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Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 115
FORMULÁRIO
Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples)
Taxa efetiva linear *
1l
ii
i n
; Taxa efetiva exponencial
1
* 11
1
n
eii n
Empréstimos a Longo Prazo
Relações Básicas
1 1
nk
kk
RC
i ; 11k kS i S
; k k kS S R ; 11k k kS i S R ; 1k k kS S A
1k k kA R i S ; k k kR A J (caso se tenha 1k ki S R );
1 1min ; ;c dk k k k kJ R i S J i S ;
Método Francês ou Tabela Price
1 1
1
n
n n i
iC R R a
i i
;
1
1 1
n
n
n i
i i CR C
ai
;
1
1 1n
n i
C iA C
s i
1
11 ; 1,2, ,
k
kA A i k n ;
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C - - -
1 1 1S C A 1
n i
CA
s
1 1J i C R A R
2 2 1 2S S A 2 11A i A 2 1 2J i S R A R
3 3 2 3S S A 3 21A i A 3 2 3J i S R A R
: : : : :
n 1 0n n nS S A 11n nA i A 1n n nJ i S R A R
Método Retrospectivo
1 2k k kS C A A A C A ;
1 1
1 1
k
k i
k n
n i
iC s
iA Cs i
i
;
1 11
1 1
k
k n
iS C
i
Método Prospectivo
1 1 1 1
1
n k k n
k n k n k i
i iS R R R a
ii i
; k kS S R ;
Método de Recorrência
1 1
1 1
k
k k
k k i
iS C i R C i R s
i
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FORMULÁRIO
Juros Acumulados entre os períodos h e m
11 1
11 1
m h
n
i iJ m h R C
i
Método Americano ou do “Sinking Fund”
Período
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C - - -
1 C - i C i C
2 C -
i C i C
n-1 C - i C i C
n 0 C i C i C C
Sinking Fund 1 1
n
iq C
i
; 1 1
n
iR C i q C i C
i
Método Alemão ou de Juros Antecipados
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C 0J C i C i
1 1 1C A S 1
1 1n
A R i
1 1J R A 1 1
n
C iR
i
2 1 2 2S A S
12 1
1
AA
i
2 2J R A R
3 2 3 3S A S
13 2
1
AA
i
3 3J R A R
: : : : :
n-1 2 1 1n n nS A S
11 2
1n n
AA
i
1 1n nJ R A R
n 1 0n n nS A S
1
11
n n
AA
i
0n nJ R A
1
11
n n
AR A
i
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FORMULÁRIO
Sistema de Amortizações Constantes
1 2 nA A A A ; C
An
; 1k
kS C
n
;
1
11k k
kJ i S i C
n
1
1k
i CR C i k
n n
;
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C - - -
1 1 1C n C n i C 1 1R C i n
2 1 2C n C n 1 1i C n 2 1R R i C n
3 1 3C n C n 1 2i C n 3 2R R i C n
: : : : :
n 0 C n 1 1i C n n 1nR C i n
Sistema de Amortização Mista
; 1 1 1 ;TP SAC TP SAC
k k k k k
n i
C CR f R f i n k R R R
a n
;
1
11 ;
k
k
n i
n f iCA f
n s
1 1n k i
k
n i
f a kS C f
a n
1INT 1 1 1
n i
nk n
a i
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9.9 — Exercícios Propostos
1) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em parcelas mensais, considerada a taxa de 12% a.a.c.m.. Construa o Quadro de
Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
a) Método Francês
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
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d) SAC
e) SAM (40% TP/ 60% SAC)
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2) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em parcelas mensais, com carência de um ano, de amortização e juros, à taxa de 12%
a.a.c.m.. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de
amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
a) Método Francês
Nota
Nas planilhas, estamos mostrando, ao longo do prazo de diferimento (isto é, ao longo do prazo
de carência de amortização e de juros), os juros devidos; que, por não terem sido pagos,
implicam em acréscimo do saldo devedor.
Ao longo do prazo de diferimento, os juros contábeis são nulos; passando a coincidir com os
juros devidos após o prazo de diferimento.
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
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c) Método Alemão
Nota
Optamos por dividir este exercício em duas partes. Na primeira parte, relativa ao prazo de
carência, calculamos o saldo devedor (R$ 225.365,01) ao final do prazo de carência, como se
nenhum juros fossem pagos.
Na segunda parte, referente ao prazo de amortização, como no sistema alemão os juros são
antecipados, o saldo ao final do prazo de carência deve ser utilizado para calcular os juros que
devem ser pagos no inicio do 13º período (final do 12º período). Isto é, existem duas parcelas
de juros: uma relativa ao 12º período de carência (R$ 2.231,34), que não é paga e incorporada
ao saldo devedor, e outra relativa ao 13º período (R$2.253,65) que é paga ao final do 12º
período (início do 13º período).
