Capítulo 5tulo 5 - Elasticidad 157 PROBLEMA 5.1 Calcular el incremento de tensión en el punto A...

Capítulo 5

EELLAASSTTIICCIIDDAADD

Problemas de Geotecnia y Cimientos

156

Capítulo 5 - Elasticidad

157

PROBLEMA 5.1 Calcular el incremento de tensión en el punto A provocado por la aplicación de una carga puntual Q = 10 kN actuando en la superficie del terreno (figura 5.1), si el coeficiente de Poisson es ν = 0'2 y siendo z = 5 m y r = 3 m.

r

z

∆σ

∆σA

∆σ

Q

θ

z

r

Figura 5.1

SOLUCIÓN El estado tensional en el punto A antes de la aplicación de la carga puntual es el debido al peso propio del terreno. Como consecuencia de la acción de la carga puntual, se producirán unos incrementos de tensión en el punto A cuyo cálculo se puede realizar a partir de las soluciones aportadas por la teoría de la elasticidad.


158

El caso propuesto en el problema fue estudiado por Boussinesq. En coordenadas cilíndricas, los incrementos de tensión producidos por una carga puntual Q vienen dados por las siguientes expresiones:

2

5

22z

zr

1

1·

z··2

Q·3

+

π=σ∆

+++

ν−−+π

=σ∆2/122222/522

2

r)zr·(zzr

·21

)zr(

z·r·3·

·2Q

( )

+++

−+

ν−π

−=σ∆ θ 2/122222/322 )zr·(zzr

1

)zr(

z··21·

·2Q

+π

=τ∆2/522

2

rz)zr(

z·r·

·2Q·3

Se puede observar que existe simetría cilíndrica ya que los incrementos de tensiones no dependen de la coordenada angular θ. Sustituyendo los valores del problema en las expresiones anteriores, se obtienen los siguientes incrementos de tensión:

∆σz = 8'85·10-2 kN / m2 ∆σr = 1'67·10-2 kN / m2 ∆σθ = -8'96·10-3 kN / m2 ∆τrz = 5'31·10-2 kN / m2


159

PROBLEMA 5.2 Calcular el incremento de tensión en el punto B provocado por la acción de una carga lineal en superficie Q = 20 kN / m, siendo x = 2 m y z = 4 m (figura 5.2).

xB

Q

z

z∆σ

x∆σ

Figura 5.2

SOLUCIÓN

El estado tensional en el punto B antes de la aplicación de la carga es el debido al peso propio del terreno. Como consecuencia de la aplicación de la carga lineal, se producirán unos incrementos de tensión en el punto B cuyo cálculo se puede realizar a partir de las soluciones aportadas por la teoría de la elasticidad.


160

La aplicación en superficie de una carga lineal Q (figura 5.2) provoca en un punto del terreno situado en un plano vertical perpendicular a la dirección de dicha carga unos incrementos de tensión que se obtienen a partir de las siguientes expresiones:

222

3

z)zx(

z·

Q·2

+π=σ∆

222

2

x )zx(

x·z·

Q·2

+π=σ∆

222

2

zx )zx(

x·z·

Q·2

+π=τ∆

Sustituyendo los datos del problema en las expresiones anteriores, se tiene que los incrementos de tensión en el punto B son:

∆σz = 2'04 kN / m2 ∆σx = 0'51 kN / m2 ∆τxz = 1'02 kN / m2


161

PROBLEMA 5.3 Calcular el incremento de tensión en el punto C debido a la acción de una carga uniforme q = 200 kN / m2, de ancho B = 6 m y longitud infinita, aplicada en la superficie del terreno, siendo z = 5 m y x = 2 m (figura 5.3).

q

B

βα

C

zγ

z∆σ

x∆σ

x

Figura 5.3

SOLUCIÓN

El estado tensional en el punto C antes de la aplicación de la carga es el debido al peso propio del terreno. Como consecuencia de la aplicación de la carga uniforme, se producirán unos incrementos de tensión en el punto C cuyo cálculo se puede realizar a partir de las soluciones aportadas por la teoría de la elasticidad.


