Articulo Matemático

Revista deCiencias Bsicas

UJAT

CunduacnTabascoMxico

Contenido

Homotopa de punto fijoMario Arley Vidal Gernimo y Gamaliel Bl Gonzlez 3

Dinmica de la familia logsticaJuan Jimnez Fras y Gamaliel Bl Gonzlez 15

Seguimiento de curvas homotpicasMario Alberto Soler Lpez y Juan Barajas Fernndez 26

Funciones continuas y nunca derivablesGerardo Delgadillo Pin y Miguel Lpez De Luna 35

Volumen 7Nmero 1

Junio 2008

REVISTA DE CIENCIAS BASICAS UJATes editada por la

Divisin Acadmica de Ciencias Bsicasde la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco

EditoresDr. Abdiel E. Cceres Gonzlez ([email protected])Dr. Jos Leonardo Senz Cetina ([email protected])

Comit editorialFsicaM.C. Esteban Andrs Zrate

QumicaDr. Isaas Magaa MenaM.C. Ma. Teresa Gamboa Rodrguez

MatemticasM.C. Robert Jeffrey Flowers

ComputacinL.S.C.A. Diana G. Chuc Durn

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Revista de Ciencias Bsicas UJAT, volmen 7 nmero 1, junio 2008.Se termin de imprimir en junio de 2008 en los talleres de Grficos Cnovas.

El tiraje consta de 300 ejemplares.

Revista deCiencias Bsicas

UJAT

CunduacnTabascoMxico

Volumen 7Nmero 1

Junio 2008

Contenido

3Homotopa de punto fijoMario Arley Vidal Gernimo y Gamaliel Bl Gonzlez

15Dinmica de la familia logsticaJuan Jimnez Fras y Gamaliel Bl Gonzlez

26Seguimiento de curvas homotpicasMario Alberto Soler Lpez y Juan Barajas Fernndez

35Funciones continuas y nunca derivablesGerardo Delgadillo Pin y Miguel Lpez De Luna

Homotopa de punto fijo *

Mario Arley Vidal Geronimo **Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB

Gamaliel Ble Gonzalez ***Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB

En este trabajo se desarrolla el metodo homotopico de punto fijo y se da un cri-terio para seleccionar una condicion inicial a partir de la cual es posible encontrarun camino de homotopa que contiene todas las soluciones reales de un sistema deecuaciones no lineales.

In this paper the fixed-point homotopy method is developed and a criterion is given toselect an initial condition from which is possible to find a homotopy path containingall real solutions of a systems of nonlinear equations.

Palabras clave: Sistemas de Ecuaciones no Lineales, Metodos Homotopicos, Homo-topa de Punto Fijo.Keywords: Systems of Nonlinear Equations, Homotopy Methods, Fixed-point Homo-topy.

1. Introduccion

La necesidad de resolver sistemas de ecuaciones no lineales surge frecuentemente endiversas areas de las ciencias basicas y aplicadas. Por ello, se han desarrollado diversosmetodos de convergencia local, como el metodo de Newton, los cuales permiten resol-verlos bajo ciertas condiciones. Una de las desventajas que presentan estos metodos,es que si la condicion inicial no se toma lo suficientemente cerca de la solucion bus-cada, entonces el metodo puede diverger, aun cuando el sistema tenga solucion. Estoha llevado al desarrollo de metodos mas eficientes, con propiedades de convergenciaglobal, tales como los metodos homotopicos, [9, 10].

Si tenemos el sistema dado por

F (x) = 0, (1)

donde F : Rn Rk y k n, el metodo homotopico consiste en perturbar elsistema (1) usando una funcion de apoyo G : Rn Rk y una homotopa entre F yG, dada como

H(x, t) = tF (x) + (1 t)G(x). (2)

En este nuevo sistema, la funcion G se elige de tal manera que sus races son

*Recibido el 5 de diciembre de 2007 y aceptado el 10 de febrero de 2008**Direccion postal: Carr. Cunduacan-Jalpa Km 1, Cunduacan Tabasco, Mexico. A.P. 24 C.P.

86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electronico: [email protected]***Direccion postal: Carr. Cunduacan-Jalpa Km 1, Cunduacan Tabasco, Mexico. A.P. 24 C.P.

86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electronico: [email protected]

Revista de Ciencias Basicas UJAT, volumen 7 numero 1 (Junio 2008) p 314

4 Mario Arley Vidal Geronimo y Gamaliel Ble Gonzalez

conocidas. As, las soluciones del sistema (1) viven en el conjunto de nivel H1(0) ycorresponden a t = 1. Dado que H(x, 0) = G(x), la estrategia para encontrar una razde F consiste en tomar una raz x0 de G y seguir la curva homotopica (t) = H(x0, t),a lo largo de t hasta llegar a t = 1, donde se encuentra una raz de F . A priori, estatrayectoria puede presentar ramificaciones y no alcanzar una solucion en t = 1, perosi ambas funciones F y G, son funciones de clase C2, el teorema de Sard nos garantizaque para casi cualquier condicion inicial x0, la curva homotopica (t) alcanza en t = 1una solucion del sistema (1), [3, 9].

1.1 Funciones de apoyo del metodo homotopico

De entre las posibles funciones de apoyo G para construir una homotopa, existenalgunas que por su simplicidad o porque han funcionado en la solucion de problemasson las mas mencionadas en la literatura, por ejemplo:

1.1.1 Homotopa de punto fijo

La funcion de homotopa de punto fijo esta dada como

H := Hx0 = tF (x) + (1 t)(x x0). (3)

En este caso la funcion G(x) = x x0.

1.1.2 Homotopa de Newton

La funcion de homotopa de Newton esta dada como

H := Hx0 = F (x) + (t 1)F (x0). (4)

Aqu, G(x) = F (x) F (x0).

1.1.3 Homotopa afn

La funcion de homotopa afn esta dada como

H := Hx0 = tF (x) + a(1 t)(x x0). (5)

Donde la funcion G(x) = a(x x0) y a es una constante.Cuando el sistema (1) es polinomial, por el teorema de Bezout [1], podemos conocer

el numero maximo de races del sistema, por lo que algunos metodos toman comofuncion de apoyo a un polinomio G(x) con races simples y con el mismo grado queF . A partir de las races de G se encuentran todas las races de F recorriendo lasdiferentes trayectorias homotopicas [2].

En este trabajo analizaremos la homotopa de punto fijo (3) y presentaremos uncriterio que permite determinar un punto x0 Rn, a partir del cual podemos encon-trar todas las soluciones del sistema (1) recorriendo una unica trayectoria.

Revista de Ciencias Basicas UJAT, 7(1)Junio 2008 p 314

Homotopa de punto fijo 5

2. Homotopa de punto fijo

Consideremos el sistema de ecuaciones no lineales (1) y definamos la funcion dehomotopa H : Rn R Rk como

H(x, t) = tF (x) + (1 t)G(x), (6)

donde las races de G son conocidas y a la funcion G(x) se le llama la funcion deapoyo del metodo homotopico.

Dado x0 Rn, tal que H(x0, 0) = G(x0) = 0, a la curva (t) = H(x0, t) que viveen el conjunto de nivel H1(0), se le llama curva homotopica.

El conjunto de nivel H1(0) puede contener curvas cerradas las cuales no inter-secten al conjunto de races de G y por lo tanto, que no sean accesibles desde unacondicion inicial en t = 0, a estas curvas se les llama islas.

En el caso de la homotopa de punto fijo, unicamente se tiene como condicioninicial a x0, por lo que la eleccion de esta determinara si la curva homotopica quepasa por x0 atravieza por las todas las soluciones o no.

2.1 Rol de la condicion inicial en la homotopa de punto fijo

En la homotopa de punto fijo la funcion de apoyo es G(x) = x x0 y

H(x, t) = (1 t)(x x0) + tF (x) = 0, t R. (7)

La ecuacion (7) se satisface en el punto de partida, t = 0, unicamente para x0, porlo que naturalmente surgen las siguientes preguntas: Como depende de x0 la curvahomotopica de H que pasa por x0? Cuando esta curva contiene todas las racesde F? Para darnos una idea de las respuestas a estas preguntas, consideraremos elsiguiente ejemplo en una variable:

Sea

f1(x) = x2 3x+ 2 = 0, (8)

cuyas races son 1 y 2.

Si la ecuacion (8) es sustituida en la ecuacion (7), obtenemos

H(x, t) = t(x2 4x+ 2 + x0) + (x x0) = 0, t R. (9)

En este caso, las curvas de nivel correspondientes a H(x, t) = 0, para un x0 fijo,puede ser graficadas como mostramos en la figura 1 para seis valores diferentes dex0. Las curvas en la figura 1 representan los caminos de homotopa obtenidos paradiferentes valores de x0, la interseccion del camino de homotopa con t = 0 co-rresponde al punto de partida x0 y las intersecciones del camino de homotopa cont = 1 proporcionan las races de f1.



Figura 1. Curvas de nivel de H(x, t) = 0 para f1.

En las figuras 1 (a) y 1 (b) mostramos el conjunto H1(0) para x0 = 2 y x0 = 0,respectivamente. Podemos observar que existen tres ramas reales no acotadas y enambos casos, las dos races se localizan sobre una de las ramas que no puede seralcanzada desde el punto de partida. Este comportamiento tambien se presenta paravalores de x0 menores que 2.

Tomando x0 = 1, el cual es una de las dos races de f1, la figura 1 (c) muestraque el conjunto H1(0) consiste de cuatro ramas reales no acotadas con un puntode bifurcacion en t = 0.5. Ambas races no pueden ser alcanzadas desde el punto departida x0 = 1, pues al llegar a la bifurcacion es necesario elegir un camino, lo cualnos lleva a encontrar una sola raz.



Para x0 = 1.5, la figura 1 (d) muestra que H1(0) tiene tres ramas reales noacotadas, pero solamente la raz x = 2 puede ser alcanzada desde el punto de partidax0 = 1.5.

En la figura 1 (e), se muestra H1(0) para x0 = 2, la cual tiene tres ramas realesno acotadas y ocurre que solo la raz igual a 2 puede alcanzarse desde el punto departida x0 = 2, aun cuando la recta x = 2 es una asntota para las otras dos ramasde H1(0).

En la figura 1 (f) se muestra H1(0) para x0 = 4. Como puede observarse, eneste caso se tiene una sola rama real, la cual conecta todas las races. Por lo tanto,ambas races pueden alcanzarse desde el punto de partida x0 = 4, sin tener que entraren una region aritmeticamente compleja y sin tener que recorrer una gran distanciaen t, como sera el caso para x0 = 2. Este mismo, comportamiento lo observamoscuando tomamos valores de x0 mayores que 2. As, de los seis casos presentados eneste ejemplo, tenemos que una buena eleccion de x0 es tomarlo mayor que 2, ya queesto garantiza que puedan encontrarse todas las races reales desde un solo punto departida.