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d) SAC
e) SAM (40% TP/ 60% SAC)
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3) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em parcelas mensais, com carência de um ano de amortização, à taxa de 12% a.a.c.m.
Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
Observando que, ao longo de todo o prazo de 24 meses, os juros contábeis coincidem
com os juros devidos, temos:
a) Método Francês
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
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c) Método Alemão
Mais uma vez, optamos por dividir o problema em duas partes. A primeira, com 12
meses de carência, onde os juros são pagos ao final de cada mês; a segunda, relativa à
fase de amortização, que se inicia no inicio do 13º período (final do 12º período).
Logo, na época 12 existem dois pagamentos de juros: o relativo ao 12º período de
carência e o juros relativos à antecipação do 13º mês (referente ao método alemão).
Ou seja são pagos R$ 4.000,00 de juros ao final do 12º período.
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d) SAC
e) SAM (40% TP/ 60% SAC)
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4) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em 24 parcelas mensais e 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, à taxa de 12% a.a.c.m.
Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
A taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%, é:
6 6
1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . .s mi i ou a s
a) Método Francês
O valor da prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor:
24 4
24 4
1 0,01 1 1 0,06152 1200000 20000
0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152
130938,4421$ 6.163,727
21,243387
m
m
R
R R
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
Neste caso, estamos considerando o pagamento das 4 semestrais, que podem ser
entendidas como amortizações extraordinárias e o sinking fund para formar o saldo de
R$ 120.000,00=200000-(4×20000).
c) Método Alemão
Primeiramente, devemos encontrar o valor que será pago pelas prestações mensais.
Este valor será o valor financiado subtraído do valor presente das semestrais de
R$ 20.000,00. Para tanto, iremos trabalhar com a correspondente taxa efetiva
semestral. Como
6 6
1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . . s mi i ou a s
tem-se
* *1 1 11 1 1 0,06555 6,555% .
1 1 1 0,06152
s s
s s
i i ou a si i
Podemos dividir o financiamento em duas partes. A primeira, Cs , a ser paga pelas
parcelas semestrais e a segunda, Cm , pelas parcelas mensais. O valor de Cs pode ser
obtido por:
1 2 3 4* * * *
1 2 3 4
20000 20000 20000 200001
1 1 1 1
1 20000 20000 20000 20000
1 0,06152 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555
1,06555 68429,95 $ 72.915,72
s s
s s s s
s
s
i Ci i i i
C
C R
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A planilha a seguir mostra o Quadro de Amortização da parte financiada pelas parcelas
semestrais. Note que neste quadro as fórmulas utilizadas são as apresentadas no
quadro esquemático da seção 9.4, apenas considerando o período como o semestre, e
a taxa equivalente semestral.
A segunda parte do financiamento será dada por:
200000 72915,72 $127.084,28m
C R
Logo, a prestação mensal deve ser de:
24
127084,28 0,01$ 5.929,60
1 1 0,01R R
A planilha a seguir é relativa ao financiamento da parte mensal.
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
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d) Sistema de Amortização Constante
Serão pagas 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, que correspondem ao valor
presente Cs , e dado por:
4
4
1 0,06152 120000 $ 69.061,58
0,06152 1 0,06152
s
C R
Portanto, o valor Cm que será resgatado pelas prestações mensais é:
200000 69061,58 $130.938,42 m
C R
Deste modo, teremos amortizações semestrais As e amortizações mensais Am ,
respectivamente iguais a:
69061,58$17.265,39
4
130938,42$ 5.455,77
24
s
m
A R
A R
O que nos leva ao seguinte Quadro de Amortização (já consolidado)
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
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e) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Neste caso, estamos supondo que as parcelas semestrais serão rateadas na mesma
proporção entre TP e SAC; ou seja, R$ 8.000,00 e R$ 12.000,00, respectivamente.
No caso do SAC, temos que os financiamentos relativos às parcelas semestrais e
trimestrais são, respectivamente:
4
4
1 0,06152 112000 $ 41.436,95
0,06152 1 0,06152
120000 41436,95 $ 78.563,05
SAC
s
SAC
m
C R
C R
Que correspondem a amortizações semestrais SAC
SA e amortizações mensais SAC
mA , de:
41436,95$10.359,24
4
78563,05$ 3.273,46
24
SAC
s
SAC
m
A R
A R
Para a parcela do financiamento segundo a Tabela Price, teremos que o valor da
prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor:
24 4
24 4
1 0,01 1 1 0,06152 180000 8000
0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152
80000 27624,63272$ 2.465,49
21,243387
m
m
R
R R
O cálculo feito para as duas partes do método é mostrado na planilha a seguir
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
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Que consolidada é dada por:
Nota
Observe-se que o Quadro de Amortização acima apresenta cada elemento como dado
por 40% do correspondente elemento do caso da Tabela Price, somado com 60% do
correspondente elemento do caso do SAC.
