Aula 06 - Condução de Calor Em Regime Transiente I
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Condução de calor em regime
não permanente
519
Análise de sistemas aglomerados
Análise de transferência de calor
Corpos aglomerado
Temperatura interior permanece uniforme todo o tempo durante umprocesso de transferência de calor
Temperatura do corpo função do tempoT(t)
Análise de transferência de calorAnálise de sistemas aglomerados
Hipótese simplificadora
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Condução de calor em regime
não permanente
520
Análise de sistemas aglomerados
Considere uma bola de cobre quente saindo de um forno
Medições
A temperatura da bola de cobre muda com o tempo.
A temperatura não muda muito com a posição em qualquer tempo.
A temperatura na bola permanece uniforme a todo momento
Não é necessário especificar uma posição
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Condução de calor em regime
não permanente
521
Análise de sistemas aglomerados
Considere agora uma grande carne assada em um forno
Distribuição de temperatura não uniforme
Parte externa bem passado
Parte interna crua
Análise de sistemas aglomerados não aplicável
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Condução de calor em regime
não permanente
522
Análise de sistemas aglomerados
Considere um corpo de geometria arbitrária com massa (m),volume (V), área superficial (As), massa específica (ρ) e calorespecífico (Cp) inicialmente a uma temperatura uniforme
Tempo t = 0
Corpo colocado em um meioT∞
Transferência de calor
Corpo sólido
Ambiente
iT ρ
V m
sólidoCorpo
( )tTT =
sA
∞T
( )[ ]tTTAhQ s −⋅⋅=∞&
h
h
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Condução de calor em regime
não permanente
523
Análise de sistemas aglomerados
Assumindo que T∞ > Ti e que a análise de sistemasaglomerados é aplicável (temperatura uniforme no corpo)
A variação de temperatura no corpo se dá em função apenas do
tempoT = T(t)
Durante um intervalo de tempo infinitesimal (dt), atemperatura do corpo aumenta uma quantidade infinitesimal(dT)
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Condução de calor em regime
não permanente
524
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
=
dtdurantecorpono
energiadaAumento
dtdurantecorpoopara
energiadeciaTransferên
( ) dTCmdtTTAh ps ⋅⋅=⋅−⋅⋅∞
Vρm ⋅= ( ) →−= ∞ TTddT constanteT =∞
( )dt
CVρ
Ah
TT
TTd
p
s
⋅⋅
⋅−=
−
−
∞
∞
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Condução de calor em regime
não permanente
525
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
Integração
t = 0T=Ti
tT=T(t)
Tomando o exponencial dos dois lados e rearranjando
( )t
CVρ
Ah
TT
TtTln
p
s
i ⋅⋅
⋅−=
−
−
∞
∞
( ) bt
i
eTT
TtT −
∞
∞=
−
−
⋅⋅
⋅=
s
1
CVρ
Ahb
p
s ( ) tempodoconstantes b
1→
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Condução de calor em regime
não permanente
526
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
Gráfico da equação
Esta equação permite o cálculo da temperaturade um corpo T(t) em um tempo t ou o temporequerido para se alcançar uma temperatura
específica T(t)
( ) bt
i
e
TT
TtT −
∞
∞=
−
−
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Condução de calor em regime
não permanente
527
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
Gráfico da equação
A temperatura do corpo se aproxima datemperatura do ambiente exponencialmente.
A temperatura do corpo muda rapidamente noinício e devagar no final do processo.
Um valor grande de b indica que o corpo iráalcançar a temperatura ambiente em um pequeno tempo.
( ) bt
i
e
TT
TtT −
∞
∞=
−
−
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Condução de calor em regime
não permanente
528
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
Gráfico da equação
A temperatura do corpo se aproxima datemperatura do ambiente exponencialmente.
Quanto maior for o valor do expoente b, maiorserá a taxa de decaimento da temperatura.
b é diretamente proporcional à área superficial docorpo e é inversamente proporcional à massa e ao calor específico do corpo.
( ) bt
i
e
TT
TtT −
∞
∞=
−
−
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Condução de calor em regime
não permanente
529
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
Ao se obter a temperatura T(t) no tempo t, a taxa de transferência de
calor por convecção entre o corpo e o ambiente naquele tempo podeser determinada pela lei de Newton para o resfriamento
A quantidade total de transferência de calor entre o corpo e oambiente, no intervalo de tempo t = 0 até t, é simplesmente amudança no conteúdo de energia do corpo
( ) bt
i
eTT
TtT −
∞
∞=
−
−
( ) ( )[ ] ( )W TtTAhtQ s ∞−⋅⋅=&
( )[ ] ( )kJ TtTCmQ ip −⋅⋅=
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Condução de calor em regime
não permanente
530
Análise de sistemas aglomerados
Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal
A quantidade de transferência de calor alcança seu limite máximo
quando o corpo alcança a temperatura do ambiente T∞.
Máxima transferência de calor entre o corpo e o ambiente
( ) ( )kJ TTCmQ ipmax −⋅⋅=∞
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Condução de calor em regime
não permanente
531
Análise de sistemas aglomerados
Critério para análise de sistemas aglomerados
Comprimento característico
Número de Biot
s
cA
VL =
k
LhBi c⋅
=
∆T
∆T
Lk
hBi
c
=
corpododentroCondução
corpodosuperfícienaConvecção
Bi =
h1
k LBi c
=corpodosuperfícienaconvecçãodaaResistênci
corpododentroconduçãodaaResistênciBi =
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Condução de calor em regime
não permanente
532
Análise de sistemas aglomerados
Critério para análise de sistemas aglomerados
Número de Biot
Quando um corpo sólido está sendo aquecido por um fluido quente, calor é
transferido primeiramente por convecção para o corpo e depois por conduçãodentro do corpo.
