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FELIPE MARTINS SILVA
Caracterização experimental dos Estados de
Polalização da luz via análise de imagens
Niterói
17 de Junho de 2016
FELIPE MARTINS SILVA
Caracterização experimental dos Estados de
Polalização da luz via análise de imagens
Orientador:
Prof. Dr. Carlos Eduardo Rodrigues de Souza
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Física
Niterói
17 de Junho de 2016
Dedicatória
aos meus pais Cesar e Elisabeth , aos meus avós José Maria (in memorian) e Maria
Luiza, e a minha esposa Jaqueline.
Agradecimentos
Essa é a parte mais esperada. Por mim, de �nalmente encerrar um ciclo. Por outros,
de serem citados e terem seus egos afagados. Mas, citarei apenas pessoas que contribuíram
e vivenciaram essa caminhada.
Eu começo agradecendo a quatro pessoas fundamentais para minha formação como
homem. Incentivadores e �nanciadores da minha formação acadêmica. Ao meu pai Cesar
e minha mãe Elisabeth por se mostrarem sempre prontos a me auxiliar em qualquer
instante. Pela paciência e perserverança que tiveram pela chegada deste momento. Pelos
conselhos e puxões de orelha, necessários. Ao meu grande e eterno amigo, companheiro
�el, José Maria, meu avô. Por ensinar-me valores como repeito e humildade, que aos olhos
de alguns não valem de nada. À minha avó, Maria Luiza. Por ter um coração enorme e
um carinho sem tamanho. Por sempre estar pronta a ajudar. Pela minha criação. Á esss
quatro anjos �ca minha devoção.
Agradeço a minha esposa, parceira, cúmplice e amiga, Jaqueline. Pelos momentos
intensos que passamos. Pela paciência. Por acreditar no meu potencial e não me deixar
abater nas derrotas. Por me exaltar nas vitórias. Pelo amor, carinho e dedicação.E, prin-
cipalmente pela compreensão. Agradeço, pelo momenento especial que estamos vivendo.
Não posso deixar de agradecer pessoas de extrema importância. Primeiro, ao meu ori-
entador Carlos Eduardo Rodrigues de Souza, institucionalmente conhecido como Cadu.
Pela paciência e dedicação ao longo de trabalho. Por, abrir as portas do laboratório e
deixar-me conviver com o mundo clássico e quântico da óptica. Ao professor Zelaquett
Khoury, por me permitir presenciar discussões sobre alguns temas no laboratório. Ao
colegas do Laboratório de Ótica Quântica: Rafael Bellas, Luiz Filipe, Brian, Filipe, Mo-
anna, e Wagner. Aos professores Jorge Simões de Sá Martins, Kaled Dechoum, Marco
Moriconi e Mario de Souza Reis Junior. Pela aulas e por compartilharem conhecimentos
aliados a experiências.
Sem esquecer, agradeço. Aos companheiros de jornada: Os casais Izabela Hammersch-
lag e Gabriel Monteiro, Christine Hozana e Diogo Malta, Mariana Teixeira, Maria Isabela,
Bruna Netto, Bruna Brandão, Bruno Pimental Matheus Peixoto e Marcelo Albuquerque.
Obrigado por me acolherem e pela companhia maravilhosa.
Em especial, e sem dúvidas, quero agradecer a Wilmar Torres. Esse ser humano
dotado de uma simplicidade, humildade e sabedoria, sempre pronto a ajudar. E, nova-
mennte, a Izabela Hammerschlag, pelo carinho, pelas listas, pelas horas de estudo e por
não deixar-me desistir.
Aos funcionários da biblioteca pela atenção e ajuda. E, ao secretário da coordenação
Zé Luiz, por estar sempre disposto a ajudar.
Obrigado a todos.
Resumo
Apresenta-se uma proposta experimental de caracterização dos estados de polarizaçãovia análise de imagens por um software livre e gratuito. Técnica que será possível devidoa equivalência entre medidas realizadas por um detector e uma câmera CCD.
Uma descrição teórica formal será apresentada com intuido de fundamentar a pro-posta. A produção experimental de feixes polarizados e o procedimento de análise serãodiscutidos. Em seguida, são apresentados os dados experimentais.
Por �m, serão apresentadas as conclusões e perspectivas acerca do trabalho.
Abstract
It presents a proposal for experimental characterization of the polarization statesthrough analysis of images for free and open source software. Technique that will bepossible because of the equivalence of measurements performed by a detector and a CCDcamera.
A formal theoretical description will be presented with intuited to support the pro-posal. The experimental production of polarized beams and the analysis procedure willbe discussed. Then, the experimental data is presented.
Finally, will be presented the conclusions and perspectives about work.
Lista de Figuras
1 Onda propagando-se na direção positiva do eixo z, onde os campos ~E e~B possuem componentes apenas no plano xy. [1] . . . . . . . . . . . . . p. 4
2 Tipos de polarização: (a) Linear; (b) Circular; (c) Elíptica. [11] . . . . p. 5
3 Polarização Linear na direção y e direção x, respectivamente [11]. . . . p. 9
4 Polarização Linear na direção θ [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10
5 Polarização circular a direita e Polarização circular a esquerda [11]. . . p. 12
6 Polarização Elíptica [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14
7 Estados de Polarização de acordo com a diferença de fase ε [1] . . . . . p. 15
8 (a)Polarização elíptica à direira (b)Polarização elíptica à esquerda [11]. p. 15
9 Representação fasorial do campo elétrico [11]. . . . . . . . . . . . . . . p. 16
10 Vetores de Jones para estados de Polarização particulares [5] . . . . . . p. 19
11 Matrizes de Jones para elementos ópticos lineares [1] . . . . . . . . . . p. 20
12 Escolha e de�nição de eixos para descrever um elemento óptico linear[6] p. 21
13 Esfera de Poincaré. A �gura mostra um estado de polarização na super-
fície da esfera, representado pelo ponto P, e suas coordenadas esféricas
2χ e δ [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25
14 Estados de Polarização e respectiva localização sobre a Esfera de Poincaré
[11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
15 Conjunto de Transformações de Estados de Polarização representado na
Esfera de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32
16 Etapa de preparação do feixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
17 Esquema para caracterização do Estado de Polarização utilizando a câm-
nera CCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
18 Deteccção dos parâmetros p1, p2 e p3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
19 (a)Imagem do feixe aberta no software com a área seleciona. (b)Seleção
do guia Analyse para obtenção das medidas calculadas pelo software. . p. 38
20 (a)Tabela das medidas forneceidas pelo programa. (b)As posíveis medi-
das a serem realizadas pelo programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38
21 Grá�co ICCD × Idetector: comportamento linear entre a CDD e o detector. p. 41
22 (a) e (b): comportamento entre a intesidade da luz polarizada e o ângulo
da lâmina λ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
23 (a) Feixes do Estado de Polarização Linear | + 450〉 para determinação
do parâmetro p1. (b) Medidas fornecidas pelo software para os feixes
projetados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42
24 Arranjo experimental para detecção dos Parâmetros de Stokes. . . . . . p. 43
25 Esferas de Poncaré com Parâmetros Teórico (a) e Parâmetros Experi-
mentais (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44
26 Esfera de Poincaré e Esfera dos modos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45
Sumário
1 Introdução p. 1
2 Polarização da Luz p. 4
2.1 Descrição Formal da Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7
2.1.1 Polarização Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8
2.1.2 Polarização Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10
2.1.3 Polarização Elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13
2.2 Estados de Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16
2.2.1 O Vetores de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16
2.2.2 A Matriz de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
2.2.3 Os Parâmetros de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22
2.2.4 A Esfera de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
2.2.5 Transformações dos Estados de Polarização . . . . . . . . . . . p. 27
3 Caracterização experimental da polarização de um feixe laser p. 34
3.1 Arranjo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
3.2 Análise dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
4 Conclusões e Perpectivas p. 45
5 Apêndice p. 46
5.1 Demostrações das Equações 2.5 e 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46
5.2 Demonstração da Equação 2.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48
Referências p. 50
1
1 Introdução
A natureza da Luz sempre encantou a humanidade. Familiar a todos, desde tempos
imemoriais, vemos registros desse fascínio ao longo de nossa história. Aos poucos fomos
aprendendo como a luz se comporta, e a partir de então, começamos a tirar proveito
disso. Egípcios já fabricavam espelhos em 1990 A.C [13]. Foram os �lósofos gregos os
primeros a se preocupar com as propriedades re�etoras das superfícies espelantes planas
e curvas e também os primeiros a descobrir que a luz se propaga em linha reta. Assim,
desenvolveram inúmeras teorias sobre a natureza da luz e suas propriedades. Como a lei da
re�exão, descrita por Euclides. Nos séculos seguintes a óptica geométrica foi estudada pela
antiga civilização Romana. Também, do Oriente, surgiram contribuições importantes para
melhor compreender a natureza da luz. Há registros de descobertas feitas por mulçumanos
por volta de 642 D.C [1].
Os séculos XVII e XVIII foram de inúmeras descobertas em diversas áreas da Física.
Homens como, Kepler, Descartes, Newton, Huygens, entre outros, descreveram fenômenos
como a interferência, difração, polarização e absorção. Nessa época, também, decobriu-se
o caráter vetorial da luz. Alguns tipos de materiais poderial mudar esse caráter, gerando
uma mudança na polarização da luz.
No século XIX Thomas Young (17773-1821) e Augustin Jean Fresnel (1788-1827)
fortaleceram o caratér ondulatório da luz, proposta por Huygens. Enquanto o primeiro,
explicou o fenômeno da interferência com base na teoria ondulatória de Huygens. O outro,
formulou matematicamente essa teoria ,tornando a explicação para a propagação retilínea
da luz mais satisfatória.
Nesse período, o estudo da eletricidade e do magnetismos eram realizados em paralelo
com a óptica. Em 1845, Michael Faraday (1791-1867) estabeleceu uma relação entre o ele-
tromagnetismos e a luz, ao descobrir que a polarização de um feixe podia ser alterada por
um campo magnético. James Clerk Maxwell (1831-1879), em um dia da década de 1860,
combinou as leis da eletricidade e do magnetismo com as leis do comportamento da luz,
2
aglutiando conceitos experimentais, em um conjunto conciso de equações matemáticas.
Com base nessas equações, conhecidas como as Equações de Maxwell [2], que Maxwell foi
capaz de deduzir a velocidade de propagação da luz em termos de propriedades elétricas
e magnéticas do meio, substituindo valores experimentais conhecidos na época, chegando
a um resultado igual ao determinado experimentalmente para velocidade da luz. Com
isso, Maxwell uni�cou o eltromagnetismo e a óptica. Então, passamos a tratar a luz como
uma onda eletromagnética que se propaga com uma velocidade bem de�nida em qualquer
meio, ou até mesmo, na ausência de meio.
Portanto, é a partir das concepções de Maxwell para a natureza e propriedades da
luz, que este trabalho está baseado. E, será de grande serventia o conehecimento de suas
equações, para descrevermos o fenômeno de Polarização, presente nessa monogra�a.
~∇× ~B = µ0~j + µ0 ε0
∂ ~E
∂t(1.1)
~∇× ~E = −∂~B
∂t(1.2)
~∇ · ~E =ρ
ε0
(1.3)
~∇ · ~B = 0 (1.4)
As equações acima são as chamadas Equações de Maxwell [2].
No primeiro capítulo, apresentamos uma discussão teórica a cerca da Polarização da
luz. Essa discussão passa por uma descrição formal desse fenômeno, evidenciando o com-
portamento do campo elétrico em cada tipo de polarização: linear, circurlar e elíptica.
Nesse capítulo, também é discutido a natureza vetorial do campo elétrico, que sugere
uma representação de estados. Sendo conhecidos como Estados de Polarização. Esta
sugestão de representação apresenta uma matemática própria como será mencionado nas
seções (2.2.1), (2.2.2) e (2.2.3), através dos vetores e matrizes de Jones e os Parâmetros
de Stokes. Este último, nos permite uma representação geométrica dos Estados de Pola-
rização numa esfera, chamada de Esfera de Poincaré . Será visto, que é possível fazer
uma série transformações de estados, por meio de alguns dispositivos ópticos. E, que por
�m, também é possível representar essas transformações na Esfera de Poincaré . Tal
capítulo, baseado nas referências [1], [5], [6], [7] e [8], constitui um estudo básico acerca
3
do tema deste trabalho.
O segundo capítulo, na verdade, é o tema principal desse trabalho. Propomos um mé-
todo alternativo para caracterização da polarização de feixe laser e determinação dos Pa-
râmetros de Stokes, via análise de imagens por meio de software livre e gratuito, chamado
ImageJ. Inicialmente, discutimos o arranjo experimental utilizado, seção (3.1), seguido da
análise de dados. Na parte de análise de dados, também apresentamos os procedimentos
necessários para a caracterização da polarização. Foi necessário de antemão, fazermos
uma calibração entre os instrumentos de medidas utilizados (detector e câmera CCD)
para que a caracterização ocorresse. No �m do capítulo, são comparados por meio de
uma tabela e da representação na Esfera de Poincaré, os Parâmentros de Stokes indicados
pela teoria com os determinados pela técnica proposta.
Finalmente, no último capítulo apresentamos conclusões e perspectivas sobre esse
trabalho.
4
2 Polarização da Luz
A teoria eletromagnética clássica, descreve a luz como uma perturbação que se pro-
paga no espaço. Essa perturbação é descrita por meio da oscilação dos vetores campo
Elétrico ( ~E) e campo Magnético ( ~B) [12], perpendiculares entre si e à direção de propa-
gação representada pelo vetor de onda ~k, em todos os instantes de tempo, como ilustrado
na Figura 1. Portanto, ao se propagar no espaço livre, a luz é uma onda transversal
eletromagnética (TEM), como conjecturou Maxwell no século XIX.
Figura 1: Onda propagando-se na direção positiva do eixo z, onde os campos ~E e ~Bpossuem componentes apenas no plano xy. [1]
O fenômeno da polarização da luz está relacionado com o comportamento da direção
de oscilação do vetor campo Elétrico( ~E) ao longo do tempo, contido em um plano trans-
versal à direção propagação, representada pelo vetor ~k. O desenho traçado pela ponta do
vetor campo Elétrico( ~E), na Figura 1 determina, portanto, a polarização. É importante
resaltar que a direção de polarização corresponde a direção do campo Elértico ( ~E)
A polarização das ondas eletromagnéticas pode classi�cada em: linear, circular e
5
elíptica. Os nomes se referem à �gura desenhada no plano perpendicular à direção de
propagação. Se o vetor que descreve o campo elétrico em um ponto do espaço como
uma função do tempo está sempre em uma mesma direção, a onda é dita linearmente
polarizada. A onda TEM da Figura 1 é um exemplo de onda linearmente polarizada.
No entanto, o caso mais geral de onda polarizada é aquele em que a �gura traçada pelo
vetor campo elétrico é uma elipse, e por esse motivo chamamos a onda de elipticamente
polarizada. Quando os eixos da elipse são iguais, a �gura traçada pelo campo elétrico é
uma circunferência e dizemos que a onda é circularmente polarizada. Tanto a polarização
circular como a linear são simples casos especiais da polarização elíptica. A escolha
conveniente da direção do campo Elétrico ( ~E) irá de�nir o que chamamos de estados
de polarizaçao, como será discutido à frente. A Figura 2 apresenta os três tipos de
polarização.
Figura 2: Tipos de polarização: (a) Linear; (b) Circular; (c) Elíptica. [11]
Para que uma onda eletromagnética seja polarizada, não é necessário que seja uma
onda harmônica, ou seja, que as �utuações dos campos elétrico e magnético sejam descri-
tas por funções senoidais. Para tal, basta que o vetor campo elétrico descreva um desenho
como os acima da Figura 2.Porém, quando as variações são de fato harmônicas, os radi-
adores elementares responsáveis pela geração da onda atuam em uma mesma frequência,
em fase ou não, como ocorre no caso dos elétrons em uma antena transmissora de rádio
ou dos fótons na cavidade de um laser.Essas fontes são ditas coerentes. Nas fontes comuns
6
de luz, como uma lâmpada incandescente, os radiadores elementares, que são os átomos
constituintes da fonte (como o �lamento incandescente da lâmpada), atuam de forma in-
dependente. Por esse motivo, a luz emitida por essas fontes consiste em uma superposição
de várias ondas de freqüências e fases aleatórias. Esse tipo de radiação é chamada de luz
incoerente. Um observador posicionado nesse eixo irá observar um movimento totalmente
aleatório do vetor campo Elétrico ( ~E). Por este motivo, chamamos a luz incoerente de
não-polarizada, ou luz natural. O meio termo entre luz polarizada e não-polarizada é cha-
mado de luz parcialmente polarizada. Uma maneira útil de descrever esse comportameto
é encarar como resultado da superposição de quantidades especí�cas de luz natural e luz
polarizada.
Como dito anteriormente, a luz é considerada uma onda transversal eletromagnética
(TEM), que poder ser descrita, de maneira idealizada, através de uma onda plana mo-
nocromática propagando-se na direção z, cujos campos elétrico ( ~E) e magnético ( ~B) são
expressos pelas equações:
E(z, t) = E0ei(kz−ω.t) (2.1)
B(z, t) = B0ei(kz−ω.t) (2.2)
onde E0 e B0 são as amplitudes (complexas). Os campos físicos, é claro, são as partes
reais de E(z, t) e B(z, t).
As equações (2.1) e (2.2) estão escritas na forma complexa. Porém, podemos escrevê-
las na forma senoidal:
~E(z, t) = E0 cos(kz − ω.t+ δ)x (2.3)
~B(z, t) = B0 cos(kz − ω.t+ δ)y (2.4)
onde kz − ω.t+ δ representa a fase da onda. E, δ uma constante de fase.
Como escrito acima, as equações (2.3) e (2.4) estão em fase e são mutuamamente
perpendiculares e perpendicular à direção de propagação z. Além disso, a Lei de Faraday,~∇× ~E = −∂ ~B
∂testabelece uma relação entre as amplitudes elétricas e magnéticas, a saber:
~B0 =kω
(z × ~E0) =1
c(z × ~E0) (2.5)
7
de modo que as amplitudes reais, relacionam-se por:
B0 =kωE0 =
1
cE0 (2.6)
e a equação (2.4) reescrita será:
~B(z, t) =kωE0 cos(kz − ω.t+ δ)y (2.7)
As demonstrações das equações (2.5) e (2.6) encontram-se no Apêndice.
Importante resaltar que não há nada de especial direção z. Tanto que podemos gene-
ralizar as equações (2.3) e (2.4) para um direção arbitrária. A notação torna-se fácil pela
introdução do vetor de onda (~k), que aponta na direção de propagação e cuja magnitude
é o número de onda k. O produto ~k · ~r é a generalização apropriada para kz, portanto,
~E(~r, t) = E0 cos(~k · ~r − ω.t+ δ)n (2.8)
~B(~r, t) =kωE0 cos(~k · ~r − ω.t+ δ)(k × n) (2.9)
onde n é o vetor de polarização, que de�ne o plano de vibração. E, como ~E é transversal,
n · k = 0.
Portanto, como o fenômeno da polarização está relaciocionado com o comportamento
do campo Elétrico ( ~E), iremos a partir de agora nos concertar na análise da equação (2.8)
para descrever, formalmente, os Tipos de Polarização anteriomente mencionados.
2.1 Descrição Formal da Polarização
O campo Elétrico ( ~E)de uma onda Transversal Eletromagnética (TEM) se propagando
na direção positiva do eixo z pode ser representado por [1]:
~Ex(z, t) = E0x cos(kz − ω.t)i (2.10)
e~Ey(z, t) = E0y cos(kz − ω.t+ ε)j (2.11)
onde ε é a diferença de fase entre as ondas. É, importante observar que, a adição de um ε
positivo irá acarretar um cosseno em (2.11) de valor diferente do que em (2.10). Se ε > 0,~Ey estará retardado em relação a ~Ex. É claro que, se ε < 0, ~Ey lidera ~Ex. Portanto, a
8
perturbação ótica resultante será um vetor soma das ondas dadas por (2.10) e (2.11):
~E(z, t) = ~Ex(z, t) + ~Ey(z, t) (2.12)
As equações do campo magnético ( ~B) serão omitidas ao longo do texto, já que a polari-
zação é de�nada como o movimento traçado pelo vetor campo Elétrico ( ~E).
2.1.1 Polarização Linear
A polarização linear ocorre quando o vetor campo Elétrico ( ~E) oscila alinhado a uma
linha reta, no plano perpendicular ao vetor ~k de propagação da onda. Quando a diferença
de fase ε for zero ou um múltiplo inteiro de ±2π, as ondas escritas em (2.10) e (2.11) são
ditas em fase. E, neste caso a equação (2.12)torna-se
~E = (iE0x + jE0y) cos(kz − ω.t) (2.13)
A onda resultante tem uma amplitude constante igual a (iE0x+ jE0y), em outras palavras,
linearmente polarizada. Também podemos ter a diferença de fase ε sendo um múltiplo
inteiro ímpar de ±π. As ondas, agora, estarão 180º fora de fase, e
~E = (iE0x − jE0y) cos(kz − ω.t) (2.14)
Esta onda é, novamente, linearmente polarizada, mas o palno de vibração sofrerá uma
rotação, que não necessariamente tenha que ser de 90º.
