1

BÖLÜM-7

7.1 İLERLEYEN DALGALAR

Dalga kavramı titreşim hareketi yapan bir fiziksel niceliğin maddi ortamda veya

boşlukta yayılması olarak tanımlanabilir. Günlük yaşantımızda her zaman

karşılaştığımız su dalgaları, ses dalgaları, ışık dalgaları, radyo dalgaları vardır. Bu

bölümde esnek ortamdaki mekanik dalgalar ve boşlukta yayılan elektromanyetik

dalgalar incelenecektir. Dalga konularını işlerken sık sık karşılaşacağımız bazı

kavramlar ve sınıflamalar aşağıda özetlenmiştir.

Mekanik dalgalar:

Mekanik dalgalar esnek ortamın denge konumu etrafında salınması sonucu oluşur.

Ortamın içinde birbirlerine komşu noktalar arasındaki esneklik kuvvetinden dolayı

etki bir noktadan diğerine aktarılır. Sonuç olarak mekanik dalgalar, maddenin

kendisi yer değiştirmeden, hareketin yer değiştirmesi sonucu oluşurlar ve enerjinin

madde içinde bir noktadan diğerine iletilmesini sağlarlar. Mekanik dalgaların

iletilmesi için maddi bir ortam gereklidir.

Elektromanyetik dalgalar:

Elektromanyetik dalgalar boşlukta ve maddesel ortamda yayılabilirler. Tüm

elektromanyetik dalgalar boşlukta aynı hızla hareket ederler. Elektromanyetik

dalgalarda titreşen fiziksel nicelik birbirine dik elektrik (�� ) ve manyetik (�� ) alan

vektörleridir (Şekil-7.1). İleriki konularda elektromanyetik dalgalara daha

yakından bakacağız.

Şekil-7.1 Elektromanyetik dalganın şematik gösterimi.

2

Dalga hareketini mekanik dalgalar (ip veya teldeki dalgalar, ses dalgaları, su

dalgaları, vb.) ve elektromanyetik dalgalar (ışık dalgaları, mikrodalgalar, radyo

dalgaları vb.) olarak sınıflarken, dalgaların temel fiziksel özellikleri dikkate alındı.

Dalgalar başka özellikleri de dikkate alınarak sınıflandırılmaktadır.

Enine dalgalar:

Eğer dalgayı taşıyan ortam parçacıklarının hareketi, dalganın ilerleme (yayılma)

doğrultusuna dik ise, bu dalgalara enine dalgalar adı verilir. Örneğin, gerilim

altındaki yatay ip bir ucundan titreşebilen esnek metal bir şerit ucuna bağlanır ve

metal şerit titreştirilirse ipte enine dalgalar oluşur ve oluşan dalgalar ip boyunca

ilerler (Şekil-7.2). İp üzerindeki P noktasının yatay konumunun değişmediğine

dikkat ediniz. Daha sonra inceleyeceğimiz elektromanyetik dalgalar da enine

dalgalardır.

Şekil-7.2 Gerilmiş ipte oluşan enine dalgalar.

Boyuna dalgalar:

Eğer mekanik dalgayı taşıyan parçacıkların titreşim doğrultusu dalganın yayılma

doğrultusu ile aynı ise bu dalgalara boyuna dalgalar denir. Örneğin gerilim

altında yatay durumdaki helezon yay, bir ucundan tutulup periyodik olarak ileri-

geri hareket ettirilirse boyuna dalgalar oluşur ve oluşan dalgalar yay boyunca

ilerler (Şekil-7.3). Gaz içindeki ses dalgaları da boyuna dalgalardır.

3

Şekil-7.3 Helezon bir yayda oluşan boyuna dalgalar.

Su dalgaları:

Bazı dalgalar ise, hem enine hem de boyuna hareketlerden oluşur. Örneğin su

yüzeyindeki dalgalarda su parçacıkları, su dalgaları hareket ettikçe ileri-geri ve

yukarı-aşağı (enine ve boyuna) hareket ederek, derin sularda dairesel, sığ sularda

eliptik yörüngeler izlerler (Şekil-7.4). Su bulunduğu noktadaki ileri-geri hareketini

komşu su kütlelerine taşıyarak dalga hareketini oluşturur. Boyuna hareket, kendine

eşlik eden enine hareketi de beraberinde taşır. Şekilde görüldüğü gibi yüzeyden

aşağı inildikçe dalganın etkisinin azaldığına dikkat ediniz. Şekil-7.4’de derin

sulardan kıyıya yaklaşan dalganın davranışı verilmiştir. Su derinliği azaldıkça

dalga boyunun küçüldüğü, dalga yüksekliğinin arttığı görülmektedir. Bu sonuç sığ

sularda dalga hızının daha küçük olması demektir. Şekil-7.4b’de ise kıyıya

yaklaşan bir dalganın kırılmasını gösterir bir resim verilmiştir.

Şekil-7.4 (a) Su dalgalarının derin sulardan kıyıya yaklaşırken davranışı. (b) Derin

sulardan gelen dalganın kıyıya yaklaşırken kırılmasını gösterir bir resim.

Bir, iki ve üç boyutlu dalgalar:

Dalgalar enerji yaydıkları boyutların sayısına göre bir, iki ve üç boyutlu dalgalar

olarak da sınıflandırılırlar. İp ve yay boyunca hareket eden dalgalar tek boyutludur.

4

Havuzdaki durgun suya bir çakıl taşının düşmesi ile suyun yüzeyinde oluşan

dalgalar iki boyutludur (Şekil-7.5). Küçük bir kaynaktan radyal yönde yayılan ses

dalgaları veya ışık dalgaları üç boyutludur.

Şekil-7.5 Suda oluşturulan iki boyutlu dalgalar. Şeklin altında, düz çizgi

boyunca, kağıt düzlemine dik kesitin grafiği verilmiştir.

Periyodik dalgalar:

Bir kaynak eşit zaman aralıkları ile eşit dalgalar üretiyorsa oluşan dalgalara

periyodik dalgalar denir. Eğer ipteki atma hareketi periyodik ise, periyodik dalga

katarı meydana gelir. Dolaysıyla ipteki her bir noktanın hareketi periyodiktir.

Periyodik dalgaların en çok karşılaşılanı, basit harmonik dalgalardır (Şekil-7.6).

Bu ders kapsamında esas olarak periyodik dalgalarla ilgileneceğiz.

Şekil-7.6 BHH’in oluşturduğu periyodik dalgalar.

5

Dalga cephesi ve ışın:

Üç boyutlu bir atma düşünelim. Verilen bir anda aynı etki altında kalan

noktalardan geçen bir yüzey tanımlayabiliriz. Zaman ilerledikçe bu yüzey atmanın

nasıl yayıldığını gösterecek şekilde hareket eder. Periyodik dalgada titreşim

fazının aynı olduğu tüm noktaların birleştirilmesiyle oluşan yüzeylere dalga

cepheleri adı verilir. Bir dalga cephesinin üzerinde tüm noktalarda geçen

dalgaların fazı birbirine eşit olduğu gibi birbirini tekrarlayan dalga cepheleri

üzerindeki fazlar da aynıdır. Bir faz için kendini tekrarlayan dalga cepheleri

arasındaki uzaklık dalganın dalga boyuna eşit olur. Eğer ortam homojen ve

izotropik ise dalganın yayılma yönü daima dalga cephesine diktir. Dalganın

hareket yönünü gösteren ve dalga cephelerine dik olan çizgilere ise ışın adı

verilir. Şekil-7.7a’de şematik olarak dalga cephesi ve ışınlar gösterilmiştir.

Şekil-7.7 Dalga cephesi ve ışınlar.

Düzlem dalgalar:

Eğer etkiler sabit bir yönde yayılıyorsa, oluşan dalgalara düzlem dalgalar denir

yani dalga cepheleri düzlemlerdir (Şekil-7.7b).

Küresel dalgalar:

Diğer basit bir durum küresel dalgalardır. Bu durumda dalga noktasal kaynaktan

çıkarak bütün yönlere yayılır. Dalga cepheleri küre yüzeyleridir. Işınlar noktasal

kaynaktan çıkan radyal yöndeki çizgilerdir (Şekil-7.8).

6

Şekil-7.8. Küresel dalga cephesi ve radyal ışınlar.

7.2 İLERLEYEN DALGLAR VE NORMAL MODLAR

Bir ucu sabit uzun bir ipin diğer ucunun istenilen mod frekansında basit harmonik

hareket yapacak şekilde düşey olarak titreştirilerek belli bir modu elde edilebilir.

Eğer ipin ucu periyodik olarak titreştirilirse oluşan dalga 𝑥 ‘in sinüzodial bir

fonksiyonu şeklinde davranır (Şekil-7.9).

Şekil-7.9 Uzun bir ip üzerinde ilerleyen dalganın meydana getirilmesi.

Bu dalga ipin bağlı ucuna (𝑥 = 𝐿) ulaştığı zaman yansıma olayı ortaya çıkar ve

ipin üzerindeki herhangi bir noktanın hareketi iki zıt yönde hareket eden dalgaların

bileşkesi şeklinde olur. Yansıyan dalga dışarıdan titreştirilen uca ulaştığı zaman,

eğer frekans (𝑓), ipin uzunluğu (𝐿), ipin birim uzunluk başına kütlesi () ve ipteki

gerilme (𝑇) uygun ilişki içinde olurlarsa ip üzerinde tam olarak istenilen modda bir

duran dalga oluşur. Bundan sonra ip bir normal mod karakteristiğinde titreşmeye

devam eder. Yani her bir nokta BHH yaparak enine titreşir ve belli düğüm

noktaları sürekli olarak durgunluğunu muhafaza eder. Şekil-7.10'da dört kararlı

mod için şematik çizim ve deneysel fotoğraflar verilmiştir. Buna benzer bir deneyi

Fizik Lab-I dersinde yaptığınızı hatırlayınız.

7

Şekil-7.10 Gerilmiş bir ipte ilk dört modun şekli. (a) Şematik çizim ve (b)

deneysel fotoğraflar. Burada N düğüm (node) ve A karın (anti node) noktalarını

göstermektedir.

Gerilmiş bir ipin normal modlarının analizi daha önceki konularda verilmişti. Her

iki ucu bağlı 𝐿 uzunluğundaki bir ipin, sonsuz sayıda normal moda sahip

olabileceğini ve n’inci modun

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋𝑥

𝐿) 𝑐𝑜𝑠 ω𝑛𝑡 (7.1)

ifadesi ile verilebileceğini görmüştük. Burada

ω𝑛 =𝑛𝜋𝑣

𝐿=𝑛𝜋

𝐿(𝑇

𝜇)12⁄ 𝑛 = 1,2,3. .. (7.2)

n’inci modun frekansı, T ipteki gerilim kuvveti, 𝜇 ipin boyca kütle yoğunluğu

olduğunu tekrar hatırlatalım.

Şimdi Eşitlik-7.1)’i değişik bir biçime ifade etmek için

sin(𝐴 + 𝐵) + sin(𝐴 − 𝐵) = 2𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵)+(𝐴−𝐵)

2𝑐𝑜𝑠

(𝐴+𝐵)−(𝐴−𝐵)

2= 2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 (7.3)

trigonometrik özdeşliğinden yararlanacağız. Bu özdeşlik kullanılarak 𝑦𝑛(𝑥, 𝑡)’i

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋𝑥

𝐿) 𝑐𝑜𝑠ω𝑛𝑡 =

1

2𝐴𝑛 [𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋𝑥

𝐿− 𝜔𝑛𝑡) + 𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋𝑥

𝐿+ 𝜔𝑛𝑡)]

(7.4)

8

şeklinde yazabiliriz. Böylece iki ucu bağlı ipin enine titreşimlerinin n’inci modu

için

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) =1

2𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋𝑥

𝐿− ω𝑛𝑡) +

1

2𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋𝑥

𝐿+ω𝑛𝑡) (7.5)

yazabiliriz. Burada 𝜔𝑛 yerine (7.2)’de verilen ifade kullanılırsa n’inci mod için

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) =1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

𝑛𝜋

𝐿(𝑥 − √

𝑇

µ𝑡)] +

1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

𝑛𝜋

𝐿(𝑥 + √

𝑇

µ𝑡)] (7.6)

ifadesi elde edilir. Dalganın ilerleme (yayılma) hızı için 𝑣 = √𝑇

µ ifadesinin geçerli

olduğunu biliyoruz. Bunu (7.6) ifadesinde kullanılırsak

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) =1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

𝑛𝜋

𝐿(𝑥 − 𝑣𝑡)] +

1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

𝑛𝜋

𝐿(𝑥 + 𝑣𝑡)] (7.7)

yazılabilir. İki ucu bağlı bir ip üzerinde oluşan n’inci mod için 𝜆𝑛 = 2𝐿/𝑛 veya

𝐿 =𝑛𝜆𝑛

2 olduğunu hatırlayalım. Bu değer 7.7 ifadesine yerine konulursa

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) =1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

𝜆𝑛(𝑥 − 𝑣𝑡)]

⏟ 𝑦𝐼(𝑥,𝑡)

+1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

𝜆𝑛(𝑥 + 𝑣𝑡)]

⏟ 𝑦𝐼𝐼(𝑥,𝑡)

(7.8)

elde edilir. Bu ifade, 𝑥 ekseni üzerinde zıt yönlerde ilerleyen iki sinüs dalgasının

toplamını ifade eder. Bu ifadede sağdaki birinci terimi ele alalım:

𝑦𝐼(𝑥, 𝑡) =1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

𝜆𝑛(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.9)

Bu fonksiyon maksimumlar arası 𝜆𝑛 (=dalga boyu) olan ve soldan sağa doğru

ilerleyen bir sinüs dalgasıdır. Şimdi 𝑥 ve 𝑡 ’nin belli değerlerine karşılık gelen

𝑦’nin herhangi bir değerine dikkatimizi yoğunlaştıralım. 𝑡’den kısa bir süre sonra

(∆𝑡) 𝑦’nin aynı değeri nerede alabileceğine bakalım. Yaklaşık yer değiştirme ∆𝑥

ise

𝑦𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝐼(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) (7.10)

olmalıdır (Şekil-7.11).

9

Şekil-7.11. Pozitif x yönünde ilerleyen dalganın 𝑡 ve 𝑡 + ∆𝑡 anındaki görüntüsü

Bu durumda Denklem (7.9)’den

𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

𝜆𝑛(𝑥 − 𝑣𝑡)] = 𝑠𝑖𝑛 (

2𝜋

𝜆𝑛[(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑣(𝑡 + ∆𝑡)]) = 𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

𝜆𝑛(𝑥 − 𝑣𝑡) +

2𝜋

𝜆𝑛(∆𝑥 − 𝑣∆𝑡)]

(7.11)

yazılır. Bu eşitliğin olabilmesi için

∆𝑥 − 𝑣∆𝑡 = 0 (7.12)

olmalıdır. Buradan

𝑣 =∆𝑥

∆𝑡 (7.13)

yazabiliriz. Bu ifade bize, Şekil-7.11’de görüldüğü gibi Denklem (7.8)’in sağ

tarafındaki birinci terimin pozitif 𝑥 yönünde 𝑣 hızı ile hareket eden bir dalgayı

temsil ettiğini gösterir.

Benzer şekilde ikinci terim ise

𝑦𝐼𝐼(𝑥, 𝑡) =1

2𝐴𝑛𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

𝜆𝑛(𝑥 + 𝑣𝑡)] (7.14)

negatif 𝑥 yönünde 𝑣 hızı ile hareket eden bir dalgaya karşılık gelir.

7.3 BİR YÖNDE İLERLEYEN DALGALAR

Bundan önceki kesimde iki ucundan bağlı gerilmiş bir ipin titreşimlerinin bir

normal modunun, hareket yönleri zıt olmak üzere, birbirinin tamamen aynısı olan

iki ilerleyen sinüs dalgasının basit toplamı olarak verildiğini gördük.

10

Şimdi bir ucu sabit ve toplam uzunluğu dalga boyuna göre oldukça büyük olan

(𝐿 ≫ 𝜆) gerilmiş bir ipi göz önüne alalım. İpin uzun seçilmesinin nedeni bağlı

uçtan yansıma etkisi başlamadan yeterince gözlem zamanı sağlamaktır.

𝑥 = 0 noktasından itibaren sağa doğru ilerleyen dalga,

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.15)

ifadesiyle verilir. Bu dalganın meydana getirilmesi belli bir 𝑓 frekansı ve 𝐴 genliği

ile ipin sol ucunun ( 𝑥 = 0 noktası) BHH yapacak şekilde aşağı-yukarı

titreştirilmesiyle olur.

Herhangi bir anda (𝑡 = 𝑡0) ipin görünümü

𝑦(𝑥, 𝑡0) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡0)] = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋𝑥

λ− 𝜑0] (7.16)

ifadesine uyar. Burada 𝜑0 =2𝜋𝑣𝑡0

𝜆 dalganın bir anlık görünümünü belirleme

amacına yönelik sabit bir açıdır.

İpin 𝑥 = 0 ’daki ucu 𝑡 = 𝑡1 anına kadar durgun, 𝑡 = 𝑡1 ile 𝑡 = 𝑡2 arasında

sinüzoidal olarak titreşip, 𝑡 = 𝑡2 anından sonra yeniden durgun kalması

durumunda ipin görünümü 𝑥 = 𝑥1 ve 𝑥 = 𝑥2 noktaları arasında sınırlandırılmış bir

sinüs dalga katarı şeklinde olacaktır (Şekil-7.12).

Şekil-7.12. Belli bir bölgeye sıkışmış dalga katarı.

İp üzerinde 𝑥 = 0 noktasından çok uzaklarda dalga katarının ön ucu 𝑡 = 𝑡1 ’de

titreşime başlaması, dalga katarının arka ucu 𝑡 = 𝑡2 ’de titreşimin bitmesine

karşılık gelir. Böylece

𝑥1 − 𝑥2 = 𝑣(𝑡2 − 𝑡1) (7.17)

ifadesi yazılabilir. Bu durum, dalganın yayılması ile ilgili oldukça önemli bir

sonucu göstermektedir: Sabit v hızı ile ip boyunca dalganın yayılması, belli bir

11

noktadaki uzanımdaki değişimin, göz önüne alınan herhangi bir zaman aralığında

başka bir noktaya taşınması anlamına gelir.

Dalga hareket ettikçe, ip üzerindeki her nokta denge konumu etrafında BHH

yaparak aşağı-yukarı salınır. Bir sinüzoidal dalga bir ortamdan geçerken,

ortamdaki her parçacık aynı frekansla basit harmonik hareket yapar. Bu durumda

+x ekseni yönünde v hızı ile ilerleyen dalga boyuna sahip bir dalga fonksiyonu

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − ω𝑡) (7.18)

ifadesi ile verilir.

Burada 𝑘𝑥 − ω𝑡 niceliği faz olarak adlandırılır. Bu nicelik (7-8) denkleminde

açısal bir rol oynar ve her zaman radyan cinsinden ölçülür. Herhangi bir x ve t için

değeri, o nokta ve anda sinüzoidal periyodun hangi kısmının gerçekleştiğini

belirler.

