~~~~ - Section Al-Math 1

P

1991 1/3

DURÉE : 4heures

On désigne par [x] la partie entière du réel x. Etant donnés un entier q 2 1, des réels rl , - - a , r, strictement positifs et de somme > 1, des entiers ml, - - - , m, deux à deux distincts et supérieurs ou égaux à 2, on cherche à étudier le comportement de la suite (a,),2o définie par: 4

= 1 et Vn 2 1 Q, = C r j u [ , / ~ ~ ] . j=1

Les trois premières parties du problème sont indépendantes entre elles.

1

Dans cette partie on étudie l’exemple: q = 2, rl = 2, r2 = 3, ml = 3, m2 = 9.

On pose, pour p 2 O, bp = a3p.

1. Déterminer explicitement bp en fonction de p .

2. Montrer que, si p 2 O et 3 P 5 n < 3H’, alors a,, = 4. 3. En déduire que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (2) nL1 est l’intervalle [i, 51

de R.

On étudie, dans cette partie, quelques propriétés générales de la suite (a,),zo.

1. Montrer qu’il existe un unique réel u > O tel que rj mTa = 1.

2. (a) Montrer qu’il existe une constante C > O telle que V n 2 1 an I C n ” .

(b) Montrer Vn 2 O a, L (n + 1)’. n + l

(On pourra montrer et utiliser l’inégalité: V n > o 1+[$]2--) mi

3. Montrer que la suite (a , ) ,~o est croissante et que, si on pose pour tout réel z positif ou nul A(z ) = a[,], on a

0

j= 1

O 5 a: < 1 =+ A(z) = 1 et VX 1 1 A(z) = c r i A(x/mj),

(On pourra commencer par montrer que pour tout réel x 2 O et tout entier m > 1 -

m m m On établit dans cette partie un résultat auxiliaire général. On désigne par R+ l’ensemble des réels positifs ou nuls et par & l’ensemble des fonctions de

R+ dans R+ dont la restriction 8. tout intervalle [O,T], T > O, est continue par morceaux sur

+oo r in l t da: (en réalité, c = r). On désigne par c le nombre J- 0 0 2 2

On pose

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et, pour n entier strictement positif, Knb) = K ( Y / ~ ) -

On pose enfin

(où i E C et i2 = -1).

1. Calculer explicitement hn pour tout n 2 1 et en déduire que la suite (hn)n>l possède les - trois propriétés suivantes:

i) h n est continue et Vx E R ii) Vn 2 1

hn(z) 2 O,

s-’,” h,(z) dx = 1,

iii) v6 > 0 limn+, f 6 h,(z) dx = 1.

2. Soit cp E E,. Montrer que pour tout n 2 1 la fonction

Fn(z) = Lm v(t) hn(x - t )

est bien définie sur R.

3. On suppose de plus qu’il existe des réels 1 > O et a > O tels que

iv) Vn 2 1

v) t -+ p(t)e’‘ est une fonction croissante sur R+. lirnt++, Fn(x) = 1,

(a) Soit x E R+ et 6 > O. Montrer que

,206

(remarquer que Fn(z + 6) 2 J:+26 cp(t) hn(x + 6 - t ) dt ) . (b) Soient x , 6 tels que x > 26 > O. Montrer que

(c) Montrer que lim cp(z) = 2. I + O Q

On revient à l’étude de la suite (an),Zo. On fait dans cette partie l’hypothèse qu’il existe un couple d’entiers (k, I ) entre 1 et q tel que %i soit irrationnel. (La notation In désigne le logarithme neperien.)

On conserve les notations de la partie IL

1. Montrer que pour tout 9 réel non nul

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2.

3.

4.

5.

On pose F ( s ) = brn A(e') e-" dt = 1- x-.-l A(x) dx

où s désigne un aombre complexe. On désigne dans la suite par Rs la partie réelle de s.

(a) Montrer que F est définie dans le demi-plan ouvert {s E C;% > a } et que, pour 'Rs > a,

(b) Montrer qu'il existe un réel 1 > O, que l'on déterminera en fonction de a, (r,)15j50 se prolonge en une fonction G continue et (mj)lljlq, tel que la fonction F ( s ) -

dans le demi-plan fermé {s E C; Rs 3 a } .

On pose

Vy E R g(y) = G(a + iy) et Vt E R+ cp(t) = A(e')e-"',

et on reprend les notations définies en tête de la partie III.

Montrer que cp appartient à. €, et que, pour tout e > O et tout y E R,

cp(t) e-(c+iv)* dt e-(c+iu)* dt + G(a + e + iy). /gw En déduire que, pour tout x E R,

(On pourra admettre sans démonstration la possibilité, dans la situation considérée, d'échanger deux signes d'intégration.)

Montrer que 2

~x E R Lm cp(t) h,(x - t ) dt = 11- h,(s) ds + /'" g(y) ~ , ( y ) eizv dy,

lim cp(z) = 1.

--O0

et déduire alors de III que

(Pour ce dernier point on pourra admettre le résultat géneral suivant: Si f : R -+ C est une fonction continue et si u et u soiit des réels avec u < u, alors

2+00

lim [ ehv f(y) dy = O.) t+oO

Donner un équivalent de a, quand n tend vers l'infini. En déduire, par exemple, que dans le cas particulier de la suite définie par

ao = 1 et Vn L 1 an = a[n/21 + a(,/3] + a[n/6],

a, est équivalent, quand n tend vers l'infini, à h*jn.

FIN