Para uma melhor explicação, consideremos inicialmente um caso bastante particular
da equação (2.12), em que uma das componentes seja nula. Por exemplo, E0y = 0. Neste
caso, o vetor campo Elétrico irá parametrizar uma curva no plano xy (z = 0) de acordo
com as seguintes equações:
~Ex(0, t) = E0x cos(ω.t+ εx)i (2.15)
e~Ey(0, t) = 0 (2.16)
Podemos, portanto, através das equações (2.15) e (2.16), observar que ocorre a para-
metrização de um segmento de reta no eixo x. A cada instante de tempo, o módulo do
vetor campo Elétrico ( ~E) varia harmonicamente sempre na direção do eixo x. A polariza-
ção é dita linear na direção x. Um outro caso muito semelhante é obtido se a componente
9
E0x = 0, sendo chamada de polarização linear na direção y. A �gura abaixo ilustra esses
dois casos.
Figura 3: Polarização Linear na direção y e direção x, respectivamente [11].
Considere agora, um outro caso, em que as componentes E0x e E0y não sejam nulas,
e que possamos escrever as equações para os campos da seguinte forma:
~Ex(0, t) = E0x cos(ω.t+ εx)i (2.17)
e~Ey(0, t) = E0y cos(ω.t+ εy)j (2.18)
De modo que, εx = εy = ε, ou seja, encontram-se em fase. Assim, nestas condições, as
equações (2.17) e (2.18) parametrizam o vetor campo Elétrico ( ~E), no plano z = 0.
Note que, as componentes, em todos os instantes são proporcionais, ou seja,
Ey(0, t) =E0y
E0x
Ex(0, t) (2.19)
Portanto, parametriza uma reta que passa pela origem. Onde o ângulo de inclinação com
o eixo x é dado por:
θ = tan−1(E0y
E0x
) (2.20)
Por esta razão, esse tipo de polarização é chamada de polarização linear na direção θ.
A Figura 4 ilustra essa polarização.
Um resultado semelhante poderia ser obtido se fosse escolhido εx = εy + π. Pois,
somar uma fase de π radianos é o mesmo que inverter o sinal do cosseno. Nesta situação,
a única diferença estaria no valor do ângulo θ que seria negativo. Logo, podemos concluir
10
Figura 4: Polarização Linear na direção θ [11].
que:
"Uma onda eletromagnética é linearmente polarizada se o seu vetor campo elétrico
possuir (a) apenas uma componente ou (b) duas componentes ortogonais em fase ou em
oposição de fase."
2.1.2 Polarização Circular
Outro caso particular interessante surge quando ambas ondas constituintes tem am-
plitudes iguais. Isto é, E0x = E0y = E0. E, além disso, qualquer diferença de fase relativa
de ε = −π2, ou qualquer incremento a partir de −π
2por um número inteiro múltiplo de 2π
[1]. Conforme as equações
~Ex(z, t) = E0x cos(kz − ω.t)i (2.21)
e~Ey(z, t) = E0y sin(kz − ω.t)j (2.22)
a onda resultante é:
~E = E0 [i cos(kz − ω.t) + j sin(kz − ω.t)] (2.23)
a amplitude de ~E, dada por, ( ~E · ~E)12 = E0, é constante. Mas, a direção de ~E é variável
no tempo e não restrita a um único plano.
Podemos a�rmar o que foi dito acima por uma análise algébrica mais rigorosa. Por-
tanto, a partir da condição E0x = E0y = E0, e considerando a relação de fase entre as
ondas escritas por:
εx = εy +π
2(2.24)
Com isso, é possível escrever as seguintes equações paramétricas para o plano do obser-
11
vador (z = 0),
Ex(t) = E0 cos(ω.t+ εx) (2.25)
Ey(t) = E0 cos(ω.t+ εy) = E0 cos(ω.t+ εx −π
2) = E0 sin(ω.t+ εx) (2.26)
De modo que, a amplitude do vetor ~E, a partir das equações acima, ecritas em coor-
denadas polares, será:
E(t) =√
(Ex(t))2 + (Ey(t))2 (2.27)
E(t) =√
[E0 cos(ω.t+ εx)]2 + [E0 sin(ω.t+ εx)]2 = E0 (2.28)
Observe que, a amplitude é constante ao longo do tempo. É, também, possível veri�car
a direção do vetor ~E, como se segue
θ = tan−1(Ey(t)
Ex(t)) (2.29)
θ = tan−1(E0 sin(ω.t+ εx)
E0 cos(ω.t+ εx)) (2.30)
θ = tan−1(tan(ω.t+ εx)) (2.31)
logo,
θ = ω.t+ εx (2.32)
Portanto, o ângulo θ, que o vetor ~E faz com a diração x varia lienarmente com o
tempo. Essa é justamente a equação paramétrica de uma circunferência, em que a ponta
do vetor campo elétrico gira periodicamente no sentido horário com freqüência angular ω.
Por esta razão, dizemos que a onda eletromagnética apresenta uma polarização circular
à direita.
Uma outra análise a respeito da amplitude e direção do vetor ~E pode ser feita, apenas
alterando a equação (2.24). Para isso, tomamos
εx = εy −π
2(2.33)
O mesmo desenvolvimento feito, desde a equação (2.25) até (2.31), nos levará aos
seguintes resultados:
E(t) = E0 (2.34)
e,
θ = −ω.t+ εx (2.35)
12
Então, chegamos à outra equação paramétrica de uma circunferência. Porém, o vetor
campo Elétrico irá girar no sentido anti-horário. Esse caso é chamado de polarização
circular à esquerda. A �gura a seguir ilustra os dois casos de polarização circular.
Figura 5: Polarização circular a direita e Polarização circular a esquerda [11].
Desta forma, podemos concluir que:
"Uma onda eletromagnética é circularmente polarizada se o seu vetor campo elétrico
possuir componentes ortogonais de mesma amplitude e diferença de fase de π2(polarização
circular à direita) ou −π2(polarização circular à esquerda)."
É importante, também resaltar que, uma onda linearmente polarizada pode ser sin-
tetizada a partir de duas ondas circulares opostamente polarizadas de iguais amplitudes
[1]. Em particular, se somarmos a onda circular à direita,
~E = E0 [i cos(kz − ω.t) + j sin(kz − ω.t)] (2.36)
com a onda circular à esquerda,
~E = E0 [i cos(kz − ω.t) + j sin(kz − ω.t)] (2.37)
teremos~E = 2E0i cos(kz − ω.t) (2.38)
onde a amplitude, e direção do ~E serão constantes igual a 2E0i. Portanto, linearmente
polarizada.
13
2.1.3 Polarização Elíptica
À medida que a descrição matemática é desenvolvida, é possível considerar que ambas
polarizações, linear e circular, são casos particulares da polarização elíptica [1]. Isto
signi�ca que, em geral, a resultante do vetor campo Elétrico ( ~E) irá, além de rotacionar,
variar sua amplitude, ocorrendo uma diferença de fase qualquer entre os campos ~Ex e ~Ey.
Em tais casos, o vetor ~E irá traçar uma elipse, em um plano �xo perpendicular ao vetor
de propagação de onda ~k. Podemos observar melhor essa descrição a partir das equações:
Ex = E0x cos(kz − ω.t) (2.39)
e
Ey = E0y cos(kz − ω.t+ ε) (2.40)
Para obtermos as dimensões relativas e a orientação dos eixos da elipse, devemos, a
partir da equações (2.39) e (2.40), eliminar a dependência em (kz−ω.t), como descrito a
seguir:
Ey = E0y cos(kz − ω.t) cos(ε)− sin(kz − ω.t) sin(ε) (2.41)
EyE0y
= cos(kz − ω.t) cos(ε)− sin(kz − ω.t) sin(ε) (2.42)
como: cos(kz − ω.t) = ExE0x
, teremos
EyE0x
=ExE0x
cos(ε)− sin(kz − ω.t) sin(ε) (2.43)
EyE0y
− ExE0x
cos(ε) = − sin(kz − ω.t) sin(ε) (2.44)
Da equação (2.39) podemos escrever,
E2x = E2
0x cos2(kz − ω.t) (2.45)
e usando a relação: cos2(kz − ω.t) + sin2(kz − ω.t) = 1, chegamos à
sin2(kz − ω.t) = 1− cos2(kz − ω.t) (2.46)
sin2(kz − ω.t) = 1−(ExE0x
))2 (2.47)
14
sin(kz − ω.t) =
[1−
(ExE0x
)2] 1
2
(2.48)
Substituindo a equação acima na equação (2.44), teremos
(EyE0y
− ExE0x
cos(ε))2 = [1− (ExE0x
)2] sin2(ε) (2.49)
Finalmente, reorganizando os termos, teremos:
(EyE0y
)2 + (ExE0x
)2 − 2ExE0x
EyE0y
cos(ε) = sin2(ε) (2.50)
Figura 6: Polarização Elíptica [1]
Portanto, a equação (2.50) representa uma elipse formando um ângulo α com o sistema
de coordenadas (Ex, Ey)[1], tal que
tan(2α) =2E0xE0y cos(ε)
E20x − E2
0y
(2.51)
A demonstração da equação acima encontra-se no Apêndice.
A equação (2.50) tomar uma aperência mais reconhecida, caso os eixos da elipse
estiverem sobre o eixo das coordenadas, de modo que α = 0, ou ε = ±π2,±3π
2,±5π
2,...(
EyE0y
)2
+
(ExE0x
)2
= 1 (2.52)
É possível observarmos que se E0x = E0y = E0, também reduzimos a equação acima
a
E2x + E2
y = E20 (2.53)
15
Representando a equação de uma circunferência, ou seja, polarização circular.
Além disso, e também possível por meio da equação (2.50) representar a polarização
linear. A equacao para quando ε for multiplo par ou impar de π [1] respectivamente,sendo
Ey =E0y
E0x
Ex (2.54)
Ey = −E0y
E0x
Ex (2.55)
A Figura abaixo ilustra os estados de polarização de acordo com a diferença de fase
entre as componentes Ex e Ey.
Figura 7: Estados de Polarização de acordo com a diferença de fase ε [1]
Figura 8: (a)Polarização elíptica à direira (b)Polarização elíptica à esquerda [11].
A polarização elíptica obedece à mesma nomenclatura da polarização circular para a
de�nição de polarização elíptica direita e esquerda, conforme o sentido de rotação do vetor
campo elétrico em relação à direção de propagação, conforme é observado na ilustração
acima.
Portanto, podemos, a partir de agora, nos referir as ondas de luz polarizadas por um
termo chamado de Estados de Polarização. Veremos, a seguir, através dos Vetores de
Jones e dos Parâmentros de Stokes um modelo matemático que descreve os Estados de
16
Polarização e suas respectivas representações na chamada Esfera de Poincaré.
2.2 Estados de Polarização
A natureza vetorial do campo elétrico sugere uma representação de Estados. Estes
estados são caracterizados pelas amplitudes do campo elétrico, na representação fasorial
dos parâmetros Ex e Ey e φx e φy, comforme ilustrado abaixo.
Figura 9: Representação fasorial do campo elétrico [11].
2.2.1 O Vetores de Jones
O Físico americano Robert Clark Jones desenvolveu um modelo matemático que des-
creve a evolução da polarização durante a propagação de ondas planas com estados de
polarização arbitráios através de uma sequência de elementos birrefringentes e polariza-
dores [5]. Essa técnica desenvolvida tem a vantagem de ser aplicável a feixes coerentes.
Porém, esse formalismo só é válido para ondas polarizadas [1].
A representação do vetor de Jones é de�nida em termos do campo elétrico da seginte
forma [1]:
~E =
[Ex(t)Ey(t)
]onde Ex(t) e Ey(t) são componentes escalares instantâneos do vetor campo elétrico
~E. Presenvando a informação de fase, seremos capazes lidar com ondas coerente. E, com
isso, podemos utilizar uma notação complexa para o campo [1].
~E =
[E0xe
iφx
E0yeiφy
]onde φx e φy são as fases do campo com mesma dependência em z e t. Pondendo,
17
apresentar uma defasagem ε entre si. Logo, os Estados de Polarização Lineares Horizontal
e Vertical podem ser escritos por:
~Eh =
[E0xe
iφx
0
]e ~Ev =
[0
E0yeiφy
]respectivamente. A soma de dois feixes coerentes é formada pela da componentes corres-
pondentes, ou seja, ~E = ~Eh + ~Ev. Contudo, quando E0x = E0y e φx = φy, teremos:
~E =
[E0xe
iφx
E0xeiφx
]e ~E = E0xe
iφx
[11
]que representa o Estado de Polarização +45◦ com amplitudes iguais e diferença de fase
nula.
Em alguns casos, a �m de simpli�car a análise, é comum normalizar o vetor de Jones.
Para isso, é necessário os dois componentes pela exponencial complexa comum e pelo
módulo do vetor. Ou seja, estaremos diante de uma equação de normalização do tipo:
~E∗ · ~E = 1 (2.56)
E, poderemos representar, agora normalizado, o Estado de Polarização +45◦[1].
~E+45 =1√2
[11
]De maneira similar, os Estados de Polarização horizontal e vertical são escritos como:
~Eh =
[10
]e ~Ev =
[01
]Para a luz circularmente polarizada à direita, cujas amplitudes são iguais, porém, com
defasagem de −π2, o Vetor de Jones associado será:
~E =
[E0xe
iφx
E0yei(φx−π2 )
]Ao dividirmos ambas componentes por E0xe
iφx , teremos:[1
e−iπ2
]=
[1−i
]Consequentemente, o Vetor de Jones normalizados serão:
18
~ER =1√2
[1−i
]analogamente ~EL =
1√2
[1i
]
Portanto, soma de ~ER + ~EL é:
1√2
[1 + i−i+ i
]=
2√2
[10
]A matriz acima representa o estado de polarização horizontal com uma amplitude
duas vezes maior que suas componentes. O resultado encontrado está de acordo com
o enunciado anteriormente na seção acima. O Vetor de Jones para luz elipticamnete
polarizada pode ser obtida pelo mesmo procedimento usado para chegar em ~ER e ~EL.
Para este caso, E0x pode não ser igual a E0y, e a diferença de fase não precisa ser de 90◦.
Com isso, para luz com polarização elíptica, é possível fazer E0y = CE0x e φy = φx − ε,onde C é a razão entre E0y e E0x e ε é a defasagem entre as componentes x e y do campo.
Logo, o Vetor de Jones é escrito como
~ER =
[E0xe
iφx
E0yei(φx−ε)
], ou normalizando
~ER =1√
1 + C2
[1
Ce−iε
]Se E0y < E0x e os eixos x e y corresponderem aos eixos da elipse, C representa também
a elipticidade da polarização (com C = 0 correspondendo à polarização linear e C = 1
correspondendo à polarização circular). Abaixo está representado em uma tabela [5] os
vetores correspondente aos principais estados de polarização. Importante ressaltar que
as duas últimas linhas correspondem aos casos particulares da polarização elíptica com
C = 2 e ε = ±π2.
Com base na descrição do vetor de Jones acima, é possível a�rmar que, quando dois
vetores forem ortogonais entre si, seus respectivos estados de polarização também o serão.
Isso ocorre utilizando-se a condição de ortogonalidade para dois vetores complexos, ou seja,
vetores complexos são ortogonais quando o produto escalar de um vetor pelo conjugado
do outro vetor for zero [1].
19
Figura 10: Vetores de Jones para estados de Polarização particulares [5]
2.2.2 A Matriz de Jones
Segundo o modelo matemático proposto por R. Clark Jones, cada elemento óptico do
sistema, que altera a polarização da luz incidente, sobre ele, pode ser também representado
por uma matriz 2 X 2 [6]. Podemos considerar, por exemplo,um feixe de luz polarizado,
sendo seu vetor de Jones ~Ei. Ao atravessar um elemento óptico sua polarização pode, em
princípio se alterar, de forma que o vetor de Jones para o feixe transmitido seja ~Et. É
possível representar matematicamente a alteração do estado de polarização por [1]:
~Et = A ~Ei (2.57)
Onde a matriz A representa o elemento óptico, sendo dada por,
A =
[a11 a12
a22 a21
]Podendo reescrever explicitamenta a equação 2.57 da seguinte maneira:
[EtxEty
]=
[a11 a12
a22 a21
] [EixEiy
]Desta forma, é possível determinar uma matriz para cada tipo especí�co de elemento
20
óptico, invertendo-se a matriz acima. Na Tabela abaixo estão especi�cadas as matrizes
de Jones para diversos elementos ópticos lineares, considerando os eixos principais do
elemento óptico alinhados com a referência (eixos x e y).
Figura 11: Matrizes de Jones para elementos ópticos lineares [1]
Matrizes em geral não comutam. Assim, se a onda atravessar uma série de elementos
ópticos, as respectivas matrizes devem ser aplicadas na sequência correta. Por exemplo,
quando um feixe luminoso representado por A1~Ei, que já passou por um elemento óptico
com matriz A1, incide sob um segundo elemento óptico de matrizA2, seu feixe transmitido
será A2A1~Ei e assim por diante [1].
Entretanto, nem sempre os eixos principais do elemento óptico estão alinhados com
os eixos de referência conforme foi considerado na tabela anterior. Quando os eixos não
estão alinhados, sempre é possível se de�nir outro par de eixos,x1 e y1, rotacionados de
um ângulo Φ, de forma que estejam alinhados com os eixos principais do elemento, como
na Figura a seguir [6].
Desta forma considerando uma matriz de Jones para um polarizador não ideal, ou seja,
que nem transmite completamente uma das polarizações e nem elimina completamente a
outra, alinhado com os eixos x1 e y1 é possível escrever, utilizando estes eixos [6].
21
Figura 12: Escolha e de�nição de eixos para descrever um elemento óptico linear[6]
P =
[K1 00 K2
]
Onde K1 e K2 sao constantes de transmitancia, que representam a fracao de campo
transmitida em cada polarizacao. Para um polarizador ideal tem-se K1 = 1 e K2 = 0, ou
seja, a onda resultante sera transmitida somente em uma polarizacao. É possivel escrever
o campo incidente ~E em termos de componentes ao longo dos eixos rotacionados apenas
decompondo ~E nos eixos x1 e y1, resultando na equacao matricial:
[Ex1
Ey1
]=
[cos Φ sin Φ− sin Φ cos Φ
] [ExEy
]A matriz 2 X 2 acima representa uma rotação de um ângulo Φ em relação às coordena-
das originais. A onda transmitida ~E ′ pode ser, então, expressa em termos de componentes
x1 e y1, que estão alinhados com os eixos principais do polarizador, conforme equação
[E ′x1E ′y1
]=
[K1 00 K2
] [Ex1
Ey1
]
22
Desta forma, a matriz de Jones para um polarizador rotacionado de um ângulo Φ com
relação aos eixos de referência é:
PΦ =
[cosΦ − sin Φsin Φ cos Φ
] [K1 00 K2
] [cos Φ sin Φ− sin Φ cos Φ
]que, realizados os produtos matriciais, corresponde a
PΦ =
[K1 cos2 Φ +K2 sin2 Φ (K1 −K2) sin Φ cos Φ(K1 −K2) sin Φ cos Φ K1 cos2 Φ +K2 sin2 Φ
]
2.2.3 Os Parâmetros de Stokes
No modelo matemático descrito pelos vetores de Jones, os estados de polarização
foram caracterizados pelas amplitudes das componentes Ex e Ey do campo elétrico. Em
instrumentação óptica, porém, somente medimos intensidades. Além disso, apenas luz
polarizada pode ser representada por vetores de Jones, o que impossibilita sua utilização
nos casos frequentes de luz parcialmente polarizada.
Os parâmetros de Stokes possuem a vantagem de representar intensidades, isto é,
quantidades �sicamente mensuráveis, e por isso é possível representar também a luz não-
polarizada. Diferentemente dos vetores de Jones, que traziam números complexos, os
vetores de Stokes consistem apenas em números reais, sendo que cada um deles possui
um signi�cado físico bem de�nido. Por esta razão, é muito mais simples, a partir de
uma medida, calcular os Parâmetros de Stokes do sinal de luz do que calcular o vetor
de Jones correspondente. Mesmo assim, mostra-se que existe uma correspondência (um
isomor�smo) entre as duas representações quando a luz é polarizada.
Nos Parâmetros de Stokes, os Estados de Polarização são de�nidos por um vetor real
de dimensão 4 X 1, que dependem das intensidades relativas da luz para cada tipo de
polarização, conforme apresentado a seguir.
S =
S0
S1
S2
S3
=
Ih + IvIh − Iv
I45◦ − I−45◦
IL − IR
Nessa notação, Ih e Iv são as intensidades das componentes lineares da onda nos eixos
x e y, respectivamente; I45◦ e I−45◦ são as intensidades das componentes lineares da onda
ao longo dos eixos a 45◦ dos eixos x e y; IL e IR são as intensidades das componentes
23
circularmente polarizadas à esquerda e à direita, respectivamente.
Vale destacar que o parâmetro S0 representa a intensidade total do sinal de luz, isto
é, a soma das intensidades das componentes polarizada e não-polarizada:
S0 = Ipolarizada − Inao−polarizada (2.58)
Os demais termos, S1, S2 e S3 não possuem componentes não-polarizadas. Isso ocorre
pelo fato da luz não-polarizada ser uma superposição de componentes polarizadas de
mesma intensidade em eixos ortogonais. Por se tratarem de subtrações dessas intensida-
des, a componente não-polarizada de cada um dos parâmetros é cancelada.
