دانش آموز گرامي: براي کسب نمرات عالي و موفّقيت در آزمون پایان ترم مشاوره هاي زیر ارائه می گردد.

در آزمون پایان ترم از زیرموضوعات مطرح شده در جدول زیر قطعًا سؤاالتي مطرح خواهد شد. با توجه به مثال های ارائه شده از هر زیرموضوع، اولویت هاي مطالعاتي خود را مشخص کرده و سعي کنيد مهارت خود را در پاسخ گویي به چنين سؤاالتي باال ببرید.

مشاوره شب امتحان

بارم بندی هندسه )2( پایه یازدهم رشته ریاضی و فيزیک ـ سال تحصيلی 1396-97

مثالزیر موضوعنوبت )2(نوبت )1(شماره فصل

112/56/5

زوایای محاطی، ظلی، xداخلی و خارجی 50°

20°30° M

T

T

NP x� ���=

روابط طولی. ابتدا ثابت کنید: R OA

22= = در دایرة مقابل

TA PA BA CA× = × سپس مقادیر x و y و z را به دست آورید.

B M2 x

P

zT

A

o

4y C

x+1

طول مماس مشترک داخلی و خارجی

2 6 ، 5 3a - طول مماس مشترک خارجی دو دایره به شعاع های 8 و 13 و طول خط المرکزین است. a را محاسبه کنید.

ویژگی های چند ضلعی های ثابت کنید هر n ضلعی منتظم محاطی و محیطی است.محاطی و محیطی

دایره های محاطی داخلی و خارجی مثلث

hc ارتفاع ها و r شعاع دایرة محاطی داخلی باشد، ثابت کنید: hb و ، ha در مثلث ABC، اگر 1 1 1 1h h h ra b c

+ + =

2

تبدیل های هندسی7/52/5

ثابت کنید دو بازتاب محوری با محورهای متقاطع، یک دوران است.ثابت کنید انتقال یک تبدیل طولپا است.

k را تصویر کرده و سپس دوران یافتة = −13

مربع ABCD به مرکز تجانس یکی از رأس ها و ضریب °45 رسم کنید. آن را به همان مرکز و زاویة

-4کاربرد تبدیل های

هندسی

در شکل مقابل، چگونه می توان با طی کردن کوتاه ترین مسیر از d1 و نقطه A شروع به حرکت کرده و پس از برخورد با دو خط

d2 از نقطه B گذشت؟

d d21

A B

در چه صورتی می توان با حفظ محیط، مساحت زمین شکل مقابل را حداکثر کرد؟4

23

5

4

3-7

قضيه سينوس ها و کسينوس ها

B را به دست آورید. . مقدار زاویة A = °60 AC و = +2 12 ،AB = 4 ،ABCD

در مثلث α ثابت کنید. قضیه کسینوس ها را برای زاویه حادة دلخواه

قضیه نیم ساز و محاسبه BC، طول نیم ساز زاویة A را محاسبه کنید.طول نیم ساز AC و 14= =10 ،AB = 6 ABC با اضالع

Dدر مثلث

قضیه هرون

Aمساحت چهارضلعی ABCD را حساب کنید.

BD

8

414

6

C

2020جمع نمره

بارم بندی

همزد

یاال

س

گلبرگ

3

گلبرگ

سؤاالت امتحاني درس اّول

درستی يا نادرستی عبارت های زير را مشخص کنید.درست نادرست 11 در دو دایره، اگر طول دو کمان برابر باشند، اندازه های آن دو کمان هم برابرند. درست نادرست 21 اندازة هر زاویة ظلی نصف کمان روبه رو به آن زاویه است. درست نادرست 31 در هر دایره، دو وتر برابر از مرکز دایره به یک فاصله هستند.

جاهاي خالي را با عبارت های مناسب پر کنید.. است.41 . . . . . . . . . . . . . در یک دایره، از دو وتر نامساوی آن که بزرگ تر است، فاصله اش از مرکز دایره .51. . . . . . . . . . . . . . . در هر دایره، کمان های بین دو وتر موازی .. است.61 . . . . . . . . . . . . . اندازة زاویة بین دو وتر متقاطع درون دایره برابر با .

گزينه درست را انتخاب کنید.2y کدام گزینه است؟71 x- در شکل مقابل، حاصل

A

B

C

D

y 90 x 30

240 )2 180 )1

120 )4 60 )3FCD چه قدر است؟81 EF است. زاویة = °110 CD و = °40 ،AB = °60 ،CD BE|| ،AB FC|| در شکل مقابل،

90 )1

40°

E

F

BA

C

D

110°

60°

55 )2 70 )3 80 )4

x کدام گزینه است؟91 y+ در شکل مقابل، نقطة O مرکز دایره است. اندازة 40 )2 80 )1

60 )4 90 )3

به سؤاالت زير پاسخ دهید.

C از مرکز دایره 5 می باشد. طول این وتر را محاسبه کنید.101 O( , )13 فاصلة وتری در دایرة

C2 است. نسبت شعاع های دو دایره را حساب کنید.111 60 در دایرة ، 2 برابر طول کمان C1 15 در دایرة طول کمان

شکل فضایی و گستردة یک مخروط داده شده است. شعاع قاعده مخروط 3 سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر است. 121الف. قطاع حاصل از شکل گستردة این مخروط چند رادیان است؟

ب. مساحت قطاع را به دست آورید.CD به فاصلة 6 واحد از یکدیگر رسم شده اند. شعاع دایره را به دست آورید.131 = 8 AB و = 4 C، دو وتر موازی O R( , ) در دایرة

الف. آیا با داشتن دو وتر موازی از دایره ای، می توان مرکز آن دایره را یافت؟ چرا؟141

ب. آیا در حالتی که دو وتر ناموازی از دایره ای را داشته باشیم، می توان مرکز آن دایره را یافت؟ چرا؟ )مسئله را در دو حالت بررسی کنید.(

2( )

B

A

C 1( )

