Capítulo 4 - UFSC · 1. Valores de h são mais baixos (menores velocidades): Em associações de...
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Capítulo 4
Convecção Natural
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Leitura e Exercícios (Incropera & DeWitt)
6ª Edição Seções: 9.1 a 9.9 Exercícios: Cap. 9 –6, 9, 13, 18, 25, 27, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 91, 94, 105, 110 5ª Edição Seções: 9.1 a 9.9 Exercícios: Cap. 9 – 6, 9, 13, 18, 25, 27, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 92, 94, 105, 110
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4.1. Definições
Convecção natural ou livre:
Modo de transferência de calor por convecção em que o movimento do fluido é resultante da própria transferência de calor
Em um fluido submetido a um gradiente de temperatura, existirão gradientes de massa específica resultantes que, na presença de uma força de
campo (ex. gravitacional), poderão resultar em um movimento macroscópico do fluido
thermal plume
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Diferença de temperatura (Ts – T∝)
Convecção de calor Força de corpo
(empuxo) (ρs – ρ∝)
Movimento do fluido (camada-limite)
Mecanismo básico
4.1. Definições
0T<
∂
ρ∂(fluidos)
instabilidade?
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Importância da convecção natural
1. Valores de h são mais baixos (menores velocidades): Em associações de resistências em série, pode ser a resistência térmica dominante. 2. Como não há custo em se bombear o fluido, a convecção natural é sempre uma alternativa barata de transferência de calor (ex. condensador arame-tubo)
4.1. Definições
q”
x
T
T∝
T1
T2 T3
T∝ T1 T2 T3
q”
R1 R2 R3
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Condição de Estabilidade
4.2. Considerações Físicas
Caso (a) ∇ρ negativo no mesmo sentido da aceleração da
gravidade (pode gerar instabilidade e convecção)
Caso (b) ∇ρ negativo no sentido oposto ao da aceleração da
gravidade (estável: condução apenas)
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Tipos de escoamentos: não-confinados
4.2. Considerações Físicas
Pluma térmica Jato livre
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Tipos de escoamentos: camada-limite
4.2. Considerações Físicas
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Tipos de escoamentos: confinados
4.2. Considerações Físicas
Cavidade fechada Canal
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Considere o escoamento na camada-limite:
4.3. Equações da Convecção Natural
Hipóteses: • escoamento laminar • regime permanente • geometria bidimensional • força de corpo devida à gravidade • propriedades físicas constantes (a menos da variação de ρ no termo de empuxo)
forças atuando num elemento de fluido
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Equações de camada-limite
4.3. Equações da Convecção Natural
Equação do movimento (dir. x): ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂ν+−
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
yu
xug
xp1
yuv
xuu
2
2
yu
∂
∂<<
Equação do movimento (dir. y): ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂ν+
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
yv
xv
yp1
yvv
xvu
(c.l.)
yu∂
∂<< uv <<
2
2
yu
∂
∂<< 2
2
yu
∂
∂<<
Equação da continuidade: 0yv
xu
=∂
∂+
∂
∂
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Equações de camada-limite
4.3. Equações da Convecção Natural
Assim:
A eq. do movimento (dir. x) fica:
Como: 0~yp∂
∂∴ g
dxdp
xp
∞ρ−==∂
∂ (só componente hidrostático: região externa está em repouso)
( )ρ
ρ−ρ=−
ρ
ρ=−
