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La Enculturación Matemáticas de Alan Bishop y las actividades

universales.

Contar

La historia de las matemáticas, registra variadas técnicas de conteo y diferentes

sistemas de numeración. Contar y asociar son de las actividades universales las más obvias.

Para Alan Bishop (1988), contar es una actividad relacionada con las necesidades del

medio ambiente que ha generado el desarrollo de diferentes lenguajes y formas de

representación.

Conceptos generados:

Números, modelos numéricos, números amigables, desarrollo de sistemas numéricos,

representación algebraica, lo infinitamente grande, lo infinitamente pequeño, eventos,

probabilidades, frecuencia, métodos numéricos, técnicas de conteo, iteración, combinatoria,

límites.

OBS: Contar sucesos, en contraste a contar objetos, permite comprender en gran

medida la predicción, la probabilidad y el azar, y representar grandes cantidades de sucesos

estimula la necesidad de un sistema, de símbolos y de representaciones como las gráficas

de frecuencias.

Actividades que se podrían emplear para desarrollar el concepto de contar:

Estas actividades abundan en el entorno del niño y el estudio de sucesos reales,

aniversarios, miembros de la familia, etc.

Preguntas de discusión:

1. ¿Cuántos apretones de manos se dan seis personas cuando se encuentran? (Análogo a

¿cuántas diagonales tiene un hexágono?)

2. ¿Cuántos granos de arena hay en una playa?

3. ¿Cuántas estrellas hay en el cielo?

4. También sirven las “pautas numéricas” como los números triangulares, los números de

Fibonnacci.

5. Se pueden emplear también las fracciones y los decimales.

Otras observaciones al respecto

Contar y asociar objetos con números tiene una historia muy larga y bien

documentada. Menninger (1969) proporciona un análisis básico sobre el tema.

La gama de sistemas de contar existentes ha sido y sigue siendo enorme. Existen

bases distintas para los sistemas de contar (contar con los dedos, contar con gestos)

(Zaslavsky, 1973).

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Por necesidad social y ambiental, los pueblos “primitivos” desarrollaron maneras de

describir números muy grandes. Es decir, se desarrolla una tecnología simbólica como

respuesta de una necesidad percibida.

Pero la necesidad de contar aparece también incluso en situaciones sociales donde no

existe la necesidad de emplear números muy grandes: como los antiguos aborígenes

autralianos con su numeración “uno, dos, muchos” (Harris, 1980).

Por otra parte, los sistemas númericos “civilizado” y “primitivo” no son los únicos.

En un estudio realizado por Glen Lean de la University of Technology se documentan

más de 500 sistemas de contar. Para, Lancy (1978; 1983) luego de analizar 225 sistemas de

contar conformó cuatro grupos:

Tipo I: sistemas basados en contar partes del cuerpo (variando de 12 a 68).

Tipo II: sistemas que emplean piezas (varillas, piedras, etc). (La base numérica suele estar

entre 2 y 5).

Tipo III: bases mixtas de 5 y 20 que emplean nombres de números compuestos como “dos

manos y un pie” para denotar 15.

Tipo IV: sistemas de base 10 con varios nombres discretos para los números en vez de

nombres compuestos.

Localizar

Esta actividad es más fundamental que la de contar. Los diferentes pueblos han

desarrollado distintas maneras de referirse a su medio ambiente espacial: el sol, la luna, la

tierra.

Se establece la diferencia entre el individuo y el espacio.

En un estudio realizado por Pintex (1983) con los indios Navajos de Norteamerica,

distinguió tres niveles:

1. Es espacio físico o espacio objetivo

2. El espacio sociogeográfico. En la opinión de Bishop (1988) es el más importante para

generar ideas matemáticas.

3. El espacio cosmológico

Categorias sobre la noción espacial de Pintex:

Cerca, separado, contiguo

Parte/totalidada

Bordear/limitar

Interno/externo, central/periférico

Convergente/divergente

Voluminosidad/planicie

Precede/seguir (en frente de, en la parte posterior)

Profundo, lejos (dimensión de profundo)

Distante (métrico)

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Sobre/abajo, a un lado/hacia abajo

Vertical, derecho (dimensión)

Alto/profundo (métrico)

Lateral, próximo a

Izquierda/derecha

Horizontal (dimensión)

Amplio, ancho (métrico)

Localizar tiene que ver con la codificación y la manera en que se simboliza el entorno

espacial.

Conceptos generados

Orientación, desarrollo de coordenadas (rectángulares, polares, esféricas), latitud y

longitud, relaciones (colocación de una cosa respecto a otra), ángulos, líneas, redes,

itinerarios, cambios de posición, cambios de orientación (rotación, reflexión).

Medir

Considerada como la tercera actividad universal. Se refiere a comparar y ordenar

propiedades cuantificables.

El cuerpo humano probablemente generó la primera noción de medida; se puede

afirmar también que la necesidad de medir surge cuando se compara un fenómeno.

Las unidades y sistemas de medida varían de una cultura a otra ya que estas se

desarrollan en función de las unidades ambientales: De distancia (un día de viaje); de

tiempo (cuantos días se requieren para hacer un sombrero); etc.

Conceptos generados

Comparación, ordenación, longitud, área, volumen, tiempo, temperatura, peso,

desarrollo de unidades de medida (convencional, estándar, sistema métrico), instrumentos

de medición, estimación, aproximación, error.

Diseñar

Relacionado con la construcción de objetos hechos por el hombre para satisfacer sus

necesidades materiales, espirituales y de convivencia; es una actividad que transforma la

naturaleza, convierte a la materia prima.

Se puede definir como una acción intencional que se convierte en una acción

creadora, que implica también imaginar a la naturaleza sin las partes innecesarias.

Lo realmente importante desde el punto de vista matemático no es el “producto

acabado que se diseña”, sino el plan (procedimiento, propósito, proyecto, estrategia) y la

estructura, la forma imaginada, la relación espacial percibida entre el objeto y el

propósito, la forma abstracta y el proceso de abstracción (Bishop, 1988).

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No obstante, a partir del “objeto-producto” (objeto diseñado), se pueden construir

otros semejantes.

Por otra parte, los trazos o dibujos, responden a la necesidad de representar el objeto

diseñado sin tener que construirlo y para ello es necesario concebir ideas y aplicar

conceptos matemáticos.

Localizar vs. Diseñar

Localizar se refiere a uno mismo dentro del ambiente natural; diseñar concierne a la

transformación de la naturaleza por la acción del hombre. Por ello, el diseño se ha

convertido en una fuente importante de ideas matemáticas y éstas surgen esencialmente de

la imaginación (creatividad) y no de la manufactura (fabricación).

Conceptos generados

Forma, tamaño, escala, medida, propiedades de los objetos, formas geométricas

(planas y sólidas), propiedades de las formas, semejanza, congruencia, proporción, razón.

Jugar

Es una actividad presente en todas las culturas. Representa una forma de

abstracción de la realidad.

Para Huizinga (1949), el juego es “voluntario, libre, no es una tarea, no es ordinario,

no es real; … es parte integral de la vida y por lo tanto una necesidad; … crea orden y es

ordenado, tiene reglas, ritmos y armonía; … tiene elementos de tensión, incertidumbre,

oportunidad; … no tiene función moral; el límite real y no real esta bien establecido”.

El juego es tan antiguo como el hombre mismo, y por lo mismo ha sido significativo

para el desarrollo de las culturas. Además de que el “espíritu de competencia” genera un

impulso social.

El juego capacita a los jugadores para la estimación, la predicción, la indagación

(actividades propiamente matemáticas) y para hacer conjeturas sobre la acción propia y la

del contrario.

Por ello, a partir de la actividad de jugar, se pueden (y deben) desarrollar importantes

ideas matemáticas.

Roth (1902), clasifica los juegos en:

Imaginativos (narración de fábulas, leyendas, etc.)

Realistas (retozar, jugar con mascotas, etc.)

Imitativos (imitación de la naturaleza y de las actividades de los adultos)

Discriminativos (esconderse y buscar, las adivinanzas, etc.)

Disputativos (dos bandos opuestos tirando de una cuerda, etc)

Propulsivos (patinar, lanzar varas o piedras, etc.)

Exultativos (música, canto, etc.)

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Conceptos generados

Acertijos, adivinanzas, enigmas, paradojas, juegos, modelos, reglas de juego,

procedimientos, estrategias, predicciones, conjeturas, probabilidad, razonamiento

hipotético, análisis de juego.

Explicar

Actividad humana que esta orientada a dar respuestas a las experiencias que tiene el

hombre con su medio ambiente, al universo y a su ubicación dentro de él.

Se trata de la construcción de un discurso; a la construcción de argumentos;

responde a interrogantes “simples” (¿cuántos?, ¿dónde?, ¿cuánto?, ¿qué?, ¿cómo?) y a

preguntas “complejas” (¿por qué?); conduce a la elaboración de conceptos y modelos.

Una forma de ordenar la actividad de explicar es mediante la clasificación (“lluvía de

ideas”, “mapa conceptual”, “escritura libre”); por tanto clasificar es una actividad universal

(Bishop, 1988) pero la “clasificación obtenida” no lo es.

Otra forma de explicar es por medio del relato (cuentos populares, leyendas,

historias) que constituye la acumulación de la sabiduría de un pueblo. Lo importante de

un relato es su estructura (premisas, conclusiones, conectores lógicos y cuantificadores) y

se eslabona a través de una serie de ideas y argumentos variados.

Stevens (1972), clasifica las expresiones lógico-gramaticales de la siguiente manera:

1. Encadenamiento y secuencia lógica de ideas: y, igualmente, además, es más,

simultáneamente, así, del mismo modo, aparte de, así también como, además de.

2. Prarafrase y aposición: como, similarmente, como si, del mismo modo, de manera

semejante.

3. Causa-idea: consiguiente, de conformidad, cómo, por qué, consecuentemente, de

aquí que, una vez, (que algo ha ocurrido) desde que, por lo tanto, hasta, cada vez que,

tan pronto como, ya que, como resultado de, por medio de, debido a, con el propósito

de, a fin de, lo que sigue, a causa de, condición necesaria y suficiente.

4. Oposición o contraste: alternativamente, aunque, pero, sin embargo, no obstante, a

pesar de que, empero, por otra parte, de lo contrario, en vista de que, mientras que,

todavía, aún cuando, a pesar de, sin tener en cuenta, condición necesaria pero no

suficiente.

5. Restricción: excepto, imposible, ocasionalmente, sólo, trivial, incierto, a menos que,

a no ser que, sólo sí, sí y sólo sí, sólo cuando.

6. Hipótesis: concluye, confirma, considera, deduce, idea, infiera, invalida, refuta,

supone, teóricamente, valida, en principio, continúa, parece que.

7. Averiguación: ¿qué tan grande?, ¿qué tan largo?, ¿cuántos?, etc. (en Bishop, 1989).

La explicación es pues, la actividad que hace explícitas las conexiones entre los

fenómenos y las teorías; busca la unidad dentro de la diversidad; lo simple dentro de lo

complejo; el orden dentro del caos; lo regular en lo irregular; “es la búsqueda de los

antónimos” (CGN).

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Conceptos generados

Clasificación, convención, generalización, argumentación, conexiones lógicas,

demostraciones, explicación simbólica (ecuaciones, fórmulas, algoritmos, funciones)

Genera la interpretación de figuras (diagramas, gráficas, mapas, matrices),

estructuras matemáticas (axiomas, teoremas, análisis, consistencias), así como de modelos

matemáticos (proposiciones tomadas sin prueba, analogías, generalizaciones, prediciones).

BISHOP, Alan J. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una

perspectiva cultural. Barcelona: Temas de educación. Paidós.