5) Seja o caso de um empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., a
ser amortizado segundo o método francês por meio de 10 prestações anuais, a primeira
vencendo-se um ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor
resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª
prestação, quanto terá de pagar? Resolva utilizando o método:
a) Retrospectivo
b) Prospectivo
c) Recorrência
Solução
a) Método Retrospectivo
O saldo devedor logo após o pagamento da 6ª prestação é dado por:
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
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6
6 10
1 0,06 1200000 1 $ 94.159,36
1 0,06 1S R
Já o saldo devedor logo antes do pagamento da 6ª prestação é dado por:
5
6 10
1 0,06 1200000 1 1 0,06 $121.332,96
1 0,06 1
S R
b) Método Prospectivo
Precisamos primeiramente encontrar a prestação a ser paga no financiamento, que é
dada por:
10
10
0,06 1 0,06200000 27173,59
1 0,06 1R
Portanto, o saldo logo após o pagamento da 6ª prestação é:
6 10
6
1 1 0,0627173,59 $ 94.159,36
0,06
S R
E logo antes do pagamento da 6ª prestação é:
6 694159,36 27173,59 $121.332,95 S S R R
c) Método de Recorrência
Utilizando o valor da prestação calculada no item anterior, temos o saldo logo após o
pagamento da 6ª prestação dado por:
6
6
6
1 0,06 1200000 1 0,06 27173,59 $ 94.159,36
0,06S R
E logo antes do pagamento da 6ª prestação é:
6 694159,36 27173,59 $121.332,95 S S R R
6) Seja o caso de um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros compostos de 12% a.a., a
ser amortizado por meio de 10 prestações anuais, a primeira vencendo-se 1 ano após a
data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma
só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª prestação, quanto terá de pagar?
Resolva, sem construir o Quadro de Amortização, utilizando o método de amortização:
a) SAC
b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
a) SAC
No caso do SAC a amortização do saldo é constante, e o saldo logo após o pagamento
da 6ª prestação é:
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 136
6
100000$10.000,00 100000 6 10000 $ 40.000,00
10
CA R S R
n
ou alternativamente
6
6100000 1 $ 40.000,00
10S R
E o saldo logo antes
6 5
51 100000 1 1 0,12 $ 56.000,00
10S S i R
b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
10 6 12%
6
10 12%
0,4 6100000 1 1 0,4
10
0,4 3,037349100000 0,4 0,6 $ 45.502,51
5,650223
aS
a
R
10 5 12%
6 5
10 12%
0,4 51 100000 1 1 0,4 1 0,12
10
0,4 3,604776100000 0,5 0,6 1 0,12 $ 62.181,87
5,650223
aS S i
a
R
7) O banco Epsilon, para operações de empréstimo com prazo de 4 meses, está efetuando
cobrança antecipada de juros, à taxa de 4% a.m.
Se desejar ganhar, em termos reais, a taxa de 4% a.m., que proporção do empréstimo
deverá reter a título de saldo médio, se estima que a taxa mensal de inflação seja:
a) de 2% a.m.?
b) de 3% a.m.?
Solução
Sendo i a taxa mensal cobrada pelo banco, para um empréstimo de curto prazo com n
meses, o fluxo de caixa, a preços correntes, que descreve a operação, pode ser
esquematicamente representado como:
Assim, sendo I a taxa mensal de inflação, temos que, a preços da data do empréstimo, o
fluxo de caixa é:
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 137
Portanto, em termos reais, a taxa efetiva mensal, denotada por *i , é tal que:
*
11 1
1
n
n
EE i n i
I
Por conseguinte, fixados os valores de *, , e i n i I , a proporção de retenção deve
ser tal que:
* * *
* *
* *
*
*
1 11 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
n n n
n n
n nn n
n n n
n
n n
i n i i n i iI I
i n i I i I
i n i I i I
i n i I
i I
a) Sendo i = 4% a.m., n = 4 meses, *i = 4% a.m. e I = 2% a.m., tem-se:
4
4
1 0,04 4 1 0,04 1 0,02 10,2392 23,92%
1 0,02 1 0,04 1
ou
Ou seja, o banco Epsilon deve reter 23,92% do valor do empréstimo, a título de formar
saldo médio.
b) Mantidos os demais parâmetros, e sendo I = 3% a.m., tem-se
4
4
1 0,04 4 1 0,04 1 0,03 10,3348 33,48%
1 0,04 1 0,03 1
ou
Ou seja, o banco Epsilon deve reter 33,48% do valor do empréstimo.
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 138
8) João, tendo obtido um financiamento de R$ 300.000,00, à taxa de 2,8% a.m, pelo prazo de
20 anos, com prestações mensais constantes, recebeu uma herança no valor de
R$ 75.000,00, 20 dias após o pagamento da 170ª prestação.