7.4 DALGA VE PARÇACIK HAREKETİ

Enine dalganın ip boyunca hareketi ile ip üzerindeki bir parçacığın enine

hareketinin arasındaki farka dikkat ediniz. Parçacığın hareketi ipin doğrultusuna

dik (enine) iken, dalga sabit v hızıyla ipin doğrultusunda hareket eder. Bir tam

dalga deseninin boyu, bir tepe ile bir sonraki tepe veya bir çukur ile sonraki çukur

ya da herhangi bir nokta ile bir tur sonra o noktaya denk gelen nokta arasındaki

uzaklıktır. Başka bir deyişle ardışık aynı fazlı noktalar arası uzaklıktır. Bu uzaklığa

dalga boyu denir ve ile gösterilir. Dalga deseni (ortam değişmediği sürece) sabit

𝑣 hızı ile hareket eder ve bir periyotluk (𝑇) zamanda bir dalga boyu () kadar

ilerler. Buna göre dalganın ilerleme hızı 𝑣 = 𝜆/𝑇 veya 𝑓 = 1/𝑇 olduğu için

𝑣 = 𝜆𝑓 (7.19)

dir. Yani dalganın ilerleme hızı dalga boyu ve frekansın çarpımına eşittir. Frekans

periyodik dalganın tümünün bir özelliğidir çünkü ipin tüm noktaları aynı frekansla

salınır. Dalga hızı ortamdan ortama değişir ve o ortamın özellikleri tarafından

12

belirlenir. Daha sonraki kesimlerde dalga hızının frekansa bağlı olduğu durumlara

da değineceğiz.

7.5 DALGA DENKLEMİ

Şimdi 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

𝜆(𝑥 − 𝑣𝑡)] ifadesi ile verilen bir boyutta ilerleyen

dalganın diferansiyel denklemini yazalım. Bu diferansiyel denklem, 𝑡 ve 𝑥’e göre

𝑦 yer değiştirmesinin kısmi türevleri arasında bir ilişki olacaktır. Bir yönde

ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinden,

𝜕𝑦

𝜕𝑥=2𝜋

λ𝐴𝑐𝑜𝑠 [

2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] ve

𝜕𝑦

𝜕𝑡= −

2𝜋𝑣

λ𝐴𝑐𝑜𝑠 [

2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.20)

ifadeleri elde edilir. Bu dalganın diferansiyel denklemini,

𝜕𝑦

𝜕𝑥= −

1

𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑡 (7.21)

şeklinde yazabilirmiyiz? Bunu yazmamızı engelleyen herhangi bir neden yoktur.

Fakat yazılan ifade sadece pozitif x yönünde ilerleyen dalgalara uygulanabilir.

Negatif x-ekseni yönünde ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinin,

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 + 𝑣𝑡)] (7.22)

şeklinde olduğunu biliyoruz. Bu ifadenin x ve t’ye göre birinci türevi alınırsa

𝜕𝑦

𝜕𝑥=2𝜋

λ𝐴𝑐𝑜𝑠 [

2𝜋

λ(𝑥 + 𝑣𝑡)] ve

𝜕𝑦

𝜕𝑡=2𝜋𝑣

λ𝐴𝑐𝑜𝑠 [

2𝜋

λ(𝑥 + 𝑣𝑡)] (7.23)

elde edilir. Bu durumda diferansiyel denklem

𝜕𝑦

𝜕𝑥=1

𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑡 (7.24)

olacaktır. İki yön için elde edilen denklemler birbirinden işaret olarak farklıdır.

Şimdi her iki yönde ilerleyen dalgaların 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2 ve

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2 türevlerini hesaplarsak,

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= −(

2𝜋

λ)2

𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] ve

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= −(

2𝜋

λ)2

𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 + 𝑣𝑡)] (7.25)

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2= −(

2𝜋𝑣

λ)2

𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] ve

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2= −(

2𝜋𝑣

λ)2

𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ(𝑥 + 𝑣𝑡)] (7.26)

elde ederiz. Bunları karşılaştırırsak

13

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝑦

𝜕𝑡2 (7.27)

sonucunu elde ederiz. Bu sonuç herhangi bir yönde hareket eden, herhangi bir

dalga boyuna sahip sinüs dalgası için geçerli olan diferansiyel denklemdir. Bu

ifadenin, 6. Bölümde incelenen gerilmiş ip ya da lineer geri çağırıcı kuvvetlere

maruz kalan bir boyutta sürekli sistemlerin normal modlarını bulmamıza yarayan

hareket denklemi ile aynı olduğuna dikkat ediniz.

Denklem (7.27) sadece enine dalgalar göz önüne alınarak elde edildi. Benzer

şekilde elastik bir çubuk boyunca ilerleyen boyuna dalgalar için ise

𝜕2ξ

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2ξ

𝜕𝑡2 (7.28)

denklemini yazabiliriz.

İleriki konularada elektromanyetik dalgaların da aynı formda diferansiyel

denklemlerle ifade edileceklerini göreceğiz.

NOT:

+x yönünde ilerleyen dalgayı 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑐𝑜𝑠 [2𝜋

λ(𝑥 − 𝑣𝑡)] fonksiyonu ile

veya kompleks üstel fonksiyon kullanarak 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑒𝑖[2𝜋

λ(𝑥−𝑣𝑡)]

şeklinde

temsil edebiliriz.

–x yönünde ilerleyen dalgayı ise 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑐𝑜𝑠 [2𝜋

λ(𝑥 + 𝑣𝑡)] fonksiyonu

ile veya kompleks üstel fonksiyon kullanarak 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑒𝑖[2𝜋

λ(𝑥+𝑣𝑡)]

şeklinde de temsil edebiliriz.

7.6 ÖZEL ORTAMLARDA DALGA HIZLARININ HESAPLANMASI

7.6.1 Gerilmiş ipte (ya da telde) dalga hızı

a) Boyca kütle yoğunluğu µ = 0,5 𝑔/𝑚 olan ipin 𝑇 = 100 𝑁’luk bir

kuvvetle gerildiğini farz edelim. Böyle bir ipte dalga hızı

𝑣 = √ 𝑇/𝜇

14

bağıntısı ile verildiğini biliyoruz. Verilen sayısal değerleri kullanarak hız değeri

için

𝑣 = √ 𝑇

µ = √

100

0,5𝑥10−3≅ 447 𝑚/𝑠

elde edilir.

b) Eğer µ = 1 𝑘𝑔/𝑚 olan bir halat aynı değerde bir kuvvetle gerilirse hız

değeri

𝑣 = 10 𝑚/𝑠

olur. Halat kalınlığı (boyca kütle yoğunluğu) arttıkça hız değerinin küçüldüğüne

dikkat ediniz.

7.6.2 Katı çubuklarda boyuna dalga hızı

Bir çubuğun uzunluğu boyunca hareket eden dalgaların 𝑣 hızı, Young modülü (Y)

ve çubuğun yoğunluğu (𝜌) cinsinden

𝑣 = √𝑌

𝜌

ifadesi ile verilir. Aşağıdaki çizelgede bazı katı maddelerin Young modülü,

yoğunluğu ve deneysel ve teorik dalga hızları verilmiştir.

Tablo 7.1. Bazı maddelerin Young modülleri ve bu maddeler içinde ses hızları.

Madde 𝑌 (N/m2) (kg/m3) 𝑣 = √𝑌/𝜌 (m/s) 𝑣(m/s) (Deneysel)

Alüminyum 6x1010 2,7x103 4700 5100

Granit 5x1010 2,7x103 4300 5000

Kurşun 1,6x1010 11,4x103 1190 1320

Nikel 21,4x1010 8,9x103 4900 4970

Pyrex 6,1x1010 2,25x103 5200 5500

Gümüş 7,5x1010 10,4x103 2680 2680

7.6.3 Sıvı dolu borularda ses hızı

Bir sıvının elastik özelliği, gazlarda olduğu gibi, hacim modülü B ile karakterize

edilir. katılara göre daha fazla sıkışabilirler (yoğunlukları çok küçük olduğu

sürece). Bu nedenle sıvılarda ses hızı katılardakine göre daha düşüktür. Suyun

15

hacmi, 500 atm’lik ( 1 𝑎𝑡𝑚 ≅ 105 𝑁/𝑚2) bir basıncın uygulanmasıyla %2,3

civarında azalır. Bu değerler kullanılırsa hacim modülü için.

𝐵 =𝑃

∆𝑉/𝑉=

500x105

0,023𝑉/𝑉=500

23x108

𝑁

𝑚2= 2,2x109 Pascal (kısaca Pa)

değeri bulunur. Suyun yoğunluğu 𝜌 ≅ 103 𝑘𝑔/𝑚3 dir. Bu durumda su içinde ses

dalgasının hızı,

𝑣 = √ 𝐵

𝜌 = √

2,2x109

103≅ 1483 𝑚/𝑠

olarak elde edilir.Fizik Lab. III dersinde sıvılarda ses hızı ölçümü yapacaksınız.

7.6.4 Gaz ile dolu borularda ses hızı

Gazlarda ses hızının

𝑣 = √𝛾𝑃

𝜌

ile verildiğini daha önce tartışmıştık. Burada 𝛾 = 𝐶𝑝 𝐶𝑉⁄ olup tek atomlu gazlar

için 1,67; iki atomlu gazlar için 1,40 olduğunu biliyoruz. Hava yaklaşık iki atomlu

gazlardan oluşmuştur. Havanın yoğunluğu 𝜌ℎ𝑎𝑣𝑎 ≅ 1,2𝑘𝑔

𝑚3 ve basıncı

𝑃 = 1 𝑎𝑡𝑚 ≅ 105 𝑁

𝑚2 alınabilir. Bu durumda havada ses hızı için

𝑣 = √𝛾𝑃

𝜌= √

1,40𝑥1𝑥105

1,2≅ 341 𝑚/𝑠

sonucunu elde ederiz.

İdeal gazlarda ses hızı için

𝑣 = √𝛾𝑅𝑇

𝑀

ifadesinin kullanıldığını biliyoruz. Örneğin hava için oda sıcaklığında

(𝑇 = 20 ℃ = 293 𝐾) ses hızı için

𝑣 = √1,4x8,314x293

0,03895≅ 343 𝑚/𝑠

elde ederiz. Burada 𝛾 = 𝐶𝑝 𝐶𝑉⁄ ≅ 1,40, 𝑅 = 8,314 J/mol. K ve

𝑀 = 0,03895 kg/mol alınmıştır.

16

7.7 ÜST ÜSTE GELME (Süperpozisyon)

Şimdi herhangi bir ortamda üst üste gelmiş iki dalganın durumunu inceleyelim.

Bunun için önce genlikleri eşit ve dalga boyları az farklı iki dalganın her ikisinin

de pozitif 𝑥 yönünde hareket ettikleri oldukça basit bir durumu göz önüne alalım.

Bu dalgaların,

𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ1(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.29a)

𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ2(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.29b)

ifadeleri ile tanımlanabildiğini biliyoruz. Bu iki dalganın toplamı bileşke yer

değiştirmeyi verecektir. Böylece,

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ1(𝑥 − 𝑣𝑡)] + 𝐴𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

λ2(𝑥 − 𝑣𝑡)] (7.30)

elde edilir. Her iki dalga aynı 𝑣 hızında olduğu için bileşke dalga da 𝑣 hızı ile

hareket eder.

Üst üste gelmenin şekli t = 0 alınarak rahat bir şekilde görülebilir. Bu durumda

𝑦(𝑥, 0) = 𝐴 [𝑠𝑖𝑛 (2𝜋𝑥

λ1) + 𝑠𝑖𝑛 (

2𝜋𝑥

λ2)] (7.31)

yazılabilir.

Böyle üst üste gelmiş dalgalarla ilgili çalışmalarda dalga boyunun tersine karşılık

gelen ve dalga sayısı olarak adlandırılan 𝑘 (=2𝜋

𝜆) niceliğini kullanmak uygun

olmaktadır. Bazı kitaplarda 𝑘 =2𝜋

𝜆 niceliği açısal dalga sayısı (angular wave

number veya circular wave number) olarak adlandırılmaktadır. Bu tanımlamada k,

2𝜋 uzunluğunda (m cinsinden) kaç tane dalga boyu olacağını söyler (Tam sayı

olması gerekmez). Dalga sayısının birimi rad/m olarak alınır (Bazı kitaplarda

dalga sayısının birimi m-1 olarak alınmaktadır).

17

ÖNEMLİ NOT:

French’in kitabında dalga sayısı 𝑘 =1

𝜆 şeklinde tanımlıdır. Çoğu kitapta dalga

sayısı

𝑘 =2𝜋

𝜆 (7.32)

şeklinde tanımlanmıştır. Biz bu ders kapsamında yaygın kullanım olan 𝑘 =2𝜋

𝜆

tanımlamasını tercih edeceğiz.

Bu durumda (7.31) denklemi

𝑦(𝑥, 0) = 𝐴[𝑠𝑖𝑛𝑘1𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑘2𝑥] (7.33)

şeklinde yazılabilir. Bu bağıntı trigonometrik özdeşlik kullanılarak,

𝑦 (𝑥, 0) = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘1−𝑘2

2𝑥)⏟

𝑚𝑜𝑑ü𝑙𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑧𝑎𝑟𝑓𝚤

𝑠𝑖𝑛 (𝑘1+𝑘2

2𝑥) (7.34)

şeklinde ifade edilebilir. Şekil-7.13’de genlikleri aynı, frekansları birbirine çok

yakın iki dalga (y1(x,0) ve y2(x,0)) ve bunların toplamı (y(x,0)=y1(x,0)+y2(x,0))

gösterilmiştir.

Şekil-7.13 Genlikleri aynı, frekansları birbirine yakın iki dalganın üst üste gelmesi.

Eşitlik-7.30’u tekrara yazalım,

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 [2𝜋

λ1(𝑥 − 𝑣𝑡)] + 𝐴𝑠𝑖𝑛 [

2𝜋

λ2(𝑥 − 𝑣𝑡)]

Bu ifadenin 𝑥 = 0’daki değeri için

𝑦(0, 𝑡) = −𝐴 [𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑣𝑡

λ1+ 𝑠𝑖𝑛

2𝜋𝑣𝑡

λ2] (7.35)

18

yazabiliriz. Burada 𝜔1 =2𝜋𝑣

𝜆1 ve 𝜔2 =

2𝜋𝑣

𝜆2 titreşimlerin açısal frekansıdır. Bu ifade

𝑦(0, 𝑡) = −𝐴[𝑠𝑖𝑛𝜔1𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝜔2𝑡] = −2𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔1 −𝜔2

2𝑡𝑠𝑖𝑛

𝜔1 +𝜔2

2𝑡 (7.36)

şeklinde yazılabilir. Bu sonuç açıkça vuru olayını temsil eder. Kaynak, ortamda

konuma bağlı bir bozulma yaratırken (Eşitlik-7.34’ye bakınız.), burada zamana

bağlı bir bozulma elde edilir.

Bu örnekteki dalgaları ses dalgası gibi düşünebiliriz. Bu durumda genlik

değişimleri ritim (vuru) denen ses gücünde değişimlere neden olur. Ses gücünün

değişim frekansına ritim frekansı denir. Ritim frekansı birkaç Hz ise onu ses

tonunda duraklama veya vuruş gibi duyarız.

7.8 DALGA ATMASI (Puls)

Kısa süreli tek bir dalgaya atma (puls) denir (Türkçe kaynaklarda “puls”

sözcüğünün karşılığı olarak “atım” veya ”atma” kullanılmaktadır). Tek bir atma

Şekil-7.14'daki gibi elin yukarı-aşağı hızlı bir hareketi ile gerilmiş bir ip üzerinde

oluşturulabilir.

Şekil-7.14 Gerilmiş ip üzerinde bir dalga atması.

El bir uçtan ipi yukarı doğru hızla çekerse son bölüm komşu bölümlere iliştirilmiş

olduğundan bunlar da yukarı doğru bir kuvvet hisseder ve yükselme hareketine

başlarlar. İpin birbirini izleyen bölümleri yükselirken dalga tepesi ip boyunca

dışarıya doğru hareket eder. Bu esnada ipin ucu elle başlangıç pozisyonuna geri

döndürülmüştür. İpin peş peşe tepe pozisyonuna ulaşan bölümleri bitişik

bölümlerden gelen gerilmeyle tekrar aşağı doğru çekilir. Dolaysıyla, ilerleyen bir

dalga atması oluşur. Atmanın hızı hareketi süresince sabittir. Böylece herhangi bir

19

anda ip üzerinde sadece sınırlı bir bölgede bozulma vardır. Bu bölgenin önü ve

arkası hareketsizdir. Eğer atma hareketini bozacak bir engele rastlamamış ise

hareketi süresince şeklini korur. Bir atma çok sayıda frekans içerebilir. Burada bu

konuya girmeyeceğiz.

Durgun bir suya düşen bir damlanın oluşturduğu atma da benzer şekilde oluşur ve

ilerler (Şekil-7.15).

Şekil-7.15 Durgun suya düşen bir damlanın yarattığı atmanın yayılması.

7.8.1 Sabit şekle sahip dalga atmalarının hareketi

Sabit bir şekle sahip bir atmanın soldan sağa doğru hareket ettiğini farz edelim.

Burada ilerleyen bir dalga atmasını temsil etmek için Şekil-7.16’deki gibi bir

Gaussian fonksiyonu seçeceğiz (Siz başka bir fonksiyon seçebilirsiniz).

Şekil-7.16 Gaussian fonksiyon şeklinde dalga pulsu.

Gaussian fonsiyonu

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑒− 𝑥2

𝑎2 (7.37)

şeklinde yazılabilir. Burada 𝐴, Gaussian fonksiyonunun yüksekliği, 𝑎 ise

genişliğinin ölçüsüdür. Şekil-7.16’daki iki Gaussian’nın biçimi de aynıdır ancak

20

sağdaki Gaussian x-ekseninde b kadar daha sağdadır Başka bir deyişle 𝑥 yerine

(𝑥 − 𝑏) aldığımızda Gaussian fonksiyonu 𝑏 kadar sağa doğru ilerlemiş olur.

Şimdi 𝑥 değişkenini 𝑥 − 𝑣𝑡 ile değiştirelim. Burada 𝑡 zaman 𝑣 ise bir sabit olsun.

Bu durumda

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒−(𝑥−𝑣𝑡)2 𝑎2⁄ (7.38)

yazabiliriz. Bu fonksiyon Gaussian şeklinde bir atmanın sağa doğru 𝑣 hızı ile

hareketini temsil eder (Şekil-7.17).

Şekil-7.17 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒− (𝑥−𝑣𝑡)2 𝑎2⁄ Gaussian fonksiyonunun 𝑥 ’e göre

değişiminin farklı zamanlarda çizimi. Zaman aralığı 𝛿𝑡 dir.

Şimdi 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) fonksiyonu ile tanımlı +x yönünde ilerleyen bir dalga atması

düşünelim. Bu fonksiyonun 𝑡 = 0 anındaki değeri 𝑓(𝑥) dir. Şekil-7.18'de 𝑓(𝑥 −

𝑣𝑡) fonksiyonun 𝑡 = 0 ve 𝑡 = 𝑡 anındaki çizimi verilmiştir.

Şekil-7.18 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) dalga fonksiyonu ile tanımlanan sağa doğru (+x

yönünde) ilerleyen dalga. (a) 𝑡 = 0 anında, (b) 𝑡 = 𝑡 anında.

21

𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) fonksiyonu ile tanımlı dalga atması sağa doğru 𝑣 hızı ile, ilk biçimini

koruyarak, ilerlemektedir. Bu özellik dalgalar için önemli bir karakteristiktir, yani

dalga biçimini koruyarak ilerler.

Sola doğru (-x yönünde) ilerleyen bir dalgayı ise 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) fonksiyonu ile temsil

edebiliriz. Bu fonksiyonun 𝑡 = 0 anındaki değeri 𝑔(𝑥) dir. Şekil-7.19 'de 𝑔(𝑥 +

𝑣𝑡) fonksiyonun 𝑡 = 0 ve 𝑡 = 𝑡 anındaki çizimi verilmiştir.

