Bab3. Fungsi Dua Peubah
-
Upload
fajar-kurnia-muharom -
Category
Documents
-
view
390 -
download
75
description
Transcript of Bab3. Fungsi Dua Peubah
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
1Mat2-Unpad
2
Sistem KoordinatSistem Koordinaty
x
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
y
x
y
z
x
P(x,y,z)
Oktan 1
R3(Ruang) R2(Bidang)
Mat2-Unpad
3Mat2-Unpad
4
Permukaan di Ruang (RPermukaan di Ruang (R33))
Ax By Cz D
Jejak di bidang XOY, z = 0
Jejak di bidang XOZ, y = 0
Jejak di bidang YOZ, x = 0
1. Bidang
Bentuk umum:
Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)
Ax By D Ax Cz D
By Cz D
(garis lurus)
(garis lurus)
(garis lurus)
Mat2-Unpad
5
Gambar bidang 3 4 2 12x y z
Mat2-Unpad
6
2 2 2 2 , 0x y z a a
2 2 2x y a Jejak di bidang XOY, z = 0
Jejak di bidang XOZ, y = 0
(lingkaran)
2 2 2x z a (lingkaran)
Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 2 2y z a (lingkaran)
2. Bola
Persamaan umum bola :
Mat2-Unpad
7
Gambar BolaGambar Bola
Z
x
y
7Mat2-Unpad
8
3. Elipsoida2 2 2
2 2 21 , , , 0
x y za b c
a b c
2 2
2 21
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips
2 2
2 21
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Elips
2 2
2 21
z y
c b Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Elips
Bentuk umum :
Mat2-Unpad
9
Gambar ElipsoidaGambar Elipsoida
Z
x
y
Mat2-Unpad
10
2 2 2
2 2 21 , , , 0
x y za b c
a b c
2 2
2 21
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips
2 2
2 21
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 21
y z
b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola
4. Hiperboloida berdaun satu
Bentuk umum :
Mat2-Unpad
11
Gambar Hiperboloida Berdaun SatuGambar Hiperboloida Berdaun Satu
Z
x
y
Mat2-Unpad
12
2 2 2
2 2 21
x y z
a b c
2 2
2 21
x y
a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 21
x z
a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola
2 2
2 21
y z
b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejak
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips
5. Hiperboloida Berdaun dua
Bentuk umum :
Mat2-Unpad
13
Gambar Hiperboloida Berdaun DuaGambar Hiperboloida Berdaun Dua
Z
x
y
Mat2-Unpad
14
2
2
2
2
b
y
a
xz
2
2
2
2
b
y
a
xz
2 2 2
2 2 20
x y z
a b c
6. Paraboloida Elips :
7. Paboloida Hiperbola :
8. Kerucut Elips :
Mat2-Unpad
15
GambarGambarZ
x
y
z
x
y
Z
x
y
Paraboloida Elips
Paraboloida Hiperbola
Kerucut ElipsMat2-Unpad
16
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang
mengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R
(x,y) z = f(x,y)Contoh:
2 212. ( , ) 36 9 4
3f x y x y
2
22
23. ( , )
2
y xf x y
x y
2( )A R
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
Mat2-Unpad
17
Daerah Asal (Daerah Asal (DDff) dan Daerah Nilai () dan Daerah Nilai (RRff))
2( , ) ( , )fD x y R f x y R
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari
( , ) ( , )f fR f x y x y D
2 212. ( , ) 36 9 4
3f x y x y
3. ( , ) (1 )f x y x y
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
Berupa daerah di bidang
Mat2-Unpad
18
Jawab :Jawab :
x
y
2.2 2 21
( , ) 36 9 43fD x y R x y R
2 22( , ) 1
4 9
x yx y R
x
y
2
3
2 2 2
2
1. ( , ) | 3 2
( , )
fD x y R x y R
x y R
(seluruh daerah di bidang)
2 2 2( , ) 36 9 4 0x y R x y
2 2 2( , ) 9 4 36x y R x y
Mat2-Unpad
19
x
y
23. ( , ) (1 )fD x y R x y R
= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x 0 dan (1–y)0}
= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}
2( , ) (1 ) 0x y R x y
Mat2-Unpad
20
LatihanLatihan
2
22
21. ( , )
2
y xf x y
x y
2. ( , )1
xf x y
y
3. ( , ) 2y
f x yx
Tentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:
Mat2-Unpad
21
Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah• Grafiknya berupa permukaan di ruang
Z=f(x,y)
Df
x
y
z
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.
