Aula_03 Sistemas Não lineares
-
Upload
attyla-fellipe-sousa -
Category
Documents
-
view
226 -
download
0
Transcript of Aula_03 Sistemas Não lineares
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 1/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Sistemas Nao Lineares
Aula 03 – Metodos determinısticos Aplicados a SNL
Prof. Wesley Pacheco Calixto, Dr.
Email: [email protected]ıtio: http://www.nextgo.org
Instituto Federal de Goias
December 3, 2015, Goiania
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 2/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Sumario
1 Escritas das Equacoes
2 Entendendo o Plano de Fase
3 Analise Qualitativa dos Sistemas Nao Lineares
4 Otimizando os Pontos de Equilıbrio com MetodosDeterminısticos
5 Leitura
6 Bibliografia
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 3/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 4/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 5/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 6/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 7/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 8/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 9/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 10/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 11/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 12/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 13/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 14/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 15/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 16/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 17/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 18/112
Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 19/112
Sistemas Nao
LinearesCalixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 20/112
Sistemas Nao
LinearesCalixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
Apresentar Animacao 1 do Pendulo.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 21/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
Apresentar Animacao 1 do Pendulo.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 22/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 23/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 24/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)
Apresentar Animacao 2 do Pendulo.
E i
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 25/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)
Apresentar Animacao 2 do Pendulo.
E i
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 26/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)
Apresentar Animacao 2 do Pendulo.
E i t
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 27/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na
determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.
2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem
recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.
E i t
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 28/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na
determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.
2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem
recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.
E i t
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 29/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na
determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.
2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem
recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 30/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo estavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 31/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo estavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 32/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo instavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 33/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo instavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 34/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco estavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 35/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco estavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 36/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco instavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 37/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco instavel.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 38/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesCentro.
Equacionamento
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 39/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
quac o a e to
Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesCentro.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 40/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 41/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.
A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 42/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.
A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.
Estes metodos apresentam teoremas que lhes garantem aconvergencia para uma solucao otima que nao enecessariamente a solucao otima global.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 43/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 44/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:
1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 45/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:
1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.
2 Programacao Nao-Linear: Quando a funcao objetivo
f (x ), ou pelo menos uma das restricoes, e uma funcaonao-linear das variaveis do problema (sistemas naolineares).
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 46/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 47/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1
Simplex (metodo mais tradicional);
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 48/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1
Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 49/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 50/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 51/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 52/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;
6 Yamnitsky-Levin;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 53/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;
6 Yamnitsky-Levin;7 Inteira etc.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 54/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 55/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 56/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 57/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 58/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 59/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 60/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 61/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);7 Elipsoidal etc.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 62/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 63/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;
O software MatLab tambem conta com um Tool Box deotimizacao.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 64/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 65/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:
Ou seja, sem restricao.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 66/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:
min F (x 1,x 2) = 100 ·
x 2 − x 21
+ (1 − x 1)2
sujeito a :x 1 e x 2 ∈ Ω ⊂ R2
(6)
Ou seja, sem restricao.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 67/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 68/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 69/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 70/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:
min F (ξ,δ ) = e ξ
4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1
sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2
ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0
ξδ ≥ −10(7)
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 71/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:
min F (ξ,δ ) = e ξ
4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1
sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2
ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0
ξδ ≥ −10(7)
Ou seja, com restricao.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 72/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 73/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 74/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.
Faca a mudanca da semente sempre observando o valor deF (ξ,δ ) (fval, funcao de avaliacao etc.).
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 75/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 76/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 77/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 78/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 79/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 80/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
S N
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 81/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
Si N˜
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 82/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero
Sist s N˜
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 83/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero
8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 84/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero
8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve
9 Outras
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 85/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario
responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 86/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario
responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 87/112
Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario
responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.
Para isto ha a necessidade de formular uma expressao quequantifique o statu de cada candidato, ou seja, querepresente o quao boa uma determinada solucao esta.
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 88/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,
podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 89/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,
podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.
