Bac2012Math_Fayssal

ياتــــــــــاضــــــــريال 2102 حلول دتارين البكالوريا

0 صفحة إعداد : راىم .ف

التمرين األول :

z :2املعادلة ذات اجملهول حل يف جمموعة األعداد املركبة .1 2 1 0z z .

;املستوي املركب منسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس .2 ,O i j

.A ،B وC : 1نقط من املستوي اليت الحقاهتا على الرتتيب

2A

iz

،B Az z وC A Bz z z .

Aو Az ،Bzاكتب على الشكل األسي األعداد املركبة : - أ

B

z

z .

وزاويتو Oعلى الرتتيب بالدوران الذي مركزه Cو A ،Bصور النقط C'و A ،'B'عني الحقة كل من - ب4

.

'بني أن الرباعي -ج ' 'OA C B . مربع

نسمي .3 جمموعة النقطM من املستوي ذات الالحقةz : حيثA Bz z z z .

بني أن - أ . ىو حمور الفواصل

بني أن حلي املعادلة : - ب2

A

B

z zi

z z

عددان حقيقيان . ) اليطلب حساب احللني ( .

الثاني: التمرين

دلة ذات اجملهولاملعا 2 نعترب يف .1 ;x y : التالية 2011 1432 31..... 1x y .

أويل . 2111أثبت أن العدد - أ

باستعمال خوارزمية إقليدس ، عني حال خاصا - ب 0 0;x y للمعادلة 1 مث حل املعادلة ، 1 .

. 7على 201214322011، مث جد باقي القسمة اإلقليدية للعدد 7على 2n، باقي القسمة اإلقليدية للعدد nعني ، حسب قيم العدد الطبيعي -أ .2

ها يكون : اليت من أجل nعني قيم العدد الطبيعي -ب 2010 2011 1432 0 7n n n .

3. N 2عدد طبيعي يكتب حيث : 9يف نظام التعداد الذي أساسو ، ، عة من متتالية حسابية هبذا الرتتيب تشكل حدود متتابمتزايدة دتاما و ; حل للمعادلة 1 .

يف النظام العشري . Nمث اكتب و ،عني

الثالث :التمرين

;نعترب يف الفضاء املنسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس , ,O i j k

، النقط 3;0;0A ، 0;4;0B و 2;2;2C .

ليست يف استقامية و أن الشعاع A ،B ،Cبني أن النقط .1 4;3; 1n عمودي على كل من الشعاعنيAB

ACو

.

اكتب معادلة ديكارتية للمستوي .2 P الذي يشمل النقطA ،B ،C .

نويإمتحان شهادة التعليم الثا الرياضيات: الشعبة

الموضوع

01



6بني أن : -أ .3 8 7 0x y معادلة ديكارتية للمستوي 'P جمموعة النقط ; ;M x y z من الفضاء حيثAM BM .

2بني أن : -ب 4 4 3 0x y z معادلة ديكارتية للمستوي "P جمموعة النقط ; ;M x y z من الفضاء حيثAM CM . بني أن -ج 'P و "P يتقاطعان وفق مستقيم . يطلب تعني دتثيل وسيطي لو

. ABCمركز الدائرة احمليطة باملثلث احسب إحداثيات النقطة .4

الرابع :التمرين

I- g كما يلي : ىي الدالة املعرفة على 2 xg x xe .

، مث شكل جدول تغرياهتا . gادرس تغريات الدالة .1

بني أن املعادلة .2 0g x تقبل حال وحيدا 0,8، مث حتقق أن : على 0,9 .

إشارة ، x ، حسب قيم عني .3 g x .

II- f كما يلي : ىي الدالة املعرفة على 2 2

2x

xf x

e

.

fC املعلم املتعامد واملتجانس دتثيلها البياين يف املستوي املنسوب إىل ; ,O i j

( . 2cm. )وحدة الطول

بني أن : .1 lim 0x

f x

. مث فسر النتجة ىندسيا ،

احسب -أ .2 limx

f x

.

بني أن املستقيم -ب ' 1ذا املعادلة ذا املعادلةy x مستقيم مقارب للمنحين fC .

ادرس وضعية .3 fC كل من بالنسبة إىل ' و حيث ، لة ىو املستقيم ذو املعادy x .

x ،بني أنو من أجل كل عدد حقيقي -أ .4 2

'2x

g xf x

e

. f، مث استنتج اجتاه تغري الدالة

بني أن : -ب f مث شكل جدول تغريات الدالة ،f .

ارسم .5 ، ' و fC .

، عدد حلول املعادلة : mناقش بيانيا ، حسب قيم الوسيط احلقيقي .6 f x f m .

III- nu 0كما يلي : ملتتالية العددية املعرفة على ىي ا 0u ومنو أجل كل عدد طبيعيn : 1n nu f u .

n ،0برىن بالرتاجع أنو من أجل كل عدد طبيعي .1 nu .

باستعمال .2 و fC 0مثل على حمور الفواصل احلدودu ،1u 2وu مث مخن اجتاه تغري ، nu .

ة برىن أن املتتالي .3 nu . متقاربة ، مث احسب هنايتها



ا لاافمصل لاحل


المعادلة المعطاة . حل في .1

2لدينا : 2 1 0z z : 2. وبالتايل 4 2 4 2b ac : 22، أيi .

1: إذن

2 2 1

2 2 2

b i iz

a

2و

2 2 1

2 2 2

b i iz

a

.

كتابة الشكل األسي . -أ .2

1لدينا :

2A

iz

: 1، وبالتايل

12

A

iz

و

1arg arg

42A

iz

. إذن :

.4

i

Az e

.

Bولدينا : Az z : 1، وبالتايلB Az z و arg arg4

B Az z

: إذن ..4

i

Bz e

.

1ولدينا : AA

B B

zz

z z و arg arg arg

4 4 2

AA B

B

zz z

z

. إذن :

.2

iA

B

ze

z

.

. Cو A ،Bصور النقط C'و A ،'B'تعين الحقة كل من -ب

وزاويتو Oالعبارة املركبة للدوران الذي مركزه 4

: ىي' .z a z b : حيث ..4

i

a e

0وb : أي ..4' .

i

z e z

.

وبالتايل : . . .4 4 4

' .i i i

A Az e z e e

: ومنو.2

'

i

Az e i

.

و : . . .4 4 4

' .i i i

B Bz e z e e

: 0.ومنو

' 1i

Bz e .

و : . .4 4

' . 2i i

C Cz e z e

: ومنو.4

' 2 1i

Cz e i

. 'إثبات أن الرباعي -ج ' 'OA C B . مربع

Cمبا أن : A Bz z z : فإنOACB . متوازي األضالع

ولدينا : .2

iA

B

ze

z

: معناهOA OB و,2

OB OA

مربع . OACB. ومنو :

'ومبا أن : الرباعي ' 'OA C B صورة املربعOACB بالدوران ، فإن : الرباعي' ' 'OA C B ألن الدوران تشابو وتقايس .مربع إثبات أن -أ .3 . ىو محور الفواصل

Aلدينا : Bz z z z : أي ،MA MB : ومنو ىو حمور القطعة املستقيمة AB .

Bمتناظرتني بالنسبة حملور الفواصل ) ألن : Bو A ومبا أن النقطتني Az z ومنو فإن ، ) . ىو حمور الفواصل إثبات أن حلي المعادلة عددان حقيقيان . - ب

لدينا : 2

A

B

z zi

z z

، معناه :

2

1A

B

z z

z z

A، أي : Bz z z z .

أ فإن صور حلول املعادلة نقط من حمور الفواصل . -3إذن حسب نتائج السؤال ومبا أن املعادلة من الدرجة الثانية فهي تقبل حلني حقيقيني .



الثاني: التمرين

أولي . 2111إثبات أن العدد -أ .1

. 47، 43، ......، 3، 2ألنو ال يقبل القسمة على األعداد األولية من 2111العدد 247ولدينا : 2011 أويل . 2111، ومنو العدد

إيجاد حل خاص -ب 0 0;x y للمعادلة 1 .

مالقاسم و املقسو 2011 1432 579 274 31 26 5

باقي القسمة 579 274 31 26 5 1

وبالتايل : 31 579 274 2 579 1432 579 2 2 .

أي : 31 579 5 1432 2 2011 1432 5 1432 2 .

إذن : 31 2011 5 1432 7 : ؛ ومنو 5;7 . حل خاص

حل المعادلة - 1 .

لدينا :

2011 1432 31

2011 5 1432 7 31

x y

، إذن : 2011 5 1432 7x y .

يقسم 2011إذن : 1432 7y أوليان فيما بينهما . 1432، 2011و

يقسم 2011ومنو حسب غوص جند : 7y : 2011أي 7y k : حيث .k . عدد صحيح

بالتعويض جند : 2011 5 1432 2011 7 7x k : 5، أي 1432x k : 1432، ومنو 5x k .

. 7على 2n، باقي القسمة اإلقليدية للعدد nتعيين ، حسب قيم العدد الطبيعي -أ .2

لدينا : 02 1 7 ، 12 2 7 ، 22 4 7 ، 32 1 7 .

: فإن kومنو من أجل كل عدد طبيعي 32 1 7k ، 3 12 2 7k ، 3 22 4 7k .

. 7على 201214322011إيجاد باقي القسمة اإلقليدية للعدد -لدينا : 2012 20121432 1 3 1432 1 3 1 3 20121432وبالتايل 3 1k .

ولدينا 2012 20121432 14322011 2 7 2011 2 7 إذن

20121432 3 12011 2 7 2 7k .

. 2ىو 7على 201214322011ومنو : باقي القسمة اإلقليدية للعدد

التي من أجلها يكون : nتعيين قيم العدد الطبيعي - ب 2010 2011 1432 0 7n n n .

لدينا 2010 1 7 2010 1 7 1 7n n .

و 2011 2 7 2011 2 7n n .

و 21432 4 7 1432 2 7n n .

وبالتايل 22010 2011 1432 0 7 1 2 2 0 7n n n n n .

إذن 2 2 1 6 7n n

3ومنو 1n k 3أو 2n k ؛ حيثk . عدد طبيعي

3 2 1 1 n 7 4 2 1 2n 7 5 3 2 2 1n 7 6 6 2 2 2 1n n



. و ،تعيين .3

لدينا 9 3 2 1 02 2 9 9 9 9 1458 81 9N حيث; ; أعداد طبيعية من اجملال

0;8 .

; حل للمعادلة 1 1432معناه 5k 2011و 7k : 5وبالتايل 7و .

، ، 2تزايدة دتاما ، معناه هبذا الرتتيب تشكل حدود متتابعة من متتالية حسابية م : 2وبالتايل 3إذن .

: ىي Nالكتابة العشرية للعدد ومنو 9

2 1458 81 7 9 3 5 2057N .


ليست في استقامية . A ،B ،Cإثبات أن النقط .1

لدينا : 3;4;0AB

و 1;2;2AC

.

3نالحظ أن : 4

1 2

AB.حبيث kوبالتايل ال يوجد عدد حقيقي k AC

: النقط ، ومنوA ،B وC . ليست يف استقامية تعني مستويا

إثبات أن الشعاع - 4;3; 1n عمودي على كل من الشعاعينAB

ACو

.

لدينا : . 3 4 4 3 0 1 12 12 0AB n

: وبالتايلAB n

.

ولدينا : . 1 4 2 3 2 1 4 6 2 0AC n

: وبالتايلAC n

. كتابة معادلة ديكارتية للمستوي .2 P الذي يشمل النقطA ،B ،C .

الشعاع 4;3; 1n ناظمي على املستوي P وبالتايل معادلة املستوي P : 4ىي 3 0x y z d .

النقطة A P إذن 4 3 3 0 0 0 12d d ومنو معادلة املستوي P : 4ىي 3 12 0x y z .

كتابة معادلة ديكارتية للمستوي -أ .3 'P.

'P ىو املستوي احملوري للقطعة AB .

منتصف القطعة Iنعترب AB : وبالتايل. 0IM AB

: 3، حيث;2;0

2I

.

3إذن : ; 2;

2IM x y z

، 3;4;0AB

.

وبالتايل 3

3;4;0 . ; 2; 02

x y z

9، إذن : 3 4 8 0

2x y 6، ومنو 8 7 0x y .

كتابة معادلة ديكارتية للمستوي -ب "P .

''P ىو املستوي احملوري للقطعة AC . نعتربJ منتصف القطعة AC : وبالتايل. 0JM AC

.

5حيث : ;1;1

2J

5إذن : . ; 1; 1

2JM x y z

، 1;2;2AC

.

وبالتايل 5

1;2;2 . ; 1; 1 02

x y z

5، إذن : 2 2 2 2 0

2x y z .

2ومنو 4 4 3 0x y z .



إثبات أن -ج 'P و "P . يتقاطعان وفق مستقيم مبا أن املستويني 'P و "P حموري القطعتني AB و AC على الرتتيب ، و النقطA ،B ،C ليست يف استقامية ؛ فإن املستويني

'P و "P يتقاطعان وفق مستقيم . ين تمثيل وسيطي للمستقيم يتع - .

لدينا :

1 1

2 1 2

6 8 7 0........... 6 8 7 0

2 4 4 3 0.... 3 4 12 2 0

x y e e x y

x y z e e e y z

وبالتايل : 8 7

6

2 4

12

yx

yz

.