Mat2-Unpad
Mat2-Unpad 22
23
ContohContoh
Paraboloida elips2 2
1 13 2
x yz
Z
x
y
Z
x
y
3
3
Gambarkan grafik
2 21. ( , ) 3 2f x y x y
2 212. ( , ) 36 9 4
2f x y x y
2
2 2 2
14 9 9
x y z
2 2 24 36 9 4z x y
elipsoida
Mat2-Unpad
24
LatihanLatihan
1. x2 + y2 = 42. y = x2
3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 14. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 365. z =4
Gambarkan grafik dari :
2 26. ( , ) 3f x y x y
Mat2-Unpad
25
Turunan ParsialTurunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah.
0
( , ) ( , )( , ) limx
h
f x h y f x yf x y
h
2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x dianggap konstan):
0
( , ) ( , )( , ) limy
h
f x y h f x yf x y
h
1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y dianggap konstan):
,x
f zf
x x
y
z
y
ff y
Notasi lain :
Mat2-Unpad
26
Contoh:Contoh:
4 21. ( , )f x y x y xy
Tentukan fx dan fy
Jawab :
3 21. 4 ;xf x y y
2 22. ( , ) cos( )f x y y x y
2 22. 2 sin( )xf xy x y
)sin(2)cos( 22222 yxyyxf y
4 2yf x xy
Mat2-Unpad
27
LatihanLatihan I I
31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy
cos2. ( , )y t
xf x y e dt
Tentukan fx dan fy
33. ( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy
4. ( , ) tan 2yf x y e x
3 2 35. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y
Mat2-Unpad
Mat2-Unpad 28
LatihanLatihan II II
Tentukan Fx dan Fy
1. f(x,y) =ln(x2 – y2)
2. f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2
3. f(x,y) = x2sin(xy2)
4. f(x,y) = ycos(x2 + y2)
29
Definisi: Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah,
maka
0
( , , ) ( , , )limxh
f x h y z f x y zf
h
2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x,z konstan):
0
( , , ) ( , , )limyh
f x y h z f x y zf
h
1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y,z konstan):
3. Turunan parsial pertama f terhadap z (x,y konstan):
0
( , , ) ( , , )limzh
f x y z h f x y zf
h
Mat2-Unpad
30
LatihanLatihan
21. ( , , ) 3f x y z xy y z xz
2. ( , , ) cos( ) 2f x y z x y z xy
Tentukan fx, fy dan fz
23. ( , , ) secyf x y z xe z
24. ( , , ) ln( )xyzf x y z e x y z
Mat2-Unpad
31
Turunan Parsial KeduaTurunan Parsial Kedua2
2( , )xx
f ff x y
x x x
2
2( , )yy
f ff x y
y y y
2
( , )xy
f ff x y
y x y x
2
( , )yx
f ff x y
x y x y
Mat2-Unpad
32
ContohContohTentukan
Jawab :
2 3 3( , )f x y xy x y , , ,xx xy yx yyf f f f dari
2 2 33xf y x y 36xxf xy
3 22 3yf xy x y
2 22 9xyf y x y
2 22 9yxf y x y
32 6yyf x x y
Mat2-Unpad
33
LatihanLatihanTentukan , , ,xx xy yx yyf f f f dari
31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy
2. ( , ) sin 3 cos 2f x y x y
2 23. ( , ) ln( )f x y x xy y 2
4. ( , )x y
f x yxy
2 25. ( , ) sin cosx yf x y e y e x
Mat2-Unpad
34
Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama
z
x
y
(a, b)
s),(
),(),(lim
0yxf
h
yxfyhxfm x
h
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu x positif
Mat2-Unpad
35
z
x
y (a, b)
s0
( , ) ( , )lim ( , )yh
f x y h f x ym f x y
h
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu y positif
Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama
Mat2-Unpad
36
0..
dx
dy
y
F
dx
dx
x
FFdy x
Fdxy
Fungsi Implisit
(i) Jika ( , ) 0F x y bentuk implisit dari ( )f x y maka
(ii) Jika ( , , ) 0F x y z bentuk implisit dari ( , )f x y z maka
0...
x
z
z
F
x
y
y
F
x
x
x
F Fz xFx
z
0...
y
z
z
F
y
y
y
F
y
x
x
F Fz y
Fyz
Mat2-Unpad
37
Contoh :
dx
dy1. Tentukan dari 3 2 410 0x x y y
2. Tentukan z
x
dari 3( , , ) sin( ) 0y zF x y z x e y x z
Jawab :2
2 3
(3 2 )1.
( 40 )
Fdy x xyxFdx x y
y
2
3
32.
