bab I. Fungsi dua peubah...Pada kalkulus 1, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik...
Transcript of bab I. Fungsi dua peubah...Pada kalkulus 1, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik...
������������ ����������
�
�
1
�
BAB 1.
FUNGSI DUA PEUBAH
1.1 PENDAHULUAN
Pada bagian ini akan dibahas perluasan konsep pada fungsi satu
peubah ke fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini,
anda seharusnya dapat:
- Menentukan domain dan range fungsi dua peubah atau lebih
- Membuat sketsa grafik fungsi dua peubah
- Menentukan limit dan menyelidiki kekontinuan fungsi dua
peubah.
1.2 FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH
Pada kalkulus 1, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik
eksplisit maupun implisit.
Berikut kita ingat kembali fungsi satu peubah
A B
x • • y = f(x)
• •
• •
Range f,
Domain f, Df dinotasikan Rf
������������ ����������
�
�
2
�
Pada fungsi satu peubah, f : A → B
A ⊂ R dan B ⊂ R dengan R = himpunan semua bilangan real
Grafik fungsi f = {(x,y) y = f(x), x ∈ Df},berupa himpunan titik di
R2, dapat berupa garis lurus atau lengkung.
Selanjutnya pada kalkulus lanjut ini, akan kita bahas lanjutannya yaitu
tentang fungsi dengan dua variabel atau lebih.
Kita telah belajar fungsi satu peubah, y = f(x), dalam hal ini x
merupakan peubah bebas dan y peubah tak bebas.
Akan diperluas menjadi fungsi dengan peubah lebih dari satu, misal:
A B
• (x,y) • z = f(x,y)
• •
• •
range f,R f
Domain f, Df
Pada fungsi dua peubah,
f : A → B
A ⊂ R × R dan B ⊂ R
Grafik fungsi f = {(x,y,z) z = f(x,y), (x,y) ∈ Df}, berupa himpunan
titik di R3, dapat berupa luasan di R
3.
( )( )( ) 43214321
22
42,,,
2,,
2,
xxxxxxxxh
xezyxg
yxyxf
yz
++−=
=
+=
������������ ����������
�
�
3
�
Perhatikan bahwa notasi fungsi dengan peubah lebih dari satu tidak
berbeda dengan penulisan fungsi dengan satu peubah.
Fungsi z = f(x, y) adalah fungsi dengan dua peubah, dengan peubah
bebas x and y, serta z sebagai peubah tak bebas.
Fungsi w = g(x, y, z) adalah fungsi dengan tiga peubah. peubah x, y
dan z merupakan peubah bebas dan w peubah tak bebas.
Nilai dari fungsi dengan dua peubah atau lebih dapat ditentukan
dengan memasukkan nilai-nilai x dan y:
Contoh 1.1 :
Definisi 1.1. Fungsi dua peubah adalah suatu fungsi dari dua peubah x
dan y adalah suatu aturan yang mengawankan (x, y) di dalam suatu
himpunan D ( D disebut domain) dengan suatu nilai tunggal (unique
value) dari f , yang dinyatakan dengan f(x,y).
Secara sama dapat didefinisikan fungsi dengan lebih dari dua peubah.
Operasi-operasi pada fungsi satu peubah dapat diperluas untuk fungsi
dengan dua peubah atau lebih.Misalnya, untuk fungsi dengan dua
peubah f dan g:
( )( ) 179423223,2
2,
22
22
=+⋅=+⋅=
+=
f
yxyxf
( ) ( ) 4191623423,422 =+⋅=−+⋅=−f
( ) 2222 5025252,5 yyyyf +=+⋅=+⋅=
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) 0,asalkan,,
,,
,,,
,,,
≠=���
����
�
⋅=⋅
±=±
yxgyxg
yxfyx
g
f
yxgyxfyxgf
yxgyxfyxgf
������������ ����������
�
�
4
�
Domain fungsi dua peubah
Jika domain tidak diberikan, maka domain adalah himpunan semua
titik sedemikian sehingga fungsi terdefinisi.
Misal, perhatikan fungsi
Domain dari f(x,y) adalah seluruh titik di bidang XY. Setiap pasangan
(x,y) akan memberikan nilai real bagi f.
Domain g(x,y) adalah himpunan (x,y) di bidang XY sedemikian
sehingga perkalian xy lebih dari 0. Jadi domainnya adalah semua titik
di kuadran I dan III.
Contoh 1.2 : Tentukan domain fungsi:
Penyelesaian: Domain f(x,y) adalah himpunan semua titik yang
memenuhi:
atau
Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di
dalam lingkaran:
Contoh 1.3: Tentukan domain dari fungsi:
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa g adalah fungsi dengan tiga peubah, sehingga
domainnya tidak berada dalam bidang XY , tetapi di sistem koordinat
tiga dimensi.
( ) ( )xy
yxgyxyxf1
,and3, 22 =+=
( ) 2225, yxyxf −−=
025 22 ≥−− yx
2225 yx +≥
2522 =+ yx
( ) 16,, 222 −++= zyxzyxg
������������ ����������
�
�
5
�
Fungsi akan terdefinisi jika:
Dengan demikian domainnya berupa himpunan pasangan terurut
(x,y,z) yang memenuhi .
Contoh 1.4: Tentukan domain fungsi:
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa argument dari fungsi logaritma harus lebih besar dari
0, maka
Ini akan terjadi di kuadran I dan III. Catat bahwa titik-titik di
sepanjang sumbu x dan sumbu y tidak termasuk dalan domain
tersebut.
( ) ( )xyyxh ln, =
0>⋅ yx
��
��
16atau016 222222 ≥++≥−++ zyxzyx
.16222 ≥++ zyx
������������ ����������
�
�
6
�
Grafik fungsi dua peubah atau lebih
Penggambaran grafik fungsi akan sangat membantu dalam memehami
suatu fungsi. Grafik dapat memberikan ilustrasi atau sebagai
representasi visual dari suatu persamaan.
Grafik dari fungsi dengan dua peubah f dengan domain D adalah
himpunan semua titik (x, y, z) di R3 sedemikian sehingga z = f(x,y)
dan (x,y) berada di D.
Grafik dari fungsi z = f(x,y) adalah luasan permukaan dalam ruang
dimensi 3. Sedangkan grafik dari fungsi tiga peubah, w = f(x, y, z)
akan berupa himpunan titik-titik (x, y, z, w) yang dalam hal ini (x, y,
z) adalah sebagai domainnya.
Grafik dari fungsi w = f(x, y, z) adalah dalam ruang dimensi 4.
Kita akan mencoba menggambarkan grafik fungsi dua peubah tetapi
kita tidak dapat menggambarkan grafik dari fungsi dengan 3 peubah
atau lebih.
Contoh 1.5: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut kemudian
sketsakan grafiknya.
Penyelesaian: Dari contoh 1 kita telah tahu bahwa domainnya berupa
himpunan titik-titik pada dan di dalam lingkaran dengan jari-jari 5,
yaitu himpunan titik-titik yang memenuhi pertaksamaan:
Range dari z adalah semua kemungkinan nilai z.
Range ini harus non negatif, karean z adalah akar-akar prinsip dengan
domain:
Nilai dalam akar bervariasai antara 0 dan 25.
Jadi range-nya adalah
2522 ≤+ yx
2522 ≤+ yx
( ) 2225, yxyxfz −−==
50 ≤≤ z
������������ ����������
�
�
7
�
Perhatikan bahwa dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan:
Diperoleh:
atau
Kita tahu bahwa ini akan berupa bola dengan jari-jari 5.
Tetapi perhatikan bahwa fungsi:
dan persamaan:
tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebagai suatu
fungsi dari x dan y , artinya setiap (x,y) tidak memberikan nilai
tunggal untuk z.
Bahwa fungsi di atas mempunyai range , berarti bahwa fungsi
ini berupa bagian setengah atas dari bola.
Selanjutnya untuk menggambarkan grafiknya, terlebih dahulu kita
akan menggambarkan jejak-jejak di bidang koordinat.
1. Jejak di bidang xy (jadi dalam hal ini z = 0), adalah:
Merupakan lingkaran berpusat di O dengan jari-jari 5 di bidang xy.
2. Jejak di bidang yz (x = 0), adalah:
Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 pada bidang yz.