B

A

C

D

1 مفاهیم اولیه و زاویه ها در دایرهدرسفصل 1 دایره

)2ه )

سند

ه

4

ثابت کنید اگر در دایره ای دو وتر برابر باشند، فاصلة آن ها از مرکز دایره یکسان است.151گلبرگثابت کنید در هر دایره، وتر بزرگ تر فاصله اش از مرکز دایره کم تر است و بالعکس.161C مفروض است. اگر کم ترین و بیشترین فاصلة نقطة M از دایره به ترتیب 5 و 13 باشند، طول شعاع 171 O R( , ) نقطة M خارج دایرة

دایره را محاسبه کنید.Cرسم شده اند. 181 O R( , ) BC در دایرة R= 2 AB و R= مطابق شکل، وترهای

AEC را محاسبه کنید. اندازة کمان

A

B

C

E

191 R موازی رسم شده اند. بیشترین و کم ترین فاصلة دو وتر از یکدیگر را برحسب CD R=32

AB و R= C، دو وتر O R( , ) در دایرة محاسبه کنید. )طول HK را در دو حالت بررسی کنید.(

D

A B

C

K

H2( )O )2( )1(

D

AB

C

K

H

O

xy در نقطة T بر دایره رسم شده است و با وتر AB موازی است. ثابت کنید دو کمان AT و BT مساوی اند.201 مطابق شکل، مماس

211.TAB AB� �=

2BB باشد، ثابت کنید AT′ || TAB در دایره مقابل رسم شده است. اگر زاویة ظلی

در شکل های زیر، مقادیر مجهول را محاسبه کنید.221

)الفxy==??

)ب xy==??

)پ

C

A B

80°

yo

x

M

D

xy==??

)ت A

B

Dy

x

F

E

C

50

20

°

° x y+ = ?

همزد

یاال

س

گلبرگ

5

گلبرگ 231.AD AB = OA ،BC و CD موازی اند. ثابت کنید: در دایره به مرکز O و قطرA

BC

D

O

ACD را محاسبه کنید.241 ADC - در شکل مقابل، وتر CD با قطر AB موازی است. اندازة

B

D

A

C

o

در شکل مقابل، مماس AC و وتر AB مساوی اند. ثابت کنید مثلث ADC، متساوی الساقین است.251

BC است. ثابت کنید چهارضلعی APNC ذوزنقة متساوی الساقین است. 261 PQ= AB و QN= در شکل مقابل، )راهنمایی: در هر دایره اگر وترها برابر باشند، کمان های نظیر آن ها هم برابرند و بالعکس.(

APD است. 271 در شکل زیر، دو وتر AB و CD برابرند و در نقطة P یکدیگر را قطع می کنند. ثابت کنید OP نیم ساز )راهنمایی: ابتدا ثابت کنید دو مثلث AOK و DOH هم نهشت هستند.(

P

A

BC

D

HK

o

BQ می باشد. 281 PC|| AB و CD|| در شکل زیر،

الف. ثابت کنید که چهارضلعی های ABCD و BCPQ ذوزنقة متساوی الساقین هستند.

ب. با توجه به این که در ذوزنقة متساوی الساقین قطرها برابرند، ثابت کنید دو مثلث ACQ و PBD به حالت تساوی دو ضلع و زاویة بین هم نهشت هستند.

)2ه )

سند

ه

6

در شکل های زیر، مقادیر مجهول را محاسبه کنید.291گلبرگ

y )الف

B

A

C

FP

M

x

N

E

60°

40° x y+ = ? )ب xy==??

)پO

B

AM

C

x30°

N

AB ACMN ABx

=

=

||?

x )ت 50°20°30°

M

T

T

NP

x = ?

oy مماس باشد.301 ox و 4cm رسم کنید، به طوری که بر xoy مفروض است. دایره ای به شعاع زاویة x

yo

پاسخنادرست، اگر شعاع های دو دایره برابر باشند، آن گاه پاسخ درست است. 1

4 کم تر 3 درست 2 درست

مساوی اند 5

نصف مجموع کمان های روبه رو به آن زاویه 6

گزینة »1« 7

x y x y

y x y x

+= °⇒ + = °

−= °⇒ − = °

290 180

230 60

⇒= °= °

⇒ − = × ° − ° = °xy

y x60120

2 2 120 60 180

گزینة »4« می دانیم که کمان های محصور بین دو وتر موازی مساوی اند، 8بنابراین:

AB CF AF BC

DC BE BC DEAF BC DE

||

||

⇒ =

⇒ =

⇒ = =

از طرفی داریم: AF BC DE + + = ° − ° + ° + ° = °360 60 110 40 150( )

⇒ = = =°= °AF BC DE

1503

50

(ÂöId¶ â¾Ä»Hp)FCD DF� �= =

° + °= °

2110 50

280

Aگزینة »2« 9

C

80°xy

o

B

yx

OA OC R OAC ACO y

OA OB R OAB OBA x

= = ⇒ = =

= = ⇒ = =

( )Áq¨o¶ â¾Ä»Hp BOC BC� �= °⇒ = °80 80

(ÂöId¶ â¾Ä»Hp)BAC x y BC� � � �= + = =

°= °

2802

40

مطابق شکل، وتر AB در دایره به شعاع 13 و به فاصلة 5 از مرکز دایره 10

BOH داریم:∆

رسم شده است. در مثلث ⊗A B

H

o

135

BOHHOBOH

∆ = °==

:

90135

⇒ = − = ⇒ =BH BH2 2 2 213 5 12 12 می دانیم که قطر عمود بر وتر آن را نصف می کند، بنابراین:

AB BH= = × =2 2 12 24

11 ،α می دانیم که طول کمان AB در دایره به شعاع r با زاویة مرکزی از رابطة زیر به دست می آید:

AB AB·Iµ¨ â½pHkºH ·Iµ¨ ϼö

½oÄHj ôÃd¶360°=

15 در دایرة C1 به شعاع r1 برابر است با: بنابراین طول کمان

15360

2 1121 1

× =π πr r

r2 برابر است با: C2 به شعاع 60 در دایرة و طول کمان

60360

2 132 2

× =π πr r

112

2 13

81 212

π πr rrr

= × ⇒ = در ادامه داریم:

همزد

یاال

س

گلبرگ

7

گلبرگ 12 A B

R

O

A B

R

O

rH �

AB r = = = × =ó»oh¶ â½køI¤ ôÃd¶ 2 2 3 6 1π π π ( )

OA OH AH R2 2 2 2 24 3 5 2= + → = + = ( )

α )الف π= =AB

Rrad

·Iµ¨ ϼö 65

S )ب R= = × × =12

12

65

5 152 2απ

π

مطابق شکل، نقطة O مرکز دایره است. می دانیم که عمود رسم شده از 13مرکز دایره بر وتر، آن را نصف می کند، داریم:

A B

D

R

K

H

4

2

y

OR x

C

H AH BH

AOH y R

= ° = = =

= −

∆

90 42

2

42 2

,

:

K CK DK

COK x R

= ° = = =

= −

∆

90 82

4

162 2

,

:

y R

x Ry x y x y x

2 2

2 22 24

1612 12

= −

= −

⇒ − = ⇒ − + =( )( )

از طرفی فاصلة دو وتر از یکدیگر 6 واحد است، پس: x y y x y x+ = ⇒ − × = ⇒ − =6 6 12 2( )

با حل دستگاه زیر مقادیر y ،x و در نهایت R به دست می آید:

x yy x

xy

y R+ =− =

⇒==

⇒ = −62

24

42 2

⇒ = − ⇒ = ⇒ =16 4 20 2 52 2R R R

الف. می دانیم که عمودمنصف وتر دایره از مرکز آن دایره می گذرد. 14

از آن جاکه دو وتر AB و CD موازی اند، پس خط d که عمودمنصف

مشترک هر دو می باشد، از مرکز دایره می گذرد. به عبارت دیگر مرکز

دایره روی خط d قرار می گیرد و نمی توان دقیقاً آن را به عنوان یک

نقطه مشخص نمود.

D

AB

C

d

H

K ب. حالت اّول:

مطابق شکل، دو وتر AB و CD نابرابر و ناموازی هستند. عمود منصف های AB و CD در نقطة M متقاطع اند. داریم:

A

B

MC

D

K

H

AB M MA MBþ~¹¶j¼µø Á»n ⇒ =

CD M MC MDþ~¹¶j¼µø Á»n ⇒ =

در این حالت مشخص است که نمی توان

MC ،MB و MD باهم برابرند. بنابراین ،MA قطعاً اظهارنظر کرد کهنمی توان نتیجه گرفت که الزاماً نقطة M مرکز دایره می باشد.

حالت دوم: مطابق شکل، دو وتر AB و BC رسم BC و AB شده اند. عمود منصف های

در نقطة O متقاطع اند. داریم:

AB O OA OBBC O OB OC

OA OB OCþ~¹¶j¼µø Á»n þ~¹¶j¼µø Á»n

⇒ =⇒ =

⇒ = =

در نتیجه می توان گفت در این حالت نقطة O مرکز دایره می باشد.

15 COD∆

AOB و ⊗∆

مطابق شکل دو مثلث ⊗Aهم نهشت هستند، زیرا:

B

D C

R

R

RR

o

H

K

OA OB OC ODAB CD

= = ==

در نتیجه ارتفاع های OH و OK از دو مثلث برابر خواهند بود.

AB باشد، 16 CD> مطابق شکل، اگر .OH OK< Aثابت می کنیم که

B

D C

RR

RR

o

H

K

می دانیم که شعاع عمود بر وتر دایره، آن وتر را نصف می کند. داریم:

OAH H OH R AH R AB

OCK K OK R CK R CD

∆

∆

= °⇒ = − = −

= °⇒ = − = −

:

:

904

90

2 2 2 22

2 2 2 222

2 24

4 4AB CD AB CD

> ⇒ >

⇒ < ⇒ <OH OK OH OK2 2

OH باشد، OK< عکس مطلب فوق بدین صورت است که اگر .AB CD> ثابت می کنیم که

OH OK OH OK R AB R CD< ⇒ < ⇒ − < −2 2 2

22

2

4 4⇒ > ⇒ >AB CD AB CD

2 2

4 417 PM از دایره به ترتیب M مطابق شکل، کم ترین و بیشترین فاصلة

OM و شعاع دایره R باشد، کم ترین و d= اگر و QM هستند. بیشترین فاصله عبارت اند از:

PM OM R d RQM OM OQ d R

= − = −= + = +

d Rd R

dR

− =+ =

⇒==

513

94

)2ه )

سند

ه

8

18گلبرگ

R

R

o

A

B

C

E

R

OAB AB R OA OB R AOB

OCB BC R OB OC R BOC

∆

∆

= = = ⇒ = °

= = = ⇒ = °

: ,

: ,

60

2 90

⇒ = °+ ° = °⇒ = °AOC ABC� �60 90 150 150

⇒ = °− ° = °AEC 360 150 210

در حالت اّول برای محاسبة بیشترین فاصله: می دانیم که شعاع عمود 19بر وتر، آن را نصف می کند. داریم:

D

A B

C

R

Ro

K

H

OHC OC R CH CD R OH OC CH∆

= = = ⇒ = −: ,2

34

2 2 2

⇒ = − ⇒ =OH R R OH R2 2 2916

74

1( )

OBK OB R BK AB R OK OB BK∆

= = = ⇒ = −: ,2 2

2 2 2

⇒ = − ⇒ =OK R R OK R2 22

432

2( )

⇒ = + = +HK OH OK R R74

32

در حالت دوم برای محاسبة کم ترین فاصله:D

A B

C

K

H

HK OK OH R R= − = −32

74

20

xy AB xTA TAB

TAB BT

xTA AT

||

( )

