(Bazele chimiei anorganice)chem.ubbcluj.ro/~zak/altalanos/akun-eforizs-apatrut_szka... · 2020. 1....
Transcript of (Bazele chimiei anorganice)chem.ubbcluj.ro/~zak/altalanos/akun-eforizs-apatrut_szka... · 2020. 1....
-
Kun Attila-Zsolt Forizs Edit Adrian Pătruț
A SZERVETLEN KÉMIA ALAPJAI
(Bazele chimiei anorganice)
-
Kun Attila-Zsolt Forizs Edit Adrian Pătruț
A SZERVETLEN KÉMIA ALAPJAI
(Bazele chimiei anorganice)
CASA CĂRȚII DE ȘTIINȚĂ
Cluj-Napoca 2017
-
Lektorálta: Dr. Bódis Jenő egyetemi tanár
Borító: Dr. Kun Attila-Zsolt
© Kun Attila-Zsolt, Forizs Edit, Adrian Pătruț, 2017
Editură acreditată CNCSIS (24)
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
KUN, ATTILA ZSOLT
A szervetlen kémia alapjai = Bazele chimiei anorganice / Kun Attila-Zsolt,
Adrian Pătruţ, Forizs Edit. - Cluj-Napoca : Casa Cărţii de Ştiinţă, 2017
Conţine bibliografie
ISBN 978-606-17-1152-9
I. Pătruţ, Adrian
II. Forizs, Edit
54
-
5
Tartalom
Előszó .............................................................................................................................. 9
Bevezetés ...................................................................................................................... 13
1. Kémiai alapfogalmak ................................................................................................ 14
1.1. A kémia alaptörvényei ................................................................................... 14
1.2. A vegyérték, oxidációs szám ......................................................................... 15
1.3. Kémiai képletek ............................................................................................. 17
1.4. Az anyagok osztályozása ............................................................................... 18
2. Az atomok szerkezete ............................................................................................... 20
2.1. Klasszikus atommodellek .............................................................................. 23
2.1.1. A Thomson-féle atommodell ................................................................ 23
2.1.2. A Rutherford-féle atommodell ............................................................. 24
2.1.3. A Bohr-féle atommodell ....................................................................... 25
2.1.4. A hidrogénatom színképe ..................................................................... 28
2.1.5. A Bohr-Sommerfeld-féle atommodell .................................................. 30
2.1.6. Az elektronpálya mágneses momentuma ............................................. 33
2.1.7. A mágneses kvantumszám .................................................................... 33
2.1.8. Az elektron saját impulzusmomentuma ............................................... 34
2.1.9. A részecske-hullám kettősség általánosítása, de Broglie hipotézis ..... 36
2.2. Kvantummechanikai atommodell. A Schrödinger-féle egyenlet ................. 37
2.2.1. A hidrogénatom kvantummechanikai leírása ....................................... 40
2.2.2. Csomófelületek ..................................................................................... 43
2.2.3. A hullámfüggvény szögfüggő komponense ......................................... 43
2.2.4. A hullámfüggvény sugártól függő összetevője .................................... 45
2.2.5. A sajátfüggvények szintvonal-diagramja ............................................. 47
2.2.6. A Heisenberg-féle bizonytalansági elv ................................................. 48
2.2.7. Többelektronos atomok szerkezete ...................................................... 48
2.2.7.1. A Pauli-féle kizárási elv ............................................................. 51
2.2.7.2. A felépítési elv ........................................................................... 52
2.2.7.3. Hund szabály .............................................................................. 52
2.2.7.4. Termszimbólumok és kiválasztási szabályok ............................ 54
2.3. Az atommag ................................................................................................... 55
2.3.1. Az atommagok stabilitása ..................................................................... 56
2.3.2. Magmodellek ........................................................................................ 58
-
6
3. Az elemek periódusos rendszere ............................................................................. 60
3.1. Az elemek rendszerezése .............................................................................. 60
3.2. A periódusos rendszer rövid alakja .............................................................. 61
3.3. A periódusos rendszer hosszú alakja ............................................................ 62
3.4. Periodikusan változó tulajdonságok. ............................................................ 64
3.4.1. Periodikusan változó fizikai tulajdonságok .............................................. 64
3.4.2. Periodikusan változó kémiai tulajdonságok .............................................. 72
3.5. Nemperiodikus tulajdonságok ...................................................................... 75
3.6. A periódusos rendszer fejlődése ................................................................... 76
3.7. A periódusos rendszer különböző változatai................................................ 78
4. A kémiai kötések ...................................................................................................... 86
4.1. Az ionos kötés ............................................................................................... 88
4.2. A kovalens kötés ........................................................................................... 92
4.2.1. A vegyértékkötés (VB) módszer .......................................................... 92
4.2.2. A hibridizáció ....................................................................................... 94
4.2.2.1. Az sp3 hibridizáció .................................................................... 94
4.2.2.2. Az sp2 hibridizáció .................................................................... 97
4.2.2.3. Az sp hibridizáció ...................................................................... 99
4.2.2.4. Az s, p és d pályák hibridizációja ........................................... 100
4.2.3. Háromcentrumos kötés....................................................................... 102
4.3. Vegyértékelektronpár-taszítási elmélet (VSEPR) ...................................... 104
4.4. A molekulapálya elmélet (MO módszer) ................................................... 107
4.4.1. Kétatomos homonukleáris molekulák ............................................... 110
4.4.2. Kétatomos heteronukleáris molekulák MO diagramjai .................... 112
4.5. Delokalizált kötések .................................................................................... 116
5. Intermolekuláris kölcsönhatások ........................................................................... 117
5.1. A dipólus-dipólus kölcsönhatások .............................................................. 117
5.2. Indukciós erők ............................................................................................. 118
5.3. Diszperziós vagy London-erők ................................................................... 118
5.4. A hidrogénkötés .......................................................................................... 119
Irodalom ..................................................................................................................... 123
-
7
Cuprins
Prefață ........................................................................................................................... 11
Introducere .................................................................................................................... 13
1. Noțiuni fundamentale ............................................................................................... 14
1.1. Legile fundamentale ale chimiei ................................................................... 14
1.2. Valența, numărul de oxidare ......................................................................... 15
1.3. Formule chimice ............................................................................................ 17
1.4. Clasificarea substanțelor ............................................................................... 18
2. Structura atomului .................................................................................................... 20
2.1. Modele atomice clasice ................................................................................. 23
2.1.1. Modelul atomic al lui Thomson ........................................................... 23
2.1.2. Modelul atomuc al lui Rutherford ........................................................ 24
2.1.3. Modelul atomic al lui Bohr ................................................................... 25
2.1.4. Spectrul atomului de hidrogen .............................................................. 28
2.1.5. Modelul atomic Bohr-Sommerfeld....................................................... 30
2.1.6. Momentul magnetic orbital .................................................................. 33
2.1.7. Numărul cuantic magnetic .................................................................... 33
2.1.8. Momentul magnetic de spin ................................................................. 34
2.1.9. Generalizarea dualității undă-corpuscul. Ipoteza lui de Broglie ......... 36
2.2. Modelul mecanico-cuantic. Ecuația lui Schrödinger.................................... 37
2.2.1. Descrierea atomului de hidrogen .......................................................... 40
2.2.2. Suprafețe nodale.................................................................................... 43
2.2.3. Funcția de undă angulară ...................................................................... 43
2.2.4. Funcția de undă radială ......................................................................... 45
2.2.5. Diagrame cu nivele energetice ............................................................. 47
2.2.6. Principiul de incertitudine a lui Heisenberg ......................................... 48
2.2.7. Structura tomilor multielectronici ........................................................ 48
2.2.7.1. Principiul de excluziune al lui Pauli .......................................... 51
2.2.7.2. Principiul “Aufbau” ................................................................... 52
2.2.7.3. Regula lui Hund ......................................................................... 52
2.2.7.4. Termeni fundamentali. Reguli de selecție ................................. 54
2.3. Nucleul atomic ............................................................................................... 55
2.3.1. Stabilitatea nucleului atomic ................................................................ 56
2.3.2. Modele nucleare .................................................................................... 58
-
8
3. Sistemul periodic al elementelor ............................................................................. 60
3.1. Clasificarea elementelor ............................................................................... 60
3.2. Forma scurtă a sistemului periodic ............................................................... 61
3.3. Forma lungă a sistemului periodic ............................................................... 62
3.4. Proprietăți periodice...................................................................................... 64
3.4.1. Proprietăți fizice periodice ................................................................... 64
3.4.2. Variația periodică a proprietăților chimice .......................................... 72
3.5. Proprități neperiodice ................................................................................... 75
3.6. Dezvoltarea sistemului periodic ................................................................... 76
3.7. Variante ale sistemului periodic ................................................................... 78
4. Legătura chimică ...................................................................................................... 86
4.1. Legătura ionică.............................................................................................. 88
4.2. Legătura covalentă ........................................................................................ 92
4.2.1. Metoda legăturii de valență (MLV) ..................................................... 92
4.2.2. Teoria hibridizării ................................................................................. 94
4.2.2.1. Hibridizarea sp3 ......................................................................... 94
4.2.2.2. Hibridizarea sp2 ......................................................................... 97
4.2.2.3. Hibridizarea sp .......................................................................... 99
4.2.2.4. Hibridizări cu orbitali s, p și d................................................. 100
4.2.3. Legătura tricentrică bielectronică ...................................................... 102
4.3. Teoria repulsiei perechii de electroni neparticipanți (VSEPR) ................. 104
4.4. Metoda orbitalilor moleculari (MOM) ...................................................... 107
4.4.1. Molecule diatomice homonucleare .................................................... 110
4.4.2. Diagrama moleculară a moleculelor diatomice heteronucleare ........ 112
4.6. Legături delocalizate ................................................................................... 116
5. Interacțiuni intermoleculare ................................................................................... 117
5.1. Forțele dipol-dipol ...................................................................................... 117
5.2. Forțele de orientare ..................................................................................... 118
5.3. Forțe de dispersie London .......................................................................... 118
5.4. Legătura de hidrogen .................................................................................. 119
Bibliografie ................................................................................................................ 123
-
9
Előszó
Ez a könyv a kolozsvári Babeş-Bolyai egyetem első éves kémia szakos
hallgatóinak tartott előadások alapján készült. Célja a kémia alapfogalmainak
elsajátítása.
A könyv a tudomány jelenlegi állása szerint tárgyalja a kémia alaptörvényeit,
valamint az atom- és molekulaszerkezet kérdéseit. Szerkezetileg a könyv öt fejezetet
tartalmaz. A könyv első része bevezető általános fogalmakat ismétel át, a második
rész az atomszerkezetre vonatkozó alapismereteket foglalja össze, a harmadik rész a
periódusos rendszerre utal. A negyedik fejezet a kémiai kötéseket tárgyalja a
klasszikus elméletek bemutatása, valamint a kvantummechanikai elméletek alapján
(vegyértékkötés módszer, molekulaorbitál-módszer), végül az ötödik fejezet az
intermolekuláris kölcsönhatásokat ismerteti.
Bár a könyv elsősorban az első éves vegyészhallgatók számára készült,
hasznos lehet az ismeretek kiegészítése és felfrissítése céljából a régebben végzett
vegyészek számára is. Ajánljuk ezt a könyvet a kémia és vegyészmérnök szakos
egyetemi hallgatókon kívül a fizika, biológia, környezettudomány szakos
hallgatóknak, kémia tanároknak és bárkinek, aki érdeklődik a kémia iránt.
Köszönetünket fejezzük ki dr. Bódis Jenő egyetemi tanárnak a könyv
lektorálásáért, aki megjegyzéseivel és észrevételeivel hozzájárult a kézirat
javításához.
A szerzők
Kolozsvár, 2017. június
-
10
-
11
Prefaţă
În ultimele decenii chimia s-a transformat datorită unei dezvoltări
spectaculoase continue, nu numai cu progrese ştiinţifice dar şi cu implicaţii
importante în viața cotidiană. Cunoaşterea aspectelor moderne necesită informare
permanentă și împrospătarea cunoștințelor despre stadiul actual al științei.
Cartea “Bazele chimie anorganice” scrisă în concepţie modernă, este
structurată pe cinci capitole. Prima parte după o introducere scurtă, abordează
noţiuni fundamentale de chimie, capitolul doi tratează structura atomului, modele
atomice clasice, modelul cuatic şi noţiuni introductive legate de nucleul atomic,
modele nucleare.
Capitolul trei sumarizează cunoştinţele actuale referitoare la sistemul
periodic al elementelor: scurt istoric al clasificării elementelor, formele sistemului
periodic, variaţia proprietăţilor periodice, proprietăţi neperiodice, precum şi
utilizarea sistemului periodic al elementelor.
Capitolul patru are ca scop aprofundarea cunoştinţelor referitoare la
legătura chimică. În acest context sunt prezentate legătura ionică, precum și
teoriile legăturii covalente: metoda legăturii de valenţă (VB), metoda orbitalilor
moleculari (MO), cu aplicaţii şi exemple. In acest capitol se prezintă şi teoria
repulsiei perechilor de electroni (VSEPR) pentru stabilirea geometriei moleculare.
In capitolul cinci se tratează legăturile intermoleculare, legături de tip van
der Waals precum și legătura de hidrogen.
Cartea conţine cunoştinte fundamentale de chimie anorganică, prezentate
după stadiul actual al cunoaşterii, necesare pentru studiul chimiei în general.
Lucrarea se adresează în primul rând studenţilor, cadrelor didactice din
învăţământul preuniversitar, chimiştilor, inginerilor chimişti şi altor specialişti
interesaţi de chimie.
Autorii
Cluj-Napoca, iunie 2017
-
12
-
13
Bevezetés
A kémia a természettudományoknak az az ága, amelyik az anyagok
összetételét, szerkezetét, minőségi változásait, átalakulásait, valamint fizikai és
kémiai tulajdonságait tanulmányozza.
A kémia szó eredete nagyon régi, az ókorra tehető, egyes vélemények szerint
az arab “al kemi” szóból ered, mely Egyiptom egy részének régi elnevezése volt.
A kémia történetében több korszak különböztethető meg (ókori kémia,
alkímia, jatrokémia, a flogisztonelmélet korszaka, modern kémia). A modern kémia
kezdetei Lomonoszov és Lavoisier munkájához kapcsolhatók, akik egymástól
függetlenül megfogalmazták a természettudomány egyik legfontosabb törvényét: a
tömegmegmaradás törvényét.
A kémiai ismeretek fejlődése a 19. századtól a kémia különböző ágainak a
megjelenéséhez és önállósodásához vezetett. Megjelenik a leíró kémia két nagy része
a szervetlen és a szerves kémia.
A szervetlen kémia a kémiának az elemekkel és nemszén-vegyületekkel
foglalkozó ága, ezek előállítási módszereit, összetételét, szerkezetét, tulajdonságait és
reakcióit tanulmányozza. A kvantumkémia fejlődése kihatott a szervetlen kémia
fejlődésére, jelentős eredményeket hozott a szervetlen vegyületek szerkezetvizsgálata
terén, hozzájárult az anyagok egyes tulajdonságai és a tulajdonságok szerkezeti
hordozói közti összefüggések tisztázásához. A 20. század első felében az empirikus,
leíró jellegű klasszikus szervetlen kémia átalakult egy módszerekben új, szerkezeti
szervetlen kémiává.
A szerves és szervetlen kémia mellett W. F. Ostwald elkülöníti a fizikai
kémiát, majd sorra megjelennek az analitikai kémia, radiokémia, elméleti kémia,
alkalmazott kémia stb. A szervetlen kémiához tartozik a koordinációs kémia, a
fémorganikus kémia, valamint a bioszervetlen kémia is.
A kémia szoros kapcsolatban van a természettudományok többi ágával, a
matematikával, fizikával, biológiával, földrajzzal és egyre fontosabb a kapcsolata az
orvostudománnyal és a műszaki tudományokkal is. Ezeknek a kapcsolatoknak
köszönhetően interdiszciplináris tudományok jelentek meg: biokémia,
gyógyszerkémia, geokémia, élelmiszer-kémia, környezeti kémia, agrárkémia stb.
-
14
1. Kémiai alapfogalmak
1.1. A kémia alaptörvényei
Az anyagszerkezet tudományos megismerése akkor kezdődött, amikor
mennyiségi szempontból kezdték tanulmányozni az anyag összetételében a vegyi
átalakulások során bekövetkező változásokat.
Főleg a fémek oxidációjával és a fémoxidok redukciójával kapcsolatos
vizsgálatok során M. Lomonoszov (1756) majd tőle függetlenül A. Lavoisier (1774)
felismerték a természettudomány egyik legfontosabb törvényét. Tömegmérések
alapján megállapították, hogy kémiai reakciók során a reakcióba lépő anyagok
tömegének összege egyenlő a reakciótermékek tömegének összegével. Az
anyagmegmaradás törvénye általánosabban is megfogalmazható: zárt rendszerben a
testek tömegének összege, bármilyen átalakulás során állandó marad.
Később J. Proust (1799) több vegyület gondos analízise után felismerte az
állandó súlyviszonyok (állandó összetétel) törvényét, mely szerint vegyületekben az
alkotórészek súlyaránya szigorúan állandó, vagyis bármely módszerrel állítunk elő
egy anyagot annak összetétele mindig ugyanaz. A súlyarányok tanulmányozása során
J. Dalton megfogalmazta a többszörös súlyviszonyok törvényét (1808): azonos
elemeket tartalmazó, de különböző összetételű vegyületekben egyik elem ugyanazon
mennyiségére vonatkoztatott másik elem mennyiségei úgy aránylanak egymáshoz,
mint a kis egész számok. Például vízben a hidrogén és az oxigén tömegaránya mindig
1:8, hidrogén-peroxidban 1:16, tehát az oxigén tömegarányai úgy viszonyulnak
egymáshoz a két vegyületben, mint 1:2.
A súlyviszony törvények magyarázatára Dalton (1808) kidolgozta
atomelméletét, mely szerint az anyagok tömegükben oszthatatlan részecskékből,
atomokból állnak, amelyeknek meghatározott tömegük és kiterjedésük van. Az
elemeket azonos atomok, a vegyületeket különböző atomokból álló molekulák
alkotják. Minden elemnek egy jól meghatározott atomfajta felel meg, annyiféle atom
van ahány elem. Ugyanazon elem atomjai azonos súlyúak, tömegűek. A többszörös
súlyviszonyok törvényének az a magyarázata, hogy vegyületképzéskor csak egész
számú atomok egyesülhetnek.
Ezeket a törvényeket J. L. Gay-Lussac kiegészítette a vegyülő gázok
térfogati törvényével (1808), mely szerint vegyülő gázok térfogatai úgy aránylanak
egymáshoz, mint a kis egész számok:
1 térfogat hidrogén + 1 térfogat klór = 2 térfogat sósavgáz
2 térfogat hidrogén + 1 térfogat oxigén = 2 térfogat vízgőz
3 térfogat hidrogén + 1 térfogat nitrogén = 2 térfogat ammóniagáz
-
15
Ezek a reakciók csak azzal a feltétellel magyarázhatók, hogy az elemi gázok
kétatomos molekulák:
H2 + Cl2 = 2 HCl
2 H2 + O2 = 2 H2O
3 H2 + N2 = 2 NH3
A korszak másik fontos eredménye az 1811-ben megjelent Avogadro
törvény: azonos hőmérsékletű és nyomású (ideális) gázok egyenlő térfogataiban
azonos számú részecske van.
Mivel egyetlen atom vagy molekula tömege grammokban kifejezve annyira
kicsi, hogy nem alkalmas a kémiai reakciókban szereplő viszonyok kifejezésére,
bevezették a relatív atomsúly, illetve relatív atomtömeg fogalmát. Relatív
atomtömeg-egységnek előbb a hidrogénatomot, később az oxigénatom tömegének
1/16-od részét választották. 1961-től a IUPAC (Union of Pure and Applied
Chemistry - Tiszta és alkalmazott kémia nemzetközi uniója) relatív atomtömeg
egységnek (ate) a 12-es szén-izotóp tömegének 1/12-ed részét választotta. 1 ate =
1,66·10-27
kg.
A relatív atomtömeg illetve relatív molekulatömeg az a dimenziómentes
viszonyszám, amely megmutatja, hogy egy atom vagy molekula tömege hányszorosa
az atomtömeg-egységének. Ezek a számok átlagértékek, amelyek tükrözik az
izotópok előfordulási arányát.
Az anyagmennyiség mértékegysége a mól. A mól annak a rendszernek a
kémiai anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, ahány atom van
0,012 kg tiszta 12
C-nuklidban. Bármely anyag egy mólja azonos számú molekulát,
atomot vagy iont tartalmaz. Ez az Avogadro-szám, amelynek jelenlegi pontos értéke
6,02214176(30) 1023
a CODATA (Committee on Data for Science and Technology –
Tudományos és technológiai adatok bizottsága) 2006-os ajánlása szerint. Általános
számításokhoz elterjedt a 6,023·1023
érték használata. A mól tehát bármely önálló
részecskékből álló rendszernek az a mennyisége, amely Avogadro-számnyi
részecskét tartalmaz.
Az azonos számú molekulát tartalmazó gázok térfogatai egyformák, tehát az
egy mól mennyiségű gázok térfogatai is egyenlők. Ez a móltérfogat, amelynek értéke
22,413996(39) dm3 (közelítőleg 22,4 dm
3), 0 C hőmérsékleten és 1,01310
5 Pa
nyomáson.
-
16
1.2. A vegyérték, oxidációs szám
Klasszikus értelmezés szerint a vegyérték az a szám, amely kifejezi, hogy
adott elem egy atomja hány hidrogénatommal vegyül, vagy hány atom hidrogént
képes vegyületeiben helyettesíteni. Ionkötés esetében a vegyérték azonos az ion
töltésszámával. Használatos a kovalens vegyérték fogalma is, mely az atom által
létesített kovalens kötések számával adható meg. A vegyérték egy más megközelítés
szerint az a szám, amely megadja, hogy az atom hány elektronnal vesz részt kötés
(kötések) kialakításában.
A vegyérték fogalom mellett egyre elterjedtebb az oxidációs szám
használata. Egy kötésben levő atom oxidációs száma megadható a kötő
elektronpárokat a nagyobb elektronegativitású atomhoz rendelve, egyazon elem
atomjait összekötő elektronokat pedig a két atom között megfelezve. A kötött atom
oxidációs száma megegyezik a neki tulajdonított fiktív töltésszámmal. A félreértések
elkerülésére az oxidációs számot az adott elem vegyjele fölé írjuk: először az
előjelet, majd az értéket.
Az oxidációs szám megállapításának szabályai:
• szabad atomok és elemek oxidációs száma zérus;
• egy anyagot alkotó atomok oxidációs számainak összege egyenlő ennek
össztöltésével: a molekulák esetében az összeg zérus, egyszerű ionok
oxidációs száma megegyezik a valóságos töltéssel; összetett iont alkotó
atomok oxidációs számának összege egyenlő az ion töltésével;
• a hidrogén oxidációs száma +1 nemfémekkel alkotott vegyületekben, fémekkel
alkotott hidridekben az oxidációs száma 1;
• a fluor oxidációs száma vegyületeiben mindig 1;
• az oxigénnek vegyületeiben 2 az oxidációs száma, kivéve ha fluoratomokkal
kapcsolódik vagy más oxigénatomokkal:
a) peroxidokban (O22
ionok) az oxidációs szám 1;
b) szuperoxidokban (O2 ionok) az oxidációs szám értéke 1/2.
• az 1. csoport elemeinek vegyületeikben az oxidációs száma +1;
• a 2. csoport elemeinek vegyületeikben az oxidációs száma +2;
• a 16. csoport elemeinek oxidációs száma biner vegyületeikben 2, kivéve, ha
oxigénnel és halogénekkel kapcsolódnak;
• a 15. csoport elemeinek oxidációs száma biner vegyületeikben 3, kivéve, ha
olyan elemekkel kapcsolódnak, melyek a periódusos rendszerben tőlük jobbra
helyezkednek el.
-
17
1.3. Kémiai képletek
A kémiai elemek jelölésére vegyjelet használnak, ez az elem nemzetközileg
elfogadott nevének rövidítése és általában az elem latin nevének egy-két betűjéből
áll. A vegyjeleket először Jöns Jakob Berzelius (1779-1848) vezette be. A 111-nél
nagyobb rendszámú elemek IUPAC határozat alapján vannak elnevezve. A
vegyületek jelölésére képleteket használnak. A képletek többfélék lehetnek.
• Tapasztalati képlet: a vegyületek sztöchiometriai összetételét fejezi ki,
megadva az alkotó elemek arányát. A vegyjelek mellé írt alsó index az
összetevők legegyszerűbb arányát fejezi ki.
• Molekulaképlet vagy összegképlet: kifejezi a molekula minőségi és
mennyiségi összetételét. A molekulaképlet megegyezhet a tapasztalati
képlettel.
• Szerkezeti képlet: megadja az atomok kapcsolódásának a sorrendjét is,
kétdimenziós képlet, amely nem nyújt felvilágosítást a molekula térbeli
alakjára:
H C C H
CC
CC
C
C
H
H
H
H
H
HH C C OH
H H
H H
H C O C H
H
H
H
H
• Szetereoképlet: jelzi az atomok térbeli elrendeződését, a molekula
konfigurációját, például a ciklohexán, illetve a P4O9 molekulák szerkezete:
P
O PO
PO O
O
O
O
O
P
OH2C
H2C
C CH2
CH2CH2
H2
A koordinációs szám megadja egy atom, ion vagy molekula közvetlen
szomszédainak számát. A Na3[AlF6] esetében az alumínium koordinációs száma 6,
oxidációs száma pedig +3. A központi atom koordinációs száma tehát nagyobb, mint
a klasszikus vegyérték. A koordinációs számnak nagyon fontos szerepe van a
koordinatív vegyületek kémiájában.
-
18
1.2. Az anyagok osztályozása
Az anyagokat alapvetően kémiai összetételük és fizikai halmazállapotuk
szerint csoportosíthatjuk. Kémiai összetétel alapján lehetnek elemek, vegyületek és
keverékek. A fizikai halmazállapot lehet: szilárd, folyadék, gáz és plazma.
Az elemek egyetlen kémiailag meghatározott atomféleségből állnak, pl.
oxigén. A vegyület olyan anyag mely 2 vagy több elem atomjait tartalmazza,
összetétele szigorúan állandó bármely minta esetén.
Az elemek és a vegyületek tiszta anyagok, összetételük állandó, sajátságaik
jól meghatározottak, jellegzetességeik alapján megkülönböztethetők egymástól.
A tiszta anyagok keveréke olyan összetétellel és sajátságokkal rendelkezik,
amely a tiszta anyagok viszonylagos mennyiségétől függően változik. A keverékek
két típusa ismert: heterogén keverékek, mely elkülöníthető részekből áll pl. cukor +
só, és homogén keverékek melyek összetétele molekuláris szintig egyöntetű, ezt
oldatnak is nevezhetjük. Pl. a levegő egy gáznemű oldat, amely alapvetően nitrogén
és oxigén keveréke, vagy cukor és víz (folyékony) oldata.
Elemek Vegyületek Homogén Heterogén
CuSO4 CuSO4 H2O+ CuSO4 +benzolCu, O2, S
Anyagok
Tiszta anyagok Keverékek
1.1. ábra. Az anyagok osztályozása.
A keverékek szétválasztása komponenseikre nagyon fontos, főleg az ipar
számára, ahol nélkülözhetetlen a tiszta anyagok előállítása. Ezért az összetevők
valamilyen (mechanikai, fizikai, kémiai) tulajdonságának különbsége alapján nagyon
sok elválasztási módszer alakult ki.
A dekantálás a legegyszerűbb módszer szilárd és folyékony fázisból álló
rendszer alkotórészeinek szétválasztására. A dekantálás a leülepedett nagyobb
sűrűségű szilárd anyag felett levő folyadék leöntését jelenti. A szűrés szintén
szilárd részecskéknek folyadéktól való elválasztására szolgáló művelet. A
desztilláció a leggyakrabban alkalmazott művelet folyadékelegyek szétválasztására,
amely a szétválasztandó komponensek illékonyságának különbözőségén alapul,
egymás utáni elpárologtatás és kondenzáltatás útján. A desztilláció lehet egyszerű
-
19
vagy szakaszos, és végezhető légköri nyomáson, vákuumban vagy túlnyomáson. Az
extrakció (szelektív kioldás) lehet folyadék-folyadék, szilárd-folyadék illetve
szuperkritikus extrakció – a gáz-folyadék kioldást abszorpciónak nevezzük.
A kromatográfia elegyek komponenseinek szétválasztására szolgáló olyan
módszerek gyűjtőneve, ahol az elválasztás a komponenseknek egy álló és egy mozgó
fázis közötti megoszlásának különbségén alapszik. Mikhail Tswett botanikus 1906-
ban oszlopkromatográfia segítségével sikeresen elválasztotta a növényi levelek
pigmentjeit. Erre a célra függőleges üvegcsövet adszorbeáló anyaggal (Al2O3) töltött
meg, erre öntötte a mintát, melyet oldószerrel mosott át. Az oszlopon lefele haladva a
tiszta pigmentek jól elkülönültek egymástól színes sávok formájában. A
kromatográfiás módszerek csoportosítása többféleképp történhet. Az elválasztásban
résztvevő fázisok alakja és természete szerint lehetnek sík elrendeződésűek: a papír-,
vékonyréteg-kromatográfia és oszlop elrendeződésűek: folyadék- és
gázkromatográfia (GC). Az elválasztandó anyagok fázisa szerint lehet folyadék- vagy
gázkromatográfia. A gázkromatográfiánál az elválasztás alapja a komponensek
különböző megoszlása egy inert állófázis valamint a gázhalmazállapotú mozgófázis
között, mely az elgőzölt minta és egy vivőgáz pl. hélium keverékéből áll. Az inert
állófázis az oszlopban elhelyezett szilárd anyag vagy rávitt folyadék. A gáz áthalad
az oszlopon, a gázelegyben levő anyagok különböző mértékben kötődnek az álló
fázishoz és elkülönülnek. A gázkromatográfia keverékek gyors elválasztásának a
módszere, nélkülözhetetlen a kémiai szintézisben, alkalmas kismennyiségű anyagok
kimutatására. A nagyhatékonyságú folyadékkromatográfia (HPLC, High
Performance Liquid Chromatography) gyakran használt eljárás az analitikai
kémiában vegyületek azonosítására, elválasztására és mennyiségi meghatározására.
-
20
2. Az atomok szerkezete
Dalton (1804) atomelmélete szerint az anyag legkisebb része az atom. Az
elemek azonos atomokból épülnek fel, a vegyületek különböző elemek atomjaiból
állnak. A Dalton-féle atomelmélet az atomokat az anyagok további oszthatatlan
részeinek tekintette. Bár elképzelését a később elért kísérleti eredmények
megcáfolták, az elmélet vitathatatlan érdeme, hogy az elem és a vegyület fogalmát
ma is elfogadható módon definiálta.
A századfordulón az elektron felfedezése, majd a radioaktivitás jelenségének
a felfedezése megdöntötte az atomok oszthatatlanságába vetett hitet. Kiderült, hogy a
kémiai módszerekkel oszthatatlannak tűnő atomok atomfizikai módszerekkel
felbonthatók és kisebb, elemi részecskékből állnak.
Az elektron felfedezésére a katódsugárzás tanulmányozásánál, a XIX.
század második felében került sor. Kísérleti célra egy üvegkészüléket használtak,
amelybe elektródákat helyeztek, kiszivattyúzták az üvegcsőben levő gáz nagy részét
(kb. 0,001 MPa nyomásig) és az elektródákra nagyfeszültséget kapcsoltak (2.1. ábra).
V
vákuum
2.1. ábra. Katódsugárcső.
Megfelelő vákuum és feszültség esetén a cső világítani kezd, további
gázritkításra a cső fénye lassan kialszik, de a katódról induló láthatatlan sugárzás
megmarad, vezetés észlelhető, a cső fala halványan fluoreszkál a katódról érkező
sugarak becsapódása következtében. Ez a sugárzás semleges térben egyenes irányba
halad, de töltéssel rendelkező ponthoz képest negatív töltésűnek mutatkozik, negatív
töltésű lemeztől eltér és pozitív töltésű lemez felé hajlik. A katódsugarak természetét
J. Thomson (1897) katódsugár-cső segítségével vizsgálta (2.2. ábra). Kísérletei során
a sugarak útjába mágneses erőteret és ellenkező töltésű elektródákat helyezett.
-
21
2.2. ábra. A katódsugár tulajdonságainak vizsgálata.
A katódsugarak negatív töltés hordozói, negatív erőtér hatására a sugarak a B
pontba csapódnak be, mágneses tér alkalmazásakor viszont a C pontba csapódnak be.
George Stoney (1874) meghatározta az elektron töltésének és tömegének
arányát, e/m = 1,7588·1011
C/kg, az elektron elnevezés is tőle ered. Az elektron
töltése az eddig észlelt legkisebb elektromos töltés.
1909-ben R. Millikan egyszerű kísérlet, az ún. "olajcsepp kísérlet" alapján,
meghatározta az elektron tömegét. A módszer lényege az volt, hogy finoman
porlasztott olajcseppekre elektromos töltést juttatott és mérte azt a térerőt, amely a
cseppek szabadesését megakadályozta, ebből kiszámította a csepp igen kis töltését, e
= 1,6.10-19
C. Ismerve az e/m arányt kiszámítható lett az elektron tömege is, m =
9,1.10-31
g.
Pozitív sugarak. 1886-ban Eugen Goldstein módosított katódsugárcsőben
végrehajtott kísérletek alapján kimutatta, hogy pozitív töltésű sugárzás is létezik (2.3.
ábra).
vákuum
perforált katód (-)
anód (+)
nagyfeszültség
2.3. ábra. Pozitív sugarak képződése.
-
22
A pozitív sugarak vizsgálatakor kirerült, hogy ezek töltés/tömeg aránya
kisebb az elektron esetében talált érték ezredrészénél, és függ a gáz anyagi
minőségétől.
2.1. táblázat. Néhány atomi részecske tömege és töltése
Elemi részecske Tömeg (g) Tömeg (ate) Abszolút töltés (C)
Elektron 9,10939x10-28
5,48580x10-4 1,6022x10
-19
Proton 1,67262x10-24
1,00728 1,6022x10-19
Neutron 1,67493x10-24
1,00866 -
A radioaktivitás felfedezése Antoine Henri Becquerel Nobel díjas francia
fizikus nevéhez fűződik, aki észrevette, hogy az uránszurokérc nevű ásvány
jelenlétében a fényképezőlemez megfeketedett. A radioaktív sugárzás egy összetett
sugárzás, amelyik erős elektromos vagy mágneses tér hatására felbomlik: egy része
irányt változtat és a pozitív pólus felé tér el – ez a ß-sugárzás, egy másik rész a
negatív pólus felé tér el – ezek az α-sugarak, és a harmadik rész nem változtat irányt
– ezek a gamma-sugarak. Az α-sugarak pozitív töltésű héliumionok (He2+
), a ß-
sugarak az elektronok, míg a gamma-sugarak nem hordoznak elektromos töltéseket, a
nagy áthatolóképességű elektromágneses sugarak.
részecskék
sugarak
részecskék
radioaktiv anyag
ólom tömb
2.4. ábra. A radioaktív sugárzás komponensei.
A röntgensugárzás felfedezése W. C. Röntgen nevéhez fűződik, aki
megállapította, hogy ha a katódsugarak módosított katódsugárcsőben levő
anyagoknak ütköznek pl. fémből készült antikatódnak, új, láthatatlan sugárzás
keletkezik (2.5. ábra). A röntgensugárzás vagy X-sugárzás nagy energiájú
elektromágneses sugárzás, amelyet nem térít el sem mágneses, sem elektromos
erőtér. A nagy áthatolóképességű sugárzás frekvenciája függ az antikatód anyagi
minőségétől, hullámhossza ~ 0,01-10 nm.
-
23
antikatód
légritkított
üvegcsõ
katód
X sugarak
V
2.5. ábra. Röntgen-sugárzás.
2.1. Klasszikus atommodellek
Az elektron felfedezése és töltésének meghatározása az atom szerkezetére
vonatkozó hipotézisek megjelenéséhez vezetett. Az első modellek alapját csak az az
ismeret képezte, hogy az atomok semlegesek, egyenlő számú negatív és pozitív
töltéseket tartalmaznak. A XX. század elején különböző modelleket állítottak fel az
atomok belső szerkezetének leírására.
2.1.1. A Thomson-féle atommodell
1904-ben Joseph John Thomson olyan atommodellt javasolt, mely szerint az
atom egy 10-10
m sugarú, folytonos eloszlású pozitív töltésű gömb, ebben vannak
elhelyezve a negatív töltésű elektronok (2.6. ábra). A mazsolás puding néven is
ismert modellel nem lehetett megmagyarázni az atomok spektrumvonalait.
elektronok
+
+
+
+
+ +
++
pozitív töltésü atom
2.6. ábra. Thomson atommodellje.
-
24
2.1.2. A Rutherford-féle atommodell
A Thomson-féle atommodellt Ernest Rutherford kísérletei megcáfolták. A
modell bizonyítására Ernest Rutherford és munkatársai Hans Geiger és Ernest
Marsden olyan kísérletet hajtott végre, amely az α-részecskék szóródását
tanulmányozta vékony fémlemezeken. Rádium bomlásából származó vékony α-
sugárnyalábot bocsátottak merőlegesen aranyfóliára, mely mögött cink-szulfidos
fluoreszkáló ernyő volt elhelyezve. A részecskék az ernyőbe csapódva fényjelenséget
okoztak, így meghatározhatóvá vált az α-részecskék száma és becsapódásuk helye
(2.7. ábra).
2.7. ábra. Rutherford kísérlete.
Rutherford részletesen tanulmányozta az α-részecskék áthatolását, illetve
szóródását vékony fémlemezeken és megfigyelte:
• az α-részecskék zöme irányváltoztatás nélkül halad át a különböző fémekből
készült vékony fémlemezeken
• csekély részük többé-kevésbé eltérül az eredeti iránytól, szóródik
• ritkán akár 180-os, nagyszögű eltérés, visszaverődés is előfordul.
A kísérlet során kölcsönhatás jelentkezett az α-részecskék és a fémlemez
között. Ezekből a tényekből a következőket vonta le: mivel a tömör fémlemezen az α-
részecskék nagy része irányváltozás nélkül hatol át, az atomok által elfoglalt teret az
anyagi részecskék nem töltik ki egyenletesen. Az α-sugarak elhajlását az atom pozitív
részecskéjének közelsége okozza, a visszaverődést pedig ebbe a részecskébe való
ütközés. Az eltérések kis száma arra utal, hogy az atom külső nagy része laza negatív
töltésű tér és a pozitív töltésű, kisméretű atommag ennek csak igen kis részét foglalja
el.
A Rutherford-féle atommodell (1911), melyet bolygómodellnek is
neveznek, az atomot apró bolygórendszernek tekintette, amelynek középpontjában
található a Nap szerepét betöltő atommag, és körülötte bolygók módjára keringenek
-
25
az elektronok. Ismerve az α-részecskék töltését és tömegét, a szóródási kísérletek
alapján arra a következtetésre jutott, hogy az atomok kb. 10-10
m sugarú laza
képződmények, gyakorlatilag egész tömegük a rendkívül kis kiterjedésű (10-14
m
sugarú), pozitív töltésű atommagban összpontosul. A szóródási kísérletek alapján
rájött, hogy az atommagok pozitív töltéseinek száma azonos az illető elem
rendszámával, vagyis a periódusos rendszerben elfoglalt helyszámával.
Ahány pozitív töltése van az atommagnak, annyi elektron kering körülötte,
ezért az atom elektromosan semleges.
A modell hibái onnan származnak, hogy az elektron mozgását az atommag
körül nem lehet a klasszikus fizika törvényeivel magyarázni. A modell a klasszikus
elektrodinamika törvényei szerint nem lehet stabil: a keringő elektronok gyorsuló
mozgást végeznek, folyamatosan elektromágneses hullámokat bocsátanak ki, a
kibocsátott sugárzás energiaveszteséget okoz, így az elektron pályája egy spirál lesz,
végül az atommagba zuhan. Számítás szerint egy ilyen spirál élete 10-8
s lenne. Tehát
az elektrodinamika törvényei szerint a Rutherford-féle atom instabil és rövid életében
folytonos színképű sugárzást bocsájtana ki. Ez ellentmond a valóságnak, mivel az
atomok nagyon stabilak és meghatározott körülmények között kibocsájtott színképük
nem folytonos. A makrovilágra felállított fizikai törvények nem alkalmazhatók a
mikrovilágra.
2.1.3. A Bohr-féle atommodell
A Rutherford féle atommodellt 1913-ban Niels Bohr dán fizikus fejlesztette
tovább a kvantumelmélet eredményeit felhasználva. Bohr szerint az atom két részből
áll, az atommagból és az elektronburokból. Az elektronoknak az atommag körüli
elhelyezkedésére vonatkozóan két posztulátumot állított fel:
1. A stacionárius pályák kvantumelve értelmében az elektron csak meghatározott
(diszkrét) pályákon, meghatározott energiával keringhet a mag körül. Ezeken a
pályákon (orbitálokon) a klasszikus elektrodinamika törvényeivel ellentétben
sugárzás kibocsátása nélkül mozog (nincs energiaveszteség).
2. A frekvencia elv értelmében az atom által kisugárzott vagy elnyelt
elektromágneses sugárzás és az elektron energiaváltozása között a következő
összefüggés áll fenn:
ΔE = E1 - E2 = hν (2.1.)
ahol E1, E2 az elektron energiája az átmenetben szereplő két pályán: ha E1 > E2
fénykibocsátás (emisszió), ha E1 < E2 fényelnyelés (abszorpció) történik. A
kisugárzott vagy elnyelt energia tehát nem lehet tetszés szerinti ν rezgésszámú foton,
-
26
hanem csak a pályák energiakülönbsége által meghatározott frekvenciájú sugárzás,
ezért az atomok színképe vonalas szerkezetű.
Az elektron az egyik meghatározott energiájú pályáról egy másikra való
átmenetkor energiáját ugrásszerűen változtatja. Ha az elektronnal energiát közlünk,
akkor egy belsőbb pályáról külsőbb pályára kerül és fordítva, energia-leadáskor
külsőbb pályáról belsőbb pályára esik vissza, miközben az energia különbségnek
megfelelő elektromágneses sugárzás jön létre. Alapállapotban az elektron a legkisebb
sugarú és legalacsonyabb energiájú pályán mozog. Franck és Hertz kísérletileg is
igazolta az atomok kvantumszerű energiafelvételét.
A Bohr-posztulátumok, melyek a kvantumelméleten alapulnak, rámutatnak
arra, hogy az elektron mozgása már nem írható le a klasszikus fizika törvényeivel. A
hidrogénatomra végzett matematikai levezetéseknél a kvantumelvet egy pozitív egész
szám (kvantumszám) alkalmazásával (n =1, 2, 3…) vette figyelembe. Kiszámította az
egyetlen proton körül keringő elektron (hidrogénatom) kvantumszámtól függő
lehetséges pályáinak sugarát (rn) és a hozzájuk tartozó energiát (En).
A rendszerre érvényesek a klasszikus fizika törvényei, a Coulomb-törvény és
a centrifugális erő törvénye (2.8. ábra).
r1
r2
n=1n=2
v
2.8. ábra. A Bohr-féle atom.
A Coulomb-törvény szerint:
0
2
21
4
1
k
r
QQkF (2.2.)
Az összefüggésben ε0 a vákuum elektromos permittivitása. Az atommodell
alapján a pozitív töltés vonzásával a centrifugális erő tart egyensúlyt: míg az elektron
megengedett pályán mozog, a két erő egyenlő:
r
m
r
e 2
2
2
0
v
4
1
(2.3.)
-
27
Ebből kifejezhető:
mr
e
0
22
4v
(2.4)
Az elektron impulzusmomentuma a Planck-féle hatáskvantum egészszámú
többszöröse:
nhrm 2v (2.5)
Ez az összefüggés jelentette a kapcsolatot a makroszkopikus és
mikroszkopikus világ között. Az összefüggésből kifejezve v-t, majd felhasználva az
előző összefüggéseket meghatározható a képzeletbeli atom sugara:
0
2
222
22
4
1.
mr
e=
mr4
hn (2.6)
mr4
hn=
rm2
nh=
222
222
vv (2.7)
em
hn=r
2
022
(2.8.)
A hidrogénatom elektronhéjában keringő elektron lehetséges pályáinak
sugara egyenesen arányos a kvantumszám négyzetével. Alapállapotban (n=1) a
hidrogénatom elektronpályájának a 2.8. összefüggés alapján számított sugara a Bohr-
féle sugár (a0) néven ismert állandó, a0 = 5,291.10-11
m, továbbá r2 = 4r1, r3 = 9r1…
rn = n2 r1.
Mikor az elektron megengedett pályán mozog, melyhez egy bizonyos
kvantumszám rendelhető, En energiával rendelkezik, mely fordítottan arányos a
kvantumszám négyzetével.
Az elektron energiája stacionárius állapotban a Bohr-modell alapján a
kinetikus és potenciális energiák algebrai összege:
E+E=E potkinn (2.9.)
2r
e.
4
1=
mr42
me=
2
m=E
2
kin
00
22v
(2.10.)
A potenciális energia a Coulomb-féle erőből számítható ki:
E=Fr
e
4
1=F pot
2
0 (2.11)
-
28
2r
e.
4
1-=
r
e-
2r
e
4
1=E+E=E
2
0
22
0
potkinn
(2.12)
Behelyettesítve az r értékét:
222
0
4
8 hn
meEn
(2.13.)
Az első három energiaszintre kapott értékek: n = 1 (K) E1 = -13,35 eV; n = 2
(L) E2 = -3,39 eV; n = 3 (M) E3 = -1,5 eV.
Az n=1-el jellemzett stacionárius állapot a hidrogénatom alapállapota,
amikor az energia minimális. Az n = 2, 3…-al jellemzett állapotok gerjesztett
állapotok. Az n növekedésével az energianívók közelednek egymáshoz, ha n értéke
nagyon nagy, akkor az En→0, az elektron szabad állapotba kerül, az atom
ionizálódik. Az ionizációs energia az az energia, amely az elektront teljesen
eltávolítja, kiszakítja a mag vonzó hatásából.
Két lehetséges kvantumállapot energiakülönbsége megadja a hidrogénatom
emissziós színképében jelentkező spektrumvonalak hullámszámát. A hidrogénatom
Bohr-modellje tehát elméleti magyarázatot ad az empirikus spektroszkópiai adatok
értelmezésére.
2.1.4. A hidrogénatom színképe
Különböző halmazállapotú anyagok megfelelő izzításkor (láng, elektromos
szikra, ívfény) világítani kezdenek. A kibocsátott fény meghatározott frekvenciájú és
jellemző a kibocsátó atomra. Egy adott sugárzásban fellépő frekvenciák összessége a
frekvenciaszínkép, mely megfelelő készülékben spektrumvonalakkal jeleníthető meg.
Az atomok színképe vonalas. A vonalak helyzetének megadása történhet frekvencia
(ν, Hz), hullámhossz (λ = c/ν, nm) vagy hullámszám (σ, ῡ = 1/λ, cm-1) alapján.
Legegyszerűbb a hidrogénatom színképe, a többi atom színképe bonyolult. A
hidrogénatom színképe több sorozatot tartalmaz, amelyek közül legnagyobb
energiájú az ún. Lyman-sorozat, mely az UV-tartományban jelenik meg akkor,
amikor a gerjesztett elektron valamely magasabb energiaszintű pályáról a maghoz
legközelebbi 1-es főkvantumszámú pályára esik vissza. A színkép többi sorozatának
(a látható tartományban levő Balmer, az infravörös tartományban levő Paschen-,
Brackett- és Pfund-sorozatoknak) a vonalai a gerjesztett elektronnak az n = 2, 3, 4 és
5 pályákra való visszaugrásakor képződnek (2.9. ábra).
-
29
1
2
3
4
5
67
Folytonos színkép (szabad elektron)
Lyman-sorozat
Balmer
Paschen
Brackett
Pfund
E
0k
van
tum
szám
8...
2.9. ábra. Színképsorozatok.
Fényabszorpció esetén a hidrogénatom csak olyan hullámhosszú sugarakat
nyelhet el, amelyek energiakvantuma egyenlő két pálya közti energiakülönbséggel,
ilyenkor az elektron kisebb energiájú pályáról nagyobb energiájú pályára ugrik át. A
pályák energiaszintjei csak meghatározott értékek lehetnek, ezért az abszorpciós
színképek szerkezete vonalas.
A látható spektrumtartományban (400-700 nm) fellépő vonalak
hullámszámára Balmer (1885) kísérleti összefüggést állapított meg:
n
1-
2
1R=
22 (2.14)
Az R, a Rydberg-féle állandó, értéke 10973731,568539 m-1 (CODATA
érték). A 2.14 összefüggés egy-egy vonal hullámszámát két tényező, ún. term
különbségeként adja meg. Bohr bebizonyította, hogy ezek a termek hidrogénatom
esetén a különböző kvantumállapotoknak megfelelő energiák. A kísérleti adatokból
meghatározott Rydberg állandó így elméletileg is kiszámíthatóvá vált. Bohr 2.
posztulátuma, vagyis a frekvencia-elv értelmében felírható:
n
1-
n
1
ch8
em=
22
21
320
4
(2.15)
-
30
n
1-
n
1
h8
em=E-E=h 2
221
220
4
12
(2.16)
A Rydberg állandó számolt értéke 109,7373105 m
-1.
A Bohr modell hiányosságai. A Bohr-modell közelítő pontossággal
megmagyarázza a hidrogénatom vonalas színképét, de többelektronos atomokra már
nem alkalmazható. Nagy felbontóképességű spektroszkóppal végzett vizsgálatok
kimutatták, hogy jóval több színképvonal létezik, mint amennyit a
főkvantumszámmal meghatározott elektronpályák kombinációja megenged. A
modell alapján nem magyarázható a spektrumvonalak további felhasadása mágneses
(Zeeman-effektus) illetve elektromos erőtér (Stark-effektus) hatására (2.10. ábra).
n=2 1
2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f
3 1 4 1
Lyman-sorozat
Stark-effektus
Zeeman-effektus
2.10. ábra. A Lyman-sorozat felhasadása elektromos és mágneses erőtérben.
Egy-egy elektronhéjban tehát több energiaállapot lehetséges, mint amennyit
a főkvantumszám meghatároz. Az n főkvantumszám tehát nem elég az
elektronpályák teljes jellemzésére, a színképek finomszerkezetének magyarázatára
további adatokra van szükség, ezért az atommodellt módosítani kellett.
2.1.5. A Bohr-Sommerfeld-féle atommodell
Arnold Sommerfeld 1915-ben az eredeti Bohr-modellt úgy módosította,
hogy kör alakú pályák mellett ellipszispályákat is feltételez (2.11. ábra). Az
ellipszispályák mindkét tengelye csak meghatározott értéket vehet fel, ez szükségessé
tette egy újabb kvantumszám, az l mellék-kvantumszám bevezetését.
-
31
2b
2a
r
e
2.11. ábra. Ellipszis alakú pálya.
Ellipszis pályán mozgó elektron helyzete két adattal jellemezhető (r, φ) és
ennek megfelelően két kvantumfeltétel szükséges a pályák kiválasztására:
hn=dphn=dp rrr
r
r0
max
min
(2.17)
Mivel centrális mozgásnál a szögimpulzus pφ állandó:
2
hn=p2p=dp
2
0
vagyis (2.18)
Az nφ kvantumszám (azimutális kvantumszám) az impulzusmomentumot
kvantálja.
Sommerfeld az nr és nφ kvantumszámok és az ellipszis adatai között a
következő összefüggést állapította meg:
n
n=
n+n
n=
a
b
r
(2.19)
ahol b/a az ellipszis kis és nagy tengelyének aránya nφ + nr = n pedig a
főkvantumszám.
A számítások szerint a pálya energiája csak az n főkvantumszámtól függ, az
ellipszis fél nagytengelye és a főkvantumszám között pedig a következő összefüggés
adódik: a = n2ao, ahol ao a Bohr-féle sugár.
Az összefüggések alapján könnyen megállapítható a kvantumpályák
jellemző adatai (a, b) és adott főkvantumszám esetén a lehetséges pályák száma.
Az nφ értéke nem lehet zérus, ez azt jelentené, hogy az ellipszis egyenesbe megy át,
melynek mentén az elektron rezgő mozgást végez. A Bohr elméletnél ilyen pálya
nem lehetséges, mert ebben az esetben az elektronnak az atomaggal ütköznie
kellene. Az nφ legkisebb értéke tehát 1, legnagyobb pedig n, mely körpálya esetén
valósul meg: nφ = 1, 2, 3… n. A főkvantumszám minden n értékéhez tehát n állapot,
-
32
n számú különböző excentricitású pálya tartozik, melyek energia szempontjából
nem különböztethetők meg (2.2. táblázat). Az ilyen állapotokat degenerált
állapotoknak nevezik.
2.2. táblázat. A pályák száma és alakja
n nφ Alak Nagytengely Fél kistengely Pályák száma
1 1 kör a = a0 b = a0 1
2 1
2
ellipszis
kör
a = 4a0
a = 4a0
b = 2a0
b = 4a0
2
3 1
2
3
ellipszis
ellipszis
kör
a = 9a0
a = 9a0
a = 9a0
b = 3a0
b = 6a0
b = 9a0
3
Az ellipszis pályák bevezetése tehát önmagában nem magyarázza a
hidrogénatom spektrumának finomszerkezetét, mert a különböző alakú, de azonos
nagytengelyű pályák energiája egybeesik. Figyelembe véve a pályamozgást végző
elektron relativisztikus tömegnövekedését megszűnik az egybeesés, amint ezt
Sommerfeld kimutatta. Úgyszintén megszűnik az energiaszintek egybeesése a
többelektronos atomoknál, melyeknél a legkülső elektron mozgását a többi zavarja
(perturbálja). Többelektronos atomoknál az azonos főkvantumszámú, de különböző
azimutális kvantumszámú és az egy elektronnal rendelkező atomnál egybeeső
energianívók szétválnak.
Az nφ kvantumszám tehát az impulzusmomentumot kvantálja. A
spektroszkópiai adatok csak úgy magyarázhatók, ha feltételezzük, hogy az
impulzusmomentum nem nφ-vel, hanem nφ-1 = l-el arányos. Az l ún.
mellékkvantumszám értéke 0…(nφ-1)-ig változik, és a pályaimpulzussal a következő
összefüggésben van:
l=2
hl=p
2
hl|=p| ll
(2.20)
A kvantummechanika a következő összefüggést használja:
1)+l(l=2
h1)+l(l=p
l
(2.21)
A Bohr-Sommerfeld elmélet keretében nem lehet megmagyarázni a pl zérus
értékét, amely l=0 esetnek felel meg, várható hogy a pálya menti mozgáshoz mindig
tartozzon impulzusnyomaték.
A különböző mellékkvantumszámú pályákat a spektroszkópiában bevezetett
jelölés szerint: l=0 s, l=1 p, l=2 d és l=3 f pályának nevezik.
-
33
2.1.6. Az elektronpálya mágneses momentuma
A kör vagy ellipszis pályán mozgó elektron körárammal egyenértékű, az
elektrodinamika szerint ennek mágneses momentum felel meg.
A mechanikai impulzusmomentum és a mágneses momentum közti
összefüggés az elektrodinamika törvényei és a pálya impulzusmomentumra érvényes
kvantumfeltétel alapján számítható ki. A mágneses momentum μl az
impulzusmomentummal a következő összefüggésben van:
m2
e-=
e
l (2.22)
0e
l-l=
m4
eh-l= (2.23)
magneton-Bohrm4
eh=
e
0
(2.24)
Az atom mágneses momentuma tehát ugyancsak kvantált mennyiség, a μl
vektor akárcsak a pl vektor merőleges a pálya síkjára, de a pl-el ellenkező irányba
mutat.
2.1.7. A mágneses kvantumszám
Külső mágneses tér hatására a színképvonalak nagy része több egymáshoz
közel álló vonalakra hasad, ez a Zeeman-effektus, ugyancsak felhasadás észlelhető
elektromos tér hatására is, ez a Stark-effektus.
A spektrumvonalak felhasadása arra utal, hogy az elektronok atomon belüli
állapota az n és l kvantumszámokkal nincs teljesen jellemezve. Erőtér-mentes
állapotban ugyanolyan energiával rendelkező elektronok a külső erőtér és a pálya
mágnesesség kölcsönhatása miatt különböző energiára tesznek szert.
A spektrumvonalak felhasadásának a kvantumelmélet szerint az a
magyarázata, hogy a mag körül keringő elektronok impulzus momentumának iránya
nem lehet tetszőleges a mágneses erővonalakhoz képest, csak olyan beállású lehet,
amelyben az impulzusmomentumnak az erővonalakra való vetülete zérus, vagy h/2π
egész számú többszöröse m∙h/2π, ahol m a mágneses kvantumszám. Az m lehetséges
értékei, mivel pl = l∙h/2π, és ennek vetülete pl cosα = m∙h/2π, m = l∙cosα. Mivel a cosα
+1 és -1 között változik, ezért m +l…0…-l között minden egész számú értéket
felvehet.
-
34
-2
-1
0
+1
+2
ml
2.12. ábra. Az impulzusmomentum lehetséges irányai l = 2 esetén.
Adott l esetén a mágneses kvantumszámnak összesen 2l+1 értéke lehet, tehát
a pálya impulzusmomentumának ennyi beállási lehetősége van az erővonalakhoz
képest. Külső mágneses tér jelenlétében minden beállási helyzethez kissé különböző
energia érték tartozik, az energiaszintek felhasadnak (2.12. ábra).
Többelektronos atomokban minden elektron a többi által létesített belső
mágneses térben mozog, ezért a pályák általában egymáshoz képest meghatározott
irányításúak. A mágneses kvantumszám az elektronpályák atomon belüli
viszonylagos helyzetét is megszabja. Az m kvantumszám bevezetését térbeli
kvantálásnak nevezik.
2.1.8. Az elektron saját impulzusmomentuma
A spektrumokfinom szerkezetének tanulmányozása arra az eredményre
vezetett, hogy a termek elméleti értelmezésére az m és l kvantumszámok akkor sem
elegendőek, ha a fényt kibocsátó atomok nincsenek külső mágneses (vagy
elektromos) térben.
Az alkálifémek spektrumában számos vonal megkettőződése, vagyis dublett
termek észlelhetők. A nátrium intenzív sárga D vonala is dublett, két vonalból (D1 és
D2) áll, a második csoportba tartozó elemek spektrumában triplett vonalak
figyelhetők meg.
E tények arra mutatnak, hogy az atomban az ugyanazon n és l
kvantumszámokkal jellemzett elektronok energiája is különböző lehet, tehát az
elektron állapotának leírására szükséges még egy kvantumszám. A spektroszkópiai
adatokat azzal a feltevéssel lehetett értelmezni, hogy ennek az új kvantumszámnak,
melyet s-el jelölünk, egyelektronos rendszereknél csak két értéke lehetséges: s = ±½.
-
35
Goudsmit és Uhlenbeck (1925) az s kvantumszámnak a következő
szemléletes értelmezést adták: az elektron az atomban pálya menti mozgásán kívül
saját tengelye körül is forog, és ennek megfelelően pályaimpulzus nyomatékán kívül
mechanikai saját impulzusmomentummal, spinnel is rendelkezik. A saját
impulzusmomentum és a spin-kvantumszám közötti összefüggés:
2
1-=s
2
1=s
2
hs|=p|
svagy
(2.25)
Az s spinkvantumszám két lehetséges értéke közt a különbség egy, ami
megfelel annak az általános szabálynak, hogy a kvantumszámok értéke csak egész
számmal változhat.
A spin kvantumszámnak a pályamomentumhoz (pl) képest csak két beállási
lehetősége van: paralel (párhuzamos) vagy antiparalel beállás.
2.13. ábra. A spinmomentum beállása a pályamomentumhoz képest.
A spinmomentum és a pályamomentum egymáshoz képesti meghatározott
orientációja érthetővé válik, figyelembe véve, hogy az elektron saját tengelye körüli
forgásának is mágneses momentum felel meg: a pálya és spin momentum tehát
mágneses kölcsönhatásban van. Ha nincs pályamomentum (l=0) akkor a spin iránya
tetszőleges.
A spinnek, mint az elektron saját tengely körüli forgásának felfogása
szervesen illeszkedik a Bohr-Sommerfeld féle fél-klasszikus atommodellbe. E
felfogás nem kielégítő voltát mutatja az a körülmény, hogy a hipotézis alapján
számolt egyes tulajdonságok (pl. a spin mágneses momentuma) nem egyeznek a
tapasztalattal.
Az elektron ps sajátmomentumának egységéhez kétszer akkora μs mágneses
momentum tartozik, mint amekkora az egységnyi mechanikai pályamomentumnak
megfelelő μl mágneses momentum:
pcm
e-|=|
se
s
(2.26)
-
36
Ezt a jelenséget a pörgő elektron magnetomechanikai anomáliájának
nevezik. A spin az elektron olyan alapsajátságának tekinthető, amelynek nincs
makrofizikai megfelelője.
Az elektronoknak tehát egyrészt pályamenti mozgásuk, másrészt spinjük
folytán van mechanikai momentuma, az eredő impulzusmomentum:
2
hj=
2
hs+l (2.27)
ahol j = l + s = l ± ½ a belső kvantumszám, mely a teljes mechanikai momentumot
szabja meg h/2π egységekben.
A kvantummechanika szerint:
2
h1)+j(j|=p|
j
(2.28)
2.1.9. A részecske-hullám kettősség általánosítása, de Broglie hipotézis
A részecske-hullám kettősség problémája először a fény természetének
vizsgálata során jelent meg. A fénysebességgel mozgó fotonnak tehetetlen tömege és
impulzusa van, akárcsak a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskéknek, melyek az
Einstein-féle összefüggésekből számíthatók ki:
hcmE ff 2
(2.29)
A foton tömege és impulzusa tehát:
hcmp
c
hm fff 2 (2.30)
Ezek az összefüggések a részecske-hullám kettősség kvantitatív kifejezőinek
tekinthetők.
1923-ban de Broglie arra a következtetésre jut, hogy az összefüggés nemcsak
fotonokra, hanem a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskékre is érvényes, amelyek
tehát szintén hullámsajátságokkal rendelkeznek. Az m tömegű és v sebességgel
mozgó részecskék impulzusa:
hm v (2.31)
ahol λ a de Broglie-féle anyaghullámra jellemző hullámhossz. A de Broglie-féle
-
37
összefüggés szerint az anyag valamelyik m tömegű v sebességű részecskéjének
hullámhossza:
vm
h (2.32)
Az összefüggés a kvantummechanika egyik alapegyenlete.
De Broglie feltevését kísérletileg először Clinton Davison és Lester Germer
igazolták (1927), kimutatva, hogy vékony fémrétegeken (pl. ezüst fólián) áthaladó
elektronsugarak interferálnak és az interferenciakép alapján számított hullámhossz
igen jól egyezett a de Broglie összefüggés alapján számolt értékekkel. Ez világosan
jelzi, hogy az anyagi részecskéknek hullámsajátságai vannak. A de Broglie-féle
egyenlet alapján könnyen eljuthatunk a mag körül keringő elektron megengedett
pályáit kiválasztó kvantumfeltételhez.
Feltételezve, hogy a körpályán mozgó elektronhoz tartozó anyaghullám
ugyancsak körpálya mentén terjed, úgy a hullám csak akkor lehet stacionárius
(vagyis önmagába visszatérő) ha a pálya kerülete a hullámhossz (λ) egészszámú (n)
többszöröse:
2
hn=rm
m
hn=n=r2 v
v (2.33)
A mag erőterében mozgó elektron impulzusának kvantáltsága tehát az
elektron hullámtermészetének következménye.
2.2. Kvantummechanikai atommodell A Schrödinger-féle egyenlet
A kvantummechanika elméletét egy időben, de egymástól függetlenül és
eltérő módszerekkel dolgozta ki Ervin Schrödinger és Werner Heisenberg 1926-
1927-ben.
De Broglie hipotézise alapján feltételezhető, hogy az elektron
hullámtermészetét az atomon belül is megtartja. Az elektronhoz rendelhető hullám
nem lehet haladó hullám, mivel az atommag vonzása a mozgó elektront az atomon
belül visszatartja, tehát valamilyen állóhullám jön létre.
A kvantummechanikában egy mikrorendszer állapota az ún. Ψ függvénnyel
írható le, amit állapot- vagy hullámfüggvénynek neveznek. Ez a függvény általában a
helykoordináták és az időkoordináták összetett függvénye.
A Ψ függvény fizikai tartalmának értelmezése Max Born-tól származik. A Ψ
gyakran komplex függvény ezért megszorozzák komplex konjugáltjával (Ψ*). A
-
38
hullámfüggvény négyzete vagy a ΨΨ* típusú szorzat, a tér egy tetszőleges pontjában
arányos annak a valószínűségével, hogy a részecske e pont környezetében legyen,
vagyis a részecske tartózkodási helyének valószínűségi sűrűségével. Egydimenziós
rendszernél, ha a részecske csak az x irányba mozog, annak a valószínűsége, hogy a
részecske x és x+dx között tartózkodjon dW = ΨΨ*dx. A valószínűségi sűrűségből
megkapható a tartózkodási valószínűség, megszorozva azt az infinitezimálisan
kicsiny intervallum dx hosszával.
Háromdimenziós mozgásnál (elektron a mag körül) a hullámfüggvény az r
helyzetvektortól függ. Annak valószínűsége, hogy a részecske az r vektorral
jellemzett pont körüli dτ=dx∙dy∙dz térfogatelemben legyen dW =
Ψ(x,y,z)Ψ*(x,y,z)dτ. Annak valószínűsége, hogy ez teljes bizonyossággal
bekövetkezzen definicószerűen W=1. Ha valamennyi koordináta - és + között
változik, akkor az elektron a térben valahol biztosan megtalálható.
x
y
z
r
dx
dy
dz
2.14. ábra. A dτ térfogatelem derékszögű koordináta rendszerben.
A hullámfüggvény egyik tulajdonsága tehát, hogy eleget kell tennie a
normálási feltételnek:
12d (2.34)
A hullámfüggvénnyel szemben támasztott követelmények:
• a Ψ hullámfüggvény sehol sem válhat végtelenné, ez alapvető követelmény, ha
ez megtörténne az egyenletbeli integrál végtelen, a normálási tényező pedig zéró
lenne;
• egyértékű kell legyen, képtelenség, hogy a részecske egy adott pontban egynél
többféle valószínűséggel szerepeljen;
-
39
• folytonos kell legyen;
• eleget kell tennie a határfeltételeknek.
Egy rendszer állapota a fizikai mennyiségek teljes készletével jellemezhető,
a kvantummechanikában ez helyettesíthető egyetlen mennyiséggel (energia,
impulzusmomentum stb.). A kvantummechanikában azokat az értékeket, amelyeket
egy mennyiség felvehet, sajátértéknek nevezik, ezek lehetnek folytonosak, vagy
diszkrétek: An, n = 1, 2, 3… Az An sajátértékhez Ψn sajátfüggvény rendelhető. A
kvantummechanikában a fizikai mennyiségek ún. operátorokkal fejezhetők ki. Az
operátor olyan matematikai eljárás, amely a függvénnyel végrehajtandó műveletet
fejezi ki.
Tehát minden fizikai mennyiséghez tartozik egy  operátor, amely a
mennyiséghez rendelt (Ψ) hullámfüggvényre hat. Ha az An mennyiséghez tartozó
hullámfüggvény Ψn, akkor a hozzátartozó Â operátorral kijelölt műveletek elvégzése
után a Ψn függvénynek egy konstanssal, a megfelelő sajátértékkel (An), való szorzatát
kapjuk: Â Ψn = AnΨn. A sajátértékegyenlet általános alakja: (operátor)x(függvény) =
(számfaktor)x(előbbi függvény). Esetünkben: (energia operátor)x(hullámfüggvény) =
(energia) x (hullámfüggvény).
Az egyenlet megoldásai közül csak azok fontosak, amelyek eleget tesznek a
normálási feltételnek. A megoldáshoz tartozó A konstansok az ún. sajátértékek. A
sajátértékegyenlet a normálási feltétellel együtt megadja a kérdéses fizikai mennyiség
(A) sajátfüggvényeit és sajátértékeit.
Egy korpuszkulum impulzus komponenseire a px, py, pz operátorok
alkalmazhatók:
zip
yip
xip zyx
ˆˆˆ (2.35)
ahol ℏ = h/2π = 1,055.10-34
Js.
A kvantummechanikában gyakran használt fizikai mennyiség az energia (E),
amelynek Ĥ operátorát Hamilton-féle operátornak nevezik, William Hamilton XIX
századi matematikus tiszteletére. Egy m tömegű elektron esetén, mely külső
erőtérben mozog, a klasszikus energia függvény a kinetikus és a potenciális energiák
összege, és a következő alakban adható meg:
zyxVpppmEEE zyxpotkin ,,2
1 222 (2.36)
A Hamilton-féle operátor:
-
40
zyxVzdyx
mH ,,2 2
2
2
2
2
22
(2.37)
Az első tag a kinetikus energia operátora, a második a potenciális energia
operátor. A sajátértékegyenlet az elektronra: Ĥ Ψ = EΨ, vagyis:
zyxEzyxzyxVzyx
m ,,,,,,2 2
2
2
2
2
22
(2.38)
A fenti három dimenzióra érvényes egyenletet 1926-ban Schrödinger vezette
le, ezért Schrödinger-egyenletnek nevezik. Ez az egyenlet az energia sajátérték-
egyenlete, mely megadja a V potenciállal rendelkező térben mozgó elektron
sajátfüggvényeit és energia sajátértékeit.
Az egyenlet megoldása egy nehéz matematikai feladat, csak néhány esetben
létezik egzakt megoldás, az esetek döntő többségében csak közelítő megoldások
lehetségesek. Analitikai megoldás létezik például arra az esetre, amikor az m tömegű
elektron x=a hosszú egydimenziós dobozban mozog. Ilyenkor a Ψ = A sin(α ∙ x)
függvény ki tudja elégíteni a differenciálegyenletet. Az α és E megadhatók a
következő kifejezésekkel:
2m=E
2mE=
22
2
2
energiaaz (2.39)
2.2.1. A hidrogénatom kvantummechanikai leírása
A hidrogénatom kvantummechanikai modellje lényeges, mivel a
Schrödinger egyenletnek csak erre az atomra van egzakt megoldása. A hidrogénatom
protonból és elektronból áll, a Coulomb-féle vonzást a centrifugális erő egyenlíti ki.
Az elektron mozgása egy gömbfelületen való mozgáshoz hasonlít, ha a proton
nyugalmi állapotban a gömb központjában helyezkedik el. Az elektron helyzetének
megadásához két szög (θ, φ) és az r sugár szükséges. Mivel nem feltételezhető, hogy
az elektron a központtól mindig azonos távolságra mozog, valamennyi lehetséges
sugárral kell számolni. A hullámfüggvény megadásához tehát három változót kell
figyelembe venni (θ, φ, r).
A hidrogénatomra számolt eredmények érvényesek a He+, Li
2+, Be
3+ stb.
ionokra is (ún. hidrogénszerű atomok), melyekben nagyobb a magtöltés, de a mag
körül ezeknél is csak egy elektron található.
-
41
A hullámfüggvényeket a Schrödinger-egyenlet megoldásával állíthatjuk elő.
Ha a mag töltése +Ze, akkor az r távolságra mozgó elektron potenciális energiája:
00
2
4
e=e
r4
Ze-=V(r) (2.40)
r
eZ-=V(r)
2
(2.41)
A kinetikus energia operátorát Ê kin-el jelölve a Schrödinger egyenlet:
E=
r
eZ-E
2
kin
ˆ (2.42)
A hidrogénatom gömbszimmetrikus rendszer, ezért az elektron mozgásának
leírására polárkoordinátákat használnak (θ, φ, r), ahol r a rádiuszvektor, θ a
rádiuszvektor és a z tengely által bezárt szög, és φ a rádiuszvektor xy síkban való
vetületének az x tengellyel bezárt szöge.
x
y
z
P(x, y, z)
r
2.15. ábra. Polárkoordinátákra való áttérés.
A Descartes-féle koordináták és a polárkoordináták közti összefüggés:
x = r sinθcosφ y = r sinθsinφ (2.43)
z = rcosθ r2 = x
2 + y
2 + z
2
A Schrödinger-egyenlet formája a polárkoordinátákra való áttérés után:
02
sin
1sin
sin
1122
2
22
2
2
VE
m
rrrr
rr
(2.44)
-
42
A hullámfüggvény, Ψ(r, θ, φ) matematikai megoldása során a függvény két
egymástól független tagra bontható, amelyek közül az első csak a sugártól a második
csak a szögektől függ. A megoldás során megállapították: az elektron
háromdimenziós mozgásának a leírásához három kvantumszám n, l és m szükséges.
A hullámfüggvény alakja:
Ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ) (2.45)
ahol a kvantumszámok lehetséges értékei: n: 1, 2, 3…; l: 0, 1, 2…(n-1),
m: -l, -(l-1)…-1, 0, 1…(l-1), l.
A hullámfüggvény Rnl(r) tagja a sugártól, az Ylm(θ, φ) tag pedig a szögektől
függ.
A hullámfüggvény megadja a hidrogénatom egyetlen elektronjának
valamennyi állapotát. Az állapotokat leíró hullámfüggvényeket atomi pályáknak
(orbitáloknak) is nevezik. Az atomi pálya típusát a mellékkvantumszám határozza
meg. Az l = 0, 1, 2, 3 stb. értékek esetén ezek jelölése s, p, d, f, g és így tovább.
A hidrogénatomban levő elektron impulzusnyomatéka a következő
kvantálási szabálynak tesz eleget:
)1+l(l=L (2.46)
A hullámfüggvény négyzete mindig pozitív értékeket ad, maga a függvény
azonban pozitív és negatív előjelű, sőt kompex értékű is lehet. Néhány
hullámfüggvény matematikai alakja:
a=rr
Z= 00
0
23
(2.47)
e1
=s rZr
-100 0
:1 (2.48)
er
Zr-2
32
1=2s r2
Zr-
0
0
200: (2.59)
cossin: 121 er32
1=p2 r2
Zr-
x 0 (2.50)
cos: 210 er32
1=p2 r2
Zr-
z 0 (2.51)
sinsin: 211 er32
1=p2 r2
-Zr
y 0 (2.52)
-
43
2.2.2. Csomófelületek
Azokon a helyeken, amelyeken a hullámfüggvény értéke 0, a
hullámfüggvény négyzete is zérus, tehát az elektron előfordulási valószínűsége
ezekben a pontokban nulla. Ezek a pontok összefüggő felületeket – úgynevezett
csomófelületeket alkotnak. A hullámfüggvény értéke a csomósíkon áthaladva előjelet
vált – kivétel a végtelenben levő csomófelület, mert az elektronsűrüség
aszimptotikusan tart a nullához.
A hullámfüggvény Ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)∙Ylm(θ,φ) alakjában a változók tovább
szeparálhatóak, így Ψnlm(r,θ,φ) = Rnl(r)∙Θl,m(θ)∙Φm(φ) formára hozható. Mint három
tényező szorzata, a hullámfüggvény akkor lesz zéró, ha valamelyik tag lenullázódik.
Attól függően, hogy melyik tényező lesz nulla, három különböző típusú csomófelület
létezik:
• ha Rnl(r) = 0 adott r értékre, akkor csomógömbről,
• ha Θl,m(θ) = 0 adott θ szögre, akkor csomókúpról,
• ha Φm(φ) = 0 adott φ szögre, akkor függőleges csomósíkról
beszélünk. (A θ = 90° értékre kialakuló csomókúp tulajdonképp vízszintes
csomósík.)
A különböző csomófelületek számát a kvantumszámok határozzák meg.
Minden orbitálnak összesen n csomófelülete van. A csomógömbök száma n-l, amiből
egy a végtelenben helyezkedik el, tehát n-l-1 véges sugarú csomógömb van.
Függőleges csomósíkból |𝑚| van, tehát a csomókúpok száma l-|𝑚| lesz.
2.2.3. A hullámfüggvény szögfüggő komponense
A kémiai kötések kialakulásának szemléltetéséhez sokszor elég csak a
hullámfüggvény szögfüggő részének vizsgálata, valamint a hullámfüggvény
szimmetriájának megállapítása.
A szögtől függő komponens Ynl(θ, φ) ábrázolása térbeli felületeket
eredményez, ezek alakja a 2.16. ábrán látható.
Megfigyelhető, hogy míg az s orbitál gömbszimmetrikus, míg a többi
orbitálnak kitüntetett irányai vannak, ahol az elektronsűrüség maximális. Kémiai
kötések kialakulásához ezekben az irányokban történhet meg legjobb eredménnyel az
orbitálok átfedődése.
Ha az elektron előfordulási valószínüségét egy alhéj összes pályáján
összegezzük, az eredmény minden esetben gömbszimmetrikus lesz. Tehát egy
teljesen betöltött p (6 elektron), d (10 elektron), f (14 elektron) alhéj
-
44
gömbszimmetrikus. Ugyanez a helyzet a félig betöltött alhéjak (minden orbitálon
csak 1-1 elektron van) esetében is. Ha a hidrogénatom külső mágneses térbe kerül
(ami egy másik atom mágneses tere is lehet), akkor a gömbszimmetrikus eloszlás, és
ezzel együtt a különböző állapotok degenerációja is megszűnik.
2.16. ábra. A szögfüggő komponensek ábrázolása.
-
45
2.2.4. A hullámfüggvény sugártól függő összetevője
Az Rnl(r) függvények ábrázolása, mivel a szögfüggő komponenst figyelmen
kívül hagyjuk nem ad teljes képet az elektronsűrűség eloszlásáról. A függvény a
magból kiinduló egyenes mentén szemlélteti a relatív elektronsűrűség eloszlást (2.17.
ábra).
Megfigyelhető, hogy a mag helyén (r = 0) csak az s függvények
rendelkeznek véges értékekkel, az elektronsűrűségük itt a legnagyobb, majd a sugár
növekedésével gyorsan csökken. (Ez a magyarázata annak, hogy egyes
magreakciókban az atommag leginkább az 1s orbitálról képes elektront befogni,
mivel ennek a hullámfüggvénynek a legnagyobb az értéke az atommagban.) A
nagyobb mellék-kvantumszámú pályák nem csak hogy az atommagon átmenő
csomófelülettel rendelkeznek, de a hullámfüggvényük sugárfüggő komponense is
nulla az atommagban.
2.17. ábra. Az Rnl(r) függvények ábrázolása.
-
46
Gyakran használják a radiális eloszlásfüggvényt. A hullámfüggvény sugártól
függő összetevőjéből kiszámolható, hogy az elektron a magtól r távolságban levő,
elhanyagolhatóan kis vastagságú dr gömbhéjban milyen valószínűséggel tartózkodik.
Az r sugarú gömb felülete 4πr2, a dr vastagságú gömbhéj térfogata: dτ = 4r
2πdr, tehát
dW = R2nl(r)Y
2lm(θ, φ)dτ. Figyelmen kívül hagyva a szögfüggő komponenst (Y
2lm =1)
és dτ értékét behelyettesítve, dW = 4r2πR
2nl(r)dr, ahol a 4r
2πR
2nl(r) tag a radiális
eloszlás. Ennek változása r függvényében néhány n és l értékre a 2.18. ábrán látható.
2.18. ábra. A radiális eloszlás ábrázolása r/r0 függvényében.
Az 1s állapot legvalószínűbb sugara ao, egyezik a Bohr-féle sugárral. A
Bohr-modell szerint az elektron a mag körül olyan pályákon mozog, amelyek sugara
annál nagyobb minél nagyobb az elektron energiája. A legkisebb sugarú pálya ao. Az
elektron a kvantummechanikai modell szerint is a magtól ao távolságra tartózkodik a
legnagyobb valószínűséggel, de nem csak ilyen sugarú pályán mozog, ettől eltérő
távolságban is van tartózkodási valószínűsége. Növekvő n-el a maximális
-
47
tartózkodási valószínűségi helyek magtól való távolsága nő. A Bohr-modellből
hiányzik a valószínűség fogalma.
2.2.5. A sajátfüggvények szintvonal-diagramjai
A Ψ(r,θ,φ) hullámfüggvények, vagy azok Ψ2(r,θ,φ) négyzetei, a térben olyan
felületekkel is ábrázolhatóak, ahol értékük konstans, tehát azonos elektronsűrűségű
helyeknek felelnek meg. A térbeli felületek síkmetszeteit szintvonal-diagramoknak
nevezik.
2.19. ábra. Szintvonal-diagramok – Ψ(r,θ,