En general, determinar una buena condicion inicial para aplicar el metodo ho-motopico de punto fijo puede resultar complicado, por lo que en la siguiente secciondaremos un criterio que permite hacer una eleccion adecuada de la condicion inicialx0, a la que representaremos como xc0.

3. Criterio para seleccionar una adecuada condicion inicial

Con el proposito de encontrar todas las races del sistema (1) usando una ho-motopa de punto fijo, damos el siguiente criterio para seleccionar xc0 dentro de uninfinito numero de posibles valores a elegir:

Sea

xc0 {x0 Rn : N(x0) = mnyRn

N(y)}, (10)

donde N(x0) es el numero de races reales de la ecuacion

F (x) x+ x0 = 0. (11)

Este criterio esta basado en la observacion de las perturbaciones de F obtenidasva la homotopa y ha sido verificado en muchos ejemplos para los cuales ha resultadoser eficiente [5]. Es importante observar que cuando la condicion inicial x0 no esseleccionada adecuadamente, puede que sea necesario, para encontrar todas las races:

1. Seguir un camino de homotopa que tenga un valor lmite en t = o x = ; paraello reiniciamos el camino en el extremo opuesto de t o x, o

2. Recorrer una distancia infinita entre dos races consecutivas.



Por ejemplo, en las curvas mostradas para x0 = 2 en la figura 1 (a), si lasobservamos en el plano real compactificado, estas forman un camino cerrado, perola distancia entre la condicion inicial x0 = 2 y las races es infinita. De igual ma-nera, para x0 = 2, las curvas mostradas en la figura 1 (e), observadas en plano realcompactificado, tambien forman un camino cerrado, el cual no esta acotado tanto ent como en x y cuya distancia entre la condicion inicial x0 = 2 y las races es infinita.Por otro lado, para x0 = 4, en la figura 1 (f), o para cualquier otro valor de x0 mayorque 2, se tiene una unica trayectoria homotopica, la cual pasa por todas las races.Ademas, las races sobre la curva estan relativamente cerca una de la otra, por lo quepueden ser rapidamente alcanzadas desde x0.

3.1 Aplicacion del criterio a una ecuacion

Para conocer como funciona el criterio de seleccion de la condicion inicial, lo apli-caremos a la ecuacion (8). Para ello, sustituimos f1 en la ecuacion (11), de modo queobtenemos

x2 4x+ 2 + x0 = 0. (12)

El objetivo es determinar el intervalo donde el numero de races de la ecuacion(12) es mnimo.

Notemos que para x0 > 2, la ecuacion (12) no tiene races reales, por lo tanto, elmnimo buscado es cero y se alcanza en este intervalo. Por otro lado, para x0 = 2,la ecuacion (12) tiene una sola raz, la cual es x = 2, y por ultimo, para x0 < 2, laecuacion (12) siempre tiene dos races. Por ejemplo, cuando x0 = 1, las races son1 y 3. Por lo tanto, las condiciones iniciales adecuadas se encuentran en el conjunto{x0 R : x0 > 2}. Como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Grafica de x f1(x).



Cuando seleccionamos un punto de partida x0 tal que la ecuacion (11) no tieneraces reales, entonces todas las races reales de la ecuacion F (x) = 0 pueden serencontradas en una de las curvas de H1(0) que contiene a x0 y por lo tanto laecuacion puede resolverse recorriendo una sola trayectoria, siempre que el numerode races reales de F (x) = 0 sea par. En el caso que se tenga mas de una ecuacion,algunas veces sera necesario incluir un dominio complejo que conecte las races quese encuentren en islas para alcanzar todas las races. Por otro lado, cuando F (x) = 0tiene un numero impar de races, el numero de mnimo de races de la ecuacion(11) puede ser mayor o igual a uno [5]. Es importante mencionar que en algunosproblemas puede ocurrir que sea mucho mas difcil determinar la region donde sealcanza el mnimo de races para la ecuacion(11) que resolver F (x) = 0, por lo queesto representa una debilidad del criterio.

Un ejemplo de una ecuacion con un numero impar de races reales es

f2(x) = x3 6x2 + 11x 6 = 0, (13)

cuyas races son 1, 2 y 3.

Para este ejemplo, la ecuacion (11) se convierte en

x3 6x2 + 10x 6 + x0 = 0, (14)

de donde podemos despejar x0 y tener

x0 = x3 + 6x2 10x+ 6. (15)

Para obtener el intervalo donde el numero de races reales de la ecuacion (14)es mnimo, primero calculamos sus puntos crticos, los cuales son x1 = 2 + 13

6 y

x2 = 2 13

6. Despues sustituimos los valores de x1 y x2 en la ecuacion (15) yobtenemos x10 = 2 +

49

6 y x10 = 2 49

6, los cuales corresponden a un maximo y a

un mnimo de la ecuacion (15), respectivamente, tal como se aprecia en la figura 3. Deeste modo, obtenemos que el numero mnimo de races reales de la ecuacion (14) esuno para x0 > 2 + 49

6 y x0 < 2 49

6. Por lo tanto, por el criterio de seleccion, las

condiciones iniciales adecuadas para este ejemplo son xc0 {x0 R : x0 > 2 + 49

6o x0 < 2 49

6}.

El exito de la aplicacion del criterio para este ejemplo se muestra en la figura 4para diversos valores de x0.

Para los valores de x0 = 0.5, x0 = 0.8 y x0 = 3.5, figuras 4 (a), 4 (b) y 4 (h),respectivamente, se observa que todas las races de f2 se encuentran sobre una mismarama de la curva homotopica y pueden ser alcanzadas rapidamente desde la condicioninicial.

Para x0 = 1 y x0 = 1.5, figuras 4 (c) y 4 (d), respectivamente, solamente se obtieneuna raz de f2, la cual es x = 1, mientras que las otras dos races, x = 2 y x = 3, seencuentran en otra rama de la curva homotopica, por lo que no pueden ser alcanzadasdesde la condicion inicial.



Figura 3. Grafica de x f2(x).

Para x0 = 2, en la figura 4 (e) se observa que el camino se bifurca en tres ramaslas cuales se dirigen hacia cada una de las races de f2, haciendo difcil alcanzar todaslas races, ya que en la bifurcacion se debe escoger una rama a seguir, por lo que solose alcanza una raz desde la condicion inicial x0 = 2.

Por ultimo, para x0 = 2.5 y x0 = 3, figuras 4 (f) y 4 (g), respectivamente, solamentese alcanza una raz de f2, la cual es x = 3, mientras que las otras dos races, x = 1 yx = 2, se localizan en otra rama de la curva homotopica y no pueden ser alcanzadasdesde la condicion inicial.

En la siguiente subseccion presentaremos un ejemplo en el cual se aplica el criteriode seleccion de la condicion inicial para resolver un sistema de ecuaciones no linealesy mostraremos los resultados obtenidos.

3.2 Aplicacion del criterio a un sistema de ecuaciones

Consideremos el problema de encontrar todos los puntos crticos de la funcion deHimmelblau

g(x) = (x21 + x2 11)2 + (x1 + x22 7)2, (16)

definida en [7].

Los puntos crticos de g son las races del sistema de ecuaciones

g/x1 = 4x31 + 4x1x2 42x1 + 2x22 14 = 0g/x2 = 2x21 + 4x1x2 + 4x

32 26x2 22 = 0 (17)

Factorizando el sistema (17) obtenemos

f3(x) = 2x31 + 2x1x2 21x1 + x22 7 = 0f4(x) = x21 + 2x1x2 + 2x

32 13x2 11 = 0 (18)



Figura 4. Curvas de nivel de H(x, t) = 0 para f2.

Lin y otros en 1987 obtuvieron todas las races reales del sistema (18), a partir deuna condicion inicial, x10 = x20 = 0.4, usando la homotopa de Newton [6]. Nosotrosvamos a resolver el sistema (18) usando la homotopa de punto fijo.



Aplicando el criterio de seleccion del punto de partida, dado por la ecuacion (11),el sistema (18) se convierte en

2x31 + 2x1x2 22x1 + x22 7 + x10 = 0x21 + 2x1x2 + 2x

32 14x2 11 + x20 = 0 (19)

Resolviendo numericamente el sistema (19), para valores de x10 = x20 , obtenemosque para valores de x10 = x20 21.736520 y para valores de x10 = x20 38.064263,se obtiene el mnimo de races del sistema (19), el cual es uno. Por lo tanto, el criterionos dice que las condiciones iniciales sobre la diagonal de R2, las cuales proporcionantodas las soluciones del sistema (18), recorriendo una sola trayectoria, son las queviven en el conjunto

{(x0, x0) R2 : x0 21.736520 o x0 38.064263}.

Para ejemplificar el criterio de seleccion de la condicion inicial presentamos las cur-vas correspondientes a la homotopa de punto fijo con condiciones inicialesx10 = x20 = 50. Al hacer el seguimiento de las trayectorias usando el algoritmohiperesferico [4], se obtienen las 9 races reales del sistema (18), y las graficas obteni-das se muestran en las figuras 5, 6 y 7. En el cuadro 1, mostramos los valores de lassoluciones correspondientes al sistema 18.

Figura 5. Grafica de x1 contra x2 del sistema (18).

Es importante mencionar que si se aplica la homotopa de punto fijo con condicio-nes iniciales que no cumplen el criterio de seleccion, entonces no se logra obtener todaslas soluciones del sistema (18). Por ejemplo, para la condicion inicial x10 = x20 = 0solamente se obtiene una raz, la cual es x1 = 3.000002, x2 = 2.000003. Nuevamente,este ejemplo muestra la importancia de hacer una adecuada eleccion de la condi-cion inicial para encontrar todas las soluciones del sistema sobre una misma curvahomotopica.



Figura 6. Curva homotopica del sistema (18) respecto a x1 para x10 = 50.

Figura 7. Curva homotopica del sistema (18) respecto a x2 para x20 = 50.

4. Conclusiones

Una de las ventajas que presenta el metodo homotopico de punto fijo sobre losmetodos de convergencia local es que para resolver sistemas de ecuaciones no li-neales, solo requiere de una adecuada condicion inicial x0 para poder encontrar todaslas soluciones del sistema. Mientras que en un sistema con muchas races los otrosmetodos requieren de mas de una condicion inicial para poder encontrar todas lassoluciones. De ah la importancia del criterio antes presentado, el cual nos permitedeterminar una region en la cual podemos tomar la condicion inicial para el metodo



No. x1 x21 -3.77928 -3.283152 -3.07303 -0.081343 -2.80516 3.131274 0.08676 2.884205 -0.27088 -0.923176 -0.12790 -1.953807 3.58441 -1.848198 3.38515 0.073889 3.00001 2.00004

Cuadro 1. Soluciones reales del sistema (18) asociado a la funcion (16) para x10 = x20 = 50.

homotopico de punto fijo, garantizando que para esa condicion la curva homotopicarecorrera todas las soluciones.

