Capítulo 7 - Cremasco - final

Fenômenos de Transporte 3

Transferência de Massa

Prof. Dr. Eliezer Ladeia Gomes

DCET-Setor de Engenharia Química

2º semestre 2012/2013

7.1. Considerações

• CONVECÇÃO MÁSSICA ▫ km (coef. Convectivo de TM) ▫ Método de Análise de Escala ▫ Camada Limite Laminar ▫ Turbulência

• Difusão em regime transiente COM ou SEM resistência externa

▫ Diferença: condição de contorno junto a fronteira (Cap5) ▫ SEM resistência externa => conc. de equilíbrio do soluto na

fronteira ▫ COM resistência externa => Interface: fluxo difusivo (meio interno)= convecção mássica (meio

externo) ▫ BiM

▫ Resumindo: difusão em um meio e a convecção mássica em outro.

7.1. Considerações • Como ficam a difusão e a convecção mássica no mesmo meio?

• Lembrando:

▫ Convecção mássica = fenômeno de transferência de massa

▫ Contribuição convectiva ou advecção é a influência do movimento do meio no transporte do soluto.

• IMPORTANTE:

• Força motriz é a diferença de concentração; • Define o coeficiente convectivo km; • km é um parâmetro cinemático e depende:

• movimento • características do meio • interação molecular soluto-meio

(7.1)

7.1. Considerações • IMPORTANTE:

• As 2 formas de convecção mássica assim como a combinação entre elas podem ser expressas, empiricamente, pela eq. (7.1).

(7.2)

• Útil para avaliar o efeito da velocidade do meio na distribuição da concentração do soluto;

• velocidade pode ser afetada por: • agentes mecânicos (convecção mássica forçada) • gradiente de concentração do soluto (convecção

mássica natural) • provoca variação de densidade do meio • sem ação de agentes mecânicos

7.1. Considerações • O coeficiente km é genérico e reflete o que acontece na região

onde ocorre a distribuição do soluto; portanto na região onde há difusão:

A = conc. mássica de A no meio Ap = conc. mássica de A na superfície da placa A(x,y) = variação da conc. mássica de A em x e y u = velocidade do meio u(x,y) = variação da velocidade em x e y y = coordenada (distância da placa) y1 = espessura do filme gasoso


• Partindo-se da eq. da continuidade (3.40) e supondo regime permanente, meio não-reacional, teremos (3.63):

▫ A eq. (3.63) mostra que na região de transporte há contribuições difusiva e convectiva. Há a necessidade de conhecermos a distribuição de velocidade.

(3.63)

Contribuição convectiva Contribuição convectiva


• Exemplo: difusão em um filme líquido descendente ou o problema da coluna molhada:

• Deseja-se separar um soluto de uma corrente gasosa. Para tanto essa mistura é posta em contato com uma película líquida que escoa em regime laminar sobre uma placa plana vertical parada, cuja distribuição de velocidade no filme líquido é (Bird et al., 1960):

• Sendo x1 a espessura do filme líquido e a viscosidade cinemática.

• Sabendo que o soluto é pouco solúvel no líquido, torna-se interessante obter uma expressão para o fluxo mássico do soluto na interface gás-líquido, pois esse fluxo está associado à absorção do soluto pelo líquido. Para tanto considere a Figura (7.2) e as seguintes hipóteses:


• Os fluxos nas direções x e y serão (2.39):

(7.4)

• Partindo da eq. da continuidade mássica (3.7) para a fase líquida, considerando as hipóteses (a) a (c), obtemos:

(7.5b)

(7.5a)

rnnn

A

zAyAxAA

zyxt

`̀ `,,,

(3.7)

7.1. Considerações • Em decorrência da hipótese (e):

• o tempo de contato entre as fases gasosa e líquida é pequeno a ponto de considerarmos desprezível o termo difusivo na eq. (7.5.b):

• Eq. (2.35) na direção y:

• Então:

=>

A. vy = wA(nA,y + nB,y)

• Da hipótese (f):

•O fluxo de A na direção y decorre da ação do escoamento da película líquida nessa direção; ou seja, um fluxo devido tão somente à velocidade do meio (contribuição convectiva ou advecção).

(7.5c)


(7.5d)

• O fluxo de A na direção x é resultado da contribuição difusiva, pois não ocorre movimento apreciável da solução nessa direção.

