Arithmitiki_Oloklirosi0

ΜΜΚ 311/ Μ. Αβερκίου 1

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΜΜΚ 311 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010 Μ. Αβερκίου 1. Αριθμητική Ολοκλήρωση 1.1 Εισαγωγή Πολλά προβλήματα μηχανικής καταλήγουν σε υπολογισμό κάποιου ολοκληρώματος. Αριθμητική ολοκλήρωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε δυο περιπτώσεις:

(α) Όταν δεν γνωρίζουμε τη μαθηματική συνάρτηση, δηλ. έχουμε μόνο αριθμητικά δεδομένα. (β) Όταν η μαθηματική συνάρτηση του προβλήματος είναι τόσο δύσκολη και πολύπλοκη που δεν μπορούμε να την ολοκληρώσουμε μαθηματικά.

dxx

xb

a∫ )cot(

)(logsin4/3

2

Υπάρχουν διάφορες αριθμητικές μέθοδοι για ολοκλήρωση με διαφορετικούς βαθμούς ακριβείας. Θα ξεκινήσουμε με απλές μεθόδους και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε σε πιο δύσκολες μεν αλλά με καλύτερη ακρίβεια δε.

1.2 Τύποι Αριθμητικής Ολοκλήρωσης (απλοί με ένα βήμα) 1.2.1 Τύπος Ορθογωνίου (midpoint method)

f(x) δεν το γνωρίζουμε

x

f

* * *

**

*

x

f f(x)

=∫ dxxfb

a

)( Περιοχή κάτω από καμπύλη


Η πιο απλή μέθοδος είναι ο τύπος του ορθογωνίου (simple midpoint formula). Υπολογίζουμε την επιφάνεια κάτω από την καμπύλη συνήθως με το μέσο σημείο των ορίων χ1. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε και ένα από τα δυο σημεία των ορίων αναλόγως με το πρόβλημα.

(a) Επιφάνεια κάτω από καμπύλη = (b-a)*f(x1) (b) Επιφάνεια κάτω από καμπύλη = (b-a)*f(a) (c) Επιφάνεια κάτω από καμπύλη = (b-a)*f(b) Ορίζουμε h=b-a ως το βήμα και ο τύπος (a) μπορεί τώρα να γραφτεί ως

)()()( 21 hOxhfdxxf

b

a

+=∫

| | ----------- σφάλμα 1.2.2 Τύπος τραπεζίου (Trapezoidal rule) Για περισσότερη ακρίβεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τύπο του τραπεζίου. Είναι όπως και το όνομα περιγράφει ο υπολογισμός της επιφάνειας κάτω από τη καμπύλη ως ένα τραπέζιο.

a b b x1 x

f(x)

a b b x

f(x)

a b x

f(x)

(a) (b) (c)


Επιφάνεια κάτω από καμπύλη = 2)()(*)( bfafab +

−

Και τώρα χρησιμοποιώντας h=b-a,

)(2

)()(*)( 3hEbfafhdxxfb

a

++

=∫

1.2.3 Τύπος Simpson (Simpson’s Rule) Οι δύο πιο πάνω τύποι (Ορθογωνίου και Τραπεζίου) μπορούν να θεωρηθούν ότι χρησιμοποίησαν ένα πολυώνυμο παρεμβολής μεταξύ των ορίων όπου για το τύπο ορθογωνίου το πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού [p(x)=c, where c is constant)], και για το τύπο του τραπεζίου είναι πρώτου βαθμού [p(x)=b*x+c]. Μια καλύτερη προσέγγιση θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε ένα πολυώνυμο 2ου βαθμού,

cbxaxxp ++= 2)(

Για απλοποίηση x0=-h, x1=0, x2=h και τώρα γράφουμε τη συνάρτηση p(x) στα 3 πιο πάνω σημεία:

h h

x1 x2 x0 x

f(x) f(x)

p(x)

a b b x

f(x)


cbhahycbhahhp

cycpcbhahychbhahp

++=⇒++=

=⇒=+−=⇒+−+−=−

22

21

20

2

)(

)0()()()(

Προσθέτοντας τη 1η και 3η εξίσωση βρίσκουμε

2120 /)2(2 hyyya −+=

Τώρα ολοκληρώνουμε το p(x)

chahdxcbxaxb

a

232)( 32 +=++∫

και αντικαθιστούμε τις τιμές του a, c

Τώρα επιστρέφουμε στην αρχική μας ορολογία

)]()2

(4)([3

)( bfbafafhdxxfb

a

++

+=∫

Μπορούμε με Taylor series methods να δείξουμε ότι το σφάλμα στη μέθοδο Simpson είναι

