Davide Catania davide.catania unibs.it Esercitazioni di...
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2. Derivate e differenziabilità
Davide [email protected]
Esercitazioni di Analisi Matematica 2A.A. 2016/17
Data f (x,y), la derivata parziale rispetto a x calcolata nel punto
(x0,y0) si indica con ∂xf (x0,y0) o∂f
∂x(x0,y0).
Si calcola considerando y costante e derivando rispetto a x, poisi sostituisce il punto (x0,y0).
Nota. Possiamo sostituire y = y0 prima di derivare rispetto a x.
Analogamente per la derivata rispetto a y, indicata con
∂yf (x0,y0) o∂f
∂y(x0,y0) (i ruoli di x e y sono scambiati).
Il gradiente di una funzione f (x,y) è la funzione vettoriale
∇f = (∂xf ,∂yf ) .
Il gradiente di una funzione f (x,y,z) è la funzione vettoriale
∇f = (∂xf ,∂yf ,∂zf ) .
Nei punti di raccordo o dove non è garantita la derivabilità (siannulla l’argomento di moduli o radici), è necessario usare ladefinizione di derivata parziale:
∂xf (x0,y0) = limh→0
f (x0 +h,y0)− f (x0,y0)
h,
∂yf (x0,y0) = limk→0
f (x0,y0 +k)− f (x0,y0)
k.
Esercizio 6Calcola ∂xf (0,0) e ∂yf (0,0) per f :R2 →R data da
f (x,y) ={
y ey +x se |y| > x2 ,
x2 + ln(1+arctany2) se |y| É x2.
Esercizio 7Determina α in modo che f (x,y) =
{sinx+y se y > 2x ,
αx+ siny se y É 2xammetta derivata parziale ∂xf in (0,0).
Esercizio 8
Data f (x,y) =y2 cos
1
yse y /= 0,
0 se y = 0,calcola ∂yf e verifica che non è continua in (0,0).
Data la superficie z = f (x,y) con f di classe C1 (derivate parzialicontinue), il piano tangente nel punto
(x0,y0, f (x0,y0)
)ha
equazione
z = f (x0,y0)+∂xf (x0,y0) (x−x0)+∂yf (x0,y0) (y−y0) .
Data una funzione f di classe C1 e di n variabili, e un vettoren-dimensionale v non nullo, la derivata rispetto al vettore v di fè data da
∂vf = ∂f
∂v=∇f ·v .
La derivata direzionale rispetto a v, o nella direzione di v, è laderivata rispetto al vettore di norma uno
v
|v| .Nota 1. In entrambi i casi, basta f differenziabile (vedi poi).
Nota 2. Se v = (v1,v2,v3), allora |v| =√
v21 +v2
2 +v23.
Esercizio 10Data f (x,y) = x2 +y3 e v = (1,2), calcola ∂vf (1,1) e la derivatadi f nel punto (1,1) nella direzione di v.
Nei punti di raccordo o dove non è garantita la derivabilità, laderivata di f (x,y) in (x0,y0) rispetto a un vettore v = (v1,v2)deve essere calcolata usando la definizione:
∂vf (x0,y0) = limt→0
f (x0 + tv1,y0 + tv2)− f (x0,y0)
t.
Esercizio 12Dati v = (1,2), w = (−1,1) e f (x,y) = e|x|(|y|+x2), calcolare (seesistono)
∂vf (0,0) e ∂wf (1,3) .
Esercizio 13
Data f (x,y) ={
x2 se xy Ê 0,
x−y se xy < 0,calcolane la derivata in (0,0) rispetto a v = (1,2) e w = (1,−2).
La funzione f (x,y) è differenziabile nel punto (x0,y0) seesistono (finite) le derivate parziali in (x0,y0) e
lim(h,k)→(0,0)
f (x0 +h,y0 +k)− f (x0,y0)−∂xf (x0,y0)h−∂yf (x0,y0)kph2 +k2
= 0.
Esercizio 14
Stabilisci se f (x,y) =
x3
x2 +y2se (x,y) /= (0,0) ,
0 se (x,y) = (0,0)è differenziabile in (0,0).
Esercizio 15
Per α ∈R, sia fα(x,y) =
ln(1+x2 +y2)(x+y)
(x2 +y2)2α+3(x,y) /= (0,0) ,
0 (x,y) = (0,0) .Determina per quali valori di α la funzione fα è differenziabile in(0,0).
Esercizio 16
Sia α ∈R e sia f (x,y) =
arctanx2
(x2 +y2)α−2(x,y) /= (0,0) ,
0 (x,y) = (0,0) .Determina per quali valori di α la funzione è differenziabile.
Esercizio 17
Verifica che f (x,y) =y2 cos
1
yse y /= 0,
0 se y = 0,è differenziabile in (0,0), ma non di classe C1 (hai già verificatoche ∂yf non è continua in (0,0)).
Esercizio 18
Data f (x,y) ={
e− 1
(x2+3y2)α se (x,y) /= (0,0) ,
0 altrimenti ,discutere continuità e differenziabilità di f su R2.
Esercizio 19 (Tema esame 14/01/2013)Studia continuità e differenziabilità in (0,0) di
f (x,y) =(e7sinx−1)
xy2
x2 +y2se (x,y) /= (0,0) ,
0 se (x,y) = (0,0) .
Nota.
f di classe C1 ⇒ f differenziabile
f differenziabile ⇒ f continua e ammette derivatarispetto a ogni vettore
Nota bene!
f ammette derivata rispetto a ogni vettorenon implica, in generale,
f continua
Esercizio 20Verifica che tutte le derivate direzionali di
f (x,y) =
(
x2y
x4 +y2
)2
se (x,y) /= (0,0) ,
0 se (x,y) = (0,0)
nel punto (0,0) sono nulle, ma f non è continua in (0,0).
Suggerimento: calcola la derivata direzionale rispetto a ungenerico versore (vettore di modulo 1) u = (cosα, sinα). Per lacontinuità, considera la restrizione a y = mx2.
Nota. La funzione precedente ha tutte le derivate direzionali∂uf (0,0) = 0, in particolare ∇f (0,0) = (0,0), dunque
∂uf (0,0) =∇f (0,0) ·u = 0 ∀u, |u| = 1,
ma f non è differenziabile in (0,0) (dato che non è continua).
Dunque l’uguaglianza
∂uf =∇f ·u ∀u
NON IMPLICA, in generale, la differenziabilità di f .