É possível mostrar que os parâmetros de Stokes se relacionam com as componentes
do vetor de Jones e com a expressão geral da onda plana (2.12) da seguinte forma [7]:
S1 = | ~Ex(z, t)|2 − | ~Ey(z, t)|2 = E20x − E2
0y (2.59)
S2 =1
2[| ~Ex(z, t) + ~Ey(z, t)|2 − | ~Ex(z, t)− ~Ey(z, t)|2] = 2E0xE0y cos δ (2.60)
S3 =1
2[| ~Ex(z, t) + i ~Ey(z, t)|2 − | ~Ex(z, t)− i ~Ey(z, t)|2] = 2E0xE0y sin δ (2.61)
A partir das equações acima, é possível mostrar que:
S21 + S2
2 + S23 = (E2
0x + E20y)
2 = I2polarizada (2.62)
Ao dividirmos os termos da equação (2.62) por S20 , obtemos:
S21
S20
+S2
2
S20
+S2
3
S20
=I2polarizada
S20
=
(Ipolarizada
Ipolarizada − Inao−polarizada
)2
(2.63)
De maneira que podemos reescrever a equação (2.63) na forma:
p21 + p2
2 + p23 = η2 (2.64)
onde cada pi =SiS0
corresponde ao Parâmetro de Stokes normalizado. E, o termo η
24
indica o grau de polarização da luz,ou seja, a quantidade relativa de luz polarizada e não
polarizada em uma mesma onda luminosa [7], podendo ser de�nido como:
η =Ipolarizada
Ipolarizada − Inao−polarizada(2.65)
Substituindo as equações (2.58),(2.63) e (2.64) em (2.59), (2.60) e (2.61), teremos as
de�nições formais para os Parâmetros de Stokes normalizados.
p0 = 1 (2.66)
p1 = η.E2
0x − E20y
E20x + E2
0y
(2.67)
p2 = η.2E0xE0y
E20x + E2
0y
cos δ (2.68)
p3 = η.2E0xE0y
E20x + E2
0y
sin δ (2.69)
Portanto, o Estado de Polarização de um feixe monocromático pode ser completa-
mente caracterizado em termos dos Parâmetros de Stokes [8]. Como veremos a seguir,
essa caracterização dos Estados de Polarização nos permite uma representação geométrica
através da chamada Esfera de Poincaré.
2.2.4 A Esfera de Poincaré
A equação (2.64) apresentada na seção acima nos sugere uma representação para os
estados de polarização através de uma geometria esférica. A �m de tornar essa sugestão
mais clara, iremos adotar um ângulo χ auxiliar, de�nido como:
tanχ =E0y
E0x
(2.70)
De maneira que escreveremos os Parâmetros de Stokes em função do ângulo χ, usando
algumas relações trigonométricas como segue abaixo.
sin 2χ =2 tanχ
1 + tan2 χ=
2E0xE0y
E20x + E2
0y
(2.71)
cos 2χ =1− tan2 χ
1 + tan2 χ=E2
0x − E20y
E20x + E2
0y
(2.72)
25
Com isso, substituindo as equações (2.71) e (2.72)em (2.67),(2.68) e (2.69), teremos:
p1 = η. cos 2χ (2.73)
p2 = η. sin 2χ cos δ (2.74)
p3 = η. cos 2χ sin δ (2.75)
Onde 0 ≤ χ ≤ π2e 0 ≤ δ ≤ 2π.
A análise das equações acima, realmente, comprova a representação esférica para os
estados de polarização. Consequentemente, os Parâmetros de Stokes são coordenadas
cartesianas do espaço no qual qualquer feixe de luz completamente polarizado é represen-
tado por um ponto(p1, p2, p3) na esfera de raio unitário em torno da origem [9]. Portanto,
a esfera que representa os estados de polarização é a chamada Esfera de Poincaré.
Contudo, para o feixe de luz completamente polarizado teremos:
p21 + p2
2 + p23 = 1 (2.76)
Figura 13: Esfera de Poincaré. A �gura mostra um estado de polarização na superfícieda esfera, representado pelo ponto P, e suas coordenadas esféricas 2χ e δ [11].
A importância da esfera de Poincaré está na correspondência biunívoca que existe
entre cada ponto em seu interior e cada estado de polarização. Ou seja: todos os estados de
polarização estão representados na esfera de Poincaré, e cada ponto da esfera corresponde
a um estado de polarização distinto. Além disso, pontos próximos da esfera de Poincaré
correspondem a estados de polarização semelhantes, no sentido de que uma variação
contínua do estado de polarização de uma onda luminosa corresponde a uma trajetória
26
contínua na esfera.
Seguindo o mesmo raciocínio utilizado na seção 2.2.2 para os vetores de Jones, encontra-
se a seguir uma associação entre cada tipo de polarização (linear, circular e elíptica) e
cada região da esfera.
Conforme visto anteriormente, os estados de polarização linear são aqueles em que
as componentes em x e em y estão em fase ou em oposição de fase, ou seja,δ = 0, π.
E, considerando o feixe de luz polarizado (η = 1), pelas equações (2.73),(2.74) e (2.75)
conclui-se que os estados de polarização linear correspondem ao conjunto de pontos dado
por:
p1 = cos 2χ (2.77)
p2 = ± sin 2χ (2.78)
p3 = 0 (2.79)
Onde o ângulo χ varia de 0 a π2. Esse conjunto de equações corresponde ao conjunto
de todos os pontos da esfera cujo ângulo de elevação é nulo, ou seja, ao equador da esfera.
No caso dos estados de polarização circular, que correspondem aos casos em que x e y
possuem a mesma amplitude de campo. Em outras palavras, δ = π2, 3π
2e χ = π
4, teremos:
p1 = 0 (2.80)
p2 = 0 (2.81)
p3 = ±1 (2.82)
Isto é, aos dois pontos onde a esfera intercepta o eixo S3 (vertical), chamados de pólos
da esfera. Ao pólo norte associa-se o estado de polarização circular à esquerda (δ = π2), e
ao pólo sul o estado de polarização circular à direita (δ = 3π2).
Os estados de polarização elíptica correspondem a todos os demais pontos da esfera.
Quanto mais próximo dos pólos estiver um Estado de Polarização, maior a sua eliptici-
dade, e quanto mais próximo da linha do equador, menor sua elipticidade. Estados de
polarização de mesma elipticidade se encontram nos paralelos da esfera.
Abaixo encontram-se, os Parâmetros (ou Vetores) de Stokes para diferentes
tipos de polarização, representados diretamente na Esfera de Poincaré . No capítulo 3,
27
apresentaremos os dados dos experimentos que realizamos em esfera.
Figura 14: Estados de Polarização e respectiva localização sobre a Esfera de Poincaré [11].
A Esfera de Poincaré é um meio muito útil de se observar as transformações de po-
larização que um sinal de luz sofre ao ser transmitido através de um dispositivo que altere
seu estado de polarização. Na próxima seção, serão apresentadas essas transformações e
como elas se comportam quando representadas na esfera.
2.2.5 Transformações dos Estados de Polarização
Como visto na seção 2.2.2, podemos representar a luz polarizada na forma de um
vetor de Jones. O comportamento de diversos componentes ópticos, como polarizadores
e lâminas retardadoras, pode ser representado por um operador linear no espaço dos
Estados de Polarização. Seja, portanto, A a representação matricial do operador linear T
que descreve um dispositivo óptico. E, seja |ψin〉 o vetor de Jones representando o estadode polarização da luz na entrada do dispositivo. O estado de polarização da luz na saída
do dispositivo (|ψout〉) será dado por:
|ψout〉 = A · |ψin〉 (2.83)
A equação acima é a mesma apresentada anteriormente, em (2.57). Porém, aqui
estamos usando o estado de polarização, ao invés, do campo elétrico.
Onde A é uma matriz 2x2 chamada de Matriz de Jones. Se a luz estiver atravessando
uma série de dispositivos de matrizes de Jones dadas por A1,A2,...,An, o estado de
polarização emergente será:
|ψout〉 = An · An−1 · ... · A2 · A1 · |ψin〉 (2.84)
28
Supondo que o dispositivo não altere o grau de polarização (η) da luz que o atravessa,
ou seja, que ainda seja possível descrever a saída na forma de um vetor de Jones, podemos
determinar a matriz de Jones de qualquer dispositivo conhecendo-se as saídas para duas
entradas linearmente independentes. Em geral, utiliza-se entradas ortogonais para facilitar
os cálculos.
O formato da matriz de Jones de um dispositivo dependerá da escolha de base para
o espaço de estados de polarização. Em geral, escolhe-se como base os estados lineares
horizontal (H) e vertical (V). Assim, qualquer matriz de Jones associada ao operador
linear T nessa base será dada por:
A =
[1 00 1
](2.85)
Dessa forma, a resposta do dispositivo a um estado de polarização genérico Z = aH + bV
será descrito da seguinte maneira:
T (Z) = a
[10
]+ b
[01
](2.86)
T (Z) = A ·[ab
], semelhante a equação (2.83).
A maioria dos materiais ópticos exibe um certo grau de assimetria, de forma que o
índice de refração enxergado por dois estados de polarização ortogonais é diferente. Essa
propriedade é chamada de birrefringência, que é simplesmente uma anisotropia do meio.
Para estruturas usuais, existem dois estados de polarização ortogonais que não sofrem
alteração enquanto se propagam. Chamamos esses estados de auto-estados ou estados
próprios da estrutura. Quando os auto-estados são lineares, dizemos que o material
apresenta birrefringência linear, e quando são circulares dizemos que o material apresenta
birrefringência circular. Quando os dois tipos de birrefringência coexistem no mesmo
meio, os auto-estados são elípticos.
A maioria das aplicações de dispositivos birrefringentes, no entanto, envolve birre-
fringências lineares, que é o caso dos controladores de polarização e dos defasadores, que
serão discutidos com maior enfoque nesse trabalho.
29
Portanto, seja, novamente, A a matriz de Jones de um dispositivo e sejam:
|u〉 =
[x0
y0
]e |v〉 =
[−y0
x0
]
Os autovetores normalizados de A correspondentes aos auto-estados do dispositivo,
onde x0 e y0 são números reais. Note que eles são ortogonais e que correspondem a estados
de polarização linear. Deseja-se obter uma expressão para A a partir dos autovetores e de
seus autovalores associados. Isso pode ser trivialmente obtido através da diagonalização
de A:
A = P−1 ·D · P (2.87)
Onde a matriz P é a matriz mudança de base da base canônica (no caso, os vetores H e
V ) para a base dos autovetores, dada por:
P =
[x0 −y0
y0 x0
]Como a base de autovetores escolhida é ortonormal, signi�ca que a matriz P é uma
matriz ortogonal, o que facilita bastante as contas, já que:
P−1 = P T =
[x0 y0
−y0 x0
]A matriz D, por sua vez, é a matriz A em sua forma diagonal, isto é:
D =
[λu 00 λv
]Resolvendo a equação (2.87), com o auxílio das matrizes acima (P , P−1 eD), encontramos:
A =
[λux
20 + λvy
20 (λu − λv)x0y0
(λu − λv)x0y0 λuy20 + λvx
20
]Lembrando que os autovetores são normalizados, ou seja, x2
0 + y20 = 1.