162

Los incrementos de tensión provocados por una carga q, de ancho B y longitud infinita en un punto situado en un plano perpendicular a la dirección de dicha carga, se obtienen a partir de las siguientes expresiones:

( ))·2·cos(sen·q

z β+αα+απ

=σ∆

( ))·2·cos(sen·q

x β+αα−απ

=σ∆

( ))·2(sen·sen·q

xz β+ααπ

=τ∆

donde los ángulos se expresan en radianes. Siendo conocidas las coordenadas del punto C, los ángulos se obtienen de la siguiente forma (figura 5.3):

γ = β + α = arc tg (8/5) = 1'01 rad β = arctg (2/5) = 0'38 rad α = γ - β = 0'63 rad

Sustituyendo los datos del problema en las expresiones anteriores, se obtienen los siguientes incrementos de tensión:

∆σz = 46'85 kN / m2 ∆σx = 33'36 kN / m2

∆τzx = 36'9 kN / m2


163

PROBLEMA 5.4 Calcular el incremento de tensión en el punto D debido a la aplicación de una carga triangular q = 150 kN / m2, de ancho B = 6 m y longitud infinita, actuando en la superficie del terreno, siendo z = 5 m y x = 8 m (figura 5.4).

R

D

αβ

γ

R

1

2

x

B

x∆σ

∆σz

z

q

Figura 5.4

SOLUCIÓN El estado tensional en el punto D antes de la aplicación de la carga es el debido al peso propio del terreno.


164

Los incrementos de tensión provocados por una carga triangular q, de ancho B y longitud infinita en un punto situado en un plano perpendicular a la dirección de dicha carga, se obtienen a partir de las siguientes expresiones:

β−α

π=σ∆ ·2sen·

21

·Bx

·q

z

β+−α

π=σ∆ ·2sen·

21

R

R·ln

Bz

·Bx

·q

22

21

x

α−β+

π=τ∆ ·

Bz

·2·2cos1··2q

zx

Siendo conocidas las coordenadas del punto D, los ángulos se obtienen de la siguiente forma (figura 5.4):

γ = β + α = arctg (8/5) = 1'01 rad β = arctg (2/5) = 0'38 rad α = γ - β = 0'63 rad

2222

1 m 8958R =+=

22222 m 2925R =+=

Sustituyendo valores en las expresiones anteriores, se obtienen los siguientes incrementos de tensión:

∆σz = 23'66 kN/m2 ∆σx = 11'94 kN/m2

∆τzx = 16'11 kN/m2


165

PROBLEMA 5.5 Calcular los incrementos de tensión vertical en los puntos A y B provocados por la construcción de un terraplén de carretera, cuya sección transversal se muestra en la figura 5.5. El peso específico del material del terraplén es γ = 21 kN / m3.

3 m

6 m

A

6 m 8 m8 m

4 m

B

4 m

Figura 5.5

SOLUCIÓN

Inicialmente y antes de la construcción del terraplén, el estado de tensiones en los puntos A y B es el debido al peso propio del terreno. Como se ha visto en los problemas anteriores, la teoría de la elasticidad proporciona soluciones para los incrementos de tensión vertical producidos en el terreno por la aplicación en superficie de cargas elementales. La carga del terraplén es trapezoidal, y en principio, podríamos no disponer de la solución elástica para esta carga. En estos casos, es usual aplicar el denominado “principio de superposición” que permite calcular los incrementos de una carga cualquiera si ésta puede decomponerse en sumas y en restas de cargas elementales cuya solución es conocida.


166

4 m

3 m

A

6 m 8 m

2 x

A

6 m 8 m

A

6 m

q q2 x

Figura 5.6

Como la sección trapezoidal del terraplén puede descomponerse en una rectangular y en dos triangulares, cuyas soluciones se conocen, el cálculo solicitado puede realizarse aplicando el principio de superposición.

Punto A Estando el punto A en el eje de simetría de la carga, el incremento de tensión vertical será el doble del producido por una carga triangular mas una carga uniforme de ancho igual a 6 m (figura 5.6). La solución elástica para el cálculo del incremento de tensión debido a una carga uniforme de intensidad q, ancho B y longitud infinita es la indicada en el problema 5.3.