∂
∂
ρ− ∞∞ gggg
xp1
ρ
ρΔ= g
2
2
yug
yuv
xuu
∂
∂ν+
ρ
ρΔ=
∂
∂+
∂
∂
inércia empuxo
(motriz)
viscosa
(dissipativa)
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O coeficiente de expansão volumétrica térmica
4.3. Equações da Convecção Natural
Se o Δρ for devido a uma variação de temperatura (convecção natural), podemos expressá-lo em função de uma propriedade termodinâmica:
pp T1
TV
V1
∂
ρ∂
ρ−=
∂
∂≡β [K-1]
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Aproximação de Boussinesq
4.3. Equações da Convecção Natural
É uma linearização da dependência de ρ em função de T
TT1
−
ρ−ρ
ρ−≈β
∞
∞
)TT( ∞∞ −ρβ≈ρ−ρ
Valores de β [K-1] (líquidos a ~ 25oC e 1 atm) mercúrio: 1,81 x 10-4 água: 2,47 x 10-4
metanol: 12,0 x 10-4
óleo de máquina: 7,0 x 10-4
Gases ideais:
T1
=β
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Equações da camada-limite laminar
4.3. Equações da Convecção Natural
( ) 2
2
yuTTg
yuv
xuu
∂
∂ν+−β=
∂
∂+
∂
∂∞
2
2
yT
yTv
xTu
∂
∂α=
∂
∂+
∂
∂
0yv
xu
=∂
∂+
∂
∂
A equação da quantidade de movimento e da energia são acopladas pelo termo de empuxo
inércia empuxo
(motriz)
viscosa
(dissipativa)
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4.4. Análise de Ordens de Grandeza Na região da camada-limite
BVI F~F~F
LuF2ref
I∞ρ∝ 2
refV
uFδ
µ∝
( )gF sB ρ−ρ∝ ∞
Objetivo: calcular uref (velocidade característica na camada-limite)
**F’s : forças por unidade de volume
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4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo:
IB F~F
( )Lu~g2ref
S∞
∞
ρρ−ρ
tem-se
( ) 21
gL~u sref ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρ
ρ−ρ
∞
∞
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4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo:
VI F~F
2ref
2ref u~Lu
δ
ν
temos
21
Lu~
L ref⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ νδ
"Re"1
L (mesmo resultado da convecção forçada)
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4.4. Análise de Ordens de Grandeza Combinando os dois resultados:
Introduzindo a hipótese de Boussinesq:
( )
41
3s
2
gL1~
L ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρρ−
νδ
∞
)TT( −ρβ≈ρ−ρ ∞∞
( )
41
3s
2
gLTTg~
L ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−β
νδ
∞
41
LGr~L
−δ
(crescimento da camada-limite laminar)
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4.5. Forma Adimensional e Similaridade
Número de Grashof
GrL =gβ Ts −T∞( )L3
ν2
Forças de empuxo Forças viscosas
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4.5. Forma Adimensional e Similaridade
Lxx* =
Considere a adimensionalização pelas seguintes escalas:
Lyy* =
∞
∞
−
−=
TTTTT
s
*
ref
*
uuu =
ref
*
uvv =
( ) ( )[ ]2121
LTTggLu sS
ref ∞∞
∞ −β=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρ
ρ−ρ=
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4.5. Análise de Ordens de Grandeza Substituindo uref na equação do movimento:
2*
*2
2/1L
**
**
*
**
yu
Gr1T
yuv
xuu
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂
E a equação da energia fica:
2*
*2
2/1L
*
**
*
**
yT
PrGr1
yTv
xTu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
( ) ( )[ ]2121
LTTggLu sS
ref ∞∞
∞ −β=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρ
ρ−ρ=
Temos:
GrL desempenha na convecção natural o mesmo papel que ReL desemepnha
na convecção forçada
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Na presença de corrente livre com u∞ não-nulo
∞
=uuu*
∞
=uvv*
2*
*2
L
*2L
L*
**
*
**
yu
Re1T
ReGr
yuv
xuu
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂
2*
*2
L*
**
*
**
yT
PrRe1
yTv
xTu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
