中国古建筑借助
榫卯将木构件连接起
来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图2中木构件右边的小长方体是榫头.若如图2摆放的
木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬
合时带卯眼的木构件的左视图可以是（ ）.
A B
C D6援将长方体截去一个四
棱锥后得到的几何体的直观
图如图3所示，则该几何体的
俯视图为（ ）.
A B C D
二、填空题（本大题共2小题，每小题缘分，共员0分）
苑援（浙江省湖州市菱湖中学圆园员愿耀圆园员怨学年高
二员圆月月考）如图4，正方形韵粤月悦的边长为员糟皂，它
是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的
周长是赃赃赃赃赃赃糟皂，原图形的面积是赃赃赃赃赃赃赃糟皂圆.
x
yC B
AO图 源
主视图 左视图
俯视图图 5
愿.若图5是某立体图形的三视图，则该立体图
形的名称是赃赃_____赃赃援三、解答题（本大题共源小题，共源6分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
怨援（员0分）已知正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员，图6（1）中截去的是什么几何体？图6（2）中截去一部分，其中
匀郧椅粤阅椅耘云，剩下的几何体是什么？
（1） （2）
A 1
D1 C1
D CBA
A 1
D1 C1
D CBA
GF
E
HB1
图 6
员园援（员圆分）如图7所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1椅AA 1，CC1椅BB1，
且点悦在平面AA 1月1月的投影在粤月上，这个几何体
是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试
用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为
2的三棱柱，指出截去的几何体，并在图中画出截面.
图 7粤 员
月员
悦员悦月
粤
员员援下图是一个几何体的三视图，请你画出它
的实物图援
主视图 左视图
俯视图
图 愿
12（员圆分）已知简单组合体如图9所示，试画出它
的三视图（尺寸不作严格要求）.
图 9
时间：45分钟 满分：64分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号5，6，7，9
员，圆，猿，源，远，愿，员园
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
员援（甘肃省兰州市圆园员愿耀圆园员怨学年高一上学期
第二片区丙组期末联考）两条不平行的直线，其平
行投影不可能是（ ）.粤援两条平行直线 月援一点和一条直线
悦援两条相交直线 阅援两个点
（下转第 源 版）
A
B C图 1
悦忆（O忆） A忆 x忆
y忆B忆
图 3
O忆 A忆 x忆
B 忆y忆
D忆C忆
图 4
左视方向
图 2
图 3
§1 简单几何体 §2 直观图 测 试 题同步分层能力 一（测试范围：简单几何体、直观图与三视图）1.下列命题正确的是（ ）.
淤棱柱的侧面一定是平行四边形；
于棱锥的所有面都是三角形；
盂圆柱的任意两条母线所在的直线互相平
行；
榆圆锥底面圆周上任意一点和顶点的连线
是圆锥的母线.A.淤于盂 B.淤于榆C.淤盂榆 D.于盂榆圆援下列说法错误的是（ ）.粤援以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三
边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆柱
月援以直角三角形的一条边所在直线为旋转
轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是
圆锥
悦援以直角三角形的一条直角边所在直线为
旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体
是圆锥
阅援以等腰三角形的底边上的高所在直线为
旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体
是圆锥
猿援直角梯形绕着它的一条直角边旋转而成
的几何体是（ ）.粤.圆锥 月.圆柱
悦.圆台 阅.球4援图1所示的平面结构绕中间轴旋转一周，形
成的几何体为（ ）.粤援一个球体
月援一个球体中间挖去一个圆柱
悦援一个圆柱
阅援一个球体中间挖去一个棱柱
图 1 图 2缘.如图2是一个几何体的表面展开形成的平
面图形，则这个几何体是赃赃赃赃赃赃赃赃援6.如图3（1）（2）所示的两个组合体有什么区
别？
（1） （2）图 3
1.如图1，一桶未启封的方便面摆放在桌面上，
则它的俯视图是（ ）.