Una desventaja que presenta este metodo es su implementacion computacional,debido a la naturaleza de las trayectorias involucradas [8]. Por otra parte, el criteriopresentado en este trabajo tiene una desventaja debido a que en la practica, es posibleque sea mucho mas dificil determinar la region donde se alcanza el mnimo de racespara la ecuacion (11) que resolver F (x) = 0.

Referencias

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[2] K. Hazaveh, D. J. Jeffrey, G. J. Reid, S. M. Watt y A. D. Wittkopf (2003); An Explo-ration of Homotopy Solving in Maple. Proceding, ascm2003, pp. 145-162.

[3] M. W. Hirsch (1997); Differential Topology. Springer-Verlag.

[4] H. Jimenez Islas (1988); Paquete Computacional para la Resolucion de Sistemas deEcuaciones Algebraicas no Lineales, mediante Homotopa con Seguimiento Hiperesferi-co. Tesis de Maestra en Ingeniera Qumica. Departamento de Ingeniera Qumica.Instituto Tecnologico de Celaya.

[5] M. Kuno y J. D. Seader (1988); Computing all Real Solutions to Systems of NonlinearEquations with a Global Fixed-point Homotopy. Ind. Eng. Chem. Res., 27(7), pp.1320-1329.

[6] W. J. Lin, J. D. Seader y T. L. Wayburn (1987); Computing Multiple Solutions toSystems of Interlinked Separation Columns. AIChE J., 33, pp. 886.

[7] G. V. Reklaitis, A. Ravindran y K. M. Ragsdell (1983); Engineering Optimization.Wiley, New York, pp. 69.

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[9] L. T. Watson (1979); A Globally Convergent Algorithm for Computing Fixed-pointsof C2 Maps. Appl. Math. Comput., 5, pp. 297-311.

[10] T. L. Wayburn y J. D. Seader (1987); Homotopy Continuation Methods for ComputerAided Process Design. Computer Chem. Engng., 11, pp. 7-25.


Dinamica de la familia logstica *

Juan Jimenez Fras **Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB

Gamaliel Ble Gonzalez ***Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB

En este trabajo se presenta un analisis de la dinamica de la familia logstica, enfo-cando el estudio al espacio de parametros donde se tiene una orbita atractora.

In this work an analysis of dynamics of the logistic family is presented particularly,the parameter space where there exist an attracting periodic orbit is studied.

Palabras clave: Palabras clave: Familia Logstica, Estabilidad, Bifurcacion.Keywords: Logistic Family, Stability, Bifurcation.

1. Introduccion

En modelacion matematica uno de los modelos mas sencillos que se ha usado para elestudio de crecimiento de una poblacion es el logstico, gracias a que siendo un modelopolinomial de grado 2 presenta una gran variedad de comportamientos los cuales vandesde el orden hasta el caos, (vease [1]). El modelo logstico discreto esta asociadoa la familia de funciones logsticas fa : [0, 1] [0, 1] dada por fa(x) = ax(1 x)donde x [0, 1] y a R+.

Cuando a > 4, existe un conjunto abierto y denso de puntos cuya orbita tiendea menos infinito, en otras palabras, casi todos los puntos tienden a menos infinito.Por otro lado, tenemos puntos que no tienden a menos infinito como son los puntosperiodicos de fa, los cuales pertenecen al intervalo [0, 1]. Si tomamos todos los puntoscuya orbita permanece en [0, 1] obtenemos un conjunto de Cantor, cuya medida deLebesgue es cero para a (4,), (vease [1]).

Si el parametro a es menor o igual que 4, el intervalo [0, 1] es invariante bajo fay por lo tanto todas las orbitas de los puntos x [0, 1] son acotadas. Esto implicaque si la orbita de x tiene un lmite, este pertenece al intervalo [0, 1]. Un problemainteresante es conocer todos los posibles lmites.

En este trabajo se presenta un analisis del comportamiento de las orbitas, cuandoexiste un punto fijo atractor o una orbita periodica atractora. Asimismo, se explica labifurcacion que presentan las orbitas al pasar de atractoras a repulsoras. Todo esto,se hara para a (0, 4].

Este artculo esta estructurado de la siguiente manera. En la segunda seccion se

*Recibido el 14 de enero de 2008 y aceptado el 23 de marzo de 2008**Direccion postal: Carr. Cunduacan-Jalpa Km 1, Cunduacan Tabasco, Mexico. A.P. 24 C.P.

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86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electronico: [email protected]


16 Juan Jimenez Fras y Gamaliel Ble Gonzalez

estudian los puntos fijos y periodicos de una funcion y se presentan algunas defini-ciones basicas en sistemas dinamicos, como estabilidad de puntos periodicos. En latercera seccion se analiza la estabilidad de los puntos fijos de la familia logstica. Enla cuarta seccion se presenta el fenomeno de bifurcacion doblamiento de periodo en lafamilia logstica y se muestra graficamente el diagrama de bifurcacion. Por ultimo, enla quinta seccion se presenta la importancia que juega el punto crtico en el estudiode los sistemas dinamicos discretos.

2. Puntos Periodicos

En esta seccion consideremos f : X X una funcion continua de un espaciometrico X en si mismo. Supongamos que X es el conjunto de condiciones inicialesdel sistema, si tomamos x en X, entonces f(x) representa la evolucion del estadox en una unidad de tiempo, entonces estamos interesados en conocer la evoluciondel sistema al paso del tiempo. Por ejemplo, si x representa la cantidad inicial deindividuos de una poblacion y f(x) la poblacion despues de una unidad de tiempo,entonces la sucesion {fn(x)} es el numero de individuos que la poblacion tiene altiempo n, dado que inicialmente tenia x. Una pregunta interesante es: Que ocurrecon la poblacion cuando dejamos correr el tiempo? Es decir, si

fn(x) = f f . . . f(x)Cual es el lmite de la sucesion {fn(x)} cuando n tiende al infinito?.

Observemos que si este lmite existe y es L entonces como f es continua,

f(L) = f( lmn f

n(x))

= lmn f(f

n(x))

= lmn f

n+1(x)

= L.

Por lo tanto, L es un punto fijo. Esto nos lleva a estudiar con detalles los puntos fijosy posteriormente los puntos periodicos de f si tomamos subsucesiones convergentesde {fn(x)}, (vease [5]).

Definicion 2.1. Se dice que x X es un punto fijo de f si f(x) = x, y x es un puntoperiodico de f de periodo k si fk(x) = x, y f j(x) 6= x para 0 < j < k.

Definicion 2.2. Para x0 X, la orbita de x0 bajo f es el conjuntoOf (x0) = {x0, f(x0), f2(x0), ...}.

Observe que la orbita de un punto periodico x de f de periodo k, tambien llamadopunto k periodico, tiene k elementos y se le llama k ciclo o ciclo de periodo k.

Ejemplo 1. Los puntos fijos de la funcion logstica fa(x) = ax(1x) son las solucio-nes de fa(x) = x. Las cuales son x1 = 0 y x

2 = 1 1a . A este ultimo lo denotaremos

por pa.


Dinamica de la familia logstica 17

Consideremos ahora la clasificacion de los puntos periodicos.

Definicion 2.3. Sea X R, f : X X una funcion de clase C1 y x0 un puntok periodico de f . Entonces

1. El punto x0 es atractor(estable) siDf k(x0)

< 1.

2. El punto x0 es repulsor(inestable) siDf k(x0)

> 1.

3. El punto x0 es neutral o indiferente siDf k(x0)

= 1.

Aqu D denota la derivada de f .

Si fk(x0) = x0 y xi = f i(x0) con i = 1, 2, . . . , k 1, por la regla de la cadena paraderivada

d

dxfk(x0) = f (fk1(x0)) . . . f (f(x0))f (x0) =

k1i=0

f (xi).

Esto implica que Dfk(xi) = Dfk(x0) para toda xi que pertenece al ciclo periodico = {x0, x1,x2, ..., xk1}, por lo que la derivada no depende del punto del ciclo y sedice que el ciclo es atractor si

Dfk(xi) < 1 y repulsor si Dfk(xi) > 1 para alguni = 0, 1, . . . , k 1.

Ejemplo 2. El punto fijo pa de fa es atractor cuando 1 < a < 3 ya que f a(pa) = 2a,es repulsor cuando a > 3 e indiferente cuando a = 1 o a = 3.

Ejemplo 3. Sea f(x) = x3, los puntos fijos de f son: 0 y 1. Por otro ladof (x) = 3x2, como f (0) = 0, tenemos que 0 es atractor. Ademas f (1) = 3, as con-cluimos que f tiene dos puntos fijos repulsores 1 y -1.

En la siguiente seccion mostraremos porque se les da el nombre de atractor orepulsor.

3. Estabilidad de Puntos Fijos

Como vimos en el ejemplo 1 los puntos fijos de la funcion logstica fa(x) = ax(1x)son: x1 = 0 y pa = 1 1a , por otro lado, el punto fijo 0 es atractor para 0 < a < 1 yrepulsor para a > 1.

Proposicion 3.1. Si 0 < a < 1 entonces lmn fna (x) = 0 para toda x [0, 1].

Demostracion. Sea x0 [0, 12 ]. Como a < 1, fa(x) < x y cuando x [0, 12 ] fa(x) escreciente, por consiguiente tenemos la sucesion

fna (x0) < fn1a (x0) < < fa(x0) < x0.



Esta sucesion xn = fna (x0) es decreciente y esta acotada inferiormente por 0. Porlo tanto, converge y como vimos al principio de la seccion 2 el lmite debe ser unpunto fijo de fa(x). Como el unico punto fijo es 0 para 0 < a < 1 se tiene

lmn f

na (x0) = 0.

Si x0 [ 12 , 1] entonces fa(x0) [0, 12 ] y por lo anterior se tiene lmn fna (x0) = 0(vease figura 1).

Figura 1. Grafica de fa(x) con 0 < a < 1.

Proposicion 3.2. Si 1 < a < 3 entonces lmn fna (x) = pa para toda x (0, 1).

Demostracion. Consideremos 1 < a 2 entonces 0 < pa 12 . La funcion fa(x)tiene un maximo global en 12 y fa(

12 ) =

a4 12 . Ademas, la funcion fa es creciente en

(0, pa) (vease figura 2).

Figura 2. Grafica de fa(x) con 1 < a 2 y las iteradas de x0 (0, pa).

