CÁLCULO NUMÉRICO Aula 5 – Sistema de Equações lineares.
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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 5 – Sistema de Equações lineares
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos diretos e iterativos para a
resolução de sistemas lineares: Método de Gauss Jordan; Método da Gauss Jacobi.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
• Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan;• Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero);• Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas;• Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
9234327
zyxzyxzyx
41.0.02.01.01.0.01
zyxzyxzyx
921341327111
410020101001
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”;• Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2):
4327
zyxzyx
103.0
43214222
zyx
zyxzyx
Nova segunda linha
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3):
9237
zyxzyx
124.0
92321333
zyx
zyxzyx
Nova terceira linha
124.0 zyx
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• Sistema com as modificações:
• Com operações semelhantes eliminamos: “y” e “z” da primeira linha; “z” da segunda linha; “y” da terceira linha.
REPOSTA:x =1 , y = 2 e z = 4
124.0103.0
7
zyxzyx
zyx
41.0.02.01.01.0.01
zyxzyxzyx
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
• Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; • Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada;• Fórmula de recorrência:
11
)(1
)(313
)(2121)1(
1......(
axaxaxabxknn
kkk
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
• Critério de parada: O número de iterações; Erro relativo
• Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge.
)1(1
)()1(1)1(
max
maxkini
ki
kinik
x
xxM
kk
kjj
kj
k a
a
a
1
1max 1 knk a
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
• Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo
• Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.
61032857210
321
321
321
xxxxxxxxx
3,01012
1
a 4,0511
2
a 5,01032
3
a
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA) max 0 Para i = 1 até n faça Soma 0 Para j = 1 até n faça Se i j Soma Soma + aij Fim se Fim para Soma Soma /aii Se max < soma max Soma Fim para
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
(ALGORITMO GAUSS JACOBI)Início convergência cont 0 Repetir cont cont + 1; num 0; den 0 Para i = 1 até n faça yi 0 Para j = 1 até n faça Se i j então yi yi + aij * yj Fim para yi (bi - yj )/aij
Se num < yi - xi então num yi - xi Se den < yi então den yi Fim Parax yAté (num/den < e )Fim-Se
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
• Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01.
• Convergência:
• Convergência após mudança de linhas:
• Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.
18516876
18576168
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
9118
1
a
33,0611
1
a 25,0811
2
a 40,0511
3
a
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
• Fórmulas de recorrência:• Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0;
• Iterações:
Primeira:
518;
816;
67 yxzzxyzyx
6000,350018
0000,28
0016
1667,16007
)1(
)1(
)1(
z
y
x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Segunda:
Terceira:
9667,25
21667,118
3042,28
6,31667,116
9,06
6,327
)2(
)2(
)2(
z
y
x
9592,253042,29,018
2583,289667,29,016
0562,16
96667,23042,27
)3(
)3(
)3(
z
y
x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Quarta:
Quinta:
9371,25
2583,20562,118
2379,28
9592,20562,116
0498,16
9592,22583,27
)4(
)4(
)4(
z
y
x
9425,25
2379,20498,118
2359,28
9371,20498,116
0501,16
9371,22379,27
)5(
)5(
)5(
z
y
x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
A resolução de sistemas lineares: Método direto; Método Iterativo.
Algoritmo do método de Gauss-
Jacobi.