calculo plástico

5/10/2018 calculo plástico - slidepdf.com

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Cálculo elástic o y c álculo p lástic ode vigas de acero solic itadas a

flexión.

Apellidos, nombre Arianna Gua rd iola Víllora ([email protected])

Departamento Mec ánic a d el Med io Co ntinuo y Teoría d e

Estruc turas

Centro Escuela Téc nica Superior de A rquitec tura d e

Valencia



1 Resumen de las ideas c laveEn este d oc umento se mue stra e l proceso d e d imensionado de una viga d e a cero

solicitada a flexión, considerando un comportamiento de la sección, primero

elástico y luego plástico para comparar los resultados obtenidos en ambos casos.

Seg uidamente se realiza e l aná lisis glob al de la m isma viga m ed iante e l mé todo

plástico con el objeto de mostrar dicho proceso y comparar los resultados

ob tenidos con e l análisis glob a l en régimen elástico .

Por último se hace referencia a la clasificación de las clases de secciones

transversa les de a cero esta b lec ida en e l Doc umento Básico , Seg uridad Estructural,Ac ero de l Código Téc nico d e la Edificac ión, de aho ra en a de lante DB-SE-A del

CTE, direc tam ente relac iona da c on la utilizac ión d e uno u otro métod o d e a nálisisglobal de la estructura y cálculo de la resistencia de las secciones.

2 IntroducciónEl dimensiona do de las sec c iones de ac ero se ha lleva do a c ab o trad ic iona lmente

en régimen elástico, de modo que, una vez obtenidos los esfuerzos que solicitan a

cada barra, se calculaba la máxima tensión que dichos esfuerzos generaban

sob re la sec c ión m ás solic itada y se c ompa rab an con la tensión m áxima ad misible.

Si las má xima s tensiones en la sec c ión má s solic itad a de la barra no superab an las

tensiones admisibles, el dimensionado se daba por válido. En caso contrario, seredimensionaba el perfil (disminuían las tensiones en la sección) o se mejoraba la

calida d del a cero (aumentab a la tensión m áxima ad misible)

Este e s el métod o recomend ado por la Norma Básica de Ed ificac ión, Estructuras de

Ac ero, c onoc ida como NBE-EA 95, norma de ob liga do cump limiento ha sta ma rzode 2006, fecha en q ue se p ublica e l Código Téc nico d e la Edificac ión y se d eroga n

las Normas Básicas de Edificación.

Para p od er comp arar los resultad os ob tenidos c on e l métod o e lástico y plástico de

cálculo de secciones de acero y de Análisis Global de la Estructura, se considera

una viga em pot rad a ap oyad a, de longitud L con c arga uniformeme nte d istribuida

de valor q d, tal y como indica la figura 1. Los diagramas de solicitaciones –

momentos flectores y esfuerzos cortantes- correspondientes a dicho esquema decargas, se obt ienen c on a yuda de un prontuario, y se representa n en la figura 2.

A

q

L

B

d

figura 1.

Geome tría y esquema de c argas



VEd,A

VEd,B

M

M Ed,C

Ed ,B

figura 2. Diagrama s de solic itac iones

Esfuerzos cortantes

Ed,A

3 q LV

8

⋅ ⋅= ; Ed,B

5 q LV

8

⋅ ⋅=

Mom entos flec tores

2

Ed ,C

9 q LM

128

⋅ ⋅= ;

2

Ed,B

q LM

8

⋅=

Si se p retende dimensiona r la viga, es nec esario c onoc er el valor de la carga que

gravita sobre ella y la longitud de la misma, de modo que, conocido el máximo

momento que la solic ita , se b usca un p erfil de a cero que sea cap az de sop ortarlo.

Otra forma de plantear el problema consiste en, conocido el perfil de acero y su

longitud, ob tener la má xima carga que ad mite la viga. Es lo q ue se c onoc e c omo

pe ritac ión d e una estruc tura construida .