3yنضع tمن أجل كل عدد حقيقي t : وبالتايل ،

74

6

3 ;

1

6

x t

y t t

z t

.

. ABCمركز الدائرة المحيطة بالمثلث حساب إحداثيات النقطة .4

ىي نقطة تقاطع املستقيم النقطة مع املستوي P : وبالتايل . 7 1

4 4 3 3 12 06 6

t t t

.

14إذن : 116 9 12 0

3 6t t t ،101

156t .

يف التمثيل الوسيطي للمستقيم tبتعويض قيمة جند إحداثيات النقطة : 37ىي 101 25; ;

26 52 52

.

الرابع :لتمرين ا

I- : لدينا 2 xg x xe حيث ،gD .

. gدراسة تغيرات الدالة .1

النهايات . -لدينا : lim lim 2 x

x xg x xe

وبالتايل ، lim 2

xg x

.

لدينا : و lim lim 2 x

x xg x xe

وبالتايل ، lim

xg x

.

. gدراسة اتجاه تغير الدالة -

لدينا : ' x xg x e xe إذن ' 1xg x e x .

ومنو : ' 1 0g .

الدالة g x متزايدة دتاما ملا ; 1x .

ومتناقصة دتاما ملا 1;x .

جدول تغيرات الدالة - g x .

11 2g e .

- ∞ -1 + ∞ x + 0 - 'g x

g (-1)

2 - ∞

g x



إثبات أن المعادلة .2 0g x تقبل حال وحيدا على المجال 1; .

معرفة ومستمرة على اجملال gالدالة - ; 1 دتاما على اجملال متزايدة، و ; 1 .

ولكن lim 1 0x

g x g

املعادلة ومنو 0g x ال تقبل حلوال على اجملال ; 1 .

معرفة ومستمرة على اجملال gالدالة - 1; دتاما على اجملال متناقصة، و 1; .

ولدينا lim 1 0x

g x g

املعادلة ومنو 0g x ا تقبل حال وحيد على اجملال 1; .

0,8التحقق أن - 0,9 .

لدينا 0,8 0,22g و 0,9 0,21g نالحظ أن 0,8 0,9 0g g 0,8؛ وبالتايل 0,9 .

ارة استنتاج إش .3 g x على .

مما سبق نستنتج أن : 0g x ملا ; و 0g x ملا ; مع 0g .

II- : لدينا 2 2

2x

xf x

e

fD، حيث .

إثبات أن : .1 lim 0x

f x

.

لدينا 2 2

lim lim lim 22x xx x x

x xf x

e e

، ومنو lim 0

xf x

.

املنحين : التفسير الهندسي - fC يقبل مستقيم مقارب أفقي يف جوار 0معادلتوy .

حساب -أ .2 limx

f x

.

لدينا 2 2

lim lim2xx x

xf x

e

، ومنو lim

xf x

.

إثبات أن المستقيم -ب ' مستقيم مقارب للمنحني fC .

لدينا 2 2 2 2 2 2

lim lim 1 lim2 2

x x

x xx x x

x x xe x ef x y x

e e

.

وبالتايل lim lim 02

x x

xx x

xe ef x y

e

. ومنو املستقيم ' 1ذا املعادلةy x مستقيم مقارب للمنحين fC .

دراسة وضعية .3 fC كل من بالنسبة إلى ' و .

بالنسبة لـ ':

لدينا 1

2

x

x

x ef x y

e

. وبالتايل إشارة f x y من إشارة 1x .

ومنو : املنحين fC يقطع املستقيم يف النقطة 1;0 و يكون فوقو ملا ; 1x ويكون حتتو ملا 1;x .

لـ بالنسبة :

لدينا 2 2 2 2

2 2 2

x x

x x x

g xx xe x xef x y

e e e

شارة ، وبالتايل إ f x y من إشارة g x .

ومنو : املنحين fC يقطع املستقيم يف النقطة ; و يكون فوقو ملا ;x ويكون حتتو ملا ;x .



. fدراسة اتجاه تغير الدالة -أ .4

لدينا

2

2 2 2 2'

2

x x

x

e e xf x

e

. وبالتايل

2 2

2 22 4 2 2'

2 2

xx x x

x x

xee xe ef x

e e

.

ومنو 2

'2x

g xf x

e

.

إشارة وبالتايل 'f x من إشارة g x .

ومنو : ' 0f x ملا ; .

و ' 0f x ملا ; مع ' 0f .

إثبات أن : -ب f .

املنحين fC يقطع املستقيم : y x يف النقطة ذات الفاصلة .

ومنو f . . fجدول تغيرات الدالة -

رسم .5 ، ' و fC .

املقابلالبيان بالشكل

المناقشة البيانية ، لعدد حلول المعادلة : .6 f x f m .

املعادلة ولحل f x f m فواصل نقط تقاطع املنحين ىي fC مع املستقيم األفقي ذو املعادلة y f m تأخذ ( .m قيمx ، )

وبالتايل :ملا ; 1m : يوجد حل وحيد ىو :x m .

ملا 1; ;m . يوجد حلني متمايزين : mملا يوجد حل مضاعف ىو :x .

III- : 0لدينا 0u ومنو أجل كل عدد طبيعيn : 1n nu f u .

n ،0إثبات بالتراجع أنو من أجل كل عدد طبيعي .1 nu .

0لدينا 0u : 00إذن u . 0نفرض أن nu 10ونربىن أن nu .

0لدينا nu مبا أن الدالة متزايدة دتاما ، 0; : على اجملال فإن 0 nf f u f .

: إذن 1

2

3nu 10وبالتايل nu .

n ،0ومنو : من أجل كل عدد طبيعي nu .

- ∞ α + ∞ x + 0 - 'f x

α

0 - ∞

f x



.2uو 0u ،1uتمثيل الحدود .2

ثيل بالشكل املقابلالتم

من خالل التمثيل خنمن أن املتتالية التخمين : nu متزايدة دتاما 0 1 2u u u .

إثبات أن المتتالية .3 nu . متقاربة

لندرس رتابة املتتالية nu .

ملا 0;x : لدينا 0f x x . ) املنحين فوق املنصف األول (

0مبا أن nu نضع ،nx u : وبالتايل 0n nf u u 1ومنو 0n nu u .

وبالتايل املتتالية nu . متزايدة دتاما املتتالية متزايدة دتاما وحمدودة من األعلى فهي متقاربة .

حساب نهاية المتتالية - nu .

1limمبا أن املتتالية متقاربة فإن limn nn n

u u

: وبالتايل ، f ىي فاصلة نقطة تقاطع املنحين مع املنصف األول . . ومنو

limإذن : nn

u

.




التالية : zاملعادلة ذات اجملهول حل يف جمموعة األعداد املركبة .1 2 24 2 3 4 0 z z z .

;نعترب املستوي املركب املنسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس .2 ,

O u v .A ،B ،C وD : نقط من املستوي اليت لواحقها على الرتتيب

3 Az i ،B Az z ،2 Cz i وD Cz z .

ائرة تنتمي إىل د Dو A ،B ،Cبني أن النقط - يطلب تعني مركزىا ونصف قطرىا ، مث أنشئ النقطA ،B ،C وD .

. Oبالنسبة إىل املبدأ Bنظرية النقطة Eإىل الحقة النقطة Ezنرمز بـ .3

3بني أن : - أ

iA C

E C

z ze

z z.

يطلب تعني زاويتو . Cمركزه Rبدوران Eىي صورة النقطة Aبني أن النقطة - ب

. AECاستنتج طبيعة املثلث -ج . 2ونسبتو Oىو التحاكي الذي مركزه H -د

Rعني طبيعة التحويل - H مث استنتج صورة الدائرة وعناصره املميزة ، بالتحويلR H .

الثاني :التمرين

;نعترب يف الفضاء املنسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس , ,O i j k

، النقط 1;1;1A ، 1; 1;0B و 2;0;1C .

تعني مستويا A ،B ،Cبني أن النقط .1 1P . يطلب تعيني دتثيل وسيطي لو

2. 2P : 2املستوي الذي 2 6 0 x y z . معادلة ديكارتية لو

بني أن - 1P و 2P يتقاطعان وفق مستقيم . يطلب تعيني دتثيل وسيطي لو

ىي مرجح اجلملة Oبني أن النقطة .3 ;1 , ;1 , ; 1A B C .

عني -أ .4 S جمموعة النقط ; ;M x y z : 2من الفضاء اليت حتقق 3

MA MB MC .

نقطيت تقاطع Eو Dأحسب إحداثيات -ب S و . و O؟ مث استنتج املسافة بني ODEما ىي طبيعة املثلث -ج .

الثالث : التمرين

nu 0كما يلي : ىي املتتالية العددية املعرفة على 16u ومن أجل كل عدد طبيعيn ،1 6 9 n nu u .

. 7على 0u ،1u ،2u ،3u ،4uاحسب بواقي قسمة كل من احلدود -أ .1

إمتحان شهادة التعليم الثانوي تالرياضيا: الشعبة

الموضوع

02



حبيث : bوقيمة للعدد aمخن قيمة للعدد -ب 2 7ku a و 2 1 7 ku b .

n ،برىن أنو ، من أجل كل عدد طبيعي -أ .2 2 7 n nu u .

k ،برىن بالرتاجع أنو من أجل كل عدد طبيعي -ب 2 2 7ku : مث استنتج أن ، 2 1 3 7 ku .

n ،9نضع من أجل كل عدد طبيعي .3

5 n nv u .

بني أن املتتالية - أ nv . ىندسية ، يطلب تعني أساسها وحدىا األول

0حيث : nSو nu، كال من nاحسب بداللة - ب 1 ..... n nS u u u .


I- g دالة املعرفة على اجملال ىي ال 1;3 : كما يلي 2ln 11

xg x x

x .


بني أن املعادلة .2 0g x تقبل حلني أحدمها معدوم واآلخر : 0,8حيقق 0,7 .

إشارة ، xعني ، حسب قيم .3 g x .

4. h ىي الدالة املعرفة على اجملال 1;3 : بـ 2

h x g x .

- أ 'h x احسب بداللة كل من g x و 'g x .

عني إشارة - ب 'h x مث شكل جدول تغريات الدالة ،h .

II- f ي الدالة املعرفة على اجملال ى 1;3 : كما يلي

2

; 0ln 1

0 0

xf x x

x

f

.

fC دتثيلها البياين يف املستوي املنسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس; ,O i j

.

تقبل االشتقاق عند الصفر ، مث اكتب معادلة لـ fبني أن الدالة .1 T ـ مماس fC 1يف النقطة ذات الفاصلة .

من xبني أنو من أجل كل -أ .2 1;0 0;3 ،

2

'ln 1

xg xf x

x . f، مث استنتج اجتاه تغري الدالة

: بني أن -ب 2 1 f مث عني حصرا لـ ، f .

احسب -ج 3f و 1

lim

x

f x مث شكل جدول تغريات الدالة ،f .

من اجملال xبني أنو من أجل كل -أ .3 1;3 : فإن ln 3 1 0 x .

ادرس وضعية -ب fC بالنسبة إىل املماس T .

عني معادلة للمستقيم .4 'T املوازي للمماس T والذي يتقاطع مع fC 3يف النقطة ذات الفاصلة .

ارسم .5 T ، 'T و fC .

، عدد حلول املعادلة : mناقش بيانيا ، حسب قيم الوسيط احلقيقي .6 f x x m .





حل المعادلة : .1 2 24 2 3 4 0 z z z .

لدينا : 2 24 2 3 4 0 z z z : وبالتايل 2 2 3 4 0 ........ 1z z أو 2 4 0 ........ 2z .

ادلة نحل المع 1: لدينا 2

2 2' ' 3 4 1 3 4 1b ac i .

وبالتايل : 1

' ' 33

1

b iz i

a

و

2

' ' 33

1

b iz i

a

.

ادلة نحل المع 2لدينا :2 4 0z وبالتايل . 22 4 2z i : 3. ومنو 2z i 4و 2z i .

تنتمي إلى دائرة Dو A ،B ،Cت أن النقط إثبا .2 . ثم تعين مركزىا ونصف قطرىا ،

3لدينا : 2Az i ،2B A Az z z .

2 2Cz i 2وD C Cz z z .

تنتمي إىل دائرة Dو A ،B ،Cومنو النقط مركزىاO 2ونصف قطرىاr . . Dو A ،B ،Cإنشاء النقط -

التمثيل بالشكل املقابل

3إثبات أن : -أ .3

iA C

E C

z ze

z z .

3Eمعناه Oبالنسبة إىل املبدأ Bنظرية النقطة Eطة النق Bz z i .

3لدينا 2 3 3

3 2 3 3

A C

E C

z z i i i

z z i i i

3إذن 3 3 3 3 9 6 3 1 3

12 2 23 3 3 3

A C

E C

z z i i ii

z z i i

.

1ولدينا 31

2 2i ،1 3

arg2 2 3

i

3ومنو

iA C

E C

z ze

z z .

و تحديد زاويتو . Cمركزه Rبدوران Eىي صورة النقطة Aإثبات أن النقطة - ب

3من العالقة السابقة لدينا

iA C

E C

z ze

z zوبالتايل 3

i

A C E Cz z e z z

.

و زاويتو Cالذي مركزه Rبدوران Eىي صورة النقطة Aومنو النقطة 3

.