• A eq. (7.5.a) torna-se:

• Se o sistema está a T e P ctes, substitui-se (7.5c) e (7.5d) em (7.4)

(7.6)

=>

Velocidade do meio influencia a concentração do soluto!


• A distribuição de concentração de soluto é influenciada pela velocidade do meio;

• Para se obter a distribuição de concentração do soluto, faremos

na eq. (7.6), cujo resultado reporta à eq. (5.79) ( 7.7):

Condições de contorno (7.7):

(7.7) =>


• Adimensionalizando:

Solução:

(5.81)

(7.8a)

(7.8b)

A = Ao

A = Ap

A = Ao


• O fluxo mássico relacionado à absorção do soluto na interface gás-líquido ou x=0, para qualquer y, é definido pela eq. (7.5d):

Derivando a (7.8a) em x: Que avaliada em x = 0, fica: O fluxo mássico do soluto na interface x=0, para qualquer y é dado por:

(7.9a)

(7.9b)

(7.10)

(7.8b)

=>

7.1. Considerações • O fluxo mássico relacionado à absorção do soluto na interface

gás-líquido ou x=0, para qualquer y, é definido pela eq. (7.5d):

• Derivando a (7.8a) em x: Que avaliada em x = 0, fica: O fluxo mássico do soluto na interface x=0, para qualquer y é dado por:

(7.9a)

(7.9b)

(7.10)

(7.8b)

=>

kmy = coef. convectivo local de TM

=>

(7.11)

=>

(7.12)

km DAB kmy é influenciado pelas características do escoamento (vmáx e y) e interação soluto-meio!

7.2. Coeficiente convectivo de transferência de massa

• Como definir este coeficiente? Deve-se conhecer o meio em que ocorre o transporte de soluto.

• Filme líquido descendente:

kmy => a TM será referenciada somente à fase líquida: vmáx é a velocidade da película líquida DAB é o coef. de difusão de A em B no líquido.

• E a fase gasosa? • kmy nesta fase? É análoga à eq. (7.12)? O coef. convectivo de TM depende das características de movimento

da fase gasosa e pode ter formulação diferente; Se a fase gasosa for estagnada: análogo ao Cap.4 e a formulação para

km distinta da apresentada para a fase líquida ...

(7.12)


• O fluxo mássico de A pode ser dado empiricamente pela eq. (7.1).

km descrito apenas para o meio onde

ocorre transporte de soluto.

Influência do movimento do meio (gasoso ou líquido) na

distribuição bidimensional de concentração de soluto.

Coeficiente convectivo local de transferência de massa:

(7.14a)

||00,

,

.:

)(:

y

A

AByyA

AApmxxA

ylíquidafase

gasosafase

Dn

kn

=>

(7.1)

Esta definição mostra a dependência do kmx da distribuição

mássica do produto, a qual é influenciada pela distribuição da

velocidade do meio.


• Se tomarmos a análise da eq. (7.12), verificaremos que o coeficiente kmy foi obtido de forma análoga à eq. (7.14a), ou seja:

• As figuras 7.1. e 7.2 levam o coef. convectivo médio de TM a ser obtido de:

(7.15)

=>

(7.14b)

L = placa plana horizontal e variável x

H = placa plana vertical e variável y

7.2. Coeficiente convectivo de transferência de massa Coeficientes de transferência de massa

• Fluxo de matéria na forma molar:

• Para mistura gasosa:

• Gás ideal:

• Obtemos então:

• Ou em termos de pressão parcial do soluto:

• Eq. (7.16) para soluções líquidas:

(7.17a)

(7.16)

(7.17b)

(7.18)

7.2. Coeficiente convectivo de transferência de massa Meio estagnado

• Fluxo molar pela eq. (4.32):

• Direção y e (z2-z1)=y1

• Identificando yAp a yA1 e yA a yA2, verifica-se

• Considerando-se em meio gasoso ideal, C=P/RT:

Ao igualarmos (7.17a) e (7.20):

Ou

(7.19)

(7.20)

(7.22)

y

yy

zzCD

NmédioB

BBAB

zA

,

12

12

,.

=>

(7.21)


• Coeficiente de TM x coeficiente “convectivo” de TM

• “convectivo” => associação com velocidade => unidade [=] L.T-1

Usado quando analisamos o transporte do soluto em uma única fase.