( )2
3s
LLTTgGr
ν
−β= ∞
ν= ∞LuReL
4.6. Convecção Mista
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4.6. Convecção Mista
A análise funcional da solução do sistema de EDPs fornece:
( )Pr,Gr,RefkLhNu LLL == para uma dada
geometria
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Regimes de convecção
Efeitos de inércia prevalecem e a convecção natural pode ser desprezada
1ReGr
2L
L <<Se
( )Pr,RefkLhNu LL ==
Efeitos de empuxo prevalecem e os efeitos de convecção forçada são pequenos
1ReGr
2L
L >>Se
( )Pr,GrfkLhNu LL ==
Convecção mista 1ReGr
2L
L ≈Se
( )Pr,Gr,RefkLhNu LLL ==
4.6. Convecção Mista
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4.7. Solução da Camada-Limite Laminar A solução por similaridade foi proposta por Ostrach (1953)
(para meio em repouso)
onde, da análise de escalas, temos:
( )ηφ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛δ
φ= 21ref
yuu
41
xGrx)x( ∝δ
(perfis similares)
Combinando com o conceito de função corrente, Ostrach transformou o sistema de EDP’s em EDO’s, que podem ser integradas
numericamente para determinar os perfis de u e T
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4.7. Solução da Camada-Limite Laminar Perfis de velocidade e de temperatura
Note que o campo de velocidades também é influenciado por Pr
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4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Derivando o perfil de temperaturas na parede
0yyTkq
=∂
∂−=ʹ′ʹ′onde:
Substituindo o perfil de temperaturas:
(Pr)g4Gr
ddT
4Gr
khxNu
41
41
x
0
*x
x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=η
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−===η
( ) 4/12/1
2/1
Pr238,1Pr221,1609,0Pr75,0(Pr)g++
=onde ∞≤≤ Pr0
)TT(q
kx
kxhNu
s
xx
∞−
ʹ′ʹ′==
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4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Coeficiente de transferência de calor médio
∫∫ ==L
0 x
L
0dxNu
xk
L1hdx
L1h
Substituindo:
(Pr)g4Gr
Lk
34h
41
L ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
os resultados dessa seção são para escoamentos laminares com Ts maior ou menor que T∝
ou:
LL Nu34Nu =
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4.9. Efeitos da Turbulência na C. Natural Instabilidade térmica origina o escoamento
Instabilidade hidrodinâmica origina a turbulência no escoamento
Transição laminar-turbulento:
9c,x 10Ra ≈
onde Rax,c é o número de Rayleigh crítico
( )να
−β=≈ ∞
3s
c,xc,xxTTgPrGrRa
Forma geral:
nLL CRaNu =
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4.10. Placa Vertical Isotérmica
Churchill e Chu (1975)
Propriedades avaliadas na Tfilme
Válida para toda a faixa de RaL
2
27/816/9
6/1L
L]Pr)492,0(1[
Ra387,0825,0Nu⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++=
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4.11. Placa Vertical com fluxo constante
Para q” constante, Ts - T∝ aumenta em função de x. Se:
4/1xx RaNu ∝
4/34/1 xTTkxq
Δ∝Δ
ʹ′ʹ′
Assim:
5/1xT∝Δ
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4.11. Placa Vertical com fluxo constante
Para q” constante, as correlações para Ts constante podem ser usadas desde que:
LNu LRae
sejam definidos com base em:
∞−=Δ T)2/L(TT s2/L
o coeficiente de convecção médio é, então:
2/LTqh
Δ
ʹ′ʹ′=
e o cálculo é iterativo.
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4.12. Placas Inclinadas
Redução da componente da força de empuxo na direção paralela à placa
Redução da velocidade do fluido ao longo da placa (fato)
Não necessariamente significa uma redução na transferência de calor
(por quê?)