( )

⇒ =

=

=

� �

� �

�

ÂöId¶ â¾Ä»Hp

Â±Ë â¾Ä»Hp

2��

� � � �

2

2 2

⇒ = ⇒ =AT BT AT BT

می دانیم که شعاع در نقطة تماس 21بر مماس عمود است، پس داریم:

HAT BB AT AHB AHB = ° ′ ⇒ = ′ = °90 90, ||همچنین می دانیم که شعاع عمود بر وتر آن را نصف می کند، داریم:

OH BB BH BH⊥ ′⇒ = ′

BH BH

HAH

ABH ABH B B

= ′

= °

⇒ ≅ ′ ⇒ = ′∆ ∆

90¥oTz¶ Æ p Æ( )

(ÂöId¶ ïâ¾Ä»Hp)

(ÂöId¶ ïâ¾Ä»Hp)

B AB

B AB

AT BB TAB B

� �

� �

�

=′

′ =

′ ⇒ =

2

2|| ��

� � � � �

= ′ ⇒ = ′ =, B B TAB B AB2

22 )الف

M x y

N y xx yy x

xy

= ° =+

= ° =−

⇒+ = °− = °

⇒= °=

602

302

12060

3090°°

)بx y

M y xx yy x

xy

+ = °

= ° =−

⇒

+ = °− = °

⇒= °= °

360

352

36070

145215

پ. می دانیم که کمان های بین دو وتر موازی برابرند، داریم:

AB CD BC AMC|| ⇒ = =° − °

= °� � 360 802

140

(Â±Ë â¾Ä»Hp)x BC� �= = °

270

BCM CM BC� � �= °⇒ = ° − = ° − ° = °180 180 180 140 40

AMC y MC y y = ° = + = + °⇒ = °140 40 100

)ت( )

( )

ÂöId¶ï â¾Ä»Hp

ÂöId¶ï â¾Ä»Hp

B DC DC

F DE DE

� � �

� � �

= → = °

= → =

2100

240°°

y BF x CD DE BF BF� � � � � � �= =

+ −=

° −2 2

1402

,

⇒ = °− ⇒ + = °x y x y 70 70

23

B

A

D

Co

(ÂöId¶ â¾Ä»Hp)

(Áq¨o¶ â¾Ä»Hp)

DCB BD

AOB AB

OA CD AOB

� �

� �

�

=

=

⇒ =

2

|| DDCB

BD AB AD AB�

� � � �

⇒ = ⇒ =2

همزد

یاال

س

گلبرگ

9

گلبرگ می دانیم که وتر CD و قطر AB موازی اند، پس کمان های بین آن ها برابرند: 24

CD AB AC BD ADC AC BD|| ⇒ = ⇒ = =� � � � �

2 2

ACD BD AB BD BD� � � � �=

+=

+ °= ° +

21802

902

ACD ADC BD BD ACD ADC� � � � � �− = + − ⇒ − = °902 2

90

طبق فرض مسئله، مماس AC و وتر AB برابرند. داریم: 25

B

A

CD

AC AB C B

B AD

DAC AD

= ⇒ =

=

=

� �

� �

� �

(ÂöId¶ â¾Ä»Hp)

Â±Ë â¾Ä»Hp

2

2( )

⇒ =DAC C� �

می دانیم درهر دایره، اگر دو وتر برابر باشند، 26کمان های نظیر آن ها هم برابرند و بالعکس.

B

CN

Q

PA

بنابراین مطابق فرض مسئله داریم:

AB QN AB QN

BC PQ BC PQABC PQN

= ⇒ =

= ⇒ =

⇒ =

� �

� �� �

⇒ =AC PN ( )1

PCN داریم: APC و از طرفی برای زوایای محاطی

APC ABC PCN PQN� � � �= =

2 2,

⇒ = ⇒APC PCN AP CN� � || ( )2از روابط )1( و )2( نتیجه می گیریم که چهارضلعی APNC ذوزنقة

متساوی الساقین است.

می دانیم که شعاع عمود بر وتر آن 27P

A

BC

D

HK

o

را نصف می کند، بنابراین:

AB CD

H K DH CD AK AB DH AK

=

= = °⇒ = = ⇒ =

90

2 2,

⇒=

= = °= =

⇒ ≅ ⇒ =∆ ∆

DH AK

H KOA OD R

OAK ODH OH OK 90( )ͱò ¦Ä » oU»

چون نقطة O از دو ضلع زاویة APD به یک فاصله است، پس روی

.APO DPO = نیم ساز آن قرار دارد، یعنی:

الف. در چهارضلعی ABCD، دو وتر AB و CD موازی اند، بنابراین 28

BC AD و کمان های بین این دو وتر برابرند. از آن جا که کمان های

برابر هستند، پس وترهای AB و CD نیز برابرند. پس:A B

CD

PQ

AB CD AD BC AD BC|| ⇒ = ⇒ =

به همین ترتیب داریم: PC BQ BC PQ BC PQ|| ⇒ = ⇒ =

⇒ ⇒ = =BCPQ AD BC PQ¸Ã¤Iv²HïÁ»IvT¶ â¾£ºp»lب. در هر ذوزنقة متساوی الساقین قطرها برابرند، بنابراین:

ABCD AC BDBCPQ

¸Ã¤Iv²HïÁ»IvT¶ â¾£ºp»l¸Ã¤Iv²HïÁ»IvT¶ â¾£º

⇒ = ( )1pp»l ⇒ =

PB CQ ( )2

( )

( )

ÂöId¶ â¾Ä»Hp

ÂöId¶ â¾Ä»Hp

ACQ ADQ AD DQ AD DQ

P

� � � � � �= =

+= +

2 2 2 2

BBD PQD PQ DQ PQ DQ

AD BC PQ

� � � � � �

� � �

= =+

= +

= =

2 2 2 2

⇒ =ACQ PBD ( )3

PBD∆

ACQ و ⊗∆

از روابط )1( و )2( و )3( نتیجه می گیریم که دو مثلث ⊗به حالت تساوی دو ضلع و زاویة بین هم نهشت هستند.