Şekil-7.19 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) dalga fonksiyonu ile tanımlanan sola doğru (-x

yönünde) ilerleyen dalga. (a) 𝑡 = 0 anında, (b) 𝑡 = 𝑡 anında.

İp üzerinde soldan-sağa ve sağdan-sola ilerleyen iki dalga varsa ipin şeklini

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) (7.39)

fonksiyonu ile tanımlamak mümkündür.

Şimdi

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) (7.40)

ifadesini yeniden ele alalım ve bu fonksiyonun dalga denklemini sağladığını

gösterelim.

Burada 𝑥 − 𝑣𝑡 = 𝑢 diyerek aşağıdaki türevleri yazmak mümkündür:

𝜕𝑓

𝜕𝑥=𝑑𝑓

𝑑𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥 (7.41a)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

𝑑2𝑓

𝑑𝑢2(𝜕𝑢

𝜕𝑥) (

𝜕𝑢

𝜕𝑥) +

𝑑𝑓

𝑑𝑢(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2) =

𝑑2𝑓

𝑑𝑢2(𝜕𝑢

𝜕𝑥)2+𝑑𝑓

𝑑𝑢(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2) (7.41b)

Burada

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 1 ve

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0 (7.41c)

olduğundan

22

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

𝑑2𝑓

𝑑𝑢2 (7.42)

yazılır. Benzer şekilde

𝜕𝑓

𝜕𝑡=𝑑𝑓

𝑑𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑡 (7.43a)

𝜕2𝑓

𝜕𝑡2=

𝑑2𝑓

𝑑𝑢2(𝜕𝑢

𝜕𝑡)2+𝑑𝑓

𝑑𝑢(𝜕2𝑢

𝜕𝑡2) (7.43b)

Burada 𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑣 ve

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 0 olduğundan

𝜕2𝑓

𝜕𝑡2= 𝑣2

𝑑2𝑓

𝑑𝑢2 (7.44)

yazabiliriz. Burada (7.42) ve (7.44) eşitliklerinden

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝑓

𝜕𝑡2 (7.45)

yazabiliriz.

Benzer işlemleri 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) fonksiyonu için de yaparsak

𝜕2𝑔

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝑔

𝜕𝑡2 (7.46)

sonucunu elde ederiz. (7.45) ve (7.46) denklemlerinden

𝜕2(𝑓+𝑔)

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2(𝑓+𝑔)

𝜕𝑡2 (7.47)

yazabiliriz. 𝑦 = 𝑓 + 𝑔 olduğuna göre

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝑦

𝜕𝑡2 (7.48)

yazabiliriz. Bu sonuç 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡) fonksiyonunun da dalga

denkleminin bir çözümü olduğunu söyler.

7.8.2 Dalga atmalarının üst üste gelmesi (Süperpozisyon)

Bir ortamda zıt yönde hareket eden dalga atmaları karşılaştıktan sonra birbirlerini

geçerek hareketlerine devam ederler. Bu olay bir üst üste gelme (süperpozisyon)

olayıdır. Şekil-7.20'de bir ip üzerinde zıt yönde ilerleyen iki dalga atmasının

davranışları şematik ve deneysel olarak gösterilmiştir.

Şekil-7.20a’da biçimleri farklı ancak pozitif işaretli iki dalga atması birbirlerini

geçerken genlikler toplanarak artmış ve daha sonra dalga atmaları ilk biçimlerini

koruyarak yollarına devam etmişlerdir. Şekil-7.20b’de ise biçimleri farklı iki zıt

23

işaretli dalga atması birbirlerini geçerken bir anda ip üzerinde iki atmanın

genlikleri toplanarak azalmış gibi davranmış ve daha sonra dalga atmaları ilk

biçimlerini koruyarak yollarına devam etmişlerdir. Bu süreçte sanki dalga atmaları

hafızalarındaki bilgileri korumuş gibi davranmışlardır. Atmalar birbirlerinin

içinden geçerken enine yer değiştirmeler birbirlerinin etkilerini azaltır veya

arttırırken enine hızlar toplanır. Bu anda sistemin tüm enerjisi bu hızlardan

kaynaklanan kinetik enerjidir.

Şekil-7.20 (a) Biçimleri farklı pozitif işaretli iki dalga atmasının üst üste gelmesi;

(b) Biçimleri farklı zıt işaretli iki dalga atmasının üst üste gelmesi. Üsten aşağı

doğru ardışık zamanlardaki görüntüler verilmiştir.

7.9 DAĞILMA (Dispersiyon)

Bazı sürekli ortamlarda sinüzoidal dalganın hızı frekansa bağlıdır. Hızın frekansla

değişimi dağılma (dispersiyon) olarak adlandırılır. Bazı kitaplarda dağılım

sözcüğü de kullanılmaktadır. Bir kompleks dalganın bileşiminde bulunan farklı

sinüzoidal dalgalar biraz farklı hızlarla hareket ederler. Bunun sonucu olarak,

kompleks bir dalga, içinde hareket ettiği dağıtıcı (dispersif) ortamda şekil

değiştirir. Fakat korunumlu olmayan kuvvetler (sürtünme gibi) yoksa saf bir sinüs

dalgası şekil değiştirmez.

24

Genelde bir ip üzerindeki dalgalarda, kısa dalga boylu (yüksek frekanslı) saf

sinüzoidal dalgalar, uzun dalga boylu dalgalara nazaran, daha küçük hızlarda

hareket ederler. Bu durum dağılma (dispersiyon) olayına bir örnektir.

Dağılma olayı görünür bölgedeki elektromanyetik dalgalarda da gözlemlenir.

Işığın boşluktaki hızı tüm dalga boyları için aynı olmasına rağmen, her dalga boyu

saydam bir madde içinde farklı hıza sahiptir. Örneğin cam içindeki kırmızı ışığın

hızı, mavi ışığın hızından daha büyüktür. Bu nedenle bir maddenin kırılma indisi

dalga boyuna bağlı olur. Dalga hızının ve kırılma indisinin dalga boyuna göre

değişmesi dağılma olayına tipik bir örnektir. Bir beyaz ışığın bir prizmadan geçtiği

zaman değişik renklere ayrıldığını biliyoruz (Şekil-7.21). Şekildeki renk bantlarına

spektrum denir. Fizik Lab-III dersinde bu deneyi yapacaksınız.

Şekil-7.21 Beyaz ışığın cam prizmadan geçerken dağılması.

Şekil-7.22’de bir camın (N-BK7) kırılma indisinin dalga boyuna bağlı değişimi

verilmiştir. Bu grafiğe göre dalga boyu arttıkça kırma indisi (𝑛) azalır. Kırılma

indisinin (𝑛) azalması hızın (𝑣) artması ile mümkündür. Yani dalga boyu arttıkça

hız da artmaktadır. Bu nedenle kırmızı ışığın cam içindeki hızı, mavi ışığınkinden

büyük olacaktır (Şekil-7.21).

25

Şekil-7.22 N-BK7 camının kırma indisinin dalga boyuna bağlı değişimi.

Bir maddenin kırılma indisi (n) optikte çok önemli bir rol oynar. Tanım olarak

kırılma indisi, ışığın boşluktaki hızının (c) söz konusu madde içindeki hızına (v)

oranıdır:

𝑛 =𝑐

𝑣 (7.49)

Işık madde içinde her zaman boşluktakinden daha yavaş ilerler, dolaysıyla boşluk

haricinde her maddenin kırılma indisi birden büyüktür (n>1). Kırılma indisi iki

hızın oranı olduğundan birimi yoktur. Bir malzemedeki kırılma indisi ne kadar

büyük olursa dalga hızı o kadar küçük olacaktır. Şekil-7.23’de havadan cam ara

yüzeyine gelen ışının yansıması ve kırılması gösterilmiştir. Gelen, yansıyan,

kırılan ve normalin aynı düzlemde olduğuna dikkat ediniz. Şekildeki 𝜃1 açısına

gelme açısı, 𝜃2 açısına ise kırılma açısı adı verilir. Burada 𝜃1 ve 𝜃2 açılarının

sinüsleri oranı, iki ortamın kırılma indisinin ters oranına eşittir:

sin𝜃1

sin 𝜃2=𝑛2

𝑛1 (7.50)

veya

𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 (7.51)

Bu deneysel sonuç Snell yasası olarak bilinir (W. Snell 1591-1626).

26

Şekil-7.23 Havadan cam ara yüzeyine gelen ışının yansıması ve kırılmasının

şematik gösterimi.

Bir boyutlu dalgalarda dağılma, başlangıçta birbiri üstüne binmiş farklı dalga

boylarına sahip uzun fakat sınırlı dalga katarlarının zaman ilerledikçe

ayrılmalarına karşılık gelir. Aynı zamanda hafifçe farklı hızlardaki saf sinüs

dalgalarının bir karışımından meydana gelen her bir bireysel dalga katarı zamanın

ilerlemesi ile bozulmaya ve dağılmaya uğrar.

7.10 FAZ VE GRUP HIZI

Dağılma olayını daha somut tartışmak için, bir ip boyunca aynı yönde ilerleyen

dalga boyları hafifçe farklı iki sinüzoidal dalga için ortaya çıkacak durumu göz

önüne alalım. Basitlik olsun diye bu iki dalganın genliklerinin eşit olduğunu kabul

edelim. Bu iki dalga

𝑦1 = 𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑥 − ω1𝑡) (7.52a)

𝑦2 = 𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑘2𝑥 − ω2𝑡) (7.52b)

ifadeleri ile tanımlanabilir (𝑘1 =2𝜋

𝜆1 ve 𝑘2 =

2𝜋

𝜆2 ). Burada 𝜔1 ve 𝜔2 frekanslarının

çok az farklı olduğunu kabul edeceğiz (𝜔1 ≈ 𝜔2) . Bu iki dalganın üst üste

gelmesiyle

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑥 − 𝜔1𝑡) + 𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑘2𝑥 − 𝜔2𝑡) (7.53a)

veya

𝑦 = 2𝐴1𝑐𝑜𝑠 [𝑘2−𝑘1

2𝑥 −

𝜔2−𝜔1

2𝑡] 𝑐𝑜𝑠 [

𝑘2+𝑘1

2𝑥 −

𝜔2+𝜔1

2𝑡] (7.53b)

27

yazabiliriz. Bu sonucu daha önceden de biliyoruz. Ancak burada ortamın dağıtıcı

(dispersif) oluşu nedeniyle her iki dalga farklı hızlara sahiptir. Burada

𝑣1 = ω1 𝑘1⁄ ve 𝑣2 = ω2 𝑘2⁄ (7.54)

𝑘0 =𝑘2+𝑘1

2 ve ω0 =

ω2+ω1

2 (7.55)

diyelim; 𝑘0 ve 𝜔0 dalga sayılarının ve frekansların ortalama değerleridir.

Başlangıçta 𝜔1 ile 𝜔2 arasındaki farkın küçük olduğunu kabul etmiştik. Bu

nedenle 𝑘1 ile 𝑘2 arasındaki fark da küçük olacaktır. Burada

∆𝑘 =𝑘2−𝑘1

2 ve ∆ω =

𝜔2−𝜔1

2 (7.56)

alalım. Bunları (7.53b) denkleminde kullanırsak

𝑦 = 2𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑥Δ𝑘 − 𝑡Δω) cos (𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡) (7.57)

yazabiliriz. Bu denklemi

𝐴(𝑥, 𝑡) = 2𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑥Δ 𝑘 − 𝑡Δω) (7.58)

alarak yeniden

𝑦 = 𝐴(𝑥, 𝑡) cos (𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡) (7.59)

formunda yazabiliriz. Bu ifadeden iki karakteristik hız tanımlayabiliriz.Bunlardan

birisi, ortalama 𝑘0 dalga sayısına ait olan bir tepe noktasının hareketinin hızına

karşı gelen faz hızı (𝑣𝑓), diğeri ise hareket süresince grup hızı (𝑣𝑔) adı verilen

modülasyon zarfının hızıdır.

Dalga hızı, fazı verilen bir nokta (ip üzerindeki dalganın belli bir tepe noktası

gibi) ile yan yana kalabilmek için dalga boyunca hareket etmemiz gereken hızdır.

Pozitif x-ekseni yönünde hareket eden dalga için bunun anlamı fazın

(𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡) = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 olmasıdır. Zamana (t) göre türev alınarak

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑓 =

𝜔0

𝑘0 (7.60)

elde edilir ve 𝑣𝑓 faz hızı olarak adlandırılır. Faz hızı ile daha önce tanımladığımız

dalga hızının aynı olduğu açıktır.

28

Bu dalganın genliği denklem (7.58) ile verilen 𝐴(𝑥, 𝑡) ifadesi tarafından modüle

edilir. Dispersif bir ortamda modüle edilmiş bir dalganın yayılması çeşitli zaman

dilimlerinde Şekil-7.24’de verilmiştir.

Şekil-7.24 Modüle edilmiş 𝑦(𝑥, 𝑡) dalgasının dispersif bir ortamda

yayılması.

Modüle olmuş 𝑦(𝑥, 𝑡) dalgasının 𝑥 ’e göre davranışı eşit 𝛿𝑡 zaman

aralıklarında art arda çizilmiştir.

Modüle olmuş dalga sürekli çizgi ile modülasyon nedeniyle oluşan zarf ise

kesikli çizgi ile gösterilmiştir.

Zarf eğrisi üzerinde seçilen işaretli nokta ve dalga üzerinde seçilen

işaretli noktanın zamanla ilerlemesi, sırasıyla, grup ve faz hızını temsil

etmektedir. Bu örnekte 𝑣𝑓 > 𝑣𝑔 olduğu görülmektedir.

Bu şekil dikkatle incelendiğinde zarf eğrisinin (Kesikli çizigiler ile gösterilenler)

de ilerlediği görülür. Zarf eğrisinin ilerleme hızına grup hızı denir ve 𝑣𝑔 ile

gösterilir. Grup hızı 𝑣𝑔 genelde faz hızından 𝑣𝑓 farklı değerdedir. Şekil-7.24’da

29

zarf eğrisi üzerinde bir nokta seçelim ( işareti ile gösterilmiştir), aynı zamanda

modüle dalganın üzerinde bir nokta seçelim ( işareti ile gösterilmiştir). Zaman

ilerledikçe bu iki noktanın birbirine göre konumları değişmektedir. Eğer 𝑣𝑓 ile 𝑣𝑔

eşit olsaydı, bu iki noktanın birbirine göre konumları değişmezdi.

Şekil-7.24’de işaretli nokta modülasyon genliğinin hep aynı değerini

göstermektedir yani bu noktalar için 𝐴(𝑥, 𝑡) sabittir. 𝐴 (𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 ş𝑎𝑟𝑡𝚤

𝑥∆ 𝑘 − 𝑡∆ω = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 (7.61)

olması ile mümkündür. Her iki tarafın zamana (t) göre türevi alınarak

∆𝑘 𝑑𝑥

𝑑𝑡− ∆ω = 0 veya

𝑑𝑥

𝑑𝑡=∆ω

∆𝑘 (7.62)

yazabiliriz. Burada 𝑑𝑥

𝑑𝑡 grup hızıdır:

𝑣𝑔 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=∆𝜔

∆𝑘 =𝜔2−𝜔1

𝑘2−𝑘1 (7.63)

Dispersif bir ortamda 𝜔 açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan 𝑣𝑔’yi

𝑣𝑔 =𝜔(𝑘2)−𝜔(𝑘1)

𝑘2−𝑘1 (7.64)

formunda yazabiliriz. Burada 𝑓(𝑥) fonksiyonunun Taylor serisine açınımın

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) +(𝑥−𝑎)

1!(𝑑𝑓

𝑑𝑥)𝑥=𝑎 +

(𝑥−𝑎)2

2!(𝑑2𝑓

𝑑𝑥2)𝑥=𝑎 +⋯ (7.65)

olduğunu hatırlayalım ve bunu kullanarak

𝜔(𝑘0 ± ∆𝑘) = 𝜔(𝑘0) ± (∆𝑘)(𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0+

(∆𝑘)2

2!(𝑑2ω

𝑑𝑘2)𝑘=𝑘0+… (7.66)

yazabiliriz. Burada ∆𝑘 =𝑘2−𝑘1

2 olup 𝑘0 ’a göre küçüktür. Bu nedenle (7.66)

ifadesinin ilk iki terimi ile yetinebiliriz. Bu durumda

𝜔(𝑘0 ± ∆𝑘) ≅ 𝜔(𝑘0) ± (∆𝑘)(𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0 (7.67)

yazabiliriz.

𝑘0 + ∆𝑘 =𝑘2+𝑘1

2+𝑘2−𝑘1

2= 𝑘2 (7.68a)

𝑘0 − ∆𝑘 =𝑘2+𝑘1

2−𝑘2−𝑘1

2= 𝑘1 (7.68b)

değerlerini (7.67) ifadesinde yerlerine yazarak

30

𝜔(𝑘2) = 𝜔(𝑘0) + (∆𝑘)(𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0 (7.69a)

𝜔(𝑘1) = 𝜔(𝑘0) − (∆𝑘)(𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0 (7.69b)

elde ederiz. Buradan

𝜔(𝑘2) − 𝜔(𝑘1) = 2(∆𝑘)(𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0 (7.70a)

veya

𝜔(𝑘2) − 𝜔(𝑘1) = 2𝑘2−𝑘1

2(𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0

= (𝑘2 − 𝑘1) (𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0

(7.70b)

veya

𝜔(𝑘2)−𝜔(𝑘1)

𝑘2−𝑘1= (

𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0

(7.70c)

Bu son ifadede sol taraf (7.64) denklemi ile tanımlı olan 𝑣𝑔 grup hızıdır. Sonuç

olarak grup hızı için

𝑣𝑔 = (𝑑ω

𝑑𝑘)𝑘=𝑘0

(7.71)

ifadesi elde edilir.

Burada sadece iki tek renkli (monokromatik) dalganın üst üste gelmesi ile grup ve

faz hızı ifadelerini elde ettik. Ancak çok daha fazla sayıda tek renkli dalgaların üst

üste gelmesi durumunda da bu ifadelere ulaşmak mümkündür. Sonuç olarak,

Faz hızı için: 𝑣𝑓 =𝜔

𝑘 (7.72)

Grup hızı için: 𝑣𝑔 =𝑑ω

𝑑𝑘 (7.73)

yazabiliriz.

𝑣𝑔 =𝑑𝜔

𝑑𝑘 ifadesi ile tanımlanan grup hızı ifadesine yeniden bakalım. 𝜔 = 𝑘𝑣𝑓

olduğunu biliyoruz (𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋𝑣𝑓

𝜆= 𝑘𝑣𝑓 𝑣𝑒 𝑣𝑓 = 𝜆𝑓). Bu durumda

𝑣𝑔 =𝑑𝜔

𝑑𝑘=𝑑(𝑘𝑣𝑓)

𝑑𝑘= 𝑣𝑓 + 𝑘

𝑑𝑣𝑓

𝑑𝑘= 𝑣𝑓 + 𝑘

𝑑𝑣𝑓

𝑑λ 𝑑λ

𝑑𝑘 (7.74)

yazabiliriz. 𝑘 =2𝜋

𝜆 olduğuna göre

𝑑λ

𝑑𝑘= −

2𝜋

𝑘2= −

2𝜋

𝑘 1

𝑘= −

λ

𝑘 (7.75)

31

yazabiliriz. Bunu denklem (7.74)’de yerine yazarak,

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 + 𝑘𝑑𝑣𝑓

𝑑λ(−

λ

𝑘) = 𝑣𝑓 − λ

𝑑𝑣𝑓

𝑑λ

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 − λ𝑑𝑣𝑓

𝑑λ (7.76)

elde ederiz. Bu ifadelere göre değişik koşullarda grup ve faz hızlarını

karşılaştıralım.

i) Genel olarak 𝑑𝑣𝑓

𝑑𝜆 pozitiftir. Bu durumda

𝑣𝑓 > 𝑣𝑔

olur. Bu duruma normal dağılım (dispersiyon) denir (Şekil-7.25a).