图 1 A B C D2.若某空间几何体
的三视图如图2所示，则
该几何体为（ ）.粤援三棱柱
月援三棱锥
悦援四棱柱
阅援四棱锥
3援给出下列4个命题：
淤如果一个几何体的三视图是完全相同的，则
这个几何体是正方体；
于如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩
形，则这个几何体是长方体；
盂如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个
几何体是长方体；
榆如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰
梯形，则这个几何体是圆台援
其中真命题的个数是（ ）.粤援园 月援员悦援圆 阅援猿4援如图3是个六棱柱，其三视图为
（ ）.
A B
C D5援某几何体的主视图与左视图如图4所示，则
它的俯视图不可能是（ ）.
主视图 左视图
图 4
粤 月
C D
12姨
2姨主视图 左视图
俯视图图 2
图 猿§3 三视图
员援下列结论中正确的是（ ）.粤援相等的角在直观图中仍相等
月援相等的线段在直观图中仍相等
悦援若两条线段平行，则在直观图中对应的两条
线段仍然平行
阅援菱形的直观图仍为菱形
圆援如图1，已知等腰吟粤月悦，则图2所示的四个图中，可能是吟粤月悦的直
观图的是（ ）.粤援淤于 月援于盂悦援于榆 阅援盂榆
A忆
B忆 C忆
A忆
B忆 C忆
A忆
B忆 C忆
A忆
B忆 C忆淤 于 盂 榆
图 2猿援水平放置的吟粤月悦的
斜二测直观图如图3所示，已
知粤忆悦忆越猿，月忆悦忆越圆，则粤月边上
的中线的实际长度为（ ）.粤.圆 月.圆.缘悦.猿 阅.源源援如图4，矩形韵忆粤忆月忆悦忆是水平放置的一个平面
图形的直观图，其中韵忆粤忆越猿 糟皂，韵忆悦忆越员 糟皂，则原图
形的面积是（ ）.粤.猿 圆摇姨 糟皂圆
月.远 圆摇姨 糟皂圆
悦.圆 圆摇姨 糟皂圆
阅.远 糟皂圆
5.画出底面是正五边形且侧棱与底面垂直的五
棱柱的直观图，使底面边长为3cm，侧棱长为5cm.
6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是
一个底角为45毅，腰和上底长均为1的等腰梯形（如图5），求这个平面图形的面积.
C忆y忆
x忆B忆
D忆
A忆O忆
图 5
学习报·高中数学北师大·必修 2
高 中责编 陈记梅 照排 仇晓凤
主编 王 静 终审 李双孝练·周周清
数 学
北师大 必修 2
山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/（F）
笠广告经营许可证号/员源园园园园源园园园园源源 笠本报向全国各省（市）级教研员赠报，欢迎来电咨询 笠随时征订热线 / 0351-3239622 邮政订户服务热线 / 0351-3239623笠印刷/河南豫晋印务有限公司 地址/郑州市管城区金岱工业园区 笠本报四开四版 笠订阅/全国各地邮局（所） 笠单价 1.25 元 学期定价 30.00 元
学 习 报高 中 数 学
出版时间：圆园20.1期数：4 期
内容：
员3 期 简单几何体；
直观图；三视图
员4 期 空间图形的基
本关系与公理
员5 期 平行关系
员6 期 垂直关系
出版时间：圆园20.2期数：4 期
内容：
员7 期 简单几何体的
面积和体积
员8 期 第 一 章 章 节
复习
19 期 直线的倾斜角
和斜率；直线的方程；两条
直线的位置关系
圆0 期 两条直线的交
点；平面直角坐标系中的
距离公式
出版时间：圆园20.3期数：4 期
内容：
圆1 期 圆与圆的方程
（圆的标准方程，圆的一般
方程，直线与圆、圆与圆的
位置关系）
22 期 直线与圆、圆
与圆的位置关系；空间直
角坐标系
23 期 第 二 章 章 节
复习
24期 必修 2 总复习:各章知识梳理、复习导航、
综合性问题、综合能力测
试题
《必修 2》编辑进度
关注公众号可在网上商城直接订阅《学习报》及相关产品关注公众号可在网上商城直接订阅《学习报》及相关产品
答疑解惑答疑解惑
2020年 1月 8日 第 14期
141590
2020 年 1月 8日
安徽 张艳玲
答疑解惑答疑解惑异面直线所成的角是重
要的空间角，求异面直线所成
角的大小，一般是通过平移把
空间角转化为平面角，在一个
三角形中来求解.下面举例介
绍三种常见的平移模型，以供
参考.一、中位线模型
例1 如图1，空间四边形
ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AD彝BC，且AD=BC，求EF与BC所成的角.