الف. در هر دایره می دانیم که زاویة بین دو وتر، برابر با نصف مجموع 29اندازة کمان های روبه رو به آن زاویه است، بنابراین:

x BN APCM AP CM� � � � �=

+=

° + + ° +2

40 602

= ° + +502 2

1AP CM� �( )

y PC ANBM AN BM� � � � �=

+=

° + + ° +2

60 402

= ° + +502 2

2AN BM� �( )

( ) ( )1 2 1002

» ⇒ + = °++ + +x y AP AN BM CM� � � � � �

= ° +° − ° + °

= °100 360 40 602

230( )

AM BM

C AM BM

� �

� � �+ = °

= − = °

180

202

ب. چون AB قطر دایره است، پس:

از طرفی برای زاویة C داریم:

⇒+ = °

− = °

⇒

= °

= °

AM BM

AM BM

AM

BM

180

40

110

70

( )ÂöId¶ â¾Ä»Hp x BM� �= =

°= °

2702

35

)2ه )

سند

ه

10

گلبرگ

سؤاالت امتحانی درس دوم

درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید.313 MC MD× MA و MB× وترهای AB و CD درون دایره در نقطة M متقاطع اند. حاصل ضرب

درست نادرست مقداری ثابت است. درست نادرست 323 مماس های رسم شده از نقطه ای خارج از دایره، باهم برابرند. درست نادرست 333 در دو دایرة خارج از هم، طول مماس مشترک داخلی از طول مماس مشترک خارجی بزرگ تر است.

جاهای خالی را با عبارت های مناسب پر کنید.. است.343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . از نقطة M خارج از دایره ای، مماس و قاطعی رسم می کنیم. حاصل ضرب اندازة قطعات برابر با .. است.353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R′ برابر با . R و طول مماس مشترک دو دایرة مماس خارجی به شعاع های . دقیقًا 4 مماس مشترک دارند.363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . دو دایره در حالت .

گزینة درست را انتخاب کنید.MA کدام گزینه است؟373 MB× PT است. اگر M وسط AB باشد، حاصل = 6 PA و مماس = 4 در شکل مقابل،

254

)2 94

)1

425

)4 49

)3

چون AP مماس بر دایره است، پس بر قطر AB در نقطة تماس )A( عمود است، بنابراین:

ACP CAP C∆

= ° = °: , 90 20

⇒ = °− ° + ° = °y 180 90 20 70( )

، پس: ( )AB AC= پ. مثلث ABC متساوی الساقین است

AB AC AB AC

B C A B C

= ⇒ =

= = °⇒ = =° − °

= °

� �

� � � � �, 30 180 302

75

از طرفی: (ÂöId¶ â¾Ä»Hp)B AC AC� � �= = °⇒ = °

275 150

A BC BC� � �= ° = ⇒ = °302

60MC قطر دایره است، بنابراین:

AC AM AM AM� � � �+ = °⇒ °+ = °⇒ = °180 150 180 30 AM موازی اند، پس کمان های AB و MN به دلیل این که دو وتر

و BN برابرند، پس: BN AM� �= = °30

(ÂöId¶ â¾Ä»Hp) x CN BN BC� � � �= =

+2 2

⇒ =°+ °

= °x 30 602

45ت.

(ÂöId¶ â¾Ä»Hp) TPN NT NT NT� � � �= ⇒ ° = ⇒ = °2

302

60

TMP PT NT PT PT� � � � �=−

⇒ ° =− °

⇒ = °2

20 602

100

می دانیم طول دو مماس رسم شده از یک نقطه بر دایره، باهم برابرند، بنابراین:

MTT MT MT MTT MTT′ = ′⇒ ′ = ′ =° − °

= °∆

:

180 702

55

(Â±Ë â¾Ä»Hp) MTT TT NT NT� � � �′ =

′=

+ ′2 2

⇒ ° =° + ′

⇒ ′ = °55 602

50NT NT

xNT PT� � �

=′ +

=° + °

= °2

50 1002

75

ابتدا باید بدانیم که اگر دایره ای به شعاع R مماس بر خط d حرکت 303d′ موازی با d و به فاصلة R حرکت می کند. کند، مرکز آن روی خط

R

o d

dR

بنابراین اگر بخواهیم دایره ای به شعاع 4 رسم کنیم که بر ox مماس d′ موازی با ox و به فاصلة 4 از باشد، مرکز این دایره روی خط

آن قرار می گیرد.

od

y4

4

44

d

o

H

K

x

′′d به همین ترتیب مرکز دایره ای که بر oy مماس باشد، روی خط موازی با oy و به فاصلة 4 از آن قرار می گیرد.

، نقطة o، مرکز دایره ای است که به شعاع 4 ′′d d′ و محل برخورد رسم می شود و بر ox و oy مماس می باشد.

رابطه های طولی در دایره2درس

همزد

یاال

س

گلبرگ

59

گلبرگ

1

5

3

7

فصل اّول: دايره- درس اّول مفاهیم اولیه و زاويه ها در دايره اوضاع نسبی خط و دایره:

1. خط و دایره در دو نقطه متقاطع اند و فاصلة مرکز دایره تا خط از شعاع دایره کم تر است.

2. خط بر دایره مماس است و شعاع در نقطة تماس بر مماس عمود است.

3. خط دایره را قطع نمی کند و فاصلة مرکز دایره تا خط از شعاع دایره بیشتر است.

