现代密码学理论与实践 - 第8章 数论入门 - USTCstaff.ustc.edu.cn/~huangwc/crypto/8.pdf3...
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 现代密码学理论与实践 第 8 章数论入门 苗付友 黄文超 November 11, 2019 课件地址 http://staff.ustc.edu.cn/∼huangwc/crypto.html 苗付友 黄文超 第 8 章数论入门 November 11, 2019 1 / 30
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现代密码学理论与实践第 8 章数论入门
苗付友 黄文超
November 11, 2019
课件地址http://staff.ustc.edu.cn/∼huangwc/crypto.html
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Outline
1 素数、费马定理、欧拉定理
2 素性测试
3 中国剩余定理
4 离散对数
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Outline
1 素数、费马定理、欧拉定理
2 素性测试
3 中国剩余定理
4 离散对数
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素数
定义：素数整数 p 是素数 ⇔ p 只有因子 ±1 和 ±p。
例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
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费马定理
定理：费马定理 (又称费马小定理)若 p 是素数，a 是正整数且不能被 p 整除，则
ap−1 ≡ 1 mod p
证明1 定义集合 X1：小于 p 的正整数集合 X1 = {1, 2, 3, . . . , p− 1}2 构造集合 X2 = {a mod p , 2a mod p , . . . , (p− 1)a mod p}3 可证明：X1 = X2
∀x ∈ Z.0 < x < p⇒ xa ̸= 0 mod p∀x, y ∈ Z.0 < x < y < p⇒ xa ̸= ya mod p
4 1× 2× · · · × (p− 1) = a× 2a× · · · (p− 1)a mod p
(p− 1)! = ap−1(p− 1)! mod p
1 = ap−1 mod p苗付友 黄文超 第 8 章数论入门 November 11, 2019 5 / 30
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费马定理
例子a = 7, p = 1972 = 49 = 11 mod 1974 = 121 = 7 mod 1978 = 49 = 11 mod 19716 = 121 = 7 mod 197p−1 = 718 = 716 × 72 = 7× 11 = 1 mod 19
定理：费马定理若 p 是素数，a 是正整数且不能被 p 整除，则 ap−1 ≡ 1 mod p
定理：费马定理 (另一种定义)若 p 是素数，a 是任意正整数，则
ap ≡ a mod p苗付友 黄文超 第 8 章数论入门 November 11, 2019 6 / 30
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欧拉函数
定义：欧拉函数 ϕ(n)小于 n 且与 n 互素的正整数的个数
例 1: ϕ(37)
∵ 37 是素数 ∴ ϕ(37) = 36
例 2: ϕ(35)
小于 35，且与 35 互素的正整数如下:1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34一共 24 个数，所以 ϕ(35) = 24
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欧拉函数
性质 1对素数 p, ϕ(p) = p− 1
性质 2对素数 p, q, p ̸= q, n = pq, 则
ϕ(n) = ϕ(p)ϕ(q) = (p− 1)(q− 1)
证明：考虑集合 {1, 2, . . . , (pq− 1)}, 则不与 n 互素的集合是{p, 2p, . . . , (q− 1)p} 和 {q, 2q, . . . , (p− 1)q}, 所以
ϕ(n) = (pq− 1)− (q− 1)− (p− 1)
= pq− (p + q) + 1
= (p− 1)(q− 1)
= ϕ(p)ϕ(q)苗付友 黄文超 第 8 章数论入门 November 11, 2019 8 / 30
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欧拉函数
例:ϕ(21) = ϕ(3)ϕ(7) = (3− 1)× (7− 1) = 12 其中，这 12 个整数为{1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}
性质 3对素数 p1, p2, ..., pr, p1 < p2 < ... < pr, 及正整数 k1, k2, ..., kr, 满足n = pk1
1 pk22 , ..., pkrr ，则
ϕ(n) =r∏
i=1
pk1−1i (pi − 1)
例:ϕ(8) = ϕ(23) = 22 × 1 = 4ϕ(72) = ϕ(23 × 32) = 22 × 1× 3× 2 = 24
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欧拉定理
定理：欧拉定理对任意互素的 a 和 n，有：
aϕ(n) ≡ 1 mod n
证明：考虑集合 R = {x1, x2, . . . , xϕ(n)}，其中每一个元素 xi，满足gcd(xi, n) = 1，用 a 与 R 中每个元素相乘：
S = {(ax1 mod n), (ax2 mod n), . . . , (axϕ(n) mod n)}
可证明 S = RS 中所有元素 axi 均与 n 互素axi ≡ axj mod n⇒ xi = xj
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欧拉定理
证明（续）:
∵ S = R
∴ϕ(n)∏i=1
(axi mod n) =ϕ(n)∏i=1
xi
∴ϕ(n)∏i=1
axi =
ϕ(n)∏i=1
xi mod n
∴ aϕ(n) ×ϕ(n)∏i=1
xi =
ϕ(n)∏i=1
xi mod n
∴ aϕ(n) = 1 mod n
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欧拉定理
