Becslés

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi KarÜzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

Becslés

Dr. Varga Beatrix

egy. docens


Mintából való következtetés

Hipotézisvizsgálat

Becslés: A sokaság bizonyos jellemzőinek, paraméterének közelítő megállapításával foglalkozik.

Hipotézisvizsgálat: A sokaságra vonatkozó valamely állítás helyességét ellenőrzi.

Becslés


Becslési alapfogalmak I.

• Parameter (Θ)→ a sokaság valamely jellemzője→ pl.: várható érték, arány, szórás

• BecslőfüggvényOlyan függvény, mely alkalmas a sokasági paraméter értékének mintából történő meghatározására

• Standard hibaA becslő függvény valamennyi lehetséges mintából számított értékeinek a szórása


Statisztikai hiba

• Nem mintavételi hiba• lefedési hiba• feldolgozási hiba• nem megfelelő adatszolgáltatás

• Mintavételi hiba• A sokaság minden egységéről való lemondás

ára• Nagysága matematikai eszközökkel

becsülhető


A mintavételi hiba függ

• Az alapsokaság eloszlásától

• Az alkalmazott mintavételi eljárástól

• A vizsgált mutatószám fajtájától

• A minta nagyságától


Becslési alapfogalmak II.

• PontbecslésA becslőfüggvény mintából számított konkrét értéke

• IntervallumbecslésAdott megbízhatósági szinthez tartozó intervallum alsó és felső határának meghatározása

• Konfidencia-intervallum

)( faPr


Paraméter és konfidencia-intervallumok


Mintából számított bármely mutató értékei

• mintáról mintára változnak

• a megfelelő sokasági jellemzők körül ingadoznak

• szóródásuk a mintanagyság növelésével csökken


Becslőfüggvény tulajdonságai• torzítatlan

ha várható értéke megegyezik a becsülni kívánt paraméterrel

• aszimptotikusan torzítatlanha a mintanagysággal a végtelenbe tartva a torzítás eltűnik

• konzisztens

a mintanagyság növelésével a becslés nagy valószínűséggel a paraméter felé tart.

• hatásos

Minimális varianciájú torzítatlan becslőfüggvény


A torzítás különféle esetei


Példa a torzítás eseteire

• Egy kisvállalkozásnak 4 alkalmazottja van, nettó átlagjövedelmük (eFt): 180, 90, 36, 30

• Becsüljük meg az átlagjövedelmüket különböző becslőfüggvény segítségével:

mintaátlag

minta-medián

terjedelemközép (maximális és minimális mintaelem átlaga)


A minták jellemzői

Ssz. Elemek Átlag Medián Terjedelemközép

1. 30, 36, 90 52 36 60

2. 30, 36, 180 82 36 105

3. 30, 90, 180 100 90 105

4. 36, 90, 180 102 90 108

A várható érték 84 63 94,5


Két becslőfüggvény hatásossága


A konzisztencia fogalma


Becslés

Sokaság Minta

elemei X1, X2, … , XN, … x1, x2, … , xn

átlag μ

szórás σ s

arány P p


Várható érték becslése

Becslőfüggvény: a mintaátlag

i

ii

f

xfx

n

xx

i

A konfidencia intervallum meghatározása függ: az x változó alapsokasági eloszlásától ismert-e az alapsokaság szórása a minta nagyságától


1.) sokaság eloszlása normális, ismert a sokasági szórás, mintanagyság tetszőleges

2.) sokaság eloszlása nem ismert, nem ismert a sokasági szórás, nagy minta

3.) sokaság eloszlása normális, nem ismert a sokasági szórás, n < 100

σ z x μ x π

s z x μ xπ

s t x μ xπ

x μ x


• ahol:

a becslőfüggvény mintából számított konkrét értéke

standard normális eloszlású valószínűségi változó

a mintaátlag standard hibája ( a mintaátlagok szórása)

=n-1 szabadságfokú Student-eloszlású valószínűségi változó

A Student-féle t eloszlás a szabadságfok növelésével a normálishoz tart.

z

x

t


A várható érték standard hibája


Ha nem tételezhető fel, hogy az x változó normális eloszlású, csak nagy minta alkalmazható

Központi határeloszlás tétel:

Független valószínűségi változók eloszlása akkor is közelítőleg normális eloszlást követ, ha a változók nem normális eloszlásúak, feltéve, hogy a minta-elemszám elég nagy.


Nagy minta:

általában: n 100

unimodális, gyengén ferde eloszlásnál:

n 30


Rétegzett minta• heterogén sokaság esetén, ha közel homogén

rétegeket tudunk képezni• az egyes rétegekből egyszerű véletlen minták• a rétegzés javíthatja a minta reprezentativitását

• Jelölések: rétegek elemszáma az alapsokaságban:

N = N1 + N2 + N3 + ... + NH-1 + NH

rétegek elemszáma a mintában:

n = n1 + n2 + n3 + ... + nH-1 + nH


Várható érték becslése rétegzett mintából

ahol

xszx

ii x

N

Nx

2

22

ixi

x sN

Ns


x (x) x (x) x (x) x (x) x (x)0,00 0,5000 0,52 0,6985 1,04 0,8508 1,56 0,9406 2,40 0,99180,02 0,5080 0,54 0,7054 1,06 0,8554 1,58 0,9429 2,50 0,99380,04 0,5160 0,56 0,7123 1,08 0,8599 1,60 0,9452 2,60 0,99530,06 0,5239 0,58 0,7190 1,10 0,8643 1,62 0,9474 2,70 0,99650,08 0,5319 0,60 0,7257 1,12 0,8686 1,64 0,9495 2,80 0,99740,10 0,5398 0,62 0,7324 1,14 0,8729 1,66 0,9515 2,90 0,99810,12 0,5478 0,64 0,7389 1,16 0,8770 1,68 0,9535 3,00 0,99870,14 0,5557 0,66 0,7454 1,18 0,8810 1,70 0,9554 3,20 0,99930,16 0,5636 0,68 0,7517 1,20 0,8849 1,72 0,9572 3,40 0,99960,18 0,5714 0,70 0,7580 1,22 0,8888 1,74 0,9591 3,60 0,99980,20 0,5793 0,72 0,7642 1,24 0,8925 1,76 0,9608 3,8 0,99990,22 0,5871 0,74 0,7703 1,26 0,8962 1,78 0,9625

z-test

0,24 0,5948 0,76 0,7764 1,28 0,8997 1,80 0,96410,26 0,6026 0,78 0,7823 1,30 0,9032 1,82 0,96560,28 0,6103 0,80 0,7881 1,32 0,9066 1,84 0,96710,30 0,6179 0,82 0,7939 1,34 0,9099 1,86 0,96860,32 0,6255 0,84 0,7995 1,36 0,9131 1,88 0,96990,34 0,6331 0,86 0,8051 1,38 0,9162 1,90 0,97130,36 0,6406 0,88 0,8106 1,40 0,9192 1,92 0,97260,38 0,6480 0,90 0,8159 1,42 0,9222 1,94 0,97480,40 0,6554 0,92 0,8212 1,44 0,9251 1,96 0,97500,42 0,6628 0,94 0,8264 1,46 0,9279 1,98 0,97610,44 0,6700 0,96 0,8315 1,48 0,9306 2,00 0,97720,46 0,6772 0,98 0,8365 1,50 0,9332 2,10 0,98210,48 0,6844 1,00 0,8413 1,52 0,9357 2,20 0,98610,50 0,6915 1,02 0,8461 1,54 0,9382 2,30 0,9893


Student’s t-testDf 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,9951 0,158 0,325 0,727 1,000 1,376 3,08 6,31 12,71 31,82 63,662 0,142 0,289 0,617 0,816 1,061 1,89 2,92 4,30 6,96 9,923 0,137 0,277 0,584 0,765 0,978 1,64 2,35 3,18 4,54 5,844 0,134 0,271 0,569 0,741 0,941 1,53 2,13 2,78 3,75 4,605 0,132 0,267 0,559 0,727 0,920 1,48 2,02 2,57 3,36 4,036 0,131 0,265 0,553 0,718 0,906 1,44 1,94 2,45 3,14 3,717 0,130 0,263 0,549 0,711 0,896 1,42 1,90 2,36 3,00 3,508 0,130 0,262 0,546 0,706 0,889 1,40 1,86 2,31 2,90 3,369 0,129 0,261 0,543 0,703 0,883 1,38 1,83 2,26 2,82 3,2510 0,129 0,260 0,542 0,700 0,879 1,37 1,81 2,23 2,76 3,1711 0,129 0,260 0,540 0,697 0,876 1,36 1,80 2,20 2,72 3,1112 0,128 0,259 0,539 0,695 0,873 1,36 1,78 2,18 2,68 3,0613 0,128 0,259 0,538 0,694 0,870 1,35 1,77 2,16 2,65 3,0114 0,128 0,258 0,537 0,692 0,868 1,34 1,76 2,14 2,62 2,9815 0,128 0,258 0,536 0,691 0,866 1,34 1,75 2,13 2,60 2,9516 0,128 0,258 0,535 0,690 0,865 1,34 1,75 2,12 2,58 2,9217 0,128 0,257 0,534 0,689 0,863 1,33 1,74 2,11 2,57 2,9018 0,127 0,257 0,534 0,688 0,862 1,33 1,73 2,10 2,55 2,8819 0,127 0,257 0,533 0,688 0,861 1,33 1,73 2,09 2,54 2,8620 0,127 0,257 0,533 0,687 0,860 1,32 1,72 2,09 2,53 2,8421 0,127 0,257 0,532 0,686 0,859 1,32 1,72 2,08 2,52 2,8322 0,127 0,256 0,532 0,686 0,858 1,32 1,72 2,07 2,51 2,8223 0,127 0,256 0,532 0,685 0,858 1,32 1,71 2,07 2,50 2,8124 0,127 0,256 0,531 0,685 0,857 1,32 1,71 2,06 2,49 2,8025 0,127 0,256 0,531 0,684 0,856 1,32 1,71 2,06 2,48 2,7926 0,127 0,256 0,531 0,684 0,856 1,32 1,71 2,06 2,48 2,7827 0,127 0,256 0,531 0,684 0,855 1,31 1,70 2,05 2,47 2,7728 0,127 0,256 0,530 0,683 0,855 1,31 1,70 2,05 2,47 2,7629 0,127 0,256 0,530 0,683 0,854 1,31 1,70 2,04 2,46 2,7630 0,127 0,256 0,530 0,683 0,854 1,31 1,70 2,04 2,46 2,7540 0,126 0,255 0,529 0,681 0,851 1,30 1,68 2,02 2,42 2,7060 0,126 0,254 0,527 0,679 0,848 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66

120 0,126 0,254 0,526 0,677 0,845 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 0,126 0,253 0,524 0,674 0,842 1,28 1,645 1,96 2,33 2,58


Valószínűség vagy arány becslése

Becslőfüggvény: mintabeli relatív gyakoriság

n

kp

A relatív gyakoriság valószínűség-eloszlása a binomiális típusból származtatható. Nagy mintából számított relatív gyakoriság eloszlása közelítőleg normálisnak tekinthető

Feltétel: nagy minta


Konfidenciaintervallum:

)Pr( pp szpPszp

N

n

n

qps p 1

ahol: p – mintabeli relatív gyakoriság q=1-p


Szórásnégyzet, szórás becslése

Becslőfüggvény: korrigált tapasztalati szórás

1

)( 2

i

ii

f

xxfs

vagy

1

)( 2

n

xxs i

Feltétel: normális eloszlású alapsokaság mintanagyság tetszőleges


ahol: s - korrigált tapasztalati szórásnégyzet 2 - =n-1 szabadságfokú változó - =1- az a kockázat, hogy a sokasági paraméter

a konfidencia intervallumon kívül található


χ2

Df 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995

1 0,0000 0,0002 0,0010 0,039 0,0158 0,102 0,455 1,32 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88

2 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,575 1,39 2,77 4,61 5,99 7,38 9,21 10,63 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,21 2,37 4,11 6,25 7,81 9,35 11,3 12,84 0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 1,92 3,36 5,39 7,78 9,49 11,1 13,3 14,95 0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 2,67 4,35 6,63 9,24 11,1 12,8 15,1 16,76 0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 3,45 5,35 7,84 10,6 12,6 14,4 16,8 18,57 0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 9,04 12,0 14,1 16,0 18,5 20,38 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,2 13,4 15,5 17,5 20,1 22,09 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,4 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,5 16,0 18,3 20,5 23,2 25,211 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,3 13,7 17,3 19,7 21,9 24,7 26,812 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 11,3 14,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,313 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 12,3 16,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,814 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,2 13,3 17,1 21,1 23,7 26,1 29,1 31,315 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 11,0 14,3 18,2 22,3 25,0 27,5 30,6 32,816 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,9 15,3 19,4 23,5 26,3 28,8 32,0 34,317 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 12,8 16,3 20,5 24,8 27,6 30,2 33,4 35,718 6,26 7,01 8,23 9,39 10,9 13,7 17,3 21,6 26,0 28,9 31,5 34,8 37,219 6,84 7,63 8,91 10,1 11,7 14,6 18,3 22,7 27,2 30,1 32,9 36,2 38,620 7,43 8,26 9,59 10,9 12,4 15,5 19,3 23,8 28,4 31,4 34,2 37,6 40,021 8,03 8,90 10,3 11,6 13,2 16,3 20,3 24,9 29,6 32,7 35,5 38,9 41,422 8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 17,2 21,3 26,0 30,8 33,9 36,8 40,3 42,823 9,26 10,2 11,7 13,1 14,8 18,1 22,3 27,1 32,0 35,2 38,1 41,6 44,224 9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 19,0 23,3 28,2 33,2 36,4 39,4 43,0 45,625 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 19,9 24,3 29,3 34,4 37,7 40,6 44,3 46,926 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 20,8 25,3 30,4 35,6 38,9 41,9 45,6 48,327 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 21,7 26,3 31,5 36,7 40,1 43,2 47,0 49,628 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 22,7 27,3 32,6 37,9 41,3 44,5 48,3 51,029 13,1 14,3 16,0 17,7 19,8 23,6 28,3 33,7 39,1 42,6 45,7 49,6 52,330 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 24,5 29,3 34,8 40,3 43,8 47,0 50,9 53,740 20,7 22,2 24,4 26,5 29,1 33,7 39,3 45,6 51,8 55,8 59,3 63,7 66,850 28,0 29,7 32,4 34,8 37,7 42,9 49,3 56,3 63,2 67,5 71,4 76,2 79,5 60 35,5 37,5 40,5 43,2 46,5 52,3 59,3 67,0 74,4 79,1 83,3 88,4 92,0 70 43,3 45,4 48,8 51,7 55,3 61,7 69,3 77,6 85,5 90,5 95,0 100,4 104,280 51,2 53,5 57,2 60,4 64,3 71,1 79,3 88,1 96,6 101,9 106,6 112,3 116,390 59,2 61,8 65,6 69,1 73,3 80,6 89,3 98,6 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3

100 67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 90,1 99,3 109,1 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2


Példa 1

• A BSc hallgatók közül véletlenszerűen kiválasztottunk 15 elemű mintát.

• π = 95 %

• A minta adatai (nap):

5, 8, 12, 4, 9, 11, 12, 14, 9, 7, 6, 11, 9, 8, 10

A) Készítsen becslést az átlagos tanulási időre!

B) Becsülje meg az átlagos tanulási idő szórását!

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi KarÜzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Feltétel: normál alapeloszlásA) 1) ismert, hogy az alapsokaság szórása: 2 nap

2) – nem ismerjük az alapsokaság szórását- a mintabeli korrigált tapasztalati szórás:s = 2.7

B) Szórás becslése

15

2 1.96 9 μ

15

2.7 2.14 9 μ

2 214 2.7 14 2.7 1.98 σ 4.26

26.1 5.63


Példa 2.Egy 250 g kávét csomagoló gép működésének ellenőrzéséhez 100 elemű véletlen mintát vettek. Korábbi felmérések alapján feltételezhetjük, hogy a töltőtömeg normális eloszlást követ.

A csomagok töltési tömege (g) A csomagok száma (db)

– 239,9 8

240,0 – 244,9 22

245,0 – 249,9 32

250,0 – 254,9 28

255,0 – 10

Összesen 100

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi KarÜzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet 1. Feltételezve, hogy a töltősúly normális eloszlást követ,

becsüljük meg az átlagos töltőtömeget! (π = 95 %)2. Milyen minta elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a

maximális hibát felére csökkentsük? 3. Milyen minta elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a

maximális hibát 20%-kal csökkentsük, és 98%-os megbízhatóságra van szükségünk?

4. Feltételezve, hogy a töltősúly normális eloszlást követ, készítsünk intervallumbecslést a töltőtömeg szórására! (π = 95 %)

5. Mennyi kávéra van szükség naponta, ha a gép folyamatos műszakban termel, és műszakonként 12.000 csomagot tölt meg? (π = 95 %)

6. Egy műszakban hány olyan kávécsomag készül, melynek tömege nem éri el az előírt 250 grammot? (π = 99 %)


Köszönöm a figyelmet!

Becslés

Documents

Transcript of Becslés