ممچاس

قاطع

رهد��

��الايرج

خ

زاویة مرکزي:

. اندازة زاویة ( )AOB رأس آن مرکز دایره و اضالع آن شعاع های دایره هستند .AOB AB� �= مرکزی برابر با کمان روبه رو به آن است:

زاویة محاطي:دایره هستند وترهای آن اضالع و دایره روی آن رأس کمان نصف با برابر محاطی زاویة اندازة . ( )DMC

.DMC DC� �=

2روبه رو به آن است:

B

A

M

o

CD

به نکات زیر توجه کنید:

1( AB AB·Iµ¨ â½pHkºH ·Iµ¨ ϼö½oÄHj ôÃd¶360°

=

2(AB CD AB CD= ⇔ =

B

A

C

D

3. قطر عمود بر وتر، آن را نصف می کند. این قطر، کمان های دایره را نیز نصف می کند. به همین شکل زاویة مرکزی رو به آن وتر هم نصف می شود.

رسم مماس بر دایره از نقطه ای خارج از دایره:

M

CR

T

T

o

R

N

می خواهیم از نقطة M بر دایرة C مماس رسم کنیم. دایره ای به قطر OM، این دایره محاطی رو به قطر OM هستند، ′T T و T′ قطع می کند. زوایای T و را در نقاط ، بنابراین MT و ′MT بر دایرة C مماس اند. همچنین داریم: T T = ′ = °90 پس

MT MT OM R= ′ = −2 2 OM برابرند. همچنین C O R( , ) مماس های رسم شده از نقطة M بر دایرة

OM نیم ساز زاویة بین دو مماس است و′TT می باشد: Rعمودمنصف

T

T

R

HMo

1

2 MT MT M M= ′ =, 1 2 H TH T H = ° = ′90 ,

OTM داریم:D

TMH و D

،OTHD

با استفاده از تشابه مثلث های R OH OM TH OH MH2 2= × = ×, , MT MH OM2 = × , MT MH OM2 = ×

نسبت به هم: ′ ′ ′C O R( , ) C و O R( , ) حالت های دو دایرهOO می باشد. دو دایره دو مماس R R′ > + ′ 1. متخارج )خارج از هم(: شرط آن

داخلی و دو مماس خارجی دارند.OO می باشد. دو دایره دو مماس R R′ = + ′ 2. مماس خارج )بیرون(: شرط آن

خارجی و یک مماس داخلی دارند.

از دو وتر، آن که بزرگ تر است، به مرکز دایره نزدیک تر است و برعکس:

AB CD OH OK> ⇔ <

B

A

C

o

D

K

H

مثال: در شکل های زیر، مقادیر مجهول را حساب کنید.

)ب

o BA

C D

x

11

6 00

)الفM

AB

CD

x70

030

0y

)الف

x y x y

y x y x

xy

+= °⇒ + = °

−= °⇒ − = °

⇒= °= °

270 140

230 60

40100

پاسخ:

)بCD AB D A AC BD

CD AB C O

||

||

⇒ = = =

⇒ =

� � � �

� �

1

1

2 2ÂöId¶

Áq¨oo¶=

AC�

⇒ = = = ⇒ =O C A D C D 1 12 2 2

C D D + = °⇒ =°= °60 60

320

⇒ = = °⇒ = ° − ° = °AC BD x 40 180 80 100

مثال: دو دایره به شعاع های 4 و 9 مفروض اند. اگر اندازة مماس مشترک خارجی آن ها 15 باشد، طول مماس مشترک داخلی آن ها چه قدر است؟

پاسخ: 15 9 4 225 252 2 2= − − ⇒ = −d d( )

⇒ = ⇒ =d d2 250 250

±iHj ¥oTz¶ tIµ¶ ϼö = − + = =250 9 4 81 92( )

درس سوم چندضلعی های محاطی و محیطی

اگر فقط و اگر گوییم، محاطی را چندضلعی یک دایره ای وجود داشته باشد که از همة رئوس آن بگذرد. چندضلعی آن محیطی دایرة را دایره صورت این در

می نامیم.

MA

H

o

K

L

B

CD

همچنین، یک چندضلعی محاطی است، اگر و فقط اگر عمودمنصف های همة اضالع

مرکز نقطه این باشند. هم رس نقطه یک در آن دایرة محیطی چندضلعی است.

یک چندضلعی را محیطی گوییم، اگر و فقط اگر دایره ای وجود داشته باشد که بر همة ضلع های آن مماس باشد. در این صورت دایره را دایرة محاطی

این چندضلعی می نامیم.

A

BN

C

D

M

Q

PI

همچنین یک چندضلعی محیطی است، اگر و فقط اگر نیم ساز های زاویای داخلی آن

در یک نقطه هم رس باشند. محل هم رسی نیم سازها، مرکز دایرة محاطی می باشد.

گلبرگ

76

)2ه )

سند

ه

مدت امتحان: 90 دقيقهسؤاالت امتحاني درس: هندسه ]2[

آزمون نوبت دوم )1(پايه يازدهم ـ منتخب ]4[

بارمسؤاالترديف

درستي يا نادرستي عبارت هاي زير را مشخص کنيد.1درست نادرست الف.�ذوزنقة�محاطي�و�محيطي،�مربع�است.��درست نادرست ب.�دو�خط�موازي�تنها�تحت�يک�انتقال�برهم�تصوير�مي�شوند.�درست نادرست پ.�در�هر�مثلث�نسبت�هر�ضلع�به�سينوس�زاوية�مقابل�به�آن�ضلع�مقداري�ثابت�است.��

0/75

جاهاي خالي را با عبارت هاي مناسب پر کنيد. 2. M =

2. . . . . . . . . . . . . . . . . الف.�از�نقطة��Mخارج�از�دايره،�دو�قاطع��MABو��MCDرا�رسم�مي�کنيم.�داريم:

�استفاده�مي�کنيم. . . . . . . . . . . . . . . ب.�براي�افزايش�مساحت�چندضلعي�با�حفظ�اندازة�محيط�آن�از�تبديل�.