A matriz encontrada é uma representação genérica de um dispositivo ou meio que apre-
sente birrefringência linear. Observe que, no caso do dispositivo não apresentar ganhos ou
perdas, os autovalores de possuirão norma 1 e a matriz A representará um operador uni-
tário. Surpreendentemente, muitos dispositivos ópticos são representados por operadores
unitários. A seguir serão estudados alguns deles em detalhes.
30
As matrizes de Jones de diversos dispositivos ópticos podem ser representadas utili-
zando a matriz A,descrita acima. O exemplo mais simples é o do polarizador linear, que
possui autovalores λu = 1 (associado ao eixo de transmissão) e λv = 0 (associado ao eixo
ortogonal). Supondo que o eixo de transmissão forma um ângulo θ com o eixo horizontal,
tem-se que:
|u〉 =
[x0
y0
]=
[cos θsin θ
]Utilizando a matriz A, teremos como a matriz do polarizador:
A =
[cos2 θ sin θ cos θ
sin θ cos θ sin2 θ
]Obviamente, devido à presença de um autovalor nulo, o polarizador não pode ser
representado por um operador unitário. Considere agora uma lâmina birrefringente com
anisotropia linear, na qual os auto-estados correspondem às direções que formam um
ângulo θ com os eixos x e y, conforme a matriz u acima.
Seja φ a defasagem introduzida entre as duas componentes, de forma que: λu = eiφ2
e λv = e−iφ2 . Observe que os autovetores possuem módulo igual a 1. Substituindo λu,
λv e os valores de x0 e y0, presentes na matriz u, na matriz A. E, utilizando algumas
identidades trigonométricas, teremos:
A =
[cos(φ
2) + i cos(2θ) sin(φ
2) i sin(2θ) sin(φ
2)
i sin(2θ) sin(φ2) cos(φ
2)− i cos(2θ) sin(φ
2)
]Note que essa matriz, diferentemente da matriz de um polarizador, representa um
operador unitário. Quando os auto-estados são as polarizações nas direções dos eixos x e
y, a matriz A se reduz a:
A =
[eiφ2 0
0 e−iφ2
]
Essa transformação pode ser interpretada geometricamente se sua representação na
esfera de Poincaré for utilizada. Para isso, considere um estado de polarização genérico
na entrada do dispositivo, da forma:
|ψin〉 =
[cosχ
sinχeiδ
]O estado de polarização na saída da lâmina birrefringente será dada equação (2.83),
31
de maneira que teremos:
|ψout〉 =
[eiφ2 0
0 e−iφ2
].
[cosχ
sinχeiδ
]=
[cosχ · e iφ2
sinχeiδ · e−iφ2
]
Multiplicando a matriz acima por eiφ2 , a �m de torná-la familiar, teremos:
|ψout〉 =
[cosχ
sinχ · ei(δ−φ)
]Na representação de Poincaré, esse estado de polarização corresponde ao ponto da
esfera dado por:
|ψout〉 =
[cos 2χ
sin 2χ cos(φ− δ)sin 2χ sin(φ− δ)
]
Observando a Figura 13 e a matriz |ψout〉 acima, percebemos que a matriz A, repre-
senta uma transformação de rotação de um ângulo φ em torno do eixo S1. Portanto,
podemos generalizar para uma transformação genérica qualquer, a partir da matriz A: a
transformação de polarização efetuada por uma lâmina birrefringente pode ser interpre-
tada geometricamente como uma rotação em torno do eixo que representa os auto-estados
na esfera de Poincaré. É importante entender que auto-estados ortogonais são represen-
tados em um mesmo eixo na esfera, já que são diametralmente opostos.
Contudo, a matriz A pode ser entendida como uma transformação genérica que pode
representar diversos dispositivos, como lâminas de meia onda (φ = π) e lâminas de quarto
de onda (φ = π2), que serão bastante utilizada neste trabalho. No caso de uma lâmina de
meia onda e uma lâmina de quarto de onda, de auto-estados alinhados aos eixos x e y, as
transformação poderiam ser representadas, respectivamente,por:
Aλ/2 =
[i 00 −i
]
Aλ/4 =
[1 00 i
]As matrizes Aλ/2 e Aλ/4 serão revisitadas nos procedimentos experimentais.
A �m de exempli�car a representação das transforções na Esfera de Poincaré, podemos
considerar o caminho ABCA, indicado na �gura abaixo.
32
Figura 15: Conjunto de Transformações de Estados de Polarização representado na Esferade Poincaré.
Esse caminho pode ser dividido da seguinte maneira: AB, BC e CA. De modo, que
podemos representar algebricamente esse conjunto de transformações por: TABCA = TCA ·TBC · TAB.
Cada transformação T , irá indicar o deslocamento de um Estado de Polarização para
outro, ao longo da Esfera. A transformação TAB representa a saída de um Estado de
Polarização circular à esquerda (PCE) para um Estado de Polarização linear −45(L-45).
No caso da transformação TBC , saímos do Estado L-45 para um Estado de Polarização
linear qualquer, indicado pelo ponto C, na �gura. Já, a transformação TCA irá deslocar
do Estado de Polarização em C para o Estado de Polarização linear −45(L-45), fechando
a transformação TABCA.
Podemos, matricialmente, escrever cada transformação descrita acima. Porém, é ne-
cessário relembrar que as matrizes Aλ/2 e Aλ/4 escritas anteriormente,representam as
lâminas de meia onda e lâminas de quarto de onda quando estão com seus eixos rápi-
dos alinhados horizontalmente. Portanto, devemos escrever as matrizes dos dispositivos
quando estiverem com seus respectivos eixos rápidos formando um ângulo θ com a ho-
rizontal. Para tal, usaremos a seguinte notação: A(φ, θ) [10]. Logo, a equação (2.83),
pode ser reescrita da seguinte forma:
|ψout〉 = A(φ, θ) · |ψin〉 (2.88)
33
Matricialmente, teremos:
A(φ, θ) =
[cosθ sinθ−sinθ cosθ
].
[eiφ2 0
0 e−iφ2
].
[cosθ −sinθsinθ cosθ
]Com isso, podemos descrever cada transformação no caminho AB, BC e CA, matri-
cialmente.
A transformação TAB pode ser obtida utilizando uma lâmina de quarto de onda com
seu eixo rápido na horizontal, e teremos:
|ψout〉 =
[1 00 i
].
1√2
[1i
]=
1√2
[1−1
]A próxima transformação TBC , é realizada com uma lâmina de meio onda, rotacionada
de um ângulo θ qualquer, em relação ao seu eixo rápido. Esta transformação, em termos
matriciais �ca:
|ψout〉 =
[cosθ sinθ−sinθ cosθ
].
[i 00 −i
].
[cosθ −sinθsinθ cosθ
].
1√2
[1−1
]
E, �nalmente, a última transformação TCA. Como a lâmina de quarto de onda trans-
forma um estado de polarização linear em circurlar e vice-versa, esta transformação do
ponto C para o ponto A será:
|ψout〉 =
[cosθ sinθ−sinθ cosθ
].
[1 00 i
].
[cosθ −sinθsinθ cosθ
].|ψout〉C =
1√2
[1i
]
Assim, encerramos a fundamentação teórica que norteará essa trabalho. Veremos,
nos próximos capítulos, a parte experimental do trabalho, que terá como base princial a
representação dos Estados de Polarização na Esfera de Poincaré.
34
3 Caracterização experimental da
polarização de um feixe laser
Como visto anteriormente, o Estado de Polarização da luz é completamente deter-
minado pelos Parâmetros de Stokes [8], que consite num conjunto de três pontos
(p1, p2, p3) associados as intensidades da luz, que por sua vez, são quantidades físicas
mensuaráveis. Vimos também,que a representação geométrica do Estado de Polarização
se dá através da chamada Esfera de Poincaré. Portanto, neste presente capítulo, iremos
propor um método alternativo para a caracterização da polarização de um feixe laser. Na
sequência, determinaremos dos Parâmentos de Stokes e os representaremos na Esfera de
Poincaré.
3.1 Arranjo experimental
Uma das maneiras de se obter a caracterização da polarização de um feixe de luz, e
seus respectivos Parâmetros de Stokes , ocorre através da medida da intensidade da luz
polarizada. Para isso, propomos um aparato de produção de feixes lasers com controle de
polarização. E, um conjunto de três simples aparatos experimentais para determinação
dos referidos Parâmetros de Stokes .
O esquema ilustrado na Figura 16 representa o dispositivo que construímos para
produção de feixes laser com polarização arbitrária.
Inicialmente, conforme ilustrado na região tracejada da Figura 16, foi realizada uma
etapa de preparação do feixe a ser estudado. A �m de atenuar a intensidade do feixe laser,
foi utilizado uma lâmina de meia onda, �xada num suporte giratório, com ajuste preciso
de ângulo, um DFP e um �ltro neutro atenuador. Na sequência, tendo em vista que, o
DFP transmite um feixe laser com polarização linear horizontal, de acordo com o plano
da mesa óptica, podemos adicionar uma segunda lâmina de onda λ, também �xada em
um suporte de rotação, para produzir um estado genérico de polarização a ser medido e
35
caracterizado de acordo com os Parâmetros de Stokes .
Figura 16: Etapa de preparação do feixe.
Para otimizar espaço e não ser repetitivo, chamaremos a região demarcada da �gura
acima de ETAPA 1.
A intensidade do laser após a ETAPA 1 foi medida por de um fotodiodo (detector),
onde se obteve o valor de 126, 90 nW . Na sequência, de acordo com nosso estudo de
transformações dos Estados de Polarização, seção (2.2.5), posicionamos a λ@θ = λ2@θ =
00,+450,+22, 50 e −22, 50, de forma a produzirmos os estados de polarização |H〉, |V 〉,|+ 450〉,| − 450〉, respectivamente. Substituímos a λ
2@θ por λ
4@θ = +450 e −450 de forma
a produzirmos os estados |D〉 e |E〉.
A proposta desse trabalho é apresentar um método alternativo para a caracterização
dos Estados de Polarização. Para isso, foi feita a substituição do detector por uma câmera
com dispositivo de carga acoplada (CCD), conforme a �gura abaixo. O plano será obter os
Parâmetros de Stokes p1, p2 e p3, a partir da análise de imagens obtidas pela câmera.
A equivalência entre o dectetor e a câmera CCD será discutida na próxima seção.
O feixe após λ2@θ, com os diversos θ's, é enviado aos três arranjos, ilustrados na
Figura 18, um de cada vez, de forma a determinarmos os valores de p1, p2 e p3.