Örneğin, Şekil-7.24’da başlangıçta işaretli nokta işaretli noktanın önündedir.

Ancak zaman ilerledikçe işaretli nokta öne geçmektedir.

ii) Bazı durumlarda 𝑑𝑣𝑓

𝑑𝜆 negatiftir. Bu durumda

𝑣𝑓 < 𝑣𝑔

olur. Bu duruma anormal dağılım denir (Şekil-7.25b).

iii) Eğer dispersiyon yok ise 𝑑𝑣𝑓

𝑑𝜆= 0 ve dolaysıyla 𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 olacaktır.

Şekil-7.25 Bir dalga grubunun ardışık t1, t2 ve t3 zamanlarında görünümü.

(a)Normal dağılım (𝑣𝑓 > 𝑣𝑔). (b) Anormal dağılım (𝑣𝑓 < 𝑣𝑔).

7.11 DALGA PAKETİ

Pozitif x-ekseni yönünde ilerleyen bir sinüzoidal düzlem dalgayı (plane wave) göz

önüne alalım. Düzlem dalga tüm uzaya yayılmış bir dalgadır.

ψ(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ω𝑡) (7.77)

32

Burada 𝑘 =2𝜋

𝜆 dalga sayısı, açısal frekanstır (𝜔 = 𝑣𝑘 = 2𝜋𝑓).

Sonlu bir bölgede genliği olup diğer bölgelerde genliği sıfır olan dalgaya “dalga

paketi” denir. Düzlem dalganın genliğini bir Gauss eğrisiyle modüle edersek bir

dalga paketi oluşturabiliriz:

ψ(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒− 𝑏𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (7.78)

Bu fonksiyonun grafiği Şekil-7.26'daki gibi olacaktır.

Şekil-7.26 Bir dalga paketi.

Daha kullanışlı diğer bir yol ise, çok sayıda farklı dalga boyunda düzlem dalgalar

alıp bunları öyle uygun genliklerle toplarız ki (süperpozisyon), küçük bir bölge

hariç, diğer yerlerde birbirlerini yok ederler. Bu ders kapsamında dalga paketi

kavramına daha fazla zaman ayırmayacağız.

7.12 MEKANİK DALGALARDA ENERJİ VE GÜÇ

Mekanik dalgalar ortam parçacıklarının yer değiştirmesi sonucu oluştuğundan,

hareket enerjisi yani kinetik enerjileri vardır. Kütle, dalganın ilerleme sürecinde

dalga ile birlikte taşınmaz. İlerleyen şey, art arda gelen kütlelerin birbirlerine

aktardığı enerjidir. Dolayısıyla dalga bir enerji taşıyıcısıdır. Şimdi 𝑇 gerilimi

altında bir ipin, 𝑑𝑥 kadarlık bir parçası 𝑑𝑦 kadar enine yer değiştirme yaptığında,

𝑑𝑥 elemanının herhangi bir andaki kinetik enerjisini hesaplayalım (Şekil-7.27).

33

Şekil-7.27 Enine dalga taşıyan gerilmiş bir ipin diferansiyel bir parçasının

görünümü.

Gerilmiş ipin homojen olduğunu ve boyca kütle yoğunluğunun 𝜇 olduğunu kabul

edeceğiz Bu durumda dx diferansiyel elemanın kütlesi 𝑑𝑚 = 𝜇 𝑑𝑥 olacaktır. Bu

elemanın enine hareketi nedeniyle hızı ise 𝑢 =𝜕𝑦

𝜕𝑡 dir (Bu enine 𝑢 hızı ile dalganın

ilerleme hızı v’yi karıştırmamanız gerekir).

Bu durumda 𝑑𝑥 elemanının kinetik enerjisi için

𝑑𝐾 =1

2(𝜇 𝑑𝑥) (

𝜕𝑦

𝜕𝑡)2 (7.79)

yazabiliriz.

Dalganın potansiyel enerjisini, göz önüne alınan küçük ip parçasının düzgün olan

ilk konumuna göre deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak

yazabiliriz. İpin boyundaki uzama miktarı ile T gerilim kuvvetinin çarpımı

deformasyon için yapılan işe eşittir (İpin boyunda küçük değişimler olması

durumunda T geriliminin sabit alınabileceğini daha önceki bölümlerde

tartışmıştık). Böylece göz önüne alınan diferansiyel ip parçası için potansiyel

enerji

𝑑𝑈 = 𝑇(𝑑𝑠 − 𝑑𝑥) (7.80)

olacaktır. Burada (𝑑𝑠 − 𝑑𝑥) , diferansiyel elemanın enine 𝑑𝑦 kadar çekilmesi

nedeniyle boyunda oluşacak değişimdir. Yay elemanı ds için

𝑑𝑠 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 = [1 + (𝜕𝑦

𝜕𝑥)2

]1 2⁄

𝑑𝑥 (7.81)

yazabiliriz (Bir eğrinin diferansiyel yay elemanı). Burada

34

(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝛼𝑥 +𝛼(𝛼−1)

2!𝑥2 +

𝛼(𝛼−1)(𝛼−2)

3!𝑥3 +⋯ (7.82)

Binom serisini kullanarak

[1 + (𝜕𝑦

𝜕𝑥)2

]1 2⁄

≅ 1 +1

2(𝜕𝑦

𝜕𝑥)2 (7.83)

yazabiliriz. Daha yüksek mertebeden terimlerin katkısı ihmal edilebilecek kadar

küçüktür. (7.83) ifadesini (7.81)′de kullanırsak,

𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 +1

2(𝜕𝑦

𝜕𝑥)2𝑑𝑥

veya

𝑑𝑠 − 𝑑𝑥 =1

2(𝜕𝑦

𝜕𝑥)2𝑑𝑥 (7.84)

yazabiliriz. Bu sonucu (7.80) denkleminde kullanırsak, 𝑑𝑥 diferansiyel elemanının

𝑑𝑦 kadar enine yer değişimi nedeniyle oluşacak potansiyel enerji için

𝑑𝑈 =1

2𝑇 (

𝜕𝑦

𝜕𝑥)2𝑑𝑥 (7.85)

sonucunu elde ederiz.

Kinetik enerji yoğunluğu olarak adlandıracağımız birim uzunluk başına kinetik

enerji ifadesini ise bir boyutlu bir ortam için,

𝐾𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢 = 𝑑𝐾

𝑑𝑥=1

2𝜇 (

𝜕𝑦

𝜕𝑡)2 (7.86a)

Benzer şekilde potansiyel enerji yoğunluğu ise,

𝑃𝑜𝑡𝑎𝑛𝑠𝑖𝑦𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢 = 𝑑𝑈

𝑑𝑥=1

2𝑇 (

𝜕𝑦

𝜕𝑥)2 (7.86b)

ifadeleri ile verilir. (Burada yapılan hesaplamaları 6. Bölümde Örnek-11

probleminde yaptığımızı hatırlayınız.)

Daha önce ip üzerinde ilerleyen bir dalgayı

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡) = 𝑓(𝑧) (7.87)

35

ifadesi ile tanımlamıştık. Burada 𝑣 = (𝑇/𝜇)1/2 dalganın yayılma hızıdır. Bu

ifadenin x ve t’ye göre türevlerini

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 𝑓′(𝑧) (7.88a)

𝜕𝑦

𝜕𝑡= ±𝑣𝑓′(𝑧) (7.88b)

şeklinde yazabiliriz (𝑓′(𝑧) =𝑑𝑓

𝑑𝑧). Bu değerleri (7.86a) ve (7.86b) ifadelerinde

yerine yazarsak enerji yoğunlukları için

𝑑𝐾

𝑑𝑥=1

2µ𝑣2[𝑓′(𝑧)]2 (7.89a)

𝑑𝑈

𝑑𝑥=1

2𝑇[𝑓′(𝑧)]2 =

1

2µ𝑣2[𝑓′(𝑧)]2 (7.89b)

ifadelerini elde ederiz. Bu ifadeler kinetik ve potansiyel enerji yoğunluklarının eşit

olduğunu söyler.

Şimdi bu sonuçları

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (7.90)

ile tanımlı +x- ekseni boyunca ilerleyen bir dalgaya uygulayalım. Bu dalganın

enine hızı 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑡 'ye eşittir. Enine hızı 𝑢(𝑥, 𝑡) ile gösterirsek

𝑢(𝑥, 𝑡) =𝜕𝑦(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡= −𝐴ω𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ω𝑡) (7.91)

yazabiliriz. Enine hızın maksimum değeri 𝐴𝜔 'ya eşittir. Bunu 𝑢0 ile gösterelim

(𝑢0 = 𝐴𝜔) . İp üzerinde seçilen 𝑑𝑥 elemanının kütlesi 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑥 olacaktır. Bu

küçük parçanın kinetik enerjisi

𝑑𝐾 =1

2𝜇𝑑𝑥 (

𝜕𝑦

𝜕𝑡)2=1

2𝜇𝐴2𝜔2𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑥 (7.92)

olacaktır. Buradan bir dalga boyu (𝜆) kadar uzunluğunda ipin kinetik enerjisi için

𝐾 =1

2𝜇𝐴2𝜔2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − ω𝑡)𝑑𝑥

λ

0=1

2𝜇𝐴2𝜔2 ∫

1

2(1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)⏟

𝐵𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑙𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡𝑘𝚤=0 𝑑𝚤𝑟.

)𝑑𝑥𝜆

0

𝐾 =1

4𝜇𝜔2𝐴2λ (7.93)

36

sonucunu elde ederiz. Bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerji sabittir.

Benzer şekilde λ uzunluğundaki kısmın potansiyel enerjisini de hesaplayabiliriz:

𝑑𝑈 =1

2𝑇 (

𝜕𝑦

𝜕𝑥)2𝑑𝑥 =

1

2𝜇𝑣2[𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ω𝑡)]2𝑑𝑥

𝑈 =1

2𝜇𝑣2𝐴2𝑘2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − ω𝑡)𝑑𝑥

λ

0=1

4𝜇𝑣2𝐴2𝑘2 =

1

4𝜇(λ𝑓)2𝐴2 (

2𝜋

λ)2

𝑈 =1

4𝜇𝜔2𝐴2λ (7.94)

yazılabilir. Eşitlik (7.93) ve (7.94)’den bir dalga boyu içinde, toplam kinetik

enerjinin, toplam potansiyel enerjiye eşit olduğu görülür. Bu durumda bir dalga

boyu içindeki mekanik enerji için

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =1

2𝜇𝜔2𝐴2λ (7.95)

yazabiliriz. Mekanik enerjinin, genliğin karesi ve frekansın karesi ile orantılı

olduğuna dikkat ediniz.

Şekil-7.30'da bir dalga boyluk bölgede, uzanımın (𝑦) , enine hızın (u), kinetik

enerjinin (𝑑𝐾) ve potansiyel (𝑑𝑈) enerjinin 𝑥'e bağlı değişimi verilmiştir.

Şekil-7.28 (a) Belli bir anda, ilerleyen bir sinüs dalgasının bir dalga boyluk ()

kısmında uzanımın 𝑥 'e göre değişimi. (b) Enine dalga hızının (∂y/∂t) 𝑥 'e göre

değişimi. (c) İp üzerinde 𝑑𝑥 uzunluğundaki elemanın kinetik enerjisinin (𝑑𝐾) 𝑥′e

göre değişimi. (d) İp üzerinde 𝑑𝑥 uzunluğundaki elemanın potansiyel enerjisinin

(𝑑𝑈) 𝑥'e göre değişimi.

37

7.13 DALGA TARAFINDAN TAŞINAN ENERJİ

İp boyunca hareket eden sinüzoidal bir dalga oluşturmak için oldukça uzun bir ipin

ucundan enine titreştirmek gerekir. Bu titreştirme işi sisteme sürekli bir enerji

vermek demektir. İpin her yeni uzunluğu için daha önce hesapladığımız

𝐸 =1

2𝜇𝜔2𝐴2λ (7.96)

kadarlık enerji sisteme temin edilmelidir. Dolaysıyla bu enerjiye eşit bir iş, ipin sol

ucuna uygulanan kuvvet tarafından sağlanmalıdır (Şekil-29). Şimdi bu söylenenin

nasıl doğrulandığını görelim.

Şekil-7.29 F dış kuvveti ile gerilmiş bir üzerinde sinüzoidal bir dalganın

meydana getirilmesi.

Sağa doğru 𝑣 hızı ile ilerleyen

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − ω𝑡) (7.97)

dalgasını ele alalım. İpin 𝑥 = 0 'daki ucu F gibi bir dış kuvvetin etkisinde kalsın. 𝑇

gerilimine eşit olan dış kuvvet (𝐹) , şekilde görüldüğü gibi ipe teğet olarak

uygulanmalıdır. F kuvvetinin enine hareket yönündeki bileşeni için,

𝐹𝑦 = −𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ −𝑇𝑡𝑎𝑛𝜃 ≅ −𝑇 (𝜕𝑦

𝜕𝑥)𝑥=0

(7.98)

yazabiliriz. Eşitlik-7.97’daki fonksiyonun 𝜕𝑦

𝜕𝑥 türevini alarak,

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (7.99)

yazabiliriz. Bunu (7.98) ifadesini yerine yazarak 𝐹𝑦 için

𝐹𝑦 = −𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)|𝑥=0 = −𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 (7.100)

38

ifadesi elde edilir. Şimdi 𝐹𝑦 kuvvetinin 𝑥 = 0’ da 𝑑𝑦 kadar yer değiştirmesi

durumda yapılan diferansiyel işi için

𝑑𝑊 = 𝐹𝑦𝑑𝑦 (7.101)

ve buradan toplam iş için

𝑊 = ∫ 𝐹𝑦𝑑𝑦 = −∫𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠ω𝑡 𝑑𝑦 (7.102)

yazabiliriz. Eşitlik-7.97 ile tanımlı fonksiyonun sol ucunda (x=0) dy diferansiyeli

için 𝑑𝑦 = −𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 yazabiliriz. Bunu (7.102)'de yerine yazarsak

𝑊 = ∫𝑇𝐴𝑘𝐴𝜔 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 𝑑𝑡 (7.103)

elde ederiz. Bu integrali 𝑡 = 0 ile 𝑡 = 𝑇𝑝 arasında alalım (İpteki gerilimi T harfi ile

gösterme alışkanlığımıza devam edebilmek için periyodu 𝑇𝑝 ile gösterdik).

𝑊 = 𝑇𝐴2𝑘ω∫ 𝑐𝑜𝑠2ω𝑡𝑇𝑝0

𝑑𝑡 = 𝑇𝐴2𝑘𝜔∫1

2(1 + cos 2𝜔𝑡)

𝑇𝑝0

𝑑𝑡 =1

2𝑇𝐴2𝑘𝜔𝑇𝑝 =

1

2𝜇𝑣2𝐴2

2𝜋

λ𝜔2π

𝜔=1

2𝜇(λ𝑓)2𝐴2

(2𝜋)2

λ=1

2𝜇λ2𝐴2

(2𝜋𝑓)2

λ=1

2𝜇𝜔2𝐴2λ

veya

𝑊 =1

2𝜇𝜔2𝐴2λ (7.104)

yazabiliriz. Bu iş, bir periyotluk sürede sisteme sağlanan enerjidir. Birim zamanda

sisteme verilmesi gereken enerji yani güç (P) için ise

𝑃 =𝑊

𝑇𝑝=

𝑊

1 𝑓⁄= 𝑊𝑓 =

1

2𝜇𝜔2𝐴2λ𝑓 =

1

2𝜇𝜔2𝐴2𝑣

𝑃 =1

2𝜇𝜔2𝐴2𝑣 (7.105)

yazabiliriz. Buradan iş yapma hızının yani gücün (𝑃) , dalga hızı 𝑣 ile ip

üzerindeki birim uzunluk başına toplam enerjinin ( 𝑊

λ= 1

2𝜇𝜔2𝐴2 ) çarpımı olduğu

anlaşılır.

Sonuçlar:

Enerji kaynakta alıkonamaz, 𝑣 dalga hızına eşit bir hız ile ortam içinde bir

noktadan diğerine aktarılır.

Burada ortamın dağıtıcı (dispersif) olmadığını varsayıyoruz. Eğer ortam

dağıtıcı ise enerji grup hızı ile taşınır.

39

İpin belli bir kısmı dalga hareketine başlamış ise bu parçanın enerjisi

değişmeden kalır.

Bu sonuçlar bir ipte ilerleyen dalgalar için bulunmuş olsa da enerjinin taşınma

hızının, gücün veya enerji yoğunluğunun, genlik ve frekansının karesiyle doğru

orantılı olması bütün dalgaların genel bir özelliğidir.

Duran dalgaların enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı, ilerleyen

dalgaların toplam enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı ile

aynıdır. Ancak, uzayda ilerlemedikleri için, duran dalgalarla güç aktarılamaz.

40

7.14 ELEKTROMANYETİK DALGALAR

Temel fizik derslerinden elektrik ve manyetizma konuları işlenirken, zamanla

değişen manyetik alanın (�� ) bir elektrik alan (�� ) kaynağı gibi davrandığını; benzer

şekilde zamanla değişen elektrik alanın da bir manyetik alan ürettiğini

görmüştünüz. Elektrik veya manyetik alanlardan bir tanesi zamana göre

değişmeye başlayınca etrafını etkiler ve civarında diğer tür bir etkilenme alanı

oluşturur. Bütün bu olayları tek bir teoride birleştiren Maxwell (James Clerk

Maxwell, 1831-1879) bir bölgede zamanla değişen elektrik ve manyetik alanlar

nedeniyle elektromanyetik bir bozulmanın uzayda bir bölgeden diğerine

ilerleyebilmesinin mümkün olduğu fikrini ileri sürmüştür. Bu tür bozulmalara

elektromanyetik dalga denir. Elektromanyetik dalgalar boşlukta da yayılabilen

enine dalgalardır.

7.14.1 Maxwell denklemlerinin integral biçimi

Elektrik alan ve manyetik alan ve bunların kaynakları arasındaki bağıntılar

Maxwell denklemleri olarak bilinen dört denklem ile verilmektedir. Maxwell

denklemleri elektromanyetizmanın bütünü için temel denklemleridir. Boşlukta

Maxwell denklemlerinin integral biçimleri aşağıda toplu halde verilmiştir.

1) ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =𝑞

𝜀0

𝐴 �� için Gauss yasası (7.106a)

2) ∮ 𝐵. 𝑑𝐴 = 0

𝐴 �� için Gauss yasası (7.106b)

3) ∮ 𝐸. 𝑑𝑙 = −𝜕 𝜙𝐵

𝑑𝑡

𝐶 Faraday Yasası (7.106c)

4) ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 =

𝐶𝜇0𝐼 + 𝜇0휀0

𝜕 𝜙𝐸

𝑑𝑡= 𝜇0(𝐼 + 𝐼𝐷) Genelleştirilmiş Amper yasası (7.106d)

Maxwell denklemlerinin birincisi ( ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =𝑞

𝜀0

𝐴) �� ’nin kapalı bir yüzey

üzerinden integralini içerir. Bu denklem basitçe elektrik alan için Gauss

yasasıdır ve herhangi bir kapalı yüzey üzerinden integralinin, 1

휀0 ile yüzey

içindeki net q yükünün çarpımına eşit olduğunu ifade eder.