( cos( ))
y z
y z
Fz x exFx x e y x z
z
Mat2-Unpad
38
Aturan RantaiAturan Rantai
Misalkan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di tdan z = f(x,y) terdirensialkan di (x(t), y(t))Maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t dan didefinisikan sebagai
dz z dx z dy
dt x dt y dt
Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka
i z z x z y
s x s y s
ii z z x z y
t x t y t
Mat2-Unpad
39
ContohContoh
1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan dw
dt
Jawab: dw w dx w dy
dt x dt y dt
3 2 2 22 (3 ) 3 (2 )xy t x y t
3 2 3 2 3 2 2 22 ( ) (3 ) 3( ) ( ) (2 )t t t t t t
3 6 2 6 4 112 3 3 2 12t t t t t t t
Mat2-Unpad
40
ContohContoh2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s+7t dan y = 5st,
z
t
Jawab:
6 .7 2 .5z z x z y
x y st x t y t
tentukan z
s
dan
6 .2 2 .5z z x z y
x y ts x s y s
242(2 7 ) 50z
s t s tt
212(2 7 ) 50z
s t sts
Mat2-Unpad
41
LatihanLatihan
1. Tentukandw
dt(dalam t)
2. Tentukan w
t
2 2
. ; sin , sinx yb w e x s t y t s
2 2. ln ; ,s
a w x y x x y s tt
2 3 2. sin( ) ; , ,c w xyz x t y t z t
. sin sin ; 3 , 2x yb w e y e x x t y t
2 2. ; cos , sina w x y y x x t y t
Mat2-Unpad
42
Vektor GradienVektor GradienDefinisi:Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D
didefinisikan sebagai
ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j
adalah vektor satuan arah sumbu x,y positif
Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
ˆ ˆ,i j
Definisi
Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k
adalah vektor satuan arah sumbu x,y,z positif.ˆˆ ˆ, ,i j kMat2-Unpad
43
ContohContohTentukan ( , )f x y
dan ( 1, 1)f
dari ( , ) xyf x y x e
( , ) xy xyxf x y e xye
Jawab :
2( , ) xyyf x y x e
( 1, 1) 2xf e e e
( 1, 1)yf e
2ˆ ˆ( , ) xy xy xyf x y e xye i x e j
ˆ ˆ( 1, 1) 2f e i e j
Jadi:
Mat2-Unpad
44
LatihanLatihanA. Tentukan f
dari
2
1. ( , )x y
f x yx y
2 22. ( , ) lnf x y x y
3 24. ( , ) sinf x y x y
5. ( , ) ln( )f x y xy x y
B. Tentukan f
di titik yang diberikan2 21. ( , )f x y x y xy
3 2 32. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y
2
3. ( , )x
f x yy
di P (–2,3)
di P (–3, 3)
di P (2, –1)
23. ( , , ) x zf x y z x y e 26. ( , ) secyf x y x e z
Mat2-Unpad
45
Bidang SinggungBidang Singgung• Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan
F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada
0 0 0( , , )f x y z
Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan
bidang singgung di titik adalah : 0 0 0( , , )x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z
Untuk permukaan ( , ) ( , , ) ( , )z f x y atau F x y z f x y z
Persamaan bidang singgung di 0 0 0( , , )x y z adalah :
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y
0 0 0( , , )x y z
Mat2-Unpad
46
Definisi :
Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui 0 0 0( , , )x y z dan searah vektor normal bidang singgung
pada S di Po yaitu :
0 0 0 0( ) ( , , )X r t t F x y z
atau
0 0 0 0( , , )xx x tF x y z
0 0 0 0( , , )yy y tF x y z
0 0 0 0( , , )zz z tF x y z
Mat2-Unpad
47
ContohContoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)
Jawab: Misalkan
ˆˆ ˆ( , , ) 2 2 4f x y z x i y j z k
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
ˆˆ ˆ(1,2,3) 2 4 12f i j k
2(x – 1) + 4(y + 2) + 12 (z – 2) = 0
2x + 4y + 12 z = 46
2 2 2( , , )F x y z x y z
Mat2-Unpad
48
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12t
2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
Permukaan di (1, 2, -5)
Jawab:
2( , ) 2 2 3xf x y x y y
( , ) 2 6yf x y x xy
(1,2) 2 4 12 6xf
(1,2) 2 12 10yf
2 2( , ) 2 3 2f x y x xy xy
Mat2-Unpad
49
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah
5 (1,2)( 1) (1,2)( 2)x yz f x f y
5 6( 1) 10( 2)z x y
6 10 21x y z
1 6 , 2 10 , 5x t y t z t
Mat2-Unpad
50
LatihanLatihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan
a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)
2. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). (yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).
Mat2-Unpad
Mat2-Unpad 51
3. Tentukan semua titik pada permukaan z = x2 – 2xy – y2 – 8x + 4y, dimana bidang singgung mendatar
4. Tentukan sebuah titik pada permukaan z = 2x2 + 3y2 dimana bidang singgung sejajar terhadap bidang 8x – 3y – z = 0
5. Perlihatkan bahwa permukaan x2 + 4y + z2 = 0 dan
x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 saling menyinggung di titik (0, -1, 2); yakni perlihatkan bahwa mereka
mempunyai bidang singgung yang sama di (0, -1, 2)
52
Nilai Ekstrim Fungsi Dua PeubahNilai Ekstrim Fungsi Dua Peubah
Definisi:
Misalkan fDyx ),( 00
jika
),()( 00 yxfi disebut nilai maksimum global dari f pada Df ,
, maka:
fDyxyxfyxf ),(),(),( 00
),()( 00 yxfii disebut nilai minimum global dari f pada Df ,
jika fDyxyxfyxf ),(),(),( 00
),()( 00 yxfiii disebut nilai ekstrim global dari f pada Df ,jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.
Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokalatau minimum lokal. Mat2-Unpad
5353Mat2-Unpad
Kalkulus2-Unpad 54
55
Di mana nilai ekstrim muncul?Di mana nilai ekstrim muncul?
• Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis
• Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu– Titik-titik batas Df
– Titik Stasioner
– Titik Singular
0),(0),(0),(),( 00000000 yxfdanyxfyxfyx yx
)adatidak),(( 00 yxf
Mat2-Unpad
56
Uji Nilai Ekstrim LokalUji Nilai Ekstrim Lokal
• Untuk menguji apakah di titik stasioner terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0),
dan
0),( 00 yxf
maka
200000000 ),(),(.),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx
1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxf xx
2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxf xx
3. f(x0,y0) bukan nilai ekstrim jika D<0 ((x0,y0) titik pelana)4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan
Mat2-Unpad
57
ContohContoh1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dari
Jawab :
fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6
fxy(x,y) = 0
Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu
8x3 – 2x=0 2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½
6y =0 y = 0
Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)
224 32),( yxxyxf
Mat2-Unpad
58
Titik stasioner
fxx fyy fxy D Keterangan
(0,0)– 2
6 0–12
f(0,0) bukan nilai ekstrim
(½, 0) 4 6 0 24 f(1/2,0) nilai minimum lokal
(-½, 0) 4 6 0 24 f(-1/2,0) nilai minimum lokal
Uji nilai ekstrim lokal dengan D :
Jadi nilai minimum lokal8
1)0,
2
1( f dan
8
1)0,
2
1( f
Titik (0,0) merupakan titik pelana.
Mat2-Unpad
59
LatihanLatihan
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari
a. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2
c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y
yxxyyxfe
42),(.
yyxyxyxff 44),(. 32
323),(. 2 xyxyyyxfg
2933),(. 233 yxyyxyxfh
Mat2-Unpad
Kalkulus2-Unpad 60
Metoda LagrangeMetoda Lagrange
0),(),(),( 000000 yxgdanyxgyxf
dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange
),(),(),( 000000 yxhyxgyxf
dengan (x0,y0) titik kritis, , µ pengali langrange
g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0
• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)
terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan:
• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)
terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistem persamaan:
Kalkulus2-Unpad 61
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1
Jawab:
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange :
),(),( yxgyxf
0),( yxgdan
yaitu:2x = 2x …….(1)
– 2y = 2y …….(2)
x2+y2 = 1 ……..(3)
jyixyxf ˆ2ˆ2),(
jyixyxg ˆ2ˆ2),(
Contoh
Kalkulus2-Unpad 62
Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehingga
Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = ± 1
Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = ± 1
Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)
f(1, 0) = 2,
f(-1, 0) = 2
f(0, 1) = 0,
f(0,-1) = 0
maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)
maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)
2. Tentukan nilai minimum global dari
Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),
523),,( zyxzyxf
terhadap kendala 049),,( 22 zyxzyxg
Jawab:
kjigkjif ˆˆ8ˆ18;ˆˆ2ˆ3
),(),( yxgyxf
0),( yxg
049
1
82
183
22
zyx
y
x
(1)
(3)
(2)
(4)
Kalkulus2-Unpad 63
Substitusi ke (4), didapat4
1,
6
11 yxKarena
2
1z
Sehingga nilai minimumnya adalah:
2
1,
4
1,
6
1Jadi titik kritis :
2
14
2
1,
4
1,
6
1
f
Kalkulus2-Unpad 64
Kalkulus2-Unpad 65
LatihanLatihanGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari
1.f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0
2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1
3.f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1
4.f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12