Em especial, no caso ideal, se o feixe de entrada for linearmente polarizado na direção
|H〉 (|V 〉), os detectores fornecem
p1 =IDet1 − IDet2IDet1 + IDet2
= 1(−1) (3.1)
p2 = 0 (3.2)
p3 = 0 (3.3)
pois no arranjo 1, o DFP seleciona integralmente o feixe de acordo com sua polarização,
36
Figura 17: Esquema para caracterização do Estado de Polarização utilizando a câmneraCCD.
Figura 18: Deteccção dos parâmetros p1, p2 e p3.
fazendo a luz ser detectada em sua totalidade pelo Detector1 (Detector2), se θ = 00
(θ = 450). O mesmo feixe nos arranjos 2 e 3 são integralmente divididos pelos DFP´s,
produzindo p2 = p3 = 0.
37
Analogamente, se λ2@θ = ±22, 50, o feixe tem polarização linear a (| ± 450〉 é igual-mente dividido nos DFP´s nos arranjos 1 e 3, produzindo p1 = p3 = 0 e p2 =0.
Em resumo:
λ2 = λ2@θ =00 ⇒ p1 = 1; p2 = p3 = 0
450 ⇒ p1 = −1; p2 = p3 = 0(3.4)
λ2 = λ2@θ =+22, 50 ⇒ p2 = 1; p1 = p3 = 0
−22, 50 ⇒ p2 = −1; p1 = p3 = 0(3.5)
λ2 = λ2@θ =450 ⇒ p3 = 1; p1 = p2 = 0
−450 ⇒ p3 = −1; p1 = p2 = 0(3.6)
O mesmo aparato experimental foi utilizado para a caracterização dos demais Estados
de Polarização, com as diversas λ2. Os resustados serão apresentados na próxima seção.
3.2 Análise dos Dados
Nesta seção iremos abordar o método utilizado para a caracterização dos Estados de
Polarização e os dados obtidos.
Primeiramente, foi necessário encontrar uma equivalência entre o detector e a câmera
CCD. Para tal, foi produzido o Estado de Polarização horizontal, a partir do esquema
da Figura 18. E assim, foram medidas as intensidades da luz, variando o ângulo da λ2
na ETAPA 1. Alternamos o detector, que nos retornava uma valor de intensidade, de
maneira direta, com a câmera DCA, que por sua vez, capturava a cada variação de ângulo
da lâmina uma imagem. Com o auxílio de um software de análise de imagens chamado
ImageJ, obtivemos as intesidades da luz polarizada através de uma rotina de integração
de imagens, disponível no software.
Em tal rotina, o ImageJ associa cada cor de cada pixel da imagem a um número,
que vai de zero, correnpondendo ao preto, até 256, que corresponde ao branco. Assim,
cada imagem (preto e branco) pode ser entendida como uma matriz onde cada elemento
representa um pixel, cujo valor varia de 0 a 256.
No software tudo é feito de forma intuitiva e simpli�cada, bastando apenas o usuário
selecionar na imagem a região de integração por meio de um retângulo ajustável e um
único comando (Ctrl + M). A Figura 20 mostra a imagem da tela do computador com
o ImageJ aberto, no momento da análise de uma imagem com a fotogra�a de um feixe
38
guaussiano a ser analisado.
Figura 19: (a)Imagem do feixe aberta no software com a área seleciona. (b)Seleção doguia Analyse para obtenção das medidas calculadas pelo software.
Ao selecionar a opção (Ctrl + M), obtivemos uma série de medidas dispostas numa
tabela fornecida pelo programa.
As medidas fornecidas pelo programa podem ser ajustadas. Para isso, basta selecionar,
na mesma guia Analyse, a opção Set Measurents . As medidas selecionadas aparecerão
numa tabela, como dito anteriormente.
Figura 20: (a)Tabela das medidas forneceidas pelo programa. (b)As posíveis medidas aserem realizadas pelo programa.
Como nossa proposta é obter um valor para a intensidade da luz polarizada, a medida
que estaremos interessados é a Integrated density . Essa medida nos fornece a soma
dos valores do pixels na área selecionada (RawIntDen), assim como o produto da área
seleciona pelo valor de cinza (IntDen). Serão os valores fornecidos por esse medida, que
nos ajudarão a fazer a equivalência entre o detector e a câmera CCD.
39
Para estabelecermos essa equivalência, foi coletado uma série de valores através do
detector, variando o ângulo da lâmina λ2de 4º em 4º na Figura 18. E, em seguida
registrada a imagem de um dos feixe projetado num anteparo pela câmera CCD.
O valor fornecido pelo detector está associado a intensidade detectada do feixe. Já,
o valor fornecido pela câmera CCD estará associado a medida feita pelo software, como
descrevemos anteriormente. Ao todo, foram obtidos 23 valores registrados com o detector
e 23 imagens registradas com a câmera. Abaixo, encontra-se a tabela com as intensidades
fornecidades por cada instrumento de medida.
λteorico λreal Idetector(nW ) ICCD
00 3380 126,90 49447640 3420 121,68 46684280 3460 111,42 479036120 3500 101,48 423516160 3540 84,86 376318200 3580 70,71 318891240 20 50,75 227790280 60 35,30 153379320 100 23,89 95033360 140 12,67 41665400 180 6,82 12528420 200 6,52 4156460 240 6,20 9458500 280 11,10 35016540 320 20,56 81595580 360 34,68 148746620 400 48,75 214976660 440 66,72 291270700 480 84,65 365166740 520 97,46 418717780 560 108,95 435406820 600 119,98 454896860 640 126,34 468727900 680 126,93 513434
Tabela 1: Valores de Intensidades obtidos com detector e a câmera CCD.
No caso dos valores registrados pela câmera CCD, foi descontado a intensidade de
fundo (Ifundo), proveniente de fontes externas. O mesmo procedimento, anteriomente
mencionado, foi realizado para determinar a intensidade de fundo. A tabela abaixo indica
os valores de intensidade de fundo (Ifundo), intesidade real (Ireal) e intensidades resultante
(ICCD).
40
λteorico Ireal Ifundo ICCD
00 524747 30271 49447640 497084 30242 46684280 512342 33306 479036120 456856 33340 423516160 412802 36484 376318200 354757 35866 318891240 265224 37434 227790280 193136 39757 153379320 135776 40743 95033360 82856 41191 41665400 56074 43546 12528420 46979 42823 4156460 54163 44705 9458500 78628 43612 35016540 121666 40071 81595580 189141 40395 148746620 254351 39375 214976660 325644 34374 291270700 399537 34371 365166740 452079 33362 418717780 469062 33656 435406820 484900 30004 454896860 498993 30266 468727900 546158 32724 513434
Tabela 2: Valores de Intensidades obtidos com a câmera CCD.
Utilizando a tabela (1), �zemos o grá�co ICCD × Idetector que nos mostra o compor-
tamento linear entre a câmera CCD e o detector, para feixes até 80 nW ,con�rmando a
equivalência entre ambos instrumentos utilizados para inferir a intensidade da luz polari-
zada, para baixa intensidade.
A �m de reforçar essa equilavência, também, a partir da tabela (1) foram plotados dois
grá�co, que apresentam o comportamentos semelhantes, entre as respectivas intensidade
e o ângulo da lâmina de meia onda.
Diante dos grá�cos apresentados nas Figuras 21 e 22, �ca clara a correspondência
entre o detector e a câmera CCD. Portanto, o procedimento utilizado para determinação
das intensidades da luz polarizada, através da análise da imagens pelo programa ImageJ é
válido para o regime de baixas intensidades, no caso da CCD utilizada, intensidade menor
que 100 nW .
41
Figura 21: Grá�co ICCD × Idetector: comportamento linear entre a CDD e o detector.
Figura 22: (a) e (b): comportamento entre a intesidade da luz polarizada e o ângulo dalâmina λ
2.
Com isso, podemos continuar com a nossa proposta experimental, e, a partir de agora,
utilizar apenas a câmera CCD, como descrito pela Figura 17.
Após essa etapa de calibração, retomamos a montagem da Figura 16, de forma a
produzirmos alguns estados de polarização conhecidos, para posterior caracterização via
os aparatos da Figura 18. A Figura 24 ilustra o experimento utilizado para determinação
do Parâmentros de Stokes em sua totalidade.
Inicialmente, o feixe de luz, proveniente do laser, passa pela etapa de atenuação con-
forme a Figura 16. Na sequência, o feixe passa pela λ2 que pode ser ajustada para
produzirmos um feixe de luz com a polarização desejada. Em seguida, o feixe é intro-
duzido em Dp1, Dp2, Dp3 para medidas das intensidades, conforme o procedimento de
ajuste da câmera CCD como detector, apresentado anteriormente.
Os Parâmetros de Stokes, dados pelas equações (3.7),(3.8) e (3.9), foram calculados
com os valores de intensidade obtidos. As tabelas 3 à 8, dispôem os resultados experi-
42
mentais dessas medidas e os Parâmetros de Stokes.
Produzimos os Estados de Polarização e capturamos os respectivos feixes projeta-
dos num anteparo diante da câmera CCD, e assim, analisamos a imagem pelo software.
A �gura abaixo mostra a análise de um Estado de Polarização produzido a partir dos
esquemas anteriormente mencionados.
Figura 23: (a) Feixes do Estado de Polarização Linear | + 450〉 para determinação doparâmetro p1. (b) Medidas fornecidas pelo software para os feixes projetados
Para a determinação dos Parâmetros de Stokes (p1, p2,p3), recorremos as seguintes
equações [9]:
p1 =I00 − I900
I00 − I900(3.7)
p2 =I450 − I1350
I450 − I1350(3.8)
p3 =ICD − ICEICD − ICE
(3.9)
A tabela (9) dispõe um resumo dos valores dos Parâmetros de Stokes teóricos e ex-
perimentais. Esses dados foram plotados em um grá�co via software Mathematica com
uma esfera de raio unitário que representa a Esfera de Poincaré.
Na Figura 25 ilustramos a Esfera de Poincaré com valores teóricos. Na Figura 26
ilustramos a Esfera de Poincaré com os valores dos Parâmetros de Stokes determina-
43
Figura 24: Arranjo experimental para detecção dos Parâmetros de Stokes.
