1

Artes en el aula de matemaacuteticas

Iacutendice

1 Introduccioacuten helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip2

2 Unidad didaacutectica 1ordf Movimientos en el plano helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3

a) Giros helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3

b) Simetriacuteas respecto al eje vertical helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5

c) Traslaciones helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

3 Unidad didaacutectica 2ordf Figuras planas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

a) Teorema de Tales helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

b) Triaacutengulos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9

c) Rectaacutengulos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

d) poliacutegonos regulares helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

e) Ciacuterculos y circunferencias helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip11

f) Sector y segmento circularhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip11

4 Unidad didaacutectica 3 Cuerpos geomeacutetricos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13

a) Ortoedro helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13

b) Piraacutemides helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip14

c) Esferas cilindros y conos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16

d) Poliedros helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip17

e) Cuerpos compuestos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip18

5 Coordinacioacuten interdepartamental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19

6 Referencias bibliograacuteficas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20

2

1 INTRODUCCIOacuteN

Las matemaacuteticas constituyen una materia instrumental y por tanto estaacuten perfectamente incorporadas en diversas asignaturas como Fiacutesica Economiacutea Dibujo Teacutecnicohellip Sin embargo nos resulta maacutes difiacutecil introducir en las clases de la asignatura de Matemaacuteticas tanto las materias anteriores como otras a pesar de que en el curriacuteculo de la asignatura estaacuten incluidas la transversalidad y la interaccioacuten de las matemaacuteticas con otras materias

Los materiales y recursos siguientes intentaraacuten relacionar y asociar los contenidos matemaacuteticos con los contenidos de otras asignaturas introducieacutendolos en el aula de Matemaacuteticas y tambieacuten trabajar en coordinacioacuten y colaboracioacuten con los profesores de otros departamentos Se ha elegido para ello el curso de 3ordm ESO y el bloque de geometriacutea para trabajar conjuntamente con las asignaturas de Muacutesica Tecnologiacutea y Educacioacuten Plaacutestica Visual y Audiovisual

Por otra parte hay que tener en cuenta que estas asignaturas son optativas por lo que lo previsible seraacute encontrarnos en una clase un alumnado que curse alguna pero no las tres asignaturas opcionales Dibujo Muacutesica y Tecnologiacutea

La muacutesica la pintura y la arquitectura son tres de las seis bellas artes que la humanidad reconoce desde la antiguumledad Estos recursos desarrollan tres Unidades Didaacutecticas cada una de ellas enfocada a relacionar contenidos matemaacuteticos con cada una de las disciplinas artiacutesticas citadas

Los materiales presentados se podraacuten obtener en las URL indicadas excepto los que son creaciones y fotografiacuteas propias A continuacioacuten se indica el modo de trabajar con estos recursos que en ninguna manera son uacutenicos sino que se pueden sustituir o complementar con otros materiales similares pero sirven como ejemplo de coacutemo utilizarlos en el aula

3

2 UNIDAD DIDAacuteCTICA 1ordf MOVIMIENTOS EN EL PLANO

ldquoAnte todo es necesario entender que las matemaacuteticas son un arte La diferencia entre las matemaacuteticas y el resto de las artes como la muacutesica y la pintura es que nuestra cultura no la reconoce como talrdquo

(Paul Lockhart)

Esta Unidad Didaacutectica se haraacute en colaboracioacuten con el departamento de Muacutesica En la parte matemaacutetica estudiaremos algunas partituras musicales tanto ejemplos baacutesicos de creacioacuten propia como partituras de grandes compositores de la historia en las cuales se aprecian los tres movimientos que tenemos que estudiar

a) Giros b) Simetriacuteas c) Traslaciones

a) Giros

Figura 1

Se trata de una liacutenea musical simple en la que se observa que la escritura musical seriacutea invariante ante un giro de 180ordm

ldquoThe way of the worldrdquo Pieza para piano de Ignaz Moscheles (Praga 1794-Leipzig 1870)

Esta pieza es invariante con un giro de 180ordm Comprobamos que se puede interpretar seguacuten estaacute o se puede girar la partitura 180ordm y el resultado musical seraacute el mismo

Tras analizar esta caracteriacutestica se debe escuchar un audio o ver un video de la obra

Figura 2 httpsztfnewseus20130918 Duacuteo ldquoEl espejordquo de W A Mozart (Salzburgo 1756- Viena 1791)

2

1 INTRODUCCIOacuteN

Las matemaacuteticas constituyen una materia instrumental y por tanto estaacuten perfectamente incorporadas en diversas asignaturas como Fiacutesica Economiacutea Dibujo Teacutecnicohellip Sin embargo nos resulta maacutes difiacutecil introducir en las clases de la asignatura de Matemaacuteticas tanto las materias anteriores como otras a pesar de que en el curriacuteculo de la asignatura estaacuten incluidas la transversalidad y la interaccioacuten de las matemaacuteticas con otras materias

Los materiales y recursos siguientes intentaraacuten relacionar y asociar los contenidos matemaacuteticos con los contenidos de otras asignaturas introducieacutendolos en el aula de Matemaacuteticas y tambieacuten trabajar en coordinacioacuten y colaboracioacuten con los profesores de otros departamentos Se ha elegido para ello el curso de 3ordm ESO y el bloque de geometriacutea para trabajar conjuntamente con las asignaturas de Muacutesica Tecnologiacutea y Educacioacuten Plaacutestica Visual y Audiovisual

Por otra parte hay que tener en cuenta que estas asignaturas son optativas por lo que lo previsible seraacute encontrarnos en una clase un alumnado que curse alguna pero no las tres asignaturas opcionales Dibujo Muacutesica y Tecnologiacutea

La muacutesica la pintura y la arquitectura son tres de las seis bellas artes que la humanidad reconoce desde la antiguumledad Estos recursos desarrollan tres Unidades Didaacutecticas cada una de ellas enfocada a relacionar contenidos matemaacuteticos con cada una de las disciplinas artiacutesticas citadas

Los materiales presentados se podraacuten obtener en las URL indicadas excepto los que son creaciones y fotografiacuteas propias A continuacioacuten se indica el modo de trabajar con estos recursos que en ninguna manera son uacutenicos sino que se pueden sustituir o complementar con otros materiales similares pero sirven como ejemplo de coacutemo utilizarlos en el aula

3

2 UNIDAD DIDAacuteCTICA 1ordf MOVIMIENTOS EN EL PLANO

ldquoAnte todo es necesario entender que las matemaacuteticas son un arte La diferencia entre las matemaacuteticas y el resto de las artes como la muacutesica y la pintura es que nuestra cultura no la reconoce como talrdquo

(Paul Lockhart)

Esta Unidad Didaacutectica se haraacute en colaboracioacuten con el departamento de Muacutesica En la parte matemaacutetica estudiaremos algunas partituras musicales tanto ejemplos baacutesicos de creacioacuten propia como partituras de grandes compositores de la historia en las cuales se aprecian los tres movimientos que tenemos que estudiar

a) Giros b) Simetriacuteas c) Traslaciones

a) Giros

Figura 1

Se trata de una liacutenea musical simple en la que se observa que la escritura musical seriacutea invariante ante un giro de 180ordm

ldquoThe way of the worldrdquo Pieza para piano de Ignaz Moscheles (Praga 1794-Leipzig 1870)

Esta pieza es invariante con un giro de 180ordm Comprobamos que se puede interpretar seguacuten estaacute o se puede girar la partitura 180ordm y el resultado musical seraacute el mismo

Tras analizar esta caracteriacutestica se debe escuchar un audio o ver un video de la obra

Figura 2 httpsztfnewseus20130918 Duacuteo ldquoEl espejordquo de W A Mozart (Salzburgo 1756- Viena 1791)

3

2 UNIDAD DIDAacuteCTICA 1ordf MOVIMIENTOS EN EL PLANO

ldquoAnte todo es necesario entender que las matemaacuteticas son un arte La diferencia entre las matemaacuteticas y el resto de las artes como la muacutesica y la pintura es que nuestra cultura no la reconoce como talrdquo

(Paul Lockhart)

Esta Unidad Didaacutectica se haraacute en colaboracioacuten con el departamento de Muacutesica En la parte matemaacutetica estudiaremos algunas partituras musicales tanto ejemplos baacutesicos de creacioacuten propia como partituras de grandes compositores de la historia en las cuales se aprecian los tres movimientos que tenemos que estudiar

a) Giros b) Simetriacuteas c) Traslaciones

a) Giros

Figura 1

Se trata de una liacutenea musical simple en la que se observa que la escritura musical seriacutea invariante ante un giro de 180ordm

ldquoThe way of the worldrdquo Pieza para piano de Ignaz Moscheles (Praga 1794-Leipzig 1870)

Esta pieza es invariante con un giro de 180ordm Comprobamos que se puede interpretar seguacuten estaacute o se puede girar la partitura 180ordm y el resultado musical seraacute el mismo

Tras analizar esta caracteriacutestica se debe escuchar un audio o ver un video de la obra

Figura 2 httpsztfnewseus20130918 Duacuteo ldquoEl espejordquo de W A Mozart (Salzburgo 1756- Viena 1791)

4

La siguiente pieza con las mismas caracteriacutesticas geomeacutetricas que la anterior es un duacuteo para dos violines que debe tocarse con una misma partitura y los dos violinistas enfrentados mirando uno la partitura ldquoal derechordquo y el otro miraacutendola ldquoal reveacutesrdquo

Figura 3 httpsmusicaencriptadaes20200601duo-del-espejo

La situacioacuten descrita produce un efecto curioso con los dos muacutesicos enfrentados y moviendo los brazos y las manos a la vez Es conveniente y maacutes interesante en este caso visualizar el viacutedeo de la interpretacioacuten y no solamente el audio

Figura 4 Imagen disentildeada por Jesuacutes Pastor Martiacuten

5

b) Simetriacutea respecto al eje vertical

Figura 5

La liacutenea musical es simeacutetrica respecto al eje vertical

Sinfoniacutea nordm 47 ldquoEl paliacutendromordquoJosep Haydn Rohrau1732-Viena1809

La RAE define ldquopaliacutendromo como ldquopalabra o frase cuyas letras estaacuten

dispuestas de tal manera que resulta la misma leiacuteda de izquierda a derecha que de derecha a izquierdardquo Este concepto inicialmente aplicado a las palabras puede aplicarse a otros conceptos como los nuacutemeros siendo un paliacutendromo un nuacutemero cacicuacutea o tambieacuten como la estructura musical

Figura 6 Sinfoniacutea nordm 47 ldquoEl paliacutendromordquo de Josep Haydn Partitura obtenida en httpsmusopenorgesmusic5434-symphony-no-47-in-g-major-hob-i47

En este fragmento de una sinfoniacutea de Haydn se observa el mismo efecto Ademaacutes el nombre de la sinfoniacutea es el paliacutendromo por tener todo un movimiento (el 3ordm) compuesto de frases musicales que cada una de ellas es un paliacutendromo

Tambieacuten seriacutea conveniente escuchar el 3er movimiento de esta sinfoniacutea y analizar toda la partitura

Otro ejemplo tan interesante como curioso para estudiar la simetriacutea es el Canon del Cangrejo de J S Bach que se puede ver en la siguiente partitura

6

Figura 7 Partitura obtenida en

httpscarlosgarciamaciaswordpresscom20120602el-reto-de-federico-el-

grande-a-johann-sebastian-bach-origen-de-la-ofrenda-musical-parte-2-el-

canon-cangrejo

Despueacutes de estudiar la simetriacutea de la partitura es conveniente ver la recreacioacuten

del canon que aparece en el siguiente viacutedeo

httpswwwyoutubecomwatchv=36ykl2tJwZM

c) Traslacioacuten

Figura 8

Estas son las notas del canon ldquoFregravere Jacquesrdquo con los vectores que marcan la traslacioacuten de la muacutesica

Como otro ejemplo de una traslacioacuten tendriacuteamos el famoso canon de Pachelbel Nuremberg 1653- Nuremberg 1703 aunque nos valdriacutea cualquier canon a dos tres o cuatro voces incluso las fugas de J S Bach tambieacuten podriacutean ser buenos ejemplos para trabajar en esta seccioacuten creo conveniente elegir el canon de Pachelbel por ser probablemente conocido por la mayoriacutea de los alumnos

Figura 9 httpseswikipediaorgwikiCanon_en_re_mayor_de_Pachelbel

Como el resto de las obras es conveniente escuchar una versioacuten del canon a ser posible con video

A partir de estos ejemplos u otros con propiedades similares estudiamos

los tres tipos de movimientos con todas las caracteriacutesticas de cada uno de

ellos

7

Las uacuteltimas sesiones las utilizaremos para la creacioacuten por parte de cada alumno de frases musicales que cumplan los diferentes movimientos

Simultaacuteneamente en clase de muacutesica se crean composiciones o se repasan y corrigen las composiciones creadas en la clase de matemaacuteticas a una o maacutes voces para los instrumentos de los que dispone el centro En estas clases se trabaja tanto la composicioacuten como la ejecucioacuten de la muacutesica que tenga las propiedades matemaacuteticas indicadas anteriormente

8

3 UNIDAD DIDAacuteCTICA 2ordf FIGURAS PLANAS

ldquoUn matemaacutetico como un pintor o un poeta es un creador de patrones Si sus patrones son maacutes permanentes que los de otros artistas es porque estaacuten hechos de ideasrdquo

GH Hardy

Esta Unidad Didaacutectica se haraacute en colaboracioacuten con el departamento de Educacioacuten Plaacutestica y Visual En la parte matemaacutetica analizaremos cuadros principalmente de la eacutepoca de la abstraccioacuten geomeacutetrica cuadros en los que aparecen todas las figuras planas que queremos estudiar tanto los distintos poliacutegonos como las figuras curvas y analizaremos sus propiedades periacutemetro superficie aacutengulos etc

Trabajaremos la proporcionalidad circunferencias triaacutengulos y poliacutegonos en general a partir de cuadros de la etapa de la abstraccioacuten geomeacutetrica que se localiza en la primera mitad del siglo XX

a) Teorema de Tales

Para el teorema de Tales podemos apoyarnos en un oacuteleo sobre aglomerado de Manuel Espinosa titulado ldquoPinturardquo realizado en 1945 Eliminando los datos ldquosuperfluosrdquo para nuestro estudio que seriacutean los colores y alguna de las liacuteneas del cuadro nos quedariacutean tres liacuteneas paralelas y cuatro oblicuas a ellas con las que poder presentar y empezar a practicar con el teorema de Tales y a partir de eacuteste estudiar tambieacuten la proporcionalidad

Figura 10 a) Figura 9 b) Figura 9 c)

Figura 10 httpswwwmarchesartemadridexposicionesamericalos-artistasaspx

Otro ejemplo apropiado estariacutea en la obra ldquoCuadrados de un triaacutengulo 3-4-5 en perspectiva escalenardquo creacioacuten de Crockett Johnson en 1965 que ademaacutes representa la demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras con lados de

8

3 UNIDAD DIDAacuteCTICA 2ordf FIGURAS PLANAS

ldquoUn matemaacutetico como un pintor o un poeta es un creador de patrones Si sus patrones son maacutes permanentes que los de otros artistas es porque estaacuten hechos de ideasrdquo

GH Hardy

Esta Unidad Didaacutectica se haraacute en colaboracioacuten con el departamento de Educacioacuten Plaacutestica y Visual En la parte matemaacutetica analizaremos cuadros principalmente de la eacutepoca de la abstraccioacuten geomeacutetrica cuadros en los que aparecen todas las figuras planas que queremos estudiar tanto los distintos poliacutegonos como las figuras curvas y analizaremos sus propiedades periacutemetro superficie aacutengulos etc

Trabajaremos la proporcionalidad circunferencias triaacutengulos y poliacutegonos en general a partir de cuadros de la etapa de la abstraccioacuten geomeacutetrica que se localiza en la primera mitad del siglo XX

a) Teorema de Tales

Para el teorema de Tales podemos apoyarnos en un oacuteleo sobre aglomerado de Manuel Espinosa titulado ldquoPinturardquo realizado en 1945 Eliminando los datos ldquosuperfluosrdquo para nuestro estudio que seriacutean los colores y alguna de las liacuteneas del cuadro nos quedariacutean tres liacuteneas paralelas y cuatro oblicuas a ellas con las que poder presentar y empezar a practicar con el teorema de Tales y a partir de eacuteste estudiar tambieacuten la proporcionalidad

Figura 10 a) Figura 9 b) Figura 9 c)

Figura 10 httpswwwmarchesartemadridexposicionesamericalos-artistasaspx

Otro ejemplo apropiado estariacutea en la obra ldquoCuadrados de un triaacutengulo 3-4-5 en perspectiva escalenardquo creacioacuten de Crockett Johnson en 1965 que ademaacutes representa la demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras con lados de

9

longitudes 3 4 y 5 unidades Tambieacuten en este cuadro podemos hacer un esquema destacando las liacuteneas que nos interesan y suprimiendo el resto

Figura 11 a) Figura 11 b)

Figura 11 c)

Figura 11 a) httpwwwlaboratoriumeusesaggregatorsources2page=28forumscicrypt

Cualquiera de los tres lados nos serviriacutea para representar el teorema de Tales y trabajar sobre eacutel

b) Triaacutengulos

Para estudiar los distintos tipos de triaacutengulos que existen tanto seguacuten sus lados como seguacuten sus aacutengulos nos puede servir de buena ayuda la composicioacuten que Nassos Daphnis realizoacute en 1972 titulada ldquoS-8-72rdquo

10

Figura 12 a) Figura 12 b)

Figura 12 httpswwwwikiartorgesnassos-daphnisall-worksfilterNameall-paintings-chronologicallyresultTypemasonry

c) Rectaacutengulos

A continuacioacuten de los triaacutengulos se veraacuten los rectaacutengulos para ello es una buena eleccioacuten alguna obra de Pier Mondrian como por ejemplo el cuadro titulado ldquoComposicioacuten Ardquo obra que Pier Mondrian realizoacute en 1923 en la que se presentan diversos rectaacutengulos de tamantildeos y proporciones variadas

Figura 13 httpswwwwikiartorgespiet-mondrianall-worksfilterNameall-paintings-chronologicallyresultTypemasonry

d) Poliacutegonos regulares

Cuando veamos los poliacutegonos regulares podemos partir de un cuadro de la coleccioacuten ldquoQuince variaciones sobre un mismo temardquo que forma parte de un conjunto de composiciones que Max Bill realizoacute en 1938 En este caso se muestra la trasformacioacuten de un triaacutengulo equilaacutetero manteniendo la longitud de los lados evoluciona seguacuten se van abriendo sus aacutengulos hacia un octoacutegono creando una espiral

11

Figura 14 httpsgrafficainfomax-bill-obras-de-arte-multiplicadas-como-originales

e) Ciacuterculos y circunferencias

Para estudiar las figuras curvas la obra de Robert Delaunay es

apropiada en este caso elegimos ldquoRythmrdquo realizada en 1938 en esta pintura aparecen circunferencias de cualquier tipo y casi cualquier elemento que queramos estudiar de un ciacuterculo o de una circunferencia

Figura 15 a) Figura 15 b) Figura 15 c)

Figura 15 httpswwwwikiartorgesrobert-delaunay

Reduciendo el cuadro a estas cinco circunferencias tenemos circunferencias conceacutentricas interiores exteriores tangentes interiores tangentes exteriores y secantes Tambieacuten podemos obtener coronas circulares de la imagen

f) Sector y segmento circular

Finalmente a modo de repaso sobre las figuras planas podemos

presentar el uacuteltimo cuadro ldquoSoft Hardrdquo del pintor Vasili Kandinsky Ademaacutes en este cuadro aparecen unos conceptos nuevos que no habiacuteamos comentado en cuadros anteriores el sector circular segmento circular y cuerda

12

Figura 16 a) httpswwwmeisterdruckeesimpresion-artC3ADsticaWassily-

Kandinsky39363Soft-Hard-(Soft-Hard)-1927html

Figura 16 b) Figura 16 c)

Cuadro suprimiendo los poliacutegonos Poliacutegonos suprimidos del cuadro

En la imagen siguiente extraiacuteda del cuadro anterior vemos un sector circular y un segmento circular con los que podemos iniciar la explicacioacuten sobre estos conceptos

Cada alumno haraacute un trabajo en un archivo de geogebra que consistiraacute en la ldquocreacioacutenrdquo de un cuadro de abstraccioacuten geomeacutetrica en dicho cuadro tendraacuten que aparecer algunos de los aspectos geomeacutetricos estudiados en la Unidad En la clase de Educacioacuten Plaacutestica Visual y Audiovisual se realizaraacuten laacuteminas en las que se imitaraacute el estilo pictoacuterico estudiado de la abstraccioacuten geomeacutetrica y como trabajo final se realizaraacute el mismo cuadro que se ha hecho en geogebra con las mismas figuras y colores El material empleado para estos cuadros seraacute el que considere maacutes conveniente el profesorado que imparta la asignatura (acuarelas teacutempera cerashellip)

Los cuadros elegidos son un ejemplo entre la inmensidad de cuadros aptos para ello que podriacuteamos tomar para analizar cada figura plana que queremos estudiar

13

4 UNIDAD DIDAacuteCTICA 3ordf CUERPOS GEOMEacuteTRICOS

No intentes convencer a un nintildeo de que las matemaacuteticas estaacuten presentes en

su vida mueacutestrale la vida y que eacutel descubra las matemaacuteticas

Francisco Martiacutenez

(httpshuelvabuenasnoticiascom20200124la-mejor-forma-de-

aprender-es-ensenando-y-hoy-toda-la-humanidad-conmemora-

este-hecho)

Esta Unidad Didaacutectica la realizaremos en coordinacioacuten con el Departamento de Tecnologiacutea Comenzaremos la parte matemaacutetica dando a conocer estructuras arquitectoacutenicas intentando tomar ejemplos que sean relativamente conocidos en los que aparecen los cuerpos geomeacutetricos que queremos estudiar es decir los poliedros maacutes caracteriacutesticos y los conos cilindros y esferas Insistiremos en las dimensiones reales de estas estructuras y realizaremos maquetas a escala de algunas de ellas haciendo primero el desarrollo plano de ellas y aprovechando eacuteste para calcular la superficie y volumen de los cuerpos

Estudiaremos el volumen en todas las figuras que aparecen en el curriacuteculo de 3ordm ESO mostrando diversos ejemplos de obras arquitectoacutenicas en algunos casos de monumentos conocidos en otros de estructuras anoacutenimas Analizaremos cada construccioacuten estudiaremos los cuerpos que aparecen en ella calcularemos aacuterea y volumen y de algunos construiremos en cartulina una maqueta a escala

a) Ortoedro

Estudiamos el ortoedro y los prismas rectos a partir de torres de castillos o rascacielos que tengan caras especialmente paralelas y sin mucho adorno para centrarnos en el problema que nos ocupa En la figura siguiente podemos analizar queacute es un ortoedro y las condiciones que debe cumplir un poliedro para ser ortoedro Se trata de un rascacielos de San Francisco (EEUU)

Figura 17 a) Figura 17 b)

14

httpseswikipediaorgwikiAnexoEdificios_mC3A1s_altos_de_San_Franci

sco

La siguiente construccioacuten la torre de una fortaleza nos serviraacute para identificar un prisma de base cuadrada y comentar la cantidad de veces que hemos visto este cuerpo geomeacutetrico en distintas y muy variadas construcciones Veremos en este momento los prismas cuyas bases sean poliacutegonos regulares de diferente nuacutemero de lados Se trata del Castillo de la Pentildea de Aylloacuten en Uncastillo (Zaragoza)

Figura 18 a) Figura 18 b)

httpseswikipediaorgwikiArchivoTorre_del_Castillo_de_la_PeC3B1a_AyllC3B3nJPG

b) Piraacutemides

En este apartado presentaremos la conocida gran piraacutemide de Guiza y alguna otra piraacutemide de distintas eacutepocas aunque posiblemente menos conocidas Compararemos sus dimensiones y tambieacuten las proporciones para valorar si se pueden considerar piraacutemides semejantes o no seguacuten la razoacuten entre la longitud del lado de la piraacutemide y la altura

Figura 19 a) Figura 19 b)

Gran piraacutemide de Guiza Piraacutemide de Kukulcaacuten

14

httpseswikipediaorgwikiAnexoEdificios_mC3A1s_altos_de_San_Franci

sco

La siguiente construccioacuten la torre de una fortaleza nos serviraacute para identificar un prisma de base cuadrada y comentar la cantidad de veces que hemos visto este cuerpo geomeacutetrico en distintas y muy variadas construcciones Veremos en este momento los prismas cuyas bases sean poliacutegonos regulares de diferente nuacutemero de lados Se trata del Castillo de la Pentildea de Aylloacuten en Uncastillo (Zaragoza)

Figura 18 a) Figura 18 b)

httpseswikipediaorgwikiArchivoTorre_del_Castillo_de_la_PeC3B1a_AyllC3B3nJPG

b) Piraacutemides

En este apartado presentaremos la conocida gran piraacutemide de Guiza y alguna otra piraacutemide de distintas eacutepocas aunque posiblemente menos conocidas Compararemos sus dimensiones y tambieacuten las proporciones para valorar si se pueden considerar piraacutemides semejantes o no seguacuten la razoacuten entre la longitud del lado de la piraacutemide y la altura

Figura 19 a) Figura 19 b)

Gran piraacutemide de Guiza Piraacutemide de Kukulcaacuten

15

Figura 19 c) Figura 19 d)

Piraacutemide del Louvre Piraacutemide Cestia

Figura 19 a) httpseswikipediaorgwikiGran_PirC3A1mide_de_Guiza Figura 19 b) httpswwwwikiwandcomesPirC3A1mide_(arquitectura) Figura 19 c)

httpslopezdorigacomvida-y-estiloha-muerto-ieoh-ming-pei-arquitecto-que-diseno-la-piramide-del-louvre

Figura 19 d) httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons99ePiramide_Cestiajpg

Haremos un dibujo de planta y alzado de las cuatro piraacutemides que estamos presentando tras buscar en internet las dimensiones de cada una El resultado lo tenemos en la figura siguiente donde se comprueban las enormes dimensiones que tiene la piraacutemide de Guiza en comparacioacuten con el resto de ellas tambieacuten podemos comprobar que eacutesta y la piraacutemide que hay a la entrada del museo del Louvre son casi semejantes con una proporcioacuten entre lado y altura que curiosamente se aproxima mucho en ambos casos al nuacutemero aacuteureo Φ (Φ asymp 1acute618)

La piraacutemide Cestia de Roma por contraposicioacuten tiene unas proporciones muy distintas con una altura incluso superior al lado de la piraacutemide

Por otra parte podemos aprovechar la piraacutemide de Kukulcaacuten para introducir el concepto de piraacutemides truncadas y generalizarlo al truncamiento de cualquier cuerpo geomeacutetrico

16

1 2 3 4

Figura 120

1 Gran piraacutemide de Guiza

2 Piraacutemide de Kukulcaacuten

3 Piraacutemide del Louvre

4 Piraacutemide Cestia

c) Esferas cilindros y conos

Para conocer las esferas y cilindros podemos comenzar viendo el Atomium

de Bruselas debemos buscar tanto sus dimensiones como el motivo de su construccioacuten y su finalidad actual Calcularemos el volumen y superficie de cada esfera que compone esta estructura

Figura 21 Imagen obtenida de Google maps

Una construccioacuten con forma coacutenica la encontramos en la ciudad de las artes en Valencia Sus dimensiones son mucho maacutes discretas que cualquiera de las analizadas anteriormente pero representa perfectamente en una construccioacuten el cilindro que queremos conocer

17

Imagen 22 Imagen obtenida de Google maps

d) Poliedros

Para introducir los poliedros y cuerpos curvos oblicuos tenemos un buen

ejemplo en la Plaza de Castilla de Madrid las torres Kio Como una de las primeras preguntas que nos vienen a la cabeza cuando las vemos es iquestPor queacute no se caen podemos analizar el motivo de ello

Figura 23 Imagen obtenida de Google maps

Pensando en figuras oblicuas es posible que nos acordemos de la Torre de Pisa torre campanario de la catedral de esta ciudad como una construccioacuten de este grupo Si observamos bien esta torre aunque lo pudiera parecer no es oblicua sino una torre de forma ciliacutendrica que empezoacute a inclinarse en cuanto comenzaron con su construccioacuten en 1173 y en la actualidad tiene una inclinacioacuten de 4ordm Si fuera una torre oblicua tendriacutea el ciacuterculo superior paralelo al suelo y no seriacutea perpendicular a la generatriz cosa que no se cumple como podemos observar en la fotografiacutea

18

Figura 24 httpseswikipediaorgwikiTorre_de_Pisa

Figura 25

Cilindro recto pero inclinado cilindro oblicuo

e) Cuerpos compuestos

Para finalizar esta seccioacuten traemos la estructura de prisma de base

cuadrada con tejado piramidal y equivalente a eacuteste el cilindro con un cono por encima En el primer caso la imagen es de un pinaacuteculo de la Faacutebrica de Moneda de Segovia el segundo caso es un granero que podemos encontrar casi en cualquier punto de la geografiacutea espantildeola

Las uacuteltimas clases en las que trabajaremos esta Unidad Didaacutectica consistiraacuten en la siguiente actividad cada alumno deberaacute buscar una construccioacuten en internet con alguna de las formas estudiadas disentildear un desarrollo plano de ella a escala y construir la maqueta Por ello es importante que podamos conocer las dimensiones reales de las construcciones elegidas

- En la clase de tecnologiacutea se realizaraacute la misma construccioacuten que hemos elegido en la clase de Matemaacuteticas a una escala que sea conveniente con los materiales que el profesorado de Tecnologiacutea crea conveniente (madera metal o incluso con impresora 3D si el instituto dispusiera de ella y fuera posible su utilizacioacuten)

17

Imagen 22 Imagen obtenida de Google maps

d) Poliedros

Para introducir los poliedros y cuerpos curvos oblicuos tenemos un buen

ejemplo en la Plaza de Castilla de Madrid las torres Kio Como una de las primeras preguntas que nos vienen a la cabeza cuando las vemos es iquestPor queacute no se caen podemos analizar el motivo de ello

Figura 23 Imagen obtenida de Google maps

Pensando en figuras oblicuas es posible que nos acordemos de la Torre de Pisa torre campanario de la catedral de esta ciudad como una construccioacuten de este grupo Si observamos bien esta torre aunque lo pudiera parecer no es oblicua sino una torre de forma ciliacutendrica que empezoacute a inclinarse en cuanto comenzaron con su construccioacuten en 1173 y en la actualidad tiene una inclinacioacuten de 4ordm Si fuera una torre oblicua tendriacutea el ciacuterculo superior paralelo al suelo y no seriacutea perpendicular a la generatriz cosa que no se cumple como podemos observar en la fotografiacutea

18

Figura 24 httpseswikipediaorgwikiTorre_de_Pisa

Figura 25

Cilindro recto pero inclinado cilindro oblicuo

e) Cuerpos compuestos

Para finalizar esta seccioacuten traemos la estructura de prisma de base

cuadrada con tejado piramidal y equivalente a eacuteste el cilindro con un cono por encima En el primer caso la imagen es de un pinaacuteculo de la Faacutebrica de Moneda de Segovia el segundo caso es un granero que podemos encontrar casi en cualquier punto de la geografiacutea espantildeola

Las uacuteltimas clases en las que trabajaremos esta Unidad Didaacutectica consistiraacuten en la siguiente actividad cada alumno deberaacute buscar una construccioacuten en internet con alguna de las formas estudiadas disentildear un desarrollo plano de ella a escala y construir la maqueta Por ello es importante que podamos conocer las dimensiones reales de las construcciones elegidas

- En la clase de tecnologiacutea se realizaraacute la misma construccioacuten que hemos elegido en la clase de Matemaacuteticas a una escala que sea conveniente con los materiales que el profesorado de Tecnologiacutea crea conveniente (madera metal o incluso con impresora 3D si el instituto dispusiera de ella y fuera posible su utilizacioacuten)

18

Figura 24 httpseswikipediaorgwikiTorre_de_Pisa

Figura 25

Cilindro recto pero inclinado cilindro oblicuo

e) Cuerpos compuestos

Para finalizar esta seccioacuten traemos la estructura de prisma de base

cuadrada con tejado piramidal y equivalente a eacuteste el cilindro con un cono por encima En el primer caso la imagen es de un pinaacuteculo de la Faacutebrica de Moneda de Segovia el segundo caso es un granero que podemos encontrar casi en cualquier punto de la geografiacutea espantildeola

Las uacuteltimas clases en las que trabajaremos esta Unidad Didaacutectica consistiraacuten en la siguiente actividad cada alumno deberaacute buscar una construccioacuten en internet con alguna de las formas estudiadas disentildear un desarrollo plano de ella a escala y construir la maqueta Por ello es importante que podamos conocer las dimensiones reales de las construcciones elegidas

- En la clase de tecnologiacutea se realizaraacute la misma construccioacuten que hemos elegido en la clase de Matemaacuteticas a una escala que sea conveniente con los materiales que el profesorado de Tecnologiacutea crea conveniente (madera metal o incluso con impresora 3D si el instituto dispusiera de ella y fuera posible su utilizacioacuten)

19

Al igual que en las Unidades anteriores las obras indicadas son orientativas entre la inmensidad de construcciones que podemos encontrar en la calle de cada uno de los cuerpos geomeacutetricos que se deben estudiar

Seriacutea tambieacuten conveniente realizar una serie de actividades para exponer ante el resto de los alumnos del centro estas actividades seriacutean

ACTIVIDADES

1ordm Exposicioacuten Cuadros realizados para el estudio de la geometriacutea plana

2ordm Exposicioacuten Maquetas a escala realizadas para el estudio del volumen

3ordm Concierto Con las composiciones realizadas por los alumnos preparando esta audicioacuten durante las clases de muacutesica

5 COORDINACIOacuteN INTERDEPARTAMENTAL

Para utilizar convenientemente estos recursos es imprescindible una perfecta coordinacioacuten del departamento de Matemaacuteticas con los tres departamentos implicados en el proyecto

Como primera medida tendriacuteamos que intentar que los tiempos estuvieran coordinados es decir comenzar cada Unidad Didaacutectica aproximadamente a la vez el departamento de Matemaacuteticas con el departamento que corresponda en cada caso y terminar tambieacuten en un tiempo aproximado

La segunda medida seraacute no duplicar demasiada informacioacuten esta medida puede ser a veces difiacutecil de cumplir pues estamos tratando un mismo tema en dos clases distintas Seriacutea conveniente que en la clase de Matemaacuteticas priorizaacuteramos sobre los aspectos geomeacutetricos formas voluacutemenes de las diversas figuras mientras que en

- Muacutesica se analizara maacutes la armoniacutea la melodiacutea la historia de la muacutesica ejecucioacuten de la partiturahellip

- Educacioacuten Plastica Visual y Audiovisual se estudiara el movimiento pictoacuterico de la abstraccioacuten geomeacutetrica se analizaran los colores y los equilibrios del cuadro para aplicarlo correctamente en la realizacioacuten de las laacuteminashellip

20

- Tecnologiacutea la finalidad y uso de las construcciones el estudio de los diversos materiales la construccioacuten a escala de los distintos edificios arquitectoacutenicos estudiadoshellip

6 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

Dominguez Pedro ldquoVanguardias artiacutesticas del siglo XXrdquo httpsvanguardiaartisticasigloxxwordpresscom20150807abstraccion-geometrica

Mantildeeacutes Pilar ldquoMax Bill obras de arte multiplicadas como originalesrdquo

httpsgrafficainfomax-bill-obras-de-arte-multiplicadas-como-originales

httpseswikipediaorg

httpswwwwikiartorg

20

- Tecnologiacutea la finalidad y uso de las construcciones el estudio de los diversos materiales la construccioacuten a escala de los distintos edificios arquitectoacutenicos estudiadoshellip

6 REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

Dominguez Pedro ldquoVanguardias artiacutesticas del siglo XXrdquo httpsvanguardiaartisticasigloxxwordpresscom20150807abstraccion-geometrica

Mantildeeacutes Pilar ldquoMax Bill obras de arte multiplicadas como originalesrdquo

httpsgrafficainfomax-bill-obras-de-arte-multiplicadas-como-originales

httpseswikipediaorg

httpswwwwikiartorg