BienvenidosBienvenidos

República Bolivariana de VenezuelaRepública Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Ministerio del Poder Popular para la DefensaDefensaUniversidad Nacional Experimental Universidad Nacional Experimental PolitécnicaPolitécnicaDe LA Fuerza Armada NacionalDe LA Fuerza Armada NacionalUNEFA “Excelencia Educativa”UNEFA “Excelencia Educativa”

Fagundez EucariFagundez EucariTorrealba LeisyTorrealba Leisy

Tovar IsmarlyTovar IsmarlyCastellanos SaraCastellanos Sara

Familia de CircunferenciaFamilia de CircunferenciaEje radical de una Eje radical de una

circunferenciacircunferencia

Familia de CircunferenciaFamilia de Circunferencia Dadas las ecuaciones generales de dos Dadas las ecuaciones generales de dos

circunferencias secantes:circunferencias secantes: xx 2 2 + y + y 2 2 + D + D 1 1 x + E x + E 1 1 y + F y + F 11 = 0 = 0 xx 2 2 + y + y 2 2 + D + D 2 2 x + E x + E 2 2 y + F y + F 22 = 0 = 0 La ecuación de la familia de circunferencias La ecuación de la familia de circunferencias

que pasan por los puntos de intersección de que pasan por los puntos de intersección de esas dos circunferencias secantes es:esas dos circunferencias secantes es:

xx 2 2 + y + y 2 2 + D + D 1 1 x + E x + E 1 1 y + F y + F 11 + K( x + K( x 2 2 + y + y 2 2 + D + D 2 2 x + E x + E 2 2 y y

+ F + F 22) = 0) = 0 ; (K ; (K – 1) – 1) Si K= – 1, se tiene la ecuación de la recta que Si K= – 1, se tiene la ecuación de la recta que

contiene a la cuerda común:contiene a la cuerda común: (D(D 1 1 D D 2 2) x + (E) x + (E 1 1 E E 2 2) y + F) y + F 1 1 F F 2 2 = 0 = 0

EjemplEjemplo o

Sean las ecuaciones de las Sean las ecuaciones de las circunferencias secantes:circunferencias secantes:

x x 22 + y + y 22 – 6 x – 4 y – 12 = 0; x – 6 x – 4 y – 12 = 0; x 22 + y + y 22 – 4 y – 4 y – 24 = 0– 24 = 0 , la ecuación de la familia de , la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por los circunferencias que pasan por los puntos de intersección de las puntos de intersección de las circunferencias anteriormente citadas:circunferencias anteriormente citadas:

xx 2 2 + y + y 2 2 – 6 x – 4 y – 12 + K( x – 6 x – 4 y – 12 + K( x 2 2 + y + y 2 2 – 4 y – 4 y – 24 ) = 0– 24 ) = 0 ( K ( K – 1 ) – 1 )

Ecuación de la recta que contiene a la Ecuación de la recta que contiene a la cuerda común: x = 2cuerda común: x = 2

Eje radical de una Eje radical de una circunferenciacircunferencia

El El eje radicaleje radical de dos circunferencias no de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.con igual potencia respecto de las mismas.

El lugar geométrico de los puntos con igual El lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias potencia respecto de dos circunferencias concéntricas es otra circunferencia concéntrica.concéntricas es otra circunferencia concéntrica.

El eje radical es una recta perpendicular al El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.también tendrá la misma potencia.

Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar uniendo los puntos medios (M en la figura) de los segmentos determinados por los puntos de contacto de las tangentes a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).

Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.

Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.

Si una de las circunferencias es interior, Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten que los ejes radicales auxiliares se corten

dentro del papel del dibujo).dentro del papel del dibujo).

EjemploEjemplo

Hallar la ecuación del eje radical de las Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias xcircunferencias x22 + y + y22 – 2x - 4y - 20 – 2x - 4y - 20 = 0 y x= 0 y x22 + y + y22 - 24x + 2y + 129 = 0. - 24x + 2y + 129 = 0.

Solución: Solución: (- 2 + 24)x + (-4 – 2)y – 20 – 129 (- 2 + 24)x + (-4 – 2)y – 20 – 129

= 0 o sea: 22x – 6y – 149 = 0.= 0 o sea: 22x – 6y – 149 = 0.