例子a = 3, n = 10, ϕ(n) = 4, aϕ(n) = 34 = 81 ≡ 1 mod 10
a = 2, n = 11, ϕ(n) = 10, aϕ(n) = 210 = 1024 ≡ 1 mod 11
定理：欧拉定理对任意互素的 a 和 n，有：
aϕ(n) ≡ 1 mod n
定理：欧拉定理 (另一种定义)对任意的 a 和 n，有：
aϕ(n)+1 ≡ a mod n
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Outline
1 素数、费马定理、欧拉定理
2 素性测试
3 中国剩余定理
4 离散对数
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素性测试
问：为什么需要素性测试？答：许多密码算法都需要随机选择一个或多个非常大的素数。
问：Miller-Rabin 算法的效果如何？答：较好、常用，输出的数不一定是素数，但几乎可以肯定是素数。
Miller-Rabin 算法 引理 0对奇整数 n ≥ 3, 可表示为 n = 2kq + 1，其中 k > 0,q 是奇数
Miller-Rabin 算法 引理 1如果 p 是素数，a 是正整数，且 a < p，则 a2 = 1 mod p 当且仅当
a = 1 mod p or a = −1 mod p
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素性测试
问：为什么需要素性测试？答：许多密码算法都需要随机选择一个或多个非常大的素数。
问：Miller-Rabin 算法的效果如何？答：较好、常用，输出的数不一定是素数，但几乎可以肯定是素数。
Miller-Rabin 算法 引理 0对奇整数 n ≥ 3, 可表示为 n = 2kq + 1，其中 k > 0,q 是奇数
Miller-Rabin 算法 引理 1如果 p 是素数，a 是正整数，且 a < p，则 a2 = 1 mod p 当且仅当
a = 1 mod p or a = −1 mod p
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素性测试
问：为什么需要素性测试？答：许多密码算法都需要随机选择一个或多个非常大的素数。
问：Miller-Rabin 算法的效果如何？答：较好、常用，输出的数不一定是素数，但几乎可以肯定是素数。
Miller-Rabin 算法 引理 0对奇整数 n ≥ 3, 可表示为 n = 2kq + 1，其中 k > 0,q 是奇数
Miller-Rabin 算法 引理 1如果 p 是素数，a 是正整数，且 a < p，则 a2 = 1 mod p 当且仅当
a = 1 mod p or a = −1 mod p
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素性测试
问：为什么需要素性测试？答：许多密码算法都需要随机选择一个或多个非常大的素数。
问：Miller-Rabin 算法的效果如何？答：较好、常用，输出的数不一定是素数，但几乎可以肯定是素数。
Miller-Rabin 算法 引理 0对奇整数 n ≥ 3, 可表示为 n = 2kq + 1，其中 k > 0,q 是奇数
Miller-Rabin 算法 引理 1如果 p 是素数，a 是正整数，且 a < p，则 a2 = 1 mod p 当且仅当
a = 1 mod p or a = −1 mod p
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Miller-Rabin 算法
Miller-Rabin 算法 引理 2设 p 是大于 2 的素数，且 p = 2kq + 1, 其中 k > 0, q 是奇数。设 a 是正整数，且 a < p ，则下面两个条件之一成立：
1 aq = 1 mod p2 ∃j ∈ [1, k].a2j−1q = −1 mod p
证明：∵ p 是素数，∴ ap−1 = 1 mod p。观察如下数列:aq mod p, a2q mod p, a4q mod p, . . . , a2k−1q mod p, a2kq mod p 有如下性质：
1 a2kq = 1 mod p2 每一个数都是前一个数的平方所以下面两条必有一条是正确的:
1 数列的所有数为 12 数列中有些数不为 1，但平方为 1 mod p。
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Miller-Rabin 算法
Miller-Rabin 算法 引理 2设 p 是大于 2 的素数，且 p = 2kq + 1, 其中 k > 0, q 是奇数。设 a 是正整数，且 a < p ，则下面两个条件之一成立：
1 aq = 1 mod p2 ∃j ∈ [1, k].a2j−1q = −1 mod p证明：∵ p 是素数，∴ ap−1 = 1 mod p。观察如下数列:aq mod p, a2q mod p, a4q mod p, . . . , a2k−1q mod p, a2kq mod p 有如下性质：
1 a2kq = 1 mod p2 每一个数都是前一个数的平方所以下面两条必有一条是正确的:
1 数列的所有数为 12 数列中有些数不为 1，但平方为 1 mod p。
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Miller-Rabin 算法
Test (n)1 找出整数 k, q, 其中 k > 0,q 是奇数，使 n− 1 = 2kq2 随机选取整数 a，1 < a < n− 1
3 if aq mod n = 1, then return “不确定”4 for j = 0 to k− 1 do5 if a2jq mod n = n− 1 then return “不确定”6 return “合数”
例：Test (29)∵ (n− 1) = 28 = 22(7) ∴ k = 2, q = 7选取 a = 10，计算 107 mod 29 = 17, 1014 mod 29 = 28选取 a = 2，计算 27 mod 29 = 12, 214 mod 29 = 28任意选取 a<n-1，均返回不确定。
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Miller-Rabin 算法
Test (n)1 找出整数 k, q, 其中 k > 0,q 是奇数，使 n− 1 = 2kq2 随机选取整数 a，1 < a < n− 1
3 if aq mod n = 1, then return “不确定”4 for j = 0 to k− 1 do5 if a2jq mod n = n− 1 then return “不确定”6 return “合数”