. AECاستنتج طبيعة المثلث -ج

CAمما سبق نستنتج أن CE و;3

CE CA

متقايس األضالع . AECومنو املثلث

E A

C

B

D

(γ)



Rطبيعة التحويل تعيين -د H . أنظر املخطط املقابل .1ىي Hالعبارة املركبة للتحاكي 2.z z .

ىي Rالعبارة املركبة للدوران 3

1'i

C Cz z e z z

.

إذن : 1 1

1 3 1 3' 2 2 3

2 2 2 2z i i z i i z i

1أي : .

1 3' 3

2 2z i z i

.


' 2. 32 2

z i z i

، أي 1' 1 3 3z i z i .

نالحظ أن 1 3i 1و 3 2 1i . ومنو : التحويلR H . تشابو مباشر

مركزه النقطة ذات الالحقة

0

3 3

31 1 3

i iz

ii

، أي :

0

3 3

3

iz

.

1ونسبتو 3 2k i وزاويتو ، 1 33

i

.

استنتاج صورة الدائرة - بالتحويلR H .

مركز الدائرة Oصورة النقطة باشر بالتشابو املR H ىي النقطة ذات الالحقة ' 1 3 0 3 3z i i i .

الدائرة ومن صورة بالتحويل R H ىي الدائرة ' ذات املركز 3; 1 ونصف القطر' . 2 2 4r k r .

معادلتها الديكارتية : 2 2 23 1 4x y .

الثاني :التمرين

تعين مستويا A ،B ،Cإثبات أن النقط .1 1P.

لدينا : 0; 2; 1AB

و 1; 1;0AC

.


1 1

AB.حبيث k، وبالتايل ال يوجد عدد حقيقي k AC

.

ليست يف إستقامية فهي تعني مستويا . Cو A ،Bالنقط ومنو : تعيين تمثيل وسيطي للمستوي - 1P .

لدينا 1; ;M x y z P معناه. .AM t AB k AC

.

وبالتايل 1

1 2

1

x k

y t k

z t

يطي للمستوي . ومنو التمثيل الوس 1P : ىو1

1 2 ; ,

1

x k

y t k t k

z t

.

إثبات أن - .2 1P و 2P متقاطعان.

لدينا الشعاع الناظمي للمستوي 2P : نالحظ أن ، 2 1; 2; 2n

.



ولدينا 2. 0 1 2 2 1 2 6AB n

.

أي : 2n

غري ناظمي على املستوي 1P : ومنو 1P و 2P يتقاطعان وفق مستقيم . وفق مستقيم

ستقيم تعيين تمثيل وسيطي للم - .

نعوض التمثيل الوسيطي للمستوي 1P يف املعادلة الديكارتية للمستوي 2P : فنجد 1 2 1 2 2 1 6 0k t k t .

1وبالتايل : 2k t إذن : التمثيل الوسيطي للمستقيم ؛ ىو :

1 1 2

1 2 1 2 ;

1

x t

y t t t

z t

؛ أي 2

2 ;

1

x t

y t

z t

.

ىي مرجح الجملة Oإثبات أن النقطة .3 ;1 , ;1 , ; 1A B C .

لدينا : 1 1 2 0

1 1 0 0 0

1 0 1 0

OA OB OC

.

ىي مرجح اجلملة Oومنو النقطة ;1 , ;1 , ; 1A B C .

تعيين مجموعة النقط -أ .4 S .

MAلدينا : MB MC MO

: 2وبالتايل 3 2 3MO MA MB MC

.

ومنو جمموعة النقط S ىي سطح كرة مركزىاO 2ونصف قطرىا 3r 2، معادلتها الديكارتية 2 2 12x y z .

نقطتي تقاطع Eو Dحساب إحداثيات -ب S و .

يل الوسيطي للمستقيم التمثنعوض يف املعادلة الديكارتية لسطح الكرة S : فنجد 2 2 2

2 2 1 12t t .

2وبالتايل 24 4 1 2 12t t t : 25، أي 2 7 0t t .

حنسب املميز املختصر : 22' ' . 1 5 7 36b a c .

إذن 1

' ' 1 61

5

bt

a

و

2

' ' 1 6 7

5 5

bt

a

.

يف التمثيل الوسيطي للمستقيم tنعوض قيم فنجد إحداثياتD وE : 14مها 2;2;

5 5D

و 2;2;2E .

. ODEتحديد طبيعة المثلث -جنقطتني من سطح الكرة Eو D مبا أن S ذات املركزO : 2، فإن 3OD OE . ؛ ومنو املثلث متساوي الساقني

و Oج المسافة بين ا استنت - .

و Oاملسافة بني ىي املسافة بني النقطةO والنقطة I و منتصف القطعة DE .

2 لدينا 4;2;

5 5I

.


22 4 4 16 24 62 4 2

5 5 25 25 5 5IO

.



:الثالث التمرين

. 7على 0u ،1u ،2u ،3u ،4uحساب بواقي قسمة كل من الحدود -أ .1

لدينا 0 02 7 16 7 2 2u u ، 1 06 9 6 2 9 7 3 7u u ،

2 16 9 6 3 9 7 2 7u u ، 3 26 9 6 2 9 7 3 7u u ،

4 36 9 6 3 9 7 2 7u u . 2aمن خالل النتاج السابقة خنمن أن قيمة العدد ىي :التخمين -ب 3وقيمة العددb .

n ،أنو ، من أجل كل عدد طبيعي إثبات -أ .2 2 7 n nu u .

2لدينا : 16 9n nu u وبالتايل 2 6 6 9 9 2 2 7 7n n n nu u u u .

n ،ومنو من أجل كل عدد طبيعي 2 7n nu u .

k ،إثبات بالتراجع أنو من أجل كل عدد طبيعي -ب 2 2 7ku .

لدينا 0 2 7u أي 2 0 2 7u .

نفرض أن : 2 2 7ku : ونربىن أن ، 2 1

2 7k

u .

لدينا 2 2 2 7k ku u حسب ما سبق ( ، ولدينا ( 2 2 7ku وبالتايل 2 1

2 7k

u : أي ، 2 2 2 7ku .

k ،و من أجل كل عدد طبيعي ومن 2 2 7ku .

استنتاج أن : - 2 1 3 7 ku .

1لدينا 6 9n nu u 2إذن 1 26 9k ku u : وبالتالي 2 1 6 2 9 7 3 7ku .

k ،ومنو من أجل كل عدد طبيعي 2 1 3 7ku . إثبات أن المتتالية -أ .3 nv . ىندسية

9لدينا

5 n nv u وبالتايل

1 1

9 9 546 9 6

5 5 5n n n nv u u u ، إذن

1

96 6

5n n nv u v

.

ومنو املتتالية nv 6ىندسية ، أساسهاq وحدىا األول0 0

9 9 7116

5 5 5v u .

. nSو nu، كال من nحساب بداللة - ب

لدينا : 0

71. . 6

5

nn

nv v q 9ولدينا

5 n nv u وبالتايل

9 71 9. 6

5 5 5

n

n nu v .

0ولدينا : 1 0 1

9 9 9..... .....

5 5 5n n nS u u u v v v

.

وبالتايل 0 1

9..... 1

5n nS v v v n .

إذن : 1 1

0

1 9 71 6 1 91 1

1 5 5 6 1 5

n n

n

qS v n n

q

.

ومنو 171 96 1 1

25 5

n

nS n .




I- :لدينا 2ln 11

xg x x

xحيث 1;3gD .


النهايات -

لدينا : 1 1

lim lim 2ln 11x x

xg x x

x

.

1بوضع 1x t t x 0وبالتايل 1t x .

بالتايل

1 0 0

2 ln 11lim lim 2ln lim

x t t

t t ttg x t

t t

.

لدينا : و 3 3

3 2ln 3 1 4ln 23 1 4

g

.

. gدراسة اتجاه تغير الدالة -

لدينا :

2 2

2 1 2 1'

1 1 1

xg x

x x x

.

إذن ' 1xg x e x .

إشارة 'g x من إشارة 2 1x : 1، ومنو' 0

2g

.

الدالة g x 1متناقصة دتاما ملا1;

2x

1، ومتزايدة دتاما ملا ;3

2x

.

جدول تغيرات الدالة - g x . 11 ln 2

2g

.

إثبات أن المعادلة .2 0g x تقبل حلين أحدىما معدوم واآلخر : 0,8يحقق 0,7 .

ينالد - 0 0g ومنو املعادلة 0g x تقبل حل معدوم.

معرفة ومستمرة على اجملال gالدالة - 0,8; 0,7 دتاما على اجملال متناقصة، و 0,8; 0,7 . ولدينا 0,8 0,78g ، 0,7 0,07g : نالحظ 0,8 0,7 0g g .

املعادلة ومنو 0g x تقبل حال وحيدا 0,8حيث 0,7 .

، إشارة xن ، حسب قيم يتعي .3 g x . تعطى إشارة g x . حسب اجلدول التايل

II- لدينا : 2

h x g x حيث 1;3hD .

- أ 'h x حسب بداللة كل من ا g x و 'g x .

من اجملال xمن أجل كل عدد حقيقي 1;3 : ' 2. ' .h x g x g x .

- 1 1

2 + 3 x

- 0 + 'g x

+∞ 3

4ln 24

1 ln 2

g x

- 1 0 + 3 x + 0 - 0 + g x



تعيين إشارة - ب 'h x .

- ' 0h x ملاx 1أو

2x 0أوx .

- ' 0h x ملا 1

1; ;02

x

.

- ' 0h x ملا 1

; 0;32

x

.

. hجدول تغيرات الدالة -

- 21

1 ln 22

h

.

- 2

33 4ln 2

4h

.

III- 1أن الدالة . إثباتf تقبل االشتقاق عند الصفر .

لدينا :

2

0 0lim lim

ln 1x x

xf x

x

.

وبالتايل

0 0

0lim lim 0 0

ln 1 1x x

xf x f

x

x

مستمرة عند الصفر . f، إذن الدالة

ولدينا : 0 0

0lim lim

0x x

f x f f x

x x

.

بالتايل و

0 0

0lim lim 1

0 ln 1x x

f x f x

x x

قابلة لإلشتقاق عند الصفر . f، ومنو الدالة

كتابة معادلة لـ - T ، مماس fC 1في النقطة ذات الفاصلة .

لدينا : : ' 0 0 0T y f x f ، : 1 0 0T y x ومنو :T y x .

حساب -أ .2 'f x من أجل كلx من 1;0 0;3 .

من xمن أجل كل 1;0 0;3 لدينا

2

2

12 ln 1

1'ln 1

x x xxf x

x

.

- 1 1

2 0 + 3 x

+ - 0 + - 'g x

- 0 + + 0 - g x

- 0 + 0 – 0 + 'h x

- 1 1

2 0 + 3 x

- 0 + 0 – 0 + 'h x

+∞ 1

2h

3h

0 0

h x



بالتايل

2

2ln 11

'ln 1

xx x

xf x

x

، ومنو

2

'ln 1

xg xf x

x .

. fاستنتاج اتجاه تغير الدالة -

إشارة 'f x من إشارة .x g x .

و بالتايل :متزايدة دتاما ملا f الدالة ;0 0;3 . متناقصة دتاما ملا f الدالة 1; .

بيان أن : -ب 2 1 f .

لدينا :

2

ln 1f

و لدينا 2ln 1 0

1g

إذن :

ln 1

2 1

.


2 1f

، ومنو 2 1 f .

ين حصرا لـ يعت - f .

نضع : 2 1t 0,8، حيث 0,7 .

إذن : ' 2 1 2 2 1 2t وبالتايل ، ' 2 2 1t من أجل ، 0,8; 0,7 يكون

' 0t . 0,8إذن : من أجل 0,7 لدينا 0,7 0,8t t t ومنو ، 0,3 0,4f .

ب احس -ج 3f و 1

lim

x

f x .

لدينا :

23 9

3ln 3 1 2ln 2

f

.

ولدينا

2

1 1

lim lim 0ln 1x x

xf x

x

.

. fجدول تغيرات الدالة -

من المجال xإثبات أنو من أجل كل -أ .3 1;3 : فإن ln 1 0x x .

نضع : ln 1R x x x .

من اجملال xمن أجل كل وبالتايل : 1;3 : فإن 1

' 11 1

xR x

x x

.

إذن : R x متناقصة دتاما ملا 1;0x و متزايدة دتاما ملا 0;3x 0. وتبلغ قيمتها احلدية الصغرى ملاx .

من اجملال xمن أجل كل ومنو : 1;3 : فإن 0R x R .

من اجملال xمن أجل كل إذن 1;3 : فإن ln 1 0x x .

- 1 0 + 3 x + 0 - 0 + g x

- 0 + - x - 0 + 0 + 'f x

- 1 0 + 3 x - 0 + 0 + 'f x

0 3f

0

f

f x



دراسة وضعية -ب fC بالنسبة إلى المماس T .

لدينا

2 ln 1

ln 1 ln 1

x xxf x y x x

x x

.

و بالتايل :

2

ln 1

xf x y x

x

. إذن :

ln 1

ln 1

xf x y x x

x

.

نالحظ أنو : 0f x y ومنو من اجل كل ،x من اجملال 1;3 فإن املنحين fC فوق املماس T .