• “Coeficiente de transferência de massa”

refere-se às diversas maneiras de expressarmos a força motriz para o transporte do soluto (yA)

• Quando igualamos (7.17b) e (7.20):

• Então:

(7.24)

=>

kG = coef. TM em fase gasosa

kG [=] moles A /(Área.tempo.unidade pressão)

=> Força motriz = diferença de pressão


• Se o meio estagnado for a fase líquida, usamos o formato da eq. (7.19), retomada como:

• Com C = L/ML (líquidos).

• Se compararmos a eq. (7.25) com a (7.18):

• Levando o fluxo molar a ser escrito como:

(7.25)

kX = coef. TM em fase líquida

kX [=] moles A /(Área.tempo.xA)

=> Força motriz = diferença de fração molar

do soluto no seio da fase e em uma fronteira

=>

(7.26)

(7.27)


• Fase líquida, se a força motriz é a diferença da conc. molar:

• Fluxo molar:

(7.28)

kL = coef. TM em fase líquida, conc. molar

kX [=] moles A /(Área.tempo.unidade conc. molar de A)

=> Força motriz = diferença de fração molar do soluto no seio

da fase e em uma fronteira

(7.29)

7.2. Coeficiente convectivo de transferência de massa Contradifusão equimolar

• Os coeficientes de transferência de massa são resultado somente da contribuição difusiva.

• Comparando as eqs. (4.66) e (7.1):

• E identificando (z2-z1)=y1, CAp = CA1 e CA = CA2, encontramos:

(4.59)

Útil para expressar o fluxo molar de A em fase líquida em

função da concentração molar.

(7.30a)

dz

d CDN

A

ABzA

,

CCzz

DN AA

AB

zA 12

12

,

(7.30b)


• Se o meio é uma mistura gasosa ideal (C=P/RT):

• Ou em termos de pressão parcial do soluto:

• Para o caso de líquidos (C=L/ML), a eq. (7.30b) torna-se:

(7.31a)

(7.32)

(7.31b)

=>

=>


• Coeficientes de transferência de massa para contradifusão equimolar:

• Deve-se analisar o estado da matéria que compõe o meio:

• Meio de transporte gasoso

• Força motriz: diferença de fração molar do soluto

• Igualando (7.17a) e (7.31a):

(7.33)

(7.22)

=>



• Meio de transporte gasoso

• Se desejarmos o fluxo molar em termos da pressão parcial do soluto A, o coef. de TM de A será (igualamos 7.17b e 7.31b):

(7.34)

(7.24)

=>



• Meio de transporte líquido

• Força motriz: fração molar do soluto

• Igualando as eqs. (7.18) e (7.32):

(7.35)

(7.25)

=>

(7.25) subs-



• Meio de transporte líquido

• Força motriz: concentração molar do soluto

• Igualando as eqs. (7.16) e (7.3oa):

(7.36)

(7.29)

=>


• Importante

• ky = ky´/ yB,médio

• kG = kG´/ yB,médio

• kx = kx´/ xB,médio

• kL = kL´/ xB,médio

• Em soluções diluídas

• xB,médio 1

• Misturas gasosas diluídas

• yB,médio 1

• Assim para condições de diluição: ky ky´; kG kG´; kx kx´; kL kL´


• Outra correlação importante:

• Estabelece a linearidade entre o coeficiente convectivo de TM e o difusivo

na região de transporte => teoria do filme

• Teoria do filme (Whitman, 1923)

• Uma mistura, ao escoar sobre uma determinada superfície, sofrerá

resistência ao transporte do soluto em uma região estagnada de

espessura y1 junto a essa superfície

• Cap.6

• Difusão em regime permanente com reação química sobre uma

superfície catalítica não porosa, película estagnada que envolve o

catalisador (teoria do filme).

• Considerando a igualdade em (7.37) e substituindo em (6.16):

(7.37)

=> => km/ks = relação entre

resistências convectiva

e reação na superfície.


• Difusão em regime permanente com reação homogênea (fluxo na interface

gás-sólido):

• Observamos proporcionalidade com a (7.13):

• Portanto podemos sintetizar da seguinte forma:

• Em que

• n = 1/2 teoria da penetração

• n = 1 teoria do filme

• A eq. (7.38) estabelece a relação entre uma grandeza global km (que é, às

vezes, macroscópica) e uma grandeza molecular (DAB).

(6.76)

(7.38)

7.3. Análise de Escala

• Exercício de análise mental; não há teoria rigorosa para explicá-la.

