Axioma Del Supremo y MÃ_ximo Entero
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1.9 AXIOMA DEL SUPREMODefinicin 1.14 . Un conjunto A es acotado superiormente si y solo s existe un nmero real k tal que b k , para todo elemento b A . EL nmero k se llama cota superior de A
Definicin 1.15 . Un conjunto A es acotado inferiormente si y solo s existe un nmero real c tal que c b , para todo elemento b A . EL nmero k se llama cota inferior de A
Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado .
Todo conjunto A que es acotado tiene infinitas cotas
Ejemplo 1.
a) El conjunto A = { x / x > -1 } es acotado inferiormente , pues existe c = -3 tal que -3 b , para todo b A ; pero no es acotado superiormente . Se observa que cualquier nmero real c tal que c ] - , -1] es una cota inferior para el conjunto A, entonces el conjunto de cotas superiores de A es ] - , -1]. Fig.1.23
b) El conjunto B = { x / x 4 } es acotado superiormente pero no es acotado inferiormente . El conjunto de cotas superiores de B es ] 4 , + [ . Fig.1.23
c) C = { x / -1< x < 4} es acotado ., por que C = ] 1 , 4 [
Cotas inferiores de C o__________C___________o Cotas superiores de C
______________o______o_______________________o________________
-3 -1
4
Fig. 1.23
d) D = { x } es acotado puesto que,
EMBED Equation.DSMT4 x - 1 0 - ( x 1) < 3x 12 < x 1
x 1 ( 1- x < 3x 12 3x 12 < x 1 )
x 1 ( x > x < )
EMBED Equation.DSMT4 ; es decir
D =
Definicin 1.16 Se dice que el nmero real s es el supremo de un conjunto dado A contenido en , se denota s = Sup(A) ,si y solo si se cumple que :
a) s es una cota superior de A , y
b) s es la menor cota superior de A . Es decir , si L es una cota superior cualquiera de A entonces s L
Asimismo se dice que el nmero real i es el nfimo de A , se denota i = inf (A) si y solo si , i es una cota inferior de A adems es la mayor de todas las cotas inferiores de A .
Teorema 1.31. Dado el conjunto A contenido en , el nmero real s es el supremo de A si y solo si se cumplen :
1) a s , A
2) > 0 ( tan pequeo como se desee) existe un elemento x A tal s - < x
Demostracin.
() s = Sup(A) entonces s es una cota superior de A, es decir s
Para demostrar que > 0 , existe un elemento x A tal s - < x . por reduccin al absurdo, suponga que s - ; luego s - es una cota superior menor que s ( absurdo) puesto que s es la menor de todas las cotas superiores de A . Por lo tanto la suposicin es falsa , luego se concluye que > 0 , existe un elemento x A tal s - < x .
() La hiptesis a s , A , implica que s es cota superior de A .
Suponiendo que s no es la menor de las cotas superiores , entonces existe una cota superior S tal que S < s , luego existe un nmero > 0 tal que S + = s S = s -
Pero por hiptesis existe x A , x > s - , luego x > S , con x A ( absurdo) por que S es cota superior de A .
Por lo tanto s es la menor e todas las cotas inferiores ; es decir s = Sup (A) .
Corolario 1.5. Dado el conjunto A C , el nmero real i es el supremo de A si y solo si se cumplen :
1) i a , A
2) > 0 ( tan pequeo como se desee) existe un elemento x A tal x < i +
Ejemplo 2. El conjunto A = { x - / x > 9 } es acotado superiormente , pues
x > 9
Pero x - entonces x < -3 ; esto significa que A = ] - , -3 [ y el supremo de A es s = -3
Por que se cumplen :
1) -3 es una cota superior
2) Dado > 0 , tal que 0 < < 1 , el nmero x = -3 0,5 pertenece al conjunto A y es tal que 3 - < x
Entonces por el teorema 1. 31 , s = -3 es el supremo de A .
AXIOMA DEL SUPREMO ( AXIOMA DE COMPETITUD )
AXIOMA 8 . Todo subconjunto A de , diferente del vaco y acotado superiormente tiene supremo , el cual es un elemento en .
Utilizando este axioma puede demostrarse que todo subconjunto A de no vaco y acotado inferiormente tiene nfimo, el cual es un elemento en .
Aunque en algunos casos no es posible determinar el supremo de un conjunto acotado superiormente de manera inmediata , el axioma asegura su existencia en . El axioma no se cumple en otros conjuntos numricos .