تعيين معادلة للمستقيم .4 'T .

لدينا : ' :T y x b حيث . 3 3f b .

أي : 9

3 3 32ln 2

b f .

9ومنو : 3

2ln 2y x .

رسم .5 T ، 'T و fC .

المناقشة البيانية ، لعدد حلول المعادلة : .6 f x x m .

طع املنحين دتثل حلول املعادلة فواصل نقط تقا fC و املستقيم ذو املعادلةy x m .

- 0m . ال توجد حلول :

- 0 1m . يوجد حلني متمايزين :

- 9

1 32ln 2

m . يوجد حل وحيد :

- 0m : . ال توجد حلول

y=x+1




. 11على 9n، بواقي قسمة nادرس ، حسب قيم العدد الطبيعي .1

؟ 11على 20122011ما ىو باقي قسمة العدد .2

، العدد nبرىن أنو من أجل كل عدد طبيعي .3 15 1 10 20124 9 4 2011 2011n n 11يقبل القسمة على .

حبيث يكون العدد nعني األعداد الطبيعية .4 20122011 2 2n 11مضاعفا للعدد .

: ثانيالتمرين ال

1حبيث : 2zو 1zعني العددين املركبني .1 2

1 2

2 3 9 2

3 8 8

z z i

z z i

.

;نعترب يف املستوي املركب املنسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس .2 ,O u v

و Az ،Bzب : اليت الحقاهتا على الرتتي و A ،B، النقط

z 3حيث 2Az i ،3Bz 1و 2z i .

أثبت أن: - أ B Az z i z z .

. ABعني طبيعة املثلث - ب

3. h ىو التحاكي الذي مركزه النقطةA 2ونسبتو .

. hعني الكتابة املركبة للتحاكي - أ

. hبالتحاكي صورة النقطة Cالحقة النقطة Czعني - ب

مرجح اجلملة Dالحقة النقطة Dzعني -ج ,1 , , 1 , ,1A B C .

مربع . ABCDبني أن -د

4. E جمموعة النقطM : 4من املستوي اليت حتقق 5MA MB MC

.

تنتمي إىل اجملموعة Bحتقق أن النقطة - أ E مث عني طبيعة ، E . وعناصرىا املميزة

أنشئ اجملموعة - ب E .


I- g كما يلي : ي الدالة املعرفة على ى 4 4 2 xg x x e .


بني أن املعادلة .2 0g x تقبل حلني أحدمها معدوم واآلخر : 1,59حيث 1,60 .

استنتج إشارة .3 g x .

إمتحان شهادة التعليم الثانوي تقني رياضي: الشعبة

الموضوع

01



II- f كما يلي : ىي الدالة املعرفة على 2 2

2x

xf x

e x

.



بني أن .1 fC يقبل عند و 1مستقيمني مقاربني معادلتامها على الرتتيبy 0َوy .

x :برىن أنو من أجل كل عدد حقيقي -أ .2

2

'2x

g xf x

e x

.

استنتج إشارة -ب 'f x دالة ، مث شكل جدول تغريات الf .

احسب -ج 1f مث استنتج ، حسب قيم ،x إشارة ، f x .

بني أن : -أ .3 1

11

f

. Iن اجلزء م 2ىو العدد املعرف يف السؤال ، حيث

استنتج حصرا للعدد -ب f تدور النتائج إىل (210 . )

ارسم -ج fC .

، عدد وإشارة حلول املعادلة : mناقش بيانيا ، حسب قيم الوسيط احلقيقي .4 2 2 2 1xx e x m .

5. h : ىي الدالة املعرفة على كما يلي 2

h x f x .

احسب - أ 'h x بداللة كل من 'f x و f x مث استنتج إشارة ، 'h x .

. hول تغريات الدالة شكل جد - ب


;الفضاء منسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس , ,O i j k

.

P املستوي الذي يشمل النقطة 2; 5;2A و 2;1;5n

شعاع ناظمي لو . Q 2املستوي الذي 2 0x y . معادلة لو عني معادلة ديكارتية للمستوي .1 P .

بني أن املستويني .2 P و Q . متعامدان

عني دتثيال وسيطيا للمستقيم .3 تقاطع املستويني ، P و Q.

احسب -أ .41d املسافة بني النقطة 3;3;3K واملستوي P و

2d قطة املسافة بني النK و املستوي Q .

واملستقيم Kاملسافة بني النقطة dاستنتج -ب .

بطريقة ثانية . dاحسب املسافة .5



اافمصل ل لااحل


. 11على 9nدراسة بواقي قسمة .1

لدينا : 09 1 11 ، 19 9 11 ، 29 4 11 ، 39 3 11 ، 49 5 11 ، 59 1 11 5؛ البواقي حدود ملتتالية دورية دورىا .

فإن : kوبالتايل من أجل كل عدد طبيعي 59 1 11k ، 5 19 9 11k ، 5 29 4 11k ، 5 39 3 11k ، 5 49 5 11k .

. 11على 20122011تحديد باقي قسمة العدد .4

لدينا 2011 9 11 ومنو 2012 20122011 9 11 .

2012ومبا أن : 5 402 2 : فإن 2012 5 402 22011 9 11 4 11 .

إثبات أن العدد .5 15 1 10 20124 9 4 2011 2011n n 11يقبل القسمة على .

لدينا : 3 315 1 59 9 9 1 9 11 9 11n n و

2 210 10 52011 9 11 9 11 1 11 1 11n n n .

أي : 15 1 10 20124 9 4 2011 2011 4 9 4 1 4 11 44 11n n : ومنو

15 1 10 20124 9 4 2011 2011 0 11n n .

بحيث يكون العدد nتعين األعداد الطبيعية .6 20122011 2 2n 11ضاعفا للعدد م .

لدينا : 20122011 2 2 0 11n : وبالتايل ، 4 2 2 0 11n أي ، 2 5 11n : إذن ، 6 2 6 5 11n .

أي : 8 11n : 11، ومنو 8n k حيث ،k . عدد طبيعي


حل الجملة . .1

1لدينا : 2

1 2

2 3 9 2

3 8 8

z z i

z z i

1، وبالتايل : 2

1 2

2 3 9 2

9 3 24 24

z z i

z z i

2، إذن : 1

1

3 9 2 2

11 33 22

z i z

z i

.


1

3 9 2 2 3 2

3 2

z i i

z i

1، ومنو :

2

3 2

1 2

z i

z i

.

أن تإثبا -أ .2 B Az z i z z .

3لدينا : 1 2 4 2Bz z i i و 3 2 1 2 2 4 4 2Ai z z i i i i i i .

ومنو : B Az z i z z .

. ABتعين طبيعة المثلث -بلدينا : B Az z i z z : إذن ،B Az z z z : أي ،B A .

Bو :

A

z zi

z z

، أي : , arg arg

2

B

A

z zA B i

z z

.

ومتساوي الساقني . قائم يف ABومنو املثلث



. hتعين الكتابة المركبة للتحاكي -أ .3

'بالعبارة : hاملركبة للتحاكي تكتب الكتابة .z a z b : 2، حيثa و 1 3 2Ab a z i . 'ومنو : 2. 3 2z z i . . hبالتحاكي ورة النقطة ص Cالحقة النقطة Czتعين - ب

لدينا : C h : وبالتايل ، 2. 3 2 2 1 2 3 2Cz z i i i 1ومنو 6Cz i .

مرجح الجملة Dالحقة النقطة Dzتعين -ج ,1 , , 1 , ,1A B C . 1مبا أن : 1 1 0 فإنD . موجودة ووحيدة

0DAلدينا : DB DC

. وبالتايل : 0A D B D C Dz z z z z z .

Dأي : A B Cz z z z . 3ومنو : 2 3 1 6 5 4Dz i i i . مربع . ABCDإثبات أن -د

Dلدينا : A B Cz z z z إذنD C A Bz z z z .

CDأي : BA

إذنABCD . متوازي أضالع طع القطرين ، وىي منتصف كل منهما .نقطة تقا النقطة

,ولدينا 2

A B

.

معني . ABCDأي القطران متعامدان إذن Bولدينا A .

مستطيل . ABCDأي القطران متقايسان إذن : مربع . ABCDومنو

تنتمي إلى المجموعة Bإثبات أن النقطة -أ .4 E .

BAلدينا : BB BC BA BC BD

.

5أي : 4 3 4 2 4 5D BBD z z i i

. ومنو النقطةB تنتمي إىل اجملموعة E .

تعين طبيعة - E . وعناصرىا المميزة

4لدينا : 5MA MB MC

: 4. وبالتايل 5MD

4، أي 5MD .

ومنو E ىي الدائرة اليت مركزىا 5; 4D 4ونصف قطرىا 5r .

إنشاء المجموعة - ب E .. التمثيل بالشكل أعاله



x -∞ 0 +∞

0

g(x)

-4 -∞

g’(x) + 0 -


I- : لدينا 4 4 2 xg x x e حيث ،gD .


: يات النها - lim lim 4 4 2 4x

x xg x x e

، lim lim 4 4 2 x

x xg x x e

.

من أجل كل عدد حقيقي لدينا المشتق وإشارتو : - ' 2 4 2 2 1x x xg x e x e x e .

-∞ 0 +∞ x + 0 - 'g x

جدول التغيرات . -

00 4 4 2 0 0g e

إثبات أن المعادلة .2 0g x . تقبل حلين

مبا أن 0 0g حل للمعادلة 0فإن العدد 0g x .

ولدينا الدالة g x معرفة ومستمرة ومتناقصة دتاما على اجملال 1,59;1,60 .

و 1,59 0,02g ، 1,60 0,04g أي 1,59 1,60 0g g .

ومنو املعادلة 0g x تقبل حل وحيد : 1,59حيث 1,60 .

استنتاج إشارة .3 g x .

II- : لدينا 2 2

2x

xf x

e x

fD، حيث .

إثبات أن .1 fC . يقبل مستقيمين مقاربين

لدينا : - 2 2 2

lim lim lim 12 2xx x x

x xf x

e x x

.

وبالتايل : fC يقبل جبوار 1مقارب أفقي معادلتوy .

ولدينا : - 2 2

lim lim lim 2. 02x xx x x

x xf x

e x e

.

وبالتايل : fC يقبل جبوار 0مقارب أفقي معادلتوy .

-∞ 0 α +∞ x - 0 + 0 - g x



حساب -أ .2 'f x .

لدينا xعدد حقيقي من أجل كل

2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2'

2 2

x x x x

x x

e x e x e x x x ef x

e x e x

.

أي :

2

4 4 2'

2

x

x

x ef x

e x

.

ومنو :

2

'2x

g xf x

e x

.

استنتاج إشارة -ب 'f x .

إشارة 'f x من إشارة g x . . fجدول تغيرات الدالة -

0

2 0 20 2

2 0f

e

حساب -ج 1f ثم استنتاج ، حسب قيم ،x إشارة ، f x .

لدينا : 1

2 1 21 0

2 1f

e

.

باالستعانة جبدول التغريات نستنتج : 0f x ملا ;1x و 0f x ملا 1;x .

كتابة -أ .3 f بداللة .

لدينا : 2 2

2f

e

، ولدينا : 4 4 2 0e : 2، أي

2e

.

إذن : 2 2

22

2

f

، أي :

2

1 2 2

11f

، ومنو :

1 1 11

1 1f

.

استنتاج حصرا للعدد -ب f . 1,59لدينا : 1,60 : 0,59إذن 1 0,60 .

1وبالتايل : 1 1

0,60 1 0,59

.

1أي : 1 11 1 1

0,60 1 0,59

.

ومنو 0,66 0,69f .

رسم -ج fC .

- 1;0 و 0; 2 . نقطيت تقاطع مع حموري الفواصل والرتاتيب

- 1y 0وy بني أفقيني للمنحين معادليت مقار fC .

-∞ 0 α +∞ x - 0 + 0 - 'f x

-∞ 0 α +∞ x - 0 + 0 - 'f x

-1 f (α)

-2 0

'f x



المناقشة البيانية لحلول المعادلة . .4

لدينا : 2 2 2 1xx e x m : 2، وبالتايل 21

2x

xm

e x

، إذن :

1

y f x

y m

.

1yدلة املعادلة ىي فواصل نقط تقاطع املنحين مع املستقيم ذو املعا ولحل m قيم الوسيط احلقيقي ، حسبm . 1ملا - 2m 3أيm . ال توجد حلول للمعادلة 3mملا - 0للمعادلة حل مضاعفx . 2ا مل - 1 1m 3أي 2m . للمعادلة حلني أحدمها موجب وآخر سالب 2ملا - 1m . للمعادلة حل وحيد موجب 1mملا - . للمعادلة حل وحيد معدوم

ملا - 0 1m f 1أي1 2

1m

للمعادلة حلني متمايزين موجبني .

1ملا -2

1m

xللمعادلة حل مضاعف موجب .

1ملا -2

1m

ال توجد حلول للمعادلة .

لدينا .5 2

h x f x ،حيث hD .

حساب - أ 'h x .

لدينا xعدد حقيقي من أجل كل ' 2. ' .h x f x f x .

إشارة - 'h x .

إشارة 'h x من إشارة ' .f x f x . أنظر اجلدول أعاله .

. hجدول تغيرات الدالة - ب

بالشكل املقابل . h جدول تغريات الدالة


تعين معادلة ديكارتية للمستوي .1 P .