As para x0 (0, pa) tenemos que x0 < fa(x0), por consiguiente,x0 < fa(x0) < f2a (x0) <



Esta es una sucesion creciente y acotada por 1, por lo tanto

lmn f

na (x0) = pa.

Si x0 (pa, 12 ) la funcion fa es creciente y x0 > fa(x0). Entonces la sucesion fna (x0)es decreciente y acotada por cero. Por lo tanto converge a pa (vease figura 3).

Figura 3. Grafica de fa(x) con 1 < a 2 y las iteradas de x0 (pa, 1/2).

Si x0 ( 12 , 1) entonces fa(x0) (0, 12 ) (vease figura 4) y en consecuencialmn f

na (x0) = pa.

Figura 4. Grafica de fa(x) con 1 < a 2 y las iteradas de x0 (1/2, 1).

Ahora supongamos que 2 < a < 3 entonces 12 < pa y fa(x0) > x0 para todax0 (0, 12 ) (vease la figura 5). En este caso la prueba la dividiremos en cuatroincisos:

(i) Consideremos el intervalo [ 12 , pa] y mostremos que es invariante por f2a . Como f

2a

es monotona en [ 12 , pa] para encontrar la imagen del intervalo es suficiente determinarlas iteradas en los puntos extremos:

f2a ([12, pa]) = fa([pa,

a

4]) = [a(

a

4)(1 a

4), pa].



Figura 5. Graficas de fa(x) y f2a (x) con 2 < a < 3 y las iteradas de x0 (0, 1/2).

Como queremos mostrar que f2a ([12 , pa]) [ 12 , pa], basta mostrar que a( a4 )(1 a4 ) > 12 ,

esto es equivalente a

0 > a3 4a2 + 8 = (a 2)(a2 2a 4).

Como las races de a2 2a 4 son 15, el segundo factor es negativo para a < 3 yel factor (a 2) es positivo (porque a > 2), as el producto es negativo. Por lo tanto,f2a (

12 ) = a(

a4 )(1 a4 ) > 12 y f2([ 12 , pa]) [ 12 , pa]. Como f2a ( 12 ) esta por encima de la

diagonal, se sigue que f2a (x0) esta por encima de la diagonal y x0 < f2a (x0) < pa para

12 < x0 < pa. Esto genera una sucesion creciente y por lo tanto lmn f

na (x0) = pa

para toda x0 [ 12 , pa].(ii) Si pa = 1a < 1/2 entonces fa(pa) = pa, fa([pa,

12 ]) = fa([

12 , pa]), y

f2a ([pa,12 ]) [ 12 , pa]. As, todos los puntos en [pa, 12 ] convergen a pa.

(iii) Ahora si consideramos x0 < pa. La funcion fa es monotona creciente en esteintervalo, entonces existe k > 0 tal que fka (x) [pa, pa]. Por lo tanto fk+na (x) pacuando n.

(iv) Finalmente si consideramos pa < x0 < 1 entonces fa(x0) (0, pa) y por (i),(ii) y(iii), las iteradas de fa(x0) convergen a pa.

Para valores de a > 3, ambos puntos fijos son repulsores por lo que la preguntanatural es, si existen puntos periodicos atractores de periodo mayor o igual a 2, estolo analizaremos en la siguiente seccion.



4. Bifurcacion

Para hallar una orbita de periodo 2 es necesario resolver la ecuacion f2(x) = x, lacual nos da una ecuacion de grado 4

a3x4 + 2a3x3 a2(a+ 1)x2 + a2x = x,

la solucion a esta ecuacion es

x1 =(a+ 1)(a 3)(a+ 1)

2ay x2 =

(a+ 1) +

(a 3)(a+ 1)2a

.

As, fa tiene una orbita de periodo 2 tambien llamada 2-ciclo cuando(a 3)(a+ 1) > 0, esto es si

1. (a 3) > 0 y (a+ 1) > 0 o2. (a 3) < 0 y (a+ 1) < 0.

En el caso 1 tenemos que a > 3. El caso 2 no tiene sentido porque solo estamosconsiderando a > 0. Por lo tanto fa tiene un 2-ciclo siempre que a > 3. Para ver laestabilidad del 2-ciclo {x1, x2} verificamosDf2(x1) < 1.

Esto es|Df(x1)Df(x2)| < 1.

Luego, tenemos que 1 < a2(1 2x1)(1 2x2) < 1, de donde se obtiene que el2-ciclo es atractor para 3 < a < 1 +

6. Este intervalo corresponde al conjunto de

parametros donde fa tiene una orbita atractora de periodo 2 y se le llama ventanade periodo dos. De igual manera que en la proposicion 3.2 se puede mostrar que salvopa y la frontera del intervalo (0, 1) las iteradas de los puntos converge a este 2-cicloatractor. Cuando a = 1 +

6, Df(x1)Df(x

2) = 1 por lo que se tiene un ciclo

indiferente y si a > 1 +

6 entonces el 2-ciclo {x1, x2} es repulsor.Hasta ahora tenemos que el punto fijo pa es atractor cuando 1 < a < 3, y pierde

su estabilidad cuando a > a1 = 3. Despues de este valor, aparece un 2-ciclo el cual esatractor para cuando 3 < a < 1 +

6 y pierde su estabilidad para a > a2 = 1 +

6.

El fenomeno observado en a1 = 3 y a2 = 1 +

6 se le llama bifurcacion y en estecaso es del tipo doblamiento de periodo. As, apartir de 1 +

6 se tiene un intervalo

de parametros en los cuales fa tiene una orbita atractora de periodo 4.

Para encontrar la orbita de periodo 4 tambien llamada 22-ciclo debemos de resolverla ecuacion

f4(x) = x,

lo cual implica resolver una ecuacion de grado doce, que no es posible resolver conradicales. Por lo tanto, hacemos uso del analisis numerico para encontrar el 22-ciclo.Resulta que el 22-ciclo aparece cuando a > a2 = 1+

6 y este es atractor para cuando

1 +

6 < a < 3,54409 y pierde estabilidad para a > a3 = 3,54409.... Nuevamente,



n an an an1 n = anan1an+1an1 3 2 3,449489 . . . 0,449489 . . . 3 3,544090 . . . 0,094601 . . . 4,751419 . . .4 3,564407 . . . 0,020317 . . . 4,656248 . . .5 3,568759 . . . 0,0043521 . . . 4,668321 . . .6 3,569692 . . . 0,00093219 . . . 4,668683 . . .7 3,569891 . . . 0,00019964 . . . 4,669354 . . .

Cuadro 1. Constante de Feigenbaum.

este proceso se repite y para a > a3, el 22-ciclo se bifurca en un ciclo de periodoocho atractor. De esta manera se obtiene una sucesion de parametros {an} los cualesdelimitan el intervalo de parametros donde se tiene una orbita atractora de periodo2n. Es importante observar que estas orbitas aparecen como atractoras y se conviertenen repulsoras. Ademas, se puede demostrar que para a > 4 todas las orbitas periodicasson repulsoras y que de hecho forman un conjunto de Cantor en [0, 1] (ver [1], [2]).En el cuadro 1 se muestran los primeros resultados de esta sucesion.

Al respecto, podemos hacer las siguientes observaciones:

1. La sucesion {an} tiene un lmite ya que es una sucesion creciente y acotada por 4.Este lmite es a 3,8145.

2. El tamano de ventanas (an an1) se va reduciendo cada vez mas y eventualmente seaproxima a cero.

3. Se genera una sucesion n =anan1an+1an que converge a una constante universal, valida

para una familia mas general conocida como funciones unimodales, ver [4]. El lmitede esta sucesion es llamado constante de Feigenbaum en honor a su descubridor yes aproxi- madamente

= lmn

n 4,669201609 . . . .

Podemos representar lo anterior en una grafica llamada diagrama de bifurca-cion, el cual en el eje horizontal presenta al parametro a y en el eje vertical presentalas iteradas fna (x0) cuando n de un punto inicial especfico x0, de tal forma queel diagrama muestra la conducta lmite de la orbita de x0. En todos los casos, en lafigura 6 se parte del mismo valor inicial x0 = 12 que es el punto crtico de fa.

Observemos que excepto por las ventanas de periodo 2n, la mas grande en eldiagrama de bifurcacion ocurre para los valores de a entre 3,828 y 3,857. Esta ventanacorresponde a los parametros donde fa tiene un punto periodico atractor de periodo 3y la mostramos en la figura 7. En ese intervalo aparece una orbita de periodo 3 establela cual esta alrededor de a = 1 +

8 3,828. Este 3-ciclo pierde su estabilidad y da

origen a un 6-ciclo estable. El doblamiento de periodo continua hasta a 3,8415 . . .(correspondiente a a) y por el teorema de Sarkovskii (vease [1],[3]) apartir de esteparametro se tienen orbitas de todos los periodos y es posible obtener caos. As quepara a > 3,8415 se observa una region negra porque el diagrama indica que las orbitasatractoras que se tienen son de periodo muy grande o no existen y en cuyo caso setiene caos.



Figura 6. Diagrama de Bifurcacion.

Figura 7. Ventana de periodo 3.

5. Rol del Punto Crtico

El diagrama de bifurcacion que mostramos en la seccion anterior fue hecho con laorbita del punto crtico de fa, por lo que en esta seccion explicaremos la importanciade la orbita del punto crtico en la dinamica global de fa. En particular, en estaseccion mostraremos que si fa tiene una orbita atractora, la orbita del punto crtico,siempre converge a ella.

Definicion 5.1. Sea f : I R I una funcion de clase C3(I) y sea x un punto nosingular de f . La derivada Schwarziana de f se define como

Sf(x) =f (x)f (x)

32

[f (x)f (x)

]2. (1)

Definicion 5.2. Sea C(f) = {x I : f (x) = 0} el conjunto de puntos crticos de f ,decimos que f tiene derivada Schwarziana negativa si:

1. Sf(x) < 0,x / C(f).



2. lmxx0 Sf(x) = ,x0 C(f).

Ejemplo 4. Tomemos I = [0, 1] y fa(x) = ax(1 x) entonces,

Sfa(x) =6

(1 2x)2 < 0

para todo x I r { 12} ylmx 12

Sfa(x) = .

Por lo tanto, fa tiene derivada Schwarziana negativa.

Teorema 5.1. (Regla de la cadena para derivadas schwarzianas). Suponga que F yG son funciones de clase C3. Entonces

S(F G)(x) = SF (G(x)) (G(x))2 + SG(x).

Demostracion. Usando la regla de la cadena para derivadas ordinarias, tenemos

(F G)(x) = F (G(x)) G(x)(F G)(x) = F (G(x)) (G(x))2 + F (G(x)) G(x).

