Complecion de los reales

Def: Si X es un subconjunto de R, un numero real β se dice que es una cota superior de X

si, para cualquier elemento x ∈ X, se cumple x ≤ β.

Analogamente, un numero real α se dice que es una cota inferior de X si, para cualquier ele-

mento x ∈ X, se cumple que α ≤ x.

Un subconjunto X de R se denomina acotado superiormente (respectivamente acotado inferior-

mente), si X tiene alguna cota superior (respectivamente inferior). Se dice que X es acotado si

lo es superior e inferiormente.

Si X es un subconjunto de R acotado superiormente, una cota superior s de X se denomina

supremo de X, escribiendose s = supX, si s es menor que cualquier otra cota superior de X,

esto es, si satisface las dos condiciones siguientes:

1) x ≤ s ∀x ∈ X

2) Si x ≤ b ∀x ∈ X entonces s ≤ b.

De forma analoga, si X es un subconjunto de R acotado inferiormente, una cota inferior i de X

se denomina ınfimo de X, escribiendose i = inf X, si i es mayo que cualquier otra cota inferior

de X, es decir, si verifica las 2 condiciones siguientes

1) i ≤ x ∀x ∈ X

2) Si b ≤ x ∀x ∈ X, entonces b ≤ i

Cuando el supremo s de un conjunto X cumple s ∈ X, se dice que el supremo de X es accesible

y se denomina entonces maximo de X, escribiendose max X. Si el ınfimo de un subconjunto

X pertenece a dicho conjunto, se denomina mınimo de X y se escribe min X.

Ejemplos:

a) El conjunto R+0 = {x ∈ R| 0 < x} No esta acotado superiormente ya que no existe ningun

numero real β tal que x ≤ β ∀x ∈ R+0 . No obstante dicho conjunto esta acotado inferiormente

pues todo numero real negativo α es cota inferior de R+0 ya que se cumple α < 0 < x ∀x ∈ R+

0 .

b)

{1

n

∣∣∣∣ n ∈ N}

Tiene cota inferior, tiene cota superior

Tiene max = 1, tiene min = 0

1

c)

{1

n

∣∣∣∣ n ∈ Zyn 6= 0

}Tiene cota inferior = −1

2, tiene cota superior= 1

Tiene max = 1, tiene min = −1

2

d)

{1

n+ (−1)n

∣∣∣∣ n ∈ N}

Tiene cota superior=3

2, tiene cota inferior= −1

Tiene max =3

2, no tiene min

Axioma del Supremo

Si S es un conjunto de numeros reales no vacıo y acotado superiormente, existe sup S.

Teorema.- Si S es un conjunto de numeros reales no vacıo y acotado inferiormente entonces

S tiene ınfimo.

Dem: Sea m una cota inferior de S y H el conjunto de las cotas inferiores. H es no vacıo pues

m ∈ H. H esta acotado superiormente por cualquier elemento de S.

Sea M el supremo de H. Entonces µ = inf S

1) ∀x ∈ S se verifica µ ≤ x (µ es cota inferior)

2) ∀y ∈ H y ≤ µ. Por tanto µ es el ınfimo de S.

Teorema.- Sea S un conjunto no vacıo de numeros reales y acotado superiormente, entonces

M = sup S ⇔ 1) x ≤M ∀x ∈ S y 2) ∀ε > 0 existe x ∈ S tal que M < x+ ε.

Dem:

⇒ Sea M = sup S entonces 1) se cumple por definicion de supremo, para 2) supongamos

que existe ε > 0 tal que ningun x ∈ S cumple 2).

∴ M − ε < x ∀ x ∈ S, es decir x ≤M − ε ∀ x ∈ S y se tiene que M − ε < x ∀ x ∈ S

∴ M−ε es una cota superior de S yM no puede ser entonces supremo de S CONTRADICCION.

⇐ Supongamos que se cumple 1) y 2)

Por reduccion al absurdo supongamos que M no es el supremo de S por 1), M es cota su-

perior de S. Sea M ′ < M una cota superior y tomamos ε = M −M ′ entonces si M cumple

2) M < x+ε ⇒ M < x+M−M ′ ⇒ M ′ < x para algun x CONTRADICCION.

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Pues M ′ es cota superior de S. ∴ M = sup S.

Teorema 1. El conjunto N no esta acotado superiormente

Demostracion. Supongamos que N estuviese acotado superiormente, como N 6= ∅ entonces

existe supN = α por lo que α ≥ n∀n ∈ N esto implica que α ≥ n + o∀n ∈ N por lo tanto

α− 1 ≥ n∀n ∈ N lo cual no puede ocurrir ya que α− 1 < α y α− 1 seria cota superior de N lo

cual es absurdo, por tanto N no esta acotado superiormente

Teorema 2. ∀ε > 0 existe un numero natural n con 1n< ε

Demostracion. Supongamos que esto no ocurre es decir 1n≥ ε ∀n ∈ N esto implica que 1

ε≥ n

∀n ∈ N por tanto 1ε

es una cota superior para N lo cual no ocurre, por lo tanto ∀ε > 0 existe

un numero natural n con 1n< ε

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