En los epígrafes siguientes se va calcular la máxima capacidad de carga de laviga de la figura 1, supon iendo q ue e s un p erfil IPE 300 de acero S 275 y 8 me tros de

long itud, c onside rand o en p rimer luga r un co mp ortamiento e lástico de la sec c ión,

a continuación un comportamiento plástico para finalmente realizar el análisis

global de la e struc tura siguiendo el método plástico.

3 ObjetivosUna ve z que el alumno finalice la lectura d e este d oc umento será cap az de:

Dimensionar una viga de acero considerando un comportamiento elástico

de la sec c ión.

Dimensionar una viga de acero considerando un comportamiento plástico

de la sec c ión.

Entender y aplicar el método plástico de análisis global de la estructura.

Entender la necesidad de clasificar las secciones transversales de acero en

clases y su aplicación directa en el cálculo de la estructura y el

dimensionado de las secciones.



4 Obtención de la máxima capacidad de carga dela v iga ob jeto d e estudio para los d istintos c asos.Dada la viga de la figura 3, se va a calcular la máxima carga de agotamiento

considerando un comportamiento elástico y un comportamiento plástico de la

sección.

A

q

8 m

B

d

IPE 300

figura 3

4.1 Dimensionado de la sec c ión en rég imen elástic o.Se obtiene la d istribuc ión de tensiones norma les de la figura 4, ob tenida para e l IPE

300 a p artir de la ley de Navier-Bernoulli (ec uac ion 1)

En dicha figura se puede observar que la tensión máxima (ecuación 2)

correspo nde a la fibra m ás alejada (zma x)

ma x

F.N.

ma xz

z

y

figura 4

Ed,y

y

M z

I

σ = ⋅ (ecuac ión 1)

Ed,y

max max

y

M z

I σ = ⋅ (ecua c ión 2)

Si se d efine el mód ulo resistente elástico

respec to a l eje y c omo:

y

el,y

max

I W

z = ⋅

La ec uac ión 2 será igual a:

Ed,y

max

el,y

M

W σ = (ecuac ión 3)

El valor del módulo resistente elástico d e los distintos perfiles lam inad os se

enc uentra en c ualquier prontuario d e p erfiles de ac ero. Para e l perfil del ejemp lo,el IPE 300, su valor es de 557 · 103 mm3

En el límite, cuando la tensión máxima en la fibra más alejada es igual al límite

elástico minorado del acero del perfil, tendremos la siguiente expresión (resultado

de sustituir σma x po r fyd )

Ed,y yd

el,y

M f W

= (ecua c ión 4)



Se d efine e l mome nto resistente elástico de un pe rfil, como a que l que g enera una

tensión máxima en la fibra má s alejada de la sec c ión igual a fyd . Se rep resenta porMRd, el, y y su valor se obt iene d espe jand o e l momento solic itac ión en la e cuac ión 4.

Rd ,el ,y yd el ,y M f W = ⋅

para el perfil ob jeto de estud io, un IPE 300 de ac ero S 275, el Momento resistente

elástico respe c to e l eje y será igua l a:

3

Rd,el,y

275 M 557 10 145.880.952 N·mm

1,05 = ⋅ ⋅ =

Es dec ir, el máximo mome nto que a gua nta el IPE 300 de ac ero S 275, en rég imen

elástico es de a proxima da mente 145 kN·m

Conside rand o el diag ram a d e flecto res de la figura 1, y teniendo en c uenta que lalongitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en elempotram iento, y su va lor es igua l a :

2 2

d d Ed,y

q L q 8 M

8 8

⋅ ⋅= =

Igua land o el má ximo mom ento solic itac ión c on el mom ento resistente e lástico d el

pe rfil, se obtiene la m áxima carga que es cap az de sop ortar la viga conside rand oun comp ortam iento elástico de la sec c ión.

2

d d

q 8 145,8 kN·m q 18,225 kN / m

8

⋅= → =

Es dec ir, la m áxima carga que a gua nta el IPE 300 de a cero S 275 co nsiderand o un

compo rtamiento e lástico es de 18,225 kN/m lo q ue eq uiva le a 1882 kg/ m.

