國立臺灣師範大學教育學系

教育管理與課程教學領導碩士在職專班

碩士技術報告

指導教授：曾建銘 博士

八年級數學段考試題分析研究-以新北市

某中學為例

研究生：陳思羽 撰

中華民國 106 年 1 月

Jan, 2017

i

摘要

八年級數學段考試題分析研究-以新北市某中學為例

本研究旨在依國中教育會考數學科之試題題型與命題原則，編製一份數學科學

習成就測驗試題，透過測驗分析軟體進行試題分析與測驗分析，了解測驗試題之

特性與學生的作答情形，做為教師改進命題技巧與補救教學之用。

本研究以新北市某中學八年級第一次段考為例，利用 Tester2、ConQuest 等測

驗分析軟體進行古典測驗理論與試題分析理論之試題分析，探討難度、鑑別度、

選項誘答力、學生能力估計值等試題特徵，分析學生作答表現及迷思概念。

整份測驗的信度值為 0.86，達良好測驗信度的標準。試題分析部分，以古典測

驗理論分析之選擇題平均難度為 0.54，屬中間偏易；選擇題平均鑑別度為 0.67，

鑑別度佳。以試題反應理論分析選擇題平均難度為-0.2，屬難易適中；；在仿會考

學生能力估計值方面，各班的平均值介於-0.38~0.62 之間，標準差介於 1.02~1.45

之間在試題類型學生判定類別上，屬 C&C’型學力表現落後者將近五成，急需個別

之補救教學。本研究依試題分析結果，對教師往後補救教學與命題改進提出相關

建議。

關鍵字：測驗編製、試題分析、國中教育會考、古典測驗理論、試題反應理論

ii

Abstract The Study of Mathematics Item Analysis from math term

examination for eighth-graders in Junior High School-A Case Study of

A Junior High School in New Taipei City.

The aim of this research is to construct a mathematical achievement test based on

the regulated test type and item-constructing principles of mathematical test in the

Comprehensive Assessment Program for Junior High School Students. And hence we

can understand properties of questions and students’ answering situation, both of which

are useful for teachers to improve test-constructing skills and to adopt in remedial

teaching.

This study looks into the first term-exam of eight-graders in a certain junior high

school in New Taipei City, using analysis programs such as Tester2 and ConQuest to

analyze in approaches of classical test theory (CTT) as well as item response theory

(IRT) to probe into properties like difficulty index, discrimination index, distraction,

estimated value of students’ ability, and so on so as to analyze students’ answering

performance and mis-concept.

The credibility of the whole test is 0.86, which is just a standard good credibility.

As for the part of test item analysis, the average difficulty of the multiple choices in the

classical test theory (CTT) approach is 0.54, which is easy-moderate; the average

discrimination value is 0.67, and it’s a good discrimination. If analyzing test items with

item response theory(IRT) approach, the average difficulty is -0.2, which belongs to

moderate range; in the estimated value of students’ abilities on the semi-Comprehensive

Assessment Program for Junior High School Students, the average value of each class

lies betwee -0.38 and 0.62, and the Standard Deviation is between 1.02 and 1.45; as for

students’ telling test type, it falls into C&C’ type, meaning nearly fifty percent falls

iii

behind the academic attainments and are in urgent need of remedial teaching. According

to the research results, this study proposes suggestions for teachers in future remedial

teaching and improvement of test items.

Keyword: test construction, item analysis, Comprehensive Assessment

Program for Junior High School Students, classical test theory (CTT), item

response theory(IRT)

i

目次

第一章、 緒論.......................................................................................................... 1

第一節、 研究背景與動機 .............................................................................. 1

第二節、 研究目的與待答問題 ....................................................................... 3

第三節、 研究方法與步驟 .............................................................................. 4

第四節、 預期成效 ......................................................................................... 6

第五節、 研究範圍與限制 .............................................................................. 6

第二章、 文獻探討 .................................................................................................. 8

第一節、 成就測驗的編製 .............................................................................. 8

第二節、 國中教育會考 ................................................................................ 13

第三節、 古典測驗理論與試題反應理論 ...................................................... 16

第四節、 試題分析與測驗分析 ..................................................................... 20

第三章、 歷程與結果討論 ..................................................................................... 28

第一節、 研究對象 ....................................................................................... 28

第二節、 研究工具 ....................................................................................... 28

第三節、 資料處理與分析 ............................................................................ 31

第四章、 結論與建議 ............................................................................................ 82

第一節、 研究結論 ....................................................................................... 82

第二節、 研究建議 ....................................................................................... 85

參考文獻……………………………………………………………………………… 89

附錄…………………………………………………………………………………….91

附錄一 八年級第一次段考數學科定期評量試題 ........................................... 91

附錄二 八年級第一次段考數學科定期評量試題答案卷 ................................ 94

ii

表次

表 2-2-1 教育會考與國中基測的比較………………………………………………..14

表 2-4-1 難度等級表…………………………………………………………..………22

表 2-4-2 鑑別度等級表……………………………………………………………..…23

表 2-4-3 信度係數參考表……………………………………………………………..26

表3-2-1雙向細目表之架構……………………………………………………………29

表 3-2-2 單元名稱及能力指標………………………………………………………..30

表 3-3-1 雙向細目表…………………………………………………………..………32

表 3-3-2 試題題數與授課節數對照表………………………………………………..33

表 3-3-3 試題評量目標與能力指標分年細目對照表………………………………..34

表3-3-4 選擇題CTT試題分析表……………………………………………….…….37

表 3-3-5 選擇題試題難度分析表……………………………………………………..38

表 3-3-6 選擇題鑑別度分析表………………………………………………..………39

表 3-3-7 試題診斷分析表……………………………………………………..………41

表 3-3-8 選擇題判定類別分類………………………………………………..………42

表 3-3-9 學生診斷分析表……………………………………………………..………44

表 3-3-10 學生判定類別分布……………………………………………………..…..46

表 3-3-11 選擇題選項誘答力分析表…………………………………………………48

表 3-3-12 選擇題第 1題……………………………………………………………….50

表 3-3-13 選擇題第 2題……………………………………………………………….51

表 3-3-14 選擇題第 3題……………………………………………………………….52

表 3-3-15 選擇題第 4題……………………………………………………………….53

表 3-3-16 選擇題第 5題……………………………………………………………….54

表 3-3-17 選擇題第 6題……………………………………………………………….55

表 3-3-18 選擇題第 7題……………………………………………………………….56

iii

表 3-3-19 選擇題第 8題……………………………………………………………….57

表 3-3-20 選擇題第 9題……………………………………………………………….58

表 3-3-21 選擇題第 10題……………………………………………………………...59

表 3-3-22 選擇題第 11題……………………………………………………………...60

表 3-3-23 選擇題第 12題……………………………………………………………...61

表 3-3-24 選擇題第 13題……………………………………………………………...62

表 3-3-25 選擇題第 14題……………………………………………………………...64

表 3-3-26 選擇題第 15題……………………………………………………………...65

表 3-3-27 選擇題第 16題……………………………………………………………...66

表 3-3-28 選擇題第 17題……………………………………………………………...68

表 3-3-29 非選擇題學生成績分布……………………………………………………70

表 3-3-30 國中教育會考非選擇題評分規準…………………………………………72

表 3-3-31 非選擇題第 1 題……………………………………………………………73

表 3-3-32 非選擇題第 2 題……………………………………………………………75

表 3-3-33 非選擇題第 3 題……………………………………………………………76

表 3-3-34 IRT 試題參數分析表………………………………………………………..79

表 3-3-35 IRT 學生能力估計表………………………………………………………..81

iv

圖次

圖 1-3-1 研究步驟流程圖………………………………………………………………5

圖2-1-1基本教學模式………………………………………….………………….……8

1

第一章、緒論

本研究旨在依據國中教育會考數學科之試題題型與命題原則，編製一份數學科

學習成就測驗試題，對該測驗試題及測驗本身做質與量的分析，幫助教師審視自

己命題技巧與原則，並透過測驗分析結果診斷學生的學習成效與學習困難，作為

教師改進命題技巧與補救教學之用。本章共分五節，第一節說明研究背景與動機，

第二節說明研究目的與待答問題，第三節說明研究方法與步驟，第四節說明預期

成果，第五節說明本研究之範圍與限制。

第一節、 研究背景與動機

師者，所以傳道、授業、解惑也。身為一名教師，除關心學生的品德培養、身

心發展外，無非是希望透過教學協助學生學習，讓學生在各學習階段習得相對應

的學力，以助於其後續階段的學習發展。

教學(instruction)是教師和學生共同參與的一種活動歷程。教師在預設的教學目

標指引下，運用各種方式，循序漸進進行教學，期望學生的學習行為能夠隨著教

學的進展而有所改變，用來達成既定的教學目標（余民寧，2011）。教師在從事任

何教學活動時，都要先了解學生的起點行為，進而規劃安排教學活動、適時調整

教學內容，並透過適當的評量來評估學生的學習成效，診斷學生學習困難做為補

救教學之用。而想要知道教學結果是否達成預期的目標，就必須仰賴針對教學效

果實施客觀且又正確的評量才能得知；因此，教學評量即成為教學歷程中的一項

重要工作（余民寧，2011）。

評量(assessment)是教與學之間的橋樑，如果運用得當即可有效連結教與學，進

而提升教與學的品質。根據評量得到的回饋訊息，教師可檢視學生的學習需求，

了解學生是否已習得各單元應有的知識和技能，並根據此訊息調整課程內容，為

教與學預作準備。評量也可審視學生學習的狀況，分析學生學習的優缺點，檢視

教與學的進程，確定學生的學習進展，並針對學習困難之處，修訂教學內容，改

2

進教學方法、進行個別輔導或補救教學，以提高學習效果。

評量同時關注教與學。教師可分析學生的解題過程，根據解題的錯誤類型，採

用適合的教學策略，用來導正學生的錯誤或迷思概念。此外，評量可針對課程的

某個單元，檢驗是否有達到教學目標，確定學生的學習成效，作為提升教學成效

的參考。除了授課教師，學生同樣可藉由評量了解自己的學習需求、學習進展和

學習成效。根據評量得到的回饋資訊，學生可確定學習盲點，修正學習策略，進

而提升學習品質(蕭儒棠、曾建銘、吳慧珉、林世華、謝名娟，2014)。

評量的種類非常多元，教師可根據不同的評量目標採用不同的評量方式。但因

便於施測、節省時間且在要求公平客觀的前提考量下，紙筆測驗仍是教師們最常

採用的評量方式。以數學學科評量來說，從單元小考到段考命題皆會使用到紙筆

測驗，故教師是否具備良好的試題編製能力就極為重要，如果能編製一份客觀有

效的測驗評量，教師就能依據評量結果了解學生作答狀況與觀念不清楚的地方，

進而調整教學，對症下藥、及時補救。編製一份測驗評量試題，對於教師來說應

是一件再熟悉不過的事，但當前教師在自編測驗方面，多是配合教科書內容，並

依據自身教學經驗來命題，或者是直接採用各大出版社提供之命題光碟出題、使

用既有的評量試卷等，在這過程中較易忽略了編製測驗的嚴謹性，即使是全校性

的定期評量考試，同一學期的不同次段考，全校平均分數起伏大也是常有的事，

則此測驗分數的代表性為何？分數背後所代表的意義該如何解讀？又測驗的結果

是否能確實反應學生的學習成效？這些可能都需要進一步的檢核分析，否則對於

教師教學改進或學生學習的自我檢核所能提供的幫助就十分有限。

良好教學評量工具必須具備效度用來檢視評量結果的正確性、具備信度用來評

估評量結果的可靠性、具備難度用來理解評量工具的困難度、具備鑑別度用來檢

核評量工具是否能區分高低能力程度（簡茂發，1991）。因此在整個測驗編製過程

中，試題分析(item analysis)就扮演著相當重要的角色。試題分析能提供客觀的試題

特徵指標，協助教師了解測驗評量品質的良窳、驗證測驗效度，此舉有助於提高

3

教師編制測驗之經驗技巧，也能篩選出優良試題，將這些試題持續累積就能建立

教師個人的題庫，讓教師在日後編擬新測驗時，可依據評量目標由題庫中選取出

適當的試題，加以調整後即可獲得一份優良試題，這不僅可省下重編一份測驗的

時間心力花費，更可增進測驗運用的效能（余民寧，2011）。

依測驗分數解釋方式的用途不同，試題分析可分成常模參照測驗與效標參照測

驗兩種不同方式。當今進行試題分析的做法，都是仰賴統計軟體程式的運用，無

論是上述哪一種方式的試題分析，其內涵都是在以量化分析方法呈現每道試題所

具有的先天特徵：難度、鑑別度和選項誘答力(若是選擇題型試題的話) （余民寧，

2011）。

一般來說，數學科測驗題型包含選擇題與非選擇題(如填充題、計算與證明題

等)，教師可根據學生的作答結果，如選擇題的誘答選項、非選擇題的開放式作答

來了解學生的學習狀況與思考推理能力，故兩種題型皆有其重要性。民國 90 年起

正式實施的國民中學學生基本學力測驗，將學力表現等級採常模參照，測驗題型

僅有選擇題；民國 103 年正式實施的國中教育會考，改採標準參照，將各科的學

力表現等級分為精熟、基礎、待加強三等級，並於民國 104 年起將數學科納入兩

題非選擇題正式實施並計分，能更有效評量學生在推導解題、抽象思考方面的能

力。

綜合上述，本研究嘗試參照當前國中教育會考數學科之試題模式，編製一份包

含選擇題及非選擇題的數學科學習成就測驗試題，作為該學年第一次段考八年級

數學科定期評量試題，透過測驗軟體針對該測驗進行試題分析與測驗分析，幫助

教師審視自身的命題技巧，並透過測驗軟體分析結果解讀學生作答模式及背後所

表示之意義，診斷學生學習成效與學習困難，作為教師改進自身教學、即時個別

輔導與補救教學之用。

第二節、 研究目的與待答問題

基於上述之研究背景與動機，本研究以新北市某完全中學八年級第一次段考數

4

學科定期評量試題為例，研究者擬依據國中教育會考數學科之試題題型與命題原

則，編製一份數學科學習成就測驗試題，並對該測驗試題及測驗本身做質與量的

分析，旨在了解測驗試題之特性與學生的作答情形，做為教師改進命題技巧與補

救教學之用。本研究的研究目的及待答問題如下：

壹、 研究目的：

一、依國中教育會考數學科之試題題型與命題原則，編製一份良好有效的數學科

學習成就測驗試題。

二、對「八年級第一次段考數學科定期評量試題」做質的分析，即測驗內容效度

分析(雙向細目表的制訂、命題、修審題及非選擇題的評分標準)。

三、對「八年級第一次段考數學科定期評量試題」做量的分析，了解試題的品質

與學生的成就表現。

四、了解學生錯誤型態，作為日後增進教師改進命題技巧與補救教學的參考。

貳、 待答問題：

一、本次測驗在質的分析，即測驗內容效度分析(雙向細目表的制訂、命題、修審

題及非選擇題的評分標準)，其結果為何？

二、本次測驗在量的分析，包括試題難度、鑑別度及選項誘答力等，其結果為何？

三、本次測驗學生的做答題情形分析，其結果為何？

第三節、 研究方法與步驟

壹、 研究方法

本研究由研究者參照當前國中教育會考數學科試題題型及命題原則，依據國民

中學九年一貫課程大綱，翰林版八年級數學課本、習作、備課用書，以及近十年

國中教育會考、國中基測之考歷屆古題等參考資料，編製數學科學習成就測驗試

題，接著由研究者任教學校之數學科教師進行審題，綜合專家意見修改後完成試

題之編製，並決定非選擇題評分標準。

編製完成試題後，於第一次段考時讓全校八年級同學施測，之後根據蒐集彙整

5

的資料，透過測驗分析軟體對測驗試題做質與量的分析，依學生的做答反應，以

古典測驗理論分析試題難易度、鑑別度及誘答選項分析；依國中教育會考方式，

以試題反應理論 Rasch 單參數模式估計試題的難易度參數及學生的能力值。

貳、 研究步驟

研究者於研究之初先確定研究主題，蒐集試題分析、測驗分析及測驗編製的相

關文獻，加以綜整後作為本研究之基礎，並設計評量架構(雙向細目表)；接著發展

研究工具，參照教育會考試題模式及命題原則編製數學科學習成就測驗，經由測

驗試題編擬、專家審題再修改，完成試題編製。待八年級學生於第一次段考施測

完畢後，就開始進行資料彙整，透過 Tester2、ConQuest 等測驗分析軟體進行試題

與測驗分析，根據資料分析的結果探討，最後完成技術報告撰寫。

本研究之研究步驟流程如圖 1-3-1：

圖 1-3-1 研究步驟流程圖

確立研究主題

蒐集整理相關文獻

教師自編數學學習成就測驗

進行段考試題施測

試題分析與測驗分析

結果探討

撰寫報告

準備階段

實施階段

編擬試題

結果撰寫階段

資料分析

設計評量架構

6

第四節、 預期成效

壹、 藉由質的分析，了解「八年級第一次段考數學科定期評量試題」測驗內容效

度。

貳、 藉由量的分析，了解「八年級第一次段考數學科定期評量試題」測驗試題的

品質與學生的成就表現。

參、 藉由學生作答反應，了解學生錯誤型態及迷思概念。

第五節、 研究範圍與限制

壹、 研究地區的範圍與限制

本研究是以研究者任教的學校做為研究範圍，該校位於新北市近郊城鄉交接處，

國中部共 43 班，採常態分班，學生總數約 1300 人，在新北市屬於中大型的學校。

該校所屬學區的家庭組成結構中，弱勢、原民、新住民及單親家庭型態比例較新

北市其他區域為高，並為原住民重點學校，因此研究結果不一定可以推論到其他

學校或地區。

貳、 研究對象的範圍與限制

本研究是以八年級第一次段考數學科定期評量試題做相關分析，以研究者任教

學校之八年級，共 15 個班級的學生做為研究樣本，因此研究結果不一定能推論到

不同單元、年級或其他學校之學生。此研究主要是以研究者依會考試題模式及命

題原則，編製的數學科學習成就測驗為研究對象，因此研究結果不一定能推論到

其他測驗。此外，學生的作答表現，可能會受到教師教學方式、強調重點內容不

同而有所影響，故研究結果不宜過度推論。

參、 研究方法的範圍與限制

本研究試題依雙向細目表的制定、命題及訂定非選擇題評分標準，並由該校同

科教師們進行修審題與討論評分標準，過程中可能受到教師個人認知情緒等因素，

或考量受測者數學成就而有所影響。依學生的做答反應，以古典測驗理論分析試

7

題難易度、鑑別度及誘答選項分析；根據會考方式，以試題反應理論單參數模式

估計試題的難易度及學生的能力值。

8

第二章、 文獻探討

本研究依當前國中教育會考數學科之試題模式編製學習成就測驗，並透過試題

分析與測驗分析，幫助教師審視自身的命題技巧、分析解讀學生作答及診斷學習

成效與迷思，作為教師改進教學與補救教學之用。本章共分四節，依序探討成就

測驗的編製、國中教育會考、古典測驗理論與試題反應理論、試題分析與測驗分

析。

第一節、 成就測驗的編製

壹、 教學評量

在學校的所有學習活動，包括認知、技能、情意等面向的學習成果，都需要仰

賴教師進行教學評量，用來了解學生學習情形及是否有達成預定教學目標。因此，

教學評量是教學歷程中十分重要的一環，如何依據教學評量目標，妥善規劃適當

的教學活動進行教學，並藉由客觀正確的評量來檢核學生學習，是教師們時時須

面對的課題。

教學評量是教學模式(teaching model)中的一部分。所謂的教學模式是指把整個

教學的歷程做有系統的處理，其中包含所有會影響教學成果的因素在內(張春興、

林清山，1991)。美國的教育學者葛雷賽(R.Glaser,1962)在他所著的「心理學與教學

技巧」一書中認為，所有教學的活動雖然有各種變化，但整個教學歷程基本上都

包含了四大部分：教學目標、起點行為、教學活動、教學評鑑，如圖 2-1-1 所示：

圖2-1-1 基本教學模式

資料來源：Glaser(1962)