2225 yxz −−=
222 25 yxz −−=
25222 =++ zyx
50 ≤≤ z
2225 yxz −−=
25222 =++ zyx
25atau250 2222 =+−−= yxyx
25atau25 222 =+−= zyyz
������������ ����������
�
�
8
�
3. Jejak di bidang xz (y = 0), adalah:
Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 di bidang xz.
Selanjutnya kita dapat menggambarkan jejak di bidang yang sejajar
dengan bidang koordinat.
4. Untuk z = 3:
Jadi pada bidang z = 3, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa
lingkaran berpusat di (0,0,3) dengan jari-jari 4.
5. Untuk z = 4:
Maka pada bidang z = 4, yang sejajar dengan bidang xy, jejak
berupa lingkaran berpusat di (0,0,4) dengan jari-jari 3.
Berdasarkan kelima jejak di atas, yaitu tiga jejak di bidang koordinat
ditambah dua jejak di bidang yang sejajar dengan bidang xy, maka
diperoleh sketsa grafiknya sebagai berikut:
25atau25 222 =+−= zxxz
1622atau22253 =+−−= yxyx
9atau254 2222 =+−−= yxyx
�����
�����
������������ ����������
�
�
9
�
LATIHAN 1.2
Sketsakan grafik ( luasan permukaan) dari fungsi:
1. � � �� � �� � ��
2. � � ��� � �� � ��
1.3. LIMIT FUNGSI
�
Limit dan kekontinuan fungsi dua peubah atau lebih pada dasarnya
tidak jauh berbeda dengan limit dan kekontinan fungsi satu
peubah.Definisi limit diberikan sebagai berikut.
Definisi 1.2 : Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi
himpunan terbuka D di R2 dan (a,b) ∈ D,
Lyxfbayx
=→
),(lim),(),(
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0
sehingga untuk setiap (x,y) ∈ D yang memenuhi
0 < 22 )()( byax −+− < δ berlaku f(x,y) – L< ε.
Contoh 1.6:
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
42.5
3
3.5
4
4.5
5
grafik z=sqrt(25-y2-x2)
������������ ����������
�
�
10
�
1.22
33
)0,0(),(
2lim
yx
yx
yx +
−→
= 0.
2. bybayx
=→ ),(),(
lim
Sifat 1.1 :
Jika 2),(),(
1),(),(
),(limdan),(lim0000
LyxgLyxfyxyxyxyx
==→→
maka
(i) 21),(),(
)],(),([lim00
LLyxgyxfyxyx
+=+→
,
(ii) 21),(),(
)],(),([lim00
LLyxgyxfyxyx
−=−→
,
(iii) 21),(),(
)],(),([lim00
LLyxgyxfyxyx
=→
,
(iv) kLKyxfKyxyx
,)],([lim 1),(),( 00
=→
konstanta
(v) 2
1
),(),( ),(
),(lim
00 L
L
yxg
yxf
yxyx=�
�
�
�
→ if L2 ≠ 0.
Catatan: Dalam konsep limit ini:
1. f tidak harus terdefinisi di (a,b)
2. Jika Lyxfbayx
=→
),(lim),(),(
ada maka bagaimanapun
caranya (x,y) mendekati (a,b) nilai f(x,y) selalu mendekati
L.
Contoh 1.7 : Jika 22
22
),(yx
yxyxf
+
−= maka ),(lim
)0,0(),(yxf
yx → tidak ada.
������������ ����������
�
�
11
�
Tunjukkan!
Penyelesaian :
Titik (x, y) dapat mendekati (0,0) melalui tak hingga banyak
arah.
Untuk itu akan dilihat ketika (x, y) mendekati (0,0)
sepanjang sumbu x, sumbu y. dan garis y = mx .
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu x ,jadi
y = 0 , maka
1lim0
0lim
limlim
2
2
022
22
0
22
22
)00()()00()(
==+
−=
+
−=
→→
→→
x
x
x
x
yx
yxy)(x,f
xx
,yx,,yx,
Di sisi lain, (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu
y (x = 0), maka
1lim0
0lim
limlim
2
2
022
22
0
22
22
)00()()00()(
−=−
=+
−=
+
−=
→→
→→
y
y
y
y
yx
yxy)(x,f
xy
,yx,,yx,
Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai
yang berbeda, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
limit f tidak ada untuk (x, y) → (0, 0).
Pada contoh di atas kita tidak perlu mencari limit f dari arah
lain, karena dari dua arah sudah didapatkan nilai yang
berbeda, sehingga dapat segera disimpulkan bahwa limitnya
tidak ada.
Jika dari dua arah tersebut nilainya sama, perlu dicari dari
arah lainnya, misal arah y = mx.
������������ ����������
�
�
12
�
Latihan 1.3 :
Tentukan nilai limit fungsi berikut jika ada.
1.22
2
)2,3(),(lim
yx
yx
yx +
+−→
2.yx
yxyx
yx 2
23lim
22
)1,2(),( +++
−→
3. yxyx
+−→
2
)2,3(),(lim 4.
22
2
)0,0(),(lim
yx
x
yx +→
5. 22
2
)0,0(),(lim
yx
y
yx +→
6. 24
2
)0,0(),(lim
yx
yx
yx +→
7. 22)0,0(),(
limyx
xy
yx +→
1.4 KEKONTINUAN FUNGSI
Kekontinuan fungsi dua peubah diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 1.3: Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada
daerah D ⊂ R2 dan (a,b) ∈ D, maka f dikatakan kontinu di (a,b) jika
),(),(lim),(),(
bafyxfbayx
=→
.
Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D.
Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a,b) harus ditunjukkan
ketiga syarat berikut dipenuhi.
i. f (a,b) ada
ii. ),(lim),(),(
yxfbayx →
ada
iii. ),(),(lim),(),(
bafyxfbayx
=→
������������ ����������
�
�
13
�
Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi maka f tidak kontinu di
(a,b).
Sifat 1.2 : Jika f dan g keduanya kontinu di (a,b) maka
1) f + g kontinu di (a,b)
2) f – g kontinu di (a,b)
3) f g kontinu di (a,b)
4) f / g kontinu di (a,b) asalkan g(a,b) ≠ 0.
Contoh 1.8 :
Tentukan apakah f kontinu di (0,0)
�
�
�
=
≠+=
0)(0,)(jika0,
0)(0,)(jika)( 22
2
yx,
yx,yx
yx
yx,f
Penyelesaian:
Menggunakan tes kontinuitas di (0,0):
(i) f (0,0) = 0 (ada)
(ii) Kita selidiki apakah limit f(x,y) ada untuk (x,y) � (0,0)
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu
x ,jadi y = 0 , maka
00
lim0
0lim
limlim
2022
2
0
22
2
)00()()00()(
==+
=
+=
→→
→→
xx
x
yx
yxy)(x,f
xx
,yx,,yx,
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu
y (x = 0), maka
������������ ����������
�
�
14
�
00
lim0
0lim
limlim
2022
2
0
22
2
)00()()00()(
==+
=
+=
→→
→→
yy
y
yx
yxy)(x,f
xy
,yx,,yx,
Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) y = x ,
maka
02
lim2
limlim
limlim
02
3
022
2
0
22
2
)00()()00()(
===+
=
+=
→→→
→→
x
x
x
xx
xx
yx
yxy)(x,f
xxx
,yx,,yx,
Dapat disimpulkan bahwa 22
2
)00()(lim
yx
yx
,yx, +→= 0
(iii) 22
2
)00()(lim
yx
yx
,yx, +→= 0 = f (0,0)
Jadi f kontinu di (0,0)
Latihan 1.4:
1. Diberikan yx
yxyxf
2
2),(
2
2
−
+= dan
22
44
2
4),(
yx
yxyxg
+
−= .
Tunjukkan bahwa :
a. ),(lim yxf untuk )2,2(),( →yx tidak ada.
b. ),(lim yxg untuk )0,0(),( →yx sama dengan nol.
c. Jika 0)0,0( =g , apakah ),( yxg kontinu di )0,0(
2. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:
������������ ����������
�
�
15
�
3. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:
�
�
�
=
≠+=
).00()(jika1
)00()(jika)( 22
,yx,,
,yx,,yx
yx
yx,f
�
�
�
=
≠+−
=),(yx,,
),(yx,,yx
yx
yx,f
00)(jika0
00)(jika2
)(