Se dice que es un cuerpo ordenado y completo por que en se satisfacen los axiomas de cuerpo, de orden y el axioma del supremo .
Ejemplo 3. El conjunto A formado por todas las aproximaciones decimales sucesivas e inferiores a tiene supremo.
Solucin.
En efecto, A = { 1,4 ; 1,41; 1,414; 1,4142; ... } tal que si x A entonces x < 2
Se observa que A y A no es vaco , adems A es acotado superiormente ,por que una cota superior del conjunto es por ejemplo x = 1, 6 , luego por el axioma del supremo existe Sup(A) el cual es un nmero real .
Puesto que si x A entonces x < 2 x > 0 se tiene 0< x < 2 , de donde resulta 0< x <
En consecuencia Sup(A) =
Observacin 1.15. Si s = Sup(A) y si sA entonces s se llama mximo de A . Si i = inf(A) y si i A , entonces i se llama mnimo de A.
Por ejemplo , A = ] 6 , 9] es acotado , 6 es el nfimo pero no es mnimo , 9 es el supremo que al mismo tiempo es el mximo del conjunto .
Observacin 1.16. Se prueba que el supremo de un conjunto no vaco de nmeros reales que acotado superiormente es nico .
Si , A no es vaco y es acotado superiormente , entonces, por el axioma del supremo, A tiene supremo .
Suponiendo que s = Sup(A) no es nico ; es decir existe S tal que S = Sup(A)
Como s = Sup(A) , entonces por definicin s es una cota superior de A adems s S
Asimismo S = Sup (A) entonces S es una cota superior de A y S s .
Entonces s = S , esto contradice el supuesto ; de donde el supremo es nico.
En forma anloga puede probarse que el nfimo , cuando existe, es nico.
Ejemplo 4. El conjunto de los nmeros naturales no es acotado superiormente .
Solucin.
Suponiendo que es acotado superiormente , existira un nmero real s , s = Sup () ; Luego por el teorema , . En particular si = 1 se tendr s 1< n de all que s < n +1 esto contradice la definicin de supremo. Por consiguiente no es acotado superiormente .
Teorema 1.32. ( propiedad Arquimediana ).Si a y b son nmeros reales positivos entonces existe un nmero natural n tal que na > b
Demostracin .Suponiendo que na b , es decir , na b ; para todo n real, se tendra n , en este caso el nmero real positivo sera una cota superior de , luego es acotado superiormente , lo que es una contradiccin . Por consiguiente , existe un nmero natural n tal que na > b .
A partir del teorema pueden demostrarse los siguientes corolarios.
Corolario1.6. Si x es un nmero real , entonces existe un nmero natural n , no nulo, tal que n > x
1.7 . Si x es un nmero real positivo , entonces existe un nmero natural n tal que 0 < < x
1.8. Si x es un nmero real positivo , entonces existen nmeros enteros a y b tal que a < x < b
Ejemplo 5. Probar que el supremo del conjunto A ={ a n } es s =1
Solucin .
Debe probarse que s = 1 es una cota superior de A y adems que es la menor de esas cotas.
En efecto,
Si n entonces n < n +1 < n +2 , luego n < n + 2 , de donde ; es decir
a n < 1 , ; por consiguiente s = 1 es una cota superior de A .
Probar que es la menor de las cotas superiores equivale a demostrar que , es decir , debe hallarse un nmero natural n , tal que
1 - .
Para 0 < < 1 , sea el nmero real positivo , por propiedad Arquimediana existe un nmero natural n , tal que n > .
Pero la inecuacin: n > n> 2 2
0 > 2 2 - n
n > n + 2 2 - n = (n +2) ( 1 - ) ; luego se tiene
n > ( n +2) ( 1- )
En consecuencia
Teorema 1.33. ( Teorema del mayor entero ) Dado el nmero real a , existe un nmero entero n tal que : n a < n +1
Demostracin.
Deben demostrarse la existencia y la unicidad del nmero entero n .
