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Aussagenlogik
Dorothee Henke, Leonie Mädje,
Christian Schneider
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2.1 Syntax der Aussagenlogik
• Aussagen werden durch Formeln repräsentiert → wahr oder falsch
• Bestandteile der Formeln
– Konstanten „true“ und „false“
– atomare Aussagen (Atome)
• entsprechen Variablen in Algebra
• keine Analyse der internen Struktur
– logische Verknüpfungen (not, and, or, …)
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Darstellung in OCaml
Formeln in OCaml → Datentyp „formula“
• „true“ und „false“
• atomare Formeln
• Operatoren „not“, „and“, „or“, „imp“, „iff“
• Menge der Atome
– unendlich groß
– Typ der Atome ist Parameter der Definition des Typs formula
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Darstellung in OCaml
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Konkrete Syntax
• Bool: algebraische Symbole (+ und *)
• Vorteil: p(q+r) = pq + pr
• Nachteil: p + qr = (p+q)(p+r)
• heute: Standardsymbole für Verknüpfungen
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Konkrete Syntax
Prioritätsregeln: • • ,
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Konkrete Syntax
• p, q und r: Formeln
• x, y und z: Atome
• Funktionen parse_formula und print_qformula
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Primitive Aussagen
• fixiere Typ für primitive Aussagen → Aussagenformeln, indiziert durch Namen
• Parser für atomare Aussagen:
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Primitive Aussagen
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Syntax Operationen
• Formel → OCaml Funktion:
• Aufteilen einer Formel in Bestandteile:
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Syntax Operationen
•
• p: Antecedent (erstes Glied, Bedingungsteil)
• q: Consequent (folglich)
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Funktion „onatoms“
• wendet eine Funktion f auf alle Atome einer Formel fm an
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2.2 Semantik der Aussagenlogik
• Formel: Behauptung → wahr oder falsch
• Auswertung eines algebraischer Ausdruck: x+y+1 → Werte für x und y
• Auswertung einer Formel in Aussagenlogik: Wahrheitswerte der Atome
• Auswertungsfunktion (valuation): Menge der Atome → {true, false}
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2.2 Semantik der Aussagenlogik
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2.2 Semantik der Aussagenlogik
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2.2 Semantik der Aussagenlogik
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Wahrheitswertetabellen
• Auswertung von Formel soll unabhängig von Werten der Atome sein, die nicht in Formel vorkommen
• Ziele
– Funktion, die Atome aus einer Formel extrahiert
– Wahrheitswertetabelle
• Definition der Atome:
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Wahrheitswertetabelle
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Theorem 2.1
Für jede Formel p ist atoms(p) eine endliche Menge
Beweis per „struktureller Induktion“
• Beweis von Eigenschaften für Mengen, deren Elemente aus Grundelementen durch endliche Anzahl von Konstruktionsschritten entstehen
• Ind.- Anfang: Gültigkeit für Grundelemente
• Ind.- Schritt: Gültigkeit für rekursiv gebildete Elemente unter Voraussetzung, dass die Aussage für die in der Konstruktion verwendeten Elemente gilt
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Theorem 2.2
Sei p eine Formel. Wenn die Auswertung v und v‘
auf der Menge atoms(p) übereinstimmen, folgt
eval p v = eval p v‘.
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Atome in OCaml
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Atome in OCaml
Sei p Formel mit n Atomen → Auswertung von p durch 2n mögliche Werte der Atome eindeutig festgelegt → Ziel: Wahrheitswertetabelle
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Funktion „onallvaluations“
• rekursive Funktion
• testet ob die Funktion subfn „wahr“ zurückgibt für alle möglichen Werte der Atome ats, gegeben eine Auswertung v für alle anderen Atome
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Wahrheitswerttabelle
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Formale und natürliche Sprache
• Aussagenlogik: formale Art Aussagen, die in natürlichen Sprachen aufgestellt werden, aufzuschreiben
• nicht immer Wort- für- Wort- Beziehung
• Gruppierung von Aussagen (Klammerung) in natürlichen Sprachen schwierig
• Beispiel:
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Formale und natürliche Sprache
• „und“, „oder“, „nicht“ kann direkt übersetzt werden
• in natürlicher Sprache hat „und“ oft kausale oder temporäre Bedeutung
• Problematisch:
• sowohl im Sprachgebrauch als auch in Aussagenlogik: ist gleichbedeutend mit und