O número de Biot é a razão entre a resistência interna do corpo àtransferência por condução e a resistência externa à transferência porconvecção.
Um número de Biot pequeno representa uma pequena resistência àtransferência por condução e, consequentemente, um pequeno gradiente detemperatura dentro do corpo.
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Condução de calor em regime
não permanente
533
Análise de sistemas aglomerados
Critério para análise de sistemas aglomerados
Análise de sistemas aglomerados
Assume a distribuição uniforme da temperatura no corpo
É o caso somente quando a resistência térmica do corpo à transferência porcondução zero
Análise de sistemas aglomerados é exata
Bi = 0
Análise de sistemas aglomerados é aproximada Bi > 0
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Condução de calor em regime
não permanente
534
Análise de sistemas aglomerados
Critério para análise de sistemas aglomerados
Quanto menor o número de Biot, mais exata será a análise desistemas aglomerados
Exatidão x simplificação
Temperatura no corpo aproximadamente uniforme
0,1Bi ≤
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Condução de calor em regime
não permanente
535
Análise de sistemas aglomerados
Critério para análise de sistemas aglomerados
Bom candidato para análise de sistemas aglomerados
Corpos pequenos Condutividade térmica alta
Meio mal condutor de calor (gases)
Sem movimento
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Condução de calor em regime
não permanente
536
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 34
A temperatura de um fluxo de gás deve ser medido com umtermopar cuja junta de medição pode ser vista como uma esfera com
1 mm de diâmetro. As propriedades da junção são k = 35 W/(m.°C),ρ = 8500 kg/m3 e Cp = 320 J/(kg.°C) e o coeficiente de transferênciade calor por convecção entre a junção e o gás é h = 210 W/(m2.°C).Determine quanto tempo levará para que o termopar leia 99% dadiferença de temperatura inicial.
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Condução de calor em regime
não permanente
537
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 34
Comprimento característico
Número de Biot
→= AVL
s
c →⋅⋅⋅= DπDπL2
3
61
c →= D61Lc
m101,67L 4
c
−×=
( )m0,00161Lc =
k
LhBi c⋅
= ( )( ) ( )
( )CmW35
m101,67CmW210Bi
-42
°⋅
×⋅°⋅= 001,0Bi = 1,0<
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Condução de calor em regime
não permanente
538
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 34
Leitura de 99% da diferença de temperatura inicial (Ti – T∞
)
( ) 01,0TTTtT
i
=−−
∞
∞
( ) bt
i eTT
TtT −
∞
∞=
−
−
C100TC0Ti
°=
°=
∞
( ) C99tT 99% °=→
→
⋅⋅
⋅=
CVρ
Ahb
p
s
cp LCρ
hb
⋅⋅
=
( )( ) ( )( ) ( )
→×⋅°⋅⋅
°⋅=
−
m101,67CkgJ320mkg8500
CmW210b
43
2
1s0,462b −=
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Condução de calor em regime
não permanente
539
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 34
Substituindo os valores na equação
( )→=
−
− −
∞
∞ eTT
TtT bt
i
( )→=
−−
e0,01ts0,462 1
s10t =
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Condução de calor em regime
não permanente
540
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 35
Uma pessoa é encontrada morta as 5 PM em um quarto cujatemperatura é 20°C. A temperatura do corpo, quando encontrado, é
de 25°C e o coeficiente de transferência de calor estimado éh = 8 W/(m2.°C). Modelando o corpo como um cilindro com 30 cmde diâmetro e 1,70 m de comprimento, estimar a hora da morte dapessoa.
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Condução de calor em regime
não permanente
541
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 35
Corpo humano 72% de água Propriedades da água
Comprimento característico
C3122537 °=+
CkgJ4178C
mkg996ρ
CmW0,617k p3
°⋅==
°⋅=
→= AVLs
c 2
00
2
0c
rπ2Lrπ2LrπL
⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) →
⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅=
m0,15π2m1,7m0,15π2
m1,7m0,15πL
2
2
c m0,0689Lc =
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Condução de calor em regime
não permanente
542
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 35
Número de Biot
Análise de sistemas aglomerados não aplicável
Estimativa aproximada da hora da morte
k LhBi c⋅= ( )( ) ( )
( )CmW0,617
,0689m0CmW8Bi
2
°⋅
⋅°⋅= 89,0Bi = 1,0>
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Condução de calor em regime
não permanente
543
Análise de sistemas aglomerados
Exemplo 35
→⋅⋅
⋅=
CVρ
Ahb
p
s
cp LCρ
hb
⋅⋅=
( )( ) ( )( ) ( )
→⋅°⋅⋅
°⋅=
,0689m0CkgJ4178mkg996
CmW8b
3
2
15 s102,79b −−×=
( )→=
−
− −
∞
∞ eTT
TtT bt
i
( )→=
−
− −×− e
2037
2025 t102,79 5
s43860t =
h12,2t =