لدينا ; ;M x y z P معناه. 0AM n

. وبالتايل 2 2 1 5 5 2 0x y z .

2ومنو 5 1 0x y z . إثبات أن المستويين .2 P و Q . متعامدان

2;1;5n

شعاع ناظمي لـ P و ' 1;2;0n

شعاع ناظمي لـ Q .

ومبا أن . ' 1 2 2 1 0 5 0n n

فإن'n n

وبالتايل P و Q متعامدان .

-∞ 0 1 α +∞ x - 0 + 0 - 'f x

- 0 + f x

+ 0 - 0 + 0 - 'h x

4 f 2(α)

f x

1 0 0

'f x + 0 - 0 + 0 -

x -∞ 0 1 α +∞



تعين تمثيال وسيطيا للمستقيم .3 .

2لدينا : 5 1 0

2 2 0

x y z

x y

1وبالتايل :

2 2

z y

x y

ومنو :

2 2

: ;

1

x t

y t t

z t

.

حساب -أ .41d المسافة بين النقطةK والمستوي P

لدينا :

12 2 2

2 3 1 3 5 3 1

2 1 5

d

1ومنو

11

30d .

حساب -2d المسافة بين النقطةK و المستوي Q . 2 2x y

لدينا :

22 2

3 2 3 2

1 2

d

ومنو 2

7

5d .

والمستقيم Kالمسافة بين النقطة dاستنتاج -ب .

ستويني مبا أن امل P و Q : 2متعامدان فإن 2 2

1 2d d d 2 أي 2

1 2

121 49

30 5d d d 415ومنو 83

30 6d .

بطريقة ثانية . dحساب المسافة .5

لتكن ' 2 2 ; ;1K t t t املسقط العمودي لـ ' 3;3;3K على املستقيم .

.'وبالتايل : 0KK u

حيث ، 2;1; 1u

شعاع توجيو .

إذن : 1 2 2 3 1 2 1 0t t t 2أي 4 3 2 0t t t : 1وبالتايل

6t .

7إذن : 1 7' ; ;

3 6 6K

وبالتايل :

2 2 27 1 7

' 3 3 33 6 6

d KK

.

4ومنو : 361 121 498 83

9 36 36 36 6d .



: األولالتمرين

z :، املعادلة ذات اجملهول حل يف جمموعة األعداد املركبة .1 2 22 4 2 3 4 0z z z z .

;املستوي املركب منسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس .2 ,O u v

.A ،B ،C وD تيب : نقط من املستوي الحقاهتا على الرت

3Az i ،3Bz i 1و 3Cz i 1و 3Dz i .

شكل األسي .على ال Dzو Az ،Bz ،Czأكتب كال من - أ

Dحتقق أن : - ب B

A C

z zi

z z

، مث استنتج أن املستقيمني AC و BD . متعامدان

3. nz 1ىو العدد املركب الذي طويلتو

2n2و

3n

ة لو حيث عمدn . عدد طبيعيnL : العدد املركب املعرف بـn D nL z z .

على الشكل اجلربي . 0L ،1Lاكتب كال من - أ

- ب nu املعرفة من أجل كل عدد طبيعي ىي املتتاليةn : كما يليn nu L .

أثبت أن املتتالية - nu . ىندسية يطلب تعيني أساسها وحدىا األول - 0M ،1M ،....،nM 0صور األعداد املركبةL ،1L ،....،nL . على الرتتيب

حيث : nS، اجملموع nاحسب ، بداللة 0 1 .........n nS OM OM OM .

. إىل nعندما يؤول nSجد هناية -


نسمي S : اجلملة التالية

3 15

6 7

x

x

عدد صحيح xحيث x .

حل للجملة 153بني أن العدد .1 S .

حال لـ 0xإذا كان .2 S : بني أن ، (x حل لـ S ) يكافئ

0

0

0 15

0 7

x x

x x

.

لة حل اجلم .3 S .

6كتب بقي لديو 7با تتسع لـ كتب ، وإذا استعمل عل 3كتابا بقي لديو 15، فإذا استعمل علبا تتسع لـ د مكتيب وضع عدد من الكتب يف علب يري .4 .كتب

كتابا ، ما عدد ىذه الكتب ؟ 611و 511إذا علمت أن عدد الكتب اليت حبوزتو حمصور بني

إمتحان شهادة التعليم الثانوي تقني رياضي: الشعبة

الموضوع

02



الثالث : التمرين

;الفضاء منسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس , ,O i j k

.

P 4املستوي الذي 3 1 0x y معادلة دكارتية لو و D : 1املستقيم الذي 4 ,

3 3

3 3

4 4

x k

y k k

z k

دتثيل وسيطي لو .

حتقق أن املستقيم .1 D حمتوى يف املستوي P .

اكتب دتثيال وسيطيا للمستقيم -أ .2 الذي يشمل النقطة 1;1;0A و 4;1;3u . شعاع توجيو لو

قطة تقاطع املستقيمني عني إحداثيات ن -ب D و .

3بني أن : .3 4 3 0x z ىي معادلة ديكارتية للمستوي Q الذي حيوي املستقيمني D و .

4. ; ;M x y z . نقطة من الفضاء

وكل من Mاحسب املسافة بني النقطة - أ P و Q . من الفضاء املتساوية املسافة عن كل من Mأثبت أن جمموعة النقط - ب P و Q ىي احتاد مستويني متعامدين 1P و 2P يطلب تعني

معادلة ديكارتية لكل منهما .

عني جمموعة النقط .5 ; ;M x y z : من الفضاء اليت إحداثياهتا حلول للجملة اآلتية4 3 1 0

3 4 3 0

3 4 2 0

x y

x y

x y z

.


I- g ي الدالة املعرفة على ى 0; : كما يلي 2 lng x x a b x حيثa وb . عددان حقيقيان

يقبل يف النقطة gعلما أن التمثيل البياين للدالة bو aعني .1 1; 1A 4مماسا معامل توجيهو .

2aنضع .2 2وb .

، مث شكل جدول تغرياهتا . gادرس تغريات الدالة - أ

بني أن املعادلة - ب 0g x تقبل حال وحيدا على 0; مث استنتج إشارة ، g x على 0; .

II- f لدالة املعرفة على ي اى 0; : بـ 2ln

2x

f x xx

.



احسب -أ .1 0

limx

f x

و limx

f x

.

احسب -ب 'f x : مث حتقق أن ،

2'

g xf x

x .

استنتج إشارة -ج 'f x مث شكل جدول تغريات الدالة ،f .



بني أن املستقيم -أ .2 2ذا املعادلةy x مقارب لـ fC مث ادرس وضعية ، fC بالنسبة إىل .

بني أن -ب fC يقبل مماسا T يوازي . مث جد معادلة لو ،

1,25نأخذ -ج بني أن املعادلة ، 0f x 1تقبل حلنيx 2وx : 10,6حيث 0,7x 22,7و 2,8x مث ارسم ،

كال من ، T و fC .

، عدد حلول املعادلة : mناقش بيانيا ، حسب قيم الوسيط احلقيقي .3 2 2ln 0m x x .



ال ل لاافمصاحل


حل المعادلة . .1

لدينا 2 22 4 2 3 4 0z z z z : وبالتايل

2

2

2 4 0 ...... 1

2 3 4 0 ...... 2

z z

z z .

لنحل المعادلة 1 :

لدينا 222 4 2 4 1 4 12 2 3 b ac i .


2 2 31 3

2 2

b iz i

aو

2

2 2 31 3

2 2

b iz i

a .

لنحل المعادلة 2 :

لدينا 2 22 4 2 3 4 1 4 4 2 b ac i .


2 3 23

2 2

b iz i

aو

4

2 3 23

2 2

b iz i

a .

على الشكل األسي . Dzو Az ،Bz ،Czكتابة كال من -أ .2

3Azلدينا : i إذن 2 2

1 3 3 1 2 Ar z i .

نضع : arg Az : وبالتايل1

3cos

2

x

rو

1

1sin

2

y

rإذن :

6

.

6ومنو :

1. 2

ii

Az r e e .

3Bzلدينا : i : أيB Az z : 6وبالتايل

1 2

ii

Bz re e .

1لدينا : 3 Cz i إذن 22

3 1 3 1 3 2 Cr z i .

نضع : arg Bz : وبالتايل3

1cos

2

x

rو

3

3sin

2

y

r4إذن :

3

.

ومنو : 4 2

3 3

3. 2 2

i i

i

Cz r e e e .

1لدينا : 3 Dz i : أيD Cz z : وبالتايل4 2

3 3

3 2 2

i ii

Dz r e e e .

Dالتحقق أن : - ب B

A C

z zi

z z

.

لدينا :

1 3 3

3 1 3

D B

A C

i iz z

z z i i، وبالتايل :

1 3 1 1 1. .

1 13 1 1

D B

A C

iz z i i ii i

z z i i ii .



;لدينا : arg

D B

A C

z zCA BD

z zوبالتايل : ; arg

2

CA BD i .

ومنو نستنتج أن املستقيمني AC و BD . متعامدان

على الشكل الجبري . 0L ،1Lكتابة -أ .3

لدينا : 2

.arg 31

2

n

i ni z

n n nz z e e وبالتايل

20

3

0 0

11

2

i

z e و2 2

13 3

1 1

1 1

2 2

i i

z e e .

0إذن : 0 1 3 DL z z i و2 2 4

3 3 3

1 1

1 1 32

2 2 2

i i i

DL z z e e e i .

ت أن المتتالية إثبا - ب nu . ىندسية

1لدينا 1

1 12

2 2

n n D n n nu L z z : 1؛ وبالتايل 1

1 1 1 1.

2 2 2 2 n nn n

u u .

ومنو nu 1متتالية ىندسية أساسها

2q 0وحدىا األول 0 1

12

2 u .

. nS، المجموع nبداللة حساب ، -

لدينا 0 1 0 1......... ...... n n nS OM OM OM L L L .

وبالتايل : 0 1 ...... n nS u u u : ومنو ،

111

0

111 122 4 1

11 212

nnn

n

qS u

q .

. إلى nعندما يؤول nSإيجاد نهاية -

لدينا 1

1lim lim 4 1

2

n

nn n

S إذنlim 4

nn

S .


لدينا S : اجلملة التالية

3 15

6 7

x

x

عدد صحيح xحيث x .

حل للجملة 153إثبات أن العدد .1 S .

153لدينا 10 15 3

153 21 7 6

أي

153 3 15

153 6 7

حل للجملة 153؛ ومنو S .

حل لـ x) إثبات أن : .2 S ) يكافئ

0

0

0 15

0 7

x x

x x

حال لـ 0xحيث S.

0x حال لـ S معناه

0

0

3 15

6 7

x

xحال لـ x؛ و S معناه

3 15

6 7

x

x .

حل لـ x)ومنو S ) يكافئ

0

0

0 15

0 7

x x

x x .



حل الجملة .3 S .

لدينا

0

0

0 15

0 7

x x

x xمعناه 0x x 7و 15مشرتك لـ مضاعف .

أوليان فيما بينهما فإن 15و 7مبا أن 0x x 7مضاعف مشرتك لـ 15 أي ، 0 0 15 7 x x . حلل للجملة 153مبا أن S : فإن 153 0 105 x : إذن 153 105 48 105 x . 48ومنو : 105 x k حيثk . عدد صحيح

تحديد عدد الكتب . .4

ىو عدد الكتب ، وبالتايل xنفرض أن

3 15

6 7

x

x

48، إذن 105 x k 500حيث 600 x .

500إذن 48 105 600 k : 500، أي 48 600 48

105 105

k : 5، وبالتايلk .

48ومنو عدد الكتب ىو 105 5 573 x .


التحقق أن المستقيم .1 D محتوى في المستوي P .

الشعاع الناظمي للمستوي 4; 3;0

ىو P ؛ و شعاع توجيو املستقيم D 4ىو 31; ;

3 4

v .

لدينا : 4 3

. 1 4 3 0 4 4 03 4

v ومنو املستقيم D يوازي املستوي P .

نعوض التمثيل الوسيطي للمستقيم D يف معادلة املستوي P : فنجد 1 4

4 3 1 4 1 4 1 03 3

k k k k .

ومنو املستقيم D حمتوى يف املستوي P .

كتابة تمثيال وسيطيا للمستقيم -أ .2 .

النقطة ; ;M x y z تنتمي إىل املستقيم : معناه. ;

AM t u t : أي1 4

1 . 1 ;

3

x

y t t

z

.

م ومنو التمثيل الوسيطي للمستقي : ىو4 1

1 ;

3

x t

y t t

z t

.

تعين إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين -ب D و .

لتعيني إحداثيات نقطة تقاطع املستقيمني D و ضع ن

4 1

1 41

3 3

3 33

4 4

k t

k t

k t

أي : 4 1

1 4 3 3

1 4

k t

k t

k t

.



4وبالتايل : 1

4 3 2

k t

k t، إذن :

4 1

4 4 1 3 2

k t

t t4أي 1

19 4 2

k t

tإذن :

6 54 1

19 19

6

19

k

t

.

نقطة تقاطع املستقيمني ومنو إحداثيات D و ىي :

6 54 1

19 19

x ،6 13

119 19

y ، : 6 أي 183

19 19

z . 5: ومنو 13 18

; ;19 19 19

.