167

A

q = 84 kN / m

6 m

2

3 m

Figura 5.7 Dado que en el problema solo se pide el incremento de tensión vertical, la expresión a utilizar es:

( ))·2·cos(sen·q

z β+αα+απ

=σ∆ (1)

El valor de carga uniforme q se obtiene como:

q = H terraplén · γ terraplén = 4 · 21 = 84 kN / m2 Los valores de los ángulos α y β son (figura 5.7):

α = arctg (6/3) = 1'1 rad β = 0

Sustituyendo valores en (1), se obtiene:

2z m/kN 22'40))0·21'1(cos·1'1sen1'1(·

84 =++π

=σ∆

La solución elástica para el cálculo de los incrementos de tensión provocados por una carga triangular de intensidad q, ancho B y longitud infinita es la indicada en el problema 5.4. El incremento de tensión vertical es:

β−α

π=σ∆ ·2sen·

21

·Bx

·q

z (2)


168

6 m 8 m

q = 84 kN / m2

A

R1R23 m

Figura 5.8

Los ángulos α, β y γ son (figura 5.8):

γ = β + α = arctg (14/3) = 1'36 rad β = arctg (6/3) = 1'1 rad α = γ - β = 0'26 rad

Sustituyendo los valores en (2), se obtiene:

2z m/kN36'1)1'1·2(sen·

21

26'0·8

14·

84 =

−

π=σ∆

Por tanto, el incremento de tensión vertical en el punto A es:

∆σz = 2·(40'22 + 1'35) = 83'16 kN/m2

Punto B Procediendo de la misma forma que para el punto A, el incremento de tensión en el punto B es:

∆σz = 71'14 kN/m2

(Se recomienda al Lector su cálculo).


169

PROBLEMA 5.6 Se pretende cimentar una zapata rectangular de dimensiones 10 x 5 m, en la superficie de un potente nivel de arcillas limosas, transmitiendo al terreno una presión uniforme de 150 kN / m2. Se pide: a) Calcular los incrementos de tensión vertical provocados en los puntos C y D

situados a una profundidad de 3 m (figura 5.9). b) Sabiendo que el módulo de elasticidad no drenado del terreno es

Eu = 8000 kN/m2, calcular el asiento instantáneo en el centro de la zapata.

5 m

C2'5 m

5 m 3 m

D

C

3 m

D

3 m3 mArcillaslimosas

2q = 150 kN / m

10 m

Figura 5.9


170

q

z

z∆σ

L

B

Figura 5.10

SOLUCIÓN a) Incrementos de tensión en los puntos C y D El incremento de tensión vertical en un punto situado a una profundidad z y debajo de la esquina de una carga rectangular uniforme q, aplicada en superficie, de ancho B y longitud L (figura 5.10), se obtiene a partir de la siguiente expresión:

zz Iq ⋅=σ∆ donde Iz es el factor de influencia que se obtiene con la expresión:

+−++++

++++

+++++⋅

π⋅=

1n·mnm

1nm·n·m·2arctg

1nm

2nm·

1n·mnm

1nm·n·m·24

1I

2222

22

22

22

2222

22

z (1)

siendo m = B / z y n = L / z.


171

C2'5 m

2'5 m

5 m 5 m

C

C

C

C

5 m

2'5 m2 1

3 4

Figura 5.11

Si m2 + n2 + 1 < m2 · n2 el factor de influencia se calcula como:

π+

+−++++

++++

+++++⋅

π⋅=

1n·mnm

1nm·n·m·2arctg

1nm

2nm·

1n·mnm

1nm·n·m·24

1I

2222

22

22

22

2222

22

z (2)

Punto C El punto C se sitúa en la vertical del centro del rectángulo de carga. La solución conocida es válida para puntos situados debajo de la esquina de la carga rectangular, y en consecuencia, si se quiere resolver el problema, debe aplicarse el principio de superposición. Como se observa en la figura 5.11, el rectángulo de carga total puede descomponerse en cuatro rectángulos iguales (1, 2, 3 y 4) de dimensiones B = 2'5 m y L = 5 m, que tienen una esquina común y en cuya vertical se sitúa el punto C. En consecuencia, ahora puede aplicarse el principio de superposición. El incremento de tensión vertical en el punto C producido por el rectángulo de carga 1 es:

)1(z

)1(zC I·q=σ∆


172

Como:

666'135

zL

n

833'035'2

zB

m

===

===

y se cumple que m2 + n2 + 1 > m2 · n2, el factor de influencia se calcula a partir de la expresión (1). Sustituyendo valores se obtiene:

Iz(1) = 0'181

y por tanto el incremento de tensión en el punto C provocado por la carga rectangular 1 es:

2)1(z

)1(zC kN/m 15'27181'0·150I·q ===σ∆

Como los rectángulos 1, 2, 3 y 4 son iguales, aplicando el principio de superposición, el incremento de tensión vertical total en el punto C es:

2)1(zCzC kN/m 6'10815'27·4·4 ==σ∆=σ∆


173

D

2'5 m

2'5 m

D

10 m

5 m

3 m

3 m13 m

D D

D

8

6

7

5

Figura 5.12

Punto D En este caso, el rectángulo de carga del problema equivale a la suma de los rectángulos iguales con B = 2'5 m y L = 13 m, (5 y 7), a los que se debe restar otros dos rectángulos iguales con B = 2'5 m y L = 3 m (6 y 8). Los cuatro rectángulos tienen una esquina común, en cuya vertical se sitúa el punto D (figura 5.12). Aplicando el principio de superposición, el incremento de tensión vertical en el punto D será:

)II·(q·2)I·qI·q·(2)·(2 )6(z

)5(z

)6(z

)5(z

)6(zD

)5(zDzD −=−=σ∆−σ∆=σ∆

ya que los rectángulos 5 y 7 son iguales, así como los rectángulos 6 y 8.


174

En la tabla 6.1 se muestra los valores del factor de influencia para cada rectángulo, calculados con la expresión (1).

Tabla 6.1

Rectángulo

5

6

m = B / z

0'8333

0'8333 n = L / z 4'3333 1

Iz 0'188 0'162 En consecuencia, el incremento de tensión vertical pedido es:

2zD kN/m 8'7)162'0188'0·(150·2 =−=σ∆

b) Asiento instantáneo en el centro de la zapata El asiento elástico en el centro de una carga rectangular flexible q, de ancho B y longitud L, se calcula a partir de la siguiente expresión:

s

2

I·E

)1(·B·qs

ν−= (3)

donde:

E: Módulo elástico del terreno ν: Coeficiente de Poisson del terreno Is: Factor de influencia que depende de la relación L/B


175

Según Giroud (1968), el factor de influencia viene dado por:

ξξ++

ξ+

ξ++ξπ

=s

2s

s2sss

11·ln1ln·

2I

siendo:

sξ = L / B = 10/5 = 2.

Sustituyendo en (3), el factor de influencia es:

Is = 1'531

El problema pide el asiento instantáneo, es decir a corto plazo. Por consiguiente, en el cálculo se debe adoptar un coeficiente de Poisson igual a 0'5 y el módulo de elasticidad sin drenaje (Eu = 8000 kN/m2).

Sustituyendo en (3), se obtiene que el asiento pedido es:

m 107'0531'1·8000

)5'01(·5·150s

2

=−=


176

PROBLEMA 5.7 Para el almacenamiento de residuos químicos se va a construir un depósito circular de radio r = 6 m, cimentado en la superficie de un terreno homogéneo constituido por arenas arcillosas. El depósito transmitirá al terreno una carga uniforme q = 100 kN/m2. Suponiendo que se trata de una carga flexible, se pide: a) Calcular el incremento de tensión vertical provocado en puntos del terreno

situados debajo del centro de la cimentación, hasta una profundidad de 24 m y a intervalos de 2 m.

b) Si el módulo de elasticidad drenado del terreno es E´ = 15000 kN/m2 y el coeficiente de Poisson efectivo ν´ = 0'2, calcular el asiento total debajo del centro de la cimentación.

c) Comparar los resultados del primer apartado con los que se obtendrían en el caso de que la cimentación fuese cuadrada de lado L = 10'63 m.

