CAMPO ELECTRICO

Una carga puntual q se localiza en una cierta región en el espacio. Como resultado de q, otra carga puntual qp experimenta una fuerza debido a la ley de Coulomb.

rF ˆ2r

qqk p

El módulo (magnitud) y la dirección de Fp depende de la distancia que hay de la

carga q a qp, según el signo de q y qp el sentido de Fp coincidirá o no con el del

vector de posición r, Fp depende también de la magnitud de la carga qp.

2q + qp _Fp

r

r

qp +

Fpq _

q + qp +Fp

r

A la carga q+ le llamamos carga fuente.A la carga qp

+ le

llamamos carga de prueba

Nuestro interés de estudio es el efecto que produce en el espacio la carga fuente. Por lo que eliminaremos de la ley de Coulomb a qp, reescribiéndola de tal forma que nos de:

La fuerza sobre la carga de prueba por unidad de carga de la carga de prueba.

rF

ˆ4

12

0 r

q

q p

p

Donde:Fp es la fuerza ejercida sobre la carga de prueba por la carga fuente

r es la distancia de la carga fuente a la carga de prueba es el vector unitario que va de la carga fuente a la carga de pruebar̂

2

29

0

1094

1

C

mNxk

La fuerza por unidad de carga que actúa sobre la carga de prueba localizada en un punto se conoce como:CAMPO ELÉCTRICO ( E ) en ese punto.

p

p

q

FE Sus unidades son:

C

N

Coulomb

Newton

Como la F es un vector, entonces E es otro vector que tiene la misma dirección que el vector que le da origen.

El campo eléctrico así definido, no depende de la carga de prueba qp, aunque

esté explícitamente incluida en la definición, ya que esta carga se elimina de E al definirlo como Fp dividido entre qp.

rrF

E ˆ4

ˆ4

1

20

20

r

q

q

r

qq

q p

p

p

p

rE ˆ4 2

0r

q

Campo eléctrico debido a una carga puntual

Si q es positiva E está dirigido hacia fuera de qSi q es negativa E está dirigido hacia la carga q

Para determinar el campo eléctrico de un conjunto de n cargas puntuales fuente, aprovechamos el hecho de que la fuerza ejercida por estas cargas sobre una carga puntual de prueba qp se suman vectorialmente (principio de superposición).

Sean las cargas puntuales fuente: q1, q2, q3, q4,…., qn entonces:

pnpjppppp F...F...FFFFF 4321

Donde:pjF es la fuerza ejercida sobre qp debido a la presencia de qj

Aplicando la ley de Coulomb:

np

np

pnjp

jp

pjp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqr̂...r̂...r̂r̂r̂r̂

41

F 22424

432

3

322

2

212

1

1

0

Donde: jpr̂ es el vector unitario que va desde la carga qj a la carga qp.

Dividimos ambos miembros de la igualdad entre qp para obtener E

np

np

pnjp

jp

pjp

p

pp

p

pp

p

pp

p

p

pp

p

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

qqr̂...r̂...r̂r̂r̂r̂

14

1FE 2242

4

432

3

322

2

212

1

1

0

Obteniendo:

np

np

njp

jp

jp

pp

pp

pp

p rq

r

q

rq

rq

rq

rq

r̂...r̂...r̂r̂r̂r̂4

1E 2242

4

432

3

322

2

212

1

1

0

nJ4321 E...E...EEEEE

n

jj

1

EEEsto es:

n

jjp

jp

j

r

q

12

0

ˆ4

1rE

Campo Eléctrico E en un lugar del espacio debido a un conjunto de n cargas puntuales

En la ecuación anterior, E es un vector. Su dirección va a estar dada por el signo de la carga fuente (qj).

Si qj > 0 el campo eléctrico en el punto donde se quiere determinar apunta alejándose

de la carga.

Si qj < 0 el campo eléctrico en el punto donde se quiere determinar apunta hacia la

carga.

q -

q +

E

E

F = q E

Conocido el campo eléctrico en un punto del espacio, debido a un conjunto de cargas, podemos determinar la fuerza que estas cargas ejercen sobre cualquier carga q

Para calcular la fuerza F que ejerce una distribución de cargas sobre una carga q localizada en el punto P

qF = ?

Punto P

Se calcula primero E en el punto P

E

E no depende de q

Una vez conocido E, encontramos F

F= q E

F no hace referencia a la distribución de cargas , solo a E

Ejemplo: sean tres cargas puntuales q1 = + 1 x 10-6 C

q2 = - 2 x 10-6 C

q3 = + 3 x 10-6 C

fijas rígidamente en los vértices de un triángulo isósceles como se muestra en la figura.

a) Determine el campo eléctrico E en el punto medio p de la base del triángulo

b) Una carga puntual q4 = - 4 x 10-6 C se localiza en p ¿Cuál es la fuerza eléctrica que actúa sobre esta carga?

r2p dirección x-p

0.3m

0.2m0.2m

q3

q1 q2

r3p dirección y -

r31 dirección x+

p

pp

pp

p r

q

r

q

r

q32

3

322

2

212

1

1

0

ˆˆˆ4

1rrrE

Entonces tenemos que el campo queda como:

j-i-iE ˆˆˆ

4

12

3

32

2

22

1

1

0 ppp r

q

r

q

r

q

Sustituyendo la dirección de los vectores de posición queda:

j-i-iE ˆ)3.0(

)103(ˆ)2.0(

)102(ˆ)2.0(

)101(109

2

6

2

6

2

6

2

29

m

Cx

m

Cx

m

Cx

C

mNx

Sustituyendo los valores de las cargas y los módulos de los vectores de posición tenemos:

C

Nxxx jiE ˆ1033.3ˆ105.7109 559

Para determinar la magnitud utilizamos el Teorema de Pitágoras (dadas las componentes rectangulares de un vector, calcular su magnitud. En el curso de mecánica)

25259 1033.3105.7109 xxxE

C

NxE 51039.7

05

511 9.23

105.71033.3

tantan

xx

E

E

x

yE

Ó, de otra manera: 23.90 al S del E

Para calcular la Fuerza, se hace uso de:F = q ESu magnitud viene dada por:

NC

NxCxq 96.21039.7104 56

EF

Para determinar su dirección, obsérvese que se tiene la multiplicación de un escalar q (negativo) multiplicado por un vector E, lo que da un nuevo vector F que apunta en dirección contraria a E. Es decir, F es opuesta al vector E

q4

F

E

q3

q1

q2

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE CARGAS

A) Distribución lineal de carga (λ)

Una distribución uniforme de cargas se da cuando colocamos una serie de cargas una junto a la otra. El efecto de una gran cantidad de cargas colocadas de esta forma, es como tener una varilla cargada, en la cual se ha depositado una densidad lineal de carga l, definida como: diferencial de carga por diferencial de unidad de longitud, que se mide en C/m, es decir:

dx

dq Distribución lineal de carga

Por lo que: dq = λ dx

dxdq

Si considerásemos a cada diferencial de carga como una carga puntual, en la figura anterior se tienen 11 cargas. Cada una de ellas produce un campo eléctrico en un punto p (situado a la mitad de la línea de cargas formada).

x

x+

y+

E11

q11q1

yr

pE1

El campo eléctrico total E en el punto p viene dado por:

11

12

0

ˆ4

1

jjp

jp

j

r

qrE

Es decir:

p

pp

pp

pp

p rq

r

q

rq

rq

11211

1132

3

322

2

212

1

1

0

r̂...r̂r̂r̂4

1E

Cálculo que se complica ya que se tiene que conocer la distancia de cada una de las cargas al punto p. Por otro lado, si se tuvieran una infinidad de cargas, el cálculo resulta tedioso.

En estos casos, es mejor trabajar con diferenciales, es decir:

204

1

r

dqdE

Integrando:

rE ˆ4

12

0

r

dq

Campo Eléctrico E en un lugar del espacio debido a una distribución de cargas

Para una distribución lineal infinita de cargas, se tiene:

dq = λ dx

r2 = x2 + y2

sustituyendo

2204

1

yx

dxdE

Observando la figura, el vector dE se puede descomponer en sus componentes rectangulares dEx y dEy

dEx

y

x

x+

y+

dE

dx

r

dEy

Donde:

dEx = - dE sen θ

dEy = dE cos θ

Integrando:

x

xx dEsenE

x

xy dEE cos

Donde, como ya vimos:

2204

1

yx

dxdE

Sustituyendo

x

xx yx

dxsenE

2204

1

x

xy yx

dxE

220

cos4

1

En algunos problemas y para evitar trabajar de más, se debe de aprovechar la simetría del problema. En este caso, en el eje de las x+ existe un correspondiente dEx del lado opuesto que anula la contribución de la figura, de tal manera que:

Ex = 0

Aprovechando también la simetría, en el Ey se tiene algo similar, solo que las contribuciones se suman. Esto lo podemos hacer dividiendo la integral de:

-∞ a 0 y de 0 a + ∞

Luego entonces el campo eléctrico total viene dado por:

x

xy yx

dxEE

0 220

cos4

22

Antes de integrar y aprovechando la figura anterior, observe que x y q no son cantidades independientes, sino que están relacionadas mediante la expresión:

x = y tan θderivandodx = y sec2 θ d θsustituyendo x y dx:

x

x yydy

E0 222

2

0 tansec

cos42

x

x y

dyE

0 22

2

0 tan1

seccos

4

2

x

x y

dyE

0 22

2

0 sec

seccos

4

2

x

x y

dE

00

cos4

2

Factorizando y2 en el denominador nos queda:

Como y es una constante, sale de la integral, entonces:

x

xd

yE

00

cos4

2

Incluso, antes de integrar, se deben de cambiar los límites de integración observando que para:x = 0, θ = 0x = ∞, θ = 90= π /2

Entonces:

2

00

cos4

2

dy

E

Resolviendo

20

04

2

sen

yE

yE

02

Magnitud de E a una distancia y de un alambre de longitud infinita y con distribución lineal de carga

Ejemplo: La figura muestra un aro circular de radio a hecho de alambre muy delgado de cobre. El aro conductor posee una carga positiva q. Determinar el campo eléctrico E en un punto p sobre el eje del aro a una distancia z de su centro.

dEy

z

ds

ra

dE

dEz

El aro posee una distribución uniforme de carga, esta puede dividirse en diferenciales de carga dq localizadas en diferenciales de superficie ds.

El cociente de diferencial de carga dq a la carga total Q, es igual al cociente del diferencial de superficie ds a la longitud total del segmento (perímetro) 2πa, es decir:

a

ds

Q

dq

2

dsa

Qdq

2

21

22cos

za

zdE

r

zdEdEdEz

Por lo que:

El diferencial de carga dq contribuye al campo eléctrico total E en un dE, el cual se puede descomponer en sus componentes rectangulares dEz y dEy.

Dada la simetría del problema, el ds opuesto al segmento elegido, contribuye de igual forma en un dE por lo que los diferenciales de campo dEy superior y dEy

inferior se anularan, teniendo únicamente que dEz contribuye al campo total E.

De la figura se observa que:

Utilizando la expresión de un campo eléctrico para una distribución continua de carga

dqr

d2

04

1 rEE

(forma vectorial)

204

1

r

dqdE

dsa

Qdq

2

220

220

20 8

24

1

4

1

za

ds

a

Q

r

dsa

Q

r

dqdE

21

2222

02

21

22 8 za

z

za

ds

a

Q

za

zdEdE z

Donde:

Sustituyendo la expresión encontrada anteriormente para dq

Se tiene que el diferencial de campo eléctrico es:

Luego entonces, la componente en z (dEz) del diferencial de campo eléctrico dE,

debido al diferencial de carga dq contenido en el diferencial de superficie ds es:

(forma escalar)

23

220

28 za

ds

a

zQdEE zz

dszaa

zQE z

23

220

28

a

zaa

zQE z

2

8 23

220

2

Integrando sobre la longitud del aro

Haciendo uso del hecho de que a, z y Q son constantes y que pueden salir de la integral, se tiene:

Integral cuyo valor es el perímetro del aro

23

220

28 za

ds

a

zQdE z

Que se reduce a:

23

2204 zaa

zQE z

kE ˆzE

Reduciendo:

El campo eléctrico en forma vectorial viene dado por:

kE ˆ

4 23

220 zaa

zQ

Campo eléctrico en un punto p sobre el eje de un anillo cargado

0E

kE ˆ4 2

0 z

Q

Al realizar una evaluación de la expresión se tiene que:Para z = 0 (centro del anillo)

Para puntos mucho muy alejados del centro, es decir, z >> a

Es decir, se comporta como si fuese una carga puntual.

B) Distribución superficial de carga ( σ )En este caso tenemos un conjunto de varillas cargadas, las cuales hemos colocado una en seguida de la otra, de tal manera que formamos una placa cargada.

Se dice que existe una carga por unidad de área (q/A) o también conocida como densidad superficial de carga ()

dE

a

dx

dEz

dEx

y

x

x

r

La figura anterior muestra una placa cuya carga está distribuida uniformemente sobre todo el plano (considerado infinito) xy, con una carga por unidad de área o densidad superficial de carga σ. Se desea encontrar el campo eléctrico en el punto p a una distancia a del plano.

Para ello, se divide la carga en líneas de carga estrechas de anchura dx, paralelas el eje y. Cada banda o línea de carga puede considerarse como una carga lineal (ejemplo anterior).

El área de una porción de una banda de longitud L y anchura dx es Ldx; la carga dq en la banda es:

dq = σ L dx

Entonces la carga por unidad de longitud es:

L

dq

Sustituyendo dq dxL

dxL

La banda crea un campo eléctrico dE situado en el plano xz, cuya magnitud viene dada por el problema anterior.

ydE

04

2

Pero en nuestro caso y = r ; y = dx

)(4

)(2

0 r

dxdE

r

dxdE

02

Que al sustituirse queda:

simplificando

El campo eléctrico dE está formado por las componentes dEx y dEz donde la

contribución al campo total debido a dEx es nula por la simetría del problema.

x

xz dxr

sendEE

02

r

asen

De la figura:

dEz = dE sen

Con: r2 = a2 + x2y

x

xz dxxa

xa

a

dEE2

122

21

22

02

x

x xa

dxaE

2202

Evaluación del resultado anterior¿Cuál es el campo eléctrico en la cara inferior de la placa cargada?¿Cuál será el campo eléctrico si la placa tiene una carga negativa? ¿Cuál será la dirección de este campo?¿Qué ocurrirá si se colocan dos placas paralelas una a la otra y con cargas iguales? ¿Cómo serán los campos dentro y fuera de las placas?¿Qué ocurrirá si se colocan dos placas paralelas una a la otra con cargas diferentes? ¿Cómo serán los campos dentro y fuera de las placas? (a este dispositivo se le conoce como capacitor de placas paralelas)

C) Distribución volumétrica de carga ( )En este caso tenemos un conjunto de placas cargadas, las cuales hemos colocado una encima de la otra, de tal manera que formamos un rectángulo cargado.

dE

a

dx

dEz

dEx

y

x

x

r

Se dice que existe una carga por unidad de volumen (q/V) o también conocida como densidad volumétrica de carga ()

V

Q

La figura anterior muestra un conjunto de placas (no conductoras) cuya carga está distribuida uniformemente sobre todo el volumen (considerado infinito) xyz, con una carga por unidad de volumen o densidad volumétrica de carga Se desea encontrar el campo eléctrico en el punto p a una distancia a del volumen.

Para ello, se divide la carga en planos de carga de área dxdy, perpendiculares el eje z. Cada plano de carga puede considerarse como una carga superficial (ejemplo anterior).

El volumen de una porción del cubo de altura dz y área A es Adz; la carga dq en el volumen es

dq = dv

Entonces la carga por unidad de volumen es:

dxdydz

dq

FALTA CONTINUAR ……………………

CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

Hasta ahora se ha visto las fuerzas que ejercen las cargas y distribuciones de cargas así como los campos eléctricos generados.

Ahora el problema por resolver es analizar los efectos que produce un campo eléctrico sobre una configuración de cargas inmersas en él.

Es decir, dado un campo eléctrico E en el cual se coloca una carga puntual ¿Qué efectos produce sobre ésta el campo eléctrico?

La fuerza que ejerce un campo eléctrico sobre una partícula cargada es:

F = q E

Como el campo es uniforme, la fuerza será una constante la cual producirá una aceleración debido a la segunda ley de Newton.

m

Fa

Para entender los efectos, se analiza el movimiento de una partícula cargada de masa m y carga q que se coloca en un campo eléctrico uniforme E, con una velocidad inicial v0

Primero se analiza el caso en que la velocidad inicial es cero.

v ≠ 0 E

v0 = 0 e_

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

La aceleración (vertical) viene dada por:

m

q

m

EFa

Como F y E son constantes, entonces a es una constanteY se utilizan las ecuaciones de cinemática

v = v0 + a ty = y0 +v0 t + ½ a t2

m

qEtatv

m

qEtaty

22

1 22

m

qEyayv

222

v2 – v02 = 2ay

y como v0 = 0, se reducen a:

La energía cinética (K) después de recorrer una distancia y es:

m

qEymmvK

2

2

1

2

1 2

qEyK

Ejemplo: Analizar el siguiente problema donde un electrón de masa m y carga e- se lanza perpendicularmente a un campo eléctrico uniforme con una rapidez v0. Describa el movimiento.

v0 ≠ 0 E

e_

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -