Calcolo differenziale II -...
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Calcolo differenziale II
Hynek Kovarik
Universita di Brescia
Analisi Matematica 1
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 1 / 36
Massimi e minimi
Definizione
Sia A ⊆ R, f : A→ R, x0 ∈ A. Si dice che
x0 e un punto di massimo RELATIVO , se esiste un intorno Iε(x0)di x0 tale che
∃Iε(x0) : ∀x ∈ A ∩ Iε(x0) si ha f (x) ≤ f (x0).
x0 e un punto di minimo RELATIVO se esiste un intorno Iε(x0) dix0 tale che
∃Iε(x0) : ∀x ∈ A ∩ Iε(x0) si ha f (x) ≥ f (x0).
x0 e un punto di estremo relativo se e punto di massimo o diminimo relativo.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 2 / 36
Definizione
Sia A ⊆ R, f : A→ R, x0 ∈ A. Si dice che
x0 e un punto di massimo ASSOLUTO , se
∀x ∈ A : f (x) ≤ f (x0).
x0 e un punto di minimo ASSOLUTO se
∀x ∈ A : f (x) ≥ f (x0).
N.B.: Se x0 e punto di massimo (risp. minimo) assoluto, allora x0 e anchepunto di massimo (risp. minimo) relativo.
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Teorema di Fermat
Siano f : A→ R e x0 un punto interno a A. Se f e derivabile in x0 e sex0 e un punto di estremo relativo per f , allora f ′(x0) = 0.
Dimostrazione:Supponiamo che x0 sia un punto di minimo relativo per f . Allora ∃ δ > 0tale che
x0 − δ < x < x0 + δ ⇒ f (x)− f (x0) ≥ 0.
Quindi
f (x)− f (x0)
x − x0
{≤ 0 se x0 − δ < x < x0
≥ 0 se x0 + δ > x > x0
Dunque passando al limite per x → x0± si ha
f ′−(x0) ≤ 0, f ′+(x0) ≥ 0.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 4 / 36
Siccome f e derivabile in x0 vale
f ′−(x0) = f ′+(x0).
Quindi deve essere f ′(x0) = 0. Il caso del massimo relativo: esercizio.
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Definizione
Sia f : A→ R e x0 punto interno ad A. Diciamo che x0 e puntostazionario (o critico) per f se
f e derivabile in x0
e
f ′(x0) = 0.
Quindi, condizione necessaria perche x0, punto di derivabilita , sia puntodi estremo relativo, e che x0 sia un punto stazionario per f .
Esempio
f (x) = x2, x ∈ R
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Il teorema di Fermat fornisce solo una condizione necessaria, manon sufficiente per avere in x0 un punto di estremo relativo.
Esempio
Sia f : R→ R data da
f (x) = x3, dom f = R.
Allora f ′(0) = 0, ma non e punto di estremo relativo.
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“Candidati” a punti di estremo relativo
Sia f : [a, b]→ R.Per il Teor. di Fermat, i punti “candidati” a essere di estremo relativoricadono, in queste tre categorie:
1 gli estremi a, b dell’intervallo di definizione;
2 i punti interni x ∈ (a, b) tali che @ f ′(x);
3 i punti interni x ∈ (a, b) tali che esiste f ′(x) = 0.
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Teorema di Rolle
Sia f : [a, b]→ R una funzione
1 continua in [a, b],
2 derivabile in (a, b),
3 tale che f (a) = f (b).
Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che
f ′(c) = 0 .
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Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass f ammette un punto diminimo assoluto xmin ∈ [a, b], e un punto di massimo assolutoxmax ∈ [a, b]. Consideriamo le seguenti possibilita :
1 se xmin 6∈ {a, b}, allora f ′(xmin) = 0, per il Teorema di Fermat, da cuila tesi.
2 se xmin ∈ {a, b} e xmax 6∈ {a, b}, allora per il Teorema di Fermat, valef ′(xmax) = 0, da cui la tesi.
3 se xmin ∈ {a, b} e xmax ∈ {a, b}, allora per ipotesi del Teorema si haf (xmax) = f (xmin). Quindi f e costante e f ′(x) = 0 per ognix ∈ (a, b)
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N.B.: non si puo indebolire l’ipotesi di derivabilita in (a, b): la funzione fdata
Esempio
f (x) = 1− |x |, x ∈ [−1, 1]
soddisfa f (−1) = f (1), ma non esiste alcun c ∈ (−1, 1) per cui f ′(c) = 0.
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Teorema di Lagrange
Sia f : [a, b]→ R una funzione
1 continua in [a, b],
2 derivabile in (a, b).
Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a.
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Dimostrazione:
Si applica il Teorema di Rolle alla funzione h : [a, b]→ R
h(x) = f (x)− (x − a)f (b)− f (a)
b − a.
Infatti, h e continua in [a, b], derivabile in (a, b) e vale
h(a) = f (a) = h(b).
Quindi esiste c ∈ (a, b) tale che h′(c) = 0. Siccome
h′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a,
la tesi e dimostrata
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Conseguenze del Teorema di Lagrange
Teorema della derivata nulla
Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R derivabile in I . Se f ′(x) = 0 perogni x ∈ I , allora f e costante in I .
Dimostrazione: Siano x1, x2 ∈ I tali che x1 < x2. Applicando il Teoremadi Lagrange alla funzione f sull’intervallo [x1, x2] si deduce che esiste unc ∈ (x1, x2) tale che
f (x2)− f (x1) = (x2 − x1)f ′(c).
Siccome f ′(x) = 0 per ogni x ∈ I , si ha f (x1) = f (x2) per ognix1 < x2, x1x2 ∈ I . Quindi f e costante in I
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La tesi e falsa se dom(f ) NON e un intervallo!!
Esempio
Sia f data da
f (x) = arctan x + arctan
(1
x
), domf = R \ {0}.
Alloraf ′(x) = 0 ∀ x 6= 0, (esercizio)
ma f non e costante in R \ {0}: si ha f (x) = π2 per x > 0 e f (x) = −π
2per x < 0.
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Teorema su monotonia e derivata
Sia f : (a, b)→ R una funzione derivabile in (a, b). Valgono le seguentiaffermazioni:
1 f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) se e solo se f e crescente in (a, b).
2 f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b) se e solo se f e decrescente in (a, b).
3 Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b), allora f e strettamente crescente in(a, b).
4 Se f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b), allora f e strettamente decrescente in(a, b).
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 16 / 36
Dimostrazione: Per dimostrare l’equivalenza (1), supponiamo prima chef ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b). Siano x1 < x2, x1, x2 ∈ I . Applicando il Teorema diLagrange alla funzione f sull’intervallo [x1, x2] si deduce che esiste unc ∈ (x1, x2) tale che
f (x2)− f (x1) = (x2 − x1)f ′(c) ≥ 0.
Quindi f e crescente in I . Supponiamo ora che f sia crescente in I . Alloraper ogni x ∈ I e ogni t ∈ R con |t| sufficientemente piccolo si ha
f (x + t)− f (x)
t≥ 0
Passando al limite per t → 0 e usando il teorema di confronto si deduceche f ′(x) ≥ 0. Allora l’equivalenza (1) e dimostrata.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 17 / 36
Dimostriamo ora l’implicazione (3). Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b), allora perogni x1 < x2, x1, x2 ∈ I esiste (per il Teorema di Lagrange) un c ∈ (x1, x2)tale che
f (x2)− f (x1) = (x2 − x1)f ′(c) > 0.
Quindi f e strettamente crescente in I .
Le dimostrazioni dell’equivalenza (2) e dell’implicazione (4) sono del tuttoanaloghe (esercizio)
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 18 / 36
ATTENZIONE:
f strettamente crescente in (a, b)
non implica
f ′(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b)
(analogamente per f strettamente decrescente).
Esempio
La funzione f : R→ R data da f (x) = x3 e strettamente crescente in R,ma f ′(0) = 0.
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Teorema (del segno della derivata prima)
Sia f : (a, b)→ R derivabile in (a, b) e sia x0 ∈ (a, b). Valgono le seguentiaffermazioni:
1 se esiste ε > 0 tale che f e derivabile sugli intervalli (a, x0) e (x0, b) everifica
f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (x0 − ε, x0) e f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (x0, x0 + ε) ,
allora x0 e un punto di minimo relativo per f su (a, b).
2 se esiste ε > 0 tale che f e derivabile sugli intervalli (a, x0) e (x0, b) everifica
f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (x0 − ε, x0) e f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (x0, x0 + ε) ,
allora x0 e un punto di massimo relativo per f su (a, b).
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Derivate di ordine successivoSia
f : I → R derivabile su I .
Quindi e ben definita la funzione derivata
f ′ : I → R, x 7→ f ′(x)
Definizione: derivata seconda
Sia x0 ∈ I punto interno. Se esiste la derivata di f ′ in x0 ∈ I , cioe seesiste
limt→0
f ′(x0 + t)− f (x0)
t
allora essa si chiama derivata seconda di f in x0, e si denota con
f ′′(x0) o f (2)(x0).
Diciamo f e derivabile due volte in x0 se ∃ f ′′(x0) ∈ R.
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Definizione: derivata k-esima
Sia f : I → R. Le sua derivate di ordine k ∈ N si definiscono perinduzione:
derivata 0-ima di f : si definisce f (0) = f ;
per k ≥ 1, la derivata k-esima f (k) e la derivata (prima) della derivatala (k−1)-esima f (k−1):
f (k)(x0) = D(f (k−1))(x0).
L’indice k e detto l’ordine di derivazione.Diciamo f e derivabile k volte in x0 se ∃ f (k)(x0) ∈ R.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 22 / 36
Esempio:
Data f (x) = ax , x ∈ R, con a ∈ R+, si ha ∀k ∈ N
f (k)(x) = ax(log(a))k ∀ x ∈ R.
Esempio:
Data f (x) = sin x , x ∈ R, Allora ∀k ∈ N
f (4k)(x) = sin x f (4k+1)(x) = cos x
f (4k+2)(x) = − sin x f (4k+3)(x) = − cos x
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Proprieta di regolarita
Funzioni di classe C k(I )
Sia I intervallo. Per k ∈ N, denotiamo con C k(I ) l’insieme
C k(I ) ={f : I → R : f e derivabile k volte su I , e
f (k) : I → R e continua su I .}
Quindi:
C 0(I ) e l’insieme delle funzioni continue su I ;
C 1(I ) e l’insieme delle funzioni derivabili su I , con f ′ : I → Rcontinua su I ;
C 2(I ) e l’insieme delle funzioni derivabili due volte su I , conf ′′ : I → R continua su I .....
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Si ha ∀ k ∈ NC k(I ) ⊂ C k−1(I )
con l’inclusione stretta.
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Definizione: C∞(I )
Sia I intervallo. Per k ∈ N, denotiamo con C∞(I )
C∞(I ) =⋂k∈N
C k(I ) ={f : I → R : ∀ k ∈ N f e derivabile k su I , e
f (k) : I → R e continua su I .}
I polinomi, la funzioen esponenziale ax (a ∈ R+ \ {1}), sin x , cos x ,appartengono a C∞(R).
La funzione loga x (a ∈ R+ \ {1}) appartiene a C∞(R+).
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Teorema (Criterio della derivata seconda)
Sia f ∈ C 1(I ) e sia x0 ∈ I un punto stazionario per f .
1 Se esiste f ′′(x0) > 0, allora x0 e un punto di minimo relativo per f .
2 Se esiste f ′′(x0) < 0, allora x0 e un punto di massimo relativo per f .
Dimostrazione: dimostriamo (1). Se
f ′′(x0) = limx→x0
f ′(x)− f ′(x0)
x − x0= lim
x→x0
f ′(x)
x − x0> 0,
allora per il teorema della permanenza del segno esiste ε > 0 tale che
f ′(x) < 0 ∀x ∈ (x0 − ε, x0) ∧ f ′(x) > 0 ∀x ∈ (x0, x0 + ε).
Quindi la tesi segue dal Teorema del segno della derivata prima
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 27 / 36
Questo teorema fornisce un metodo per la classificazione dei puntistazionari per funzioni due volte derivabili.
Le condizioni sul segno di f ′′ sono solo sufficienti e non necessarie: adesempio la funzione f : R→ R data da f (x) = x4 ha un minimorelativo (ed assoluto ) in x0 = 0, ma f ′′(0) = 0.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 28 / 36
Teorema di de l’Hopital
Teorema di de l’Hopital
Sia x0 ∈ R e siano f , g due funzioni derivabili in un intorno di x0 tali che
limx→x0
f (x) = limx→x0
g(x) = L, L ∈ {0,+∞,−∞}.