例：Test (29)∵ (n− 1) = 28 = 22(7) ∴ k = 2, q = 7选取 a = 10，计算 107 mod 29 = 17, 1014 mod 29 = 28选取 a = 2，计算 27 mod 29 = 12, 214 mod 29 = 28任意选取 a<n-1，均返回不确定。
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Outline
1 素数、费马定理、欧拉定理
2 素性测试
3 中国剩余定理
4 离散对数
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中国剩余定理 CRT
性质某一范围内的整数可通过它的一组剩余类数来重构。
例子对 Z10 中的任意 x, 可通过 x mod 2 和 x mod 5 来重构。如 x mod 2 = 0 和 x mod 5 = 3，则 x = 8
定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai = A mod mi
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中国剩余定理 CRT
性质某一范围内的整数可通过它的一组剩余类数来重构。
例子对 Z10 中的任意 x, 可通过 x mod 2 和 x mod 5 来重构。如 x mod 2 = 0 和 x mod 5 = 3，则 x = 8
定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai = A mod mi
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中国剩余定理 CRT
性质某一范围内的整数可通过它的一组剩余类数来重构。
例子对 Z10 中的任意 x, 可通过 x mod 2 和 x mod 5 来重构。如 x mod 2 = 0 和 x mod 5 = 3，则 x = 8
定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai = A mod mi
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定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai = A mod mi
断言上述映射为一一映射Zm 上的运算可等价于 k 元组的运算
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中国剩余定理 CRT
定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai ≡ A mod mi
断言上述映射为一一映射: 1) A −→ (a1, a2, . . . , ak)
证明ai ≡ A mod mi
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定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai ≡ A mod mi
断言上述映射为一一映射: 1) A←− (a1, a2, . . . , ak)
证明1 对 1 ≤ i ≤ k, 计算 Mi = M/m，则 i ̸= j ⇒ Mi ≡ 0 mod mj2 令 ci = Mi × (M−1
i mod mi)
3 A =∑k
i=1 aici
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中国剩余定理 CRT
定义
令 M =∑k
i=1 mi, 其中，对 1 ≤ i, j ≤ k，有 gcd(mi,mj = 1)则 ZM 中任意整数均可映射为一个 k 元组: A↔ (a1, a2, . . . , ak)其中，A ∈ ZM，且 ai = A mod mi
断言Zm 上的运算可等价于 k 元组的运算
描述若 A←→ (a1, a2, . . . , ak), B←→ (b1, b2, . . . , bk), 则A + B mod M←→ ((a1 + b1) mod m1, . . . , (ak + bk) mod mk)A− B mod M←→ ((a1 − b1) mod m1, . . . , (ak − bk) mod mk)A× B mod M←→ ((a1 × b1) mod m1, . . . , (ak × bk) mod mk)
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中国剩余定理 CRT
例：将 973 mod 1813 表示为 mod 37 和 mod 49 的两个数, 即m1 = 37,m2 = 49,M = 1813,A = 973,
则 M1 = 49,M2 = 37, M−11 mod m1 = 34,M−1
2 mod m2 = 4a1 = A mod m1 = 11, a2 = A mod m2 = 42, 所以 973←→ (11, 42)同理，678←→ (12, 41)973 + 678←→ (23, 24)反之，(23, 24)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 43350 ≡ 1651
可验证 1651 = 973 + 678假定要计算 73*1651:73× (23, 24) = (14, 32)(14, 32)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 856
可验证 856 = 1651× 73 mod 1813
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中国剩余定理 CRT
例：将 973 mod 1813 表示为 mod 37 和 mod 49 的两个数, 即m1 = 37,m2 = 49,M = 1813,A = 973,则 M1 = 49,M2 = 37, M−1
1 mod m1 = 34,M−12 mod m2 = 4
a1 = A mod m1 = 11, a2 = A mod m2 = 42, 所以 973←→ (11, 42)同理，678←→ (12, 41)973 + 678←→ (23, 24)反之，(23, 24)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 43350 ≡ 1651
可验证 1651 = 973 + 678假定要计算 73*1651:73× (23, 24) = (14, 32)(14, 32)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 856
可验证 856 = 1651× 73 mod 1813
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中国剩余定理 CRT