3إثبات أن : .3 4 3 0x z ىي معادلة ديكارتية للمستوي Q الذي يحوي المستقيمين D و .

5لدينا : 18 15 723 4 3 3 3 3 0

19 19 19 19

.

نقطة تقاطع املستقيمني معناه D و تنتمي للمستوي Q .

ن املعادلة نستنتج م 3;0; 4

n شعاع ناظمي للمستوي Q .

وبالتايل 4 3

. 1 3 0 4 3 3 03 4

v n إذن املستقيم ، D حمتوى يف املستوي Q .

و . 4 3 1 0 3 4 12 12 0

u n تقيم ، إذن املس حمتوى يف املستوي Q .

3: ومنو 4 3 0x z ىي معادلة ديكارتية للمستوي Q الذي حيوي املستقيمني D و .

4. ; ;M x y z . نقطة من الفضاء

وكل من Mحساب المسافة بين النقطة - أ P و Q .

لدينا

2 2

4 3 1;

4 3

x yd P M : وبالتايل

1; 4 3 1

5 d P M x y .

لدينا

2 2

3 4 3;

3 4

x zd Q M : وبالتايل

1; 3 4 3

5 d Q M x z .

إيجاد معادلة كل من - ب 1P و 2P . ثم إثبات أنهما متعامدان ،

لدينا : ; ;d P M d Q M 1أي 14 3 1 3 4 3

5 5 x y x z .

4وبالتايل : 3 1 3 4 3 x y x z . 4 ومنو : 3 1 3 4 3 x y x z : أي 1 : 7 3 4 4 0 P x y z .

أو 4 3 1 3 4 3 x y x z : أي 2 : 3 4 2 0 P x y z .

شعاع توجيو 1P و 2P مها على الرتتيب 1 7;3; 4

u ، 2 1;3;4

u .

وبالتايل : 1 2. 7 1 3 3 4 4 0

u u ومنو 1P و 2P . متعامدان تعين مجموعة النقط .5 ; ;M x y z . من الفضاء التي إحداثياتها حلول الجملة

حلول اجلملة ىي جمموعة نقط تقاطع املستويات P ، Q و 2P وىي دتثل املستقيم ، D .



x 0 +∞

+∞

g(x)

-∞

g’(x) +


I- لدينا الدالةg املعرفة على 0; : كما يلي 2 lng x x a b x حيثa وb . عددان حقيقيان

. bو aن يتعي .1

يقبل يف النقطة gالتمثيل البياين للدالة 1; 1A معناه : 4مماسا معامل توجيهو 1 1 g و ' 1 4g .

لدينا : 2 ln g x x a b x 1إذن ln1 1 a b : 2ومنو a .

ولدينا : ' 2 b

g x xx

2و 1 41

b : 2، إذنb .

ومنو : 2 2 2ln g x x x . .gدراسة تغيرات الدالة -أ .2

لدينا : 2 2 2ln g x x x ، 0;gD .

: النهايات - 2

0 0

lim lim 2 2lnx x

g x x x

، 2lim lim 2 2lnx x

g x x x

.

و :المشتق وإشارت -

لدينا ،من أجل كل عدد حقيقي 22 1

' 2 2x

g x xx x

.

نالحظ أنو من أجل كل عدد حقيقي لدينا ' 0g x . جدول التغيرات . -إثبات أن المعادلة -ب 0g x تقبل حل وحيد .

لدينا الدالة g x ومستمرة ومتزايدة دتاما على اجملال معرفة 0; .

ولدينا 0

lim lim 0xx

g x g x

.

ومنو املعادلة 0g x تقبل حل وحيد على اجملال : 0; .

استنتاج إشارة - g x .

باالستعانة جبدول التغريات نستنتج ) الشكل املقابل ( .

II- : لدينا 2ln

2x

f x xx

حيث ، 0;fD .

ب احس -أ .1 0

limx

f x

و limx

f x

.

لدينا : -

0 0

2lnlim lim 2

x x

xf x x

x

، وبالتايل : fC 0يقبل مقارب شاقويل معادلتوx .

و لدينا : - 2ln

lim lim 2x x

xf x x

x

.

حساب -ب 'f x : ثم التحقق أن ،

2'

g xf x

x .

لدينا

2

2 2ln' 1

x xx

f xx

: إذن ،

2

2 2

2 2ln 2 2ln' 1

x x xf x

x x

.

0 α +∞ x - 0 + g x



ومنو :

2'

g xf x

x .

استنتج إشارة -ج 'f x .

إشارة من 'f x إشارة g x . . fجدول تغيرات الدالة -

لدينا : 0g إذن 2 2 2ln .

وبالتايل 22ln 2 .

إذن : 2ln

2f

.

وبالتايل 22

2f

: ومنو

12f

.

إثبات أن المستقيم -أ .2 مقارب لـ fC .

دينا ل

2ln

lim lim 2 2x x

xf x y x x

x

وبالتايل

lnlim lim 2 0x x

xf x y

x

.

املستقيم ومنو : 2ذا املعادلةy x مقارب لـ fC .

دراسة وضعية - fC بالنسبة إلى .

لدينا

2ln ln

2 2 2x x

f x y x xx x

.

ومنو إشارة f x y من إشارة 2ln x .

إذن : املنحين fC يقطع املستقيم يف النقطة 1; 1 وقو ملا و يكون ف 0;1x ويكون حتتو ملا 1;x .

إثبات أن -ب fC يقبل مماسا T يوازي .

لدينا ' 1f x وبالتايل 2

2

2 2ln1

x x

x

إذن 2 22 2lnx x x أي 2 2ln 0x .

إذن : ln 1x x e ومنو املنحين يقبل ماسا T يوازي 0يف النقطة ذات الفاصلةx e .

إيجاد معادلة لـ - T .

لدينا 'y f e x e f e بالتايل ، 2

1 2y x e ee

. : ومنو 2

: 2T y xe

.

إثبات أن المعادلة -ج 0f x 1تقبل حلينx 2وx .

معرفة ومستمرة على اجملال fالدالة - 0,6;0,7 دتاما على اجملال متناقصةو 0,6;0,7.

ولدينا : 0,6 0,30f و 0,7 0,28f : أي ، 0,6 0,7 0f f .

10,6وحيد حيث 1xاملتوسطة فإنو يوجد ومنو حسب مربىنة القيم 0,7x حل للمعادلة 0f x .

معرفة ومستمرة على اجملال fالدالة - 2,7;2,8 دتاما على اجملال متزايدةو 2,7;2,8.

ولدينا : 2,7 0,03f و 2,8 0,06f : أي ، 2,7 2,8 0f f .

0 α +∞ x - 0 + 'f x

x 0 α +∞

+∞ +∞

f (x)

f'’(x) - 0 +



22,7وحيد حيث 1xومنو حسب مربىنة القيم املتوسطة فإنو يوجد 2,8x حل للمعادلة 0f x .

رسم كال من - ، T و fC .

التمثيل بالشكل املقابل .

.للمعادلة المناقشة البيانية .3

لدينا : 2 2ln 0m x x .

وبالتايل 2 2lnm x x .

إذن 2ln2

xm

x .

أي 2ln2

xx m x

x .

إذن : f x x m ومنو يؤول حل املعادلة إىل إجياد فواصل نقط تقاطع املنحين ، fC مع املستقيم ذو املعادلةy x m .

2ملا -; 2m

e

ل .وجد حلو ال ت:

2ملا -2m

e يوجد حل مضاعف :x e .

2ملا -2 ; 2m

e

: يوجد حلني متمايزين .

ملا - 2;m . يوجد حل وحيد :




نعترب املتتالية العددية nu 0املعرفة حبدىا األول 1u ومن أجل كل عدد طبيعيn :1 2 3n nu u .

3الدالة املعرفة على اجملال hلتكن .1;

2

كما يلي :

2 3h x x و ، C دتثيلها البياين و yاملستقيم ذو معادلة x يف املستوي املنسوب إىل معلم

متعامد ومتجانس . )أنظر الشكل املقابل(.

أعد رسم الشكل املقابل على ورقة اإلجابة مث مثل على - أ. )دون 3uو 0u ،1u ،2uاحلدود حمور الفواصل

حساهبا و موضحا خطوط اإلنشاء(.

ضع ختمينا حول إجتاه تغري - ب nu . وتقارهبا

: nيعي برىن بالرتاجع أنو من أجل كل عدد طب .40 3nu .

أدرس إجتاه تغري املتتالية -أ .5 nu .

استنتج أن املتتالية -ب nu متقاربة ، مث احسبlim nn

u

.


التالية : zاملعادلة ذات اجملهول د املركبة نعترب يف جمموعة األعدا .1 3 2

2 3

i z iz

z i

2؛ ) حيث 3z i . )

ىذه املعادلة . حل يف -

;انس ينسب املستوي املركب إىل املعلم املتعامد واملتج .2 ,O u v

.A وB : نقطتان الحقتاهتا على الرتتيبAz وBz : حيث

1 5Az i 1و 5Bz i .

يطلب تعيني نصف قطرىا . Oتنتميان إىل دائرة مركزىا Bو Aحتقق أن -

z ،من املستوي الحقتها Mنرفق بكل نقطة .3 2 3z i النقطة'M الحقتها'z : حيث 3 2'

2 3

i z iz

z i

.

2Czلواحقها على الرتتيب : C ،D ،Eالنقط i ،2 3Dz i 3وEz i و حمور القطعة CD .

. DMو CMبداللة املسافتني OM'عرب عن املسافة - أ

من Mاستنتج أنو من أجل كل نقطة - ب فإن النقطة'M تنتمي إىل دائرة يطلب تعيني مركزىا ونصف قطرىا ، حتقق أنE تنتمي إىل

.

إمتحان شهادة التعليم الثانوي وم تجريبيةعل: الشعبة

الموضوع

01



: ثالثالتمرين ال

;وب إىل املعلم املتعامد واملتجانس الفضاء منس , ,O i j k

. نعترب املستوي P 14ذا املعادلة 16 13 47 0x y z والنقط ،

1; 2;5A ، 2;2; 1B ، 1;3;1C . ليست يف استقامية . Cو A ،Bحتقق أن النقط -أ .1

بني أن املستوي -ب ABC ىو P .

جد دتثيال وسيطيا للمستقيم .2 AB .

ية للمستوي احملوري اكتب معادلة ديكارت -أ .3 Q للقطعة AB .

1حتقق أن النقطة -ب1; 2;

4D

تنتمي إىل املستوي Q .

و املستقيم Dاحسب املسافة بني النقطة -ج AB .


الدالة املعرفة على f لتكن ;0 : كما يلي 5 6ln1

xf x x

x

.


.

أحسب -أ .1 0

limx

f x

، مث فسر النتيجة ىندسيا .

أحسب -ب limx

f x

.

من xبني أنو من أجل كل عدد حقيقي .2 ;0 ،

2 6'

1

x xf x

x x

، مث شكل جدول تغرياهتا . f. استنتج اجتاه تغري الدالة

بني أن املستقيم -أ .3 : 5الذي معادلة لوy x ىو مستقيم مقارب مائل للمنحين fC جبوار .

ادرس وضع املنحين -ب fC بالنسبة للمستقيم .

بني أن املعادلة .4 0f x تقبل حلني و 3,5حيث 3,4 1,1و 1,0 .

أنشئ املنحين .5 fC واملستقيم .

3نعترب النقطتني -أ .61;3 6ln

4A

5و 3

2; 6ln2 4

B

1؛ بني أن 7 3

6ln2 2 4

y x معادلة ديكارتية

للمستقيم AB .

بني أن املستقيم -ب AB ميس املنحين fC 0يف نقطةM . يطلب تعيني إحداثيتيها

الدالة املعرفة على gلتكن .7 ;0 : كما يلي 2

5 6 ln 6ln 12 1

x xg x x x x

x

.

على اجملال fدالة أصلية للدالة gبني أن ;0 .





) الشكل ؛ محور الفواصلعلى 3uو 0u ،1u ،2uتمثيل الحدود -أ .1 املقابل (

التخمين . -ب

0نالحظ أن : 1 2 3u u u u إذن املتتالية ، nu متزايدة دتاما ومتقاربة . 3حنو

n :0إثبات أن من أجل كل عدد طبيعي .2 3nu .

0لدينا : 1u : 00إذن 3u . 0نفرض أن : 3nu : 10ونربىن أن 3nu .

0لدينا : 3nu : 0، إذن 2 6nu .

3وبالتايل : 2 3 9nu : 3إذن 2 3 3nu : أي ،

10 3nu . n :0ومنو : من أجل كل عدد طبيعي 3nu .

دراسة إتجاه تغير المتتالية -أ .3 nu .

لدينا : 1 2 3n n n nu u u u : أي ،

1

2 3 2 3

2 3

n n n n

n n

n n

u u u uu u

u u

.

إذن : 2

1

3 12 3

2 3 2 3

n nn nn n

n n n n

u uu uu u

u u u u

.

10مبا أن : 3nu 2فإن 3 0n nu u 1و 0nu 3و 0nu . وبالتايل :

1 0n nu u ومنو املتتالية nu . متزايدة دتاما

استنتاج أن المتتالية -ب nu . متقاربة املتتالية nu ( 3حمدودة من األعلىnu . ومتزايدة دتاما فهي متقاربة ، )

limحساب - nn

u

.