41

İkinci denklem (∮ 𝐵. 𝑑𝐴 = 0

𝐴), manyetik alanlar için Gauss yasasına benzer bir

bağıntıdır ve �� ’nin kapalı bir yüzey üzerinden yüzey integralinin daima sıfır

olduğunu ifade eder. Bu ifadenin anlamı, manyetik alan kaynağı gibi davranan

manyetik monopollerin var olamayacağıdır.

Üçüncü denklem (∮ 𝐸. 𝑑𝑙 = −𝜕 𝜙𝐵

𝑑𝑡

𝐶) Faraday yasasıdır ve değişen bir manyetik

akının bir indüksiyon elektrik alanına neden olduğunu ifade eder. Eğer

değişken bir manyetik alan varsa varsa, (7.106c) denklemindeki çizgi integral

sıfırdan farklıdır, yani değişen manyetik akıdan kaynaklanan �� alanının

korunumlu olmadığını gösterir. Bu çizgi integralinin kapalı bir eğri üzerinden

alınması gerektiğini biliyoruz.

Dördüncü denklem (∮ 𝐵. 𝑑𝑙 =

𝐶𝜇0𝐼 + 𝜇0휀0

𝜕 𝜙𝐸

𝑑𝑡) yer değiştirme (deplasman) akımını

da kapsayan Amper yasasıdır. 𝐼 iletkenlik akımı(I=Ic) ve 𝐼𝐷 = 휀0𝑑 𝜙𝐸

𝑑𝑡 yer

değiştirme akımı manyetik alan kaynağı gibi davranır. Burada 𝜙𝐸 elektrik

akısıdır.

Yukarıda verilen denklemler boş uzaydaki elektrik ve manyetik alan için

geçerlidir. Ortamda bir malzeme varsa, denklemlerde boşluktaki 휀0 dielektrik

geçirgenliği ve 𝜇0 manyetik geçirgenliği yerine, ortamın 휀 dielektrik geçirgenliği

ve μ manyetik geçirgenliğini kullanmak gerekir. 𝜅 = 휀 휀0⁄ 𝑣𝑒 𝜅𝑚 = 𝜇 𝜇0⁄ ,

sırasıyla, bağıl dielektrik ve bağıl manyetik geçirgenlik katsayısı olarak bilinir.

Birçok malzeme için 𝜅𝑚 sabittir ve yaklaşık 1’e eşittir, ancak 𝜅 frekansın

fonksiyonudur. Bu konular elektrik ve manyetizma derslerinde daha ayrıntılı ele

alınacaktır.

7.14.2 Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimi

Maxwell denklemleri, çoğu kez (7.106)’da verilen integral biçimlerinden daha

kullanışlı olan diferansiyel biçimleri ile verilmektedir. Maxwell denklemlerinin

diferansiyel biçimlerini elde etmek için matematik derslerinde gördüğünüz, (i)

Diverjans teoremi ve (ii) Stokes teoremi olarak bilinen iki integral teorimden

yararlanacağız. Bu iki teorem aşağıda özetlenmiştir (Ayrıntılı bilgi için

42

“Mathematical methods in the physical sciences, Boas M.L.” kitabına

bakabilirsiniz).

7.14.3 Diverjans teoremi

Üç boyutlu uzayda kapalı bir 𝐴 yüzeyi ele alalım. Kapalı yüzey tarafından

kuşatılan 𝑉 hacminde tanımlı bir 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) vektör alanı olsun. 𝐹 vektörünün

bileşenlerinin kısmi türevleri sürekli ise

∮ 𝐹 . 𝑑𝐴

𝐴= ∫ ∇. 𝐹 𝑑𝑉

𝑉 (7.107)

integral eşitliği yazılabilir ve diverjans teoremi olarak bilinir. Bu teorem bir 𝐹

vektör fonksiyonunun bir yüzey üzerindeki integrali ile diverjansının bu yüzeyin

kuşatmış olduğu hacim üzerinden integrali arasında bir bağlantı kurar.

Buradaki ∇ ’ye del işlemcisi denilir ve dik koordinat sisteminde,

∇ = 𝚤 𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗

𝜕

𝜕𝑦+ ��

𝜕

𝜕𝑧 (7.108)

şeklinde tanımlıdır. Bu işlemcinin 𝐹 vektör fonksiyonuna uygulanması

∇ . 𝐹 =𝜕𝐹𝑥

𝜕𝑥+𝜕𝐹𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝐹𝑧

𝜕𝑧 (7.109)

ifadesi ile verilir ve buna 𝐹 ’nin diverjansı denilir.

7.14.4 Stokes teoremi

𝐹 vektör alanının kapalı bir yol boyunca çizgi integrali yerine, 𝐴 yüzeyi üzerinde

𝑟𝑜𝑡 𝐹 ’nin integarli alınabilir ve bu Stokes teoremi olarak bilinir.

∮ 𝐹 . 𝑑𝑙

C= ∫ 𝑟𝑜𝑡 𝐹

𝐴. 𝑑𝐴 = ∫ ∇ × 𝐹 . 𝑑𝐴

𝐴 (7.110)

Burada 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ∇ × 𝐹 ’ye 𝐹 vektör alanının rotasyonel’i veya curl (dönel)’ü denir

ve dik koordinat sisteminde,

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = curl𝐹 = ∇ × 𝐹 = det |

𝚤 𝑗 ��

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

| (7.111a)

veya

43

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ∇ × 𝐹 = (𝜕𝐹𝑧

𝜕𝑦−𝜕𝐹𝑦

𝜕𝑧) 𝚤 + (

𝜕𝐹𝑥

𝜕𝑧−𝜕𝐹𝑧

𝜕𝑥) 𝑗 + (

𝜕𝐹𝑦

𝜕𝑥−𝜕𝐹𝑥

𝜕𝑦) �� (7.111b)

şeklinde yazılır.

7.14.5 Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimlerinin türetilmesi

Şimdi yukarıda verilen iki integral teoremini kullanarak Maxwell denklemlerinin

boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde edeceğiz.

Diverjans teoremini (7.107) Gauss yasasına (7.106a) uygulayalım:

∮ 𝐸. 𝑑𝐴 = ∫ ∇ . �� 𝑑𝑉 =

𝑉

𝑞

𝜀0

𝐴 (7.112)

Burada q elektrik yükünü, 𝜌 yük yoğunluğunun hacim integrali olarak yazabiliriz:

𝑞 = ∫ 𝜌 𝑑𝑉

𝑉 (7.113)

Bunu (7.112) denkleminde kullanırsak

∫ ∇ . �� 𝑑𝑉 =

𝑉

1

𝜀0∫ 𝜌 𝑑𝑉

𝑉 (7.114)

elde ederiz. Bu eşitliğin her iki tarafında da aynı V hacmi üzerinde alınan

integraller bulunmaktadır. Hacimlerin büyüklükleri ve şekilleri ne olursa olsun

bunun doğru olabilmesi için integrantların eşit olması gerekir:

∇ . �� =𝜌

𝜀0 (7.115)

Bu eşitlik (7.106a) ile verilen Gauss teoreminin diferansiyel biçimidir. Bu bağıntı

Maxwell’in diferansiyel biçimindeki birinci denklemidir.

Maxwell denklemlerinin ikincisi olan ∮ 𝐵. 𝑑𝐴 = 0

𝐴 eşitliği de aynı şekilde

incelenirse

∇ . �� = 0 (7.116)

bulunur. Bu Maxwell’in diferansiyel biçimindeki ikinci denklemidir.

Şimdi Stokes teoremini, Maxwell denklemlerinin üçüncüsüne (denklem

(7.106c)) uygulayalım:

∮ �� . 𝑑𝑙

𝐶= ∫ ∇

𝐴𝑥𝐸. 𝑑𝐴 = −

𝜕𝜙𝐵

𝑑𝑡 (7.117)

Manyetik akı 𝜙𝐵 = ∫ �� . 𝑑𝐴

𝐴 olduğundan,

44

∫ ∇

𝐴𝑥𝐸. 𝑑𝐴 = −

𝜕

𝑑𝑡∫ �� . 𝑑𝐴

𝐴 (7.118)

yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafındaki integraller aynı A yüzeyi üzerinden

alınan integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için geçerli olması için

integrantların eşit olması gerekir:

∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡 (7.119)

Bu sonuç Maxwell’in diferansiyel biçimindeki üçüncü denklemidir.

Maxwell’in (7.106d) ile verilen

∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼 + 𝜇0휀0𝑑𝜙𝐸

𝑑𝑡

𝐶

denkleminde elektrik akısı için 𝜙𝐸 = ∫ 𝐸. 𝑑𝐴

𝐴 yazabiliriz. Bunu kullanarak

∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼 + 𝜇0휀0𝑑

𝑑𝑡∫ 𝐸. 𝑑𝐴

𝐴

𝐶 (7.120)

ifadesini elde ederiz. İletim akımı I’yı 𝐽 akım yoğunluğu cinsinden yazılabilir:

𝐼 = ∫ 𝐽. 𝑑𝐴

𝐴 (7.121)

Bu işlemler sonunda Maxwell’in dördüncü denklemi,

∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0 ∫ 𝐽. 𝑑𝐴

𝐴+ 𝜇0휀0

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝐸. 𝑑𝐴

𝐴

𝐶= 𝜇0 ∫ (𝐽 + 휀0

𝜕��

𝜕𝑡). 𝑑𝐴

𝐴 (7.122)

şeklinde yazılabilir. Burada Stokes teoremini kullanarak

∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = ∫ ∇ × �� . 𝑑𝐴 𝐴

𝐶 (7.123)

yazabiliriz. Bu eşitliğin sol tarafı için Eşitlik-7.122’deki değerini kullanarak

∫ ∇ × �� . 𝑑𝐴 =

𝐴

𝜇0∫(𝐽 + 휀0𝜕��

𝜕𝑡). 𝑑𝐴

𝐴

yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafındaki integraller aynı A yüzeyi üzerinden

alınan integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için geçerli olması için

eşitliğin iki tarafındaki integrantlarının birbirlerine eşit olmaları gerekir. Buradan

∇ × �� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0휀0𝜕��

𝜕𝑡 (7.124)

yazabiliriz. Bu Maxwell’in diferansiyel biçimindeki dördüncü denklemidir.

45

Aşağıda Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri bir arada

verilmiştir.

BOŞ UZAYDA MAXWELL DENKLEMLERİ

İntegral Biçimi Diferansiyel Biçimi

1 ∮ 𝐸. 𝑑𝐴 =

𝑞

휀0

𝐴

∇ . �� =𝜌

휀0

2 ∮𝐵. 𝑑𝐴 = 0

𝐴

∇ . �� = 0

3 ∮ 𝐸. 𝑑𝑙 = −

𝜕𝜙𝐵𝑑𝑡

𝐶

∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡

4 ∮ 𝐵. 𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼 + 𝜇0휀0𝜕𝜙𝐸

𝑑𝑡

𝐶

∇ × �� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0휀0𝜕��

𝜕𝑡

Özetleyecek olursak:

Maxwell denklemlerine göre duran nokta bir yük statik �� elektrik alanı

üretirken, �� manyetik alanı üretmez. Öte yandan sabit hızla hareket eden bir

yüklü parçacık �� ve �� alanlarının her ikisini de üretir.

Bir yüklü parçacığın elektromanyetik alan üretebilmesi için ivmelenmesi

gerektiği Maxwell denklemleri kullanılarak gösterilebilir.

Maxwell denklemlerinin önemli bir sonucu da, ivmelendirilen her yüklü

parçacığın elektromanyetik dalga ışımak zorunda olmasıdır.

Bir yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımasını sağlamasının bir yolu,

parçacığa bir harmonik salınım hareketi yaptırmaktır. Fizik-Lab III dersinde

yansımalı klaystronda bir elektromanyetik dalganın (mikrodalga) nasıl

üretildiğini inceleyeceksinz.

Elektromanyetik dalgalar dalga boyunun ve frekansının çok geniş bir spektrumunu

(tayfını) içerir. Bu elektromanyetik tayf radyo ve TV vericisi, görünür ışık, kızıl

ötesi ve mor ötesi ışınlar, X-ışınları ve gama ışınlarının tamamını içerir.

Elektomanyetik dalgaların 1 Hz ile 1024 Hz frekans aralığında yayıldığı fark

edilmiştir. Elektomanyetik tayfın en çok karşılaşılan kısmı Şekil-7.30’de yaklaşık

dalga boyu ve frekans değerleri için gösterilmiştir.

46

Şekil 7.30 Elektromanyetik dalga tayfı.

7.14.6 Elektromanyetik dalga denklemi

Serbest yükün ve akımın olmadığı uzay bölgesinde (𝜌 = 0 ve 𝐼 = 0) Maxwell

denklemlerini

i. ∇ . �� = 0

ii. ∇ . �� = 0

iii. ∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡

iv. ∇ × �� = 𝜇0휀0𝜕��

𝜕𝑡

şeklinde yazabiliriz. Şimdi (iii) ve (iv) denklemlerinin her iki tarafının t’ye göre

türevlerini alarak

∇ ×∂��

∂t= −

𝜕2��

𝜕𝑡2 (7.125a)

∇ ×∂��

∂t= 𝜇0휀0

𝜕2��

𝜕𝑡2 (7.125b)

yazabiliriz. Burada ∂��

∂t yerine (iii) eşitliğindeki

𝜕��

𝜕𝑡= −∇ × �� değerini yazarak

𝜕2��

𝜕𝑡2=

1

𝜇0𝜀0∇ × (−∇ × �� ) = −

1

𝜇0𝜀0∇ × (∇ × �� ) (7.126a)

elde ederiz.

47

Benzer şekilde (7.125a) denkleminde 𝜕𝐸

𝜕𝑡

yerine (iv)eşitliğindeki

𝜕��

𝜕𝑡=

1

𝜇0휀0∇ × ��

değerini yazarak

𝜕2��

𝜕𝑡2= −∇ × (

1

𝜇0𝜀0∇ × �� ) = −

1

𝜇0𝜀0∇ × (∇ × �� ) (7.126b)

elde ederiz.

Her hangi bir 𝐴 vektörel alan için

∇x(∇x𝐴 ) = ∇(∇. 𝐴 ) − ∇2𝐴 (7.127)

yazıldığını biliyoruz (“Mathematical methods in the physical sciences, Boas M.L.”

kitabına bakabilirsiniz). Burada

∇= 𝚤∂

∂x+ 𝑗

∂

∂y+ ��

∂

∂z (7.128)

ve

∇2𝐴 = ∇2𝐴𝑥𝚤 + ∇2𝐴𝑦𝑗 + ∇

2𝐴𝑧 �� (7.129)

dir. Buradaki ∇2𝐴’ye vektör Laplasyen (vector Laplacian ) denir. (7.127) ifadesini

(7.126a) ve (7.126b) ifadesindeki �� ve �� vektörleri için kullanırsak

∂2��

∂t2= −

1

µ0𝜀0∇x(∇x�� ) = −

1

µ0𝜀0[∇(∇. ��) − ∇2��] (7.130a)

∂2��

∂t2= −

1

µ0𝜀0∇x(∇x�� ) = −

1

µ0𝜀0[∇(∇. ��) − ∇2��] (7.130b)

elde ederiz.

Burada ∇. E = 0 ve ∇. B = 0 olduğunu hatırlarsak

∂2��

∂t2=

1

µ0𝜀0∇2�� (7.131a)

∂2��

∂t2=

1

µ0𝜀0∇2�� (7.131b)

sonuçlarını elde ederiz. Burada 𝑐 =1

√µ0휀0 değeri elektromanyetik dalganın

boşluktaki hızıdır. 휀0 ≃ 8.85x10−12 C2 N.m2⁄ ve µ0 = 4πx10

−7 N A2⁄ değerlerini

kullanarak c hızı için c ≃ 3x108m s⁄ değerini elde ederiz.

Şimdi (7.131a) ve (7.131b) denklemini yeniden

∇2�� =1

𝑐2∂2��

∂t2 (7.132a)

∇2�� =1

𝑐2∂2��

∂t2 (7.132b)

48

şeklinde yazabiliriz. Bu iki denklem daha önce elde ettiğimiz dalga denklemleri ile

aynı matematiksel formdadır ve elektromanyetik dalga denklemleri olarak bilinir.

Burada

∇2�� = (∇2𝐸𝑥)𝚤 + (∇2𝐸𝑦)𝑗 + (∇

2𝐸𝑍)�� (7.133a)

∇2�� = (∇2𝐵𝑥)𝚤 + (∇2𝐵𝑦)𝑗 + (∇

2𝐵𝑍)�� (7.133b)

olduğunu biliyoruz (“Mathematical methods in the physical sciences, Boas M.L.”

kitabına bakabilirsiniz).

Elektromanyetik dalgalar enine dalgalardır. �� ve �� ’nin her ikisi de dalganın

yayılma doğrultusuna diktir. Aynı zamanda �� ve �� vektörleri birbirlerine de diktir.

Dalganın yayılma yönü ��𝑥�� vektörel çarpımının yönündedir.

Şimdi (7.133a) ve (7.133b) dalga denklemlerini kullanarak elektrik alanı 𝑦

doğrultusunda, manyetik alanı 𝑧 doğrultusunda olan ve +𝑥 -ekseni yönünde

yayılan elektromanyetik dalganın denklemini yazalım:

�� alanı 𝑦 doğrultusunda olduğu için ∂2��

∂t2 türevinin sadece

∂2𝐸𝑦

∂t2 bileşeni olacaktır.

∇2�� vektörünün sadece ∇2𝐸𝑦 bileşeni olacaktır çünkü

∇2�� = (∇2𝐸𝑥)⏟ 0

𝚤 + (∇2𝐸𝑦)𝑗 + (∇2𝐸𝑍)⏟ 0

��

∇2𝐸𝑦 =∂2𝐸𝑦

∂x2+∂2𝐸𝑦

∂y2+∂2𝐸𝑦

∂z2

olduğunu biliyoruz. 𝐸𝑦 'nin 𝑦 ve 𝑧'e göre türevleri sıfır olmak zorundadır. Çünkü

dalganın x-ekseni yönünde yayıldığını söyledik. Bu durumda

∇2𝐸𝑦 =∂2𝐸𝑦

∂x2

olacaktır. Benzer şekilde

∇2𝐵𝑧 =∂2𝐵𝑧

∂x2

olacaktır.

49

Bu iki sonucu kullanarak söylenen özelliklerdeki elektromanyetik dalganın

(elektrik alanı 𝑦 doğrultusunda, manyetik alanı 𝑧 doğrultusunda olan ve +𝑥-ekseni

yönünde yayılan ) denklemi için

∂2𝐸𝑦

∂x2=

1

c2

∂2𝐸𝑦

∂t2 (7.134a)

∂2𝐵𝑧

∂x2=

1

c2∂2𝐵𝑧

∂t2 (7.134b)

yazabiliriz. Farklı yönlerde yayılan elektromanyetik dalgalar için bu işlemi sizin

de yapınız önerilir.

7.14.7 Sinüzoidal elektromanyetik dalgalar

Sinüzoidal elektromanyetik dalgalar daha önce incelediğimiz gerilmiş bir sicim

üzerindeki sinüzoidal enine mekanik dalgalarla birebir benzerlik gösterir. Bir

sinüzoidal elektromanyetik dalgada �� ve �� alanları uzayın her noktasında zamanın

ve konumun sinüzoidal fonksiyonudur.