從圖 2-1-1 的基本教學模式來看，教學歷程的每一部分都與教學評量有密切關

係，由此可見，教學評量不僅可以提供回饋訊息給教師，更是能統整起整個教學

教學目標 教學評量 起點行為

教學目標

教學活動

回饋作用

9

歷程，在教與學方面發揮出最大的教學與學習效果。

根據 Ebel(1972)的研究，教學評量至少包括五項重點：

1. 引導學習

2. 安置及輔導

3. 診斷

4. 檢驗學生學習成就

5. 評估學生各項發展

依教學歷程及評量目的的不同，教學評量可分成安置性評量、形成性評量、診

斷性評量與總結性評量；依評量結果的解釋，可分成常模參照評量與標準參照評

量。本研究所採用之數學科學習成就測驗試題為總結性評量，採標準參照評量作

為解釋評量結果的方式。

貳、 成就測驗編製

教育測驗依目標來分，可分成認知測驗、情意測驗和動作技能測驗三種，在教

學上使用最廣的是認知測驗中的成就測驗，因為成就測驗多半是採用紙筆方式進

行，所以又稱為紙筆測驗(余民寧，2011)。研究者為國中數學教師，在教學的過程

中就是以紙筆測驗為主，做為評量學生在學科知識方面的學習表現。為確保所編

製之測驗能發揮應有的功能，達到教學評量之目的，教師必須熟悉測驗編製（test

construction）的原理原則和技術， 才能編製出客觀有效的成就測驗，作為教學評

量的工具。

測驗的編製方法會因測驗的目的和種類不同而有所差異，學者余民寧(2011)歸

納國內外眾多學者專家們的意見，提出編製一份良好成就測驗的五大步驟：準備

測驗編製計畫、編擬測驗試題、試題及測驗的審查、試題與測驗分析及新測驗的

編輯。以下分別說明：

一、準備測驗編製計畫

一份周詳且具體可行的成就測驗編製計畫，應包含以下三個項目：

(一) 確定測驗目的和目標

測驗依使用特性及功能可分為安置性評量、形成性評量、診斷性評量及總結

10

性評量，不同的教學歷程中所使用的測驗各有其特定目的，故教師在編擬成就測

驗之初，需先確定測驗目的為何，以作為編製測驗的依據。

(二) 設計雙向細目表

雙向細目表(two-way specification table)是測驗編製的藍圖，若教師能依據雙向

細目表來編擬測驗試題，該測驗試題應會是一份優良有效的評量工具。在設計雙

向細目表時，考量測驗目的及教學目標，以教學目標為縱軸、教材內容為橫軸，

畫出一個二項度的分類表，依教學欲達成的目標、實際教學時所強調的教材內容、

課程內容難易度及重要性等因素，決定好試題的比重與題數於表的細目裡，作為

測驗編製的藍圖，這樣的一個二項度分類表即為雙向細目表。

(三) 選定測驗的題型

試題類型一般可分為選擇型試題(如：選擇題、是非題、配合題、填充題等)

和補充型試題(簡答題、限制反應題、申論題等)，教師可根據測驗功能及雙項細目

表選定測驗的題型。

本研究為總結性測驗，具有檢核學生精熟教材程度及決定成績等第的功能，

並依據國中教育會考數學科命題模式，以能力層次為橫軸，分為概念性理解、程

序性執行、思考解題三層次，以課程單元為橫軸分成四個向度設計雙項細目表，

依授課節數比重、課程內容難易度及重要程度將試題題數分配於表中的每個細目

裡，盡量使試題的取材能充分涵蓋到所要評量的教學目標與教材內容範圍。測驗

題型亦參照國中教育會考數學科題型，兼採選擇題及非選擇題，其中選擇題分數

佔總分之 85％，非選擇題分數佔總分之 15％。

二、編擬測驗試題

一般而言，無論是編擬哪種類型的試題，都要注意下列幾項共同的命題原則：

(一) 試題在取材上宜平均分配，並選取具有代表性的教材內容。

(二) 試題在敘述要盡量簡明扼要，題意明確。

(三) 試題應盡量彼此獨立，不互相牽涉，並避免含有暗示答案的線索。

11

(四) 試題須有公認的正確答案或相對較佳的答案。

(五) 試題中即使不會影響正確答案的選擇，仍要盡量避免有錯誤。

(六) 如果想要測量學生的高層次認知能力，則試題不一定要有固定的答案。

(七) 試題的敘述宜重新組織，避免直接抄襲原來的教材。

(八) 試題應以重要概念或原理原則的理解與應用為主，避免偏重瑣碎及零碎知識

的記憶。

(九) 避免使用與測驗無關的敘述，增加作答困難。

(十) 命題勿超過單元教學的評量目標。

(十一) 提早命題，以預留時間進行試題審查或修正。

三、試題及測驗的審查

教師在編製試題後須對試題進行審查。試題審查可以分成「邏輯的審查」

（logical review）和「實證的審查」（empirical review）兩方面來進行：

(一)邏輯的審查

邏輯的審查主要是在審查測驗試題是否具有一致性（consistency）和適當性

（adequacy），以確保測驗試題能測量到預定的教學內涵或教學目標。

(二)實證的審查

實證的審查主要是針對試題功能和教學敏感度（instructional sensitivity）進行

分析，透過客觀量化數據的分析，作為判定試題品質及編輯改進的參考。在標準

化成就測驗的編製過程中，經學科與測驗專家編製好測驗試題後，一般會藉由預

試（pilot test）來進行實證的試題審查，以確保試題都具有良好的品質。

四、試題與測驗分析

一般來說，教師自編成就測驗可以不必經過嚴謹的試題分析和測驗分析就直

接使用，但是標準化成就測驗就必須經過嚴謹的試題分析和測驗分析後才能使用。

教師在完成自編成就測驗預試後，下一步的分析工作就是進行試題分析與測驗分

析。

12

個別試題分析主要在分析難度指標（difficulty index）、鑑別度指標

（discrimination index）、誘答力（distraction）與注意係數指標（caution index）；而

測驗分析主要在分析信度係數（reliability coefficient）、效度係數（validity coefficient）

與差異係數指標（disparity index）。

五、新測驗的編輯

教師在編擬好測驗試題後，經過初步的試題形式審查和客觀審查（包括試題

分析）後，就可以進行新測驗的編輯工作，教師可以考量下列四個項目：

(一) 測驗的長度

測驗長度(length of test)指的是測驗的題數，題數多寡會受測驗目的、測驗類型、

學能力及作答時間等因素影響。

(二) 試題的難度

測驗試題的難度取決於測驗的目的，學習材料的內容及範圍也會影響試題的

難易度。

(三) 試題的排列

教師可依據試題難度、試題類型、教材內容或測量能力等方式來進行試題編

排。

(四) 編製測驗指導語。

試題編排結束後，可在試卷上載明考試須知及注意事項，讓施測過程能盡量

達到標準化。

本研究測驗時間為一節課 45 分鐘，考量學生作答時限，試題題數為選擇題 17

題、非選擇題 3 題(共 4 小題)，共計 20 題。學校段考是屬於成就評量，為標準參

照測驗，旨在了解本校八年級學生在數學科第一次段考範圍的學習表現，由作答

情形了解學生迷思概念，故在試題安排上應該是屬於大部分學生可以習得、學會

的，因此試題難度屬於中間偏易。此外，本測驗是仿照會考進行命題，為了區分

精熟與基礎等級的學生，所以有一些試題會偏難，但整卷平均是屬於難易適中。

13

試題排列方面，依試題類型分成選擇題在前、非選題在後，並由領域教師們討論

後將選擇試題大致由易到難排列。試題作答方面，選擇題部分採畫卡電腦閱卷，

非選擇題為手寫，如未寫出過程、說明則不予計分，相關計分方式說明皆呈現於

試題卷及答案卷上，測驗時監考老師亦按試場規則說明。

第二節、 國中教育會考

本研究係依教育會考數學科試題模式做為試題編製之參據，故以下就教育會

考成立背景及數學科試題作說明。

壹、 成立背景與簡介

為順應世界教育改革之潮流，我國於民國 103 年起正式實施十二年國民基本

教育(以下簡稱十二年國教)，而國民教育會考(以下簡稱教育會考)即為十二年國教

的重要配套措施之一。教育會考依據教育部「國民小學及國民中學學生成績評量

準則」辦理教育會考，於民國 102 年起試辦，103 年起正式實施，期能在十二年國

教教育改革的過程中發揮檢定、減壓、鬆綁的功能，做為我國了解及確保國中畢

業生學力品質的機制。具體來說，教育會考的目的有以下四項(國中教育會考，

2016)：

一、降低考試壓力，活化學生學習。

二、檢視學生學力，確保學習品質。

三、回饋學習成果，強化適性輔導。

四、提供學力資訊，以利因材施教。

教育會考將各科成績等級減少改分成三等級(精熟、基礎、待加強)，適度緩解

學生分分計較的競爭考試壓力，讓學生能勇於培養其獨立思考、問題解決、溝通

合作等新一代能力素養，也讓老師能鬆綁教學方式，有更彈性的空間引導學生做

高層次的思考與學習。

此外，教育會考由原先常模參照的評量方式改成標準參照，三等級皆有明確

的表現等級說明，教師及學生就能有明確的成就標準，可達到提供具體學力訊息

14

及學力監控的目標，教育主管機關也能透過全體學生在各等級的表現比例，了解

目前國中畢業生的學力水準，以進行適當的調整與補強。

教育會考與國民中學學生基本學力測驗(以下簡稱國中基測)在測驗目的與用

途上有所差異，因此在測驗題型、測驗難度、結果呈現等方面有所不同，兩者之

比較如表 2-2-1。

由表 2-2-1 可知，教育會考不同於國中基測，其目的是對國中畢業生的學力進

行監控評與估，因此採用標準參照模式，將各科成績分成熟、基礎、待加強三等

級。為能更精確區分三等級，降低學生分類誤差，測驗難度由原先的中間偏易改

為難易適中，並於英語科增設聽力測驗，數學科增加非選擇題。

表 2-2-1

教育會考與國中基測的比較

項目 國中基測 教育會考

法源依據 高級中等學校多元入學招生辦法 國民小學及國民中學學生成績評

量準則

功能 作為申請入學、甄選入學或登記分

發等多元入學管道的重要依據

1. 掌握學生學力與學習品質

2. 輔導學生適性入學之參考

3. 做為新學習階段學習輔導與

補救教學的參據

命題依據 國民中小學九年一貫課程綱要能力指標

科目 國文、英語、數學、社會、自然及

寫作測驗

除原有科目外，英語部分增加聽

力、數學增加非選擇題型

題型 選擇題型 選擇題及非選擇題型

測驗難度 中等偏易 難易適中

評分方式 常模參照 標準參照

(續下頁)

15

表 2-2-1

教育會考與國中基測的比較

結果呈現 國、英、數、社、自五科採量尺分

數計算，每科滿分 80 分；寫作測

驗採標準參照六級分制，滿分 12

分，總分 412 分

將各科成績改為精熟、基礎、待

加強三等級，其中英語聽力部分

僅分成基礎及待加強兩等級；寫

作測驗計分方式不變。

資料來源：國中教育會考網站

貳、 數學科試題說明

一、試題取材與命題原則

教育會考數學科試題取材以學生學習及生活經驗為主要來源，著重數學知識的

實用性，避免特殊、繁瑣的解題方法，以重要的核心知識概念作為評量重點。一

般命題原則如下(國中教育會考，2016)：

(一) 採紙筆測驗評量所能評量的能力指標為主，期能達到客觀公平。

(二) 為達有效檢測學生能力水準、做學力表現等級分類，評量目標要符合等級標

準。

(三) 以課程綱要能力指標為命題依據，不受使用哪一版本教材所影響。

二、考試內容

教育會考數學科試題以「國民中小學九年一貫課程綱要」數學領域的能力指標

作為命題依據，分為數與量、幾何、代數、統計與機率及連結等五大主題，其中

「連結」可分成內、外兩部分：數學內部連結強調的是解題能力的培養；外部連

結強調的則是與生活經驗及它其領域內數學問題的覺察、轉化、解題、溝通、評

析等各種能力的培養。

三、試題類型

教育會考數學科試題除原有的選擇題外，另增設非選擇題(至多 3 題)，用以評

量學生表達解題過程與思維之能力。九年一貫課程綱要數學領域基本理念的數學

能力大致可分為：數學概念能力、演算能力、抽象能力、推論能力及數學溝通能

16

力。在評量數學概念的認識理解、演算能力的數字計算與符號運用方面，選擇題

即可大致評量到，但在抽象能力、推論能力及溝通能力方面，則常需透過非選擇

題(開放建構題)才能有效評量(謝豐瑞，2016)。

四、能力等級描述

教育會考數學科能力等級分三級，各級描述如下：

1. 精熟：能作數學概念間的連結，建立恰當的數學方法或模式解題，並能論證。

2. 基礎：理解基本的數學概念、能操作算則或程序，並應用所學解題。

3. 待加強：認識基本的數學概念，僅能操作簡易算則或程序。

五、加權計分

由於國內各大型測驗數學科選擇與分選擇題比例差異大，無法參考，故在基

於測驗學理考量、實務經驗評估、兼顧測驗品質及閱卷作業等因素下，訂定教育

會考數學科選擇題加權比重為 85％，非選擇題為 15％(國立臺灣師範大學心理與教

育測驗研究發展中心，2014)。

本研究測驗依據九年一貫課程綱要數學領域能力指標編製，參考翰林版課本、

習作及國中基測、教育會考歷屆考題命題，題型分選擇題及非選擇題，配分各占

85％、15％。本測驗段考試題屬於成就評量，為標準參照測驗，目的是在了解學

生對課程內容的學習狀況，測驗內容應該要是大部分學生可以學會的，試題難度

應屬於中間偏易，但比照會考模式，為了能更明確區分出精熟與基礎等級的學生，

會有一些偏難的試題，不過整份測驗仍是屬於難易適中。

第三節、 古典測驗理論與試題反應理論

一般來說，測驗理論大致可分為兩大派別：古點測驗理論(classical test theory，

簡稱 CTT)與試題反應理論(item response theory，簡稱 IRT)，前者是以整份測驗分

數做為主要思考依據的測驗理論，後者則是以單一試題分數為主要思考依據的測

驗理論(余民寧，2009)，以下分別就兩派理論探討。

壹、 古典測驗理論

17

古典測驗理論是最早的測驗理論，其理論所採用的公式淺顯易懂，至今仍是最

廣為人知並使用的測驗理論。古典測驗理論又稱為真實分數理論(true score theory)，

因為其理論是建立在真實分數模式(true score model)的數學基礎上，它的主要目的

是在估計某個測驗「實得分數」（observed score）的信度，也就是企圖估計實得分

數與真實分數（true score）之間的關聯程度(余民寧，2011)。「實得分數」是由「真

實分數(true score) 」和「誤差分數(error score) 」兩部份所組成，以數學公式 X=T+E

表示，其中 X 代表實得分數，T 代表真實分數，E 代表誤差分數。

實得分數是指受試者從測驗中實際得到的分數，真實分數是指受試者的潛在特

質（latent trait），誤差分數則是在測驗過程中設法要降低或避免的部分。根據古典

測驗理論的假設，每位受試者都具有某種潛在特質，該特質無法由單一測驗的實

得分數表示，要由受試者接受無數次測驗的得分平均數表示；而測量所得的實得

分數與真實分數的誤差即為誤差分數，它可能是正的、負的或零。

真實分數模式是一種直線關係的數學模式，其模式的成立必須滿足一些基本假

設，余民寧(2011)綜整這些基本假設可歸納成以下七點：

1. x = t + e，表示實得分數等於真實分數與誤差分數之和。

2. E（x）= t，表示實得分數的期望值等於真實分數。

3. 𝜌𝑡𝑒 = 0，表示真實分數與誤差分數互為獨立。

4. 𝜌𝑒1𝑒2= 0，表示不同測驗的誤差分數間互為獨立。

5. 𝜌𝑒1𝑡2= 0，表示不同測驗的誤差分數與真實分數間互為獨立。

6. 假設有兩個測驗，它們的實得分數分別為 x 及 x'，並滿足上述 1 至 5 的假定，

而且對每一群體考生而言，也滿足 t＝t'和𝜎𝑒2 = 𝜎

𝑒′2 等條件，則這兩個測驗

就稱作「複本測驗」（parallel tests）。

7. 假設有兩個測驗，它們的實得分數分別為為 x 及 x'，並且滿足上述 1 至 5 的

假定，而且對每一群體考生而言，亦滿足 t1＝t2+c12，其中 c12 為一常數，則

這兩個測驗稱作「相當於複本測驗」（essentially τ-equivalent tests）。

18

貳、 古典測驗理論的缺失與限制

古典測驗理論所採用的公式簡單易懂、應用廣泛，但也有些不足與缺失，學者

余民寧(2011)綜整該理論的缺失如下：

一、古典測驗理論在試題分析時所採用的難度、鑑別度和信度等指標都是一種樣

本依賴（sample dependent），這些指標會因為受試者樣本不同而有所差異，故

同一份測驗不易得到相同的難度、鑑別度或信度等指標。

二、古典測驗理論用一個共同的測量標準誤（standard error of measurement）作為

每個受試者潛在特質估計值的測量誤差，此舉往往會忽略了受試者反應的個

別差異，對於具有高、低兩極端潛在特質的受試者而言，這種指標既不合理

也不精確， 其結果的適當性令人質疑。

三、古典測驗理論對於功能相同但非複本（nonparallel）的測驗所獲得的分數，不

能提供有意義的比較，僅能對相同測驗的前後測或複本測驗分數之間進行有

意義的比較。

四、古典測驗理論的信度是建立在複本（parallel forms）測量概念的假設上，但是

這種假設往往不存在於實際的測驗情境裡，因為在現實測驗下，施測者不可

能讓每個受試者在接受多次相同測驗後，還保持每次反應結果都彼此獨立不

互相影響；此外，不是每種測驗都會在編製測驗時就同時製作複本。

五、古典測驗理論對於測驗得分相同的受試者，就視為具有相同的潛在特質估計

值，沒有考慮到受試者作答的試題反應組型（item response pattern）所代表的

意義，但事實上總分相同的受試者其反應組型並不一定相同， 故表示的意義

應該也不會一樣，所以最後估算出來的潛在特質估計值應該也會不同。

由於古典測驗理論有以上缺失，學者們為了改善、解決此問題，就轉而尋求理

論與方法均較嚴謹的當代測驗理論，進而發展出試題反應理論 。

參、 試題反應理論

相對於古典測驗理論，試題反應理論是依據強勢假設（strong assumption）而

19

來，其假設更為合理且結構嚴謹，採用的公式複雜且計算艱澀。試題反應理論認

為受試者在個別試題上的表現，與其背後的潛在特質具有某種關係，此關係可透

過一條連續遞增函數來表示，此即為試題特徵曲線(Item characteristic curve，簡稱

ICC)。在試題反應理論中，每一種試題反應模式都有一條相對應的試題特徵曲線，

它的涵義為描述受試者答對某一題的機率：若潛在特質的程度愈高，則作答反應

正確的機率就愈高，反之則越小。試題反應理論依計分方式的不同，主要分為二

元化計分(dichotomous scoring)及多元化計分(polytomous scoring)兩大類；依函數中

採用的參數多寡，可被區分為不同的模式，常用的有單參數、雙參數及三參數等，

都是僅適用於二元計分法，其試題特徵函數公式如下(余民寧，2009)：

1. 單參數模式：𝑃𝑖𝑗(𝜃𝑗) =1

1+𝑒𝑥𝑝[−𝐷(𝜃−𝑏𝑖)]

2. 雙參數模式：𝑃𝑖(𝜃𝑗) =1

1+𝑒[−𝐷𝑎𝑖(𝜃−𝑏𝑖)]

3. 三參數模式：𝑃𝑖𝑗(𝜃𝑗) = 𝑐𝑖 + (1 − 𝑐𝑖)1

1+𝑒𝑥𝑝[−𝐷𝑎𝑖(𝜃−𝑏𝑖)]