• Resultados excelentes!

• Simplificação de equações

• Auxilia no entendimento físico do fenômeno

• Princípio básico:

• Associar a uma determinada variável um valor conhecido

• Normalmente, este valor é o máximo encontrado dentro da região de

análise.


• Exemplo: fenômeno de difusão em um filme líquido

descendente (Figura 7.2).

• Assumiremos como válida toda a distribuição v=v(x)

de tal modo que podemos retomar a eq. (7.6) como

segue:

• O fenômeno ocorre em x e y, espaciais.

• Figura (7.2)

• Valor de x conhecido : x1

• Valor de y conhecido : H

• Tanto x1 como H são os valores máximos de suas

respectivas variáveis.

• Análise de Escala:

• y H e x x1

• Com relação à velocidade v(x), um valor seu

conhecido é vmáx

• v vmáx

(7.39)


• O símbolo “” expressa magnitude.

• Por exemplo, v apresenta a mesma magnitude de vmáx

• Lado esquerdo da eq. (7.39), temos :

• A análise de escala não é uma operação matemática, ela

expressa somente magnitudes!

• Assim é admitido como uma variação de A

em um intervalo infinitesimal de y: há uma diferença

conhecida de A dentro de um intervalo conhecido de y:

• A = A0 - Ap

• y = H – 0

• Podemos escrever então que:


• Lado direito da eq. (7.39), temos :

1. Não representa derivada 2ª na análise de escala.

2. Dimensão: M.L-5

3. Escrevendo de outra maneira:

• O símbolo é simplesmente um símbolo! Assim:

• Observe que a unidade de A/x12 é (M.L-5).

• DAB?

• Não varia na região de análise e, portanto, não é

necessário analisar sua magnitude na eq. (7.39).


• A eq. (7.39) escrita em função da análise de escala fica:

• A aplicação da análise de escala é útil em diversas

aplicações de fenômenos de transporte, em particular

TM.

• Benjan (1984) estabeleceu as seguintes regras:

• Regra 1: defina sempre a extensão da região onde

há o interesse em fazer a análise de escala (VC!!)

• Ex. problema da coluna molhada: fluxo

mássico bidimensional; região de

interesse é da forma: ( x H) ou (x1 x H)


• Regra 2: em uma equação em que houver vários termos, identificar os

dominantes.

• Ex.: eq. (3.61):

• Três termos a serem analisados:

• Regra 3 (continuação da Regra 2): Se há soma de dois termos:

c = a + b

em que a ordem de magnitude de um termo é maior do que a ordem de

magnitude de outro termo:

então a ordem de magnitude da soma é ditada pelo termo dominante:

A mesma conclusão é válida caso houver as seguintes situações: c = a – b ou

c = -a + b.

rD AAAB

`̀ `2

(7.40a)

(7.40b)

(7.40c)


• Regra 4: se houver a soma de dois termos:

c = a + b

e se a e b apresentarem a mesma ordem de magnitude, então:

• Regra 5: No caso de produto:

p = a.b

a ordem de magnitude do produto é igual ao produto das ordens de

magnitude dos fatores:

Se houver a razão:

r = a / b então

• Para todas as regras, a notação é

(7.41a)

(7.41b)

(7.42c)

(7.42a)

(7.42b)

(7.42d)

7.4. Análise do Escoamento

• Fluido newtoniano escoando sobre placa plana horizontal parada:

Escoamento laminar

1. Conjunto de lâminas sobrepostas escoando paralelas entre si;

2. “pacotes” de dimensão molecular;

3. Transf. QM se dá por choques moleculares entre os pacotes, sem modificar

o trajeto das lâminas;

4. Ação retardadora desde a superfície até as lâminas mais distantes da placa:

ação cisalhante ou ação das forças viscosas;

5. Depende do fluido.


Escoamento laminar

1. u2 > u1

2. Lâmina mais distante da placa se move com mais facilidade;

3. TQM ocorre ainda em nível molecular;

4. Modificação quantitativa mas não qualitativa;

5. 10 < Rex = ux/ < 103, placa plana, ainda é regime laminar;

6. Agitação das moléculas distantes da placa apresentam agitação distinta

daquelas lâminas próximas à superfície da placa.