SOLUCIÓN

a) Incremento de tensión vertical El incremento de tensión vertical producido por una carga circular flexible q y de radio r, en un punto A situado en la vertical del centro del círculo a una profundidad z, viene dado por la siguiente expresión (figura 5.13):

+

−⋅=σ∆

2/3

2z

zr

1

11q


177

q

r

A

z

r

Figura 5.13

En la tabla 5.2 se han recogido los incrementos de tensión obtenidos con esta expresión en los puntos situados en la vertical del centro de la cimentación circular de radio 6 m, intensidad 100 kN/m2 y hasta una profundidad de 24 m, a intervalos de 2 m.

Tabla 5.2

Profundidad z (m)

∆σz (kN/m2)

2 96,84 4 82,93 6 64,64 8 48,80 10 36,95 12 28,45 14 22,35 16 17,91 18 14,62 20 12,13 22 10,20 24 8,69


178

b) Asiento total bajo el centro de la cimentación El asiento que se produce debajo del centro de una carga circular de radio r e intensidad q se calcula a partir de la expresión:

E)1(·r·2·q

s2ν−=

El asiento total (largo plazo) es igual al asiento inicial (instantáneo, corto plazo) más el asiento de consolidación y se calcula con el módulo de elasticidad efectivo y el coeficiente de Poisson efectivo. Para:

E´ = 15000 kN / m2 ν´=0'2 r = 6 m q = 100 kN / m2

la expresión anterior proporciona el siguiente asiento total:

m 076'015000

)2'01(·6·2·100s

2

=−=

c) Comparación entre cimentación circular y cuadrada Si la cimentación del depósito es cuadrada de lado L = 10'63 m y la carga transmitida al terreno es q = 100 kN / m2, la misma que para el caso de cimentación circular, el incremento de tensión vertical en los puntos situados en la vertical del centro del cuadrado se calcula utilizando las expresiones del problema 5.6. En la tabla 5.3 se han recogido los resultados obtenidos. Nótese que el área de la cimentación cuadrada y de la cimentación circular son iguales.


179

Incr

emen

to d

e te

nsió

n ve

rtic

al (

kN/m

)

20

0

40

80

60

100

120

0 30

Profundidad z (m)

10 20

2

Figura 5.14

Tabla 5.3

Profundidad z (m)

zB

m = zL

n = Iz

∆σz

2 2,655 2,655 0,241 96,4 4 1,328 1,328 0,205 82 6 0,885 0,885 0,159 63,6 8 0,664 0,664 0,12 48 10 0,531 0,531 0,091 36,4 12 0,443 0,443 0,07 28 14 0,379 0,379 0,055 22 16 0,332 0,332 0,044 17,6 18 0,295 0,295 0,036 14,4 20 0,266 0,266 0,03 12 22 0,241 0,241 0,025 10 24 0,221 0,221 0,021 8,4


180

En la figura 5.14 se han representado los incrementos de tensión con la profundidad para los dos casos de cimentación, circular y cuadrada. De su análisis se puede concluir que:

1. Para una misma área y carga transmitida al terreno, el incremento de

tensión en un punto situado en la vertical del centro es independiente de la forma de la cimentación.

2. El incremento de tensión vertical es menor del 10% de la carga transmitida

al terreno para profundidades superiores al doble del ancho en el caso de cimentación cuadrada y al doble del diámetro para el caso de cimentación circular.


181

PROBLEMA 5.8 Calcular el asiento máximo que se produce en el depósito de 3 m de radio, si se disponen las cargas indicadas en la planta adjunta. El terreno tiene un módulo de elasticidad efectivo igual a 20000 kN/m2 y un coeficiente de Poisson efectivo de 0'3.

15

m

4 m

15 m

4 m

4 m

15 m

q =

200

kN

/m2

q = 100 kN/m2 5

5

5

45º

R18

3

q = 300 kN/m2

q = 200 kN/m

2

R 8

Figura 5.15 Solución: 0'0739 m


182

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