图 1
E
CD
B
A
FG
解析：连接EF，设BD的中点为G，连接GE，GF.疫E，F分别是AB，CD的中点，亦EG和FG分别是吟ABD和吟DBC的中
位线，亦GE椅AD，且GE= 12 AD，GF椅BC，且GF= 1
2 BC，亦GE=GF，且蚁EFG就是异面直线EF与BC所成的角. 又AD彝BC，亦蚁EGF=90毅，蚁EFG=45毅.
故异面直线EF与BC所成的角为45毅.二、平行四边形模型
例2 如图2，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，求异面直
线A 1B与AC所成的角.
图 2
A 1
D1 C1
B1
CBA
D
解析：如图2，连接D1C，AD1，疫A 1D1椅AD，且A 1D1=AD，AD椅BC，AD=BC，所以A1D1椅BC，且A1D1=BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B椅D1C，所以
蚁ACD1（或其补角）即为异面直线A 1B与AC所成的角.又AC=CD1=AD1，所以蚁ACD1=60毅，即异面直线A 1B与AC所成的角为60毅.三、端点平移模型
例3 如图3，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB= 2摇姨 BB1，求异面直线直线AB 1与C 1B所成
的角.解析：在平面BCC1B1中，延
长CC1至M，使C1M=CC1，连接AM，B1M.由已知，得MB1椅C1B，且MB1=C1B.亦蚁AB1M（或其补角）即为异面直线AB1与C1B所成
的角.又AB= 2摇姨 BB1，可设BB1=k，于是AB2
1=C1B2=MB2
1=C1B21+BB2
1=（ 2摇姨 k）2+k2=3k2，
亦AB21+MB2
1=6k2.又AM2=AC2+CM2=（ 2摇姨 k）2+（2k）2=6k2
，
亦AB21+MB2
1=AM2，
亦蚁AB1M=90毅，即异面直线AB1与C1B所成的角为90毅.
天津
高凌宇1.如何认识、理解平面的概念？
答：平面是一个不加定义、只需理解的最基
本的原始概念.立体几何中的平面是从桌面、黑板
面、海平面等物体中抽象出来的，它是理想的、绝
对平且无限延展的模型，它与平面几何中的平面
图形是有区别的.平面图形，如三角形、正方形、梯
形等，它们有大小之分，而平面是无大小、厚薄之
分的.类似我们以前学过的直线，它可以无限延伸，
即它是不可度量的.2.如何理解平面的三个公理？它们各自有什么
作用？
答：（1）公理1反映了直线与平面的位置关系，
公理1的条件是“直线上不重合的两点在平面内”，
结论是“直线上所有点都在平面内”.这个结论阐述
了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上
的所有点都在平面内.其作用是：可判定直线是否在平面内、点是否
在平面内.（2）公理2中的“有且只有一个”的含义要准确
理解.这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说
图形唯一，该公理强调的是存在和唯一两个方面，
因此“有且只有一个”必须完整的作用，不能仅用
“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有
表达存在性.其作用是：一是确定平面；二是证明点、线共
面.（3）公理3反映了平面与平面的位置关系，它
的条件简而言之是“两面共一点”，结论是“两面共
一线，且过这一点，线唯一”.对于本公理应强调对
于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就
是相交的位置关系，交集是一条直线.其作用是：一，它是判定两个平面是否相交的
依据，只要两个平面有一个公共点就可以判定这
两个平面必相交于过这点的一条直线；二，它可以
判定点在直线上、点是两个平面的公共点、线是这
两个平面的交线、这点在交线上.猿.公理4说明了什么？
答：公理4说明了在空间直线之间的平行是可
以传递的，同时公理4也给出了空间两条直线平
行的一种证明方法.源.在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的
学习中，还需要注意些什么？
答：（1）以前在平面几何中，凡是后引入的辅
助线我们都画成虚线，而立体几何则不然，凡是被
平面遮住的线都画成虚线，凡是不被遮住的线
都画成实线（无论是题中原有的，还是后来引入的
辅助线）.（2）集合符号在立体几何中的应用：
点A在平面琢内，记作A沂琢，点A不在平面琢内，
记作A埸琢；直线l在平面琢内，记作l芴琢，直线l不在
平面琢内，记作l芫琢；直线l与平面茁相交于点A，记作
l疑茁=A .（3）证明两条直线是异面直线时，从反面入手
往往比较简单.（源）直线与直线没有交点是指直线与直线平
行或异面；直线在平面外是指直线与平面相交或
直线与平面平行.（缘）证明直线和平面相交的方法有：淤否定直
线在平面内，否定直线与平面平行；于证明直线与
平面只有一个公共点.
秉要执本
A
A 1
B
B1
C
C1
M图 3
图 8
A 1
D1 C1
B1 F
CBA
E D
在高考中，经常会利用空间作图问题考查空
间点、直线、平面之间的位置关系.其本质是使用
四个公理的内容为依托，其手法是利用降维思想
方法达成目的.【典例1】如图1，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，
E为CC1中点，过E作一直线与直线A 1D1和AB相交，
则这样的直线（ ）.
图 1B1
C
C1
A
D1A 1
BD
E
A.不存在
B.仅有1条C.有2条D.有3条思维分析
两条直线的位置关系有三种：平行、相交、异
阴
河南
陈义军
高屋建瓴
（下转第 源 版）
（上接第 1 版）
（上接第 猿 版）
教你求异面直线所成的角
关注空间作图问题
时间：45分钟 满分：64分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号 9，10 3，源，缘，员园 员，圆，远，苑，愿
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
员援两条直线葬，遭分别和异面直线糟，凿都相交，则
直线葬，遭的位置关系是（ ）援粤.平行 月.相交
悦.异面 阅.异面或相交
圆援（辽宁省辽阳市圆园员愿耀圆园员怨学年高一上学期
期末）下列命题正确的是（ ）.粤援在空间中两条直线没有公共点，则这两条直
线平行
月援一条直线与一个平面可能有无数个公共点
悦援经过空间任意三点可以确定一个平面
阅援若一个平面上有三个点到另一个平面的距
离相等，则这两个平面平行
猿援（广东省东莞市东华中学圆园员愿耀圆园员怨学年高
一上学期期中）在棱长为员的正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，酝和晕分别为粤 员月员和阅阅员的中点，那么直线粤酝和
悦晕所成的角是（ ）.粤援猿园毅 月援源缘毅悦援远园毅 阅援怨园毅源.长方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，粤月越员，粤阅越圆，粤粤 员越
猿，则异面直线粤 员月员与粤悦员所成角的余弦值为（ ）.粤. 员源摇姨
员源 月. 员怨圆摇姨员源
悦. 员猿摇姨员猿 阅. 员猿
缘援在直三棱柱ABC-A1B1C1中，蚁BCA=90毅，M，N分
别是A 1B1，A 1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所
成的角的余弦值为（ ）.A. 110 B. 25C. 2摇姨
2 D. 30摇姨10
远援（浙江省诸暨市圆园员愿~圆园员怨学年高二上学期
期末）直线皂，灶在平面琢内的射影也是两条直线，分
别是皂忆，灶忆，下列说法正确的是（ ）.粤援若皂彝灶，则皂忆彝灶忆月援若皂忆彝灶忆，则皂彝灶悦援若皂椅灶，则皂忆椅灶忆阅援若皂忆椅灶忆，则皂椅灶二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7.如图8，若在正方体
粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，耘，云分
别在棱粤粤员，悦悦员上，当耘，云
满足条件赃赃赃_赃时，点阅员，
耘，月，云共面援（填上一个条
件即可）
8援a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的4个说
法中正确的是_______.淤若a椅b，b椅c，则a椅c；于若a彝b，b彝c，则a彝
c；盂若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；榆若a与b异面，b与c异面，则a与c异面.