Entrada Ifundo Itransmitidoreal Irefletidoreal Itransmitido Irefletido|00〉 176089 1339892 177229 1163803 1140|900〉 168619 150150 1378674 18469 1210055|450〉 175815 723488 802512 547673 626697|1350〉 175917 794963 727074 619046 551157|D〉 242650 879777 805926 637127 563276|E〉 171789 786937 736208 615148 564419|Arb〉. 178204 276847 1276358 98643 1098154
Tabela 3: Valores intensidades medidas na produção dos Estados de Polarização horizontal(0º) e vertical (90º).
p1 p2 p3 p21 + p2
2 + p23
0,998042823 -0,067290547 0,061521839 1,00440243-0,969933025 0,058014721 0,043006459 0,945985337
Tabela 4: Parâmentros de Stokes calculados
Entrada Ifundo Itransmitidoreal Irefletidoreal Itransmitido Irefletido|00〉 176712 868367 636789 691655 460077|900〉 178078 750824 763077 572746 584999|450〉 177113 1261520 178348 1084407 1235|1350〉 165615 147764 1390086 17851 1224471|D〉 169422 695510 820561 526088 651139|E〉 173069 680602 837992 507533 664923|Arb.〉 164232 251863 213780 87631 49548
Tabela 5: Valores intensidades medidas na produção dos Estados de Polarização |+45〉(45)e | − 45〉(1350).
p1 p2 p3 p21 + p2
2 + p23
0,201069346 0,997724849 -0,106225053 1,047167517-0,010583505 -0,971261879 -0,134239579 0,961481913
Tabela 6: Parâmentros de Stokes calculados
dos pela técnica deste trabalho. Observamos uma boa concordância entre os resultados
teóricos e experimentais de forma que veri�camos a viabilidade técnica e promissora de
desenvolvimento deste procedimento para substituição de fotodiodos em experimentos de
ótica, em laboratórios de pesquisa cientí�ca, e também, em prádicas docentes nos cursos
44
Entrada Ifundo Itransmitidoreal Irefletidoreal Itransmitido Irefletido|00〉 168972 738773 770793 569801 601821|900〉 174904 705633 813365 530729 638461|450〉 179047 675235 843749 496188 664702|1350〉 172315 788694 729601 616379 557286|D〉 171047 1392335 150647 1221288 20400|E〉 166884 184178 1266266 17294 1099382|Arb.〉 168640 181301 289679 12661 121039
Tabela 7: Valores intensidades medidas na produção dos Estados de Polarização Circulara Direita (|D〉) e Circular a Esquerda(|E〉).
p1 p2 p3 p21 + p2
2 + p23
-0,027329634 -0,145159317 0,967141504 0,957180825-0,092142423 0,05034912 -0,969025931 0,950036514
Tabela 8: Parâmentros de Stokes calculados
de física experimental básica.
Estado de Polarizao p1teorico p1exp. p2teorico p2exp. p3teorico p3exp.
|00〉 1 0,998042 0 -0,067290 0 0,061521|900〉 -1 -0,969933 0 0,058014 0 0,043006|450〉 0 0,201069 1 0,997724 0 -0,106225|1350〉 0 -0,010583 -1 -0,971261 0 -0,134239|D〉 0 -0,027329 0 -0,145159 1 0,967141|E〉 0 -0,092142 0 0,05034 -1 -0,969025
Tabela 9: Estados de Polarização e Parâmetros p1, p2, p3.
Figura 25: Esferas de Poncaré com Parâmetros Teórico (a) e Parâmetros Experimentais(b).
45
4 Conclusões e Perpectivas
Neste trabalho de monogra�a apresentamos uma proposta alternativa para a carac-
terização experimental da polarização de um feixe laser. E assim, sendo possível, a deter-
minação dos Parâmetros de Stokes [8] e suas respectivas representações na conhecida
Esfera de Poincaré [9].
Fizemos um estudo teórico, que nos serviu de base para o desenvolvimento da técnica
proposta. Foi mostrado, também, que uma câmera CCD pode ser usada como detector
e assim medir intensidades de luz polarizada. Essa equivalência foi crucial para carac-
terização da polarização do feixe laser. Sem essa correspondência não seria possível a
determinação dos Parâmetros de Stokes [8] via análise de imagens.
Por �m, espera-se que este trabalho seja de serventia para futuros estudantes e mem-
bros do Laboratório de Ótica Quântica da UFF, que realizam muitos experimentos envol-
vendo detecção de feixes luminosos em seus diversos projetos de pesquisa. Por outro lado,
esse trabalho tem um viés acadêmico onde pode ser aprimorado e adequado de forma a
ser utilizado em disciplinas do curso de graduação em Física, e áreas a�ns, como comple-
mento às práticas experimentais. E, como perpectiva futura, sugerimos um estudo mais
detalhado a�m de determinarmos as incertezas experimentais por essa técnica. E, que a
técnica proposta seja aplicada aos modos transversos de propagação da luz. A represen-
tação geométrica para esse caso, ocorre como proposta por M.J. Padgett e J. Courtial [9],
na chamada Esfera dos modos, através de uma analogia entre os Estados de Polarização
e os feixes paraxiais de primeira ordem [12].
Figura 26: Esfera de Poincaré e Esfera dos modos.
46
5 Apêndice
5.1 Demostrações das Equações 2.5 e 2.6
Considerando os campos representados pelas equações [3]
E(z, t) = E0ei(kz−ω.t) (5.1)
B(z, t) = B0ei(kz−ω.t) (5.2)
e a Lei de Faraday, dada por:
~∇× ~E = −∂~B
∂t(5.3)
De maneira que:
~∇× ~E =
(∂Ez∂y− ∂Ey
∂z
)x+
(∂Ex∂z− ∂Ez
∂x
)y +
(∂Ey∂x− ∂Ex
∂y
)z (5.4)
As parcelas(∂Ez∂y− ∂Ey
∂z
)x e
(∂Ey∂x− ∂Ex
∂y
)z são nulas. Assim como, o termo ∂Ez
∂x,
devidos suas derivadas em relação as componentes do campo. Portanto, a equação (5.4)
�ca reduzida a:
~∇× ~E =∂Ex∂z
y = E0ei(kz−ω.t)iky (5.5)
Como:∂ ~B
∂t= −B0iωe
i(kz−ω.t)y (5.6)
Com as equações (5.5) e (5.6), substituindo-as na Lei de Faraday (5.3), teremos:
47
E0ei(kz−ω.t)iky = B0iωe
i(kz−ω.t)y (5.7)
E0ky = B0ωy (5.8)
Sendo : B0y = ~B0 e y = z × x
kE0(z × x) = ~B0ω (5.9)
~B0 =k
ω(z × E0x) (5.10)
Onde, �nalmente, chegamos a:
~B0 =k
ω(z × ~E0) (5.11)
completando nossa demostração referente a equação (2.5).
O mesmo, poderá ser feito, porém usando a notação senoidal para chegarmos a equa-
ção (2.6). Como segue abaixo.
~E(z, t) = E0 cos(kz − ωt+ δ)x (5.12)
~B(z, t) = B0 cos(kz − ωt+ δ)y (5.13)
Como:
~∇× ~E = −E0 sin(kz − ωt+ δ)ky (5.14)
e
∂ ~B
∂t= −B0 sin(kz − ωt+ δ)(−ω)y (5.15)
Substituindo as equações (5.14) e (5.15) na Lei de Faraday (5.3), teremos:
−E0 sin(kz − ωt+ δ)k = −B0 sin(kz − ωt+ δ)ω (5.16)
48
Contudo, chegamos a equação (2.6)
B0 =k
ωE0 =
1
cE0 (5.17)
com k = ωc
5.2 Demonstração da Equação 2.51
Considere a equação geral das cônicas [4] , dada por:
Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0 (5.18)
onde A,B,C,D,E, e F , são constantes quaisquer.
Uma cônica, quando rotacionada de um ângulo α, satifaz a seguinte equação:
tan(2α) =C
A−B(5.19)
A partir da equação (2.50),(EyE0y
)2
+
(ExE0x
)2
− 2ExE0x
EyE0y
cos(ε) = sin2(ε) (5.20)
e reescrendo-a, de maneira que
1
E20y
E2y +
1
E20x
E2x − 2
(1
E0x
)(1
E0y
)ExEy cos(ε) = sin2(ε) (5.21)
seja possível identi�car: A = 1E2
0y; B = 1
E20x
; C = −2(
1E0x
)(1E0y
)cos(ε) ; D = E = 0;
F = sin2(ε)
De modo a termos a seguinte equação cônica,
AE2y +BE2
x + CExEy + F = 0 (5.22)
Logo, substituindo as constantes identi�cadas acima, na equação (5.19), teremos:
tan(2α) =−2(
1E0x
)(1E0y
)cos(ε)
1E2
0y− 1
E20x
(5.23)
49
tan(2α) =−2 cos(ε)
E0xE0y
E20xE
20y
E20y − E2
0x
(5.24)
tan(2α) =−2 cos(ε)E0xE0y
−(E2
0x − E20y
) (5.25)
Portanto, chegamos na equação (2.51), como queríamos demonstar.
tan(2α) =2E0xE0y cos(ε)
E20x − E2
0y
(5.26)
50
Referências
[1] Hecht,Eugene, Optics, Addison-Wesley Longman,4ª edição, EUA, 2002.
[2] Nussenzveig, Herch Moysés. Curso de Física básica. Vol. 3 - 1ª edição - São Paulo:Edgard Blucher, 1997.
[3] Gri�ths, David J. Introduction to Eletrodynamics - 3ª edição - New Jersey: PrenticeHall, 1999.
[4] Steinbrush, Alfredo; Winterle, Paulo. Álgebra Linear - 2ª edição - São Paulo: Pe-arson Makron Books, 1987.
[5] Yariv ,Ammon,Oxford University Press,4ª edição, EUA,1990.
[6] Iizuka, Keigo Elements of Photonics, Volume I: In Free Space and Special Me-dia,2002 John Wiley and Sons, Inc.
[7] BROSSEAU, C. Fundamentals of Polarized Light: A Statistical Optics Approach.New York: John Wiley and Sons, 1998, pp. 76-127.
[8] M.Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon, New York, 1980.
[9] M.J. Padgett and J. Courtial,OPTICS LETTERS/Vol.24,Nº7/ April 1, 1999.
[10] E. J. Galvez, P. R. Crawford, H. I. Sztul, M. J. Pysher, P. J. Haglin, and R.E.Williams,PHYSICAL REVIEW LETTER/Vol.90,Nº20/ May 23, 2003.
[11] Souza, Giancarlo Vilela de. Controle da polarização da luz em �bras ópticas mono-modo e aplicações, Tese de Doutorado PUC-Rio (2009)
[12] Souza, Carlos Eduardo Rodrigues de. Aplicações do Momento Angular Orbital daLuz à Computação e Informação Quântica, Tese de Doutorado IF UFF (2010)
[13] Santos, Bernardo Coutinho dos. Dinâmica dos Vórtices em Osciladores Paramétri-cos Óptico, Tese de Mestrado IF UFF (2004)
![CARACTERIZAÇÃO EXPERIMENTAL DO … · construção. Destacam-se também Frostig et al. [8, 9] em estudos experimentais de flexão,](https://static.fdocument.pub/doc/165x107/5b534a807f8b9a5a578bc143/caracterizacao-experimental-do-construcao-destacam-se-tambem-frostig-et.jpg)
