[1p0(1p)][1p0(1p)]Peluang Gagal: 0 Peluangnya adalah:=(1/2)3 x (1/2)21Contoh BinomialPenyelesaian:Satu cara mendapat tepat 3 kepala: HHHTTP(heads)xP(heads) xP(heads)xP(tails)xP(tails)Cara lain mendapatkan tepat 3 kepala: THHHT Peluangnya = (1/2)1 x (1/2)3 x (1/2)1 = (1/2)3 x(1/2)2Contoh BinomialMelempar koin sebanyak 5 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 3 kepala?Catatan:- Percobaan Diskrit- Mempunyai keluaran biner (ya dan tidak atau 1 dan 0)- mempunyai peluang yang sama tiap kali lemparanP X p p pPerilaku Distribusi BernoulliE(X) = pVar (X) = p(1-p)Var(Y ) E(Y 2 ) E (Y )22 2 2p p 2p(1 p)Definisi: BernoulliPercobaan Bernoulli: Hanya terdapat satu kali percobaan dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1-p 1 1 1 1Peluang Sukse: P( X 1) p (1 p) p 1 ( 0) 1 0 (1 )1 0 1=THHHT(1/2)3 x (1/2)2HTTHH(1/2)3 x (1/2)2Peluang dari tiapuntukHTHHT(1/2)3 x (1/2)2unik3 kepalaHTHTH(1/2)3 x (1/2)2samapercobaanTHHTH(1/2)3 x (1/2)2P(3 kepala dan 2 ekor)x P(heads)3 x P(tails)2 =20 1 2 3 4 5 Binomial distribution function:X= banyaknya keluar kepala dari 5 kali percobaanp(x)xbanyaknya kepala 5 3 10 x ()5=31.25%Atau lihat tabel BinomialContoh BinomialKeluaran PeluangHHHTT (1/2)3 x (1/2)2TTHHH (1/2)3 x (1/2)2 5 3 cara HHTTH (1/2)3 x (1/2)2 pengaturan yang mengatur THTHH (1/2)3 x (1/2)2 Cat: peluangnyadalam 5 HHTHT (1/2)3 x (1/2)2HTHHT (1/2)3 x (1/2)25C3 = 5!/3!2! = 1010 pengaturan x (1/2)3 x (1/2)2Contoh BinomialJadi, (1/2)3 x (1/2)2 merupakan peluang untuk mendapatkan tepat 3 kepala dan 2 ekorSehingga, peluang untuk mendapat 3 kepala dan 2 ekor (sejauh yang kita dapat sekarang) adalah:1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + ..Namun, terdapat lebih dari satu pengaturan 3 kepala dan 2 ekor. Ada berapa cara untuk mengaturnya?sukses dari nsukses=Var (X) = np(1-p)xx =SD (X)=np(1 p)3catatan: varians akanp(1-p) mencapai maksP(1-p)=.25Definisi: BinomialJika X mengikuti distribusi binomial dengan parameter n dan p: X ~ Bin (n, p)Maka:x= E(X) = np2 berada antara0*N - 0.25 *Nsaat p=.5Definisi: Binomial Binomial: Misal terdapat n percobaan yang saling bebas, dan tiap percobaan menghasilkan sebuah sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika total banyaknya sukses, X, merupakan peubah acak Binomial dengan parameter n dan p. Penulisannya adalah: X ~ Bin (n, p) {dibaca: Xiberdistribusi binomial dengan parameter n dan p} Dan peluang bahwa X=r (i.e., terdapat tepat r sukses)adalah: n P( X r) p r (1 p)n r r p X (1 p)n XDistribusi Binomial, secara umumBentuk umum dari distribusi Binomial adalah:n = banyak percobaan n X 1-p = peluang gagalX = # banyak p = peluang percobaanDistribusi Peluang Binomial Banyak yang tepat dari sejumlah observasi (percobaan),n Contoh: koin dilempar 15 kali, 20 pasien, 1000 orang yang ikut survei Peubah Acak Biner Contoh: kepala atau ekor, rusak atau baik, laki atau perempuan Secara umum disebut sukses atau gagal Peluang sukses adalah p, peluang gagal adalah 1 p Untuk setiap observasi percobaan adalah konstan Contoh: pe;uang mendapatkan kepala adalah sama untuk tiap percobaansebagai banyaknya percobaan sampaiBanyaknya koin dilempar sampai keluar ekorsamapi ekor muncul pertama kalinya Ingat penjumlahan semua peluang adalah 1: PX p 1 p 1 p px1 p p x 1 p1X4Distribusi Geometric Perhatikanbahwa tidak terdapat batas atas untuk Xx 1 x 1x 1 x 1 x 11x 0 1 pDeret Geometric 16Distribusi GeometricFungsi peluang dari distribusi GeometricPX 1 1 pPX 2 p 1 p2PX 3 p p 1 p p 1 pseterusnya.Jadi, PX x ? (x bil. Bulat positif)P x p x 1 1 pDistribusi Geometric Distribusi geometric biasanya diterjemahkan kejadian gagal terjadi.untuk pertama kalinya. Peubah acak X adalah banyaknya lemparan Peluang muncul kepala (sukses) adalah p.14Definisi: BinomialFor X~Bin (N,p)nX YBernouilli ;Var (Y ) p(1 p)i 1n nVar ( X ) Var (Y ) Var (Y ) np(1 p)i 1 i 11px 0xp x 1 1xp x 1xPxp1px 1x 1x 1221ppeluangnya adalah5P(X=x) 6 6 Contoh: GeometricSebuah dadu dilempar sampai mata 6 didapatkan. Jika X adalah banyaknya percobaan sampai sukses didapatkan, maka tabelX 1 2 3 4 5 n1 5 1 521 531 54 1 5n 116 6 6 6 6 6 6 6 6Gunakan tabel diatas untuk mendapatkan mean dan varians. Apa hasilnya?Distribusi Geometric LanjutanVariance:V X p 1 p 2Distribusi Geometric lanjutanExpectation: X 1 11 p 2 1 pDistribusi Geometric p x 1 (| p | 1)Turunkan kedua sisi terhadap p:xp x 1 1 1 1 1 x 0 (1 p) (1 p)176Negatif BinomialMeanVariansApa yang dimaksud Negatif?Nama Negatif dimaksudkan sebagai aplikasi bentuk umum Teorema Binomial dengan Pangkat NegatifDistribusi Negative Binomial (Pascals)Definisi (versi kedua):Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r gagal dalam x percobaan sebelum sukses yang ke-r. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.Distribusi Negative Binomial (Pascals)Definisi (versi pertama):Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r sukses dalam x percobaan, dimana sukses terakhir merupakan akhir percobaan. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.diambil tanpa pengembalian dari sebuah populasi7HypergeometricContoh: 10 kartu diambil dari satu paket kartu. Tentukan peluang terdapat tepat 1 ace dari 10 kartu.N = 10, r = 4, k = 1, N = 52, p = 1/13HypergeometricMeanE(Y) = np = nr/NVariansHypergeometricDistribusi Hypergeometric terjadi ketika n sampel(N). Banyaknya sukses pada populasi diberikan oleh r. Banyaknya sukses pada sampel diberikan oleh y.Dimana max (0, n+r-N) k min (r,n)Negatif Binomial (Contoh)Sebuah dadu yang adil dilempar sampai mata 6 (enam) keluar 2 kali. Tentukan peluang bahwa 5 kali lemparan dibutuhkan untuk mendapatkan 2 kali angka 6.