Se g ′(x) 6= 0 in un intorno di x0 e se esiste il limite
limx→x0
f ′(x)
g ′(x)∈ R ,
allora esiste anche il limite limx→x0
f (x)g(x) e vale
limx→x0
f (x)
g(x)= lim
x→x0
f ′(x)
g ′(x).
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OsservazioneNotare che l’uguaglianza
limx→x0
f (x)
g(x)= lim
x→x0
f ′(x)
g ′(x)=
e condizionata al fatto che ESISTA il limx→x0
f ′(x)g ′(x) !
Esempio:
Per f , g : (−1, 1) \ {0} → R date da
f (x) = x2 sin1
x, g(x) = sin x
vale
limx→0
f (x)
g(x)= lim
x→0
x2 sin 1x
sin x= lim
x→0x sin
1
x= 0,
ma
limx→0
f ′(x)
g ′(x)@ (esercizio)
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Applicazione di de l’Hopital I: limiti notevoli
limx→0
sin x
x
(H)= lim
x→0
cos x
1= 1
limx→0
ex − 1
x
(H)= lim
x→0ex = 1
limx→0
log(1 + x)
x
(H)= lim
x→0
1
1 + x= 1
limx→0
1− cos x
x2
(H)= lim
x→0
sin x
2x= 2
limx→+∞
log x
xα(H)= lim
x→+∞
1
α xα= 0 ∀ α > 0
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A volte e necessario applicare il Teorema di del’Hopital piu volte...
Esempio
Calcolare il limite
limx→0
(1
x− 1
sin x
)Si ha
limx→0
(1
x− 1
sin x
)= lim
x→0
sin x − x
x sin x
(H)= lim
x→0
cos x − 1
sin x + x cos x
(H)= lim
x→0
− sin x
2 cos x − x sin x= 0.
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Un’applicazione teorica del teorema di de l’Hopital
Il teorema del limite della derivata
Sia f : [a, b[→ Rcontinua in [a, b[
derivabile in (a, b).
Se ESISTE (finito o no) limx→a+
f ′(x), allora esiste anche f ′+(a) e vale
f ′+(a) = limx→a+
f ′(x).
Dimostrazione: Consideriamo le funzioni h(x) := f (x)− f (a) eg(x) = x − a. Il Teorema di de l’Hopital implica
f ′+(a) = limx→a+
f (x)− f (a)
x − a= lim
x→a+
h(x)
g(x)= lim
x→a+f ′(x)
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Differenziabilita
Sia I intervallo aperto, f : I → R derivabile in x0 ∈ I .L’equazione della retta tangente al grafico di f in (x0, f (x0)) e
y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0).
Poniamog(x) = f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)
differenza tra l’ordinata del punto (x , f (x)) ∈ graf(f ) e il punto(x , f (x0)− f ′(x0)(x − x0)) appartenente alla retta tangente al grafico di fin (x0, f (x0)).Si ha
limx→x0
Λ(x)
x − x0= lim
x→x0
f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)
x − x0
= limx→x0
[f (x)− f (x0)
x − x0− f ′(x0)
]= 0.
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Quindi,approssimando f (x) con f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
si commetteun errore che e o(x − x0) per x → x0
cioe
f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0) = g(x) = o(x − x0) x → x0
Definizione
Sia I intervallo, f : I → R e x0 ∈ I . Diciamo che f e differenziabile in x0
quando esiste λ(x0) ∈ R tale che si abbia
f (x) = f (x0) + λ(x0)(x − x0)+o(x − x0) per x → x0,
cioe
limx→x0
f (x)− f (x0)− λ(x0)(x − x0)
x − x0= 0.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 35 / 36
Teorema:
Sia f : A→ R e x0 un punto interno di A. Allora
f e differenziabile in x0 ⇐⇒ f derivabile in x0.
In tal caso λ = f ′(x0).
Dimostrazione:
f (x) = f (x0) + λ(x0)(x − x0) + o(x − x0) per x → x0 ⇐⇒
limx→x0
f (x)− f (x0)− λ(x0)(x − x0)
x − x0= 0⇐⇒
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= λ(x0)
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Derivate – (II) Analisi Matematica 1 36 / 36