Daha önce bir sicim üzerindeki dalgalar için yaptığımız gibi, elektromanyetik

dalgaları dalga fonksiyonları olarak tanımlayabiliriz. Bir sicim boyunca +x

yönünde ilerleyen bir enine dalga için dalga fonksiyonunun

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (7.135)

şeklinde yazılabildiğini biliyoruz. Burada 𝑦(𝑥, 𝑡) herhangi bir t anında sicim

üzerindeki x-koordinatlı bir noktanın denge konumuna göre enine yer

değiştirmesidir. A niceliği dalganın genliği, açısal frekansı ve k dalga sayısıdır.

�� elektrik alan vektörünün y-bileşeni 𝐸𝑦(𝑥, 𝑡) ve �� manyetik alan vektörünün z-

bileşeni 𝐵𝑧(𝑥, 𝑡) olsun.(Şekil-7.33). Burada 𝐸𝑦(𝑥, 𝑡) ve 𝐵𝑧(𝑥, 𝑡) herhangi bir t

anında elektrik ve manyetik alan vektörlerinin x-eksenine göre enine yer

değişimleridir. (7.134a) ve (7.134b) dalga denklemlerinin çözümü için

𝐸𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐸0 cos(𝑘𝑥 − ω𝑡) (7.136a)

𝐵𝑧(𝑥, 𝑡) = 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − ω𝑡) (7.136b)

50

yazabiliriz. Burada 𝐸0 ve 𝐵0 elektrik ve manyetik alanların maksimum değerleri

veya genlikleri, 𝜔 açısal frekansı ve 𝑘 dalga sayısıdır. Dalga fonksiyonlarını

vektörel olarak da yazabiliriz;

�� (𝑥, 𝑡) = 𝑗 𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (7.137a)

�� (𝑥, 𝑡) = �� 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (7.137b)

UYARI:Burada �� ,+z yönünde birim vektörü, 𝑘(=2𝜋

𝜆) ise dalga sayısını

gösterdiğine dikkat ediniz.

Şekil-7.31'de +𝑥 ekseni yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal

elektromanyetik dalgayı göstermektedir.

Şekil-7.31 Bir sinüzoidal düzlem elektromanyetik dalganın elektrik ve

manyetik alan bileşenleri ve yayılma yönünün şematik gösterimi.

�� ve �� alanları birbiriyle uyum içinde (aynı fazda) salınmaktadırlar, yani �� ve ��

aynı anda maksimum veya sıfırdırlar. Ayrıca eğer �� vektörü +𝑦 yönünde ise ��

vektörü +𝑧 yönündedir; benzer şekilde �� vektörü −𝑦 yönünde ise �� vektörü

−𝑧 yönündedir. Bu tür dalgalar 𝑦𝑧 −düzlemine paralel olan bütün düzlemlerde

aynı alanlara sahiptir ve düzlem dalgalar olarak tanımlanır. Dolaysıyla, elektrik ve

manyetik alanlar birbirine diktir ve ��. �� = 0 dir. Şimdi (7.132a) ve (7.132b) dalga

denklemlerinin genel çözümleri için

51

�� = ��0 cos(��. 𝑟 − 𝜔𝑡) (7.138a)

�� = ��0 cos(��. 𝑟 − 𝜔𝑡) (7.138b)

yazabiliriz.

7.14.8 Elektromanyetik dalgalarda enerji

�� ve �� alanlarının bulunduğu boş uzay bölgesinde 𝑢 toplam enerji yoğunluğunun

(𝐽 𝑚3⁄ ) aşağıdaki bağıntıyla verildiğini biliyoruz:

𝑢 =1

2휀0𝐸

2 +1

2

𝐵2

𝜇0 (7.139)

Boşluktaki elektromanyetik dalgalar için �� ve ��'nin büyüklükleri arasındaki

bağıntının ise

𝐵 =𝐸

𝑐= √휀0𝜇0 𝐸 (7.140)

bağıntısıyla verilir. Denklem (7.139) ve (7.140) birleştirilince, boşluktaki bir

elektromanyetik dalganın 𝑢 toplam enerji yoğunluğunu aşağıdaki şekilde ifade

edebiliriz.

𝑢 =1

2휀0𝐸

2 +1

2𝜇0(√휀0𝜇0 𝐸)

2= 휀0𝐸

2 (7.141)

Bu denkleme göre, boşlukta elektromanyetik dalganın �� elektrik alanındaki enerji

yoğunluğu, �� manyetik alanındaki enerji yoğunluğuna eşittir. Elektromanyetik

dalgada, elektrik alanın 𝐸 büyüklüğü konumun ve zamanın bir fonksiyonudur. Bu

nedenle 𝑢 toplam enerji yoğunluğu da konum ve zamana bağlıdır.

7.14.9 Elektromanyetik enerji akışı ve Poynting vektörü

Elektromanyetik dalgalar bir bölgeden diğerine enerji aktaran dalgalardır. Bu

enerji aktarımını, dalganın ilerleme doğrultusuna dik bir yüzey için, birim

zamanda birim kesit alana aktarılan enerji veya birim alandaki güç cinsinden

tanımlayabiliriz.

Enerji akışı ile elektrik ve manyetik alan arasındaki ilişkiyi anlamak için,

x-eksenine (yayılma doğrultusu) dik olan ve herhangi bir zamanda dalga

52

cephesiyle örtüşen bir durgun düzlem düşünelim. Bir 𝑑𝑡 zamanından sonra dalga

cephesi düzlemin sağına doğru 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑𝑡 mesafesi kadar ilerler. Bu durgun

düzlem içinde bir 𝐴 yüzey alanını ele alırsak (Şekil-7.32), bu alanın sağında

bulunan uzaydaki enerjinin yeni konumuna ulaşmak için 𝐴 alanından daha

önceden geçmiş olması gerekir.

Şekil-7.32 Poynting vektörü

Söz konusu bölgenin 𝑑𝑉 hacmi, 𝐴 taban alanı ile 𝑐 𝑑𝑡 mesafesinin çarpımına

eşittir. Bu hacim bölgesindeki 𝑑𝑈 enerjisi, 𝑢 enerji yoğunluğu ile 𝑑𝑉 hacminin

çarpımına eşittir:

𝑑𝑈 = 𝑢𝑑𝑉 = (휀0𝐸2)(𝐴 𝑐 𝑑𝑡) (7.142)

Bu enerji 𝐴 alanından 𝑑𝑡 zamanı içinde geçer. Birim zamanda ve birim alandan

geçen enerji akışı 𝑆 olarak tanımlanır. S için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

𝑆 =𝑑𝑈 𝑑𝑡⁄

𝐴= 휀0𝑐𝐸

2 (7.143)

Bu denklemi yeniden

𝑆 =𝜀0

√𝜀0𝜇0𝐸2 =

√𝜀0𝜇0

𝜇0𝐸2 =

𝐸(√𝜀0𝜇0 𝐸)

𝜇0 (7.144)

veya

𝑆 =1

𝜇0𝐸𝐵 (7.145)

şeklinde yazabiliriz. 𝑆 'nin birimi "birim zamanda birim alandan geçen enerji"

veya “birim alandan geçen güç” olarak tanımlanır. SI birim sisteminde 𝑆 'nin

birimi 𝑊 𝑚2⁄ 'dir. Enerji akış hızının büyüklüğünü ve yönünü birlikte açıklayan bir

niceliği tanımlayabiliriz:

𝑆 =1

𝜇0�� × �� (7.146)

53

𝑆 vektörüne İngiliz fizikçi John Poynting'in (1832-1914) anısına Poynting vektörü

denir. Vektör yönü Şekil-7.32'de görüldüğü gibi dalga yayılma yönü ile aynıdır. ��

ve �� birbirine dik olduklarından

𝑆 = |𝑆| =1

𝜇0|��||��|𝑠𝑖𝑛𝜃

ve 𝜃 = 900 olduğundan

𝑆 =1

𝜇0𝐸𝐵 (7.147)

yazılır. Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam enerji akışı (yani güç, P) 𝑆’nin

yüzey üzerinden integraline eşittir:

𝑃 = ∮𝑆. 𝑑𝐴 (7.148)

7.14.10 Poynting vektörünün ortalaması

Sinüzoidal ve diğer karmaşık elektromanyetik dalgalar için, herhangi bir noktadaki

elektrik ve manyetik alan ve dolayısıyla Poynting vektörü zamanla değişir. Tipik

elektromanyetik dalgaların frekansları çok yüksek olduğundan, Poynting

vektörünün zamanla değişimi çok hızlıdır. Bu nedenle onun ortalamasına bakmak

daha uygundur.

𝑆 ’nin ortalama değerinin herhangi bir noktadaki büyüklüğüne o noktadaki

ışımanın şiddeti denir. Eşitlik (7.137a) ve (7.137b) eşitlikleri ile tanımlı bir

elektromanyetik dalganın şiddet ifadesini 7.137a ve b ifadeleri ile tanımlı dalga

için çıkaralım:

𝑆 (𝑥, 𝑡) =1

𝜇0�� (𝑥, 𝑡) × �� (𝑥, 𝑡) =

1

𝜇0[𝑗 𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] × [�� 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]

𝑆 (𝑥, 𝑡) = [1

𝜇0𝐸0𝐵0 𝑐𝑜𝑠

2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] 𝚤 (7.149)

𝑆 (𝑥, 𝑡) daima dalganın ilerleme yönündedir. Poynting vektörünü yeniden

𝑆 (𝑥, 𝑡) =1

2𝜇0𝐸0𝐵0 [1 + cos 2(𝑘𝑥 − 𝑡)]𝚤 (7.150)

şeklinde yazabiliriz. Bunun tam bir devir üzerinden ortalamasını alarak

𝑆 𝑜𝑟𝑡 = 𝑆𝑜𝑟𝑡𝚤 =1

2𝜇0𝐸0𝐵0𝚤 (7.151)

54

elde edilir ( cos2(𝑘𝑥 − 𝑡) ’in bir periyod üzerinden ortalaması sıfırdır). Bir

sinüzoidal dalga için 𝑆 ’nin ortalama değerinin büyüklüğü (dalganın 𝐼 şiddeti)

𝑆 ’nin maksimum değerinin yarısıdır. Burada 𝐸0 = 𝑐𝐵0 ve 𝜖0𝜇0 =1

𝑐2 bağıntılarını

kullanarak, şiddeti birkaç eşdeğer biçimde ifade edebiliriz:

𝐼 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 =𝐸0𝐵0

2𝜇0=

𝐸02

2𝑐𝜇0=1

2√𝜀0

𝜇0𝐸02 = (

1

2휀0𝐸0

2) 𝑐 (7.152)

Bu ifade herhangi bir yönde yayılan elektromanyetik dalga için de geçerlidir.

7.14.11 Madde içindeki elektromanyetik dalgalar

Elektromanyetik dalgalar maddesel ortamda da yayılırlar (hava, su, cam içinde

yayılan ışığı biliyorsunuz). Burada elektromanyetik dalgaların iletken olmayan

yani dielektrik ortamlarda yayılmasına değineceğiz.

Boşlukta ilerleyen elektromanyetik dalgalar için kullandığımız yöntemi takip

ederek, madde içinde ilerleyen elektromanyetik dalgaların 𝑣 hızını bulabiliriz;

𝑣 =1

√𝜀𝜇=

1

√κκ𝑚

1

√𝜀0𝜇0=

𝑐

√κκ𝑚 (7.153)

Burada maddenin göreceli elektrik geçirgenlik sabiti ya da dielektrik sabiti, 휀 ise

dielektrik geçirgenliğidir (휀 = 𝜅휀0). 𝜅𝑚 dielektriğin göreceli manyetik geçirgenlik

sabiti, 𝜇’de manyetik geçirgenliğidir (𝜇 = 𝜅𝑚𝜇0). Yalıtkan malzemelerin çoğu için

𝜅𝑚’nin değeri 1 civarındadır (iletken ferromanyetik malzemeler hariç). 𝜅𝑚 ≅ 1

olduğu durumlarda, dalganın malzame içindeki hızı

𝑣 =1

√κκ𝑚

1

√𝜀0𝜇0=

𝑐

√κ (154)

olur. Dielektrik malzemeler için 𝜅 değeri her zaman 1’den büyük olduğundan

(boşluk için 𝜅 = 1 ) elektromanyetik dalgaların dielektrik ortamlardaki hızı

boşluktaki hızından daima 1

√𝜅 oranında küçüktür (𝑣 < 𝑐) . Boşluktaki c hızı ile

maddesel ortamdaki v hızı arasındaki oran optikte malzemenin n kırma indisi

olarak bilinir. 𝜅𝑚 ≅ 1 olduğu durumlarda

𝑐

𝑣= 𝑛 = √κ𝑚κ ≅ √κ (155)

dir. Bazı malzemelerin 20‘de dielektrik sabitleri Tablo-7.2’de verilmiştir.

55

Tablo-7.2. Bazı malzemelerin 20‘de dielektrik sabitleri.

Malzeme Malzeme

Vakum (boşlu) 1 Polivinil klorür 3,18

Hava (1 atm) 1,00059 Pleksiglas 3,40

Hava (100 atm) 1,0548 Cam 5-10

Teflon 2,1 Neopren 6,7

Polietilen 2,25 Germanyum 16

Benzen 2,28 Gliserin 42,5

Mika 3-6 Su 80,4

Maddenin dielektrik sabiti statik elektrik alanlarda ölçüldüğünden, Tablo-7.2’de

verilen değerlerini bu denklemde kullanamayız. Alanlar hızla salındığından

düzgün alanlarda oluşan elektrik dipollerin kısa bir süre içinde yönlerini yeniden

ayarlamaları mümkün değildir. Hızla değişen alanlardaki değerleri genelde

Tablo-7.2’de verilen değerlerden çok küçüktür. Örneğin suyun katsayısı Tablo-

7.1’de 80,4 olarak veriliyor, fakat görünür ışık frekans aralığında sadece 1,80

civarında değerler alır. Bu nedenle, dielektrik sabiti aslında frekansın bir

fonksiyonudur.

56

ÖRNEK-1

𝑦 ve 𝑥 cm , 𝑡 s olmak üzere ip üzerinde +x yönünde ilerleyen enine bir dalga

𝑦 = 0,3𝑠𝑖𝑛(0,5π𝑥 − 50𝜋𝑡) ifadesine uymaktadır.

a) Bu dalganın genliği (A), dalga boyu (), dalga sayısı (k=2/), frekansı (f),

periyodu (T) ve dalga hızını (v) bulunuz.

b) İp üzerinde bir parçacığın maksimum enine hızını bulunuz.,

Çözüm:

a) İp üzerinde ilerleyen bir dalgayı tanımlayan fonksiyonun

𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

ile verildiğini biliyoruz. Verilen fonksiyonu bu ifade ile karşılaştırılırsa

Genlik: 𝐴 = 0,3 𝑐𝑚

Dalga sayısı: 𝑘 =2𝜋

𝜆= 0,5𝜋 ≅ 1,57 rad/m

Dalga boyu: 𝜆 =2𝜋

𝑘=

2𝜋

0,5𝜋= 4 𝑐𝑚

Frekans: 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 50𝜋 ⇒ 𝑓 = 25 𝐻𝑧

Periyot: 𝑇 =1

25= 0,04 𝑠

Hız: 𝑣 = 𝜆𝑓 = 4𝑥25 = 100 𝑐𝑚/𝑠 b) İp üzerinde ilerleyen dalganın enine hızı

𝑣𝑒𝑛𝑖𝑛𝑒 =𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

(𝑣𝑒𝑛𝑖𝑛𝑒)𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔 = 𝐴 × 2𝜋𝑓 = 0,3 × 2𝜋 × 25 = 15𝜋 ≅ 47 𝑐𝑚/𝑠

ÖRNEK-2

Bir dalga 20 Hz’lik frekans ve 80 m/s’lik bir hıza sahiptir.

a) Bu dalga üzerinde 30 ° ’lik (𝜋

6 𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛 ) bir faz farkına sahip iki nokta

arasındaki uzaklık ne kadardır?

b) Bu dalgada 0,01 s’lik bir zaman farkı bir noktaya ulaşan iki yer değiştirme

arasındaki faz farkı ne kadardır? (French-p7.4)

Çözüm:

a) +x ekseni yönünde ilerleyen dalgayı

57

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡)

fonksiyonu ile gösterebiliriz. Bu dalganın fazı sinüsün argümanıdır yani

𝐹𝑎𝑧 = 𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡

dir.

𝐹𝑎𝑧1 = 𝑘𝑥1 − 2𝜋𝑓𝑡

𝐹𝑎𝑧2 = 𝑘𝑥2 − 2𝜋𝑓𝑡

𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = 𝑘(𝑥2 − 𝑥1) =2𝜋

𝜆(𝑥2 − 𝑥1) =

𝜋

6

𝑥2 − 𝑥1 = 𝜆/12

𝑣 = 𝜆𝑓 olduğundan

𝑥2 − 𝑥1 =𝑣

12𝑓

yazabiliriz. Verilen değerler kullanılarak

𝑥2 − 𝑥1 =80

12 × 20=1

3≅ 0.33 𝑚

elde edilir.

b) Belirli bir noktada yani x=sabit olma durumunda faz farkı için

𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = (𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡2) − (𝑘𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡1)

= 2𝜋𝑓(𝑡1 − 𝑡2)

𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = 2𝜋 × 20 × (0,01) = 0,4𝜋 radyan

veya

𝐹𝑎𝑧 𝑓𝑎𝑟𝑘𝚤 = 𝐹𝑎𝑧2 − 𝐹𝑎𝑧1 = 72°

yazabiliriz.

ÖRNEK-3

Bir pulsun (atmanın) uzun bir ip üzerinde bir uçtan diğerine 0,1 s’de ulaştığı

gözlemlenmiştir. İp üzerindeki gerilme (T), ipin kütlesi ihmal edilebilen

sürtünmesiz bir makaradan geçirilmesi ve ucuna ipin kütlesinin (𝑚𝑖𝑝) 100 katı bir

ağırlık (𝑚 = 100𝑚𝑖𝑝) asılması ile temin edilmiştir.

a) İpin uzunluğu nedir?

b) Üçüncü normal modu tanımlayan fonksiyon nedir? (French-p7.6)

58

Çözüm:

İpteki gerilim mg ağırlığına eşit olacağından

𝑇 = 𝑚𝑔 = 100𝑚𝑖𝑝𝑔

yazabiliriz. İpin boyca kütle yoğunluğuna 𝜇 dersek

𝑚𝑖𝑝 = 𝜇𝐿

yazılır.

𝑇 = 𝑚𝑔 = 100𝑚𝑖𝑝𝑔 = 100𝜇𝐿𝑔

İpteki dalga hızının

𝑣 = √𝑇/𝜇

ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Buradan

𝑇 = 𝜇𝑣2 = 100𝜇𝐿𝑔 ⇒ 𝑣2 = 100𝐿𝑔

ve

𝑣 = 𝐿/𝑡

olduğundan

𝐿2

𝑡2= 𝑣2 = 100𝐿𝑔 ⇒ 𝐿 = 100𝑔𝑡2 = 100 × 10 × 10−2 = 10 𝑚

𝐿 = 10 𝑚

elde edilir.

b) İki ucu bağlı ipte n’inci modun

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋𝑥

𝐿) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡

𝑛 =𝑛𝜋

𝐿(𝑇

𝜇)12⁄ 𝑛 = 1,2,3. ..

ifadesi ile tanımlı olduğunu biliyoruz (Ders notlarına bakınız). 3. Mod için

3 =3𝜋

𝐿(𝑇

𝜇)

12⁄

=3𝜋

𝐿(100𝜇𝐿𝑔

𝜇)

12⁄

=3𝜋

𝐿(100𝐿𝑔)

12⁄

59

3 =3𝜋

10(100 × 10 × 10)

12⁄ = 30𝜋 𝑠−1

Bu değer kullanılarak 3’cü modu tanımlayan fonksiyon için

𝑦3(𝑥, 𝑡) = 𝐴3 𝑠𝑖𝑛 (3𝜋𝑥

10) 𝑐𝑜𝑠 30𝜋𝑡

yazılır.