Escoamento laminar ~ turbulento (transição)

1. u3 > u2

2. Persistência da interação molecular entre as lâminas 1 e 2, todavia há

choque entre 3 e 4, caracterizando transferência macroscópica de

quantidade de movimento;

3. Qualidade de transferência distinta da anterior: escoamento crítico

4. Escoamento crítico: valor de velocidade em que há mudança qualitativa

de regime, ou seja, deixa de ser laminar, o escoamento é dito crítico.

5. 5x105 < Rex < 3x106

Escoamento turbulento

1. u4 > u3

2. Mistura completa das lâminas;

3. Predominância da TQM em uma escala macroscópica (Quadro 7.2)

7.4. Análise do Escoamento 7.4.1. Camada limite dinâmica: escoamento laminar de um fluido

newtoniano sobre uma placa plana horizontal parada

Escoamento sobre placa plana parada

1. Caracteriza-se por admitir escoamento similar a placas planas

sobrepostas;

2. Extremidade da placa: fluido “adere” à sua superfície com

velocidade nula - princípio do não-deslizamento;

3. Lâminas vizinhas desaceleradas por ação das forças viscosas;

4. Efeito propaga-se à massa de fluido a pequena distância da

placa;

5. Porção restante mantém a velocidade u da corrente.

6. Região 0 x L e 0 y é onde há

variação substancial da velocidade do fluido:

camada limite dinâmica.

7. Espessura representa a distância entre a

placa e uma certa distância y onde a

velocidade de escoamento é 99% da

velocidade de escoamento do fluido (y =

u = 0.99 u);

Admitindo:

a. Escoamento bidimensional;

b. Placa plana horizontal parada;

c. Regime permanente;

d. Fluido incompressível;

e. Propriedades físicas constantes;

f. Não há forças de campo.


7.4.1. Camada limite dinâmica: escoamento laminar de um

fluido newtoniano sobre uma placa plana horizontal parada

• A partir da eq. (3.20):

• As equações de movimento nas direções de x e y são, respectivamente:

• Na direção x, sem forças de campo:

• Na direção y, sem forças de campo:

0 v

(7.43)

(7.45b)

(7.44b)




• Da Figura (7.4) admitiremos << L e disso y <<x

• Qualquer variação em x vai ser muito menor se comparada àquela em y:

• Eq. Continuidade (7.43):

▫ Termo do lado esquerdo (Regra 5):

▫ Para qualquer x em y = , u u; e quando y = 0, u 0:

• Deste modo a relação é retomada como:

(7.50)

(7.43) (7.51a)

(7.51b)

(7.51c)




• Para o segundo termo do lado esquerdo da eq. (7.43), o procedimento é o mesmo:

• em que

• Se não há efeitos de injeção ou sucção de matéria na superfície da placa:

• E a eq. (7.52a) é posta como:

• A análise da ordem de magnitude para a eq. da continuidade, substituindo (7.51c) e (7.52c) em (7.43):

(7.52a)

(7.43)

(7.52b)

(7.52c)

(7.53)




• Eqs. Navier-Stokes, aplica-se a eq. (7.50) nos termos entre parêntesis ( << L e y << x):

• Resultando:

• As eqs. (7.44b) e (7.45b) ficam, respectivamente:

(7.45b)

(7.44b)

Navier-Stokes:

(7.54a)

(7.54b)




• Analisando A em termos de ordem de magnitude:

• Substituindo v, de (7.53) em (7.56a)

• Adotando o mesmo procedimento para (7.54b):

• Trazendo v, da eq.(7.53) em (7.57a):

(7.56b)

(7.56a)

(7.54a)

(7.54b)

=>

=>

=> (7.57a)

=> (7.57b)




• Identificando (7.56b) em (7.57b):

• Concluímos da suposição que << L, que:

• E por decorrência:

• (7.59a e b) indicam que os termos que compõe a eq. de movimento na direção y (eq. 7.54b), são desprezíveis se comparados com aqueles da eq. (7.54a).

• Por consequência, a variação de pressão da eq. (7.54a) é

• Este termo é obtido a partir da eq. De Bernoulli:

(7.59a)

(7.58)

(7.54a)

(7.54b)

=>

(7.59b)

(7.60)




• Levando a (7.60) à (7.54a), o resultado será:

• Como se trata de uma placa plana horizontal parada, a velocidade do fluido na corrente livre, u, é constante e portanto du/dx = 0.

• A eq. de Prandtl (7.61), que descreve o regime laminar para o escoamento de um fluido newtoniano na situação estudada, assume a forma:

(7.61) => (7.63)

(7.62)

Eq. de Prandtl

• Os termos do lado esquerdo da eq. (7.62) foram analisados segundo a relação (7.56b).

• O lado direito da eq. (7.62):

• Substituindo as relações (7.56b) e (7.63) na eq. (7.62), verificamos:

(7.64)




• Exemplo 7.1. Obtenha uma relação de ordem de magnitude para a espessura da camada limite laminar dinâmica em uma placa plana horizontal parada a uma distância qualquer x da borda de ataque da placa.

• Solução: a região limite situa-se entre 0 x L e 0 y , onde (termos viscosos) (termos inerciais). Nesse caso, o fenômeno de TQM é descrito pela relação (7.64), que rearranjada fornece:

• Identificando:

• como número de Reynolds e utilizando a relação (7.48):

• Sendo Rex o número de Reynolds local avaliado na distância x da borda de ataque da placa.

• Para uma distância x, substituindo (7.48) e (7.67) em 7.65):

=>

(7.67)

(7.66)

(7.68) =>

7.4. Análise do Escoamento Distribuição de velocidade de um fluido puro na região de camada limite: solução das equações por transformação por similaridade

• A distribuição dos componentes de velocidade u e v na região x L é obtida da solução simultânea das eqs. (7.43) e (7.62).

• Uma das formas é reduzir a eq. diferencial parcial (7.62) em uma diferencial ordinária.

• Deve haver a semelhança da variação de um parâmetro em uma certa coordenada ao longo de uma segunda.

▫ Variando-se a distância x verificamos semelhança na variação de u(y)

▫ Pode-se assim reduzir o espaço cartesiano (x,y) em uma variável de similaridade , que comprime a variável y com intensidade distinta para cada x.

• Observe na Fig. (7.5a) a semelhança da variação u(y) ao longo de x;

• Fig. (7.5b) => adimensionalização da velocidade

• Fig. (7.5c) => transformação por similaridade

▫ “comprime” a distribuição da componente u em x e y em uma única variável , em = (x,y)

(7.62) (7.43)

Faça os Exemplos 7.2 e 7.3 em casa.


• Exemplo 7.2. Obtenha a variável de similaridade vias análise de escala. Lembre-se: = (x,y).

• Solução: do exemplo 7.1.:

• Aplicando as relações na relação (7.65):

• Como x e y são variáveis, a relação (7.69) será uma igualdade se houver uma variável de proporcionalidade dependente tanto de x quanto de y na forma =(x,y). Assim:

• Lembrando que

ou

(7.69)

(7.70)

(7.71)


• Exemplo 7.3. Sabendo que a função corrente, em coordenadas cartesianas, (x,y), advém de:

• Escreva-a em função da variável de similaridade , tendo como ponto de partida a análise de escala.

• Solução: Considerando a aplicabilidade das relações em (7.72), temos

• Levando a relação (7.65) à relação (7.74):

• Admitindo a relação (L x) em (7.75):

• Das eqs. (7.72) e (7.73) => = (x,y), permitindo-nos escrever a relação (7.76) como

• Visto que = (x,y), a eq. (7.77) é posta em função da variável de similaridade na forma:

=>

(7.72)

(7.74)

(7.73)

=> (7.75)

(7.76)

=>

(7.77)

(7.78)

7.4. Análise do Escoamento Obtenção da distribuição de velocidade na região de camada limite laminar

• A distribuição de velocidade u e v na região é obtida por transformação por similaridade, expressando as variações em x e y em função de . Regra da cadeia nas eqs. (7.72) e (7.73), obtendo u e v em função de :

• Há ainda as variações de u em x e y:

(7.70)

(7.81) =>

=> (7.82)

(7.78)

(7.71)

• Com as (7.70), (7.71) e (7.81) pode-se viabilizar o cálculo das eqs. (7.83). Substituindo (7.81), (7.82) e os resultados do conjunto (7.83) na eq. (7.62), obtém-se a eq. diferencial ordinária, não-linear, de terceira ordem, denominada equação de Blasius:

(7.83b)

(7.83a)

(7.83c)

=> (7.84)

Condições de contorno:

(7.85a)

(7.85b)

(7.85c)

7.4. Análise do Escoamento Solução numérica da Equação de Blasius

• Somente solução numérica para esta equação.

• “Problema de contorno com duas extremidades”

• Método Runge-Kutta 4ª-ordem

• Leia pgs 388 a 390

• Distribuição da componente de velocidade u em função da variável de similaridade .

• A distribuição de f`() é apresentada na Fig. (7.6), com f´´(0)=0,33206.

(7.84)

(7.85a)

(7.85b)

(7.85c)

7.4. Análise do Escoamento Tensão de cisalhamento na parede

• O que fazer com os dados oriundos da eq. de Blasius? Para TQM, podemos obter a tensão de cisalhamento na parede.

• Define-se a tensão de cisalhamento na parede de uma placa plana horizontal parada, fluido newtoniano, como:

• Regra da cadeia explicitada na eq. (7.83b), em y=0:

• Multip. pela velocidade da corrente livre: Identificando (7.81) na (7.91):

ou • Levando (7.92b) à (7.89):

• Derivando a (7.71) em relação a y:

• Sabendo-se que f``(0) = 0,33206, juntamente com a eq.(7.94) na (7.93) temos:

(7.89)

(7.90)

(7.91) (7.92a) =>

(7.92b) (7.93)

(7.94)

(7.95) Tensão de cisalhamento na parede de uma placa plana horizontal parada

7.4. Análise do Escoamento O coeficiente de atrito

• Para TM: coeficiente convectivo de transferência de massa.

• Para TQM: coeficiente de atrito, definido localmente como:

• Substituindo a tensão de cisalhamento da eq. (7.95):

• Com

• O coeficiente de atrito médio para uma placa plana horizontal parada de comprimento L será:

• Que resolvida leva a

• Em que Re é dado por:

(7.89)

(7.97)

(7.98)

(7.99)

Fazer o Exemplo 7.4 em casa.

7.4. Análise do Escoamento Espessura da camada limite dinâmica

• É definida como a distância, perpendicular à superfície plana, onde a velocidade da corrente atinge 99% do valor da velocidade da corrente livre.

• Quando y = , tem-se u / u = 0,99.

• Multiplicando a eq. (7.70) pela distância x resulta:

• Por solução numérica, obtém-se = 4,91 quando f´= u / u = 0,99.

• Nessa situação y = .

• Substituindo esses valores na (7.100), determina-se a espessura da camada limite dinâmica em uma placa horizontal parada, para o regime laminar:

(7.89)

(7.100)


=>

(7.101)

7.4. Análise do Escoamento 7.4.2. Fenômeno de transferência de quantidade de movimento em nível macroscópico: REGIME TURBULENTO

• Considerando a Fig. 7.3., utilizando ao invés de variações de velocidade, a distância da borda de ataque de uma placa plana horizontal parada.

• Velocidade da corrente livre u4 = u, ocasionando a variação do Rex pela variação de x .

• Figura 7.7.

▫ Perto da borda de ataque: camada limite laminar;

▫ Na distância crítica xc: flutuações na velocidade, com indícios de mistura macroscópica do fluido => início da região de transição (laminar p/ turbulento) => 5x105 < Rex < 3x106

▫ Rex > 3x106: Regime turbulento

▫ Regime turbulento: existe uma subcamada laminar junto à superfície da placa, uma camada amortecedora de comportamento semelhante à região de transição e o núcleo turbulento.

xc


• Observando-se 7.3d => linhas muito oscilantes.

• Traçar o percurso de cada pacote = trabalho impossível

• Tomando um ponto qualquer entre 0 < y < (onde representa a altura ou diâmetro de um vórtice turbulento) na Figura 7.8, constata-se que a velocidade u, em um certo tempo t, é obtida da soma da velocidade média , mais um componente flutuante u´.

• A turbulência também provoca oscilações em y:

• O fluxo turbulento instantâneo de quantidade de movimento é obtido diretamente da definição (2.17):

(Fluxo) = (concentração).(velocidade)

(7.102)

(7.103)

(7.104)


• A velocidade inerente ao fluxo (7.104) é a de flutuação e que arrasta (u), da qual se escreve:

• Levando (7.102) e (7.103) a (7.105):

• O fluxo médio em relação ao tempo será:

• Visto que é constante e sendo nula a média de qualquer flutuação,

• No que resulta

(7.105)

(7.106)

(7.107)

=>

(7.108)

(7.109)


• O fluxo (7.109) é conhecido como tensão aparente ou tensão de Reynolds.

• O sinal negativo: retomando as lâminas (2), (3) e (4) da Figura (7.3d), representadas nos seus valores médios (Figura 7.10).