其中，𝐷 = 1.702；i 為題目編號；j 為受試者編號；𝜃𝑗為第 j 位受試者的能力值；

𝑎𝑖、𝑏𝑖、𝑐𝑖分別為第 i 題的鑑別度參數、難度參數、猜測度參數；𝑃𝑖𝑗(𝜃𝑗)為受試者

答對該試題的機率，其圖形是一種 S 形曲線，值介於 0 和 1 之間。

單參數模式只有難易度參數，若受試者能力值等於試題難度參數時，表示答對

機率為 0.5；若能力值高於試題難度時，答對機率就高於 0.5，反之則低於 0.5。雙

參數模式中有難易度與鑑別度兩個參數，三參數模式包含難易度、鑑別度與猜測

度參數三個參數。一般而言，鑑別度值 a 介於 0~2 之間為多，其值以介於 0.8~1.25

之間最為有效；難易度 b 大部分介於-3~3 之間，其值愈高難度愈難；猜測度 c 則

宜為0 ≤ c <1

選項數（王寶墉，1995）。

相對於古典測驗理論，試題反應理論應具有：（1）能力估計不變性；（2）具有

題目參數估計不變性，以及（3）測量精準度較合理；（4）應用層面較廣等優點。

相對於古典測驗理論，試題反應理論具有以下特色：

20

一、參數不變性

試題反應理論具有參數不變性(parameter invariance)之特色，表示用來描述某試

題的試題參數(如：難度、鑑別度、猜測度等)，其估計值不會因為受試者不同而有

所影響；而用來描述某位受試者的能力參數值，也不受到使用哪一組測驗試題之

影響(Hambleton & Swaminathan, 1985)。

二、訊息函數

訊息函數分成兩類：試題的訊息函數(item information function)與測驗的訊息函

數(test information function)。試題的訊息函數是指試題特徵曲線微分的平方與該題

變異數的比值，而測驗訊息函數是指試題訊息函數的總和。訊息函數在測驗編製、

試題挑選、電腦化適性測驗發展等方面皆扮演重要角色，對於診斷測驗的測量精

確度上也有很大幫助（余民寧，2009）。

依上述所言，試題反應理論似乎優於古典測驗理論，但實際上比起試題反應理

論被應用的情形不如古典測驗理論，歸究其原因為：試題反應理論建立在嚴謹的

數理統計學模式上，其理論公式艱澀難懂，對一般大眾來說不易理解，而且公式

複雜計算不易，往往需借助電腦套裝軟體進行運算，在應用上更受限制。此外，

礙於試題反應理論嚴苛的基本假設，能適用的資料有限並需要大樣本的配合，所

以較難讓一般使用者接受。

綜合以上兩種測驗理論可知，古典測驗理論雖然不夠嚴謹，但理論淺顯易懂，

所以易於在實際測驗情境中實施(特別是小規模的資料)；試題反應理論雖然較為嚴

謹，但理論艱深難懂，僅適用於大樣本測驗資料的分析。所以，這兩派測驗理論

在運用上各有其優勢限制，可依需求選取運用。

本研究以古典測驗理論分析試題難易度、鑑別度及誘答選項分析；以試題反應

理論單參數模式估計試題的難易度及學生的能力值。

第四節、 試題分析與測驗分析

在測驗施測完畢後，接著就要進行試題分析與測驗分析，以統計方法獲得客觀

21

的量化數據，作為判斷試題品質與教師改進命題與教學之參考。如何判定一份試

題的品質優劣，一般可由品質分析(qualitative analysis)及量化分析(quantitative

analysis)兩方面著手(余民寧，2011)：

1、 對試題內容進行品質分析

品質分析可從試題的內容審查、有效命題原則及教學目標等評鑑工作來進行，

透過試題的測驗審查與邏輯審查，能確保試題優良及具有一定的內容效度。

2、 對試題統計特徵進行量化分析

個別試題分析主要在分析難度指標、鑑別度指標、誘答力與注意係數指標；而

測驗分析主要在分析信度係數、效度係數與差異係數指標。

本研究在試題分析方面，透過量化數據分析每道試題的難度(difficulty)與鑑別

(discrimination)，若為選擇題型亦可分析其選項誘答力(distraction)；在測驗分析方

面，分析整份測驗的信度與效度，茲說明如下。

壹、 試題分析

一、 難度分析

難度是用來表示試題困難或容易的一種指標，與該題的答對率有關，一般來說

計算公式為𝑃𝑖 =𝑅𝑖

𝑁，其中𝑃𝑖為第𝑖題的答對率，𝑁為總人數，𝑅𝑖為該題答對人數。若

答對率越高表示該題越容易，反之則表示該題越難。若進一步依測驗總分將全體

受試者分成高分組與低分組(分別佔全體受試者測驗分數的前、後 27%~33%)，將

高分組與低分組的答對率平均後即為該題的難度指標（difficulty index），計算公式

為𝑃𝑖 =𝑃𝐻+𝑃𝐿

2，其中𝑃𝐻為高分組在第𝑖題的答對率，𝑃𝐿為低分組在該題的答對率，𝑃𝑖為

該題的難度指標，其值介於 0~1 之間，越接近 1 表示答對人數越多，試題越簡單；

越接近 0 表示答對人數越少，試題越困難(周文欽、歐滄和、許擇基、盧欽銘、金

樹人、范德鑫，1995；郭生玉，2004；Ebel & Frisbie,1991)。

通常在常模參照測驗中，試題的難度指標是以接近 0.5 左右最理想，表示試題

22

最能區辨學生的能力高低；而在標準參照測驗中，測驗目的是在檢核學生的學習

是否已達到預定的精熟程度，故會期望學生在試題的難度指標 (即答對率)都能接

近 1。因此，教師應依據教學情況與測驗目的來選擇適當難度指標的試題(余民寧，

2011)。本研究採用 Ebel 與 Frisbie（1991）的難易度等級表作為本研究試題難易度

的判斷準則，如表 2-4-1 所示：

表 2-4-1

難度等級表

難度值𝑃 難度等級 備註

0.8 ≤ 𝑃 極容易 鑑別度低

0.6 ≤ 𝑃 < 0.8 容易

0.4 ≤ 𝑃 < 0.6 難易適中 鑑別度高

0.2 ≤ 𝑃 < 0.4 困難

𝑃 < 0.2 極困難 鑑別度低

資料來源：Ebel & Frisbie（1991）

二、 鑑別度分析

鑑別度分析的目的是想確定試題是否具有區辨受試者能力高低的功能。鑑別度

越高，表示試題越能區辨出高能力與低能力的受試者；反之，鑑別度越低，表示

試題區辨高、低能力受試者的功能越弱。

鑑別度指標（discrimination index）依分析時所依據的標準不同，可分為內部

一致性（internal consistency）分析法與外在效度（external validity）分析法。兩種

方法之說明如下：

1、 內部一致性分析法

內部一致性分析法其目的為了解各別試題的功能是否和整個測驗功能相同，也

就是檢測各試題是否能讓高能力受試者傾向答對，低能力受試者傾向答錯。鑑別

度分析時，將全體受試者分成高分組與低分組(分別佔全體受試者測驗分數的前、

23

後 27%~33%)，把高、低兩組受試者答對率相減即為試題的鑑別度指標，計算公式

為𝐷𝑖 = 𝑃𝐻 − 𝑃𝐿，其中𝑃𝐻為高分組在第𝑖題的答對率，𝑃𝐿為低分組在該題的答對率，

𝐷𝑖為該題的鑑別度指標，其值介於-1~1 之間，越高表示試題鑑別度越好，越低則

表示鑑別度越差。(周文欽等，1995；郭生玉，2004；Ebel & Frisbie,1991)。當鑑別

度過低時，可能是試題太困難或太容易，使多數的受試者皆答錯或答對，或可能

是試題題意不清。若鑑別度為 0，則表示該試題無鑑別作用。若鑑別度為負時，表

示高分組的答對率低於低分組，該題應做修改或刪除。一般來說，鑑別度最低標

準至少要 0.2 以上，低於此標準之試題其鑑別度不佳。本研究採用 Ebel 與 Frisbie

（1991）的鑑別度等級表作為試題鑑別度的判斷依據，如表 2-4-2 所示：

表 2-4-2

鑑別度等級表

鑑別度𝐷 鑑別度等級 備註

0.4 ≤ 𝐷 非常優良

0.3 ≤ 𝐷 < 0.4 優良

0.2 ≤ 𝐷 < 0.3 尚可 試題須部分修改

𝐷 < 0.2 劣 試題須大幅修改或刪除

資料來源：Ebel & Frisbie（1991）

2、 外在效度分析法

外在效度分析法是在分析受試者對試題的反應與在效標上的表現之間的關係，

檢驗試題是否有達到預期的鑑別作用，目的在使試題反應與測驗外在效度變得最

大，以增強效標關聯效度。其常用的分析方法有點二系列相關（point-biserial

correlation）、二系列相關（biserial correlation）及φ相關等(余民寧，2011)。本研

究採用點二係數相關法計算選擇題試題的相關係數，探求試題的作答反應與測驗

總分之間的關聯性，亦即該試題的鑑別度指標。若點二系列相關係數值越大，表

示該試題的功能與測驗總分之間的關聯性越高，其鑑別功能越強；反之，若相關

24

係數數值越低，表示該試題的功能與測驗總分之間的關聯性越低，其鑑別功能越

弱(余民寧，2011)。

三、 選項誘答力分析

選擇題選項有篩選的功能，學習狀況佳的受試者較可能選正確的選項，而對課

程內容尚有迷思、一知半解的受試者則可能選擇錯誤選項，故提高錯誤選項的誘

答力可增加試題的鑑別度，並可了解受試者的學習狀況(Haladyna,1996)。進行誘答

力分析時，也是將全體受試者分成高分組與低分組(分別佔全體受試者測驗分數的

前、後 27%~33%)，以受試者的作答反應組型為依據，分別計算高高分組與低分組

在每一個選項的選答率。若試題選項具有良好的誘答功能，則每個錯誤選項至少

要有一位低分組考生選答，此外選擇錯誤選項的受試者中，高分組人數應少於低

分組(余民寧，2011；郭生玉，2004；Ebel & Frisbie,1991)。

若錯誤選項沒有任何高分組或低分組的受試者選答，則表示該選項不具有誘答

力，應於試題修改時變更此選項；若錯誤選項高分組的選答率高於低分組的選答

率，則表示該選項可能有內容敘述不清、誘導錯誤作答的狀況，或者高分組同學

對該題具有迷思概念，以致錯誤率較低分組來的高，因此在試題修改時要留意此

選項，必要行進行修改或刪除。

貳、 測驗分析

信度（reliability）與效度（validity）是測驗的兩大特徵，一份優良的測驗都具

有較高的信度與效度。為了讓教師了解自編成就測驗是否具有使用價值，確保該

測驗具有優良教育測驗的特徵，能成為一份公正、客觀且優良的教學評量工具，

分析測驗試題的信度與效度是必要的步驟，以下分別就信度與效度做說明(余民寧，

2011)。

一、信度

信度指的是經由多次複本測驗測量得到的結果間的一致性(consistency)、穩定

性(stability) (Anastasi，1982)，或是估計測量分數中測驗誤差與真實分數的差距與

25

所佔比率的一種指標(Gulliksen, 1987)。若測驗分數中測量誤差所佔的比例降低，

真實分數所佔的比例就會相對提高，信度係數就會提高；反之若測量誤差的比例

提高，真實分數所佔的比例就會相對降低，信度係數就會因此降低。信度係數一

般介於 0~1 之間，若數值越接近 1 則表示信度越高，若數值越接近 0 則表示信度

越低，當測驗的信度值為 1 時，表示測驗具有完全信度，而當測驗的信度值為 0

時則表示測驗完全沒有信度，其信度係數可能會受試題題數多寡、試題難易程度、

評分方式、受試者能力分配或不同的信度估計方法等因素影響，但信度係數為 0

或 1 的極端情況通常不容易出現。

估計信度的方法有許多種，依選用的估計方法不同，就會有各種不同的測量

誤差來源，以及產生不同大小的誤差估計值，但無論哪種方法，若信度越高則表

示誤差越小，反之若信度越低則表示誤差越大。學者余民寧(2011)綜整常見的信度

估計方法有以下四類：再測方法（test-retest method）、複本方法（equivalent-forms

method）、內部一致性方法（internal-consistency method）與評分者方法(scorer

method），因前兩種信度估計方法都需要進行兩次施測或是使用兩份測驗，在實際

實施上有其困難和限制，故本研究採用內部一致性方法估計選擇題試題信度，計

算試題的 Cronbach-α 信度指數。內部一致性方法是利用一次測驗結果來計算信度

係數，關心的是受試者在測驗評量上表現的一致程度，目的是在了解個別試題的

測驗功能是否和整份測驗的測驗功能相同，若刪除個別試題後測驗的總信度提高，

則表示將該題刪除有益於提高整份測驗的信度，反之若刪除該試題後測驗的總信

度降低，則表示該題對於測驗之內部一致性有助益。

一般來說，一份優良的教育測驗應至少具備 0.80 以上的信度值，測驗試題才

具有使用的價值（Carmines & Zeller，1979）。一般信度係數α的判斷依據如表 2-4-3

所示：

26

表 2-4-3

信度係數參考表

信度係數α 備註

0.9 ≤ α 十分可信

0.8 ≤ α < 0.9 不錯

0.7 ≤ α < 0.8 尚可接受

0.6 ≤ α < 0.7 勉強可接受

α < 0.6 不能接受

二、效度

效度指的是測驗分數的有效程度，也就是該測驗是否有測量到想要測量的潛在

能力的程度，或是測驗目標與測驗結果的一致性程度，測驗如果缺乏效度，就沒

有應用的價值，其可能受到測驗編製的品質、測驗施測程序與情境、受試者作答

時的身心反應、受試者能力分配或外在效標等因素影響(余民寧，2011)。

和估計信度一樣，估計效度的方法也有許多種，即使是同一份測驗也會因為使

用目的的不同，而採用不同的估計方法。依據 1999 年，由美國教育研究學會

(American Education Research Association，AERA)、美國心理學會(American

Psychological Association，APA)和美國國立教育測量委員會(National Council on

Measurement in Education，NCME)等三個教育專業團體組成之聯席委員會，建議

將效度分為三種類型，分別是內容效度(content validity)、效標關聯效度

(criterion-related validity)及建構效度(construct validity)。本研究採用的是內容效度，

其目的在了解學生的作答表現與測驗內容的代表性樣本間是否具有關聯性，由雙

向細目表檢核測驗試題是否有涵蓋教學目標和教材內容，試題內容是否具代表性，

來確立本測驗的內容效度。

綜上所述，本研究擬透過試題分析與測驗分析，由質的方面檢核試題內容，由

量化資料分析測驗試題的統計特徵，幫助教師了解試題品質，改善提升自身命題

27

技巧，並從中得知學生的學習困難與迷思概念，能針對這些問題調整教學方式、

進行補救教學，進而協助學生學習。

28

第三章、 歷程與結果討論

本研究針對「八年級第一次段考數學科定期評量試題」作質與量的分析，了

解試題的品質與學生學習表現，並依研究結果提出適切建議，作為教師改進命題

技巧與補救教學之用。本章共分三節，第一節說明研究對象，第二節說明研究工

具的發展過程，第三節說明資料處理與分析，將施測結果整理後，探討測驗分析

所得之結果。

第一節、 研究對象

本研究實施數學學習成就測驗之對象為研究者所任教之新北市某完全中學八

年級的學生，該年段共計 15 個班，受測人數共 419 人。測驗時間為 2016 年 10 月

13 日，此測驗係為該學年度之八年級第一次段考數學科定期評量試題，故所有受

測對象之施測時間一致，時間共 45 分鐘，選擇題採電腦畫卡，非選題採紙筆作答。

第二節、 研究工具

本研究之研究工具為教師自編之「八年級第一次段考數學科定期評量試題」，

本節將針對本研究所採用之數學學習成就測驗編製過程做說明，其編製過程如

下：

一、確立測驗目的及蒐集整理相關文獻

本研究旨在了解教師自編成就測驗之試題品質良窳，是否能達到檢核學生學

習之目的，並增進教師命題之能力，故先蒐集探討相關文獻，了解成就測驗編製

的步驟與注意事項，依循此原則進行試題編擬與審查。

二、測驗編製

(一) 擬定雙向細目表

確立測驗目標後，參考 Bloom 認知領與教育目標修訂版(Anderson & Krathwohl,

2001)及採用與 TIMSS(Mullis & Martin, 2013)和 TASA(國家教育研究院，2015)類似

的認知領域分類方式，以認知層次為橫軸，分為概念性理解、程序性執行、思考

29

解題三層次，以四個課程單元為縱軸，分成兩個向度設計雙向細目表，依授課節

數比重、課程內容難易度及重要程度分配各單元試題比重與能力層次，盡量使試

題的取材能充分涵蓋到所要評量的教學目標與教材內容範圍，其架構如表 3-2-2：

表 3-2-2

雙向細目表之架構

課程單元

能力層次 總題

數 百分比

概念理解 程序執行 解題思考

1-1 乘法公式

1-2 多項式的加減

1-3 多項式的乘除

2-1 二次方根的意義

總題數

百分比

(二) 選定測驗題型及試題來源

本測驗段考試題屬於成就評量，為標準參照測驗，旨在了解本校八年級學生

在數學科第一次段考範圍的學習表現，具有檢核學生精熟教材程度及決定成績等

第的功能，測驗內容應該要是大部分學生可以學會的，試題難度屬於中間偏易，

但比照會考模式，為了能更明確區分出精熟與基礎等級的學生，會有一些偏難的

試題，不過整份測驗仍是屬於難易適中。

本研究係依國中教育會考試題模式作為試題編製之參據，測驗題型兼採選擇

題及非選擇題，其中選擇題型皆為單選題，非選擇題為計算題，分數各占總分之

85％及 15％；依國民中小學九年一貫課程綱要能力指標命題，參考目前國民中學

教科用書(翰林、康軒、南一等版本)課本與習作，以及近十年的教育會考、國中基

測大考試題，作為本次試題編製之參考資料。測驗範圍及能力指標如下：

1、 測驗範圍：105 年翰林版數學科八年級上學期 1-1~2-1

30

2、 單元名稱及能力指標：整理如表 3-2-1：

表 3-2-1

單元名稱及能力指標

課程單元 能力指標分年細目

1-1乘法公式 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式

1-2多項式的加減 8-a-03 能認識多項式及相關名詞

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算

1-3多項式的乘除 8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算

2-1二次方根的意義 8-n-01 能理解二次方根的意義及熟練二次方根的計算

8-n-02 能求二次方根的近似值

8-n-03 能理解根式的化簡及四則運算

8-a-02 能理解簡單根式的化簡及有理化

資料來源：教育部(2008)

為了解學生作答反應及學習迷思，研究者批改學生習作及平時考卷後，會將學

生作答考卷掃描留存，蒐集統計學生的作答錯誤類型，並參考歷屆大考題的試題

選項，作為編製選擇題誘答選項之用。

(三) 試題編擬及審查

研究者以雙向細目表為藍圖，依試題編製原則命題。試題編製後，由研究者所

任教學校之同科教師們進行審題，綜合意見後做試題修改，考量作答時間及本校

學生能力，刪減部分較難、計算量較大之試題，並決定非選擇題評分標準，完成

試題之編製。本份試題題數為選擇題 17 題、非選擇題 3 題(共 4 小題)，共計 20 題。

試題排列方面，比照會考模式，依試題類型分成選擇題在前、非選題在後，並由

領域教師們討論後，將選擇試題大致由易到難排列。試題作答方面，選擇題採畫

卡電腦閱卷，非選擇題為手寫，如未寫出計算過程或說明則不予計分，相關作答

說明及計分方式皆呈現於試題卷及答案卷上，測驗時監考老師亦按試場規則說明。

完整試題請參閱附件。

31

第三節、 資料處理與分析

本研究於 2016 年 10 月實施，針對研究者任教學校之八年級學生進行數學學

習成就測驗施測，該年段共有 15 個班級，受測學生人數合計 419 人，測驗時間為

45 分鐘，測驗試題兼採選擇題及非選擇題，選擇題採電腦畫卡，非選題採紙筆作

答。施測結束後，選擇題由研究者進行電腦讀卡，非選擇題則由各班任課教師依

評分標準批閱給分，再由研究者彙整、掃描檔案，連同電腦讀卡資料一併彙整成

Excel 檔案，供測驗統計軟體分析使用。

本節分別以古典測驗理論與試題分析理論進行測驗試題分析，並根據分析結

果加以探討。透過 Tester2、ConQuest 等測驗分析軟體進行試題與測驗分析，根據

資料分析的結果探討難度、鑑別度、選項誘答力、學生能力估計值等試題特徵，

分析學生作答表現及迷思概念。

壹、 測驗試題之命題檢核

本研究依據雙向細目表，從試題能力層次、單元比重與能力指標等方面探討

整份試卷的專家效度與內容效度。研究者依雙向細目表進行試題編製後，由研究

者任教學校之三位同科教師進行試題審查，其中兩位教師有 20 年以上的教學資歷，

分別擔任過教學組長、數學領域召集人，具豐富教學經驗，亦擔任過會考數學科

非選題題閱卷人員，第三位教師具 10 年以上的教學年資，目前擔任教學組長。透

過資深教師豐富的教學經歷及對本校學生能力的了解，檢核試題是否符合教學內

容與測驗目標、語意是否適切、試題難度、題數與作答時間是否恰當等，完成試

題之編製。其雙向細目表如表 3-3-1。

一、能力能次

由表 3-3-1 可知，本份試卷在能力層次方面，以程序執行的試題數最多，選擇

題第 2、5、6、7、8、9、13 題及非選擇題 3 題(4 小題)皆屬於程序執行試題，共計

11 題，占整份試題數的比率為 52%；選擇題第 1、3、4、11、12 題屬於概念理解

試題，第 10、14、15、16、17 題屬於解題思考試題，這兩類試題數皆為 5 題，各

32

占整份測驗試題數的比率為 24%。

本試題作為研究者任教學校八年級數學科第一次段考試題，目的在檢核學生

精熟教材程度，了解學生是否能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算，簡單根

式的化簡、運算以及求二次方根的近似值，故以程序執行的試題所占比重最大。

而在應用、解題之前，學生是否了解多項式及相關名詞、理解二次方根的意義，

這和有意義的程序執行、解題之間有密切關係，此能力層次可透過概念理解的試

題加以評量。此外，學生是否具備連結、形成、論證之能力，能否作數學概念的

連結、採取合適的解題策略，則需透過解題思考層次的試題檢核。這類試題通常

需要較高、統整性的數學能力，對學生來說較困難，故試題數所占比重較低，在

試題配置上也排序在比較後面。

表 3-3-1

雙向細目表

課程單元

能力層次

總題數 百分比

概念理解 程序執行 解題思考

1-1 乘法公式 選 2.非 1(2) 選 10.16. 4 19%

1-2 多項式的加減 選 1.3. 選 7.非 1(1) 4 19%

1-3 多項式的乘除 選 11.12. 選 5.非 2 選 14.15.17 7 33%

2-1 二次方根的意義 選 4. 選6.8.9.13.非3 6 29%

總題數 5 11 5 21 100%

百分比 24% 52% 24% 100%

二、單元比重

由表 3-3-2 可知，「1-1 乘法公式」單元題數為 4 題，占整份試題數的比率為

19%；「1-2 多項式的加減」單元題數為 4 題，占整份試題數的比率為 19%；「1-3

多項式的乘除」單元題數為 7 題，占整份試題數的比率為 33%；「2-1 二次方根的

意義」單元題數為 6 題，占整份試題數的比率為 29%。四個課程單元在授課節數

33

安排上，參考翰林版備課用書之建議，教學節數分別為 4 節、4 節、7 節、5 節，

所占授課時間百分比分別 20%、20%、35%、25%，顯示整份測驗在各單元試題題

數的比重配置上，與授課節數比重大致相符。

表 3-3-2

試題題數與授課節數對照表

課程單元

試題 授課

題數 百分比 節數 百分比

1-1 乘法公式 4 19% 4 20%

1-2 多項式的加減 4 19% 4 20%

1-3 多項式的乘除 7 33% 7 35%

2-1 二次方根的意義 6 29% 5 25%

資料來源：授課節數參考自 105 年翰林版數學科八年級備課用書

三、 能力指標

由表 3-3-3 可知，選擇題第 2、10、16 題及非選題第 1- (2)題(試題 18_2)的能

力指標為「能熟練二次式的乘法公式」；選擇題第 1、3 題之能力指標為「能認識

多項式及相關名詞」; 選擇題第 5、7、11、12、15、17 題，及非選題第 1- (1)(試

題 18_1)、2 題(試題 19)的能力指標為「能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算」;

選擇題第 4 題及非選題第 3 題(試題 20)的能力指標為「能理解二次方根的意義及熟

練二次方根的計算」；選擇題第 9、13 題的能力指標為「能求二次方根的近似值」；

選擇題第 6、8 題的能力指標為「能理解根式的化簡及四則運算、能理解簡單根式

的化簡及有理化」，表示各試題皆能對應到相符的能力指標，而且各能力指標也都

能在試卷內找到相對應的試題供評量，測驗試題依雙向細目表命題，能涵蓋所有

教學目標與教材內容，試題具代表性，故本測驗具適當之內容效度。

34

表 3-3-3

試題評量目標與能力指標分年細目對照表

試題 評量目標 能力指標分年細目

1 評量學生是否能認識多項式的意義 8-a-03 能認識多項式及相關名詞

2 評量學生是否能熟練和的平方公式 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式

3

評量學生是否能認識多項式及相關

名詞 8-a-03 能認識多項式及相關名詞

4

評量學生是否能理解二次方根的意

義

8-n-01 能理解二次方根的意義及熟

練二次方根的計算

5

評量學生是否能做簡易多項式的化

簡

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

6 評量學生是否能做簡單根式的化簡

8-n-03 能理解根式的化簡及四則運

算

8-a-02 能理解簡單根式的化簡及有

理化

7

評量學生是否能熟練多項式的加、減

運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

8

評量學生是否能理解根式的化簡及

加減運算

8-n-03 能理解根式的化簡及四則運

算

8-a-02 能理解簡單根式的化簡及有

理化

9

評量學生是否能利用查表求得二次

方根的近似值 8-n-02 能求二次方根的近似值

10 評量學生是否能熟練二次式的乘法 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式

(續下頁)

35

表 3-3-3

試題評量目標與能力指標分年細目對照表

公式

11

評量學生是否能熟練多項式的加、

減、乘、除四則運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

12

評量學生是否能熟練多項式的除法

運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

13

評量學生是否能利用十分逼近法求

得二次方根的近似值 8-n-02 能求二次方根的近似值

14

評量學生是否能熟練多項式的加、

減、乘、除四則運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

15

評量學生是否能利用多項式的四則

運算化簡求值

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

16

評量學生是否能熟練差的平方公

式，應用乘法公式展開、比較各項係

數以求值

8-a-01 能熟練二次式的乘法公式

17

評量學生是否能熟練多項式的除法

運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

18_1

評量學生是否能熟練多項式的加、

減、乘、除四則運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

18_2

評量學生是否能熟練平方差公式的

運算 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式

19

評量學生是否能熟練多項式的除法

運算

8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算

(續下頁)

36

表 3-3-3

試題評量目標與能力指標分年細目對照表

20

評量學生是否能理解二次方根的意

義並求值

8-n-01 能理解二次方根的意義及熟

練二次方根的計算

資料來源：能力指標分年細目參考自教育部(2008)

貳、 古典測驗理論之試題分析

本份測驗共有 17 題選擇題，利用試題分析軟體 Tester2 進行古典測驗理論之試

題分析，分析試題之難易度、鑑別度及誘答選項分析，並提出教學建議，作為教

師改善命題技巧及補救教學之用，詳細試題分析表如表 3-3-4。

在答對率方面，選擇題的答對率介於 23.63%到 76.37%之間，第 3 題的答對率

最高，第 16 題的答對率最低，選擇題的平均答對率為 52.97%。

在難度方面，選擇題的難度值介於 0.33 到 0.70 之間，第 9 題的難度指數最高，

第 16 題的難度指數最低，選擇題的平均難度為 0.54。

在鑑別度方面，選擇題的鑑別度值介於 0.38 到 0.89 之間，第 16 題的鑑別度

指數最低，第 8 題的鑑別度指數最高，選擇題的平均鑑別度為 0.67。

在點二系列相關係數方面，選擇題的點二系列相關係數(rpb)介於 0.22 到 0.68

之間，第 10 題的相關係數最低，第 8 題的相關係數最高，選擇題的點二系列相關

係數平均為 0.47。

在刪題後信度方面，選擇題的刪題後信度介於 0.84 到 0.86 之間，第 1、2、4、

8、11 題的刪題後信度較低，第 10、16 題的刪題後信度較高，選擇題的總信度為

0.86。

在試題判定類別方面，第 2、3、5、6、7、9、11、14、17 題為 A 型試題，共

計 9 題；第 1、4、8、13、15 題為 B 型試題，共計 5 題；第 10、12、16 題為 B'

型試題，共計 3 題；本測驗選擇題沒有 A'型試題。

37

表 3-3-4

選擇題 CTT 試題分析表

試題 答對率(%) CTT 難度 CTT 鑑別度 rpb 刪題後信度 判定類別

1 41.05 0.48 0.84 0.59 0.84 B

2 65.87 0.58 0.82 0.62 0.84 A

3 76.37 0.65 0.67 0.52 0.85 A

4 40.57 0.47 0.78 0.55 0.84 B

5 73.99 0.69 0.59 0.48 0.85 A

6 57.04 0.61 0.70 0.45 0.85 A

7 67.54 0.61 0.66 0.47 0.85 A

8 48.45 0.52 0.89 0.68 0.84 B

9 74.94 0.70 0.61 0.47 0.85 A

10 49.4 0.52 0.46 0.22 0.86 B'

11 55.61 0.57 0.79 0.57 0.84 A

12 36.52 0.42 0.55 0.32 0.86 B'

13 31.26 0.39 0.51 0.36 0.85 B

14 62.53 0.57 0.74 0.52 0.85 A

15 42.72 0.48 0.65 0.4 0.85 B

16 23.63 0.33 0.38 0.28 0.86 B'

17 52.98 0.53 0.75 0.46 0.85 A

平均 52.97 0.54 0.67 0.47

總信度 0.86

資料來源：資料分析結果來自 Tester2

以下依序就試題難度、鑑別度、點二系列相關係數、刪題後信度、試題診斷

分析、學生診斷分析及選項誘答力作說明，並就選擇題及非選擇題作個別試題分

析說明。

一、難度分析

在試題難度方面，分別選取受試者測驗分數的前、後 27%作為高分組與低分

組， 將高分組與低分組的答對率平均後即為該題的難度指數。若難度指數越高，

表示答對該題的人數越多，試題越簡單，反之若難度指數越低，表示答對該題人

數越少，試題越困難。本研究採用 Ebel 與 Frisbie（1991）的難易度等級表作為試

38

題難易度的判斷準則，其難度等級可參閱表 2-4-1。

由表 3-3-4 可知，選擇題第 3、5、6、7、9 題之難度等級為容易，第 13、16

題之難度等級為困難，其餘各題皆為難易適中。在 17 道試題中，第 9 題的難度指

數最高為 0.70，表示試題最簡單；第 16 題的難度指數最低為 0.33，表示試題最困

難。選擇題的平均難度為 0.54。

將表 3-3-4 彙整之試題難度分布情形如下表 3-3-5。由表 3-3-5 可知，試題難度

等級為困難的試題有 2 題，占選擇題的 12%；試題難度等級為難易適中的試題有

10題，占選擇題數的 59%；試題難度等級為容易的試題有 5題，占選擇題數的 29%，

選擇題命題符合原先試題編製時預期之中間偏易的試題難度。

表 3-3-5

選擇題難度分析表

難度值𝑃 難度等級 題數 百分比

0.8 ≤ 𝑃 極容易 0 0%

0.6 ≤ 𝑃 < 0.8 容易 5 29%

0.4 ≤ 𝑃 < 0.6 難易適中 10 59%

0.2 ≤ 𝑃 < 0.4 困難 2 12%

𝑃 < 0.2 極困難 0 0%

資料來源：難度等級參考自 Ebel & Frisbie（1991）

二、鑑別度分析

在試題鑑別度方面，分別選取受試者測驗分數的前、後 27%作為高分組與低

分組，將高分組與低分組的答對率相減即為該題的鑑別度指標。若鑑別度指標越

高，表示該題越能區辨受試者之能力高低，反之鑑別度指標越低，表示試題區辨

高、低能力受試者的功能越弱。本研究採用 Ebel 與 Frisbie（1991）的鑑別度等級

表作為試題鑑別度的判斷依據，其鑑別度等級可參閱表 2-4-2。

由表 3-3-4 可知，除選擇題第 16 題外，其餘試題之鑑別度值均高於 0.4，表示

39

鑑別度等級為非常優良；第 16 六題之鑑別度值為 0.38，鑑別度等級為優良，選擇

題的平均鑑別度為 0.67，顯示選擇題試題具鑑別度，能區辨出高能力與低能力的

學生。

將表 3-3-4 彙整之鑑別度分布情形如下表 3-3-6。由表 3-3-6 可知，鑑別度等級

為優良的試題有 1 題，占選擇題數的 6%，其餘試題鑑別度等級均為非常優良，占

選擇題數的 94%，顯示本份測驗的選擇題鑑別度優良，能區辨高、低成就的學生。

表 3-3-6

選擇題鑑別度分析表

鑑別度𝐷 鑑別度等級 題數 百分比

0.4 ≤ 𝐷 非常優良 16 94%

0.3 ≤ 𝐷 < 0.4 優良 1 6%

0.2 ≤ 𝐷 < 0.3 尚可 0 0%

𝐷 < 0.2 劣 0 0%

資料來源：鑑別度等級參考自 Ebel & Frisbie（1991）

試題的難度與鑑別度間有密切關係，一般來說當難度指標接近 0.5 時，試題的

鑑別度最大，若難度指標趨向 0 或 1 兩極端時，鑑別度則會趨近於 0，故挑選試題

時一般會選擇難易適中的試題，以確保其鑑別度，但實際篩選試題時仍會測驗目

的不同而有不同的考量(余民寧，2011)。本測驗為標準參照測驗，用於檢測八年級

學生第一次段考的學習精熟程度，其試題所涵蓋的的課程內容較少，試題多半屬

於中間偏易，但試題內容具有教學代表性，符合測驗目的，故即使部分試題難度

指數較高、鑑別度較低，仍可視為適當的測驗試題。

三、點二系列相關係數

本研究採點二系列相關法來分析，依據學生在個別試題的作答反應與測驗總

分來求得點二系列相關係數，並以此數值來表示個別試題的鑑別度。點二系列相

關係數的值越大，表示該試題的作答反應與測驗總分之間的關聯性越高，其鑑別

40

功能越強；反之若點二系列相關係數的值越小，代表該試題的作答反應與測驗總

分的相關程度越低，其鑑別功能越弱(余民寧，2011)。

由表 3-3-4 可知，17 題選擇題的點二系列相關係數(rpb)介於 0.22 到 0.68 之間，

平均為 0.47，整體來說選擇題試題和測驗總分的相關係數佳，即選擇題試題測得

潛在能力的一致性佳。其中，選擇題第 10 題的點二系列相關係數最低，接著是第

16 題的 0.28，其餘試題的係數值皆高於 0.3，表示這兩個試題與測驗總分的關聯性

較低，而第 8 題的點二系列相關係數最高，表示該試題與測驗總分的關聯性最高。

四、信度分析

在信度方面，要說明一份測驗試題有無信度，必須根據所算出來的信度係數

做判斷。本研究利用 Tester2 測驗分析軟體，採內部一致性方法估計選擇題試題信

度，計算試題的 Cronbach-α 信度指數。內部一致性方法是指一份測驗試題經一次

施測後，由測驗結果估計信度係數，用以檢驗測驗分數的穩定性與可靠性。若一

份測驗具有良好的信度，表示在不同的時間、情境下使用類似的試題作測驗，受

試者作答分數應會十分接近、一致性高，則使用它來測驗學生的學習表現，所得

結果應會接近真實分數，受誤差的影響就越小；反之，若測驗的信度值不高，測

驗分數會越不一致、差異性高，受誤差的影響就越大(郭生玉，1999)。一般來說，

一份優良的教育測驗應至少具備 0.80 以上的信度值，測驗試題才具有使用的價值

(Carmines & Zeller, 1979)。本測驗 17 題選擇題的總信度為 0.86，大於優良教育測

驗一般應具備的信度係數值 0.80，表示本測驗具良好的信度。

本測驗做為八年級第一次段考數學科試題，無法對同一批受試者進行兩次施

測或使用兩份測驗，故採用內部一致性分析法，利用一次測驗結果來計算信度係

數，其目的在了解個別試題的功能是否和整份測驗的功能相同，若刪除個別試題

後的「刪題後信度」提高，即測驗的總信度提高，則表示將該題刪除有益於提高

整份測驗的信度；反之若刪除該試題後的「刪題後信度」較測驗總信度來的低，

則表示該題對本測驗之內部一致性有助益(吳明隆，2009)。由表 3-3-1 可知，第 10、

41

16 題的刪題後信度為 0.86，表示刪除這 2 題對於本測驗結果之可信度並無影響；

第 1、2、4、8、11 題的刪題後信度為 0.84，第 3、5、6、7、9、12、13、14、15、

17 題的刪題後信度為 0.85，皆低於選擇題總信度 0.86，表示這些試題均有助於提

升測驗之內部一致性。

五、試題診斷分析

本研究參考學者余民寧(2011)綜整之試題診斷分析，將試題的屬性分成四大類，

用以判斷各試題編製的品質好壞，試題分類詳如表 3-3-7。

表 3-3-7

試題診斷分析表

判定類別 試題類型 說明

A 優良型試題

此類型試題注意係數介於 0~0.5 之間，答對率介於

50％~100％之間，表示為優良試題，適合受試學生

程度，可區辨出低能力的學生。

A' 異質型試題

此類型試題注意係數介於 0.5~1 之間，答對率介於

50％~100％之間，表示試題沒有太大問題但可能具

異質成分，應檢討試題來做局部修改。

B 困難型試題

此類型試題注意係數介於 0~0.5 之間，答對率介於 0

％~50％之間，表示為較困難之試題，可區辨出高能

力的學生。

B' 拙劣型試題 此類型試題注意係數介於 0.5~1 之間，答對率介於 0

％~50％之間，表示試題極為拙劣，需作修改或刪除。

資料來源：整理自余民寧(2011)

將表 3-3-1 彙整之試題類型如下表 3-3-8。由表 3-3-8 可知，在 17 題選擇題中，

第 2、3、5、6、7、9、11、14、17 題為 A 型試題，共計 9 題，佔選擇題數的 53%，

而 A'型試題的比率為 0%，顯示約有半數的試題屬於優良型試題，適合受試學生的

42

測驗程度，能區辨低能力程度的學生；第 1、4、8、13、15 題為 B 型試題，共計 5

題，佔選擇題數的 29%，顯示約有三成的試題屬於困難型試題，其試題難度較高

但並無編製不良的問題，可區辨出高能力程度的學生；第 10、12、16 題為 B'型試

題，佔選擇題數的 18%，顯示這 3 題屬於拙劣型試題，其試題答對率偏低、注意

係數過大，含有許多異質成分，故測量到的特質可能與其他試題不一致、可能題

意不清或不符合命題編製原則，需檢討修改或重新編擬試題。

表 3-3-8

選擇題判定類別分類

判定類別 試題題號 試題題數 百分比

A 2、3、5、6、7、9、

11、14、17 9 53%

A' 0 0%

B 1、4、8、13、15 5 29%

B' 10、12、16 3 18%

學者余民寧(2011)認為試題會落入 A'型及 B'型，多半與教材教法或試題的命題

編製技巧有關，教師應依此分析問題所在，以進行試題修正或教學改進。其可能

原因如下：

1. 教材、教學法不適當，或是教師的教學態度不佳。

2. 命題技巧待改進，例如：

(1) 命題條件不清，以致無正確答案可答。

(2) 命題目標與教學目標不相同，導致該試題不具教材代表性。

(3) 評量觀點和教學目標不相同，教學和命題內容未整合。

(4) 試題的提示不佳，有誤導作答的可能。

(5) 試題可能有多種答案，超出原先出命題所想。

(6) 試題前後可能具連鎖反應、有暗示答案的線索等，不為獨立試題。

(7) 試題違反命題原則。

43

以下分別就判定為 B'型的 3 題試題作探討，作為教師改進命題與教學之參考，

惟本研究在量化數值的計算上並未刪除任何試題。

選擇題第 10 題的題目為「判斷下列各式的值，何者最大？（A）4 × 292 − 182

（B）9 × 192 − 172 （C）16 × 132 − 122 （D）25 × 112 − 152」，該題命題係

參考歷屆大考試題及翰林版習作精熟題改編而來，正確答案為 A 選項，評量目標

為能熟練二次式的乘法公式，期望同學能藉由觀察完全平方數，利用指數律將各

式轉換成平方差乘法公式，簡化複雜的計算過程來求值，以此比大小。為能確實

符合測驗目標，避免同學採土法煉鋼的方式乘開求值，試題修改上建議將各選項

的數字變大，提高直接乘開的難度，彰顯乘法公式的運用。教師在教學時，可提

醒同學遇到較複雜難計算的式子時，先觀察各式內數字是否有完全平方數、是否

可提出公因數或符合乘法公式的形式，來簡化運算過程及計算時間，提高作答正

確性，這也是學乘法公式的用處之一。

選擇題第 12 題的題目為「已知𝐴、𝐵皆為𝑥的多項式，若𝐴 ÷ 𝐵的餘式為二次多

項式，則𝐵至少是幾次多項式？（A）三次 （B）二次 （C）一次 （D）零次」，

該題命題參考翰林版習作改編而來，正確答案為 A 選項，評量目標為能熟練多項

式的加、減、乘、除四則運算，能判斷多項式的除法運算是否已進行完畢。該題

敘述明確，但試題內並未提供實際的多項式數據供運算檢核，若同學對於多項式

除法運算不夠熟練，又無法採取舉例實際算算看等有效的解題策略，要答對並不

容易，對同學來說是較難的試題。教師在進行多項式除法教學時，除提醒同學多

項式要降冪排列、缺項補零，可布題讓同學練習餘式為一次、二次、整除等各種

情形，請同學觀察餘式的次數、項數，比較和除式次數間的關係，引導同學歸納

出餘式次數會低於除式次數的結果，加深學習印象。

選擇題第 16 題的題目為「若𝑎滿足(2016 − 16)2 = 20162 − 32 × 𝑎，則𝑎之值

為何？（A）8（B）16（C）2008（D）2016」，該題命題係參考歷屆大考試題及

翰林版備課用書改編而來，正確答案為 C 選項，評量目標為能熟練二次式的乘法

44

公式，能利用差的平方公式將左式展開，由方程式相等觀察左式、右式的各項，

利用提公因數比較係數或解一元一次方程式來求出𝑎值。該題的數字較大且含有未

知數，不容易直接乘開硬算，若利用乘法公式展開左式後，尚須比較左右式中各

項係數，且提公因數時還需留意是否需要變號，解題步驟較繁雜，對同學來說是

困難的題目。教師教學時乘法公式時，可提醒同學乘法公式是分配律展開的結果，

與提公因式為互逆的運算，為相等的式子，而在比較各項係數、提公因式的過程

中，要留意提負數需變號，以免計算錯誤。

六、學生診斷分析

本研究參考學者余民寧(2011)綜整之學生診斷分析，將學生類型分成六大類，

用以判斷學生的學習狀況及學習類型，學生類型詳如表 3-3-9。

表 3-3-9

學生診斷分析表

判定類別 學生類型 說明

A 學習穩定型

此類型學生注意係數介於 0~0.5 之間，得分百分比介

於 75％~100％之間，表示學習狀況良好、穩定性佳，

屬於學習成就較高、學習達精熟程度的學生。

A' 粗心大意型

此類型學生注意係數介於 0.5~1 之間，得分百分比介

於 75％~100％之間，表示學習穩定性稍差，屬於程

度好但常粗心大意的類型，即使是簡單的題目也容易

因粗心而答錯。

B 努力不足型

此類型學生注意係數介於 0~0.5 之間，得分百分比介

於 50％~75％之間，表示學習狀況尚佳、穩定，但學

習表現不如 A 類型學生，屬於中上程度、需要再用

功一點的學生。

(續下頁)

45

表 3-3-9

學生診斷分析表

B' 欠缺充分型

此類型學生注意係數介於 0.5~1 之間，得分百分比介

於 50％~75％之間，表示學習準備不夠充足且偶會粗

心大意，學習漸趨不穩，兼具不夠認真與偶爾粗心的

特質。

C 學力不足型

此類型學生注意係數介於 0~0.5 之間，得分百分比介

於 0％~50％之間，表示學習不夠充分、不夠用功，

基本學力不足，學習成就偏低。此類型學生欠缺良好

的先備知識能力，須加倍努力才能改善此狀況。

C' 學習異常型

此類型學生注意係數介於 0.5~1 之間，得分百分比介

於 0％~50％之間，表示學習極不穩定，讀書、考試

準備並不充分，成績起伏大可能有作弊、亂猜題的可

能，應針對此類學生進行個別補救教學。

資料來源：整理自余民寧(2011)

將表 3-3-1 彙整之學生類型如下表 3-3-10。由表 3-3-10 可知，屬於 A 類型的

學生有 82 人，占學生人數的 20%，屬於 A'類型的學生有 28 人，占學生人數的 7%；

屬於 B 類型的學生有 72 人，占學生人數的 17%；屬於 B'類型的學生有 37 人，占

學生人數的 9%；屬於 C 類型的學生有 82 人，占學生人數的 20%；屬於 C'類型的

學生有 118 人，占學生人數的 28%。

再將六大類學生概分成三群來看的話，A＆A'群和 B＆B'群的學生約各佔全體

人數的四分之一，顯示 A＆A'群學生的學習狀況佳，對於本次測驗的學習多能達到

精熟的程度，而 B＆B'群的學生學習表現尚可，屬於中間程度，但不夠用功、學習

準備不夠充分，需多加努力來穩定學習，教師在平時教學時可多留意，適時利用

口頭問答、形成性評量等方式，多鼓勵、多提醒以協助這些學生學習漸趨穩定。

46

值得注意的是，C＆C'群的學生比例極高，人數將近全體學生的一半，這些學

生屬於學力不足、學習極不穩定的類型，欠缺良好的先備知識能力，讀書、考試

的準備不夠充分，面對當前的學習內容應是備感吃力，很難跟上其他同學。對於

這類型的學生，不容易在一般按進度教學的課堂中協助其改善，教師須針對這些

學生給予個別的補救教學，編排適合其程度的課程教材，給予更充分的時間來練

習，亦需要鼓勵、督促學生更加努力用功，建立親師合作、提升家庭教育的功能，

才有可能改善學生的學習狀況。

表 3-3-10

學生判定類別分布

判定類別 人數 百分比

A 82 20%

A' 28 7%

B 72 17%

B' 37 9%

C 82 20%

C' 118 28%

研究者任教學校現階段採取的作法是，針對國、英、數三科有明顯學習落後、

待加強的學生開設課後補救教學課程，學生來源由導師評估推薦，如學生也有意

願方可參加。為協助教師能更準確評估學生學習狀況，除參考三次段考成績外，

學校會統一於學期末時對全年級學生進行國、英、數三科的補救教學測驗，其試

題來源為「國中小補救教學科技化評量」所研發之試題，且為提升學生作答狀況、

減少線上猜題問題，考試採紙筆測驗，故測驗應具有一定的信度、效度。最後的

考試成績即做為篩選補救教學學生與班別分級之用。因目前的補救教學為外加式

課程，對於學習落後的學生來說，放學留下來上課的意願低，且各科每週僅一到

兩節課，若學生學習僅只於課堂、努力不夠，對其幫助就有限，也無法改善學生

於正式課程的學習情況。

綜合上述，建議學校在實施正式課程時可考慮採用能力分組，教師可依不同

47

類型的學生程度安排適合的教材與教學，或是利用數學彈性學習時數規劃精熟學

習與數學補強課程，協助不同程度的學生在正式課程內，能依自身學習狀況獲得

較有效的學習。教師在課堂教學時，可適時利用分組合作學習、小組競賽、遊戲

等方式活化教學，藉由教學型態的改變，引導同學能彼此互助指導，並提高學生

學習興趣與意願。此外，學校須針對 C＆C'群的學生開設補救教學課程，因這類型

的學生人數眾多，需先將這些學生經適當的診斷測驗做更細部的分級，以利教師

能針對學生進行個別指導小班教學。

七、選項誘答力分析

在選項誘答力方面，分別選取受試者測驗分數的前、後 27%作為高分組與低

分組，以受試者的作答狀況為依據，計算高分組與低分組在每一個選項的選答率。

若試題選項具良好誘答功能，則每一個錯誤選項至少要有一位低分組考生選答，

且選擇錯誤選項的受試者中，高分組人數應少於低分組人數(余民寧，2011；郭生

玉，2004；Ebel & Frisbie, 1991)。

本研究利用 Tester2 測驗分析軟體，彙整出選項誘答力分析表 3-3-11，其中*

表示為該題正確答案，灰底表示該選項違反選項誘答力判斷原則。由表 3-3-12 可

知，除選擇題第 13、16 題外，其餘試題選項均具有良好誘答功能。第 13 題的正

確選項為 C，錯誤選項 A、B 皆符合誘答選項判斷，但錯誤選項 D 高分組選答率

為 20％，高於低分組的選答率 12％，違反誘答選項原則；第 16 題的正確選項為 C，

錯誤選項 A、B 皆符合誘答選項判斷，但錯誤選項 D 高分組選答率為 32％，高於

低分組的選答率 26％，違反誘答選項原則。以上兩題各有一個選項違反誘答選項

原則，表示該選項不具誘答力，可能是該選項敘述不良需要修改或刪除，但也可

能是該選項反應出了高分組同學的迷思概念，如此一來可提醒教師留意與該試題

相關的課程內容，適時調整教學方式與教學內容，協助學生學得更好。若是如此，

即使該試題選項違反誘答選項原則，仍可算是優良試題，可予以保留。

17 題選擇題中，正確選項為 A、B、C、D 的題數分別為 5、2、5、5 題，可

48

知 B 選項出現的次數特別少，選擇題正確選項出現的次數不夠平均，若學生有選

擇固定答案猜題的話可能會出現高分的現象，影響分析結果。正確選項出現次數

不平均，究其原因是研究者在修審題時有調整試題順序並刪去部分題目，但未留

意到刪掉題目的正確答案剛好都是 B，所以未能即時調整所致。因此在往後試題修

審題時，除關注試題內容本身，亦需多留意試題答案配置。

表 3-3-11

選擇題選項誘答力分析表

題號 組別

選項選答率(％)

A B C

D

1

高分組 9 2 0 89*

低分組 66 15 13 6*

2

高分組 0 0 1 99*

低分組 51 16 14 17*

3

高分組 99* 1 0 0

低分組 32* 20 36 13

4

高分組 8 3 86* 4

低分組 21 16 8* 54

5

高分組 1 98* 0 1

低分組 10 39* 36 13

6

高分組 0 96* 1 3

低分組 23 26* 23 27

7

高分組 1 1 94* 3

低分組 38 13 28* 21

8 高分組 1 1 1 97*

(續下頁)

49

表 3-3-11

選擇題選項誘答力分析表

低分組 44 30 13 8*

9

高分組 0 0 0 100*

低分組 14 21 25 39*

10

高分組 75* 8 4 12

低分組 29* 26 23 22

11

高分組 96* 3 0 1

低分組 17* 44 25 13

12

高分組 69* 9 12 9

低分組 14* 25 37 24

13

高分組 0 15 64* 20

低分組 42 32 13* 12

14

高分組 94* 6 0 0

低分組 20* 37 26 15

15

高分組 2 8 9 81*

低分組 27 26 29 15*

16

高分組 10 6 52* 32

低分組 21 37 14* 26

17

高分組 5 0 90* 5

低分組 27 32 15* 23

資料來源：資料分析結果來自 Tester2

50

八、選擇題試題分析

(一)第 1 題：

表 3-3-12

選擇題第 1 題

試題

下列何者為𝑥的多項式？

（A）−𝑥 + 3 = 0 （B）6

𝑥− 7 （C）3|𝑥| − 8 （D）−9

選項 A B C

D*

選項率(%) 46 8 5 41 通過率(%)：41

高分組(%) 9 2 0 89 難度：0.48

低分組(%) 66 15 13 6 鑑別度：0.84

本題的能力層次屬於概念理解，能力指標為能認識多項式的意義。

本題的正確選項為 D，由表 3-3-12 可知本題通過率為 41%，試題難度為 0.48，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 89%，低分組答對率為 6%，試題鑑

別度為 0.84，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率不高，顯示高分組同學能確實理

解並判別何為多項式；低分組選擇錯誤選項 A 的比率為 66%，顯示此選項對低分

組同學的誘答力高，接著依序為選項 B、C，反而是正確選項 D 的選答率最低，僅

有 6%，可推估低分組同學們對於多項式的意義有一定的了解，能知道多項式的文

字符號不可在分母或絕對值內，大多會優先刪去 B、C 選項，但對於多項式有迷思

概念，認為一定要有未知數𝑥才算多項式，D 選項只有常數且只有一項，感覺「很

奇怪」，所以看到有𝑥的式子就直覺選了 A，忽略了−𝑥 + 3 = 0是方程式而非多項

式。

教學建議方面，教師在介紹多項式的意義時，除說明多項式的文字符號不可在

分母或絕對值內，還須強調多項式與方程式的差異，可多舉一些例子請同學說明

來加深印象；在介紹多項式的次數時，可由三次、二次、一次多項式等，依序引

51

出零次多項式(即常數多項式)，在介紹多項式的項數時，可依多項式、單項式、

常數多項式、零多項式的順序介紹，漸進式加深同學印象。

(二)第 2 題：

表 3-3-13

選擇題第 2 題

試題

(𝑥 + 5)2與下列哪個式子相等？

（A）𝑥2 + 52 （B）𝑥2 + 10

（C）𝑥2 + 𝑥 × 5 + 52 （D）𝑥2 + 2 × 𝑥 × 5 + 25

選項 A B C

D*

選項率(%) 23 5 6 66 通過率(%)：66

高分組(%) 0 0 1 99 難度：0.58

低分組(%) 51 16 14 17 鑑別度：0.82

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能熟練二次式的乘法公式。

本題的正確選項為 D，由表 3-3-13 可知本題通過率為 66%，試題難度為 0.58，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 99%，低分組答對率為 17%，試題鑑

別度為 0.82，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組僅 C 選項有 1%選答率，其餘錯誤選項選答率為 0，

顯示高分組同學能熟練二次式的乘法公式展開，選答 C 選項的同學可能是粗心導

致忽略中間項的係數要乘 2；低分組選擇錯誤選項 A 的比率為 51%，顯示此選項對

低分組同學的誘答力高，其餘選項的選答比率則差不多，可知低分組同學對於二

次式的乘法公式，常會直接反應將可觀察到的𝑥和 5 平方，但不清楚為何會多增加

一個中間項2 × 𝑥 × 5。

教學建議方面，教師在做二項式的乘法公式教學前，先複習乘法分配律，強調

法公式只是乘法分配律展開後整理得來的結果，讓同學實際操作練習，了解完全

平方式中的「2𝑎𝑏」項是如何得到的，能分辯「差的平方」和「平方差」公式的不

同。讓同學多練習除了能熟悉乘法公式的推導過程，還能一併熟練多項式的乘法

52

運算，讓學生即使經過一段時間沒接觸而遺忘了公式，仍可知道利用分配律乘開

的方法導出公式，對於後續二次式因式分解的學習也會有幫助。

(三)第 3 題：

表 3-3-14

選擇題第 3 題

試題

關於多項式𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 4的敘述，下列何者正確？

（A）為三次多項式 （B）𝑥3項的係數為 0

（C）常數項為 4 （D）為升冪排列

選項 A* B C

D

選項率(%) 76 7 12 5 通過率(%)：76

高分組(%) 99 1 0 0 難度：0.65

低分組(%) 32 20 36 13 鑑別度：0.67

本題的能力層次屬於概念理解，能力指標為能認識多項式及其相關名詞。

本題的正確選項為 A，由表 3-3-14 可知本題通過率為 76%，試題難度為 0.65，

難度等級為容易；其中，高分組答對率為 99%，低分組答對率為 32%，試題鑑別度

為 0.67，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組僅 B 選項有 1%選答率，其餘錯誤選項選答率為 0，

顯示高分組同學能熟悉多項式及其相關名詞；低分組選擇錯誤選項 C 的比率為 36%，

顯示此選項對低分組同學的誘答力高，且略高於正確選項的選答率32%。由此可知，

低分組同學們對於多項式的項、次數、係數及升冪降冪等相關名詞不夠熟悉，對

於係數的迷思概念多為「數字」，容易忽略的係數的正負號，或者是像𝑥3像這種係

數為 1故省略不寫的情況，會因為沒有顯示數字而認為該項的係數是 0。

教學建議方面，教師在介紹多項式的相關名詞時，可多提醒學生項、係數的意

義，利用括號區隔每一項、強調各項的係數等等，例如把𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 4寫成

1𝑥3 + (−2𝑥2) + (3𝑥) + (−4)來提醒同學；在多項式的次數及排列方式上，可建議

同學用階梯式圖像方式來幫助記憶。

53

(四)第 4 題：

表 3-3-15

選擇題第 4 題

試題

下列敘述何者正確？

（A）49 是 7的平方根 （B）−0.4是1.6的平方根

（C）−1

2是

1

4的平方根 （D）√9是3的平方根

選項 A B C*

D

選項率(%) 18 12 41 29 通過率(%)：41

高分組(%) 8 3 86 4 難度：0.47

低分組(%) 21 16 8 54 鑑別度：0.78

本題的能力層次屬於概念理解，能力指標為能理解二次方根的意義及熟練二次

方根的計算。

本題的正確選項為 C，由表 3-3-15 可知本題通過率為 41%，試題難度為 0.47，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 86%，低分組答對率為 8%，試題鑑

別度為 0.78，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率都不高，顯示高分組同學多能理

解二次方根的意義；低分組選擇錯誤選項 D 的比率為 54%，顯示此選項對低分組

同學的誘答力高，接著依序為選項 A 、B，反而是正確選項 C 的選答率最低，僅

有 8%，由此可知，低分組的同學對於二次方根的意義並不了解，多數同學可能是

看到題目問平方根，就直覺選了唯一含有根號的選項 D，而少部分的同學可能是

對於「誰是誰的平方根」的敘述容易混淆，分不清哪個數字在前哪個數字在後。

教學建議方面，教師在教平方根時可先由數字較小的完全平方數來舉例，提醒

同學記住一、二個經典例，如「32 = 9，所以 3 是 9 的平方根」，幫助同學在判別

平方根時會較容易對照區分。此外也可提醒學生，任意正數都有兩個平方根，而

這兩個平方根為一正一負，互為相反數。

54

(五)第 5 題：

表 3-3-16

選擇題第 5 題

試題

化簡下列各式，請選出正確的式子：

（A）2𝑥 ∙ 3𝑥 = 5𝑥 （B）(3𝑥3)2 = 9𝑥6

（C）5𝑥2 − 3𝑥 = 2𝑥 （D）6𝑥2 ÷ 3𝑥 = 3

選項 A B* C

D

選項率(%) 5 74 16 5 通過率(%)：74

高分組(%) 1 98 0 1 難度：0.69

低分組(%) 10 39 36 13 鑑別度：0.59

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 B，由表 3-3-16 可知本題通過率為 74%，試題難度為 0.69，

難度等級為容易；其中，高分組答對率為 98%，低分組答對率為 39%，試題鑑別度

為 0.59，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組僅 A 選項有 1%選答率，其餘錯誤選項選答率為 0，

顯示高分組同學能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算，並判斷出正確的運算

式；低分組選擇錯誤選項 C 的比率為 36%，僅略低於正確選項 B 的選答率，顯示

此選項對低分組同學仍十分具有誘答力，表示這些同學對於多項式的加、減、乘、

除四則運算並不熟悉，可能有個大概觀念知道要數字和數字運算、文字和文字運

算，但缺乏同類項才能相加減的概念。此外，多項式的乘除牽涉到七年級所學的

指數律的概念：當底數相同的乘方相乘時指數相加、相除時指數相減，乘方的乘

方運算時，括號內外的指數需相乘而非相加。

教學建議方面，教師教學多項式的加減運算時，要多留意同學是否已熟悉同類

項的概念，可藉由國一假設未知數的舊經驗，將不同類項想成是蘋果、香蕉等不

同類的水果來區隔，以加深印象。此外教師可提醒同學，同類項才能做加減運算，

55

不同類不能相加減，且運算時是對係數做加減運算，未知數𝑥的次方不會改變，例

如：「5 個」𝑥2減掉「3 個」𝑥2後，剩下「2 個」𝑥2。

(六)第 6 題：

表 3-3-17

選擇題第 6 題

試題

下列各式中，何者錯誤？

（A）√56 = 53 （B）√(−5)6 = (−5)3

（C）√24 × 58 = 22 × 54 （D）√(−2)4 × (−5)8 = (−2)2 × (−5)4

選項 A B* C

D

選項率(%) 15 57 11 17 通過率(%)：57

高分組(%) 0 96 1 3 難度：0.61

低分組(%) 23 26 23 27 鑑別度：0.70

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能理解根式的化簡及四則運算。

本題的正確選項為 B，由表 3-3-17 可知本題通過率為 57%，試題難度為 0.61，

難度等級為容易；其中，高分組答對率為 96%，低分組答對率為 26%，試題鑑別度

為 0.70，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率極低，顯示高分組同學多能熟練

根式的化簡；低分組在各選項的選答比率差異不大，比例都差不多是四分之一上

下，顯示低分組同學對於本題根式的化簡不並熟練，可能都是胡亂猜題。

教學建議方面，教師在教學二次方根的計算時，可提醒同學在做根式化簡時，

若根號內的數字出現負數且有二次、三次方等時，要留意開方之後數值的正負；

若學生對於指數的運算不夠熟練，也可建議同學不妨實際乘開算看看再利用短除

法分解，雖然多了一些步驟，但可提高計算的答對率，也可當作是驗算。

56

(七)第 7 題：

表 3-3-18

選擇題第 7 題

試題

已知一多項式與(−5𝑥2 + 2𝑥 − 8)的和為(8𝑥2 − 11𝑥 + 13)，則多項

式為何？

（A）3𝑥2 + 9𝑥 + 5 （B）13𝑥2 − 13𝑥 + 5

（C）13𝑥2 − 13𝑥 + 21 （D）−13𝑥2 + 13𝑥 − 21

選項 A B C*

D

選項率(%) 16 7 68 9 通過率(%)：68

高分組(%) 1 1 94 3 難度：0.61

低分組(%) 38 13 28 21 鑑別度：0.66

本題的能力層次屬於程序執行，測驗目標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 C，由表 3-3-18 可知本題通過率為 68%，試題難度為 0.61，

能度等級為容易；其中，高分組答對率為 94%，低分組答對率為 28%，試題鑑別度

為 0.66，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率都不高，顯示高分組同學能熟練

多項式的加、減、乘、除四則運算；低分組選擇錯誤選項 A 的比率為 38%，還比

正確答案 C 的選答率多出約 10%，顯示此選項對低分組同學的誘答力高，接著依序

為選項 D、B，選答率分別為 21%和 13%。從誘答選項 A 可發現，低分組同學可能

並未完全了解題意，沒有仔細看完題目、理解題目的敘述，僅只是看到題目中出

現的兩個多項式及關鍵字「和」，就直接兩個式子相加，−5𝑥2加8𝑥2結果為3𝑥2，

而唯一出現3𝑥2的答案只有 A 選項。

教學建議方面，教師教學多項式的加、減、乘、除四則運算時，從基本的數學

式的運算開始，到式子的移項、去括號做運算，待學生熟練後，再將試題從數學

式轉為文字敘述，並留意同學是否能成功將題目的文字表徵轉成數學式子，而非

57

僅能做單純的數學運算。

(八)第 8 題：

表 3-3-19

選擇題第 8 題

試題

計算√425

36− √1

9

16之值為何？

（A）31

12 （B）2

1

12 （C）1

11

12 （D）

11

12

選項 A B C

D*

選項率(%) 26 14 9 48 通過率(%)：48

高分組(%) 1 1 1 97 難度：0.52

低分組(%) 44 30 13 8 鑑別度：0.89

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能理解根式的化簡及四則運算。

本題的正確選項為 D，由表 3-3-19 可知本題通過率為 48%，試題難度為 0.52，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 97%，低分組答對率為 8%，試題鑑

別度為 0.89，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率極低，顯示高分組同學能熟練根

式的化簡及四則運算；低分組選擇錯誤選項 A 的比率為 44%，選擇錯誤選項 B 的

比率也有 30%，顯示這兩個選項對低分組同學都有很高的誘答力，反倒是正確選項

D 的選答率最低，僅有 8%，顯示低分組同學並未熟悉根式的化簡及四則運算。從

誘答選項A來看，選此選項的同學對於二次方根需要先化簡才能相加減並無概念，

只是單純把根式內的數，整數部分相減得到 3；選擇 B 選項的同學狀況可能類似，

或可能根式有需要先化簡的概念，但並沒有把帶分數換成假分數就直接化簡。

教學建議方面，教師教學根式的化簡及四則運算時，可能要留意中後段同學的

學習狀況，適時放慢教學步調，因為根式對同學來說本來就是新的、較抽象的內

容，等熟練真分數、假分數(且分子、分母均為完全平方數)的根式化簡後，再強

58

調帶分數的根式化簡就和帶分數做乘除法運算一樣，要先化成假分數才能計算。

(九)第 9 題：

表 3-3-20

選擇題第 9 題

試題

利用右表，查出√190的近似值為何？

（A）3.9

（B）4.359

（C）43.59

（D）13.784

選項 A B C

D*

選項率(%) 6 9 10 75 通過率(%)：75

高分組(%) 0 0 0 100 難度：0.70

低分組(%) 14 21 25 39 鑑別度：0.61

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能求二次方根的近似值。

本題的正確選項為 D，由表 3-3-20 可知本題通過率為 75%，試題難度為 0.70，

難度等級為容易；其中，高分組答對率為 100%，低分組答對率為 39%，試題鑑別

度為 0.61，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組的答對率為 100%，錯誤選項無人選答，顯示高分組

同學能熟練查表技巧，確實求得二次方根的近似值；低分組選擇錯誤選項的比例

由高到低依序為 C、B、A，選答率分別為 25%、21%、14%。由作答情形可知，低

分組有接近四成的同學答對本題，表示具備求二次方根近似值的基本能力，選 C

的同學應是具備簡易的查表技巧，但因為表上沒有直接顯示 190，就藉由找出數字

19的那一列和√𝑁的那一行的交點查出4.359，再把查出的數字乘以10倍得出答案。

教學建議方面，教師教學求二次方根的近似值，在說明查表規則之前，不妨請

同學先利用前面學過的開方、十分逼近法的概念，推估一下二次方根的近似值，

讓同學對估計數字的大小範圍較有感，如此一來即使不依賴查表也可以先排除一

𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁

19 361 4.359 13.784

39 1521 6.245 19.748

59

些過大或過小的數，縮小範圍。而教師藉由例題說明時，建議先從可直接觀察代

入的題型開始，讓同學先熟悉查表的規則，再循序漸進，比較數字 N 與 10N 的差

異，請同學實際算算看，觀察比較兩者的差異。

(十)第 10 題：

表 3-3-21

選擇題第 10 題

試題

判斷下列各式的值，何者最大？

（A）4 × 292 − 182 （B）9 × 192 − 172

（C）16 × 132 − 122 （D）25 × 112 − 152

選項 A* B C

D

選項率(%) 49 14 16 20 通過率(%)：49

高分組(%) 75 8 4 12 難度：0.52

低分組(%) 29 26 23 22 鑑別度：0.46

本題的能力層次屬於解題思考，能力指標為能熟練二次式的乘法公式。

本題的正確選項為 A，由表 3-3-21 可知本題通過率為 49%，試題難度為 0.52，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 75%，低分組答對率為 29%，試題鑑

別度為 0.46，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比例不高，選答率由高到低依序為D、

B、C 的 12%、8%、4%，顯示高分組同學多數能熟練二次式的乘法公式。低分組在

各選項的選答比率差異不大，差不多是各占四分之一左右，顯示低分組同學對於

二次式的乘法公式運算不並熟練，可能都是胡亂猜題，或是利用土法煉鋼的方式，

將各選項的數字慢慢乘開來比大小，但因數字較大可能又會增加計算錯誤的機會。

故為確保能達到本題測驗目的「能熟練二次式的乘法公式運算」，降低同學直接展

開求值比大小的可能性，建議下次命題時可將數字再放大。

教學建議方面，教師教學二次式的乘法公式時，可提醒同學二次式的乘法公式

可用在簡化計算過程求值上，特別是一些較大數字的平方，常能借助完全平方式

60

或乘法公式來求值，所以若是看到完全平方數時，可多觀察式子是否能符合乘法

公式，若能因此讓數字之和或差為 10 的倍數，計算起來會更容易。

(十一) 第 11 題：

表 3-3-22

選擇題第 11 題

試題

若𝐴為𝑥的二次多項式，𝐵為𝑥的一次多項式，則𝐴 × 𝐵 − 𝐵為𝑥的幾次

多項式？

（A）三次 （B）二次 （C）一次（D）小於或等於一次

選項 A* B C

D

選項率(%) 56 28 11 5 通過率(%)：56

高分組(%) 96 3 0 1 難度：0.57

低分組(%) 17 44 25 13 鑑別度：0.79

本題的能力層次屬於概念理解，能力指標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 A，由表 3-3-22 可知本題通過率為 56%，試題難度為 0.57，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 96%，低分組答對率為 17%，試題鑑

別度為 0.79，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率極低，顯示高分組同學能熟練多

項式的加、減、乘、除四則運算；低分組選擇錯誤選項 B 的比率為 44%，顯示此選

項對低分組同學的誘答力高，而 C 選項的選答率為 25%，D 選項的選答率為 13%。

由誘答選項 B 可知，同學在做多項式運算時，直接把多項式的次數拿來加減乘除，

當𝐴 × 𝐵時將兩多項式的次數相加得新的三次多項式，接著再減掉多項式𝐵的次數，

最後得出的結果為二次多項式，顯示這些同學對於七年級所學的指數律概念並不

清楚。此外，因為本題僅以代號分別表示兩個多項式，沒有提供實際的數字，故

若同學對多項式的四則運算不夠熟悉，又沒有自己舉例來算看看，答對本題的機

率就不高。

61

教學建議方面，教師教學多項式的加、減、乘、除四則運算時，除了逐步讓同

學熟練四則運算的規則，可適時提醒同學觀察經過加、減、乘、除不同運算後，

多項式的次數是否有改變、如何改變、改變的規則為何。此外，也可教導同學，

如果遇到一些沒有提供實際數據、只有假設未知數的題目，不妨試著多舉幾個例

子來觀察、運算看看，給自己一點時間思考與推論，訓練歸納演繹的能力。

(十二) 第 12 題：

表 3-3-23

選擇題第 12 題

試題

已知𝐴、𝐵皆為𝑥的多項式，若𝐴 ÷ 𝐵的餘式為二次多項式，則𝐵至少

是幾次多項式？

（A）三次 （B）二次 （C）一次 （D）零次

選項 A* B C

D

選項率(%) 37 21 29 13 通過率(%)：37

高分組(%) 69 9 12 9 難度：0.42

低分組(%) 14 25 37 24 鑑別度：0.55

本題的能力層次屬於概念理解，能力指標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 A，由表 3-3-23 可知本題通過率為 37%，試題難度為 0.42，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 69%，低分組答對率為 14%，試題鑑

別度為 0.55，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項 C 的比率為 12%，略高於錯誤選項 B、

D 的選答率 9%，高分組合計約有三成的同學答錯；低分組選擇錯誤選項 C 的比率

為 37%，顯示此選項對低分組同學具有誘答力，接著依序為 B 選項的 25%和 D 選項

的 24%，皆高於正確選項 A 的選答率。由作答情形可知，有超過半數的學生答錯

此題，顯示對於多項式除法運算規則約定的概念理解不夠清楚，尤其在題目未提

供實際多項式的數據讓學生做長除法計算時，學生對於如何判別多項式的除法是

62

否已進行完畢不夠熟悉，推測低分組的同學可能是看到題目出現「二次」、「餘式」

等關鍵字，故傾向選 C。

教學建議方面，教師教學多項式的加、減、乘、除四則運算時，應強調在進行

多項式的除法時，餘式的次數需低於除式的次數，才算運算結束，且教師應做不

同難度的布題，讓學生從實做中學習，觀察餘式的次數會比除式的次數低，或餘

式為 0。

(十三) 第 13 題：

表 3-3-24

選擇題第 13 題

試題

已知(3.74)2 < 14 < (3.75)2，且(3.745)2 = 14.025025，則以四捨五

入法求√14的近似值到小數後第二位為？

（A）14.02 （B）14.03 （C）3.74 （D）3.75

選項 A B C*

D

選項率(%) 20 34 31 15 通過率(%)：31

高分組(%) 0 15 64 20 難度：0.39

低分組(%) 42 32 13 12 鑑別度：0.51

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能求二次方根的近似值。

本題的正確選項為 C，由表 3-3-24 可知本題通過率為 31%，試題難度為 0.39，

難度等級為困難；其中，高分組答對率為 64%，低分組答對率為 13%，試題鑑別度

為 0.51，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項 D 的比率為 20%，選擇錯誤選項 B 的比

率為 15%，錯誤選項 A 無人選答，高分組合計約有三成五的同學答錯；低分組選

擇錯誤選項 A、B 的比率分別為 42%及 32%，顯示這兩個選項對低分組同學的具有

很高的誘答力，而正確選項 C 和接近正確答案的誘答選項 D 的選答率較低，都只

有一成多而已。

由作答情形可知，高分組除了少部分同學外，多數同學都能估計出√14近似值

63

的整數部分，會優先排除選項 A、B，但接著要估計到小數點後兩位數時，須利用

十分逼近法的觀念求值，將 3.74 和 3.75 間等分，判別√14是落在 3.74~3.745 或

3.745~3.75 的區間內，因為題目有提供(3.745)2 = 14.025025，會讓部分觀念不夠

清楚的同學認為「14 很接近 14.025025，所以√14的近似值為 3.745」，所以將小數

點後第三位進位，選了 D 選項。而低分組的同學多數則選誘答選項 A 和 B，高分

組同學也有約一成五的比例選了誘答選項 B，顯示這些學生缺乏估計二次方根近似

值的能力，不熟練以十分逼近法求近似值，所以看到試題內有出現 14 這個數字，

而且題目是在問√14的近似值，就選了與 14 較接近的選項。

因為以上高、低分組的作答傾向差異(高分組會優先刪去選項 A、B，低分組會

優先選擇選項 A、B)，造成高分組選擇錯誤選項 D 的人數高於低分組人數，不符

合選項誘答力判斷原則，不過這並不表示該選項不佳需要修改或刪除，反而是能

顯示出高、低分組學生的學習問題，提醒教師在教學該單元內容時，要多留意學

生的學習狀況，對於「二次方根的估計」與「利用十分逼近法求近似值」，不只是

低分組同學會感到困難，對部分高分組的同學來說也不容易，需要放慢教學進度，

更強調該單元觀念的學習。由此可知，本題的 D 選項應可予以保留。

教學建議方面，教師教學二次方根的近似值時，可先讓同學熟練估計二次方根

的整數部分，判斷近似值會介於哪兩個連續整數間，對近似值有初步概念，能排

除差距過大的數值。整數部分確定後，接著希望能限縮範圍，將近似值更精確到

小數點以下的位數，可藉由本單元一開始「觀察面積為 2的正方形邊長」為例，

引出√2大約介在 1.4 和 1.5 之間，但因√2的值無法用學過的整數、分數或小數表示

出來，故利用二分法、十等分的概念，逐步逼近、縮小範圍來估計數字的近似值。

此部份教學重點應擺在讓學生熟練十分逼近法的概念，而非評量學生的計算能力，

故可提供相關的平方數值供學生判別近似值。

64

(十四) 第 14 題：

表 3-3-25

選擇題第 14 題

試題

若多項式𝐴除以7𝑥2 − 4得商式為2𝑥 − 3，餘式為−5𝑥 + 2，則𝐴為？

（A）14𝑥3 − 21𝑥2 − 13𝑥 + 14 （B）14𝑥3 − 21𝑥2 − 3𝑥 + 14

（C）−35𝑥3 + 14𝑥2 + 22𝑥 − 11 （D）−35𝑥3 + 14𝑥2 + 15𝑥 − 10

選項 A* B C

D

選項率(%) 63 21 9 6 通過率(%)：63

高分組(%) 94 6 0 0 難度：0.57

低分組(%) 20 37 26 15 鑑別度：0.74

本題的能力層次屬於解題思考，測驗目標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 A，由表 3-3-25 可知本題通過率為 63%，試題難度為 0.57，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 94%，低分組答對率為 20%，試題鑑

別度為 0.74，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率極低，僅錯誤選項 B 有 6%的選

答率，其餘錯誤選項的選答率為 0，顯示高分組同學能熟練多項式的加、減、乘、

除四則運算，能掌握乘除互逆的運算概念；低分組選擇錯誤選項 A 的比率為 37%，

顯示此選項對低分組同學具誘答力，而選擇錯誤選項 C 的比率為 26%，也略高於正

確選項 A 的選答率 20%。選擇錯誤選項 B 的同學，應具備「被除式=除式×商+餘

式」是乘除互逆運算的概念，能判斷多項式𝐴為被除式、7𝑥2 − 4為除式，並能列

出正確的數學式，將除式乘以商得多項式14𝑥3 − 21𝑥2 − 8𝑥 + 12，但在最後加上

餘式−5𝑥 + 2的步驟時，將一次項係數的(−8) + (−5)計算錯誤得到-3。

教學建議方面，教師在教導多項式的乘、除運算時，要先教導學生熟練直式除

法，再讓學生檢查多項式的除法是否具有「被除式=除式×商+餘式」的關係，點

出此關係式為乘除互逆的運算，可以作為乘法或除法的驗算。而學生在練習此題

65

型時，教師可提醒學生留意正負數的加減與去括號規則，以熟練多項式的四則運

算。

(十五) 第 15 題：

表 3-3-26

選擇題第 15 題

試題 計算11 × 1004 × 999 − 11 × 1001 × 1002之值為何？

（A）11（B）−11 （C）66（D）−66

選項 A B C

D*

選項率(%) 17 19 20 43 通過率(%)：43

高分組(%) 2 8 9 81 難度：0.48

低分組(%) 27 26 29 15 鑑別度：0.65

本題的能力層次屬於解題思考，能力指標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 D，由表 3-3-26 可知本題通過率為 43%，試題難度為 0.48，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 81%，低分組答對率為 15%，試題鑑

別度為 0.65，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比率不高，合計高分組答錯比率接近

兩成。由此題題目來看，原式要求同學計算式子求值，但題目所給的數字頗大，

直接乘開並不容易，推測高分組同學在有限的測驗時間內，應不會優先採取直接

乘開求值的方式，推估其採取的解題策略應是先設未知數來替換原式中較大的數

值，將原式改寫為多項式，拆解成最有利於計算的形式，如設𝑥 = 1000，則原式

改寫為11(𝑥 + 4)(𝑥 − 1) − 11(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)，再藉由多項式的運算來簡化式子求

值。採取此方法在運算上比較方便也較易求得正確數值，亦表示這些同學應能熟

練多項式的加、減、乘、除四則運算。

低分組在各錯誤選項的選答率差異不大，比例都差不多是四分之一上下，推測

66

低分組同學對本題該如何思考、切入較無概念，沒辦法提出較佳的解題策略，可

能都是胡亂猜題居多，或是直接用土法煉鋼的方式將式子展開計算，但因題目的

數值較大、且低分組同學可能計算能力普遍較低，都可能是造成通過率偏低的原

因。

教學建議方面，教師在教學多項式的四則運算時，應先讓同學熟練基本的運算

規則，接著再引入以未知數替代較複雜數值的題型，藉由不易直接計算求值的題

目，讓同學了解如何透過適當的假設未知數，將題目拆解改寫成較易於計算的式

子，而這也就是學習數學的目的之一，能提出較佳的策略來簡化問題。

(十六) 第 16 題：

表 3-3-27

選擇題第 16 題

試題 若𝑎滿足(2016 − 16)2 = 20162 − 32 × 𝑎，則𝑎之值為何？

（A）8 （B）16 （C）2008 （D）2016

選項 A B C*

D

選項率(%) 20 22 24 33 通過率(%)：24

高分組(%) 10 6 52 32 難度：0.33

低分組(%) 21 37 14 26 鑑別度：0.38

本題的能力層次屬於解題思考，能力指標為能熟練二次式的乘法公式。

本題的正確選項為 C，由表 3-3-27 可知本題通過率為 24%，試題難度為 0.33，

難度等級為困難；其中，高分組答對率為 52%，低分組答對率為 14%，試題鑑別度

為 0.38，鑑別度等級為優良，表示鑑別度高，試題品質佳。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項 D 的比率為 32%，顯示此選項對於高分

組同學具有高誘答力，其餘錯誤選項 A、B 的選答率則分別為 10%、6%。由作答情

況可知，高分組同學有半數能熟練的將二次式乘法公式展開，接著利用多項式相

等的概念，比較係數、提出公因式解題，或是利用解一元一次方程式的方式求出𝑎值。

67

在高分組中答錯的同學中，有超過三成的人是選擇了和正確答案 C 蠻接近的 D 選

項，推測這些同學應該能知道二次式的乘法公式，但作答時過於心急不夠細心，

在將(2016 − 16)2展開的過程中，因為題目已經提供了第一項20162，就順勢接著

計算中間項「2𝑎𝑏」而忽略了最後的「𝑏2」項，導致僅由2 × 2016 × 16整理得到

32 × 2016，就選了 D 選項。

而低分組選擇錯誤選項 B 的比率為 37%，顯示此選項對低分組同學具誘答力，

接著依序為選項 D、A，正確選項 C 的選答率最低，僅有 14%。研究者原本推測低

分組同學對於差的平方公式展開，其錯誤類型會與選擇題第 2 題相似，會直覺認

為(2016 − 16)2展開後的結果為20162 − 162，故錯誤選項 A 應具較高的誘答力，

但作答結果顯示錯誤選項 B 的誘答力較高，推測原因可能是當低分組同學遇到較

複雜、沒見過的題型時，較容易放棄思考解題，會直接將題目有出現的數字(2016

及 16)當作答案，或是將這些數字互相加減乘除後，選擇一個較接近的選項作答，

所以 B 選項的誘答力最高，其次是 D 選項。

由以上高、低分組的作答情形分析可知，高分組的同學多能理解二次式的乘法

公式，能先行排出差距過大的 A、B 選項，所以作答情形較集中在 C、D 選項；而

本題對低分組同學來說是較困難、不熟悉的，所以各選項選答情形相對較分散，

導致高分組選擇錯誤選項D的人數高於低分組人數，不符合選項誘答力判斷原則。

雖然 D 選項未符合選項誘答力原則，但可從該選項的選答狀況了解高、低分組學

生的作答策略，以及背後的學習迷思概念，故仍可算是優良的選項，應可予以保

留。

教學建議方面，教師教學二項式的乘法公式時，可先複習乘法分配律，強調乘

法公式是由乘法分配律展開後整理得來的結果，建議讓同學實際操作練習，熟悉

乘法分配律的計算，並熟練二次式乘法公式的推導過程及最後化簡合併的結果。

教師可提醒學生注意乘法分配律展開與提公因式為互逆的運算，需能熟練其運算，

如此一來對後續學習因式分解的單元也會有幫助。

68

(十七) 第 17 題：

表 3-3-28

選擇題第 17 題

試題

計算多項式除法的過程如右圖， 𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒、𝑓皆表示係數，則

𝑎 + 𝑏 + 𝑑 + 𝑒為？

（A）21

（B）25

（C）33

（D）37

選項 A B C*

D

選項率(%) 15 13 53 17 通過率(%)：53

高分組(%) 5 0 90 5 難度：0.53

低分組(%) 27 32 15 23 鑑別度：0.75

本題的能力層次屬於解題思考，能力指標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題的正確選項為 C，由表 3-3-28 可知本題通過率為 53%，試題難度為 0.53，

難度等級為難易適中；其中，高分組答對率為 90%，低分組答對率為 15%，試題鑑

別度為 0.75，鑑別度等級為非常優良，表示鑑別度高，試題品質優良。

在誘答選項方面，高分組選擇錯誤選項的比例低，錯誤選項 A、D 的選答率皆

為 5%，而錯誤選項 B 的選答率為 0，顯示高分組同學對於多項式的除法運算十分

熟練。低分組選擇錯誤選項 B 的比率為 32%，接著錯誤選項 A、D 的選答率依序為

27%、23%，錯誤選項 B 的選答率略高但與另外兩者差距不會太大，故 B 選項對低

分組可能稍具誘答力，但整體來說低分組同學對於多項式的除法運算並不熟悉，

在正負數的加減運算上也容易出錯。

教學建議方面，教師在教學多項式的除法運算時，可先複習整數的乘除關係，

說明其乘除互逆的運算在多項式也成立，接著依多項式除以單項式、多項式除以

8𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑑𝑐𝑥2 + 12𝑥

𝑏𝑥 + 3

𝑒𝑥 + 𝑑𝑓𝑥 + 9

−2

4𝑥 + 3

69

多項式的布題順序，以長除法或分離係數法進行多項式的除法運算，提醒同學要

將多項式降冪排列，遇到被除式或除式缺項時要補 0，計算時要從最高次項開始一

次消去，直到餘式的次數小於除式的次數或餘式為 0 為止，讓同學熟練多項式除

法的運算規則，之後再做題目的變換與增加未知數的練習。

九、非選擇題試題分析

本份測驗非選擇題共有 3 題(4 小題)，除了第 1 題的第 1 小題是 3 分(題號 18_1)

外，其餘 3 小題(題號 18_2、19、20)各為 4 分，非選擇題總分為 15 分，學生的成

績分布詳如下表 3-3-29。以下分別說明非選擇題評分標準、得分情形及個別試題分

析。

(一)評分標準

在評分標準方面，一般來說非選擇題之解題方向並不固定，想法較為發散，作

法可能不唯一，但因本次測驗為八年級定期成就評量，測驗範圍較小、內容較少，

且評量目標多在了解學生是否能理解題意，並熟練解題的程序性步驟，故在評分

標準上，研究者依試題之評量目標，列出各試題之參考作法及給分標準，提供教

師批閱時參考，作為評分之一致性標準，減輕教師閱卷之負擔，若學生有不同想

法，作答策略及解題步驟與參考答案不同，教師亦可自行斟酌給分。

(二)得分情形

在得分情形方面，由表 3-3-29 可知，非選題第 1 題的第 1 小題(題號 18_1)滿分

為 3 分，得 0 分的有 255 人，佔全部人數的 61%，得 1 分的有 11 人，佔全部人數

的 3%，得 2 分的有 9 人，佔全部人數的 2%，得 3 分的有 144 人，佔全部人數的

34%。非選題第 1 題的第 2 小題(題號 18_2)滿分為 4 分，得 0 分的有 190 人，佔全

部人數的 45%，得 1 分的有 42 人，佔全部人數的 10%，得 2 分的有 34 人，佔全

部人數的 8%，得 3 分的有 13 人，佔全部人數的 3%，得 4 分的有 140 人，佔全部

人數的 33%。非選題第 2 題(題號 19)的滿分為 4 分，得 0 分的有 186 人，佔全部

人數的 45%，得 1 分的有 20 人，佔全部人數的 5%，得 2 分的有 22 人，佔全部人

70

數的 5%，得 3 分的有 32 人，佔全部人數的 8%，得 4 分的有 158 人，佔全部人數

的 38%。非選題第 3 題(題號 20)的滿分為 4 分，得 0 分的有 193 人，佔全部人數

的 46%，得 1 分的有 5 人，佔全部人數的 1%，得 2 分的有 13 人，佔全部人數的

3%，得 3 分的有 2 人，佔全部人數的 0.5%，得 4 分的有 206 人，佔全部人數的 49%。

表 3-3-29

非選擇題學生成績分布

題號 分數 人數 百分比(%)

18_1 0 255 60.86

1 11 2.63

2 9 2.15

3 144 34.37

18_2 0 190 45.35

1 42 10.02

2 34 8.11

3 13 3.1

4 140 33.41

19 0 186 44.5

1 20 4.78

2 22 5.26

3 32 7.66

4 158 37.8

20 0 193 46.06

1 5 1.19

2 13 3.1

3 2 0.48

4 206 49.16

從各題的答對人數及所佔比率可知，非選題第 3 題(題號 20)獲得滿分 4 分的人

數最多，答對率最高，有將近半數的同學都能正確作答，表示這題對同學來說是

比較簡單的題目；獲得滿分人數次多的是非選題第 2 題(題號 19)，最後才是非選題

第 1 題(題號 18_1＆18_2)，其中第 1 題的第 1 小題(題號 18_1)約有六成的同學都是

0 分，得 1 分、2 分的人也很少，而第 2 小題(題號 18_2)則是獲得滿分的人數最少，

71

表示這題對同學來說是較困難的題目。

這個結果與原先試題編製的預期有出入，研究者原先命題時，評估「多項式的

加減」概念類似於七年級學過的代數式化簡，對同學來說應該較簡單，且該教材

單元順序在前，同學應該有充分的時間熟練多項式的加減運算，所以把此題順序

安排在最前面。而「平方根」對同學來說是一個較新的數學名詞，研究者原先預

期會有許多同學搞不清楚「誰是誰的平方根、要不要加正負」等問題，且此單元

內容是接近段考前才接觸到，同學們可能尚未充分了解熟練，所以將此題排在最

後面。因此，在試題編製方面，建議要調整非選題的試題順序，或是修正非選題

第 1 題的試題描述與圖示，降低試題難度，以符合原先試題順序由易到難的編排。

此外，從非選題各題的得分情形可發現，每個小題都有超過四成的同學是0分，

且多數是空白未作答，比例極高，這些放棄作答的同學，可能有部分是真的不會

寫，但也有可能是這些學生不想寫，作答意願低，根本沒有看題目。究其原因，

敘述較長的題目本來就會影響學生作答，而數學程度較低的學生對於這種題目更

是缺乏信心，沒有耐心看完題目理解題意，加上非選擇題沒有選項可選，所以只

要題目稍長就傾向直接放棄。以非選擇題第 1 題的第 1 小題(題號 18_1)為例，只要

學生願意讀題目，應能理解題目的要求是求 L 形圖案的周長，可將式子列出，寫

出一部分的答案。讀題列式求周長只需用到七年級代數式的列式、甚至是小學的

能力即可，但仍然有六成的學生連一分都得不到，顯然學生在學習上出現問題亟

需協助，需要師長更多的關心指導，協助提升學生的學習意願，扎實的加強數學

基礎能力，教師亦須在教學上做出調整與改善。

而從得分的分布情形來看，非選題各小題都有超過四成的同學是 0 分，有超過

三成的同學是滿分，而其中得到部分分數 1 分、2 分或 3 分(題號 18_2、19、20)

的人數最少是 2 人，最多是 42 人，所佔比例都不高，可知學生在非選擇題大多呈

現完全正確或是錯誤的情形。因此，建議往後在設定評量標準時，可考慮比照教

育會考分成 0 分、1 分、2 分、3 分四種分數即可，並逐步朝向會考非選擇題評分

72

規準來批閱試卷，惟此評分規準與操作細則與教師一般於校內閱卷之評分方式有

所差異，教師可能並不熟悉，為協助教師了解其實際操作內容，降低給分上的落

差，建議往後可辦理說明非選題評分規準之相關研習，讓同領域教師能提升此知

能，除能提高評分之一致性，亦可在教學上讓學生了解數學學習歷程的重要，強

化學生數學表達能力。

表 3-3-30

國中教育會考非選擇題評分規準

分數 評分規準

3 策略適切，而且表達合理、完整。

2

1. 策略適切，表達雖然合理、大致完整，但出現計算錯誤。

2. 策略適切，表達合理，大致完整，但沒有顯示部分步驟間的合理性。

1

1. 策略適切，表達大致合理，但出現錯誤的引用。

2. 策略方向正確，但缺乏嚴謹性，不足以解決題目問題。

3. 策略方向正確，但未能完全將題目轉化成數學問題。

0 策略模糊不清；解題過程空白或與題目無關。

說明：評分規準是閱卷教師評分的依據，數學科非選擇題評閱的重點是學生解題

過程中擬定「策略」的適切性，以及過程「表達」的合理性、完整性。其中，「策

略」是指學生察覺題目條件要素，將題目轉化成數學問題並擬定解題方法；「表達」

是指解題過程的呈現或步驟間合理性的說明。

資料來源：取自國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心(2014)

73

(三)非選擇題個別分析

表 3-3-31

非選擇題第 1 題

試題

將兩個大小不一的正方形沿一個直角的兩邊重疊

後，得出新圖形如右圖(灰底部分)。已知大正方形邊

長為𝑥 + 5，小正方形邊長為𝑥 − 1，則求此新圖形的：

(1) 周長(3 分) (2) 面積(4 分)

第(1)題

分數 0 1 2 3

人數 255 11 9 144

百分比(%) 61 3 2 34

第(2)題

分數 0 1 2 3 4

人數 190 42 34 13 140

百分比(%) 45 10 8 3 33

評分

標準

(1) 周長(3 分)

答：4𝑥 + 20

(2) 面積(4 分)

答：12𝑥 + 24

本題包含兩小題，能力層次皆屬於程序執行，第 1 小題的能力指標為能熟練多

項式的加、減、乘、除四則運算，第 2 小題的能力指標為能熟練二次式的乘法公

式。

2(𝑥 + 5) + 2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8 (1 分)

2[(𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)] = 12 (1 分)

4𝑥 + 8 + 12 = 4𝑥 + 20 (1 分)

(𝑥 + 5)2 − (𝑥 − 1)2 (1 分)

= [(𝑥 + 5) + (𝑥 − 1)] [(𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)] (1 分)

= (2𝑥 + 4) × 6 (1 分)

= 12𝑥 + 24 (1 分)

74

第 1 小題得 0 分的有 255 人，佔全部人數的 61%，表示有超過六成的同學無法

在這題取得任何分數，這些同學大多是整題空白未作答，部分同學會把題目中有

出現的大、小正方形邊長抄寫一次，而有少數有作答的同學應該有大致讀過題目，

能理解該題要求的是灰底圖形的周長，但在列式時寫成「2(𝑥 + 5) − 2(𝑥 − 1)」，

忽略了這個四邊形還有其他兩邊的長度沒計算到，因此未得分。而第 1 題得 1 分

的有 11 人，得 2 分的有 9 人，得滿分 3 分的有 144 人，顯示能理解題意並能將題

目轉化為數學式的學生，多數都能熟練多項式的四則運算，正確算出答案，僅有

少部分的同學會在乘法分配率或去括號時出錯，特別是在將大正方形邊長與小正

方形邊長相減時，容易將(𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)的結果寫成 4(正確答案應該是 6)。建議

教師在教學時可多提醒同學在計算時要更細心，特別是去括號時要留意是否變號

的問題，並養成驗算檢查的習慣。另外，在試題修改上，也許可將題目中提到的

邊長一併標示在附圖上，減輕同學讀題負擔，能更容易理解題意，也許可提高同

學作答意願。

第 2 小題得 0 分的有 190 人，佔全部人數的 45%，這些同學多數是在第 1 小題

就未作答，但人數較第 1 小題有減少了 15%左右，可知部分學生並非全部都直接

放棄作答，而是有先閱讀題目，試著理解題意並找出可行的解題策略。得 1 分的

有 42 人，得 2 分的有 34 人，得 3 分的有 13 人，較第 1 小題的作答情況來的好，

這些學生多數能正確列出(𝑥 + 5)2 − (𝑥 − 1)2來求面積，但沒有看出式子可直接利

用平方差公式來運算，多是採取用完全平方公式將式子展開的策略，但在計算二

次式的乘法公式時出錯，把(𝑥 + 5)2寫成𝑥2 + 52、(𝑥 − 1)2寫成𝑥2 − 12，或是在去

括號相減時出錯，所以計算錯誤。得滿分 4 分的有 140 人，佔全部人數的 33%，

值得注意的是，這些同學中有不少人並沒有如原先評量目標所預期的利用到二次

式的乘法公式解題，而是將題目所求的 L 形圖案切割成兩塊長方形，分別計算這

兩塊長方形的面積再加總，一樣可以求出答案。由此可知，若採取此方法的同學，

即使在本題獲得滿分，只能說明該生「能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算」，

75

但對於是否「能熟練二次式的乘法公式」則無法確定，也就無法達到本題的評量

目標。因此，為確保本題的測驗目標是「能熟練二次式的乘法公式」，建議修改題

目，將附圖中的小正方形移動位置，斜擺在大正方形內部，如此一來剩餘的圖形

就無法輕易切割成矩形來加總計算面積。

表 3-3-32

非選擇題第 2 題

試題 求(𝑥3 + 2𝑥2 − 2) ÷ (𝑥2 − 1)的商式和餘式。(4 分)

分數 0 1 2 3 4

人數 186 20 22 32 158

百分比(%) 45 5 5 8 38

評分

標準

1. 能列出直式除法的式子(採用分離係數法亦可)：將被除式與除式分別

寫在正確位置，且有降冪排列並缺項補零。(2 分)

2. 直式除法運算過程正確，並能正確寫出商式與餘式。(商式與餘式各

1 分)

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能熟練多項式的加、減、乘、除四

則運算。

本題得 0 分的有 186 人，佔全部人數的 45%，所佔人數比例和上一小題十分接

近，除整題空白的以外，尚有部分同學能寫出直式除法的形式，但在書寫被除式

和除式時都忽略了如有缺項要補零的問題，因此未得分。本題得 1 分的有 20 人，

得 2 分的有 22 人，得 3 分的有 32 人，合計約有近兩成的同學能在本題取得部分

分數，究其作答狀況來看，有些是在被除式或除式缺項補零時補錯位置、沒補零

而是補了𝑥，或是列式正確但在將商式乘以除式時出錯，如𝑥 × 0𝑥得𝑥2、，2 × (−1)得

2 等計算錯誤，又或者是在運算過程上下兩式相減時出錯，有時還誤打誤撞湊出正

確答案。由這些作答狀況可知，這些同學對於多項式的除法已具備基本概念，但

對於多項式的四則運算仍不夠熟練，所以當運算過程中會同時牽涉到乘法、減法

76

時，即使係數很單純仍容易出現計算錯誤。而得滿分的同學有 158 人，表示有將

近四成的同學能熟練多項式的除法運算。

由本題的作答情形可知，教師在教學直式除法運算時，「留意被除式與除式需

要降冪排列、缺項補零」的確是要時時強調的重點，此外，因為多項式的除法運

算會牽涉到前面所學的多項式加、減、乘法，所以在學除法之前，教師可多提醒

學生要充分熟練之前的學習內容，如此一來到多項式除法運算時才會學得更順

利。

表 3-3-33

非選擇題第 3 題

試題 若4是2𝑥 − 8的正平方根，求𝑥的值。(4 分)

分數 0 1 2 3 4

人數 193 5 13 2 206

百分比(%) 46 1 3 0.5 49

評分

標準

答：𝑥 = 12

本題的能力層次屬於程序執行，能力指標為能理解二次方根的意義及熟練二次

方根的計算。

本題得 0 分的有 193 人，佔全部人數的 46%，所佔人數比例和前兩題差不多，

除了整題空白的情形外，尚有部分同學是將平方根概念混淆，寫出2x − 8 = 4、

2x − 8 = 22或2x − 8 = 2等算式，所以沒有得分，此狀況與研究者原先預期學生的

迷思與錯誤類型相符。本題得 1 分的有 5 人，得 2 分的有 13 人，得 3 分的有 2 人，

得滿分 4 分的則有 206 人，顯示能理解二次方根意義並列出一元一次方程式的同

學，多能正確算出答案，少部分同學即使不太會計算一元一次方程式，利用數字

42 = 2𝑥 − 8 (1 分)

16 = 2𝑥 − 8 (1 分)

16 + 8 = 2𝑥 (1 分)

12 = 𝑥 (1 分)

77

代入計算仍是有成功求解，而本題也是非選題中作答情形最好的一題，顯示這題

對同學來說是比較簡單的。

在教學建議上，為協助同學釐清「誰是誰的平方根」、「何時會需要加正負號」

等問題，教師在交平方根概念時，可先從較小的完全平方數開始舉例，也讓同學

自行練習，牢記一、二個範例，像是「32 = 9，所以 3 是 9 的平方根」，幫助同學

在練習時有依據可判別，並能理解任意正數都有兩個平方根，而這兩個平方根為

一正一負，互為相反數。

參、 試題反應理論之試題分析

本研究利用試題分析軟體 ConQuest 進行試題反應理論之試題分析，分析試題

難度與學生能力估計值，並提出教學建議，作為教師改善命題技巧及補救教學之

用。

一、試題參數分析

本份測驗共有 17 題選擇題，3 題非選擇題(第 1 題有兩小題)，利用試題分析軟

體 ConQuest 進行試題反應理論之試題分析，以試題反應理論 Rasch 單參數模式估

計試題的難易度參數及學生的能力值。其試題參數分析表如表 3-3-34。以下分別就

試題難度、適配度及學生能力估計分析說明。

(一)難度分析

理論上來說，難度參數的值域介於正負無窮大之間，不過實務運用上通常只

取值在正負 3 的範圍內(余民寧，2009)。若難度參數越大，表示試題越困難，反之

若難度參數越小，表示試題越簡單，一般來說難度參數值介在正負 0.5 之間都算是

難易適中。

由表 3-3-34 可知，17 題選擇題的難度參數值介於正負 1.61 之間，平均難度為

-0.20，平均難度屬於中間偏易，故選擇題命題符合原先試題編製之預期。在 17 題

選擇題中，第 3 題的難度參數最小為-1.61，接著依序為第 9 題、第 5 題，表示這

幾題試題最簡單；而第 16 題的難度參數最大為 1.61，接著依序是第 13 題、第 12

78

題，表示這幾題試題最困難，這個結果和古典測驗理論的難度分析結果相符。

非選擇題的難度參數值介於-0.29~0.30 之間，屬於難易適中，其中第 1 題的兩

個小題(題號 18_1、18_2)難度參數皆為 0.3，表示該題對學生來說較困難，而第 3

題(題號 20)的難度參數為-0.16，表示該題對學生來說是較容易的題目。

從非選擇題的各階段難度來看，第 3 題(題號 20)得 1 分及 2 分的難度值分別為

-0.26 及-0.24，難度值相當接近，表示要獲得 1 分和 2 分所需的學生能力程度是差

不多的，可將其兩階段計分合併為一階段即可。同樣的，該題中得 3 分及 4 分的

難度值分別為-0.17 及-0.16，難度值也相當接近，故也可將其合併為一階段計分即

可。

整體來說，本次測驗試題的難度適中，其中選擇題平均難度屬於中間偏易，

非選擇題的平均難度則較選擇題平均難度來的高，整份測驗難度大致有符合原先

試題編製之預期。

(二)Rasch 模式適配度之診斷

在 Rasch 模式適配度之診斷方面，一般是採用試題的內適配度均方（infit mean

square, InMnsq）與外適配度均方（outfit mean square, OutMnsq）、「標準化內適配

度均方（InMnZstd）」與「標準化外適配度均方（OutMnZstd）」等指標，來評估所

使用的 Rasch 模式之適配度。若內與外兩種適配度均方（Mnsq）數值在 0.5~1.5

之間的標準（Linacre, 2006），試題的適配度佳，表示試題所測量到的是相同的潛

在能力。

由表 3-3-34 可知，在未加權均方數值方面，17 題選擇題的未加權均方數值介

於 0.68~1.57 之間，除了第 10 題的數值為 1.57 外，其餘試題數值皆落在 0.5~1.5 的

範圍內；而加權後均方數值則是介於 0.75~1.34 之間，整份測驗之試題數值皆落在

0.5~1.5 的範圍內，表示整份測驗的適配度佳，即學生之試題反應是適合 Rasch 模

式的多元計分模式來分析的。

79

表 3-3-34

IRT 試題參數分析表

UNWEIGHTED FIT WEIGHTED FIT

試題 IRT 難度 分數 MNSQ MNSQ

1 0.48 1 0.8 0.86

2 -0.93 1 0.7 0.81

3 -1.61 1 0.73 0.87

4 0.51 1 0.99 0.91

5 -1.45 1 0.8 0.95

6 -0.42 1 1.06 1.07

7 -1.03 1 0.92 0.97

8 0.06 1 0.68 0.75

9 -1.51 1 0.78 0.97

10 0.01 1 1.57 1.34

11 -0.34 1 0.85 0.92

12 0.75 1 1.41 1.22

13 1.08 1 1.4 1.12

14 -0.74 1 0.9 0.94

15 0.39 1 1.19 1.12

16 1.61 1 1.8 1.12

17 -0.19 1 1.01 1.04

平均 -0.20 1

18_1 0.19 1

1.02

0.25 2

0.30 3

18_2 -0.23 1

0.99

0.02 2

0.22 3

0.30 4

19 -0.29 1

0.98

-0.18 2

-0.06 3

0.13 4

20 -0.26 1

1.16

(續下頁)

80

表 3-3-34

IRT 試題參數分析表

-0.24 2

-0.17 3

-0.16 4

資料來源：資料分析結果來自 ConQuest

(三)學生能力估計

本測驗的學生能力估計值分成未加權及仿會考學生能力估計值兩種，未加權

能力估計的計算方式是指選擇題答對得 1 分、答錯得 0 分，17 題選擇題滿分為 17

分，非選題採多元計分，3 題的滿分為 15 分，將兩種題型分數加總來估計學生能

力值；而仿會考能力估計也是先計算出選擇題與非選擇題的得分，再分別乘上兩

種題型的加權比重(選擇題占 85％、非選擇題占 15％)，合併計算出學生能力值。

計算仿會考學生能力估計值的原因在於，本測驗選擇題與非選擇題是比照會

考以 85％及 15％的比重進行計分，若採用古典測驗理論的計分方式是沒有問題的，

但若採用試題反應理論進行學生能力估計時，17 題選擇題採二元計分，3 題非選

擇題採多元計分，會產生與原先配分比重不一的情形，因此才會計算仿會考學生

能力估計值，且這也是會考所採用的計算方式。但如此一來會產生後面多元計分

與實際佔總分比例 15％不一致的情況，因此，建議往後在命題之初就要思考非選

擇題的計分方式，才能一次將所有試題進行估計，求得學生的能力值。

由表 3-3-35 可知，在未加權學生能力估計值方面，各班的平均值介於-0.21~0.68

之間，標準差介於 1.04~1.57 之間。在仿會考學生能力估計值方面，各班的平均值

介於-0.38~0.62 之間，標準差介於 1.02~1.45 之間，其中 8 年 4 班的班級平均值為

0.62，相較於其他班級高出許多，顯示該班學生在本測驗的整體表是是比其他班級

學生來的好；平均值最低的班級為 8 年 14 班的-0.38，顯示該班在本測驗的表現較

不理想，且學生整體能力平均值有偏低的情形。標準差最大的班級為 8 年 12 班的

1.45，接著依序是 8 年 9 班的 1.42、8 年 2 班的 1.39 和 8 年 1 班的 1.36，顯示這幾

81

個班級的學生在本測驗的成就表現上落差較大，在同一個班級內有能力表現很好

的學生，也有能力低落的學生，教師在教學上可能需要適度調整以達適性教學。

表 3-3-35

IRT 學生能力估計表

班級 學生能力估計值(未加權) 學生能力估計值(仿會考)

平均數 標準差 平均數 標準差

801 0.06 1.40 -0.14 1.36

802 -0.16 1.43 -0.19 1.39

803 0.30 1.23 0.02 1.19

804 0.68 1.15 0.62 1.12

805 0.18 1.12 0.09 1.18

806 -0.09 1.29 -0.26 1.28

807 0.09 1.19 -0.01 1.16

808 0.11 1.16 0.00 1.14

809 -0.20 1.46 -0.30 1.42

810 0.00 1.05 -0.13 1.06

811 0.13 1.20 -0.08 1.30

812 0.23 1.57 0.02 1.45

813 0.30 1.20 0.22 1.22

814 -0.21 1.04 -0.38 1.02

815 0.34 1.22 0.15 1.19

資料來源：資料分析結果來自 ConQuest

82

第四章、結論與建議

本研究依國中教育會考數學科之試題題型與命題原則，編製一份數學科學習

成就測驗，針對該測驗試題做質與量的分析，旨在了解測驗試題之特性及學生作

答表現，以作為教師改進命題技巧與進行補救教學之用。本章共分兩節，第一節

主要依據第一章所提出的研究目的與待答問題，歸納說明本研究的結論，第二節

提出本研究的建議與啟示。

第一節、 研究結論

本節主要依據第一章所提出的研究目的與待答問題，歸納研究結論如下：

壹、 質的分析

一、測驗試題之命題檢核

本研究依據雙向細目表，從試題能力層次、單元比重與能力指標等方面探討

整份試卷的內容效度。本測驗在能力層次方面，以程序執行的試題最多，占整份

試題的 52%，概念理解與解題思考的試題則各占 24%。本測驗試題之單元比重與

授課節數比重大致相符，且每道試題皆有相符的能力指標對照，能達到其教學與

測驗目標。由雙向細目表分析可知，本測驗是一份具有良好內容效度的試題。

二、非選擇題評分標準

本測驗因測驗範圍較小、內容較少，且皆屬於程序執行層次的試題，故評分

標準是採列出各題之參考解法及相對應的得分，作為評分之一致性標準，如有不

同解法，教師亦自行斟酌給分。由作答結果發現，在非選題各題獲得部分分數的

人數皆不多，多是全對或是全錯，故建議減少給分階段，改採用國中教育會考數

學科非選題之評分規準來批閱試卷。

貳、 量的分析

一、古典測驗理論之試題分析

本研究針對 17 題選擇題做古典測驗理論之試題分析，分析試題之難易度、鑑

83

別度及誘答選項分析，各試題參數分析結果如下：

(一)難度

選擇題的難度指數介於 0.33~0.70 之間，平均難度為 0.54，有 59%的題目屬於

難易適中，29%的題目屬於容易，12%的題目屬於困難，顯示本測驗選擇題試題的

難度屬於中間偏易。

(二)鑑別度

選擇題的鑑別度介於 0.38~0.89 之間，平均鑑別度為 0.67，顯示本測驗選擇題

試題的鑑別度優良，能區辨出高能力與低能力的學生。

(三)點二系列相關係數

選擇題的點二系列相關係數介於 0.22~0.68 之間，平均數值為 0.47，顯示選擇

題和測驗總分的相關性佳，題目均具有良好的鑑別度。

(四)信度

本測驗採內部一致性方法估計選擇題試題信度，Cronbach-α 信度指數為 0.86，

大於優良教育測驗一般應具備的信度係數值 0.80，顯示本測驗選擇題具有良好的

信度。

(五) 試題診斷分析

17 題選擇題中，有 53%的題目屬於 A 型試題，29%的題目屬於 B 型試題，18%

的題目屬於 B'型試題，沒有 A'型試題，整體來說有超過半數的題目屬於 A 型試題，

顯示本測驗選擇題試題難度對學生來說是屬於中間偏易，而有約兩成的題目答對

率偏低，可能需要檢討修改。

(六) 學生診斷分析

從 17 題選擇題的作答表現來看，A＆A'群和 B＆B'群的學生約各佔全體人數的

四分之一，而 C＆C'群的學生人數約占全體學生的一半，比例極高，顯示約有半數

的學生屬於學力不足、學習極不穩定的類型，需要給予個別的補救教學，協助提

升學習狀況。

84

(七) 選項誘答力

17 題選擇題中，除第 13、16 題外，其餘試題選項均具有良好誘答功能，可知

本測驗選擇題試題的誘答選項大部分都具有誘答力，僅少數題目需要加以檢討修

改。

二、試題反應理論之試題分析

本研究以試題反應理論 Rasch 單參數模式估計試題的難易度參數及學生的能

力值，各試題參數分析結果如下：

(一)Rasch 難度

17 題選擇題的難度參數值介於正負 1.61 之間，平均難度為-0.20，顯示本測驗

擇題試題的難度屬於中間偏易，而非選擇題的難度參數值介於-0.29~0.30 之間，屬

於難易適中。整體來說，本次測驗試題的難度適中。

(二) Rasch 模式適配度之診斷

17 題選擇題的未加權均方數值介於 0.68~1.57 之間，而加權後均方數值則是介

於 0.75~1.34 之間，整份測驗之試題數值皆落在 0.5~1.5 的範圍內，表示整份測驗

採用的 Rasch 多元計分模式適配度佳。

(三)學生能力估計

在未加權的學生能力估計值方面，各班的平均值介於-0.21~0.68 之間，標準差

介於 1.04~1.57 之間；在仿會考學生能力估計值方面，各班的平均值介於-0.38~0.62

之間，標準差介於 1.02~1.45 之間。

參、 學生作答情形分析

一、選擇題作答情形

從選擇題的作答情形可知，高分組同學多能熟練本測驗範圍之學習內容，除

選擇題第 13 及第 16 題外，整體的作答表現佳。

由選擇題第 13 題的作答情形可知，利用十分逼近法來估計二次方根的近似值

對學生來說並不容易，即使是高分組的同學，也有約一成五的比例沒有正確估計

85

出二次方根的整數值，另外兩成的同學則是在利用十分逼近法等分求值時出錯。

從全體學生的答對率來看，有超過半數的學生無法正確估計二次方根的整數值，

建議教師在教學此單元時需放慢教學步調，留意學生的學習狀況，先讓學生熟練

二次方根整數部分的估計，再循序漸進估計小數點後的位值。

從選擇題 16 題的作答情形來看，超過半數的同學多能理解二次式的乘法公式，

但容易在展開計算的過程中計算錯誤，建議教師在教學時可提醒學生留意乘法公

式的計算，熟練乘法分配律與提公因式的互逆運算。

二、非選擇題作答情形

從非選擇題的得分情形可知，學生在非選擇題的作答狀況並不理想，每個小題

都有超過四成的同學是 0 分，多數是放棄作答整題空白，低分組同學尤其是如此。

這些放棄作答的同學，可能有部分是真的不會寫，但也有可能是不想寫，作答意

願低，根本沒有看題目，以非選擇題第 1 題為例，只要學生願意讀題目，應能理

解題目並依題意列式求周長，只需利用到七年級、甚至是小學的能力即可，但卻

有高達六成的學生連一分都得不到，顯然學生在學習上已出現問題亟需協助，需

要師長更多的關心指導，協助提升學生的學習意願，扎實的加強數學基礎能力，

教師亦須在教學上做出調整與改善。

第二節、 研究建議與啟示

壹、 試題命題之建議

一、試題修改

(一)選擇題第 10 題

選擇題第 10 題目的是在測驗學生是否能熟練二次式的乘法公式，但因為選項

中不含未知數，且各選項的數值不夠大，即使不熟練乘法公式的同學，只要利用

土法煉鋼的方式，將各選項的數字慢慢乘開來比大小，亦可求得正確答案。故為

確保能達到本題測驗目的「能熟練二次式的乘法公式運算」，降低同學直接展開求

值比大小的可能性，建議將修改試題選項，將數字再放大，降低直接求值的可能

86

性。

(二)非選擇題第 1 題

非選擇題第 1題的第 2小題目的是在測驗學生是否能熟練二次式的乘法公式，

但因為題目欲求的 L 形圖案面積可直接切割成兩塊長方形面積相加，如此一來不

需要使用到二次式的乘法公式也能容易的求得正確答案。因此，為確保該題的測

驗目標「能熟練二次式的乘法公式」，建議修改題目，將附圖中的小正方形移動位

置，斜擺在大正方形內部，如此一來剩餘的圖形就無法輕易切割成矩形來加總計

算面積。

二、選項修改

本測驗在選擇題選項安排上，正確選項的出現次數並未平均分配，若學生有

選擇固定答案猜題的話可能會出現高分的現象，影響分析結果，故需要做修正，

讓正確選項的出現次數盡量平均分配。

三、試題順序調整

由 Rasch 難度計算非選題之試題難度可知，非選題第 1 題的難度最高，接著

依序是第 2 題，第 3 題反而最簡單，因此建議調整非選擇題試題順序，讓試題編

排能符合遊藝到難的原則。

四、非選擇題計分

本測驗在計算學生能力估計值時，是採用國中教育會考的計分方式，但這會

產生非選擇題多元計分與實際佔總分比例不一致的情形，所以建議往後在一開始

命題時，就要思考非選擇題的計分方式，才能一次將所有試題進行估計，求得學

生的能力值。

貳、 教師教學之建議

由學生判定類別分布及非選擇題作答情形可知，全年級約有半數的學生屬於學

力不足、學習極不穩定的類型，比例極高，顯示這些學生在學習上已出現問題，

面對當前的學習內容應是備感吃力，很難跟上其他同學，亟需協助師長協助。

87

這類型的學生，不容易在一般按進度教學的課堂中協助其改善，教師須針對這

些學生給予個別的補救教學，編排適合其程度的課程教材，給予更充分的時間來

練習，亦需要鼓勵、督促學生更加努力用功，建立親師合作、提升家庭教育的功

能，才有可能改善學生的學習狀況。

因此，建議學校在實施正式課程時可考慮採用能力分組，教師可依不同類型

的學生程度安排適合的教材與教學，或是利用數學彈性學習時數規劃精熟學習與

數學補強課程，協助不同程度的學生在正式課程內，能依自身學習狀況獲得較有

效的學習。教師在課堂教學時，可適時利用分組合作學習、小組競賽、遊戲等方

式活化教學，藉由教學型態的改變，引導同學能彼此互助指導，並提高學生學習

興趣與意願。此外，學校須針對這些學力明顯落後的學生開設補救教學課程，而

且因為這類型的學生人數眾多，需先將這些學生經適當的診斷測驗做更細部的分

級，以利教師能針對學生進行個別指導小班教學。

參、 未來研究之建議

一、本研究僅根據八年級上學期第一次段考作分析，測驗範圍僅有「乘法公式」、

「多項式的加減」、「多項式的乘除」及「二次方根的意義」四個單元，故可

針對不同單元或擴大單元範圍做進一步的研究。

二、目前國中教育會考已納入非選擇題試題計分，亦有提供完整的非選擇題評分

規準可參考，故往後可依據該評分規準作為學校段考非選擇題的評分依據，

亦可針對不同教師的評分者信度等方面做進一步的研究。

三、本研究並未探討高、低分組學生在不同單元的學習表現之關聯性，也沒有探

討到學生在本測驗的作答表現是否與性別等因素有相關，因此可針對這些因

素做進一步的探討。

肆、 研究啟示

在選項誘答力分析時，量化資料顯示選擇題第 13 及第 16 題的 D 選項不符合

誘答選項判斷原則，但進行深入個別試題分析時，發現此作答情形其實是反應出

88

了高分組同學的學習困難與迷思概念，能協助教師作為補救教學之參考，所以雖

然該選項違反誘答選項原則，仍可予以保留。

89

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91

附錄

附錄一 八年級第一次段考數學科定期評量試題

新北市立 xx中學 105學年度第一學期第一次段考八年及數學科試題

命題範圍：翰林版第三冊 1-1～2-1 班級： 座號： 姓名：

一、 選擇題（每題 5分，共 85分）

1. （ ）下列何者為𝑥的多項式？

（A）−𝑥 + 3 = 0 （B）6

𝑥− 7 （C）3|𝑥| − 8 （D）−9。

2. （ ）(𝑥 + 5)2與下列哪個式子相等？

（A）𝑥2 + 52 （B）𝑥2 + 10

（C）𝑥2 + 𝑥 × 5 + 52 （D）𝑥2 + 2 × 𝑥 × 5 + 25。

3. （ ）關於多項式𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 4的敘述，下列何者正確？

（A）為三次多項式 （B）𝑥3項的係數為 0

（C）常數項為 4 （D）為升冪排列。

4. （ ）下列敘述何者正確？

（A）49 是 7的平方根 （B）−0.4是1.6的平方根

（C）−1

2是

1

4的平方根 （D）√9是3的平方根。

5. （ ）化簡下列各式，請選出正確的式子：

（A）2𝑥 ∙ 3𝑥 = 5𝑥 （B）(3𝑥3)2 = 9𝑥6

（C）5𝑥2 − 3𝑥 = 2𝑥 （D）6𝑥2 ÷ 3𝑥 = 3。

6. （ ）下列各式中，何者錯誤？

（A）√56 = 53 （B）√(−5)6 = (−5)3

（C）√24 × 58 = 22 × 54（D）√(−2)4 × (−5)8 = (−2)2 × (−5)4。

7. （ ）已知一多項式與(−5𝑥2 + 2𝑥 − 8)的和為(8𝑥2 − 11𝑥 + 13)，則多項式

為何？

（A）3x2 + 9x + 5 （B）13x2 − 13x + 5

（C）13𝑥2 − 13𝑥 + 21 （D）−13𝑥2 + 13𝑥 − 21。

8. （ ）計算√425

36− √1

9

16之值為何？（A）3

1

12（B）2

1

12（C）1

11

12（D）

11

12。

9. （ ）利用右表，查出√190的近似值為何？

（A）3.9（B）4.359 （C）43.59（D）13.784。

𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁

19 361 4.359 13.784

39 1521 6.245 19.748

92

10. （ ）判斷下列各式的值，何者最大？

（A）4 × 292 − 182 （B）9 × 192 − 172

（C）16 × 132 − 122 （D）25 × 112 − 152 。

11. （ ）若𝐴為𝑥的二次多項式，𝐵為𝑥的一次多項式，則𝐴 × 𝐵 − 𝐵為𝑥的幾次

多項式？（A）三次（B）二次 （C）一次（D）小於或等於一次。

12. （ ）已知𝐴、𝐵皆為𝑥的多項式，若𝐴 ÷ 𝐵的餘式為二次多項式，則𝐵至少是

幾次多項式？（A）三次（B）二次 （C）一次（D）零次。

13. （ ）已知(3.74)2 < 14 < (3.75)2，且(3.745)2 = 14.025025，則以四捨五

入法求√14的近似值到小數後第二位為？

（A）14.02（B）14.03（C）3.74（D）3.75。

14. （ ）若多項式𝐴除以7𝑥2 − 4得商式為2𝑥 − 3，餘式為−5𝑥 + 2，則𝐴為？

（A）14x3 − 21x2 − 13x + 14 （B）14x3 − 21x2 − 3x + 14

（C）−35𝑥3 + 14𝑥2 + 22𝑥 − 11 （D）−35𝑥3 + 14𝑥2 + 15𝑥 − 10 。

15. （ ）計算11 × 1004 × 999 − 11 × 1001 × 1002之值為何？

（A）11（B）−11 （C）66（D）−66。

16. （ ）若𝑎滿足(2016 − 16)2 = 20162 − 32 × 𝑎，則𝑎之值為何？

（A）8（B）16（C）2008（D）2016。

17. （ ）計算多項式除法的過程如右圖， 𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒、𝑓皆表示係數，則

𝑎 + 𝑏 + 𝑑 + 𝑒為？

（A）21 （B）25 （C）33 （D）37 。

二、 非選擇題：（共 15分，未寫出計算過程不予計分）

1、 將兩個大小不一的正方形沿一個直角的兩邊重疊後，得出新圖形

如右圖(灰底部分)。已知大正方形邊長為𝑥 + 5，小正方形邊長

為𝑥 − 1，則求此新圖形的：

(1) 周長(3分) (2) 面積(4分)

2、 求(𝑥3 + 2𝑥2 − 2) ÷ (𝑥2 − 1)的商式和餘式。(4分)

3、 若4是2𝑥 − 8的正平方根，求𝑥的值。(4分)

8𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑑𝑐𝑥2 + 12𝑥

𝑏𝑥 + 3

𝑒𝑥 + 𝑑𝑓𝑥 + 9

−2

4𝑥 + 3

﹝試題結束﹞

93

新北市立 xx中學 105學年度第一學期第一次段考八年及數學科非選擇題答案卷

班級:_________座號：________姓名：__________________

一、 選擇題（每題 5分，共 85分）：電腦劃卡作答。

二、 非選擇題：（共 15分，未寫出計算過程不予計分）

1、 將兩個大小不一的正方形沿一個直角的兩邊重疊後，得出

新圖形如右圖(灰底部分)。已知大正方形邊長為𝑥 + 5，小

正方形邊長為𝑥 − 1，則求此新圖形的：

(1) 周長(3分) (2) 面積(4分)

2、 求(𝑥3 + 2𝑥2 − 2) ÷ (𝑥2 − 1)的商式和

餘式。(4分)

3、 若4是2𝑥 − 8的正平方根，求𝑥

的值。(4分)

94

附錄二 八年級第一次段考數學科定期評量試題答案卷

新北市立 xx中學 105學年度第一學期第一次段考八年及數學科試題答案卷

班級:_________座號：________姓名：__________________

一、 選擇題（每題 5分，共 85分）

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 D D A C B B C D D A

題號 11 12 13 14 15 16 17

答案 A A C A D C C

二、 非選擇題：（共 15分，未寫出計算過程不予計分）

1、 將兩個大小不一的正方形沿一個直角的兩邊重疊後，得出新圖

形如右圖(灰底部分)。已知大正方形邊長為𝑥 + 5，小正方形邊

長為𝑥 − 1，則求此新圖形的：

(1) 周長(3分) (2) 面積(4分)

答：4𝑥 + 20 答：12𝑥 + 24

2、 求(𝑥3 + 2𝑥2 − 2) ÷ (𝑥2 − 1)的商式和餘

式。(4分)

答：(1)能列出直式除法的式子(採用分離係數

法亦可)：將被除式與除式分別寫在正確

位置，且有降冪排列並缺項補零。(2 分)

(2)直式除法運算過程正確，並能正確寫出

商式與餘式。(商式與餘式各 1 分)

3、 若4是2𝑥 − 8的正平方根，求𝑥的

值。(4分)

答：𝑥 = 12

2(𝑥 + 5) + 2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8 (1 分)

2[(𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)] = 12 (1 分)

4𝑥 + 8 + 12 = 4𝑥 + 20 (1 分)

(𝑥 + 5)2 − (𝑥 − 1)2 (1 分)

= [(𝑥 + 5) + (𝑥 − 1)] [(𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)] (1 分)

= (2𝑥 + 4) × 6 (1 分)

= 12𝑥 + 24 (1 分)

42 = 2𝑥 − 8 (1 分)

16 = 2𝑥 − 8 (1 分)

16 + 8 = 2𝑥 (1 分)

12 = 𝑥 (1 分)