Aula Laboratório Exponencial
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Problema 1 - Enchimento
Temos uma piscina cujas medidas são dadas na figura acima e uma torneira aberta jogando água neste tanque. Em 1 hora o nível da água chegou a 50 cm. Quanto tempo é necessário para encher toda a piscina?
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Qual o tipo de função utilizada para modular esta situação?
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Em intervalos constantes o valor é sempre é constante: função afim – f(t) = at+b
Como f(0)=0 - linearf(t)=atComo f(1)=50→ a=50f(t) = 50tAgora 50t = 200t=4h
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• Com a piscina cheia vou colocar 1 kg de cloro e manter a água um pouco aberta. Assim o cloro começa a ser eliminado junto com a água.
• Uma hora depois faço uma dosagem de cloro e descubro que resta 900g de cloro.
• Qual a quantidade de cloro 10 horas depois?
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b) Serve o modelo afim?Se serve então em 10 horas não teremos
cloro.
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A quantidade de cloro eliminada depende da concentração.
A quantidade da solução eliminada é a mesma, mas a solução tem cada vez menos cloro.
Isto é, se na primeira hora foi eliminada 100g, na próxima hora vai ser eliminado menos cloro,e na próxima menos e assim sucessivamente.
• O modelo afim não serve.
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No contexto universitário modelamos usando equação diferencial.
Aqui faremos a modelagem de um ponto de vista mais elementar.
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Para isso vamos imaginar a seguinte situação:
Coloca-se um pouco (uma gota) e sai uma gota.
água Água + cloro
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Em um pequeno intervalo de tempo [t,t+h], quanto menor o h, mais o modelo discreto aproxima-se do modelo contínuo.
V = quantidade de águav = quantidade de água acrescentadah = tempo
Piscina em t H2O é acrescentada
Líquidos se misturam
Mesmo volume é retirado
Volume do Líquido
V V + v.h V + v.h V
Quantidade de cloro
C(t) C(t) C(t) C( t+h)
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A quantidade total de cloro que vou ter na piscina depois de retirar a água é
proporcional à quantidade que tinha antes, na razão dos volumes. Isto é:
vhVVtchtc
htcV
tcvhV
)()()()(
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O decrescimento do cloro não é constante, mas o decrescimento percentual é
constante. Isto é: Em intervalos de tempo de mesma duração, a quantidade de cloro é multiplicada pela mesma constante (que
depende de h, mas não de t).
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Fato Fundamental:
• O relevante não é que a quantidade de cloro diminuiu 100g, mas sim que foi multiplicado por 0,9.
• c(10) = 1000 . 0,910 = 349g
• Portanto, a quantidade de cloro no instante t é:
c(t) = 1000. 0,9t - Uma Função Exponencial
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• Qual a quantidade de cloro meia hora depois?
• k.k = 0,9 • logo: k = √ 0,9• assim: c(1/2) = 1000 . √0,9
c(1/2) ≈ 948,7Ou utilizando a fórmula.
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Função do tipo exponencial
• F(t) = b.at
b: fator multiplicativo, condiçã o iniciala: representa o quanto a função é
multiplicada em cada intervalo unitário.
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Comparação: afim e exponencialafim- f(t) = at +b Exponencial – b at
b: valor inicial b: valor inicial
f(t+h)-f(t) = ahh = 1f(t+1)-f(t) = aa indica quando você sobe(ou desce) quando anda 1 unidade.
f(t+h)/f(t) = ah
h = 1f(t+1)/f(t) = aa indica por quando a função foi multiplicada, em intervalos unitários
Diferença constante Razão constante – crescimento percentual constante
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PROBLEMA 1: Crescimento populacional
• É razoável o modelo exponencial?• Sim, pois o crescimento é proporcional a
população.• Uma vez que você tem definido que o
modelo é exponencial, basta determinar a e b.
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PROBLEMA 4
Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da
contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?
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f(t) = 1.000.000 1,5t
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PROBLEMA 2: Decaimento Radioativo
• Átomos com neutrons adicionais tendem a emitir particulas para chegar no estado estável.
• É razoável supor que em cada unidade de tempo seja sempre desprendida o mesmo número de partículas?Não o número de emissão é proporcional a quantidade de material radioativo existente. Na medida que a amostra vai fazendo sua desintegração radioativa, menos átomos são anormais.
• Assim, o modelo é exponencial, é só uma questão de achar as constantes.
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• m= m0 (½)t/u
• Quando t = u temos m= m0 (½).• Assim, na equação acima u tem um
significado fácil de entender: u é o tempo necessário para que a quantidade presente se reduza à metade (meia vida).
• Obs. Embora a meia vida seja u, a “vida inteira” não é 2u.
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RESOLUÇÃO
f(t) = 1.000.000 2t
Assim:
F(3) = 1.000.000. 23 = 8.000.000
F(10) = 1.000.000 .210 = 1.024.000.000