三、解答题（本大题共圆小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9援（员2分）（圆园员愿日照一模）如图9，已知正方体
粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，点耘，云分别为阅员悦员，悦员月员的中点，
粤悦疑月阅越孕，粤 员悦员疑耘云越匝.求证：
A 1 B1F
D1
BACD P
R
EQ
C1
图 9（员）阅，月，耘，云四点共面；
（圆）若粤 员悦交平面月阅耘云于点砸，则孕，匝，砸三点
共线.
10援（员2分）如图10，已知粤是吟月悦阅所在平面
外一点，酝，晕分别是吟粤月悦和吟粤悦阅的重心，且月阅越远.（员）求酝晕的长；
（圆）若点粤的位置发生变化，酝晕的位置和长度
会改变吗？
A
M NDB
C图 10
面.因此若想作出直线与直线A 1D1和AB都相交，必须
将三者放在同一个平面内（降维，从空间的三维降到平
面的二维）.从公理思考，能够确定平面的结论有四个，不共
线三点、两条相交线、两条平行线、一条直线与线外
一点.故不难得到直线AB与点E确定一个平面，不妨设
为平面琢.由公理可得琢与平面BCC1B1有交线BE，同样在平
面BCC1B1内直线BE与直线B1C1必相交于一点，设为F，此点F在平面琢与平面A 1B1C1D1内，故平面琢与平面
A 1B1C1D1必有一条交线且与直线A 1D1相交，交点设为
G，故此在平面琢内有点G，E，直线AB，在平面琢内连接
GE必与直线AB相交.故过E作一直线与直线A 1D1和AB相交，则这样的
直线仅有1条.【典例解答】
如图2，经过上述的思考与作图步骤，易得结论，
选B.
图 2B1
C
C1
A
D1A 1
BD
EFG
【典例2】已知异面直线a和b所成的角为50毅，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30毅的直
线有且仅有（ ）.A.1条 B.2条 C.3条 D.4条思维分析
P虽然为空间一定点，但点P与异面直线a和b间的位置关系并不明确，因此在空间过点P作与两条异
面直线a，b所成的角都是30毅的直线并不直观好作.由异面直线所成角的定义，我们可以将直线a和
b平移到过点P，这样并不影响直线a和b所成的角，如
此，异面的直线a和b变成了相交直线a忆和b忆，题目的
维度降低了.题目变成了：“在空间，过交角为50毅的两
条相交直线a忆和b忆的交点P，作与a忆和b忆所成的角都是
30毅的直线有且仅有几条？”
在平移后的直线a忆和b忆所确定的平面（不妨设为
琢）内思考，满足条件的直线必为a忆和b忆所成的角的角
分线.如此，再将角分线绕点P及与平面琢相竖直方向
旋转，则满足与直线a忆和b忆所成的角都相等，且最小
角为25毅，最大角为90毅，进而判断共有几条直线满足
条件.【典例解答】
如图3，依据上述的分析、作图，可得满足条件的
直线共有2条.选B.l2 l1
b
a忆b忆
a
P
图 3【反思提升】
空间想象能力离不开公理体系. 在解决空间点、
直线、平面之间的位置关系问题时，有时候表面上看
似无从下手，其实都有内在的轨迹线索可以找寻，这
里面，降维思想是用得最多的，即将空间的点、直线降
到平面内，然后在平面内利用平面几何的结论进行
解决.