. a2 > . . . . . . . . . . . . . . �باشد،�آن�گاه��. A > °90 �ABCبه�اضالع���aو��bو�c،�اگر�D

پ.�در�مثلث�

0/75

3 M مي گذرد. قطعة کوچک تري که M و به فاصله 4 از مرکز آن قرار دارد. وتري به طول 9 از نقطة C O( , )6 نقطة M درون دايرة روي اين وتر ايجاد مي کند، کدام گزينه است؟

� 92�)4 �� 8 �)3 �� 4 �)2 �� 5 �)1

1/5

. است. 4 . . . . . . . . . . . . . °30 مي سازند، انتقالي با طول بردار . 2 که راستاي آن ها باهم زاوية 3 2 و ترکيب دو انتقال با بردارهاي � 4 3 �)4 �� 2 �)3 �� 2 3− �)2 ��1 4 3+ �)1

1/5

B کدام گزينه است؟ 5 A است. زاوية = °60 AC و = +2 12 AB و = 4 ،ABCD

در مثلث � 30° �)4 ��15° �)3 �� 45° �)2 �� 75° �)1

2

ABC، به وسيلة سه رودخانه AB و AC و BC آبياري 6D

مطابق شکل، زمين مثلثي شکل برسانيم، برابر دو به رودخانه ها اطراف در را کشت زير مساحت مي خواهيم مي شود.

به طوري که آبياري زمين توسط آب هر سه رودخانه صورت گيرد. چگونه بايد عمل کنيم؟

A

B C

1/5

مطابق شکل در اثر وزش طوفان، تير چراغ برقي منحرف شده و در وضعيت روبه رو قرار 7°60 ديده مي شود و فاصلة نقطة A از مي گيرد. نوک تير چراغ برق از نقطة A به زاوية نوک تير، 30 متر مي باشد. اگر فاصلة نقطة A تا پاي تير 40 متر باشد، طول تير چراغ برق

و سينوس زاوية انحراف آن از راستاي افقي را محاسبه کنيد. A

B

C

600

x30

40

M

�

1/5

کنيد 8 ثابت باشد، AB پاره خط بازتاب محور d خط اگر شکل، مطابق بازتاب محوري طولپا است.

M

A

B

d

1

2ثابت کنيد هر n ضلعي منتظم محاطي و محيطي است. 9

مطابق شکل، فردي مي خواهد از نقطة M شروع به حرکت کند و پس از تماس با دو ضلع 10

ABC به نقطة شروع حرکت برگردد. اين مسير را به گونه اي طراحي کنيد D

ديگر مثلث که کم ترين مسافت طي شود.

A

B C

M

2

گلبرگ

77

ونزمآ

4بارمسؤاالتردیف

Aمساحت چهارضلعي ABCD را حساب کنید. 11

B

C

D

8

6

14

6

2

در شکل زیر مقادیر مجهول را محاسبه کنید.12

o BA

M N

600

MN AB O|| , ½oÄHj q¨o¶ ⇒ =MN ?

2

دایرة C، نقطة P و خط m مطابق شکل مفروض اند. پاره خطي چنان رسم کنید که 13وسط آن روي P و یک سر آن روي دایره و سر دیگر آن روي خط m واقع باشد.

mm

P

1/5

20جمع نمره

پاسخ تشريحي آزمون )4(

متساوي الساقین 1 ذوزنقة به تبدیل محاطي ذوزنقة نادرست؛ الف. مي شود و در حالتي که محیطي باشد، مجموع ساق ها برابر با مجموع

دو قاعده خواهد بود که الزاماً شکل نهایي مربع نمي شود. )0/25(ب. نادرست؛ دو خط موازي با بي شمار انتقال بر هم تصویر مي شوند.

)0/25(V

1 V2

پ. درست )0/25(

aA

bB

cC

Rsin sin sin

= = = =2 SMIY

2 )0/25( M BD AC� � �=

−2

الف. A

B

C

D

M

ب. بازتاب - محور بازتاب AC است. )0/25(

A

B B

CD

E

)0/25( a b c2 2 2> + پ.

گزینة »2« 3

A

o

B

M

)0/25(

AB OM R= = =9 4 6, , AM MB R OM× = −2 2

)0/5(

⇒ × = + =AM MB 36 16 20 )0/25(

AM MBAM MB

× =+ =

209

)0/25(

⇒ = =AM BM4 5 5 4IÄ IÄ, )0/25(

گزینة »3« 4

V

A

B

C

2

3002 3

)0/5(

V است. براي ��

BC، بردار � ���

AB و � ���

ترکیب دو انتقال با بردارهاي

V از قضیة کسینوس ها استفاده مي کنیم:��

محاسبة طول

AC AB BC AB BC c B2 2 2 2= + − . . os

گلبرگ

78

)2ه )

سند

ه

AC2 2 2

32

2 2 3 2 2 2 3 30= + − × × × °( ) cos���

)1(

⇒ = + − = ⇒ =AC AC2 4 12 12 4 2

گزینة »1« 5

A

B

C

460

0

2+ 12

)0/25(

ABC داریم:D

با نوشتن قضیة کسینوس ها در مثلث

BC2 2 2

12

4 2 12 2 4 2 12 60= + + − × × + × °( ) ( ) cos���

⇒ = + + + − −BC2 16 4 12 4 12 8 4 12 )0/75(

BC BC2 24 24 2 6= ⇒ = =

IÀït¼¹Ãw á¾Ãñ¤ ¢Lö: ABC

BCAsin sin

= )0/75(

⇒ = ⇒ =4 2 6

32

22sin

sinC

C

⇒ = °⇒ = ° − ° + ° = °C B 45 180 45 60 75( ) )0/25(

مطابق شکل، نقطة دلخواه M را داخل مثلث در نظر مي گیریم. 6قرینة M را نسبت به اضالع مثلث به دست مي آوریم. چون بازتاب نمي دهد. تغییر را شکل ها مساحت پس است، طولپا محوري