4.2 Dimensionado de la sec c ión en rég imen p lástic o.La distribución de tensiones normales en régimen plástico supone que todas las

fibras de la sec c ión (no sólo la más alejada) a lcanzan el limite elástico de cálculo,

de modo que el diagrama de tensiones es birrectangular, tal y como muestra la

figura 5

z

y

ydf

ydf

figura 5

Se de fine el mo me nto resistente p lásticode un perfil de acero como aquel que

es capaz de plastificar todas y cada

una d e las fibras de la sec c ión.

Su va lor es igua l a Rd ,pl ,y yd pl ,y M f W = ⋅

Siend o Wpl,y el mód ulo resistente p lástico

de la sec c ión.

El módulo resistente plástico se calcula

considerando que la sección solicitada

a flexión ha plastificado, estando una

parte de la misma comprimida y otratrac cionada, de mod o que pa ra q ue la



sección esté en equilibrio, es necesario que la fuerza resultante de la parte

comprimida sea igua l a la fuerza resultante d e la t rac c ionada, (véa se figura 6)De mod o que 1 yd 2 yd 1 2 A f A f A A A / 2 ⋅ = ⋅ → = =

Dicho p ar de fuerzas, equilibra a l mome nto d e p lastificac ión, po r tanto

1 yd 1 2 yd 2 Rd ,pl A f z A f z M ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = o lo que e s lo mismo yd 1 2 Rd ,pl

Af ( z z ) M

2 ⋅ ⋅ + =

z

y

1z

F.N.

ydf

ydf

2z

1z

2z

1A

2A

figura 6

Se d efine e l mód ulo resistente p lástico a l términopl 1 2

AW ( z z )

2 = ⋅ + por similitud

con e l mó du lo resistente elástico definido en el epígrafe 4.1

Los módulos resistentes plásticos de los perfiles laminados se encuentran tabulados

en los p rontua rios adaptados a l CTE o a l Euroc ód igo 3.

Para el IPE 300 , el valor de Wpl, Rd es igual a 628 · 103 mm3, siendo el Momento

resistente p lástico respec to a l eje y de l IPE 300 de acero S 275, igua l a:

3

Rd,pl,y

275 M 628 10 164.476.190 N·mm

1,05 = ⋅ ⋅ =

Lo q ue significa q ue e l máximo mom ento q ue a guanta el IPE 300 de a cero S 275,

en rég imen plástico es de ap roxima da mente 164 kN·m Conside rand o el diag ram a d e flecto res de la figura 1, y teniendo en c uenta que la

longitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en el

empotram iento, y su va lor es igua l a :

2 2

d d Ed,y

q L q 8 M

8 8

⋅ ⋅= =

Igua land o el má ximo momento solic itac ión c on el mom ento resistente plástico d el

pe rfil, se obtiene la m áxima carga que es cap az de sop ortar la viga conside rand o

un co mp ortam iento p lástico d e la sec c ión.

2

d d q 8 164,4 kN·m q 20,55 kN / m

8

⋅

= → =



Es dec ir, la m áxima carga que a gua nta el IPE 300 de a cero S 275 co nsiderand o un

comportamiento plástico es de 20,55 kN/m , lo q ue eq uivale lo que eq uivale a 2055kg/ m, unos 170 kg/ m m ás que en e l ca so a nterior.

4.3 Aná lisis de la estruc tura en rég imen p lástic o.En el epígrafe anterior se ha obtenido el valor de la carga uniformemente

repartida que plastifica la sección del empotramiento, es decir, que genera en el

empotramiento (nudo B) un momento solicitación igual al momento resistente

p lástico del IPE 300.

En la figura 7 se representa dicho esquema de carga y los diagramas demom entos flec tores de la viga .