Diferenciando una vez mas

(F G)(x) = F (G(x)) (G(x))3 + 3F (G(x)) G(x) G(x)+F (G(x)) G(x).

Sustituyendo las expresiones anteriores en la expresion 1 obtenemos el resultadodeseado.

Corolario 5.1. Suponga que SF < 0 y SG < 0. Entonces S(F G) < 0. En parti-cular, si SF < 0, entonces SF n < 0.

Demostracion. S(F G)(x) = SF (G(x)) (G(x))2 + SG(x) < 0.

Definicion 5.3. (Conjunto Estable). Sea x un punto fijo atractor de f . El dominiode atraccion de x es el conjunto

Af (x) = {x : lmn f

n(x) = x}.

El conjunto estable (tambien llamado cuenca inmediata de atraccion) Af (x), es la

componente conexa de Af (x) que contiene a x.

Los conjuntos estables para puntos k periodicos atractores se definen usando afk en vez de f . Por definicion, los puntos k periodicos atractores siempre tienendominios inmediatos de atraccion, diferentes del vaco.

Ejemplo 5. 1. La funcion f(x) = x2 tiene un punto fijo atractor x = 0 y la cuencainmediata de x es el intervalo (-1,1).



2. La funcion fa(x) = ax(1 x) tiene un punto fijo atractor pa = 1 1a cuando a (1, 3)y Afa(pa) = (0, 1).

Teorema 5.2. Si Sf < 0 y x es un punto k periodico atractor para f , entoncesse cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones.

1. El dominio inmediato de atraccion de x se extiende a + o o2. Existe un punto crtico c de f tal que c Af (x). Es decir, la orbita de c converge a

x.

La demostracion de este teorema puede ser revisada en [1].

En el caso logstico se puede ver que si |x| > 1, la orbita de x se va a menosinfinito. Por lo tanto, ninguna cuenca inmediata de atraccion se extiende a . Yaque 12 es el unico punto crtico para fa, se sigue del teorema que fa tiene a lo mas unciclo atractor y que si existe una orbita atractora entonces 12 pertenece a la cuencainmediata de atraccion de esta orbita periodica. Por esta razon, en la familia logsticabasta con iterar el punto crtico para encontrar la orbita atractora.

En general, el tener una derivada Schwarziana negativa limita severamente lostipos de dinamicas que pueden ocurrir, ya que para funciones f definidas en intervalosacotados y con Sf < 0 cada orbita periodica atractora de f debe atraer al menos unpunto crtico de la funcion f .

Referencias

[1] Robert L. Devaney (1992). A first course in chaotic dynamical sistems, Adison-Wesley.

[2] Richard A. Holmgren (1996). A first course in discrete dynamical sistems, Springer-Verlag.

[3] S. N. Elaydi (2000). Discrete chaos, Chapman and Hall, CRC Press.

[4] C. Robinson (1998). Dynamical Systems, Stability, Simbolic Dynamics and Chaos, CRCPress.

[5] G. Ble Gonzales (2002). Conjuntos de Julia y Conjunto de Mandelbrot, Revista deCiencias Basicas, UJAT, no. 1, pp. 23-30.


Seguimiento de curvas homotopicas

Mario Alberto Soler Lopez *Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB

Juan Barajas Fernandez **Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DAIA

En este trabajo se analiza un metodo para dar seguimiento a trayectorias en el espa-cio, conocido como metodo hiperesferico. En particular, este metodo permite resolversistemas no lineales, usando un metodo homotopico.

In this paper we analize a method for following trajectories in a three dimensionalspace. This method is known as the hiperspherical method. In particular, with thismethod the non linear equations system can be solved using a homotopy method.

Palabras clave: Sistemas de Ecuaciones no Lineales, Metodos Homotopicos, MetodoHiperesferico.Keywords: Nonlinear Equations System, Homotopy Method, Hiperspherical Method.

1. Introduccion

Cuando se quiere resolver sistemas de ecuaciones no lineales de la forma

F (x) = 0 (1)

donde F : Rn Rn, se usan por lo general metodos de convergencia local comoel metodo de Newton. Sin embargo, con estos metodos es difcil obtenerlas cuandoel sistema tiene multiples soluciones debido a que cada una de ellas depende de unacondicion inicial. Ademas, si se ha encontrado una solucion del sistema, estos metodosno proporcionan informacion sobre la existencia y localizacion de las otras solucio-nes. En los ultimos anos se han utilizado para resolver estos sistemas, los metodos decontinuacion homotopica, [1].

Estos metodos consisten en modificar el sistema (1), definiendo

H(x, t) = tF (x) + (1 t)G(x), (2)

usando una funcion G : Rn Rn con las mismas caractersticas que F solo que sussoluciones son conocidas. La finalidad de introducir la nueva variable t para resolverel sistema (1) es que las soluciones conocidas del sistema G(x) = 0 nos lleven a lassoluciones de F (x) = 0 recorriendo el conjunto de trayectorias homotopicas que vivenen H1(0), [2].

*Direccion postal: Carr. Cunduacan-Jalpa Km 1, Cunduacan Tabasco, Mexico. A.P. 24 C.P.86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electronico: [email protected]

**Direccion postal: Carr. Cunduacan-Jalpa Km 1, Cunduacan Tabasco, Mexico. A.P. 24 C.P.86690. Tel.(01)914 336-0940. Correo electronico:[email protected]


Seguimiento de curvas homotopicas 27

El lector puede observar claramente la siguientes igualdades:

H(x, 0) = G(x),H(x, 1) = F (x),

(3)

podemos notar que si H es continua entonces al recorrer la curva homotopica H(x, t)desde t = 0 hasta t = 1 encontraremos una solucion del sistema original. De hecho,todas las soluciones de (1) viven en la superficie de nivel H(x, t) = 0 y correspondena t = 1.

Para dar seguimiento a las curvas de nivel de H se han desarrollados diversosalgoritmos de prediccion-correccion, [2]. En este trabajo explicaremos con detalle elalgoritmo hiperesferico presentado en el trabajo de Jimenez Islas, [3].

2. Algoritmo hiperesferico tridimensional

El algoritmo de seguimiento hiperesferico consiste en recorrer la trayectoria ho-motopica mediante esferas. En esta seccion consideramos el sistema (2) con x R2 yt R. As las curvas de nivel de H(x, t) = 0 viven en R3.

Para poder efectuar con eficiencia el seguimiento de tal curva homotopica median-te este algoritmo, es necesario predecir el lugar geometrico que ocupa esta. Para ellose usan los vectores tangentes que se obtienen del sistema de ecuaciones no lineales aresolver.

Para generar los vectores tangentes necesarios para predecir la trayectoria del ca-mino homotopico, supongamos que las curvas estan parametrizadas por el parametrop, es decir,

H[x(p), t(p)] = H[x1(p), x2(p), t(p)] = 0. (4)

Si agrupamos el vector x y el escalar t en un vector auxiliar y tenemos:

H(y(p)) = 0 y(p) H1(0).

Esta equivalencia nos afirma que las soluciones de nuestro sistema original vivenen la curva homotopica H1(0) que queremos seguir mediante un algoritmo hiper-esferico y que corresponden a t = 1.

Si derivamos la ecuacion (4) con respecto a p, empleando la regla de la cadenaobtenemos:

H

x1x1 +

H

x2x2 +

H

tt = 0, (5)

donde xi denota la derivada de xi con respecto a p para i = 1, 2 y de igual manerapara t.


28 Mario Alberto Soler Lopez y Juan Barajas Fernandez

Sea H = (H1, H2). As, la matriz jacobiana de H denotada por D es

D =

H1x1

H1x2

H1t

H2x1

H2x2

H2t

.

Denotemos por Di a la matriz de 2 2 que se ha obtenido de eliminar la columnai de la matriz D, donde i = 1, 2, 3; es decir,

D1 =

H1x2

H1t

H2x2

H2t

D2 =

H1x1

H1t

H2x1

H2t

D3 =

H1x1

H1x2

H2x1

H2x2

Habiendo introducido esta notacion, el sistema (5) se puede reescribir de la si-

guiente formaD yT = 0 (6)

Pero esta ecuacion, es equivalente a

D3 xT = HTt t (7)

donde x = (x1, x2) y Ht = (H1t

,H2t

).

En este trabajo se supone que D tiene rango 2 y por lo tanto existe i 1, 2, 3 talque detDi 6= 0. Supongamos que la matriz D3 es la que tiene rango 2, es decir; queel determinante de D3 es distinto de cero, entonces podemos resolver el sistema (7)para x1 y x2.

Resolviendo el sistema (7) por la regla de Cramer y al hacer una permutacion decolumnas se obtiene:

x1 = (1)(1)detD1detD3 t y x2 = (1)detD2detD3

t

Ya que el sistema (7) que se resolvio es de dos ecuaciones con tres incognitas,tenemos un grado de libertad y podemos tomar

t = (1) detD3, (8)

para eliminar el determinante que se encuentra en el denominador de x1 y x2.

As se obtiene:x1 = detD1x2 = detD2t = detD3.

(9)



En caso que el determinante de D3 es cero, se puede resolver el sistema (6) enterminos de x1 y t y se llega al mismo sistema (9).

El haber introducido la nueva notacion nos lleva a generalizar facilmente el metodopara H : Rn+1 Rn en cuyo caso se tienen n ecuaciones y (n+ 1) incognitas. As lassoluciones para el caso en que detD(n+1) 6= 0 son:

yi = (1)i detDit = (1)n+1 detD(n+1)

(10)

donde i = 1, . . . n.

La ecuacion (9) como la ecuacion (10) para el caso de n + 1 variables nos pro-porciona las pendientes del camino homotopico, por lo que para hacer el seguimientosera necesario resolver numericamente este sistema de ecuaciones diferenciales ordi-narias. Para seguir las trayectorias homotopicas representadas en las soluciones de (9)con la finalidad de acotar esta region de interes usaremos un metodo de prediccion-correccion; donde para predecir se usa el metodo de Euler y para corregir el metodoclasico de Newton.

El algoritmo de seguimiento para el caso de tres dimensiones consiste en:

1. El sistemaf1(x1, x2) = 0

f2(x1, x2) = 0,

se transforma en:H1(x1, x2, t) = tf1 + (1 t)g1H2(x1, x2, t) = tf2 + (1 t)g2

donde G = (g1, g2) es una funcion de R2 en R2 con soluciones conocidas. Vamos asuponer que x0 = (x

01, x

02) es la solucion de G, es decir G(x0) = 0.

2. Se fija r > 0 y se toma la esfera con centro en x0 = (x0, 0) y radio r(ver figura 1).

Figura 1. Representacion del seguimiento hiperesferico.



3. Usando la ecuacion (9) se calculan los vectores tangentes correspondientes a x0. Elvector tangente a H1(0) en x0 se elige de tal manera que intersecte la superficiede la esfera de radio r en el punto xp (ver figura 1). Este punto xp = (xp1, x

p2, t

p) secalcula efectuando la prediccion de Euler usando los vectores pendiente calculadosanteriormente mediante:

xp1 = x01 + p x1

xp2 = x02 + p x2

tp = t0 + p t

(11)

donde el paso p de la ecuacion anterior se elige de tal manera que el vector xp seala interseccion del vector pendiente con la esfera de radio r. Resolviendo la ecuacionde la esfera se obtiene

p = r[(x1)2 + (x2)2 + (t)2]1/2

. (12)

El signo se toma segun la direccion en la que se hace el seguimiento de la trayectoriahomotopica, () si es a la izquierda de 0 o (+) si el recorrido sera hacia la derecha de 0.

4. Los valores obtenidos en la prediccion de Euler se toman como condicion inicial en lasolucion del siguiente sistema usando el metodo de correccion de Newton,

tF (x1, x2) + (1 t)G(x1, x2) = 0[x1 x01]2 + [x2 x02]2 + [t t0]2 r2 = 0.

(13)

La solucion de este sistema la denotamos por xc = (xc1, xc2, t

c) y es la interseccion dela esfera con la curva H1(0) como se observa en la figura 1.

5. El punto de interseccion entre la esfera y la curva homotopica xc = (xc1, xc2, t

c) obtenidopor la aproximacion de Newton se convierte en el nuevo centro de la siguiente esferay regresamos al paso (3) y (4), los cuales se repiten sucesivamente hasta alcanzar t = 1.

El conjunto de puntos de interseccion entre las esferas y el conjunto de nivel H1(0)constituyen la trayectoria homotopica buscada. Si la homotopa es de dimension su-perior n 3, lo que se toman son hiperesferas.

La ultima igualdad en (9) es de gran utilidad para evaluar el comportamiento delcamino homotopico; si la pendiente t cambia de signo pasando por cero, entoncesla curva homotopica presenta un retorno; mientras que si el valor absoluto de tes muy grande, se puede afirmar con un alto grado de confiabilidad, que el caminohomotopico ya no presentara retornos y en consecuencia, se puede dar por terminadoel seguimiento en esa direccion, [3].

3. Aplicacion del algoritmo hiperesferico

Para entender el algoritmo vamos a resolver el siguiente sistema de 2 ecuacionesno lineales de grado tres, [4],

f1(x, y) = 2x3 + 2xy 22x + y2 + 13f2(x, y) = x2 + 2xy + 2y3 14y + 9

(14)



Al aplicar una homotopa con G(x, y) = (x 100, y 100) obtenemos el siguientesistema de dos ecuaciones con tres variables x, y y t,

H1(x, y, t) = t(2x3 + 2xy 22x + y2 + 13) + (1 t)(x 100)H2(x, y, t) = t(x2 + 2xy + 2y3 14y + 9) + (1 t)(y 100)

(15)

Cuando se toma G(x) = x x0 con x y x0 en Rn la homotopa recibe el nombrede punto fijo y la solucion de dicha funcion G es trivial, [5].

Derivando con respecto a p el sistema (15) obtenemos:

(6tx2 + 2ty 23t + 1)x + 2t(x + y)y + (2x3 + 2xy + y2 23x + 113)t = 02t(x + y)x + (6ty2 + 2tx 15t + 1)y + (x2 + 2xy + 2y3 15y + 109)t = 0

Resolviendo obtenemos las expresiones para obtener x , y y t:

x =

2t(x + y) (2x3 + 2xy + y2 23x + 113)

(6ty2 + 2tx 15t + 1) (x2 + 2xy + 2y3 15y + 109)

y =

(6tx2 + 2ty 23t + 1) (2x3 + 2xy 23x + y2 + 113)

2t(x + y) (x2 + 2xy + 2y3 15y + 109)

t =

(6tx2 + 2ty 23t + 1) 2t(x + y)

2t(x + y) (6ty2 + 2tx 15t + 1)

(16)

Observemos que el punto (100, 100, 0) pertenece al conjunto de nivel H(x, y, t) = 0por lo que aplicaremos el metodo tomando este punto de partida.

Si tomamos r = 0.1 y aplicamos el algoritmo anterior entonces la primera predi-ccion de Euler xp dada por la ecuacion (11) es

xp = (99,92930319894375, 99,92927544754180, 0,3486357028791475 107).

Al aplicar el metodo de Newton para hacer la correccion de este ultimo valor seobtiene

xc = (99,92930318948802, 99,92927545699382, 3,493730840582393 108).

El vector xc se convierte en el nuevo centro de la siguiente esfera y as el procesode predecir con Euler y corregir con Newton se continua haciendo para recorrer lacurva desde t = 0 hasta encontrar la primera solucion que se obtiene al pasar port = 1. Despues de haber encontrado la primera solucion se sigue recorriendo la curvacon el mismo proceso hasta encontrar las otras soluciones.



Despues de haber corregido con Newton un numero finito de veces como el usua-rio considere necesario, se realizo el seguimiento la curva homotopica que pasa por(100, 100, 0) usando el algoritmo hiperesferico y se obtuvieron las siguientes 7 raicesreales,

No. Solucion x y1 3.253305670129768 -2.7122948101201952 0.7931824910824200 -2.8138106366736793 0.7122314565168610 0.85524790787031254 0.9875068601154065 1.8008897951814025 -3.369447483344526 2.5142731570103326 -3.453644608132328 1.1445673618930877 -4.255478510092482 -3.844649614454849

Cuadro 1. Soluciones reales del sistema (14)

Las figuras (2) y (3) muestran las graficas de las curvas que corresponden a y = 0y x = 0 respectivamente.

Figura 2. Seguimiento de la trayectoria H1(0) cuando y = 0.

Figura 3. Seguimiento de la trayectoria H1(0) cuando x = 0.



Otro ejemplo al cual le aplicamos el algoritmo es el siguiente sistema de grado dosel cual tiene cuatro raices como se muestra en la figura (4),

f(x, y) = x2 y2 1g(x, y) = x2 y2 (17)

Figura 4. Grafica de f(x, y) y g(x, y).

Las soluciones aproximadas del sistema (17) y calculadas mediante el algoritmohiperesferico tomando la homotopa de punto fijo son las siguientes:

No. Solucion x y1 -0.7074899784504700 0.70710953028074502 0.7100363911759170 0.70710668840241653 0.7085840795583560 -0.70709621506228854 -0.7101147160635320 -0.7071068749818655

Cuadro 2. Soluciones aproximadas del sistema (17)

Las figuras (5) y (6) muestran las graficas de las curvas que corresponden a y = 0y x = 0 respectivamente.

Figura 5. Seguimiento de la trayectoria H1(0) cuando y = 0.



Figura 6. Seguimiento de la trayectoria H1(0) cuando x = 0.

4. Conclusiones

Los sistemas de ecuaciones no lineales de segundo grado pueden ser resueltos porlos metodos de continuacion homotopica. En especial, cuando se toma la homotopade punto fijo resulta muy interesante el hecho de que en muchos sistemas con unasola condicion inicial se puede encontrar todas las soluciones reales. Es importantemencionar que al aplicar el algoritmo de seguimiento se deben tomar varias consi-deraciones, una de ellas es el radio de la esfera ya que la curva homotopica puedeavanzar muy lentamente hacia t = 1 y entonces se debe tomar un radio mas grande,tambien se debe tomar en cuenta que el usuario debe de fijar el numero de esferas conla que espera recorrer la trayectoria y encontrar todas las soluciones. Si esto ultimono pasa, entonces se debe incrementar el numero de esferas tomando en cuenta quela memoria de la PC puede saturarse.

Referencias

[1] T.L. Wayburn y J.D. Seader (1987); Homotopy continuation methods for computeraided process design. Computer Chem. Engng., 11, pp. 7-25.

[2] K. Hazaveh, D. J. Jeffrey, G. J. Reid, S. M. Watt, A. D. Wittkopf (2003); An explo-ration of homotopy solving in maple. WSPC/Trim Size: 9in x 6in for proceedings,ascm 2003, pp. 145-162.

[3] H. Jimenez-Islas (1996), SEHPE: Programa para la solucion de sistemas de ecuacio-nes no lineales mediante metodo homotopico con seguimiento hiperesferico. Avancesen Ing. Quim., 6, (2), pp.174-179.

[4] M. Kuno y J.D. Seader (1988); Computing all real solutions to systems of nonlinearequations with a global fixed-point homotopy. Ind. Eng. Chem. Res., Vol. 27, No.7, pp. 1320-1329.

[5] J. Lee y H.D. Chiang (2001); Constructive homotopy methods for finding all or mul-tiple DC operating points of nonlinear circuits and systems, IEEE Trans. CircuitsSyst. I, 48, 1, pp. 35-50.


Funciones continuas y nunca derivables

Gerardo Delgadillo Pinon Universidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB

Miguel Lopez De Luna Universidad Autonoma de la Ciudad de Mexico

Demostramos que la flecha de Sorgenfrey y el conjunto de Cantor son espacios deBaire, cuando son considerados como subespacios de R. Tambien probamos que si elconjunto de Cantor posee la topologa heredada de la flecha de Sorgenfrey, entoncesno es un espacio de Baire. De la definicion de espacio de Baire y del teorema de Baire,verificamos la existencia de funciones continuas y no diferenciables en [0, 1].

We prove that Sorgenfreys arrow and Cantor set are Baire spaces when they areconsidered as subespaces of R. If the Cantor set is a subespace of Sorgenfreys arrowthen we have established that it is not a Baire space. We have also considered thedefinition of Baires space and Baires Theorem to give a proof about the existence ofcontinuos nowhere-differentiable real-valued functions defined in [0, 1].

Palabras clave: Espacio de Baire, Flecha de Sorgenfrey, Conjunto de Cantor, Es-pacio metrico completoKeywords: Baires space, Sorgenfreys arrow, Cantor set, Complete metric space.

1. Introduccion

Un resultado proporcionado en los cursos de analisis matematico es el referido ala existencia de funciones continuas y no diferenciables en todo su dominio1 , cuyademostracion esta basada en tecnicas propias del analisis. El objetivo principal deeste artculo es proporcionar una prueba de esta afirmacion, haciendo uso de la nociontopologica de espacio de Baire.

Tomando en consideracion que el espacio de funciones continuas con la metricauniforme, cuyo dominio es un metrico completo e imagen un subconjunto de Rn, esun espacio de Baire, demostraremos la existencia de funciones continuas de valor realcon dominio el intervalo [0, 1] y no derivables.

Un espacio topologico es de Baire si la union de toda familia numerable de sub-conjuntos cerrados, cada uno de los cuales tiene interior vaco, posee interior vaco.Equivalentemente, un espacio es de Baire si la interseccion de cualquier coleccionnumerable de conjuntos abiertos y densos, es un conjunto denso. Esta nocion fueintroducida por R. Baire en los primeros anos del siglo pasado, la cual expreso enterminos de lo que el denomino conjuntos de segunda categora. Actualmente se

Recibido el 27 de noviembre de 2007 y aceptado el 4 de marzo de 2008Direccion postal: Carr. Cunduacan-Jalpa Km 1, Cunduacan Tabasco, Mexico. A.P. 24 C.P.

86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electronico: [email protected] electronico: [email protected] hecho, la funcion definida por la serie f(x) =

Pn=0

12n

cos(3nx) tiene esta propiedad. Ver [3]


36 Gerardo Delgadillo Pinon y Miguel Lopez De Luna

conoce mucho acerca de estos espacios, ver por ejemplo [1, 2] , y de algunos de susresultados teoricos se han obtenido importantes aplicaciones en matematicas.

2. Espacios de Baire

En esta seccion, presentaremos el concepto de espacio de Baire y mostramos algu-nas de sus caracterizaciones. Tambien demostraremos el teorema de Baire, el cualnos muestra que los espacios de Baire contienen a la clase de los espacios metricoscompletos. Ademas, estudiaremos dos ejemplos importantes relacionados con esteconcepto, como lo son la flecha de Sorgenfrey y el conjunto de Cantor.

Definicion 1. Sea X un espacio topologico. Decimos que X es un espacio de Baire,si dada cualquier coleccion numerable {An : n N} de subconjuntos cerrados de X,donde Int(An) = para todo n N, se cumple que Int(

n=1

An) = .

Dado que Int(A) = A para todo A X, donde X es un espacio discreto, obtenemosInt(A) = si y solo si A = . Por consiguiente, todo espacio discreto es de Baire.

Teorema 1. Sea X un espacio topologico. Las siguientes proposiciones son equiva-lentes:

1. X es de Baire;

2. Para todo A X, con A = n=1

An, donde Int(An) = para cada n N, el conjuntoX \ A es denso;

3. Dada cualquier coleccion numerable {Un : n N} de subconjuntos abiertos y densosen X, el conjunto

n=1

Un es denso en X;

4. Sea G un conjunto abierto y no vaco en X. Si tenemos una coleccion numerable{An : n N} de subconjuntos de X, con Int(An) = para todo n N, entoncesG 6=

n=1An.

Prueba. Supongamos que (1) es valido. Tomemos un A X tal que A = n=1

An, con

Int(An) = para cada n N. Demostraremos que X \A es denso. Puesto que X esde Baire, sabemos Int(

n=1

An) = , es decir X\n=1

An es denso. De aqu, y como

X \ ( n=1

An) X \ (n=1

An) = X \A,

concluimos que X \A es denso, y por lo tanto la afirmacion (2) ha quedado probada.Ahora supongamos que (2) es verdadera. Consideremos una coleccion numerable

{Un : n N} de subconjuntos abiertos y densos en X. Para cada n N, sea elcerrado An = X \ Un. Como cada Un es denso, tenemos que Int(An) = . De lahipotesis, tenemos que X\

n=1An es denso y como

X\ n=1

An =n=1

(X \An) =n=1

Un,


Funciones continuas y nunca derivables 37

obtenemos (3).

Para probar (3) implica (4), supongamos que (4) no es valido. Luego, existe unabierto G X con G 6= y una coleccion numerable {An : n N} de subconjuntosde X con G =

n=1

An donde Int(An) = . Ahora, para cada n N, sea Un = X \An.Es claro que cada Un es un conjunto abierto y denso en X. Por hipotesis tenemosque

n=1

Un es un conjunto denso en X. Observe que

n=1

Un =n=1

(X \An) = X\n=1

An.

Por otro lado, como G n=1

An, tenemos que

G (X\ n=1

An) = ,

lo cual es una contradiccion. As hemos probado que (3) implica (4).

Por ultimo, probemos (4) implica (1). Para ello, sea {An : n N} una coleccionnumerable de subconjuntos cerrados de X, tal que Int(An) = para cada n N, ysupongamos

Int(n=1

An) 6= .

Luego, existe un abierto no vaco G X para el cual G n=1

An, y por lo tanto

G =n=1

(G An). Ademas, como

Int(G An) Int(An) = Int(An) = ,obtenemos Int(G An) = para todo n N, lo cual contradice nuestra hipotesis.

Como una consecuencia directa de este teorema, tenemos que si U es un conjuntoabierto y no vaco en un espacio de Baire X, entonces U 6=

n=1An, donde cada An

es un conjunto cerrado con interior vaco en X. En particular, si X es un espacio deBaire, entoncesX no se puede representar como una union numerable de subconjuntoscerrados con interior vaco.

En el siguiente ejemplo, dotamos al conjunto de los numeros enteros con unatopologa particular, de tal forma que obtenemos un espacio que no es de Baire.

Ejemplo 1. Para cada m Z, hagamos Um = {n Z : n > m}.Observe que Um Um = Um si m m. De aqu se desprende que la coleccion

B = {Um : m Z} es una base para una unica topologa en Z. Probemos que (Z, )no es un espacio de Baire.

Para ello, sea Am = Z \Um, con m Z. Notemos que cada Am es un conjunto ce-rrado y, dado que todo Am esta acotado superiormente, tambien es valida la igualdadInt(Am) = , de modo que {Am : m Z} es una coleccion numerable de cerradoscon interior vaco en Z. Dado que

Z =mZ

Am,



el teorema 1 nos indica que (Z, ) no es un espacio de Baire.

Ejemplo 2. Sea Q el conjunto de los numeros racionales con la topologa heredadade R. Como

Q =qQ{q},

se sigue que Q es una union numerable de conjuntos cerrados con interior vaco. Envirtud del teorema 1(4) concluimos que Q no es un espacio de Baire.

Este ultimo ejemplo nos muestra un espacio metrico que no es de Baire. Sinembargo, la clase de los espacios de Baire contiene a los espacios metricos completos,como estableceremos enseguida (Teorema de Baire).

Sea (X, d) un espacio metrico. Decimos que X es completo si toda sucesion deCauchy en X es convergente. El diametro de un subconjunto A X, denotado pordiam(A), es definido por

diam(A) = sup {d(x, y) : x, y A},siempre y cuando el supremo exista. En caso contrario hacemos diam(A) =.

El siguiente resultado nos sera de gran utilidad. Su demostracion puede ser con-sultada en [4].

Teorema 2 (de Cantor) Un espacio metrico (X, d) es completo, si y solo si toda sucesiondecreciente F1 F2 . . . de subconjuntos cerrados no vacos deX, tal que diam(Fn)0, tiene interseccion no vaca.

Teorema 3 (de Baire) Todo espacio metrico completo es un espacio de Baire.

Prueba. Sea X un espacio metrico completo y consideremos una coleccion numerable{An : n N} de subconjuntos cerrados de X, para la cual Int(An) = , donde n N.De acuerdo al teorema 1, debemos probar que

Int(n=1

An) = .

Para ello, tomemos un conjunto abierto U no vaco en X y verifiquemos

U 6 ( n=1

An).

Como Int(A1) = , tenemos que el abierto U (X \ A1) es no vaco. Sea x1 U (X \ A1). Dado que X es un espacio regular, podemos encontrar un numeropositivo r1 < 1 tal que Br1(x1) U(X\A1), o bien Br1(x1) U y Br1(x1)A1 = .Ahora bien, debido a que Int(A2) = , el abierto Br1(x1) \ A2 es no vaco, y por lotanto podemos tomar x2 Br1(x1) \ A2. Nuevamente, en virtud de la regularidadde X, obtenemos que Br2(x2) Br1(x1) \ A2, para algun 0 < r2 < 12 , o de formaequivalente Br2(x2) Br1(x1) y Br2(x2) A2 = .

As, de forma inductiva obtenemos para cada n N, un punto xn X y un numeropositivo rn < 1n , para los cuales

Brn(xn) Brn1(xn1) y Brn(xn) An = .Revista de Ciencias Basicas UJAT, 7(1)Junio 2008 p 3547


Como la familia numerable {Brn(xn) : n N} consiste de conjuntos cerradosno vacos, la cual satisface Brn(xn) Brn+1(xn+1) y diam(Brn(xn)) 0, el teorema2 nos garantiza que

n=1

Brn(xn) 6= . Elijamos un p n=1

Brn(xn). Dado que

Brn(xn) Br1(x1) U y Brn(xn) An = , se desprende que p U \ An para todon N. Por consiguiente U 6

n=1An, que era lo deseado.

Es bien conocido que R con la metrica usual es un espacio metrico completo. Deaqu y del teorema de Baire, se desprende el siguiente resultado.

Ejemplo 3. El conjunto de los numeros reales R, con la metrica usual, es un espaciode Baire.

En el siguiente ejemplo, proporcionamos un espacio de Baire y no metrizable [5].Recordemos que la flecha de Sorgenfrey es el conjunto de los numeros reales, cuyatopologa es generada por la base

B = {[a, b) : a, b R con a < b}.

En adelante, el smbolo Rs denotara a la flecha de Sorgenfrey.

Ejemplo 4 (La flecha de Sorgenfrey es un espacio de Baire) Sea {Un : n N} una coleccionnumerable de subconjuntos abiertos y densos en Rs. Para probar lo deseado, debemosverificar que

n=1

Un es denso en Rs, o de forma equivalente

[a, b) ( n=1

Un) 6= ,

para cualesquier a, b R, con a < b.Observe que cada Un es una union de intervalos de la forma [a, b). Es decir,

Un = n

[an, bn), donde a < b, para algun conjunto de ndices n.

Para cada n N, consideremos el abierto en R dado por U n = n

(an, bn).

Notemos que todo U n es denso en R. En efecto, sean a, b R con a < b. Dado queUn es denso en Rs tenemos que [a, b) Un 6= . Luego, existe n para el cual[a, b)[an, bn) 6= . Se sigue que (a, b)(an, bn) 6= y en consecuencia (a, b)U n 6= .As, U n es denso en R. De esta forma tenemos una coleccion numerable {U n : n N}de subconjuntos abiertos y densos en R.

Ahora bien, como R con la topologa usual es un espacio de Baire (Ejemplo 3), sesigue que

n=1

U n es denso en R.

Comon=1

U n n=1

Un, deducimos quen=1

Un tamien es denso en R. As, paracualesquier a, b R, con a < b, tenemos

(a, b) ( n=1

Un) 6= .