例：将 973 mod 1813 表示为 mod 37 和 mod 49 的两个数, 即m1 = 37,m2 = 49,M = 1813,A = 973,则 M1 = 49,M2 = 37, M−1
1 mod m1 = 34,M−12 mod m2 = 4
a1 = A mod m1 = 11, a2 = A mod m2 = 42, 所以 973←→ (11, 42)
同理，678←→ (12, 41)973 + 678←→ (23, 24)反之，(23, 24)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 43350 ≡ 1651
可验证 1651 = 973 + 678假定要计算 73*1651:73× (23, 24) = (14, 32)(14, 32)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 856
可验证 856 = 1651× 73 mod 1813
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中国剩余定理 CRT
例：将 973 mod 1813 表示为 mod 37 和 mod 49 的两个数, 即m1 = 37,m2 = 49,M = 1813,A = 973,则 M1 = 49,M2 = 37, M−1
1 mod m1 = 34,M−12 mod m2 = 4
a1 = A mod m1 = 11, a2 = A mod m2 = 42, 所以 973←→ (11, 42)同理，678←→ (12, 41)973 + 678←→ (23, 24)
反之，(23, 24)←→ a1M1M−11 + a2M2M−1
2 mod M = 43350 ≡ 1651可验证 1651 = 973 + 678假定要计算 73*1651:73× (23, 24) = (14, 32)(14, 32)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 856
可验证 856 = 1651× 73 mod 1813
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中国剩余定理 CRT
例：将 973 mod 1813 表示为 mod 37 和 mod 49 的两个数, 即m1 = 37,m2 = 49,M = 1813,A = 973,则 M1 = 49,M2 = 37, M−1
1 mod m1 = 34,M−12 mod m2 = 4
a1 = A mod m1 = 11, a2 = A mod m2 = 42, 所以 973←→ (11, 42)同理，678←→ (12, 41)973 + 678←→ (23, 24)反之，(23, 24)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 43350 ≡ 1651
可验证 1651 = 973 + 678
假定要计算 73*1651:73× (23, 24) = (14, 32)(14, 32)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 856
可验证 856 = 1651× 73 mod 1813
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中国剩余定理 CRT
例：将 973 mod 1813 表示为 mod 37 和 mod 49 的两个数, 即m1 = 37,m2 = 49,M = 1813,A = 973,则 M1 = 49,M2 = 37, M−1
1 mod m1 = 34,M−12 mod m2 = 4
a1 = A mod m1 = 11, a2 = A mod m2 = 42, 所以 973←→ (11, 42)同理，678←→ (12, 41)973 + 678←→ (23, 24)反之，(23, 24)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 43350 ≡ 1651
可验证 1651 = 973 + 678假定要计算 73*1651:73× (23, 24) = (14, 32)(14, 32)←→ a1M1M−1
1 + a2M2M−12 mod M = 856
可验证 856 = 1651× 73 mod 1813
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离散对数
模 n 的整数幂欧拉定理：对任何互素的 a 和 n，有
aϕ(n) ≡ 1 mod n
欧拉定理的更一般形式：针对如下公式
am ≡ 1 mod n
可使上式满足的最小正幂m 等于以 a 为根所产生的序列的周期
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离散对数
模 n 的整数幂欧拉定理的更一般形式：针对如下公式
am ≡ 1 mod n
可使上式满足的最小正幂m 等于以 a 为根所产生的序列的周期
例子：
71 ≡ 7 mod 19
72 ≡ 11 mod 19
73 ≡ 1 mod 19
74 ≡ 7 mod 19
75 ≡ 11 mod 19
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离散对数
模 n 的整数幂欧拉定理的更一般形式：针对如下公式
am ≡ 1 mod n
可使上式满足的最小正幂m 等于以 a 为根所产生的序列的周期
本原根若 a, a2, . . . , aϕ(n) mod n 各不相同，则 a 为 n 本原根。
例子素数 19 的本原根为 2,3,10,13,14,15
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离散对数
模算数对数假设某素数 p 的本原根为 a，则对任意整数 b, 有唯一的幂，使得：
b = ai mod p
称 i 为以 a 为底（模 p）b 的离散对数，记 i = dloga,pb
性质dloga,p(1) = 0dloga,p(a) = 1
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离散对数
离散对数的计算考虑方程
y = gx mod p
给定 g, x, p, 可直接计算出 y，且存在计算 y 的有效算法给定 g, y, p，计算 x 一般非常困难。
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作业
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作业
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