Se, nesta mesma data, realizar uma amortização extraordinária com o valor total da
herança, qual será a proporção de redução no valor de sua prestação, se forem mantidos o
prazo original e a taxa de juros de 2,8% a.m.?
Solução
O valor das prestações originais, R, era tal que:
240
240240 2,8%
300000 0,028 1 0,028300000 $ 8.411,13
1 0,028 1
R a R R
Logo após o pagamento da prestação de ordem 170, seu saldo devedor era:
70
170 70240 170 2,8%
8411,13 1 0,028 18.411,13 $ 256.928,65
0028 1 0,028S a R
Portanto, 20 dias após, o saldo devedor era:
20/30
256928,65 1 0,028 $ 261.702,54 S R
Assim, face à amortização extraordinária, seu saldo devedor ficou reduzido a:
261702,54 75000 $186.702,54 S R
Mantendo-se a taxa de juros de 2,8% a.m. e o número 70 de prestações remanescentes, o
novo valor da prestação mensal, R’, deve ser tal que:
20/30 70 2,8%
186.702,54
1 0,028R a
ou
70
20/30 30
186.702,54 1 0,028 1$ 6.000,63
1 0,028 0,028 1 0,028R R
Por conseguinte, as prestações originais seriam reduzidas de
6000,631 0,2986 ou 29,86%
8411,13
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 139
9) O banco Teta, para empréstimos com prazo de 2 meses, adota a seguinte sistemática:
Sendo E o valor do empréstimo solicitado, cobra juros antecipados, à taxa mensal i,
pelos 2 meses (ou seja, retém a quantia 2J i E );
retém a proporção E do empréstimo, a título de composição de saldo médio;
no fim do primeiro mês, o tomador do financiamento deve pagar metade do valor
solicitado, sendo simultaneamente liberada metade da exigência de saldo médio;
no fim do prazo de 2 meses, o tomador do empréstimo deve pagar a outra metade do
valor emprestado, sendo simultaneamente liberada a segunda metade da exigência de
saldo médio.
Pede-se:
a) especificar o fluxo de caixa que, do ponto de vista do banco Teta, caracteriza a operação;
b) O valor da taxa efetiva mensal, se i = 3,5% a.m, 15% e E = R$ 10.000,00;
Solução
a) Do ponto de vista do banco TETA, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é:
0
1
2
1 2
1 2
1 2
a E J E E i
a E
a E
b) A taxa efetiva mensal i , será tal que:
2* *
1 11 2
2 1 2 1
E EE i
i i
ou
2
* *2 4 2 1 1 1 1 0i i i
Sendo 3,5% . . e 15%i a m e fazendo=se *1x i tem-se:
2
2
2 4 0,035 2 0,15 1 0,15 1 0,15 0
1,56 0,85 0,85 0
x x
ou
x x
Resolvendo-se a equação do 2º grau temos:
2
1
2
0,85 0,85 4 1,56 0,85 1,0592610,85 6,0265
0,51442 1,56 3,12
xx
x
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 140
Como *1x i , só a primeira raiz é válida; ou seja, i*=5,9261%a.m.
Considerando o valor do empréstimo, de R$ 10.000,00, o fluxo de caixa será:
0
1 2
10000 1 2 0,035 0,15 $7.800,00
10000 1 0,15 2 $4.250,00
a R
a a R
b) Logo, fazendo uso da HP 12 C, tem-se:
[f][REG]7800[g][CF0]4250[g][CFj][g][CFj][f][IRR]5,9261
Ou seja, o banco Teta estará cobrando a taxa efetiva de 5,9261% a.m.
10) Admita que o banco Teta, considerado no Exercício 9, esteja examinando mudar a
sistemática de 2 pagamentos, para a de um único pagamento no final do prazo de 2
meses.
Considerando i = 3,5% a.m, 15% (a título de composição de saldo médio) e
E = R$ 10.000,00, no caso de 2 pagamentos, e denotando por a proporção de retenção
no caso de pagamento final, determinar o valor de de modo que se mantenha a taxa
efetiva mensal de 5,9261% a.m.
Solução
Do ponto de vista do banco Teta, o fluxo de caixa que caracteriza a operação, com um único pagamento, é:
0
1
2
1 2
0
1
a E J E E i
a
a E
A taxa efetiva mensal i , será tal que:
2*
2*
1
2*
1 11 2 1 , 0 1 2 0
1 21
11
1 2
EE i i para E e i
ii
ii
Logo 1
221 1
0,059261 1 1,0592611 2 0,035 0,93
1 1,043492 1,122034 0,122034 0,043492
0,0434920,356392 35,6392%
0,122034ou
Ou seja, o banco Teta terá que subir a retenção para 35,6392%.