ÖRNEK-4

Gerilmiş bir ipin bir ucu (x=0), t=0’dan başlamak üzere 0,1 s süresince 0,5 m/s’lik

sabit bir hız ile enine hareket etmekte olup takip eden 0,1 s sonra bu uç normal

konumuna gelmekte ve tekrar aynı süre için sabit hız ile enine hareket etmektedir.

Bu durumda bileşke dalga pulsu 4 m/s’lik bir hız ile hareket eder.

a) t=0,4 s ve t=0,5 s arasında ipin görünüşünü çiziniz.

b) t=0,4 s için x’e karşılık enine hızı çiziniz. (French-p7.10)

Çözüm:

a) İpin bir ucundan başlayan puls (atma) 0,1 s içinde enine 0,1x0,5=0,05 m hareket

eder. Bu süre içinde yatayda ise 0,1x4=0,4 m ilerler. Bunu takip eden sürede ise

düşeyde zıt yönde 0,05 m yol alınırak normal konuma gelirken, yatayda 0,4 m kadar

daha ilerlemiş olur. Bu durumda atmanın şekli aşağıdaki gibi çizilebilir (Şekil-1).

Şekil-1

İpin sol ucundan başlayan atmanın ön ucu t=0,4 s sonra

𝑥ö𝑛 = 𝑣. 𝑡 = 4 × 0.4 = 1,6 𝑚

ve arka uç ön uçtan 0,8 m daha geride olacağından (puls genişliği)

𝑥𝑎𝑟𝑘𝑎 = 𝑥ö𝑛 − 𝑃𝑢𝑙𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑖ş𝑙𝑖ğ𝑖 = 1,6 − 0,8 = 0,8 𝑚

olacaktır. Bu durumda atmanın t=0,4 s sonraki hali aşağıdaki gibi çizilebilir (şekil-2).

60

Şekil-2

İpin sol ucundan başlayan atmanın ön ucu t=0,5 s sonra

𝑥ö𝑛 = 𝑣. 𝑡 = 4 × 0.5 = 2,0 𝑚

ve arka ucu ise

𝑥𝑎𝑟𝑘𝑎 = 𝑥ö𝑛 − 𝑃𝑢𝑙𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑖ş𝑙𝑖ğ𝑖 = 2,0 − 0,8 = 1,2 𝑚olacaktır. Bu durumda atmanın

t=0,5 s sonraki hali aşağıdaki gibi çizilebilir (Şekil-3).

Şekil-3

b) Şekil-2’den faydalanarak enine hızın konuma bağlı davranışının aşağıdaki

gibi olacağını söyleyebiliriz (Şekil-4):

𝑣𝑦 =𝜕𝑦

𝜕𝑡=𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡= 𝐸ğ𝑖𝑚 ×

𝜕𝑥

𝜕𝑡

𝑣𝑦1 =0,05

0,4× 4 = 0,5 𝑚/𝑠 , 0,8𝑚 ≤ 𝑥 < 1,2𝑚

𝑣𝑦2 =−0,05

0,4× 4 = −0,5 𝑚/𝑠 , 1,2𝑚 < 𝑥 ≤ 1,6𝑚

Şekil-4

61

ÖRNEK-5

Profili t=0 anında 𝜓(𝑦, 0) =3

2𝑦2+1 fonksiyonu ile verilen bir atmayı,

a) 𝑣 = 2 𝑚/𝑠 hızı ile +y yönünde ilerleyen bir puls olarak ifade ediniz.

b) Bu pulsun t=0 ve t=1 s anında y’ye karşı grafiğini çiziniz.

Çözüm:

a) +y yönünde ilerleyen bir pulsu

𝜓(𝑦, 𝑡) = 𝑓(𝑦 − 𝑣𝑡)

formunda yazabiliriz. Eğer 𝜓(𝑦) =3

2𝑦2+1 ifadesinde y yerine 𝑦 − 𝑣𝑡 = 𝑦 − 2𝑡

yazacak olursak +y yönünde 2 m/s hızı ile ilerleyen bir puls elde ederiz.

𝜓(𝑦, 𝑡) =3

2(𝑦 − 2𝑡)2 + 1

b) Bu pulsun

𝑡 = 0 anında 𝜓1(𝑦, 𝑡) =3

2𝑦2+1

𝑡 = 1 𝑠 anında 𝜓2(𝑦, 𝑡) =3

2(𝑦−2)2+1

fonksiyonları ile tanımlıdır. Bu fonksiyonların (Pulsların) grafiği aşağıda

verilmiştir.

62

ÖRNEK-6

Homojen bir kesit alanına sahip bir U borusu göz önüne alınız (Şekil-1). Borudaki

sıvı kolunun uzunluğu yaklaşık l olsun. Borudaki sıvının titreştiğini düşünürsek,

borunun kollarındaki sıvı 𝑑𝑦

𝑑𝑡 hızı ile denge konumuna göre ∓𝑦 arasında titreşir.

Şekil-1

a) Sıvının potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamını yazınız ve buradan

titreşimlerin periyodunun 𝜋√2𝑙/𝑔 olduğunu gösteriniz.

b) Bu şekildeki U borularının yan yana gelmelerinin bir su dalgasının tepe ve

çukur noktalarının arka arkaya gelmeleri olarak düşünebileceğinizi

farzediniz (Şekil-1’e bakınız). a-şıkkındaki sonuçları alarak ve yanyana

gelen U boruları şeklinden hareketle bulunan 𝜆 ≅ 2𝑙 şartını da kullanarak su

üzerindeki dalgaların dalga hızının yaklaşık olarak (𝑔𝜆 )1/2/𝜋 olduğunu

gösteriniz.(Sıvının sadece küçük bir kesrinin U borusunun kollarında

olduğunu varsayınız. Başka bir deyişle U borusundaki sıvı dolu kısmın

uzunluğunu şekildeki l uzunluğuna eşit alabilirsinzi.)

c) Okyanusta 500 m dalga boyuna sahip dalgaların hızını hesaplamak için b-

şıkkının tam sonucu olan 𝑣 = (𝑔𝜆/2𝜋 )1/2 değerini kullanınız.

French-p7.20

Çözüm:

Şekildeki U borusunun sol tarafındaki koldaki sıvı sütunu y kadar aşağı inince

diğer koldaki sıvı sütunu aynı miktarda yükselecektir. y kadarlık sıvı sütununun

kütlesi 𝑚𝑦 = 𝜌𝐴𝑦 olacaktır. Burada 𝜌 sıvının özkütlesi, A borunun kesit alanıdır.

Bu kadar sıvı y kadar yukarıda olmaktan dolayı potansiyel enerji için

𝑈 ≅ 𝑚𝑦𝑔𝑦 = 𝜌𝐴𝑦𝑔𝑦 = 𝜌𝐴𝑔𝑦2

yazabiliriz.

63

Bu olay sırasında sıvı sütunu düşey kolda y kadar yükselirken tüm sıvı v hızı ile

hareket edecektir. Bu durumda kinetik enerji için

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2(𝜌𝐴𝑙)(

𝑑𝑦

𝑑𝑡)2

yazılabilir (U borusundaki sıvı dolu kısmın uzunluğunu yaklaşık şekildeki l

uzunluğuna eşit alınmıştır. Düşey kollardaki sıvı yüksekliği l’ye göre küçük

olduğu söyleniyor. ).

Toplam enerji için

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =1

2(𝜌𝐴𝑙) (

𝑑𝑦

𝑑𝑡)2

+ 𝜌𝐴𝑔𝑦2

Toplam enerjinin korunduğunu kabul edersek

𝜕𝐸

𝜕𝑡= 0

olacaktır. Buradan

1

22(𝜌𝐴𝑙)

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 2𝜌𝐴𝑔𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

veya

1

22(𝜌𝐴𝑙)

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 2𝜌𝐴𝑔𝑦 = 0

veya

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+2𝑔

𝑙𝑦 = 0

veya 𝜔2 =2𝑔

𝑙 alarak

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑦 = 0

yazabiliriz. Bu denklem BHH’in denklemidir. Bu nedenle U borusunun

kollarındaki sıvı BHH yapacaktır. Hareketin periyodu 𝜔2 =2𝑔

𝑙 ifadesinden

kolayca bulunur:

𝜔 = √2𝑔

𝑙 ⇒ 𝑇 = 2𝜋√

𝑙

2𝑔 = 𝜋√

2𝑙

𝑔

Sonuç olarak periyot için

𝑇 = 𝜋√2𝑙

𝑔

64

elde edilir.

b) Sıvının düşey koldaki yüksekliği toplam uzunluğun küçük bir kesri

olduğunu kabul ediniz dendiği için U borusunun yatay uzunluğu yaklaşık

l’ye eşit alınabilir. Bu durumda Şekil-2’den dalga boyu için

𝜆 ≅ 2𝑙

alınabilir. Buradan

𝑣 = 𝜆𝑓 =𝜆

𝑇=

𝜆

𝜋√2𝑙𝑔

=𝜆

𝜋√𝑔

2𝑙 =

1

𝜋√𝜆2𝑔

2𝑙 ≅

1

𝜋√𝜆2𝑔

𝜆 ≅

1

𝜋√𝑔𝜆

𝑣 ≅1

𝜋√𝑔𝜆

elde edilir.

c) Okyanustaki dalgalar için v’nin gerçek ifadesinin

𝑣 = √𝑔𝜆/2𝜋

olduğunu kabul ederek

𝑣 = √9,8 × 500/2𝜋 ≅ 28 𝑚/𝑠

sonucu bulunur. Bu hızı

𝑣 ≅ 100 𝑘𝑚/𝑠𝑎𝑎𝑡

olarak yazabiliriz. Okyanustaki dalganın oldukça hızlı hareket ettiğine dikkat

ediniz.

ÖRNEK-7

Gerilmiş bir ipin bir ucu 𝜏 zamanı süresince 𝑢𝑦 sabit hızı ile enine hareket ediyor

ve takip eden 𝜏 süresi sonunda bu uç −𝑢𝑦 hızı ile başlangıç noktasına geliyor. Bu

olayın sonunda ip üzerinde v hızı ile hareket eden üçgensel bir puls oluşuyor. Bu

pulsun kinetik ve potansiyel enerjilerini hesaplayınız ve bu enerjilerin toplamının

ipin ucunu süren kuvvetin yapmış olduğu işe eşit olduğunu gösteriniz. French-

p7.23

Çözüm:

Üçgensel bir pulsun oluşması için 2𝜏 kadar bir süre geçmesi gerekli (Şekil-1).

65

Şekil-1

Şimdi oluşan bu pulsu hareketini ele alalım. Pulsun genliği 𝐴 = 𝑢𝑦𝜏 ve genişliği

𝑥 = 2𝑣𝜏 olacaktır. Bu pulsun şeklini

𝑦(𝑥) = {

𝐴

𝑣𝜏𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 𝑣𝜏

2𝐴 −𝐴

𝑣𝜏𝑥, 𝑣𝜏 ≤ 𝑥 < 2𝑣𝜏

fonksiyonu ile tanımlayabiliriz. Bu puls +x ekseni yönünde ilerlediği için

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) = {

𝐴

𝑣𝜏(𝑥 − 𝑣𝑡), 0 ≤ 𝑥 < 𝑣𝜏

2𝐴 −𝐴

𝑣𝜏(𝑥 − 𝑣𝑡), 𝑣𝜏 ≤ 𝑥 < 2𝑣𝜏

yazabiliriz.

Kinetik enerji için

𝑑𝐾 =1

2𝜇 (𝜕𝑦

𝜕𝑡)2

𝑑𝑥

ifadesini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Buradan

𝐾 =1

2𝜇 [∫ (

𝜕𝑦

𝜕𝑡)2

𝑑𝑥𝑣𝜏

0

+∫ (𝜕𝑦

𝜕𝑡)2

𝑑𝑥2𝑣𝜏

𝑣𝜏

]

𝐾 =1

2𝜇 [∫ (−

𝐴

𝜏)2

𝑑𝑥𝑣𝜏

0

+∫ (𝐴

𝜏)2

𝑑𝑥2𝑣𝜏

𝑣𝜏

]

𝐾 =1

2𝜇 (𝐴

𝜏)2

[∫ 𝑑𝑥𝑣𝜏

0

+∫ 𝑑𝑥2𝑣𝜏

𝑣𝜏

] =1

2𝜇 (𝐴

𝜏)2

[𝑣𝜏 + 𝑣𝜏] = 𝜇 (𝐴

𝜏)2

[𝑣𝜏]

𝐾 =𝜇𝐴2

𝜏𝑣

elde edilir.

Potansiyel enerji için

𝑑𝑈 =1

2𝑇 (𝜕𝑦

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥

ifadesini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Buradan

66

𝑈 =1

2𝑇 [∫ (

𝜕𝑦

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥𝑣𝜏

0

+∫ (𝜕𝑦

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥2𝑣𝜏

𝑣𝜏

]

𝑈 =1

2𝑇 [∫ (

𝐴

𝑣𝜏)2

𝑑𝑥𝑣𝜏

0

+∫ (−𝐴

𝑣𝜏)2

𝑑𝑥2𝑣𝜏

𝑣𝜏

]

𝑈 =1

2𝑇 (

𝐴

𝑣𝜏)2

[∫ 𝑑𝑥𝑣𝜏

0

+∫ 𝑑𝑥2𝑣𝜏

𝑣𝜏

]

𝑈 = 𝑇 (𝐴

𝑣𝜏)2

𝑣𝜏

Burada 𝑣 = √𝑇

𝜇 olduğunu hatırlarsak potansiyel enerji için

𝑈 =𝜇𝐴2

𝜏𝑣

yazarız. Sistemin mekanik enerjisi

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =2𝜇𝐴2

𝜏𝑣

olacaktır.

Bu ipi titreştiren kuvvetin yaptığı işi hesaplayalım. Burada ipe etki eden enine

kuvvetin 𝐹𝑦 = 𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝑇𝑡𝑎𝑛𝜃 ≅ 𝑇 (𝜕𝑦

𝜕𝑥) ifadesi ile verildiğini biliyoruz (Ders notlarına

bakınız). Bu durumda dy kadar yerdeğiştirme durumunda yapılan diferansiyel iş

için

𝑑𝑊 = 𝐹𝑦𝑑𝑦 = 𝑇𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑑𝑦

yazabiliriz. Yapılan toplam iş için

𝑊 = 𝑇 [∫𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑑𝑦

𝐴

0

+∫𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑑𝑦

0

𝐴

] = 𝑇 [∫𝐴

𝑣𝜏𝑑𝑦

𝐴

0

+∫ −𝐴

𝑣𝜏𝑑𝑦

0

𝐴

]

𝑊 = 𝑇 [∫𝐴

𝑣𝜏𝑑𝑦

𝐴

0

+∫𝐴

𝑣𝜏𝑑𝑦

𝐴

0

] = 𝑇 [2∫𝐴

𝑣𝜏𝑑𝑦

𝐴

0

] =2𝑇𝐴

𝑣𝜏𝐴

𝑊 =2𝑇𝐴2

𝑣𝜏=2𝑣2𝜇𝐴2

𝑣𝜏=2𝜇𝐴2

𝜏𝑣

𝑊 =2𝜇𝐴2

𝜏𝑣

sonucu elde edilir. Buradan

𝑊 = 𝐸 =2𝜇𝐴2

𝜏𝑣

olduğu görülür.

67

RNEK-8

Young modülü Y, kesit alanı S ve yoğunluğu olan bir çubuk üzerinde

𝜉 = 𝜉0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ifadesine uyan bir boyuna sinüzoidal dalgayı göz önüne

alınız. Eğer çubuk üzerindeki zor, sadece dalga yüzünden ise bu durumda kinetik

enerji yoğunluğunun 𝑑𝐾

𝑑𝑥=1

2𝜌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑡)2

ve potansiyel enerji yoğunluğunun

𝑑𝑈

𝑑𝑥=1

2𝑌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑥)2

ile verildiğini gösteriniz. Bir dalga boyluk bölgede kinetik ve

potansiyel enerjilerin 1

4(𝜌𝑆𝜆)𝑢0

2 ile verileceğini gösteriniz. Buradaki 𝑢0

maksimum parçacık hızıdır (𝜕𝜉

𝜕𝑡). French-p7.24

Not: French’in kitabında dalga sayısı 𝑘 =1

𝜆 olarak tanımlanmıştır bu nedenle

dalga fonksiyonu 𝜉 = 𝜉0 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡) şeklinde verilmiştir. Bu ders notlarında

dalga sayısı için 𝑘 =2𝜋

𝜆 tanımı kullanılmıştır. Bu nedenle dalga fonksiyonu olarak

𝜉 = 𝜉0 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) alınmıştır. Ancak bu ayrıntının problemin çözümünde bir

önemi yoktur.

Çözüm:

Kinetik enerji yoğunluğu:

Çubuk üzerinde dx uzunluğunda bir diferansiyel dilim seçelim. Bu dilim içindeki

kütle

𝑑𝑚 = 𝜌𝑆𝑑𝑥

olacaktır. Bu dilimin boyuna titreşimi nedeniyle hızı

𝑣 =𝜕𝜉

𝜕𝑡

olacaktır. Bu durumda bu elemanın kinetik enerjisi için

𝑑𝐾 =1

2(𝜌𝑆𝑑𝑥) (

𝜕𝜉

𝜕𝑡)2

yazabiliriz. Birim uzunluğun kinetik enerjisi yani kinetik enerji yoğunluğu için

𝑑𝐾

𝑑𝑥=1

2𝜌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑡)2

yazabiliriz.

68

Potansiyel enerji yoğunluğu:

Young modülü tarifini hatırlayacak olursanız (Ders notlarına bakınız)

𝑌 =𝑍𝑜𝑟

𝑍𝑜𝑟𝑙𝑎𝑛𝑚𝑎=𝐹 𝑆⁄

∆𝑙 𝑙0⁄

Burada S çubuğun kesit alanı, 𝑙0 çubuğun serbest durumdaki uzunluğu, ∆𝑙 ise

kuvvet uygulandıktan sonra çubuğun boyundaki uzama miktarıdır (∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0).

Bu tanımdan F için

𝐹 = 𝑌𝑆∆𝑙

𝑙0

yazılır. F kuvvetinin etkisinde çubuğun boyu 𝑙0 ’dan 𝑙 ’ye değiştiğinde çubukta

depolanan potansiyel enerji değişimi, bu kuvvetin yaptığı işe eşit olacaktır.

∆𝑈 = 𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑙𝑙

𝑙0

= ∫ 𝑌𝑆𝑙 − 𝑙0𝑙0

𝑑𝑙𝑙

𝑙0

=𝑌𝑆

𝑙0∫ (𝑙 − 𝑙0)𝑑𝑙𝑙

𝑙0

=𝑌𝑆

𝑙0[1

2𝑙2 − 𝑙0𝑙]

𝑙0

𝑙

=𝑌𝑆

𝑙0[1

2𝑙2 − 𝑙0𝑙 −

1

2𝑙02 + 𝑙0

2] =𝑌𝑆

𝑙0[1

2𝑙2 − 𝑙0𝑙 +

1

2𝑙02] =

1

2

𝑌𝑆

𝑙0[𝑙2 − 2𝑙0𝑙 + 𝑙0

2]

=1

2

𝑌𝑆

𝑙0(𝑙 − 𝑙0)

2 =1

2

𝑌𝑆

𝑙0(∆𝑙)2 =

1

2𝑌𝑆∆𝑙

𝑙0∆𝑙 =

1

2𝐹∆𝑙

elde ederiz. Aşağıdaki şekli dikkate alırsak

∆𝑙 yerine 𝑑𝜉 ve 𝑙0 yerine 𝑑𝑥 alabiliriz. Bu durumda potansiyel enerjideki

diferansiyel değişim için

𝑑𝑈 =1

2𝑌𝑆𝑑𝜉

𝑑𝑥𝑑𝜉 =

1

2𝑌𝑆(𝑑𝜉)2

𝑑𝑥=1

2𝑌𝑆(𝜕𝜉𝜕𝑥𝑑𝑥)2

𝑑𝑥=1

2𝑌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑥)2 (𝑑𝑥)2

𝑑𝑥=1

2𝑌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥

Birim uzunluğun potansiyel enerjisi yani potansiyel enerji yoğunluğu için

𝑑𝑈

𝑑𝑥=1

2𝑌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑥)2

yazabiliriz. Bir dalga boyu içindeki kinetik ve potansiyel enerjinin hesabı için 𝜕𝜉

𝜕𝑡

ve 𝜕𝜉

𝜕𝑥 türevlerine ihtiyaç vardır:

69

𝜉 = 𝜉0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝜕𝜉

𝜕𝑡= 𝜉0𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ⇒ (

𝜕𝜉

𝜕𝑡)2 = 𝜉0

2𝜔2𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝜕𝜉

𝜕𝑥= −𝜉0𝑘 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ⇒ (

𝜕𝜉

𝜕𝑥)2 = 𝜉0

2𝑘2𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Bir dalga boyluk bölgede kinetik enerji:

𝐾 = ∫1

2𝜌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑡)2

𝑑𝑥𝜆

0

=1

2𝜌𝑆𝜉0

2𝜔2∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑥𝜆

0

𝐾 =1

2𝜌𝑆𝜉0

2𝜔2∫1

2[1 − cos 2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑥

𝜆

0

𝐾 =1

2𝜌𝑆𝜉0

2𝜔21

2𝜆

𝐾 =1

4𝜌𝑆𝜆𝑢0

2

Burada 𝑢0 =𝜕𝜉

𝜕𝑡 |𝑚𝑎𝑥

= 𝜉0𝜔 dır.

Bir dalga boyluk bölgede potansiyel enerji:

𝑈 = ∫1

2𝑌𝑆 (

𝜕𝜉

𝜕𝑥)2

𝑑𝑥𝜆

0

=1

2𝑌𝑆𝜉0

2𝑘2∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑥𝜆

0

𝑈 =1

2𝑌𝑆𝜉0

2𝑘2∫1

2[1 − cos 2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑥

𝜆

0

𝑈 =1

2𝑌𝑆𝜉0

2𝑘21

2𝜆

𝑈 =1

4𝑌𝑆𝜆𝜉0

2𝑘2

𝑣 = √𝑌/ ⇒ 𝑌 = 𝜌𝑣2 = 𝜌𝜔2

𝑘2 değerini yerine yazarak

𝑈 =1

4𝜌𝜔2

𝑘2𝑆𝜆𝜉0

2𝑘2 =1

4𝜌𝑆𝜆𝜉0

2𝜔2

𝑈 =1

4𝜌𝑆𝜆𝑢0

2

elde ederiz.

70

ÖRNEK-9

Yoğunluğu 𝜌 ve yüzey gerilimi T olan bir sıvıda yüzey dalgalarının faz hızı

𝑣𝑓 = [𝑔𝜆

2𝜋+2𝜋𝑇

𝜆𝜌]1/2

ifadesi ile veriliyor. Burada 𝜆 dalga boyu, g yerçekim ivmesidir.

a) Yüzey dalgalarının grup hızını (𝑣𝑔) bulunuz.

b) Faz hızı (𝑣𝑓) minimumken dalga boyunu (𝜆) bulunuz.

c) 𝑣𝑓’nin minimum değerini ve buna karşı gelen 𝑣𝑔 değerini elde ediniz.

Çözüm:

a) 𝑣𝑓 =𝜔

𝑘 ve 𝑣𝑔 =

𝑑𝜔

𝑑𝑘 olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız).

Buradan

𝜔 = 𝑘𝑣𝑓 = 𝑘 [𝑔𝜆

2𝜋+2𝜋𝑇

𝜆𝜌]1/2

= 𝑘 [𝑔

2𝜋/𝜆+2𝜋𝑇

𝜆𝜌]1/2

= 𝑘 [𝑔

𝑘+𝑘𝑇

𝜌]1/2

𝜔 = [𝑔𝑘 +𝑘3𝑇

𝜌]

1/2

yazabiliriz.

𝑣𝑔 =𝑑𝜔

𝑑𝑘=1

2[𝑔𝑘 +

𝑘3𝑇

𝜌]

−12

(𝑔 + 3𝑘2𝑇

𝜌)

𝑣𝑔 =𝑔 + 3

𝑘2𝑇𝜌

2 [𝑔𝑘 +𝑘3𝑇𝜌 ]

1/2=

𝑔 + 3(2𝜋𝜆)2𝑇

𝜌

2 [𝑔2𝜋𝜆+(2𝜋𝜆)3𝑇

𝜌 ]

1/2

𝑣𝑔 =𝑔 +

12𝜋2𝑇𝜌𝜆2

2 [2𝜋𝑔𝜆+8𝜋3𝑇𝜌𝜆3

]1/2

elde ederiz.

b) 𝑣𝑓’nin minimum değerinde 𝑑𝑣𝑓

𝑑𝜆= 0 ve

𝑑2𝑣𝑓

𝑑𝜆2> 0 olmalıdır (Bir fonksiyonun

minimum olma kriteri).

𝑣𝑓’nin minimum olduğu yerde (𝑣𝑓)2 de minimum olacağı için (𝑣𝑓)

2’yi minimum

yapacak değeri aramak daha kolay olacaktır.

71

𝑣𝑓2 =

𝑔𝜆

2𝜋+2𝜋𝑇

𝜆𝜌

𝑑𝑣𝑓2

𝑑𝜆=𝑔

2𝜋−2𝜋𝑇

𝜆2𝜌= 0

olmalıdır. Buradan

𝜆 = 2𝜋 [𝑇

𝜌𝑔]1/2

𝑑2𝑣𝑓2

𝑑𝜆2=4𝜋𝑇

𝜆3𝜌> 0

olduğunu görmek zor değildir. Buradan 𝜆 = 2𝜋 [𝑇

𝜌𝑔]1/2

değerinde 𝑣𝑓 ’nin değeri

minimum olacağını söyleyebiliriz. 𝜆’nin bu değeri faz hızı için verilen ifadede

yerine yazılarak

𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛=

[ 𝑔2𝜋 [

𝑇𝜌𝑔]

1/2

2𝜋+

2𝜋𝑇

2𝜋 [𝑇𝜌𝑔]

1/2

𝜌] 1/2

𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛=

[

𝑔 [𝑇

𝜌𝑔]1/2

+𝑇

[𝑇𝜌𝑔]1/2

𝜌] 1/2

𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛= [[

𝑇𝑔

𝜌]1/2

+ [𝑇𝑔

𝜌]1/2

]

1/2

𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛= [2 [

𝑇𝑔

𝜌]1/2

]

1/2

𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛= √2 [

𝑇𝑔

𝜌]1/4

elde ederiz. 𝜆 = 2𝜋 [𝑇

𝜌𝑔]1/2

değerini grup hızını veren ifadede yerine yazarak 𝑣𝑓’yi

minimum yapan 𝜆 değerinde 𝑣𝑔 grup hızının değerini buluruz.

𝑣𝑔 =𝑔 +

12𝜋2𝑇𝜌𝜆2

2 [2𝜋𝑔𝜆+8𝜋3𝑇𝜌𝜆3

]1/2

=

𝑔 +12𝜋2𝑇

𝜌(2𝜋 [𝑇𝜌𝑔]

1/2

)2

2

[

2𝜋𝑔

2𝜋 [𝑇𝜌𝑔]

1/2 +8𝜋3𝑇

𝜌(2𝜋 [𝑇𝜌𝑔]

1/2

)3] 1/2

72

𝑣𝑔 =4𝑔

2 [𝑔 [𝜌𝑔𝑇 ]

1/2

+ 𝑔 [𝜌𝑔𝑇 ]

1/2

]1/2

𝑣𝑔 = √2 [𝑇𝑔

𝜌]1/4

elde ederiz.

ÖRNEK-10

Sodyum lambasının sarı ışığının dalga boyu 𝜆1 = 589,00 𝑛𝑚 ve 𝜆2 = 589,59 𝑛𝑚

olan iki bileşeni vardır. Özel bir camın bu dalga boylarına karşı kırma indisi 𝑛1 =

1,6351 ve 𝑛2 = 1,6350 dir.

a) Bu iki dalganın cam içindeki faz hızlarını belirleyiniz.

b) Sodyum ışığının dar bir pulsunun camdan geçerken hızını belirleyiniz.

Sonuçları ışığın boşlukta yayılma hızı c ( ≅ 2,99792 × 108 𝑚/𝑠) cinsinden

veriniz. (George C. King)

Çözüm:

a) Faz hızını kırma indisi tanımından bulabiliriz:

𝑛 =𝑐

𝑣𝑓

Buradaki 𝑣𝑓 faz hızıdır.

𝑣𝑓1 =𝑐

𝑛1=

𝑐

1,6351= 0,61158𝑐

𝑣𝑓2 =𝑐

𝑛2=

𝑐

1,6350= 0,61162𝑐

b) Işık pulsu cam içinde grup hızı ile yayılır (Ders notlarına bakınız).

Faz hızı için: 𝑣𝑓 =𝜔

𝑘 (7.72)

Grup hızı için: 𝑣𝑔 =𝑑ω

𝑑𝑘 (7.73)

ifadelerini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız)

𝑣𝑔 =𝑑𝜔

𝑑𝑘 ifadesi ile tanımlanan grup hızı ifadesine yeniden bakalım.

𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋𝑣𝑓𝜆= 𝑘𝑣𝑓

yazılabilir. Bu durumda

73

𝑣𝑔 =𝑑𝜔

𝑑𝑘=𝑑(𝑘𝑣𝑓)

𝑑𝑘= 𝑣𝑓 + 𝑘

𝑑𝑣𝑓

𝑑𝑘= 𝑣𝑓 + 𝑘

𝑑𝑣𝑓

𝑑λ 𝑑λ

𝑑𝑘 (7.74)

yazabiliriz. 𝑘 =2𝜋

𝜆 tanımından λ =

2𝜋

𝑘 yazılırsa

𝑑λ

𝑑𝑘= −

2𝜋

𝑘2= −

2𝜋

𝑘 1

𝑘= −

λ

𝑘 (7.75)

elde edilir. Bu sonuç (7.74) eşitliğinde kullanılırsa grup hızı için

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 + 𝑘𝑑𝑣𝑓

𝑑λ(−

λ

𝑘) = 𝑣𝑓 − λ

𝑑𝑣𝑓

𝑑λ

ifadesini yazabiliriz. Burada 𝑑𝑣𝑓

𝑑λ=𝑑𝑣𝑓

𝑑𝑛

𝑑𝑛

𝑑λ değeri kullanılarak

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 − λ𝑑𝑣𝑓𝑑𝑛

𝑑𝑛

𝑑λ

yazılır.

𝑣𝑓 =𝑐

𝑛 ⇒

𝑑𝑣𝑓

𝑑n= −

𝑐

𝑛2= −

𝑣𝑓

𝑛 olduğundan

𝑑𝑣𝑓

𝑑λ=𝑑𝑣𝑓

𝑑𝑛

𝑑𝑛

𝑑λ= −

𝑣𝑓

𝑛

𝑑𝑛

𝑑λ

yazılır. Bunu grup hızı ifadesinde yerine yazarak

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 − λ𝑑𝑣𝑓

𝑑λ= 𝑣𝑓 − λ(−

𝑣𝑓

𝑛

𝑑𝑛

𝑑λ)

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 [1 +λ

𝑛

𝑑𝑛

𝑑λ]

elde ederiz.

Sodyum lambasından çıkan sarı ışığın cam içindeki faz hızı için iki bileşenin faz

hızları ortalamsı alınabilir:

𝑣𝑓 =𝑣𝑓1 + 𝑣𝑓2

2=0,61158𝑐 + 0,61162𝑐

2≅ 0,61160𝑐

Sodyum lambasından çıkan sarı ışığın cam içindeki dalga boyu için iki bileşenin

dalga boylarının ortalamsı alınabilir:

λ =λ1 + λ22

=589,00 + 589,59

2≅ 589,295 𝑛𝑚

Benzer şekilde sodyum lambasından çıkan sarı ışığın cam içindeki kırma indisi

için iki bileşenin kırma indisi ortalamsı alınabilir:

𝑛 =𝑛1 + 𝑛22

=1,6351 + 1,6350

2≅ 1,63505

Bu değerler kullanılarak

74

𝑑𝑛 = 𝑛2 − 𝑛2 = 1,6350 − 1,6351 = −0,0001

𝑑λ = λ2 − λ1 = 589,59 − 589,001 = 0,59 𝑛𝑚

yazabiliriz. Bu değerler

𝑣𝑔 = 𝑣𝑓 [1 +λ

𝑛

𝑑n

𝑑λ]

ifadesinde kullanılarak grup hızı için

𝑣𝑔 = 0,61160c [1 +589,295

1,63505

(−0,0001)

0,59]

𝑣𝑔 = 0,61160c[1 − 0,06109] = 0,61160c[0,93891]

𝑣𝑔 ≅ 0,5742c

sonucu elde edilir.

ÖRNEK-11

Boşlukta bir düzlem elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni aşağıdaki

şekilde tanımlıdır:

𝐸𝑥 = 0

𝐸𝑦 = 0,50𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]

𝐸𝑥 = 0

Burada tüm niceliklerin birimi SI-birim sistemindedir.

a) Bu elektromanyetik dalganın kutuplanmasını, dalga sayısını, dalga boyunu,

frekansını belirleyiniz.

b) Bu dalganın mayetik alan bileşenini belirleyiniz.

Çözüm:

a)

Verilen elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni y-ekseni doğrultusundadır

ve dalga +x yönünde yayılmaktadır. Bu nedenle verilen dalga y-ekseni

doğrultusunda doğrusal kutuplu (veya xy-düzleminde düzlemsel) kutupludur.

Bu özellikte bir elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni için

𝐸𝑦 = 𝐸0𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 − 𝜔𝑡]

yazıldığını biliyoruz. Bu ifade ile verilen fonksiyon karşılaştırılırsa

𝑘 =2𝜋

𝜆= 2,09 𝑟𝑎𝑑/𝑚 ⇒ 𝜆 =

2𝜋

2,09≅ 3,01 𝑚

75

𝜔 = 2,09𝑐 = 2,09 × 3 × 108 ⇒ 2𝜋𝑓 = 2,09 × 3 × 108 ⇒ 𝑓 =2,09×3×108

2𝜋≅ 1 × 108 𝐻𝑧

b)

∇ × E = −𝜕��

𝜕𝑡 ifadesinden faydalanarak dalganın �� manyetik alan bileşenini

belirleyebiliriz.

𝜕��

𝜕𝑡= −∇ × E = − |

𝚤 𝑗 ��

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

0 𝐸𝑦 0

| = −𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥�� = 0,50 × 2,09𝑠𝑖𝑛[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]��

𝜕��

𝜕𝑡= 0,50 × 2,09𝑠𝑖𝑛[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]��

�� = ∫0,50 × 2,09𝑠𝑖𝑛[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]�� 𝑑𝑡 =0,50 × 2,09

2,09𝑐 𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]��

�� =0,50 × 2,09

2,09 × 3 × 108 𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]�� =

1

610−8 𝑐𝑜𝑠[2,09(𝑥 − 𝑐𝑡)]��

elde edilir.

ÖRNEK-12

Boşlukta bir düzlem elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni aşağıdaki

şekilde tanımlıdır:

𝐸𝑥 = 0

𝐸𝑦 = 0,50𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]

𝐸𝑧 = 0,50𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]

Burada tüm fiziksel nicelikler SI-birim sistemindedir.

a) Bu elektromanyetik dalganın dalga boyunu, frekansını, kutuplanmasını ve

dalga vektörünü belirleyiniz.

b) Bu dalganın mayetik alan bileşenini belirleyiniz.

Çözüm:

a) Verilen elektromanyetik dalga pozitif x-ekseni yönünde yayılmaktadır. Elektrik

alan bileşenleri y-z düzleminde aynı faz ve aynı genlikli olduklarından y-ekseni

(veya z-ekseni) ile 45 derece açı yapacak şekilde olduklarından 𝑦 = 𝑧 doğrusu

boyunca doğrusal kutupludur. Verilen elektrik alan bileşenlerinini

𝐸𝑦 = 𝐸0𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 − 𝜔𝑡]

𝐸𝑧 = 𝐸0𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 − 𝜔𝑡]

76

şeklinde yazıldığını biliyoruz. Bu ifade ile verilen fonksiyonlar karşılaştırılırsa

𝑘 =2𝜋

𝜆= 0,419 𝑟𝑎𝑑/𝑚 ⇒ 𝜆 =

2𝜋

0,419≅ 15 𝑚

𝜔 = 0,419𝑐 = 0,419 × 3 × 108 ⇒ 2𝜋𝑓 = 0,419 × 3 × 108 ⇒

𝑓 = 0,419 × 3 × 108/2𝜋 ≅ 2 × 107 𝐻𝑧

Verilen ifadeye göre dalga +x yönünde ilerlemektedir. Bu nedenle dalga

vektörü 𝚤 birim vektörü yönünde olacaktır. Bu nedenle

𝒌 = 𝑘𝚤 = 0,419𝚤 𝑟𝑎𝑑/𝑚

olur (Buradaki k vektörü +z yönündeki �� birim vektörü değildir).

b)

∇ × E = −𝜕��

𝜕𝑡 ifadesinden faydalanarak dalganın �� manyetik alan bileşenini

belirleyebiliriz.

𝜕��

𝜕𝑡= −∇ × E = − |

|

𝚤 𝑗 ��

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧0 𝐸𝑦 𝐸𝑧

|| =

𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥

𝑗 −𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥��

Buradan

�� = ∫ [𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥

𝑗 −𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥�� ] 𝑑𝑡 = 0,50 × 0,419∫[−𝑠𝑖𝑛[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑗 + 𝑠𝑖𝑛[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]�� ]𝑑𝑡

�� =0,50 × 0,419

0,419𝑐[−𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑗 + 𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]�� ]

�� = 0,17 × 10−8[−𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]𝑗 + 𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]�� ]

elde edilir. Başaka bir deyişle manyetik alan vektörünün bileşenleri

𝐵𝑥 = 0

𝐵𝑦 = −0,17 × 10−8𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]

𝐵𝑧 = 0,17 × 10−8𝑐𝑜𝑠[0,419(𝑥 − 𝑐𝑡)]

ifadeleriyle tanımlanır.