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李鹏陶军张软玉朱励霖

牛顿力学

(II)核心应用：微分方程

分班课-4

1


内容

• 概念回顾

• 重点与难点

• 问题分类

• 开放问题

2

李鹏陶军张软玉朱励霖 3

概念回顾


概念 1. 动力学（dynamics）牛顿方程的含义

① 微分方程

2. 几个例子：一维运动 ① 一系列阻力的例子

② 弹簧振子

③ 第二宇宙速度

④ 总结一：微分方程

3. 几个例子：矢量运动 ① 弹道曲线

② 荷质比问题

③ 总结二：微分方程组

4. 一道奇特例子引出的问题 ① 牛顿定律对微元物体的推广

② 牛顿定律的应用范围

③ 微元分析法大观

4


重点与难点


大班课内容释疑

• 思考

– 动力学与运动学如何对应？

• 动力学方程：牛顿方程

• 如何由动力学求解运动学：解微分方程

• ‘简单’问题回顾 a) 抛体运动

b) 简谐振动

c) 圆周运动

6


反向思考

2

02

1tgtvr

( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ?r t x t i y t j x t y t

7

这个运动的牛顿方程是啥？


( ) cos( )x t R t

8

反向思考



( , ) ?R xi yj x y

( ) cos( ) , ( ) sin( )x x t R t y y t R t

t

d

dt t

角位移

角速度

角加速度？

9


反向思考


微分方程

1.会列方程！

2.会解方程？

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问题

• 地球绕太阳转如何列方程？

11


写写画画

• 当场写、当场交，不加分，只扣分(-0.25)

• 问题分析

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何为“嵌套结构”

• 牛顿力学实际上不是关于物质结构的理论

– 虽然在使用微积分时，暗含着一个嵌套结构，

并认为在整体的大结构上和分割的小结构上牛顿定律都成立，这当然就引导人们处理原子世界时也使用它

– 但这并不是必然的，因为我们使用微积分并非是在数学严格意义上运用无穷小

– 等到量子力学浮现身影，人们惊异非常

– 然而牛顿力学作为量子力学的宏观有效理论，依然光芒四射

13


牛顿定律在每一个层次都“成立”

• dm, dx 比原子小么？

• 比原子小还是牛顿力学么？

dm

m = ∫ dm

dF

dF = dm a

m

F = m a

F

注：a ≠ a 14


“欧拉定律”来自“牛顿定律”

• 欧拉第一运动定律：从某惯性参考系观测，施加于刚体的合外力，等于刚体质量与质心加速度的乘积. （质心运动定理）

• 欧拉第二运动定律：设定某惯性参考系的固定点O（例如，原点）为参考点，施加于刚体的净外力矩，等于角动量的时间变化率. （刚体转动定律）

• 这两个正好是我们后面要学的！！

（虽然一般教科书不使用“欧拉定律”这个词）

15


问题分类


类型

A. 静力学（中学内容，不好意思再做了？）

B. 动力学：求解受力 a. 受力分析 + 牵连运动

b. 线性代数方程（组）

C. 动力学：学会列方程 +求解方程 a. 是微分方程啊

D. 奇怪的积分法：用“微元力” 求解问题 a. 也可能是静力学问题

b. 也可能是动力学问题

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问题【C】

18


还记得这个题吧，再来造一造！

• Step 1

• Step 2

• Step 3

离水面高度为 h 的岸上有人用绳索拉船靠岸。人以恒定速

率v0拉绳，从 x = x0 开始拉，求：(1)当船离岸的距离为 x

时，船的加速度 a(x)；(2)求时间函数 x(t), v(t), a(t)。

假设船质量为m，所受水的阻力与运动方向相反、大小与速率成正比，f阻 = - k v，求：（1）绳子的拉力 f0 和船受的水的浮力 f浮；（2）设绳子能承受的最大拉力为 f0

max =10mg，那么绳子会

否被拉断，求拉断条件？ 19


已知一质点从静止自高空下落，设重力加速度

始终保持一常量，质点所受空气阻力与其速率

成正比. 求质点速度并与自由下落相比.

问题【C】

20


已知一质点从静止自高空下落，设重力加速度始终保

持一常量，质点所受空气阻力方向与其速度相反，大

小

（1）与速率成正比；

（2）与速率平方成正比；

（3）与速率n次方成正比（n > 2）

（4）如果上述各次方都存在，

求各种情况下质点速度，并与自由下落相比.

问题【C】

21


空中有许多大小不等的雨滴（可看成圆球形）由静止开始下

落。若受到空气阻力 Ff 与其速度 v的一次方成正比，

即，其中 k为常数。

（1）求任一时刻 t雨滴的速度；

（2）证明雨滴的速度最终将趋于一极限值（称为收尾速

度），并求出此；

（3）若常数 k 正比于各雨滴的大圆面积，即（为雨

滴的半径），试问，大、小雨滴中哪种雨滴获得的收尾速度

较大？（吉大，张汉壮）

fF kv

( )v t

fv

fv

2k r

22

问题【C】

22


从地面以相对地面成 θ0仰角、v0的速度发射一炮弹，

炮弹在运动过程中始终受到与速度成正比的阻力

（ k 为常数）作用，求炮弹的运动轨迹方程。

（吉大，张汉壮）

fF kv

23

问题【C】

23


回顾：弹道问题

f

24


假设什么样的阻力？

2 2

d

d

( , )

(0, )

, ( )

x y

x y

n

t t

vf mg

t

v v v

v v v

mg mg

vf kv e e

v

v

f

25


f = 0 （k = 0）

• 好简单啊！

26


n = 1

( , )

d

d

d

d

x y

xx

y

y

f kv kv kv

vkv

t

vkv mg

t

27

微分方程

微分方程

互不相关


n = 2

2 2

2 2

( , )

d

d

d

d

x y

xx y x

y

x y y

f kvv kvv kvv

vk v v v

t

vk v v v mg

t

• n >= 2 不再有解析解（analytical solution）

• 学会《编程》+《计算物理》，数值求解！ 28

微分方程（组）


问题【C】

第二宇宙速度。竖直上抛物体最小应具有多大速度

v0 ，才不会落回地面，不计空气阻力，已知引力正

比于 1/x2 （x 为物体到地心的距离）.

（中科大，杨维纮）

29


将绳索在木桩上绕几圈，能使绳的一端受到极大拉力，例如拴

着一头牛，只要用很小的力拽住绳的另一端，即可将绳索固定，

原因在哪里？如图表示绳与圆柱体在AB弧段上接触且无相对滑

动，弧AB对应的圆心角称为“包角”. 和分别表示A点

和B点绳的张力.设绳与圆柱间的静摩擦系数为0 ，不计绳的质

量.求在一定的条件下，的最大值 .

TF

T0F

T0F

TF max

TF

A B

0TF

TF

人牛

TT0 FF

问题【D】

30


一个质量为 m的物体通过一根质量可以不计的绳子绕水平棒

周后于另一端加一水平力 F，如图所示。若绳子和棒之

间的摩擦因数为 μ ，要使物体保持静止状态，应施加多大的

水平拉力？（吉大，张汉壮）

11

4

31

问题【D】- 造一个类似题目！

31


问题【D】牛顿水桶

• 水桶匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。

z

dg m

dN

O x

2d dtan

d d

z x m

x g m

向心力

重力

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要点：dN垂直于液面


结束

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