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4.12. Placas Inclinadas
Influência da orientação
Superior: aumento Inferior: redução
Superior: redução Inferior: aumento
Redução: componente de g em x é reduzida a gcosθ Aumento: empuxo facilita o deslocamento de fluido para longe da superfície
(3D, plumas)
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4.13. Placas Inclinadas
Recomendação
Para convecção a partir de superfícies onde há redução
da transferência de calor, recomenda-se substituir
g por gcosθ
na correlação para placa
vertical se
0 < θ < 60o
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4.13. Placas Horizontais
(a) e (d): 4/1LL Ra27,0Nu =
(b) e (c): 4/1LL Ra54,0Nu =
3/1LL Ra15,0Nu =
(105 < RaL < 1010)
(104 < RaL < 107)
(107 < RaL < 1011)
PAL s= área placa
perímetro
Fluido a T∝>Ts
Fluido a T∝>Ts
Fluido a T∝<Ts
Fluido a T∝<Ts
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4.14. Cilindro Vertical
Pode ser tratado como uma placa vertical quando:
4/1LGr35
LD≥
correção de Cebeci
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4.15. Cilindro Horizontal Longo
Variação do número de Nusselt local
0=θ
π=θ
Nuθ
0 π/2 π
(comportamento no regime laminar)
(no cilindro resfriado a curva é invertida) D é o comprimento característico
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Churchill e Chu (1975)
Propriedades avaliadas na Tfilme
Válida para RaD < 1012
2
27/816/9
6/1D
D]Pr)559,0(1[
Ra387,060,0Nu⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++=
4.15. Cilindro Horizontal Longo
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Churchill
Propriedades avaliadas na Tfilme
Válida para RaD < 1011
9/416/9
4/1D
D]Pr)469,0(1[
Ra589,02Nu+
+=
4.16. Esfera
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4.17. Canais de Placas Paralelas
A princípio, condições de contorno diferentes podem ser aplicadas em (1) e (2), ou seja, T constante ou q” constante Pequenos L/S: desenvolvimento da c.l. é independente para cada placa Grandes L/S: encontro das c.l.’s forma uma condição desenvolvida Se θ ≠ 0: Escoamento é 3D
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4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas simetricamente e isotérmicas (Elenbaas)
( )
4/3
S
sS
L/SRa35exp1
LS
24RaNu
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
(Ar atmosférico, 10-1 < (S/L)RaS < 105)
onde: kS
TTA/qNu
s
S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
∞
( )αν
−β= ∞
3s
SSTTgRa
(A é a área de uma placa)
Note que para S/L→0:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→LS
24RaNu s
S
(limite plenamente desenvolvido)
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4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)
( ) ( )
2/1
2/1s
22
s
1S
L/SRaC
L/SRaCNu
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
Temperatura constante
kS
TTA/qNu
s
S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
∞
( )αν
−β= ∞
3s
SSTTgRa
(A é a área de uma placa)
(qualquer S/L)
(C1 e C2 são constantes que dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)
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4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)
( )
2/1
5/2*s
2*s
1L,S
L/SRaC
L/SRaCNu
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
Fluxo de calor constante
kS
TTqNuL,s
L,S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
ʹ′ʹ′=
∞ αν
ʹ′ʹ′β=kSqgRa4
*S
(o sub-índice L se refere a condições em x = L, onde a temperatura da placa assume o valor máximo)
(qualquer S/L)
(C1 e C2 são constantes que dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)
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4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)
Constantes para as duas situações
Soti é o espaçamento que maximiza a transferência de calor no conjunto, fornecendo o máximo para o produto entre o h médio e a área superficial das placas
Smax é o espaçamento que maximiza a transferência de calor em cada placa individualmente, o qual deve ser alto para evitar interferência entre as c.l.’s
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4.18. Cavidades Retangulares
τ = 0o: Cavidade horizontal com aquecimento inferior (instável). τ = 90o: Cavidade vertical com aquecimento lateral (instável). τ = 180o: Cavidade horizontal com aquecimento superior (estável).
( )21 TThq −=ʹ′ʹ′
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4.18. Cavidades Retangulares
Limite de estabilidade dado por:
( ) 1708LTTgRa3
21L >
αν
−β=
Horizontal com aquecimento inferior
empuxo vence a resistência viscosa
074,03/1LL PrRa069,0
kLhNu ==
(3 x 105 < RaL < 7 x 109)
propriedades avaliadas na temperatura média
O-R mixture
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4.18. Cavidades Retangulares
Horizontal com aquecimento superior
1kLhNuL ==
(condução de calor somente)
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4.18. Cavidades Retangulares
Vertical com aquecimento lateral
3,0012,04/1
LLLHPrRa42,0
kLhNu
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
3/1LL Ra46,0
kLhNu ==
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4.18. Cavidades Retangulares
Condutividade térmica efetiva
( ) ( )LTTANukTTAhq 21
L21−
=−=
Leff Nukk =
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4.19. Outras Geometrias ex. coletores solares
Correlações disponíveis em Incropera et al. (2007)
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4.20. Convecção Mista
1ReGr
2L
L ≈
nL
nF
n NuNuNu ±= (n~3)
(+: escoamentos paralelos e transversais) (-: escoamentos opostos)