Assim sendo:
f (x 1,x 2) = [max(x 1) − min(x 1)] + [max(x 2) − min(x 2)](8)
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 90/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:
Sistemas Nao
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 91/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:
O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:
Sistemas NaoLi
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 92/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:
O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:
Lθ = −g sin θ (9)
Sistemas NaoLi
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 93/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 94/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
u 1
= u 2u 2 = −g L
sin(u 1) (10)
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 95/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
u 1
= u 2u 2 = −g L
sin(u 1) (10)
a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 96/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
u 1 = u 2u 2 = −g
L sin(u 1) (10)
a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.
b) No pplane, coloque os valores das variaveis−10 ≤ x 2, x 1 ≤ 10 e g = 9.8, L = 0.5.
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
O i i ˜ d Si N˜ Li d A l P d
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 97/112
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 98/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 99/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 100/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Sistema Caotico
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 101/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Sistema Caotico
Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar
grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 102/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Sistema Caotico
Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar
grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.Seja o seguinte sistema:
x + 0.1x + x 5 = 6sin(t ) (11)
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 103/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Tela do pplane
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 104/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 105/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
¸
Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
Sistemas NaoLineares
Metodos Determinısticos
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 106/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
Sistemas NaoLineares
Material Didatico
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 107/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Leitura
1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de
Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura
complementar 1.
Sistemas NaoLineares
Material Didatico
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 108/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Leitura
1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de
Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura
complementar 1.
Sistemas NaoLineares
C li W P
Referencias
Bibliografia
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 109/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Bibliografia
1 KHALIL, H. K. Nonlinear systems. New Jersey (EUA):3a Ed. Prentice Hall, 2002.
2 MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinamicos. 2a Ed.Livraria da Fısica, 2006.
3 HEMERLY, E. M. Controle por computador de sistemasdinamicos. Sao Paulo: 2a Ed. Edgar Blucher, 2000.
4 VIDYASAGAR, M. Nonlinear systems analysis.Philadelphia (EUA): 2a Ed. SIAM Society for Industrial
and Applied Mathematics, 2002.5 SLOTINE, J. J. E.; LI, W. Applied nonlinear control.
New Jersey (EUA): Prentice Hall, 1991.
Sistemas NaoLineares
C li t W P
Referencias
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 110/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos SistemasNao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Bibliografia
1 Bazaraa, M. S.; Sherali, H. D.; Shetty, C. M.Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. JohnWiley & Sons, 2006.
2 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: MetodosComputacionais. Impa. 2007.
3 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: Condicoes deOtimalidade, Elementos de Analise Convexa e de
Dualidade. Impa. 2007.
Sistemas NaoLineares
Calixto W P
Referencias
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 111/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos SistemasNao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Bibliografia
1 Cottle, R. W. Nonlinear Programming. Siam AMSProceedings, 1976.
2
Souza, A. C. Z; Pinheiro, C. A. M.. Introducao aModelagem, Analise e Simulacao de Sistemas Dinamicos.Editora Interciencia. 2008.
3 Aguirre, L. A.. Introducao a Identificacao de Sistemas:Tecnicas Lineares e Nao Lineares Aplicadas a Sistemas
Reais. 3a Ed., Editora UFMG. 2007.
Sistemas NaoLineares
Calixto W P
Referencias
7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares
http://slidepdf.com/reader/full/aula03-sistemas-nao-lineares 112/112
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos SistemasNao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Bibliografia1 L. Chwif; A. C. Medina. Modelagem e Simulacao de
Eventos Discretos: Teoria & Aplicacao. 3a Ed., Edicao doAutor. 2010.
2
Harrel et. al. Simulacao: Otimizando os Sistemas. 5a
Ed., Edicao do Autor. 2002.
3 Silva, G. V. M.. Controlo Nao Linear. Escola Superior deTecnologia, Instituto Politecnico de Setubal. 2003.
4 Rios Neto, A.. Controle Otimo de Sistemas Dinamicos:Notas de aulas e exemplos de aplicacao. Sao Jose dosCampos. 2012.