به BM C3D

و AM B2D

،AM C1D

مثلث هاي مساحت بنابراین

برابر BMCD

و AMBD

،AMCD

مثلث هاي مساحت با ترتیب Aاست. )0/5(

B C

M

M1M

2

M3

H

K

)0/5(

برابر BMCD

و AMCD

،AMBD

مثلث هاي مساحت مجموع

،AM CM BM1 3 2 ABC است. پس مساحت چندضلعيD

مساحت

ABC است. )0/5(D

دو برابر مساحت مثلث

با نوشتن قضیة کسینوس ها داریم: 7 ABC x AB AC AB AC

∆= + − × × °: cos2 2 2 2 60

⇒ = + − × × × °↓

x2 2 2

12

30 40 2 30 40 60cos )0/75(

⇒ = − = ⇒ =x x2 2500 1200 1300 10 13 با نوشتن قضیة سینوس ها داریم:

3060

10 1332

sin sinθ=

°=

x )0/5(

⇒ =

×=sinθ

30 32

10 133 32 13

)0/25(

A′ مي نامیم. 8 بازتاب نقطة A را نسبت به خط d یافته و آن را ادعا مي کنیم و امتداد مي دهیم و را رسم کرده MA′ پاره خط MA′ B′ بر امتداد بازتاب نقطة B نسبت به خط d، یعني نقطه

واقع است.

M

A

B

d

B

1

2

A

H H

)0/5(

AB AM BMAB AM BMMA MA MB MB

AB AB= +

′ ′ = ′ + ′

= ′ = ′

⇒ = ′ ′

, )0/5(

بنابراين بازتاب محوري، يک تبديل طولپا است.

9

o

B

A

C

D

H

M

N

)0/5(

فرض کنید اندازة هر زاویة n ضلعي منتظم، 2α باشد. عمودمنصف هاي بنابراین متقاطع اند. O نقطة در که را رسم مي کنیم BC و ABمثلث دو مي کنیم. وصل O به D نقطة از .OA OB OC= =

OBC به حالت تساوي سه ضلع هم نهشت هستند. پس: D

OAB و D

و ( )H N OH ON = = ° =90 و است OBA OBC = = α

OCD = α C است، پس = 2α OCB. زاویة = α نتیجه مي شود

OCB به حالت تساوي دو ضلع و D

OCD و D

خواهد بود. دو مثلث که مي گیریم نتیجه و هستند هم نهشت بین زاویة

.OM ON OH= = OD و OC OB OA= = =

به اين ترتيب نتيجه مي شود که نقطة O از رأس ها به يک فاصله است، n از اضالع O ضلعي منتظم محاطي است. از اين که نقطة n يعنيضلعي منتظم به يک فاصله است، نتيجه مي شود که دايره اي به مرکز n ضلعي مماس است، پس n بر اضالع OH ON= = و شعاع O

ضلعي منتظم محيطي مي باشد. )1/5(

قرینة نقطة M را نسبت به اضالع AC و BC به دست مي آوریم تا 10BC را در نقاط AC و ، M M1 2 M2 حاصل شوند. نقاط M1 و

N و P قطع مي کند. MNP کوتاه ترین مسیر است.که مي بینیم MMN′ ′ مثل دیگري دلخواه مسیر براي

M طوالني تر است، زیرا: M1 2 M از NMM1 2′ ′

گلبرگ

79

ونزمآ

4

A

B C

M

M

N

PH

M1

M2

K

N

)1(

MM AC MN NMMM BC MP PM

1 12 2

þ~¹¶j¼µøþ~¹¶j¼µø

⇒ =⇒ =

⇒ + + = + + =MN MP NP NM NP PM M M2 2 1 2 )0/5(

MM AC MN M NMM BC MM M M

1 12 2

þ~¹¶j¼µøþ~¹¶j¼µø

⇒ ′ = ′

⇒ ′ = ′

⇒ ′+ ′ ′ + ′ = ′ + ′ ′ + ′MN MN MM M N MN M M1 2 )0/5(

11 A

B

C

D

8

6

14

6

10

S

BD BD

ABD∆ =

×=

= + ⇒ =

6 82

24

6 8 102 2 2 )0/5(

BCD، با استفاده از دستور هرون D

براي محاسبة مساحت مثلث داریم:

S P P a P b P c= − − −( )( )( ) )0/5(

ôÃd¶ þ~º P = + +=

10 6 142

15

SBCD∆ = × − − −15 15 10 15 6 15 14( )( )( )

SBCD∆ = × × × =15 5 9 1 15 3 )0/5(

S S SABCDABD BCD

= + = +∆ ∆ 24 15 3 )0/5(

12

o BA

P

M N

600

MN AB N A

N AM A BN

||

,

⇒ =

= =

� �

� � � �ÂöId¶ ÂöId¶

2 2

)0/5(

⇒ = =AM BN N AM� � � �, ( )

21

MN OA M AOM|| ⇒ = )0/5(

AOM AM BN� � �Áq¨o¶ = = ⇒ =M AM� � ( )2

( ) ( )1 2 2» ⇒ =M N

APM M N N N N� � � � � �= °= + = + =60 2 3

⇒ = °⇒ = °3 60 20N N )0/5(

⇒ = ° = = °AM BN AM� � �40 40,

AM MN NB� � �+ + = °180

⇒ °+ + ° = °⇒ = °40 40 180 100MN MN )0/5(

عمود PH را بر خط m رسم مي کنیم و PH را به اندازة خودش 13 K نقطة از را ′d آید. خط به دست K نقطة تا مي دهیم ادامه موازي با خط m رسم مي کنیم تا دایره را در نقاط A و B قطع

به PAH′∆

و PAKD

مثلث دو زیرا است، AA′ P وسط کند. حالت دو زاویه و ضلع بین هم نهشت هستند: )0/5(

mm

A

B

P

d

H

A

K

1

2

)0/5(

P P H K PK PH PA PA� � � �1 2 90= = = ° = ⇒ = ′, , )0/25(

′AA است. نقطة دیگر جواب، نقطة B مي باشد. یعني P وسط

)0/25(

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

يادداشت: