Bam may

ATGroup

ÔN TẬP CUỐI KỲ

PHƯƠNG PHÁP TÍNH I. Số gần đúng và sai số:

Sai số tương đối: a

Sai số tuyệt đối: a = a . | a |

Số chữ số đáng tin: k log ( 2 a )

Sai số luôn luôn làm tròn lên (bất kể quá bán hay không).

1 2( , ,..., )ny f x x x

1 2

1

, ,...,n

y n i

i i

fx x x x

x

II. Phương pháp trình phi tuyến:

1. Sai số tổng quát:

| '( ) | 0f x m | ( *) |

| * | f x

x xm

2. Phương pháp chia đôi:

1

| || * |

2n

b ax x

[a,b]

3. Phương pháp lặp đơn:

[a,b] g (x)

| g’(x) | ≤ q ; 0 ≤ q < 1 : hệ số co ( + x : lấy a , - x : lấy b )

Sai số:

| xn – x | ≤ q

q n

1| x1 – x0 | (công thức tiên nghiệm)

=> xác định số lần lặp n

| xn – x | ≤ q

q

1| xn – xn-1 | (công thức hậu nghiệm)

Tính sai số và nghiệm:

A = ( q ) B = ( x0 )

C = g (B) : 1

A

A (C – B) : B = C

Tính nghiệm:

( x0 ) = g (Ans) =

Tính số lần lặp:

1 0log

log

nq x xn

q

4. Phương pháp Newton :

Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]

f (x) f ’’(x)> 0

f ’(x) f ’’(x) < 0 => x0 = a

f ’(x) f ’’(x) > 0 => x0 = b

ATGroup

Tổng quát:

xn = xn-1 – )('

)(

1

1

n

n

xf

xf

| '( ) | 0f x m Tính nghiệm:

( x0 ) = Ans - ( )

'( )

f Ans

f Ans =

Tính sai số và nghiệm:

A = ( x0 )

B = A - ( )

'( )

f A

f A :

( )f B

m : A = B

III. Phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss:

1. Phương pháp Jacobi:

Khi n = 3:

A = ( x10 ) B = ( x2

0 ) C = ( x3

0 )

D = 11

1

a( b1 – a12 B – a13 C ) :

E = 22

1

a( b2 – a21 A – a23 C ) :

F = 33

1

a( b3 – a31 A – a32 B ) :

A = D : B = E : C = F Sai số:

2. Phương pháp Gauss – Serdel:

Khi n = 3:

B = ( x20 ) C = ( x3

0 )

D = 11

1

a( b1 – a12 B – a13 C ) :

E = 22

1

a( b2 – a21 D – a23 C ) :

F = 33

1

a( b3 – a31 D – a32 E ) :

B = E : C = F

( ) ( ) ( 1)|| |||| || || ||

1 || ||

m m mTx x x x

T

1312

11 11

2321

22 22

31 32

33 33

0

0

0

aa

a a

aaT

a a

a a

a a

( ) (1) (0)|| |||| || || ||

1 || ||

mm T

x x x xT

ATGroup

Sai số: T = (D – L )

-1 U . Công thức sai số như trên.

=> (D-L)-1

(bấm máy)

IV. Nhân tử LU:

1 1j ju a 1iil 21

21

11

al

a

31 1232

1132

21 1222

11

a aa

al

a aa

a

21 1222 22

11

a au a

a

21 1323 23

11

a au a

a

3131

11

al

a

31 12 21 1332 23

11 1131 1333 33

21 121122

11

a a a aa a

a aa au a

a aaa

a

u21 = u31 = u32 = 0

V. Phương pháp Choleski:

11 11b a

2

2122 22

11

ab a

a

21

21

11

ab

a

31

31

11

ab

a

31 2132

11

322

2122

11

a aa

ab

aa

a

2 2

33 33 31 32b a b b 12 13 23 0b b b

VI. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:

||A||1 : max tổng cột

||A||∞ : max tổng dòng.

k(A) = ||A|| ||A-1

|| : số điều kiện

k càng gần 1 : càng ổn định

k càng xa 1 : càng không ổn định.

VII. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline:

1. Đa thức nội suy Largrange:

Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa n = số điểm – 1

11

21 22

31 32 33

0 0

0

a

D L a a

a a a

12 13

23

0

0 0

0 0 0

a a

U a

ATGroup

Lập bảng:

x x0 x1 … xn Dk = tích theo hàng

x0 (x – x0) (x0 – x1) … (x0 – xn) D0

x1 (x1 – x0) (x – x1) … (x1 – xn) D1

… … … … … …

xn (xn – x0) (xn – x1) … (x – xn) Dn

w(x)

w(x) =

n

k

kxx0

)(

Ln(x) = w(x)

n

k k

k

D

y

0

Sai số:

Mn+1 = |max[f(n+1)

(x)]| ; x[x0, xn]

|f(x) – Ln(x)| ≤ )!1(

1

n

M n

|w(x)|

2. Đa thức nội suy Newton:

Tổng quát: trường hợp các điểm nút cách đều với bước h:

Δyk = yk+1 – yk Δ

pyk = Δ

p-1yk+1 – Δ

p-1yk

N(1)

n(x) = y0 + !1

0yq +

!2

0

2 yq(q – 1) +…+

!

0

n

ynq(q – 1)…(q – n + 1) ;

q = h

xx 0 (công thức Newton tiến)

N(2)

n(x) = yn + !1

1 nyp +

!2

2

2

nyp(p + 1) +…+

!

0

n

ynp(p+1)…(p + n – 1) ;

p = h

xx n (công thức Newton lùi)

Cách làm: lập bảng => N

xk yk Δ Δ2

x0 y0 Δ0= y1 – y0 Δ2

0 = Δ1 – Δ0

x1 y1 Δ1= y2 – y1 …

… … … …

Chú ý: với cùng 1 bảng số: Ln(x) = N(1)

n(x) = N(2)

n(x) . Tuy nhiên, nếu bảng

số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta chỉ cần thêm hoặc bớt sô hạng cuối

trong Nn(x) thay vì làm lại từ đầu đối với Ln(x).

3. Spline bậc 3 tự nhiên:

Trường hợp 3 số: 0 0a y 1 1a y

ATGroup

0 2 0c c

2 1 1 0

2 1 1 01

2 0

3 3

2

y y y y

x x x xc

x x

1 0 1 1 00

1 0

( )

3

y y c x xb

x x

2 1 1 2 11

2 1

2 ( )

3

y y c x xb

x x

10

1 03( )

cd

x x

11

2 13( )

cd

x x

g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)

3 x [x0, x1]

g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)

3 x [x1, x2]

VIII. Phương pháp bình phương bé nhất:

1. Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt nhất bảng số đã cho”

g(f) = min))((1

2

n

k

kk yxF

Điểm dừng:

.........

.........

.........

g

A

g

B

g

C

=> chuyển vế => giải hệ phương trình 3 ẩn (A, B, C)

Cách bấm máy:

Ví dụ: ta cần tính các giá trị: 4

1

n

k

k

x

2

1

sinn

k k

k

x y

2

1

n

k k

k

x y

2

1

sinn

k

k

x

1

sinn

k k

k

y x

A=A+X4:B=B+X

2sinY:C=C+X

2Y:D=D+(sinX)

2:E=E+YsinX

CALC - Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị.

- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập xk và yk tương ứng.

- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E?

2. Cách sử dụng máy tính đối với 1 số hàm:

Bước 1: chọn chế độ clear all

shift_9_3 đối với 570ES

shift_mode_3 đối với 570MS

Bước 2:

chọn chế độ STAT : mode 3 đối với 570ES

chọn chế độ REG : mode_mode_2 đối với 570MS

ATGroup

Bước 3: chọn dạng của F(x)

Phím ấn Dạng F(x)

570ES 570MS

F(x) = A+Bx 2 Lin

F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx

2 3 Quad

F(x) = ln(A + Bx) 4 Log

F(x) = AeBx

5 Exp

F(x) = A.Bx 6 không có

F(x) =A.xB 7 Pwr

F(x) = BxA

1

8 Inv

Bước 4: nhập bảng giá trị

nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES

nhập xk , yk (dấu , ) M+ cho đến khi hết bảng đối với 570MS

Bước 5: tính giá trị A, B

shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) đối với 570ES

shift_2 _►_►_1 (tính A) / 2 (tính B) đối với 570MS

IX. Tính gần đúng đạo hàm:

1. Bảng 2 điểm:

Sai phân tiến (x0, x0+h)

0 0( ) ( )'( )

f x h f xf x

h

Sai phân lùi (x0-h, x0)

0 0( ) ( )'( )

f x f x hf x

h

Sai số :

2

2

M h 2

[ , ]max ''( )x a b

M f x

2. Bảng 3 điểm:

Đạo hàm cấp 1

Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h)

0 0 03 ( ) 4 ( ) ( 2 )'( )

2

f x f x h f x hf x

h

Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h)

0 0( 2 ) ( )'( )

2

f x h f xf x

h

Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0)

0 0 0( ) 4 ( ) 3 ( 2 )'( )

2

f x f x h f x hf x

h

Sai số : 2

3

6

M h 3

[ , ]max ''' ( )x a b

M f x

ATGroup

Đạo hàm cấp 2

0 0 0

2

( ) 2 ( ) ( )''( )

f x h f x f x hf x

h

Sai số: 2

4

12

M h

(4)

4[ , ]

max ( )x a b

M f x

X. Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân):

Bài toán cần xấp xỉ tích phân b

a

dxxfI )(

Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia b a

hn

. Ta

có công thức sau:

0 1 2 1[ 2( ... ) ]2

n n

hI y y y y y

Sai số: 2

2( )12

M hb a 2

[ , ]max ''( )x a b

M f x

XI. Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân):

Bài toán: cần xấp xỉ tích phân b

a

dxxfI )(

Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia

m

abh

2

. Ta có công thức sau:

0 1 3 2 1 2 4 2 2 2[ 4( ... ) 2( ... ) ]3

m m m

hI y y y y y y y y

Sai số: 4

4( )180

M hb a )(max )4(

],[4 xfM

bax

XII. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:

1. Bài toán: tìm yk và sai số.

0 0

' ( , ),

( )

y f x yx a b

y x y

2. Công thức Euler:

1 ( , )k k k ky y hf x y b a

hn

Có nghiệm chính xác là ( )ky x .

ATGroup

Khi đó sai số : | ( ) |k ky x y

Bấm máy:

A = (x0) B = (y0)

y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h

3. Công thức Euler cải tiến:

1 1 2

1

2k ky y k k

b ah

n

1 ,k kk hf x y 2 1,k kk hf x h y k

Có nghiệm chính xác là ( )ky x .

Khi đó sai số : | ( ) |k ky x y

Bấm máy nghiệm và sai số:

A = (x0) B = (y0)

y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B + 1

2(C+D) : A = A + h

Trường hợp: 0 0 0 0

''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ),

( ) '( ) '

x t f t x t g t x t h tt a b

x t x x t x

Cách giải: 0 0

0 0

( ) ( ) '( )

'( ) '( ) ''( )

x t x t hx t

x t x t hx t

XIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1

Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h ( n = 1)

1 0 0

12 0 0

23 0 0

4 0 0 3

0 1 0 1 2 3 4

,

,2 2

,2 2

,

1( ) 2 2

6

K hf x y

KhK hf x y

KhK hf x y

K hf x h y K

y x h y y K K K K

Cách bấm máy:

Tính K1:

A = hf(X, Y) CALC X? (nhập x0) = Y? (nhập y0) =

Tính K2:

► thay A bằng B CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+A/2) =

Tính K3:

► thay B bằng C CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+B/2) =

Tính K4:

► thay C bằng D CALC X? (nhập x0+h) = Y? (nhập y0+C) =

Tính y1:

y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D) =

ATGroup

XIV. Bài toán biên tuyến tính cấp 2:

1. Bài toán: tìm hàm y = y(x):

bxabyay

xfxyxrxyxqxyxp

;)(;)(

)()()()(')()('')(

2. Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn

Đặt y(x0) = y(a) = α = y0

y(xn) = y(b) = β = yn

pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk) Công thức:

1 12 2 22

2 2

k k k k kk k k k k

p q p p qy r y y f

h h h h h

Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,…..,yn-1

XV. Phương trình Elliptic:

1. Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D

dyc

bxa thỏa:

)(),();(),(

)(),();(),(

),(),(

21

21

2

2

2

2

xdxuxcxu

yybuyyau

Dyxyxfy

u

x

u

2. Cách giải: chia đều đoạn [a,b] thành n đoạn với x

b an

chia đều đoạn [c,d] thành m đoạn với y

b am

Đặt uij là giá trị xấp xỉ của hàm u(xi, yj): uij u(xi, yj) 0, ; 0,i n j m

Công thức tổng quát:

1, , 1, , 1 , , 1

2 2

2 2

1, 1; 1, 1

i j i j i j i j i j i j

ij

x y

u u u u u uf

h h

i n j m

Trường hợp ∆x = ∆y = h 2

, 1, 1, , 1 , 14

1, 1; 1, 1

i j i j i j i j i j iju u u u u h f

i n j m

Giải hệ tính được giá trị của các ui,j.

XVI. Phương trình Parabolic:

1. Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định

trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa

ATGroup

22

2

1 2

( , ) ( , )

( , ) ( ); ( , ) ( ) 0

( ,0) ( ) [ , ]

u uf x t x t D

t x

u a t t u b t t t

u x x x a b

2. Cách giải: chia đều [a,b] thành n đoạn với x

b an

chọn bước thời gian 0;t j tt j

đặt uij = u(xi, tj); fij = f(xi, tj);

2

2

t

x

Sơ đồ hiện:

, 1 1, , 1,(1 2 )

0,1,2,.....; 1,2,..., 1

i j i j i j i j t iju u u u f

j i n

Sơ đồ ẩn:

1, , 1, , 1(1 2 )

1,2,...; 1, 2,..., 1

i j i j i j t ij i ju u u f u

j i n

Giải hệ tính được giá trị của các ui,j

XVII. Các đạo hàm cấp cao (phụ lục):

( 1)

( )1 1 !

ln

n n

n

n

n af ax b

ax b

( )

1

1 !1n n

n

n

a nf

ax b ax b

( ) sin sin2

n nf ax a ax n

1

( ) 1 1 1 11 2 ... 1

nn kk kf ax b n a ax bk k k k

Bam may

Documents

Transcript of Bam may