Finalmente, en virtud de que (a, b) ( n=1

Un) [a, b)n=1

Un, concluimos

[a, b) ( n=1

Un) 6= .

De esta manera hemos probado que Rs es un espacio de Baire.

Ejemplo 5. El conjunto de Cantor, como subespacio de la recta real es un espaciode Baire, y como subespacio de la flecha de Sorgenfrey no lo es.

Recordemos como se define el conjunto de Cantor. Dado un intervalo cerrado enR, digamos C = [a, b], donde a < b, denotamos por DC al subintervalo abierto cuyosextremos son los numeros a+ ba3 y a+

2(ba)3 , es decir

DC =(a+

b a3

, a+2(b a)

3

).

Observemos que DC es el subintervalo abierto central del intervalo C, obtenido des-pues de haber sido dividido este en tres partes iguales. Al intervalo DC lo lla-maremos el tercio medio de C. Similarmente, los intervalos CI =

[a, a+ ba3

]y

CD =[a+ 2(ba)3 , b

]reciben el nombre de tercio izquierdo y tercio derecho, respecti-

vamente, de C.

Para proporcionar el conjunto de Cantor, necesitaremos de las familias {An}nN,{Cn}nN, con An [0, 1] y Cn exp[0, 1] para todo n N, donde exp[0, 1] es elconjunto potencia de [0, 1], definidas inductivamente como a continuacion se indica.

Tomemos A1 = [0, 1] y C1 = {[0, 1]} .Para n N \ {1},

C Cn si y solo si C {CI , CD} para algun C Cn1 y

An = An1 \

CCn1DC .

Los 2n1 elementos de Cn, que constituyen una familia ajena de subconjuntos de[0, 1] y cuyo diametro de cada uno es 13n1 , se llaman componentes de An.

Finalmente, el conjunto de Cantor C lo definimos como

C =n=1

An.

Dado que cada An es cerrado, pues A1 lo es y todo DC es abierto, deducimos queel conjunto de Cantor es cerrado en R. Ademas, puesto que Rs es una topologa masfina que la usual, obtenemos que C tambien es cerrado en Rs.

Debido a que un subespacio cerrado de un subespacio metrico completo tambien escompleto, deducimos que el conjunto de Cantor, con la topologa usual, es un espacio



metrico completo. Por consiguiente, el teorema de Baire (Teorema 3) nos aseguraque C, con la topologa heredada de R, es un espacio de Baire.

En lo que sigue, demostraremos que C como subespacio de la flecha de Sorgenfrey,que en adelante denotaremos como Cs, no es de Baire. Dados n N y C Cn, sea

xC = nf DC .

Observemos que xC C para cualquier C Cn y n N. Definimos U, V C comoU = {xC : C Cn, n impar} y V = {xC : C Cn, n par}.

Afirmamos que los conjuntos U y V satisfacen las siguientes condiciones:

(1) U V = y(2) U, V son abiertos y densos en Cs.

Lo cual nos indica, en virtud del teorema 1, que Cs no es un espacio de Baire.Verifiquemos (1). Sean n,m N tales que n impar y m par. Escojamos C Cn

y C Cm. Sin perder generalidad, suponemos que n < m. De aqu que Am An+1y DC C Am. De la definicion de An+1 y como C Cn, se desprende queDC An+1 = y por ende DC Am = . En consecuencia, DC DC = , lo cualimplica que nf DC 6= nf DC . Debido a que C y C eran arbitrarios, obtenemosU V = .

Ahora demostremos (2). Observemos que {xC} DC = [xC , yC), donde yC =sup DC y C Cn, con n N. Luego, {xC} DC es un abierto en Rs y dado que({xC} DC) C = {xC} , los conjuntos U y V son abiertos en Cs. Para demostrarque U y V son densos en Cs, basta con probar que G U 6= y G V 6= , dondeG = [a, b) C 6= . Para ello, tomemos un x G. Dado que x C, para cada n Nescojamos la componente Cxn Cn con x Cxn .

Como lmndiam(C

xn) = 0 y C

xm Cxn siempre y cuando n < m, podemos garantizar

la existencia de un N N, tal que si m > n N, donde n es impar y m par, entoncesCxm Cxn [a, b). De aqu concluimos que DCxn DCxm [a, b), y en consecuencia{xCxn , xCxm

} [a, b). Por consiguientexCxn G U y xCxm G V,

y esta manera hemos probamos lo deseado.

3. Funciones continuas y no diferenciables en ninguna parte

En los cursos basicos de Analisis Matematico, se menciona la existencia de una funcioncontinua, de valor real y no diferenciable en ningun punto de su dominio. En esteapartado probaremos esta afirmacion, haciendo uso del concepto de espacio de Baire.Para ello consideremos el espacio metrico (F , ) de funciones de valor real, continuasy definidas en I = [0, 1], donde

(f, g) = maxxI| f(x) g(x) | , con f, g F .



Sabemos que (F , ), que en lo sucesivo lo denotaremos simplemente por la letra F ,es un espacio metrico completo [4]. Por consiguiente, el teorema 3 nos proporcionael siguiente resultado.

Teorema 4. El espacio metrico F es de Baire.

Enseguida definiremos una familia numerable {Un}nN de conjuntos abiertos ydensos en F . Dados x I y h (0, 12 ], consideremos los cocientes

() f+(x, h) =f(x+ h) f(x)h

y f(x, h) = f(x h) f(x)h .

Como h 12 , tenemos que {x + h, x h} I 6= , lo cual significa que al menosuna de las expresiones () esta definida.

Hagamos f(x, h) = max{f+(x, h), f(x, h)} si ambos cocientes existen; de locontrario f(x, h) sera igual a la expresion existente. Dado que f(x, h) 0,tomemos para cada h (0, 1n]

hf = inf{f(x, h) : x I}.

Ahora definamos la familia deseada {Un}nN F . Diremos que

f Un si y solo si hf > n para algun h (0, 1n ] y todo n 2.

Por ejemplo, consideremos la funcion f : [0, 1] R dada por f(x) = (1 4(x12 )

2) con > 0. Para h = 14 obtenemos

f+(x,14

) =f(x+ 14 ) f(x)1

4

= | 8x 3 | si x [0, 34 ] yf(x,

14

) =f(x 14 ) f(x)1

4

= | 8x 5 | si x [ 14 , 1].As que

f(x,14

) =

f(x, 14 ) si x [ 14 , 12 ] ( 34 , 1]

f+(x, 14 ) si x [0, 14 ) [ 12 , 34 ]

y por lo tanto f(x, 14 ) para toda x [0, 1].En la figura 1, ejemplificamos lo anterior para un x ( 12 , 34 ).Para este caso, alguna de la rectas l1 y l2 debe tener pendiente, en valor absoluto,

mayor o igual que , lo cual es satisfecho por l1.



Figura 1.

Luego, si > 4 entonces f U4. Inspirados en este caso particular, podemosexhibir elementos de Un para toda n N, mediante el siguiente procedimiento.

Consideremos la funcion g cuya grafica aparece en la figura 2.

Figura 2.

Observemos que g(x, h) , para cualquier h 14 . En consecuencia, si > nentonces g Un.

De forma similar, obtenemos k Un si > n, donde la grafica de k es como semuestra en la figura 3.

Proposicon 1. Dados n N, > 0 y [a, b] [0, 1], existen g F y m N tales quehg > n con 0 < h bam .

Prueba. Para que se satisfaga lo solicitado, basta con elegir un numero par m tal que

( bam )> n y la funcion g F cuya grafica se muestra en la figura 4, que es de las

llamadas dientes para afuera, donde ti = a+ bam i, para i = 0, 1, ...,m.



Figura 3.

Figura 4.

El siguiente resultado nos indica que la familia {Un}nN posee las propiedadesrequeridas.

Proposicon 2. Cada conjunto Un es abierto y denso en F .

Prueba. Consideremos n N y cualquier f Un. Luego, existe h (0, 1n

]para la

cual hf > n. Hagamos M = hf y consideremos =h(Mn)

4 > 0. Luego, paraprobar que Un es abierto, basta con verificar la contencion B(f, ) Un, donde

B(f, ) = {g F : (f, g) < }.Sea g B(f, ). Supongamos que f(x, h) = f+(x, h). Como | f(x) g(x) |< ,obtenemos

f+(x, h) g+(x, h) 1h|f(x+ h) g(x+ h) (f(x) g(x))|

1h

(| f(x+ h) g(x+ h) | + | f(x) g(x) |)

f+(x, h) M n2

= M M n2

=12

(M + n) > n.

De aqu se desprende la desigualdad hg > n, es decir g Un. Para el caso enque f(x, h) = f(x, h), obtenemos de forma similar g(x, h) > 12 (M + n) > n y



por lo tanto, tambien se sigue que hg > n. En consecuencia, Un es abierto. Ahorademostremos la igualdad Un = F . Para ello, probemos B(f, )Un 6= , donde f Fy > 0.Tomemos un R, para la cual > n. Dado que f es uniformemente continua,podemos obtener una particion

0 = t0 < t1 < < tm = 1,para la cual | f(x)f(y) |< 4 si x, y (ti1, ti), con i = 1, 2, ...,m. Ahora bien, paracada i {1, 2, ...,m}, escojamos un ai (ti1, ti) tal que si f(ti) 6= f(ti1) entonces

0 entonces existe una funcion g B(f, ) (

n=1Un) y de esta manera, obtenemos

la demostracion de nuestro resultado principal.

Teorema 5. Sea f : [0, 1] R una funcion continua. Para cualquier > 0, existeuna funcion g : [0, 1] R continua y no diferenciable en [0, 1] tal que | f(x)g(x) |< para toda x [0, 1].

Referencias

[1] Margalef Roig, J. Topologa. Alhambra. T.2, Madrid, 1980.

[2] Engelking, R. General Topology. Heldermann Verlag, Berlin, 1989.

[3] Bartle, R.G., Introduccion al analisis matematico. Limusa, Mexico, 1992.

[4] Tkachuk, V. Curso basico de topologa general. UAM-Iztapalapa. Mexico, D.F., 1999.

[5] Munkres, J. R. Topologa. Prentice Hall., Madrid, 2002.


La Revista de Ciencias Bsicas UJAT, volmen 7 nmero 1, junio 2008, se imprimi en

Impresiones en Grficos Cnovas S.A. de C.V.Juan lvarez 505 Centro. C.P. 86000.

Villahermosa, Tabasco, MXICO.Termin la edicin de esta obra el 18 junio de 2008

con un tiraje de 300 ejemplares.

DIRECTORIO

M.A. Candita Victoria Gil Jimnez

Rectora

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Dr. Jos Manuel Pia GutirrezSecretario de Servicios Administrativos

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