164,4 kN·m

A

20,55 kN/m

8 m

B

IPE 300

92,47 kN·m

BC

figura 7

Mom entos flec tores

2

Ed,B

2

Ed ,B Rd ,pl ,y

q LM ;

8

20,55 8 M 164,4 kN·m M

8

⋅=

⋅= = =

2

Ed ,C

2

Ed ,C

9 q LM ;

128

9 20,55 8 M 92,47 kN m 128

⋅ ⋅=

⋅ ⋅= = ⋅

En la figura anterior se observa q ue en la sec c ión B el mom ento solic ita c ión e s igua l

a 164,4 kN·m (mome nto resistente p lástico ) y en la sec c ión C, es igua l a 92,47 kN·m.

Cua ndo se rea liza un aná lisis glob a l de la estructura en rég imen p lástico , se supone

que las sec c iones que han p lastificad o se c ompo rtan1 c omo rótulas, de mo do que

la viga de la figura 7, sometida a una carga uniformemente repartida de 20,55

kN/ m se mo de liza como biarticulad a, ta l y como se mue stra e n la figura 8,

A

8 m

BIPE 300

qd

figura 8

1 Dicha sec ción d ebe ría ser clase 1 p ara q ue p ode r considerar que realmente tiene la c ap ac ida d de giro

nec esaria pa ra supo ner que es una rótula. Véa se e l punto 5



Esta viga biarticulada es capaz de soportar nuevas cargas, aumentando el

momento en el centro de vano y permaneciendo constante y con valor igual aMpl,y,Rd el momento en la sec c ión B.

Para obtener la cantidad de carga adicional que puede aguantar hay que tener

en c uenta que la sec c ión m ás solic itad a a flexión p ositiva es la C, con un m ome nto

solicitación igual 92,47 kN·m de m odo que el máximo m omento q ue pod rá solic itara dicha sec c ión, consec uencia d el incremento d e c arga, será igual al mom ento

resistente d el pe rfil me nos el mom ento que ya lo está solic ita ndo.

Es dec ir, Ed,max ,admis ible Rd,pl ,y M M 92,47 kN·m 71,93 kN m = − = ⋅

Con el valor del máximo momento admisible calculado, se obtiene el incrementode carga q ue resiste la viga m ode lizad a como biapo yada , siendo el diagram a de

flec tores c orrespo ndiente el de la figura 9

A

8 m

BIPE 300

qd

MEd,max

figura 9

siendo

2

d Ed,max

q LM

8

∆ ⋅=

Para el ca so q ue nos oc upa ,

2

d Ed ,max

q 8 M

8

∆ ⋅= , valor del momento q ue deb emos

igualar con el máximo admisible para obtener el incremento de carga admisible

po r el IPE mode lizad o c omo una viga biap oya da .

2

d Ed ,max,admisible d

q 8 M 71,93 kN m q 8,99 kN / m

8

∆∆

⋅= ⋅ = → =

De modo que si se añaden 8,99 kN/m a los 20,55 kN/m de la figura 7 se produce la

plastificación de la sección del centro de vano de la viga, convirtiéndola en un

mecanismo (figura 10)

A

8 m

IPE 300

29,54 kN/m

B

figura 10

Por tanto, la carga de agotamiento de la viga de la figura 3 obtenida con unaná lisis p lástico de la e structura es de 20,55 + 8,99 = 29,54 kN/m



4.4 ConclusionesLos valores obtenidos para la carga de agotamiento de la viga objeto del

problema (figura 3) en func ión d el tipo de aná lisis global de la e struc tura y tipo d e

cálculo de la sec c ión, se m uestran en la tabla 1. En ella se p uede ob serva r que los

métodos plásticos de dimensionado de la sección y análisis de la estructura

permiten co nsiderar una ca pa c ida d d e carga ma yor.

Carga de a gotamiento q d de la viga de la figura considerando un régimen

elástico o p lástico pa ra la sec c ión y p ara la e struc tura

A

q

8 m

B

d

IPE 300

Análisis global de la estructura 2 en rég imen elástico en rég imen plástico

Cálculo de la sección en

régimen elástico

18,225 kN/m No tiene sent ido

Cálculo de la sección enrégimen plástico

22,55 kN/m 29,54 kN/m

tabla 1

El análisis global de la estructura mediante el método elástico, es el que se realiza

habitualmente en las estructuras de edificación. Corresponde a la obtención de

solic itac iones con ayuda de un prontuario, co n el métod o ma tric ial, con el de c ross

o c on la mayo ría d e los programa s de cálculo d e estruc turas.

El análisis global de la estructura mediante el método plástico, sólo es posible

realizarlo en estructuras hiperestáticas, y consiste en ir planteando sucesivos análisis

elásticos tras la formac ión d e c ad a rótulas hasta que la estruc tura se c onvierte en

isostática. La generación de una rótula más daría lugar a un mecanismo y portanto a l colapso d e la estruc tura.

5 Informac ión complementaria: Clases de sec c ionesEn los epígrafes 4.1 y 4.2 se ha dimensionado la viga de la figura 3 suponiendo un

comportamiento elástico o plástico de la sección sin comprobar previamente que

era posible alcanzar el límite elástico en la fibra más alejada (epígrafe 4.1) o que

era p osible p lastifica r la sec c ión (ep ígrafe 4.2)

2 Se entiend e e n a mb os casos que e s un a ná lisis de p rimer orden, es dec ir,que se

plantean las ec uac iones de eq uilibrio en la geometría no d eformad a.



Del mismo modo se ha realizado un análisis global de la estructura con el método

plástico (epígrafe 4.3) sin comprobar previamente que la sección delemp otram iento p od ía comp ortarse c omo una rótula.

Considerando la capacidad de deformación y de desarrollo de la resistencia

plástica de los elementos planos comprimidos de una sección, el artículo 5.2.4 del

DB SE Ac ero del CTE c lasifica las sec c iones transversa les en cua tro c lases:

Clase 1: Plástica : Permiten la forma c ión de la rótula plástica c on la ca pa c ida d d e

rota c ión sufic iente pa ra la red istribuc ión de momento s.

Clase 2: Compacta: Permiten el desarrollo del momento plástico con una

ca pac ida d d e rotac ión limitad a.

Clase 3: Semicompa c ta o Elástica : En la fibra más comp rimida se puede alcanzar

el límite elástico del acero pero la abolladura impide el desarrollo del momento

plástico.

Clase 4: Esbelta . Los elementos tota l o p arc ialmente c omprimidos de las sec c iones

esbe ltas se a bollan entes de a lca nzar el límite e lástico en la fibra m ás com primida .

Siend o nec esario emp lea r uno d e los métod os de cálculo d efinido s en la ta bla

siguiente para la verificación de la seguridad estructural teniendo en cuenta la

c lase d e las sec c iones transversales.

MÉTODOS DE CÁLCULO

Clase

de sec c ión

Métod o pa ra la determinac iónde las solic ita c iones

Métod o pa ra la dete rminac iónde la resistenc ia de las

secciones

Clase 1 Plástico o Elástico Plástico o Elástico

Cla se 2 Elástic o Plástico o Elástico

Cla se 3 Elástic o Elástico

Clase 4 Elástico con posible red ucc ión

de rigidez

Elástico con resistenc ia

reducida

De mod o q ue, habría que hab er verificad o q ue la sec c ión3 IPE 300 de acero S 275solicitado a flexión era al menos clase 3, para cálculo de la sección en régimen

elástico (epígrafe 4.1) era clase 1 ó 2 para el cálculo de la sección en régimen

plástico (epígrafe 4.2) y que era clase 1 para el Análisis plástico de la estructura(ep ígrafe 4.3)

6 Bibliografía[1] Normativa Básica d e la Ed ificac ión NBE EA-95. Consejo Superior de los Co leg ios

de Arquitec tos de Espa ña.

[2] MINISTERIO de la VIVIENDA: “ Doc umento Básico Seg uridad Estructura l, Acero” ,

Cód igo Téc nico de Edificac ión Dispo nible e n: http://www.codigotecnico.org

3 EL IPE 300 de a cero S 275 solicitad o a flexión es clase 1, de m od o q ue tod os los cá lculos rea lizado s son

correctos.

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