Por el corolario 1.8 existen nmeros enteros a y b tal que a< x < b
Dado que el nmero b a > 0 , existe un nmero entero positivo c tal que a < x < a +c , donde c = b - a. Por el Principio de Buen Ordenamiento (Apndice) existe un nmero m que es el menor nmero entero positivo tal que x < a + m .................................................( 1 )
Adems para cualquier entero p se tiene a + p x , en particular si p = m 1 ; entonces
a + (m - 1) x ........................................................................................( 2 )
Sea n + 1= a + m , entonces de ( 1 ) y ( 2 )
n x < n + 1
Para demostrar la unicidad , suponiendo que existiesen dos nmeros enteros p y q tales que
p x < p + 1 y q x < q + 1 , se tendra p < q x < p + 1 , luego p< q < p + 1 , de donde 0 < q p < 1 (absurdo) . Por consiguiente el nmero entero n es nico tal que
n x < n + 1
Teorema 1.34. (Existencia de un nmero racional entre dos reales) Dados dos nmeros reales a y b tales que a < b , entonces existe un nmero racional r tal que a < r < b .
Demostracin.
b a > 0 . por el corolario 1.7 existe un nmero natural n tal que < b - a
Por el teorema 1.33 , existe un nmero entero m tal que m an < m + 1 , entonces
=
De estas relaciones , se tiene a < a + < a + ( b a ) = b , luego a < < b
Lo que implica que existe un nmero racional r = tal que a < r < b .
Observacin 1.17 Se dice que un subconjunto A de es denso en si y solo si entre dos nmeros reales existe un elemento de A ; el conjunto den nmeros racionales es denso en , en virtud del teorema 1.34 .
MXIMO ENTERO
Definicin 1.17. El mximo entero de un nmero real x , denotado por es el mayor de todos los nmeros enteros menores que o iguales a x , es decir,
x = Mx { n / n x }Ejemplo 6.
a) 2.57 = 2 , puesto que 2 es el mayor entero que es menor que 2,57 .
b) 0.8 = 0 , 0 0 ,8 y 0 es el entero inmediato menor que 0, 8.
c) 5 = 5
d) - 3. 5 = -4 , - 4 -3, 5 adems 4 es el mayor entero inferior a - 3, 5 .
Observacin 1.18. Por el teorema 1.33 si x entonces existe un nmero entero n tal que n , el nmero entero n es el mximo entero de x , en forma simblica ,
x = n n n x < n + 1Ejemplo 7. Resolver las siguientes ecuaciones en IR
a) 2x 5 = 3
b)
c) x -4x + 3 = -1 Solucin .a) 2x - 5 = 3 3 2x 5 < 4 4 x <
Luego el conjunto solucin es s =
b) - 6 < - 5 - 24 < - 20
- 24 < - 20 - 23 < - 19
Entonces el conjunto solucin es S =
c) x - 4x + 3 = - 1 - 1 x - 4x +3 < 0 0 (x 2 ) < 1
- 1 < x 2 < 1 1 < x < 3
Por consiguiente el conjunto solucin es S = ]1 , 3 [
PROPIEDADES DEL MXIMO ENTERO. IR, se cumple :
a) x = n
b) 0 x - x < 1 c) x = x x d) x n x < n + 1 e) x < n x < n f) x n x n g) x > n x n + 1 h) x + a = x + a , si a Demostracin .
b) De la observacin 1.18 , IR, se tiene x = n
Puesto que x = n entonces la expresin es equivalente a x x < x +1 , de donde resulta que 0 x - x < 1 .
Utilizando esta propiedad se asegura que est definida en .
d) se tiene = p
De p x < p + 1 se tiene que p x x < p +1 , de donde resulta que x 1 < p
Por hiptesis = p n , luego por transitividad x 1 < n , es decir x < n +1
La prueba del recproco es inmediata puesto que si x < n + 1 entonces
h)
sumando el nmero entero a en cada miembro de n x < n + 1 se tiene
n + a x +a < n +1 +a n +a x +a < (n +a) + 1 luego
, es decir
Ejemplo 8. Resolver
a) Qu valores puede tomar ? .
b)
c)
Solucin.
a) x [ 0 , 1 ] 0 0 3x 3 ,luego
Si 3x [ 0 , 1[ entonces = 0
Si 3x [ 1 , 2[ entonces = 1
Si 3x [ 2 , 3[ entonces = 2
Si 3 x = 3 entonces = 3
b)
EMBED Equation.DSMT4 x + 3 7 x 4 ( x 2 )
Por tanto el conjunto solucin es ] -, -2] [ 2 , +[
c)
(x 1 < 0 > 0 ) (x 1 > 0 < 0 ) por ley de signos
(x < 1 x 1 ) ( x > 1 x < 0 )
0 < x < 1
Por consiguiente S = ] 0 , 1[
EJERCICIOS 1.8
1. Determinar si los siguientes conjuntos son acotados superiormente o inferiormente o acotados. Hallar el nfimo y / o supremo en caso de existir .
a) A = ] -9 , n [ , siendo n un nmero entero
b) B = { x / x }
c) C = {x / x = }
d) D = { x
e) E = { x / x = }
2. Probar que el conjunto M = { x / x = } es acotado y que Inf (M) = -1 y Sup(M) = 2 .
3. Hallar los valores que puede tomar cada expresin:
a) si x [ 2 , 3 [
b)
b)
4. Resolver las siguientes ecuaciones :
a) = - 8
b) = 4
c) = 7x 4
d) = x+5
5. Resolver las siguientes inecuaciones
a) x+2
b)
c) > 8
d)
e)
RESUMEN
RESUMEN
En este captulo se ha descrito la construccin del sistema de los nmeros reales a travs del mtodo axiomtico. Se han enunciado los axiomas de cuerpo ordenado y completo y demostrado algunos teoremas del lgebra elemental , para ilustrar el modo en que estos se derivan del conjunto de axiomas dados . Se han presentado algunas aplicaciones de las propiedades de IR en la resolucin de problemas cotidianos y algebraicos de mucha utilidad en le clculo diferencial e integral.
REPASO
I. REVISIN DE CONCEPTOS
1) Qu es un axioma ?.
2) Cules son las diferencias entre axiomas de cuerpo y axiomas de orden en IR ?.
3) Qu es un modelo matemtico ?.
4) Cundo se dice que a < b , si a y b son nmeros reales?
5) Cmo define ?.
6) Cmo describe matemticamente el conjunto de puntos de la recta real que se encuentran a una distancia no menor de 8 unidades del punto cuya abscisa es 5 ? .
7) Qu significa , geomtricamente , que el mximo entero de un nmero real disminuido en 2 sea menor que 6 ? .
8) Cul es la relacin entre conjunto solucin y conjunto restriccin de una ecuacin ?. Esa misma relacin se da para las inecuaciones?.
II. Representar el intervalo de nmeros reales cerrado en 1 y abierto en 4
1) Con la notacin de intervalo .
2) Como subconjunto de IR
3) Geomtricamente.
III. Responda a las interrogantes que se plantean en cada caso :
1) Si Qu se puede asegurar acerca de los valores de x ?
2) Para qu valores reales de x tiene sentido la siguiente expresin ?
3) Si Qu puede afirmar acerca de x ?.
4) Cul es el conjunto restriccin de la inecuacin: en IR ?
IV. Considerando que las letras representan nmeros reales. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules son falsas?. Fundamentar la respuesta en cada caso:
1) Los axiomas en IR son propiedades algebraicas que se aceptan sin demostracin
2) a b = b a a = b
3) ( ab ) = ( -a) (- b)
4)
5) a < b
6) b > a > c a > c b > c b > a
7) a < b a n < b n ;
8) La interseccin de dos intervalos cerrados o es nula o es intervalo cerrado
9)
10)
11) La solucin de una ecuacin en IR siempre es el vaco o un conjunto finito en IR
12) Cualquier nmero real no es superior a su mximo entero.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
V. Demostrar las siguientes propiedades en IR
1)
2)
3) a < a , si a ] 0 , 1 [
4)
5) tiene un valor constante en IR si x ] 0 , 5 [.
6) Si A = { a n entonces Sup(A) = e Inf(A) = 0
VI . Hallar
1) ] 3 , 4] ] 3 , 8[
2) ( ] 2 , 7 [ ] 3, 4 [ ) ] 6 , +[
3) Los nmeros reales A y B tales que si x
EMBED Equation.DSMT4 entonces
4) El nmero real M tal que x + 2kx + k >
5) A B si A = { x
VII. Resolver :
1) x - 8x < 4x 6
2) 1 x > x 5
3) x 3 (x 3 )( x + 6 ) 0
4) ( x +1) ( x + 2x 7) x -1
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
VIII. Demostrar que de todos los rectngulos de permetro p , el cuadrado encierra mayor rea.
IX. Un tren se detuvo durante 20 minutos antes de llegar a su destino por desperfectos en la va frrea . Para recuperar el tiempo perdido , en un tramo establecido para 80 km/hr tuvo que viajar 20 km/hr ms rpido de lo acostumbrado . Cul era la velocidad del tren? .
X.Hallar el nmero real positivo dependiente de , si se sabe que
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