1limمتقاربة فإن هنايتها حمدودة أي : مبا أن املتتالية limn nn n

u u

. 0حيث 3 .

2وبالتايل : 3 : 2، وبالتايل 2 3 إذن ، 3 1 0 : 3ومنو : أي ،lim 3nn

u

.


المعادلة المعطاة . حل في .1

لدينا 3 2

2 3

i z iz

z i

2وبالتايل 2 3 . 3 . 6z z i z i z : 2أي 2 6 0z z . 2) حيث 3z i )



حنسب املميز : 222 4 2 4 1 6 4 24 20 2 5a ac i .

1إذن :

2 2 51 5

2 2

b iz i

a

2، و

2 2 51 5

2 2

b iz i

a

.

و تعيين نصف قطرىا . Oتنتميان إلى دائرة مركزىا Bو Aالتحقق أن .2

1لدينا : 5 6Az i 1و 5 6Bz i : أيA Bz z 6وبالتايلOA OB .

6r و نصف قطرىا Oتنتميان إىل دائرة مركزىا Bو Aومنو : . . DMو CMبداللة المسافتين OM'كتابة عبارة المسافة -أ .3

لدينا 3 2'

2 3

i z iz

z i

، وبالتايل :

'E C

D

z z zz

z z

.

'إذن : 'E C

D

z z zOM z

z z

'، ومنو : 3

CMOM

DM .

استنتاج مركز ونصف قطر الدائرة - ب .

تنتمي إىل Mالنقطة : معناهDM CM : إذن ،' 3OM . تنتمي إىل دائرة M'ومنو : النقطة مركزىاO 3ونصف قطرىاr .

تنتمي إلى Eالتحقق أن - .

3لدينا : 3EOE z i r ومنو ،E تنتمي إىل .


ليست في استقامية . Cو A ،Bالتحقق أن النقط -أ .1

لدينا : 1;4; 6AB

و 2;5; 4AC

.


2 5


: النقط ، ومنوA ،B وC . ليست يف استقامية

ت أن المستوي إثبا -ب ABC ىو P . لدينا : 14 1 16 2 13 5 47 14 32 65 47 0 إذن النقطةA تنتمي إىل املستوي P .

و 14 2 16 2 13 1 47 28 32 13 47 0 إذن النقطةC تنتمي إىل املستوي P . و 14 1 16 3 13 1 47 14 48 13 47 0 إذن النقطةC تنتمي إىل املستوي P .

ومنو أن املستوي ABC ىو P .

وسيطيا للمستقيم إيجاد تمثيال .2 AB .

; ;M x y z تنتمي إىل AB : معناه.AM t AB

.


2 4

5 6

x t

y t

z t

. ومنو التمثيل الوسيطي للمستقيم AB : ىو1

4 2 ;

6 5

x t

y t t

z t

.



كتاب معادلة ديكارتية للمستوي المحوري -أ .3 Q للقطعة AB .

منتصف القطعة Iلتكن AB : 1، وبالتايل 2 2 2 5 1; ;

2 2 2I

3، أي ;0;2

2I

.

; ;M x y z تنتمي إىل Q : معناه. 0IM AB

.

إذن : 3

1 4 6 2 02

x y z

ومنو : 21

: 4 6 02

Q x y z .

1التحقق أن النقطة -ب1; 2;

4D

تنتمي إلى المستوي Q .

لدينا : 1 21 3 21

: 1 4 2 6 1 8 04 2 2 2

Q

1النقطة ، ومنو 1; 2;

4D

تنتمي إىل املستوي Q .

و المستقيم Dحساب المسافة بين النقطة -ج AB .

و املستقيم Dنقطة املسافة بني ال AB : ىي 2 2

23 1 25 49 2131 2 0 2 4

2 4 4 16 4ID

.


حساب -أ .1 0

limx

f x

.

لدينا : 0 0

lim lim 5 6ln1x x

xf x x

x

، وبالتايل

0

limx

f x

.

حين : املن التفسير الهندسي fC 0يقبل مستقيم مقارب شاقويل معادلتوx .

ب احس -ب limx

f x

.

لدينا : lim lim 5 6ln1x x

xf x x

x

، وبالتايل lim

xf x

.

حساب المشتقة .2 'f x .

من xل عدد حقيقي من أجل ك ;0 : لدينا

2

1

1 1 6' 1 6

1

1

x x xf x

x x x

x

ومنو

2 3 26'

1 1

x xx xf x

x x x x

.

. fاستنتاج إتجاه تغير الدالة -

إشارة 'f x من إشارة 2x . متزايدة دتاما على اجملال fالدالة : ومنو ; 2

ومتناقصة دتاما على اجملال 2;0

وتبلغ قيمة حدية حملية كربى 2

2 3 6ln3

f

.

- ∞ -2 0 x + 0 - 'f x

f (-2)

- ∞ - ∞

f x



حة السابقة .الصف .fالدالة إنشاء جدول تغيرات -

إثبات أن المستقيم -أ .3 مستقيم مقارب مائل للمنحني fC بجوار .

لدينا : lim lim 5 6ln 51x x

xf x y x x

x

وبالتايل : lim lim 6ln 01x x

xf x y

x

.

ومنو املستقيم 5ذو املعادلةy x مستقيم مقارب مائل للمنحين fC جبوار .

دراسة وضع المنحني -ب fC بالنسبة للمستقيم .

لدينا : 6ln1

xf x y

x

.

من xمن أجل كل عدد حقيقي ;0 1لديناx x : 1وبالتايل1

x

x

.

lnإذن : 01

x

x

من x، ومنو من أجل كل عدد حقيقي ;0 املنحين fC حتت املستقيم .

إثبات أن المعادلة .4 0f x تقبل حلين و .

ستمرة على اجملال معرفة وم fالدالة - 3,5; 3,4 دتاما على اجملال متزايدةو 3,5; 3,4 .

ولدينا : 3,5 0,01f و 3,4 0,05f : أي ، 3,4 3,5 0f f .

3,5وحيد حيث ومنو حسب مربىنة القيم املتوسطة فإنو يوجد 3,4 حل للمعادلة 0f x .

معرفة ومستمرة على اجملال fالدالة - 1,1; 1,0 دتاما على اجملال متزايدةو 1,1; 1,0 .

ولدينا : 1,0 0,16f و 1,1 0,02f : أي ، 1,0 1,1 0f f .

1,1وحيد حيث ومنو حسب مربىنة القيم املتوسطة فإنو يوجد 1,0 حل للمعادلة 0f x .

إنشاء المنحني .5 fC والمستقيم .

التمثيل بالشكل املقابل

كتابة معادلة ديكارتية للمستقيم -أ .6 AB .

1لدينا : 1;

2AB

، نعترب ;M x y AB

AM.وبالتايل : t AB

.

إذن : 1

;3 13 6ln

4 2

x t

ty t

، وبالتايل : 3 1

3 6ln 14 2

y x

.

1ومنو املعادلة الديكارتية للمستقيم : 7 36ln

2 2 4y x

.



إثبات أن المستقيم -ب AB يمس المنحني fC 0في نقطةM تعيين إحداثيتيها .يطلب

نضع : 1

'2

f x : وبالتايل ،

2 6 1

1 2

x x

x x

2، إذن : 22 2 12x x x x : 2، أي 12 0x x .

حنسب املميز : 2 22 4. . 1 4 1 12 49 7b a c .

إذن : 1

1 73

2x

مقبول ( ، و (

2

1 74

2x

. ) مرفوض (

ولدينا : 3 3

3 3 5 6ln 2 6ln3 1 4

f

.

3xنعوض : يف معادلة املستقيم جند 1 7 3 5 3

3 6ln 6ln 32 2 4 2 4

y f

،

ومنو : املستقيم AB ميس املنحين fC 0يف نقطةM 5إحداثيتيها 33; 6ln

2 4

.

على المجال fدالة أصلية للدالة gإثبات أن الدالة .7 ;0.

معرفة وقابلة لإلشتقاق على gالدالة ;0 : و دالتها املشتقة ىي

1 6' 5 6ln 6

1 1 1

xg x x x

x x x x

.

إذن : ' 5 6ln1

xg x x f x

x

.

على اجملال fدالة أصلية للدالة gومنو الدالة ;0 .



ن األول :التمري

nu املتتالية العددية املعرفة حبدىا األول0

13

4u ومن أجل كل عدد طبيعيn :

1 3 3n nu u .

n :3برىن بالرتاجع أنو من أجل كل عدد طبيعي .1 4nu .

: nبني أنو من أجل كل عدد طبيعي .22

1

7 12

3 3

n nn n

n n

u uu u

u u

. استنتج أن nu . متزايدة دتاما

برر ملاذا .3 nu . متقاربة

4. nv بـ : املتتالية املعرفة على ln 3n nv u .

برىن أن - أ nv 1متتالية ىندسية أساسها

2 ، مث احسب حدىا األول .

lim، مث احسب nبداللة nuو nvأكتب كال من - ب nn

u

.

n :نضع من أجل كل عدد طبيعي -ج 0 1 23 3 3 ... 3n nP u u u u اكتب .nP بداللةn مث بني أن ،1

lim16

nn

P

.

: انيثالتمرين ال

;يف الفضاء املنسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس , ,O i j k

، نعترب النقط 1;0;1A ، 2;1;0B و 1; 1;0C .

تعني مستويا . Cو A ،Bبني أن النقط .1

2 أنبني .2 5 3 0x y z لمستوي ىي معادلة ديكارتية ل ABC .

3. D وH : نقطتان من الفضاء حيث 2; 1;3D 13و 13 1; ;

15 30 6H

.

ال تنتمي إىل املستوي Dحتقق أن النقطة - أ ABC .

على املستوي Dىي املسقط العمودي للنقطة Hبني أن النقطة - ب ABC .

ني استنتج أن املستوي -ج ADH و ABC . متعامدان مث جد دتثيال وسيطيا لتقاطعهما


1. P z ثري احلدود للمتغري املركبكz : حيث 3 212 48 72P z z z z .

دود ىو جذر لكثري احل 6حتقق أن - أ P z .

z :حبيث من أجل كل عدد مركب و جد العددين احلقيقيني - ب 26P z z z z .

عادلة ، امل حل يف جمموعة األعداد املركبة -ج 0P z .

إمتحان شهادة التعليم الثانوي علوم التجريبية: الشعبة

الموضوع

02



;املستوي املركب منسوب إىل املعلم املتعامد واملتجانس .2 ,O u v

.A ،B ،C : 6نقط من املستوي املركب لواحقها على الرتتيبAz ،

3 3Bz i 3و 3Cz i

على الشكل األسي . Czو Az ،Bzأكتب كال من - أ

Aأكتب العدد املركب - ب B

A C

z z

z z

مث على الشكل األسي . ، على الشكل اجلربي ،

. ABCاستنتج طبيعة املثلث -ج

وزاويتو 3، نسبتو Cالتشابو املباشر الذي مركزه Sليكن .32

.

. Sبو جد الكتابة املركبة للتشا - أ

. Sبالتشابو Aصورة النقطة A'الحقة النقطة Az'عني - ب

يف استقامية . A ،B ،'A بني أن النقط -ج


I- لتكنg كما يلي : الدالة املعرفة على 1 xg x xe . أحسب .1 lim

xg x

و lim

xg x

.

، مث شكل جدول تغرياهتا . gالة أدرس اجتاه تغري الد .2

بني أن املعادلة -أ .3 0g x تقبل حال وحيدا على اجملال 1; .

0,5حتقق أن -ب 0,6 مث استنتج إشارة ، g x على .

II- نعترب الدالةf املعرفة على اجملال ;2 كما يلي : ' 1 1xf x x e x .

fC تجانس دتثيلها البياين يف املستوي املنسوب إىل املعلم املتعامد وامل; ,O i j

.

احسب .1 limx

f x

.

من x، بني أنو من أجل كل عدد حقيقي fمشتقة الدالة f'لتكن .2 ;2 : فإن 'f x g x .

استنتج إشارة 'f x على اجملال ;2 مث شكل جدول تغريات الدالة ،f .

بني أن .3 2 1

f

، مث استنتج حصرا للعدد f تدور النتائج إىل ( .210 . )

بني أن املستقيم -أ .4 1ذا املعادلةy x ىو مستقيم مقارب مائل للمنحين fC جبوار .

ادرس وضعية املنحين -ب fC إىل بالنسبة .

بني أن املعادلة -أ .5 0f x 1تقبل حلنيx 2وx 11,6حيث 1,5x 11,5و 1,6x .

أنشئ -ب و fC .

كما يلي : الدالة املعرفة على hلتكن .6 xh x ax b e .

xxلية للدالة دالة أص hحبيث تكون bو aعني العددين احلقيقيني - أ xe على .

. على gاستنتج دالة أصلية للدالة - ب





n :3إثبات بالتراجع أنو من أجل كل عدد طبيعي -أ .1 4nu .

لدينا 0

13

4u : 03وبالتايل 4u .

3نفرض أن : 4nu : 13ونربىن أن 4nu .

3لدينا : 4nu 0إذن 3 1nu 0وبالتايل 3 1nu 3إذن 3 3 4nu : 13. أي 4nu . n :3ومنو من أجل كل عدد طبيعي 4nu .