• As lâminas têm velocidades médias

e admite-se que os pacotes de fluido, ao se deslocarem entre as lâminas, trazem consigo sua quantidade de movimento.

• Ocorrendo a flutuação de (3) para (4) devido à flutuação u’3, haverá desaceleração da lâmina (4) por ação negativa de v’3. ▫ Flutuação positiva u’3, há a componente

negativa v’3 => produto negativo.

▫ Flutuação negativa u’3, há a componente positiva v’3 => produto negativo.

• Quanto às flutuações u’ e v’, assume-se para elas a mesma ordem de magnitude.

u’ v’ (7.110)

7.4. Análise do Escoamento Teoria do comprimento de mistura de Prandtl

• Prandtl (1927) => formulou que após percorrerem uma distância a partir de uma certa região a outra, os pacotes de fluido transferem sua quantidade de movimento (Figura 7.11).

• Observando a figura podemos fazer:

• Da análise de um dos triângulos da Fig. (7.11):

•

• Se for linear no intervalo y considerado:

• Ou seja

• O modelo de Prandtl considera que a ordem de magnitude (7.110) é uma igualdade ou:

(7.111b)

(7.111e)

(7.111a)

(7.111d) (7.111c) ou

(7.111f)

7.4. Análise do Escoamento Teoria do comprimento de mistura de Prandtl

• Substituindo (7.111f) em (7.109):

• E identificando a viscosidade cinemática turbilhonar T como:

• Levando à (7.112):

• O fluxo de quantidade de movimento global será dado pelas contribuições do regime laminar e turbulento,ou seja:

(7.116) (7.115)

(7.114)

=>

(7.113)

(7.112)

ou

=>

7.4. Análise do Escoamento Viscosidade cinemática turbilhonar

• Ao analisar a viscosidade cinemática turbilhonar, observamos:

a) T surge devido à TQM em nível macroscópico, como decorrência do choque entre lâminas, as quais provocam flutuações de velocidade;

b) T surge muito mais devido às características da turbulência do que às do fluido;

c) T surge em função da velocidade do escoamento livre e da distribuição da velocidade no escoamento, portanto é um parâmetro cinemático.

• À medida que buscamos a compreensão física para a viscosidade cinemática turbilhonar, estaremos analisando o fenômeno da turbulência.

• O Quadro 7.2. pode ser sintetizado em T.

• Não é fácil medir suas flutuações!

• Escrever este parâmetro relacionado a grandezas palpáveis.

• Supondo um escoamento turbulento com T >> , obtemos a eq. (7.116) a ser posta da seguinte maneira:

(7.117) =>

7.4. Análise do Escoamento Viscosidade cinemática turbilhonar

• Ao aplicar a análise de escala na Fig. 7.8, obtemos

• Substituindo (7.118) em (7.113):

• No entanto, podemos escrever:

• Levando (7.120) a 7.119):

• A ordem de magnitude (7.121) indica a influência da velocidade do fluido na corrente livre na turbulência.

• Há ainda o efeito da geometria: região de transporte x L.

• Pode-se assim multiplicar a (7.121) por um comprimento característico L:

•

(7.118)

=> (7.119)

(7.120)

(7.121)

(7.122)


Segundo a relação (7.122) que o fenômeno do

Quadro 2 também pode ser posto em função de

u.L.

7.4. Análise do Escoamento 7.4.3. O número de Reynolds

• Fenômeno de transferência => representá-lo por uma relação que indique um instantâneo desse fenômeno, uma fração do mesmo.

• Número adimensional primário:

• Este número resulta de uma análise global de um fenômeno de transporte isolado (instantâneo, fração desse fenômeno) => numerador quantifica; denominador qualifica;

• Quadro 1 => qualifica o fenômeno por sua característica molecular

• Quadro 2 => característica cinemática, quantifica o fenômeno

• Assim:

• Podemos escrever (7.125) como:

(7.124)

(7.125)

7.4. Análise do Escoamento 7.4.3. O número de Reynolds

• Como o quadro (7.1) está relacionado a e o quadro 7.2 a (u.L), a relação (7.125) fica:

• Sendo N1 o número de Reynolds:

• O número de Reynolds qualifica o escoamento desde o regime laminar até o turbulento, desde que conhecida a geometria do meio.

(7.66)

Fazer o EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 7.

Capítulo 7 - Cremasco - final

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