学习报·高中数学北师大·必修 2学习报·高中数学北师大·必修 2 责编 陈记梅
照排 仇晓凤
责编 陈记梅
笠本报向全国各省（市）级教研员赠报 信息反馈电话 猿圆猿怨远源圆（兼传真） 笠本报四开四版 全学年 缘圆 期 可随时预订、补订和增订 订阅热线 4432858
照排 仇晓凤练·周周清
笠高中各科电话（区号 0351） 语文 3239655 数学 3239640 物理、化学、生物 3239627 笠投稿邮箱/[email protected] 笠报社地址/太原市三墙路坝陵北街盛世华庭 粤员 座 圆员 层 邮编/0300园怨 笠编辑质量监督联系电话/0351 - 猿圆猿怨远圆远
学 习 报高 中 数 学
栏 目 设 置第一版 悟·提能力本版主要栏目：
传道授业：对本期的知识学
生应该怎样去学习才能理解的
更到位更准确，（员）讲解一些对课
本上难以理解的知识点，（圆）课
本外的但在课堂上需要补充的
知识，（猿）关于本期内容前后衔接
的一些知识点的介绍。
高屋建瓴：对于基础知识涉
及到的基础方法应该怎么用，结
合适当的例题讲解，让大多数学
生达到轻松掌握基本知识及其
解法的目的。
答疑解惑：通过师生问答的
形式，将对本期知识中有疑问的
地方解惑，使学生能在轻松的气
氛中掌握知识。
思想方法：针对当期知识点，
根据新课标所要求学生掌握的
常用数学思想方法进行重点启
发与培养，以帮助学生形成良好
的数学思维习惯。
茅塞顿开：通过例题的求解
过程，阐述解题策略及思路的形
成过程。目的在于培养学生自主学
习的能力，以及对问题的深入掌握。
一击即破：针对有些问题的
一些特殊的巧妙的方法解析，侧
重在传统思路基础上的巧与妙，
重点在思考上。
举一反三：以课本典型例题
或习题为主，对其背景、限制条
件、设问方式等进行变换探究，使同
学们能够打开视野，触类旁通。
知行合一：立足于数学知识
在实际生产和生活中的应用，以
及在其他学科领域中的应用，把
实际问题转化为数学模型来讲
求解，以期达到知行合一的目的。
金榜题名：针对某个知识点
在高考中的题型进行回顾、展
望，并探求其求解策略及技巧，
让学生提前了解并熟悉高考的
相关题型。
运筹帷幄：对于本期基础知
识涉及到的基础方法应该怎么
用，结合适当的例题讲解，化难
为易，让大多数学生达到轻松掌
握基本知识及其解法的目的。或
剖析对某个知识点与其他知识
点的交汇综合，追求思路方法的
拓展性，目的在于培养学生完整
的知识系统。
毫厘千里：对各种典型的错
题进行归类，提炼出针对某类错
误的解题策略。将常考、易错和
能举一反三的典型试题按专题
分类，帮学生掌握考点，做少量
的题，掌握一类题的典型解法。
妙趣横生：从学生的知识结
构和思维发展水平的实际出发，
拓宽学生的知识视野，以增加数
学学习的趣味性。
数学文化：以数学发展史为
主，展示丰富多彩的数学文化，
使读者体会到数学是人类智慧
的结晶，并从中受到启迪，开拓
思路。
第二版 练·堂堂清堂堂清：通过课时分类中对
应的基础题型训练，让学生了解
所学内容在考试中的考查方式，
以什么形式、题材来设计问题。
第三、四版 练·周周清同步分层能力测试题：紧跟
教学进度，不可使用历年高考原
题，可采用一部分高考或竞赛改
编题（改编题请标明出处）。
章节能力测试题：对整章内
容的综合测试。
模块综合能力测试题：对对
应模块所有知识点的综合测试。
练·堂堂清 2020年 1月 8日 第 14期2020年 1月 8日 第 14期
时间：45分钟 满分：愿远分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号 11，员圆 4，缘，远，员园 员，圆，猿，苑，愿
一、选择题（本大题共远小题，每小题缘分，共猿园分）
员援（河南省郑州市圆园员愿耀圆园员怨学年高一上学期
期末）三棱锥粤原月悦阅的六条棱所在直线成异面直线
的有（ ）.粤援猿对 月援源对悦援缘对 阅援远对圆援（（课后作业）圆园员愿耀圆园员怨版数学创新设计课
堂讲义）一条直线和这条直线之外不共线的三点所
能确定的平面的个数是（ ）.粤援员或猿 月援员或源悦援猿或源 阅援员，猿或源3.异面直线葬和遭所成的角为兹，则兹的范围是
（ ）.粤.（园毅，90毅） 月.（园毅，180毅）悦.（园毅，90毅］ 阅.（园毅，180毅］4.如图员，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，
E，F分别是AB，CD的中点，EF= 3摇姨 ，则异面直线
AD与BC所成的角为（ ）.A.30毅 B.60毅C.90毅 D.120毅
图 2粤
月悦F
ESA
DF
E
BC图 1
5.如图2，在四面体杂粤月悦中，杂月彝粤悦，杂月越粤悦越圆，耘，云分别是杂悦和粤月的中点，则耘云的长为（ ）.
粤援员 月援 圆摇姨悦援 圆摇姨
圆 阅援 员圆远援（陕西省汉中市略阳天
津高级中学、留坝县中学、勉
县二中等员圆校圆园员怨届高三下
学期校际联考（文））如图3，在长方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，
粤月越月悦越圆，粤粤 员越员，则异面直线粤悦员与月月员所成角的正
弦值为（ ）.粤援 圆 圆摇姨
猿 月援 圆摇姨源
悦援 员猿 阅援 圆摇姨圆
二、填空题（本大题共2小题，每小题缘分，共员0分）
7.正方体粤悦员中，与面粤月悦阅的对角线粤悦异面的
棱有赃赃赃赃条.8.对于空间三条直线，有下列四个条件：
淤三条直线两两相交且不共点；
于三条直线两两平行；
盂三条直线共点；
榆有两条直线平行，第三条直线和这两条直线
都相交.其中，能推出三条直线共面的条件有_______.三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
怨援（员园分）如图4所示，在正方体粤月悦阅原粤员月员悦员阅员中援（员）粤粤 员与悦悦员是否在同一平面内？
（圆）点月，悦员，阅是否在同一平面内？
（猿）画出平面粤C悦员A 员与平面月悦员阅及平面粤悦阅员与平面月阅悦员的交线援
A
D
BC
B1
C1D1
A 1
图 4
10.（员圆分）如图5，在等腰直角三角形粤月悦中，粤越怨园毅，月悦越 圆摇姨 ，阅粤彝粤悦，阅粤彝粤月，若阅粤越员，且耘为阅粤的
中点，求异面直线月耘与悦阅所成角的余弦值.E
月 悦
阅
图 5
粤
11.（员圆分）如图6，已知四棱锥孕原粤月悦阅中，底面
粤月悦阅为菱形，耘，云分别是月悦，孕悦的中点，郧在孕阅上，
且孕郧越 员猿 孕阅.证明：点粤，耘，云，郧四点共面.
A
E
FG
P
B CD
图 6
员圆援（员圆分）如图7所示，已知吟粤月悦和吟粤忆月忆悦忆的对应顶点的连线粤粤忆，月月忆，悦悦忆交于同一点韵，且粤韵粤忆韵 越 月韵
月忆韵 越 悦韵悦忆韵 越 圆
猿 .
（员）求证：粤月椅粤忆月忆，粤悦椅粤忆悦忆，月悦椅月忆悦忆；
（圆）求 杂吟粤月悦
杂吟粤忆月忆悦忆的值援
A
CBO
C忆 B忆
A忆图 7
（下转第 源 版）
测 试 题同步分层能力 二（测试范围：空间图形的基本关系与公理）
1.下列命题中，真命题的个数是（ ）.（1）任意两条直线可以确定一个平面；
（2）若点A沂琢，A沂茁，琢疑茁=l，则A沂l；（3）如果两个平面有三个公共点，那么这两个
平面重合；
（4）在空间中，相交于同一点的三条直线在同
一平面内.A.1 B.2C.3 D.42.下列是假命题的为（ ）.A.空间四点中，如果四点不共面，则任意三点
不共线
B.四条平行直线最多能确定六个平面
C.圆心和圆上两点可确定一个平面
D.圆上三点可确定一个平面
猿援如图4，琢疑茁越造，粤沂琢，月沂琢，悦沂茁，悦埸造，直线
粤月疑造越阅，过粤，月，悦三点确定的平面为酌，则平面酌，
茁的交线必过（ ）.粤.点粤月.点月悦.点悦，但不过点阅阅.点悦和点阅4.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确
定一个平面，则可确定平面的个数为（ ）.A.3 B.1或2C.1或3 D.2或35.在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取
点E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则点P（ ）.
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.既不在直线AC上，也不在直线BD上
远援不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）
个部分.粤.源 月.缘悦.苑 阅.愿苑援如图5，正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，孕，匝，砸分
别为粤月，粤阅，月员悦员的中点，那
么正方体中过孕，匝，砸的截面
图形是（ ）.粤.三角形
月.四边形
悦.五边形
阅.六边形
l
C
A
C
BD
琢
茁
图 4
A 1
D1 M C1R
CBP
B1ND SQ
AV
图 5
A B MF
E
DN
C
图 1
§4.1 空间图形基本关系的认识
§4.2 空间图形的公理
D1 C1
C
BA
DA 1 B1
图 3
1.正方体ABCD-A 1B1C1D1中，与对角线AC1异面
的棱有（ ）.A.3条 B.4条C.6条 D.8条2.已知平面琢和直线l，则琢内至少有一条直线与
l（ ）.A.平行 B.相交
C.垂直 D.异面
3.若直线a和b是异面直线，a芴平面茁，则直线b和平面茁的位置关系是（ ）.
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.b芴茁4.四棱柱的的六个面中，平行的平面有（ ）.A.1对B.1对或2对C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对缘援已知葬，遭是两条异面直线，糟椅葬，那么糟与遭的
位置关系（ ）.粤.一定是异面
月.一定是相交
悦.不可能相交
阅.不可能平行
6.如果两个平面内分别有一条直线，这两条直
线互相平行，则这两个平面的位置关系一定是（ ）.A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.垂直相交
7.下列命题中正确命题的个数为（ ）.（1）垂直于同一条直线的两直线平行；（2）无公
共点的两条直线异面；（3）两条异面直线无公共点；
（4）两条异面直线可以同时平行于一条直线.A.1 B.2C.3 D.48.若a椅b，且a与平面琢相交，那么直线b与平面
琢的位置关系是（ ）.A.必相交
B.有可能平行
C.相交或平行
D.相交或在平面内
9.下列命题中真命题的个数为（ ）.（1）若直线l平行于平面琢内无数条直线，则l椅琢；（2）若直线a在平面琢外，则a椅琢；（3）若直线a椅b，直线b芴琢，则a椅琢；（4）若直线a椅b，直线b芴琢，那么直线a就平行
于平面琢内的无数条直线.A.1 B.2C.3 D.410.若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那
么这两个平面的位置关系是（ ）.A.平行
B.相交
C.重合
D.平行或相交
员1援下列命题中正确的个数为（ ）.淤经过三点确定一个平面；
于梯形可以确定一个平面；
盂两两相交的三条直线最多可以确定三个
平面；
榆如果两个平面有三个公共点，则这两个平面
重合.粤.园 月.员悦.圆 阅.猿员2援某正方体的平面展
开图如图1所示，则在这个
正方体中（ ）.粤.晕悦与阅耘相交
月.悦酝与耘阅平行
悦.粤云与悦晕平行
阅.粤云与悦酝异面
13.如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是为
BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF颐云悦越阅郧颐
郧粤越圆颐猿，求证：耘云，郧匀，月阅交于一点.粤
匀 郧阅云
耘 悦月
图 圆
员4援如图猿，在正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，耘，云，郧，匀分别为粤 员阅员，悦员阅员，月悦，悦员悦的中点，求异面直线
耘云与郧匀所成的角的大小.
A 1 B1
C1D1E
F
HC
GBAD
图 猿