حساب .2 1n nu u من أجل كل عدد طبيعيn .

لدينا

1

3 3 3 33 3

3 3

n n n n

n n n n

n n

u u u uu u u u

u u

.

إذن :

2 2

1

3 6 93 3

3 33 3

n n nn n

n n

n nn n

u u uu uu u

u uu u

. ومنو :

2

1

7 12

3 3

n nn n

n n

u uu u

u u

.

استنتاج أن nu . متزايدة تماما

لدينا : 2

1

3 47 12

3 3 3 3

n nn nn n

n n n n

u uu uu u

u u u u

3، مبا أن 4nu 1فإن 0n nu u .

ومنو املتتالية nu . متزايدة دتاما تبرير لماذا .3 nu . متقاربة

املتتالية nu فهي متقاربة 4وحمدودة من االعلى بالعدد متزايدة دتاما .

لدينا المتتالية .4 nv بـ : رفة على المع ln 3n nv u .

إثبات أن - أ nv . متتالية ىندسية

n :لدينا من أجل كل عدد طبيعي 1 1

1 1ln 3 ln 3 ln 3

2 2n n n n nv u u u v .

ومنو املتتالية nv 1ساسها أ ىندسية

2q حدىا األول ، 0 0

13 1ln 3 ln 3 ln 2ln 2

4 4v u

.

. nبداللة nuو nvكتابة كال من - ب

.0لدينا n

nv v q : وبالتايل 11

2ln 2. 2 .ln 22

nn

nv

.

ينا ولد ln 3n nv u 3وبالتايل nv

nu e .

إذن :

1 1

12 2

2 .ln 2 1 13 3 3 exp ln 3

2 2

n n

n

nv

nu e e

.



limحساب - nn

u

.

لدينا

12

13

2

n

nu

وبالتايل

1

2 01 1

lim 3 lim 3 42 2

n

n n

.

. nبداللة nPكتابة -جلدينا 0 1 23 3 3 ... 3n nP u u u u 0وبالتايل 0 11 ........

. ....... n nv v v v vv

nP e e e e

.

ولدينا :

1

11

0 1 0

11

1 12........ 2 ln 2 4ln 2 1

11 21

2

n

nn

n n

qS v v v v

q

.

إذن : 1

1exp 4ln 2. 1

2n

n

S

nP e

، ومنو 1

14. 1

22

n

nP

.

limحساب - nn

P

.

: لدينا1

14. 1

2 4lim lim 2 2

n

nn n

P

1ومنو

lim16

nn

P

.


تعين مستويا . Cو A ،Bإثبات أن النقط .1

لدينا : 3;1; 1AB

و 2; 1; 1AC

.

3ظ أن : نالح 1

2 1


: النقط ، ومنوA ،B وC . ليست يف استقامية تعني مستويا

2ت أن إثبا .2 5 3 0x y z ىي معادلة ديكارتية للمستوي ABC .

لدينا : 2 1 0 5 1 3 2 0 5 3 0 إذن إحداثيات النقطةA . حتقق املعادلة املعطاة و 2 2 1 5 0 3 4 1 0 3 0 إذن إحداثيات النقطةB . حتقق املعادلة املعطاة

و : 2 1 1 5 0 3 2 1 0 3 0 إذن إحداثيات النقطةC . حتقق املعادلة املعطاة

2ومنو 5 3 0x y z لمستوي معادلة ل ABC .

ال تنتمي إلى المستوي Dالتحقق أن النقطة -أ .3 ABC .

لدينا : 2 2 1 5 3 3 4 1 15 3 17 0 ومنو النقطةD ال تنتمي إىل املستوي ABC .

على المستوي Dىي المسقط العمودي للنقطة Hإثبات أن النقطة -ب ABC .

على املستوي Dىي املسقط العمودي للنقطة Hإلثبات أن النقطة ABC جيب إثبات أنH إىل املستوي النقطة تنتمي ABC وDH

الشعاع ناظمي على املستوي ABC .



13لدينا : 13 1 26 13 5 52 13 25 902 5 3 3 0

15 30 6 15 30 6 30

تنتمي إىل املستوي H، إذن النقطة

ABC .

مي للمستوي الشعاع الناظ ABC : ىو 2; 1;5n

13ولدينا 13 12; 1; 3

15 30 6DH

17أي 17 17; ;

15 30 6DH

.

نالحظ أن 17 17

2; 1;5 .30 30

DH n

النقطة ، ومنوH ىي املسقط العمودي للنقطةD على املستوي ABC .

استنتاج أن المستويين -ج ADH و ABC . متعامدان ثم إيجاد تمثيال وسيطيا لتقاطعهما

توينيمشرتكتني بني املس Hو Aلنقطتني ا ADH و ABC املستقيم وفقمتقاطعان فهما AH ولديناDH

يعامد املستوي ABC .

ومنو املستويني ADH و ABC متقاطعان تعامديا وفق املستقيم AH .

13لدينا 13 11; 0; 1

15 30 6AH

28أي 13 5; ;

15 30 6AH

.

وبالتايل : ; ;M x y z AH يوجد عدد حقيقي معناهt حبيث.AM t AH

.

و التمثيل الوسيطي ملستقيم تقاطع املستويني ومن ADH و ABC : ىو

281

15

13: ;

30

51

6

x t

AH y t t

z t

.


ىو جذر لكثير الحدود 6تحقق أن ال -أ .1 P z .

لدينا : 3 2

6 6 12 6 48 6 72 216 432 288 72P يل : ، وبالتا 6 0P ىو جذر لكثري 6: ، ومنواحلدود P z .

.و إيجاد العددين الحقيقيين -ب

لدينا : 26P z z z z : وبالتايل 3 2 26 6 6P z z z z z z .

أي : 3 26 6 6P z z z z .

باملطابقة جند 6 12

6 48

6 72

6إذن :

12

. ومنو : 26 6 12P z z z z .

حل المعادلة -ج 0P z .

لدينا : 20 6 6 12 0P z z z z : 0وبالتايل

2

6 0 6

6 12 0

z z

z z

.

2حنل املعادلة 6 12 0z z . باستعمال املميز املختصر

لدينا : 2

' ' . 3 1 12 3b a c : إذن ، 2

' 3i .



ومنو : 1

' ' 3 33 3

1

b iz i

a

و

1

' ' 3 33 3

1

b iz i

a

.

ومنو جمموعة احللول ىي : 0 1 16; 3 3 ; 3 3S z z i z i .

على الشكل األسي . Czو Az ،Bzكتابة كال من -أ .2

06.لدينا 6. i

Az e .

3ولدينا 3Bz i إذن 22

3 3 3 3 2 3Bz i .

نضع : arg Bz : وبالتايل

3 3cos

22 3

3 1cos

22 3

، إذن 6

: 62ومنو 3.

i

Bz e

.

Cولدينا Bz z : 62ومنو 3.i

Cz e

.

Aكتابة العدد المركب -ب B

A C

z z

z z

لى الشكل األسي .، على الشكل الجبري ، ثم ع

6لدينا : 3 3 3 3

6 3 3 3 3

A B

A C

z z i i

z z i i

3، وبالتايل : 3 3 3 6 6 3 1 3

12 2 23 3 3 3

A B

A C

z z i i ii

z z i i

.

1لدينا : 31

2 2

A B

A C

z zi

z z

1و 3

arg arg2 2 3

A B

A C

z zi

z z

3، إذن : i

A B

A C

z ze

z z

.

. ABCاستنتج طبيعة المثلث -ج

3لدينا : i

A B

A C

z ze

z z

;إذن : 3

CA BA

BAو CA

.

. ضالعتقايس األم ABCاملثلث ومنو : . Sإيجاد الكتابة المركبة للتشابو -أ .3

'من الشكل : Sالكتابة املركبة للتشابو .z a z b .

.23حيث : 3i

a e i

و 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3Cb a z i i i i i .

'ومنو : 3. 4 3z i z i : أي ، ' 3 4z i z . . Sبالتشابو Aصورة النقطة A'الحقة النقطة Az'تعيين -ب

لدينا : 'A S A وبالتايل ' 3 4 3 6 4 2 3A Az i z i i . ي استقامية .ف A ،B ،'A أن النقط إثبات -ج

لدينا : ' 2 3 6 2 3 3A Az z i i 3و 3 6 3 3B Az z i i .

نال حظ أن ' 2A A B Az z z z أي' 2.AA AB

. ية .يف استقام A ،B ،'Aالنقط ومنو :




I- 1 . حساب limx

g x

و limx

g x

.

لدينا : lim lim 1 x

x xg x xe

وبالتايل ، lim 1

xg x

.

لدينا : و lim lim 1 x

x xg x xe

وبالتايل ،

limx

g x

.

. gدراسة اتجاه تغير الدالة .2

لدينا : ' x xg x e xe إذن ' 1xg x e x .

ومنو : ' 1 0g ،

الدالة g x متزايدة دتاما ملا ; 1x ، ومتناقصة دتاما ملا 1;x .

جدول تغيرات الدالة - g x . 11 1g e

إثبات أن المعادلة -أ .4 0g x تقبل حال وحيدا على المجال 1; .

على اجملال معرفة ومستمرة gالدالة 1; ورتيبة دتاما على اجملال ، 1; .

ولدينا lim 1 0x

g x g

املعادلة ومنو 0g x تقبل حال وحيدا على اجملال 1; .

0,5حقق أن الت -ب 0,6 . لدينا 0,5 0,17g و 0,6 0,09g نالحظ أن 0,6 0,5 0g g 0,5؛ وبالتايل 0,6 .

استنتاج إشارة g x على .

الدالة 0g x ملا ; و 0g x ملا ; حيث 0g .

II- 1 حساب . limx

f x

.

لدينا lim lim 1 1 lim 1x x x

x x xf x x e x xe e x

وبالتايل lim

xf x

.

حساب المشتقة . .2

لدينا ' 1 1x xf x e x e .

وبالتايل : ' 1 1x x x xf x e xe e xe .

ومنو من أجل ;2x : فإن 'f x g x .

استنتاج إشارة 'f x على المجال ;2 . للدالة 'f x عكس إشارة g x .

ومنو : ' 0f x ملا ;2 .

و ' 0f x ملا ; مع ' 0f .

. fالدالة جدول تغيرات لدينا : 22 2f e .

- ∞ -1 + ∞ x + 0 - 'g x

g (-1)

1 - ∞

g x

- ∞ + ∞ x - 0 + 'f x

+∞ f (2)

f

f x



إثبات أن .3 2 1

f

.

لدينا 0g 1أي 0e : 1إذنe : 1وبالتايلe

.

: لدينا 1 1 1f e e e وبالتايل 1 1

1 1f

.

ومنو : 2 1

f

.

استنتاج حصرا للعدد - f .

نضع 2 1x

h xx

0,5حيث 0,6x .

وبالتايل 2 2 2

2 2

2 1 1'

x x xh x

x x

إذن من أجل كل ، 0,5;0,6x يكون ' 0h x .

0,5لدينا : 0,6 إذن 0,5 0,6h h h ومنو 2,50 2,27f .

إثبات أن المستقيم -أ .4 1ذا المعادلةy x ىو مستقيم مقارب مائل للمنحني fC بجوار .

لدينا lim lim 1 1 1x

x xf x y x e x x

وبالتايل lim lim 0x x

x xf x y xe e

.

ومنو املستقيم 1ذا املعادلةy x قيم مقارب مائل للمنحين ىو مست fC جبوار.

دراسة وضعية المنحني -ب fC بالنسبة إلى .

لدينا 1 xf x y x e ؛ إشارة f x y من إشارة 1x .

ومنو : املنحين fC يقطع املستقيم يف النقطة 1; 2 و يكون فوقو ملا 1;2x ويكون حتتو ملا ;1x .

إثبات أن المعادلة -أ .5 0f x 1تقبل حلينx 2وx .

معرفة ومستمرة على اجملال fالدالة - 1,6; 1,5 دتاما على اجملال متناقصةو 1,6; 1,5 .

ولدينا : 1,5 0,058f و 1,6 0,075f : أي ، 1,6 1,5 0f f .


معرفة ومستمرة على اجملال fالدالة - 1,5;1,6 دتاما على اجملال متزايدةو 1,5;1,6.

ولدينا : 1,5 0,26f و 1,6 0,37f : أي ، 1,6 1,5 0f f .


إنشاء -ب و fC . . التمثيل بالصفحة املوالية

. bو aتعيين العددين الحقيقيين -أ .6

ودالتها املشتقة ىي : قابلة لإلشتقاق على hالدالة ' x x xh x ae ax b e ax a b e . إذن ' x xh x ax a b e xe .

1aومنو 1وb a : إذن . 1 xh x x e .



. على gاستنتاج دالة أصلية للدالة -ب

لدينا : 1 xG x g x dx xe dx .

وبالتايل : xG x dx xe dx .

ومنو : 1 xG x x x e c .

عبا ت الو ىدهتوقف :

وال يسمح إستغاللها ألي غرض من األغراض التجارية ماعال الحللص بها يسمح اإلنتفاع

ني التالي :على البريد اإللكترو إرسالوراح و لديو مالحظة حول الحل أو إقتأأرجو من كل من وجد خطأ

[email protected]

لبناء األمة . نتعاون على الخير

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Bac2012Math_Fayssal

Documents

Transcript of Bac2012Math_Fayssal