),(90

)4(5

nfhE −= όπου ],[ ban∈

1.3 Σφάλματα Ανάλογα με τη μέθοδο που χρησιμοποιούμε το σφάλμα διαφέρει. Μπορούμε να περιμένουμε όμως ότι η μέθοδος του τραπεζίου αφού κάνει χρήση 2 σημείων θα είναι πιο ακριβής από τη μέθοδο του ορθογωνίου που κάνει χρήση μόνο ενός σημείου. Με την ίδια λογική, η μέθοδος του Simpson θα είναι πιο ακριβής από τη μέθοδο του τραπεζίου αφού κάνει χρήση 3 σημείων. Για να βρούμε το σφάλμα στις διάφορες μεθόδους θα χρησιμοποιήσουμε τη σειρά Taylor. Η σειρά Taylor για το f(x) γύρω από το σημείο xi γράφετε ως

)4(3

)( 2102 yyyhdxcbxax

b

a

++=++∫


...)()(!3

1

)()(!2

1)()()()(

'''3

''2'

+−

+−+−+=

ii

iiiii

xfxx

xfxxxfxxxfxf

1.3.1 Τύπος Ορθογωνίου (midpoint method) Τώρα βάζουμε το Taylor series στο τύπο του ορθογωνίου και ολοκληρώνουμε αναλυτικά τους 2 πρώτους όρους

dxxxxfdxxf

dxxfxxxfdxxf

i

i

i

i

i

i

x

xii

x

xi

x

xiii

b

a

∫∫

∫∫++

+

−+=

−+=

11

1

)()()(

)]()()([)(

'

'

Με αντικατάσταση της σχέσης x-xi=s και dx=ds και με h=xi+1-xi η πιο πάνω εξίσωση γράφεται ως

)(21)(

)()()(

'2

0

'

0

ii

h

i

h

i

b

a

xfhxhf

dssxfdsxfdxxf

+=

+= ∫∫∫

Έτσι το σφάλμα του τύπου του ορθογωνίου E είναι:

)(21 '2

ixfhE =

1.3.2 Τύπος τραπεζίου (trapezoidal rule) Χρησιμοποιούμε πάλι τη σειρά Taylor για να βρούμε το σφάλμα στο τύπο τραπεζίου. Όμως τώρα γράφουμε το f(x) γύρω από 2 σημεία: το xi και το xi=+1.

...)()(!3

1

)()(!2

1)()()()(

'''3

''2'

+−

+−+−+=

ii

iiiiii

xfxx

xfxxxfxxxfxf


...)()(!3

1

)()(!2

1)()()()(

1'''3

1

1''2

11'

111

+−

+−+−+=

++

++++++

ii

iiiiii

xfxx

xfxxxfxxxfxf

Τώρα θα ολοκληρώσουμε το f(x) με τη προϋπόθεση ότι

)]()([21)( 1 xfxfxf ii ++=

K+−+−

+−+−

++=

++

++

+

)]()()()[(41

)]()()()[(21

)]()([21)(

1''2

1''2

1'

1'

1

iiii

iiii

ii

xfxxxfxx

xfxxxfxx

xfxfxf

Έτσι το ολοκλήρωμα γράφεται ως

dxxfxxxfxx

dxxfxxxfxx

dxxfxfdxxf

i

i

i

i

i

i

i

i

x

xiiii

x

xiiii

x

xii

x

x

∫

∫

∫∫

+

+

++

++

++

+

−+−

+−+−

++=

1

1

11

)]()()()[(41

)]()()()[(21

)]()([21)(

1''2

1''2

1'

1'

1

Αντικαθιστούμε στη πιο πάνω εξίσωση

dwdxxxwdzdxxxz

i

i

=⇒−==⇒−=

+1

και τώρα έχουμε


∫ ∫

∫∫

∫

−

−+

−+

−

+

+

+

+

+

+

+

++

++=

ii

ii

ii

ii

i

i

xx

xxii

xxi

xx

i

ii

x

x

dwwxfdzzxf

wdwxfzdzxf

hxfxfdxxf

1

1

1

1

1

0

02

1''2''

0

1'

0

'

1

)()([41

)()([21

)]()([21)(

…

K++

+−

++=

+

+

+∫+

]3

)(3

)([41

]2

)(2

)([21

)]()([21)(

3

1''

3''

2

1'

2'

1

1

hxfhxf

hxfhxf

xfxfhdxxf

ii

ii

ii

x

x

i

i

Σε O(h), 0)()( 1'' =− +ii xfxf

Και έτσι το σφάλμα του τύπου του τραπεζίου καταλήγει να είναι:

)]()([121

1''''3

++= ii xfxfhE

1.3.3 Τύπος Simpson Για το τύπο του Simpson παρόμοιες μέθοδοι όπως αυτές του τύπου ορθογωνίου και τραπεζίου μπορούν να εφαρμοστούν. Μένει σαν άσκηση για το μαθητή να αποδείξει ότι

),(90

)4(5

nfhE −=

1.4 Σύνθετοι τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης Κάθε απλός τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης που αναπτύχθηκε στο προηγούμενο μέρος μπορεί να προσεγγίσει με μεγαλύτερη ακρίβεια το αριθμητικό ολοκλήρωμα μιας


συνάρτησης f. Αυτό επιτυγχάνεται αν διαιρέσουμε το διάστημα ολοκλήρωσης σε ένα αριθμό υποδιαστημάτων, και σε κάθε υποδιάστημα τον αντίστοιχο απλό τύπο. Με αυτό τον τρόπο προκύπτουν οι σύνθετοι τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης. 1.4.1 Τύπος Ορθογωνίου (midpoint method)

Με 2 βήματα ο τύπος του ορθογωνίου είναι:

)]()([)( 21 xfxfhdxxfb

a

+=∫

Με N βήματα ο τύπος του ορθογωνίου είναι:

)]()()([)( 21 N

b

a

xfxfxfhdxxf +++=∫ K

1.4.2 Τύπος τραπεζίου (trapezoidal rule)

f(xN)

f(x1) f(x2)

h

a b

...

x

f(x) f(x)

x2 a b

h h

x1 x

f(x) f(x)


Προέκταση του τύπου του τραπεζίου με Ν βήματα καταλήγει στο ακόλουθο σύνθετο τύπο:

)]()(2)(2)([2

)( 321 N

b

a

xfxfxfxfhdxxf +++=∫ K

1.4.3 Τύπος Simpson

Προέκταση του τύπου του Simpson με Ν βήματα καταλήγει στο ακόλουθο σύνθετο τύπο:

])()(4)()()(4)([3

)( 543321 K++++++=∫ xfxfxfxfxfxfhdxxfb

a

--------------------------------- ----------------------------------- ↑ ↑ πρώτο βήμα δεύτερο βήμα Αφού προσθέσουμε τους όμοιους όρους, τότε έχουμε:

f(xN) f(x2)

f(x1)

h

a b

...

x

f(x) f(x)

...


)]()(4)(2

...)(2)(4)(2)(4)([3

)(

12

54321

NNN

b

a

xfxfxf

xfxfxfxfxfhdxxf

+++

+++++=

−−

∫

Παράδειγμα:

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dxex∫−

1

1 με τις διάφορες μεθόδους και να συγκρίνετε

το σφάλμα. (α) Τύπος ορθογωνίου (midpoint)

2552.2][*1 5.05.01

1

=+= −

−∫ eedxex

2 Βήματα

3261.2][*5.0 75.025.025.075.01

1

=+++= −−

−∫ eeeedxex

4 Βήματα

(β) Τύπος τραπεζίου (trapezoid rule)

54.2]21

21[*1 101

1

1

=++= −

−∫ eeedxex

2 Βήματα

399.2]21

21[*5.0 15.005.01

1

1

=++++= −−

−∫ eeeeedxex

4 Βήματα

(c) Simpson’s rule

3620.2]4[*31 101

1

1

=++= −

−∫ eeedxex

1 Βήμα

3512.2]424[*35.0 15.005.01

1

1

=++++= −−

−∫ eeeeedxex

4 Βήματα

(d) Ακριβής αναλυτική λύση

3504.2| 1111

1

1

=−== −−

−∫ eeedxe xx

Πίνακας με τα πιο πάνω αποτελέσματα:


O2 O4 Tr2 Tr4 S2 S4 Exact 2.255 2.326 2.54 2.399 2.362 2.351 2.350 Παράδειγμα 2: Υπολογίστε το π με το τύπο του Simpson. Ξεκινούμε με το ολοκλήρωμα

4/)1arctan(1

11

02 π==

+∫ dxx

Μπορούμε να γράψουμε

π=+∫ dx

x

1

021

4

Ο τύπος του Simpson είναι

)]()(4)([31

4210

1

02 xfxfxfhdx

x++=

+∫

όπου 1,5.0,0,5.0 210 ==== xxxh . Έτσι βρίσκουμε

133.3]25

16*44[61

141

02 =++=

+∫ dxx

Ερώτηση: Πιο βήμα θα δώσει το π με ακρίβεια 3 δεκαδικά ψηφία? 1.5 Μέθοδοι παρεκβολής Richardson και ολοκλήρωση Romberg (Richardson extrapolation methods and Rommberg integration) Η ολοκλήρωση με περεκβολή Richardson και μέθοδο Romberg είναι μια μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης η οποία μας επιτρέπει να βελτιώσουμε την ακρίβεια που έχουμε με το τύπο τραπεζίου. Η κεντρική ιδέα είναι να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα με 2 διαφορετικά βήματα (το ένα διπλάσιο του άλλου) και μετά να προσθέσουμε τα αποτελέσματα με ένα κατάλληλο τρόπο ώστε να έχουμε ακρίβεια καλύτερη από ότι θα είχαμε με τα δυο αρχικά ολοκληρώματα. Ξεκινούμε με ένα υποδιάστημα (βήμα) και το υποδιαιρούμε συνεχώς σε πιο μικρά. Μετά κατασκευάζουμε ένα σχήμα παρεκβολής που μας δίνει μια βελτιωμένη απάντηση. Γράφουμε το ολοκλήρωμα με τον εξής τρόπο:

nh

nh ChIhOII +=+= )(


όπου το Ι είναι η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος, το Ih είναι η υπολογιζόμενη τιμή του ολοκληρώματος με βήμα h και το C είναι μια σταθερά. Για παράδειγμα, το ολοκλήρωμα με το τύπο του τραπεζίου είναι

)2(16.0)4.0(

)1(04.0)2.0(

4.02

4.0

2.02

2.0

CICII

CICII

+=+=

+=+=

Μπορούμε να αφαιρέσουμε την εξίσωση (2) από 4*(1) για να βρούμε

)3()()4(3143

44.02.0

4.02.0

hOIII

III

+−=

⇒−=

Μπορούμε να συνεχίζουμε να εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή συνεχώς (και στις τιμές που πήραμε με παρεκβολή). Ένας γενικός τύπος είναι:

)()4(31 42/

11 hOIII nk

nk

nk +−= −−

όπου k=1, και n=2, 4, 8, … Η διαδικασία γίνεται πιο εμφανής με το πιο κάτω σχεδιάγραμμα:

Το ολοκλήρωμα στη πρώτη παρεκβολή 2

1I , 4

1I , nI 1 ονομάζεται ολοκλήρωμα

Richardson Extrapolation. Από τη δεύτερη παρεκβολή και μετά, nI 2 ,

nI 3 , κλπ, ονομάζονται ολοκλήρωμα Romberg. Ο γενικός τύπος για k>1 είναι:

1 2 4 8 16

10I

20I

40I

80I

160I

2

1I 4

1I 8

1I 161I

42I

82I

162I

. . .

Αριθμός Βημάτων: Υπολογιζόμενο Ολοκλήρωμα: 1η Παρεκβολή: 2η Παρεκβολή: . . .


)()4(14

1 42/11 hOIII n

knk

kk

nk +−

−= −−

1.5.1 Ανάλυση ολοκλήρωσης Romberg Θα προσπαθήσουμε τώρα να καταλάβουμε καλύτερα αυτή τη μέθοδο ολοκλήρωσης. Θα ολοκληρώσουμε το f(x) με δυο διαφορετικά βήματα, το ένα μισό του αλλού και θα εφαρμόσουμε το τύπο παρεκβολής.

Γράφουμε το τύπο παρεκβολής

)4(31 1

020

21 III −= (1)

όπου

)(2 2011

0 ffhI += (2)

)2(2 21022

0 fffhI ++= (3)

Ορίζουμε το h=h2=h1/2 και αντικαθιστούμε τη (2) και (3) στη (1)

)]()2(2

4[31

202102

1 ffhfffhI +−++=

]4[3 210

21 fffhI ++= (5)

το οποίο αποτέλεσμα είναι ο τύπος του Simpson για ολόκληρο το διάστημα με δύο βήματα. Με επανάληψη της μεθόδου για το 4

1I έχουμε

)222(2 43210

40 fffffhI ++++= (6)

)2( 42020 fffhI ++= (7)

f0

h2

x1 x2 x0 x

f(x) f(x)

h1

f1 f2


Αντικαθιστούμε τη (6) και (7) στο τύπο παρεκβολής (Romberg) και καταλήγουμε στο

)424(3 43210

41 fffffhI ++++= (8)

Παρατηρούμε ότι το πιο πάνω είναι ο τύπος του Simpson για ολόκληρο το διάστημα με 4 βήματα. Η ίδια μέθοδος μπορεί τώρα να εφαρμοστεί για να βρούμε 2ου βαθμού παρεκβολή. Ξεκινούμε από το τύπο του Simpson και στο τέλος καταλήγουμε στα nI 2 ,

nI3 , … Παράδειγμα: Να ολοκληρώσετε το πιο κάτω με Romberg:

1)sin(2/

0

== ∫ dxxIπ

(Σημείωση: γνωρίζουμε την ακριβή λύση)

)(2 1011

0 ffhI += και 2/1 π=h

78539816.0)10(4

10 =+=

πI

Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο για τους υπόλοιπους όρους:

)2(2 21022

0 fffhI ++= και 4/2 π=h

94805945.0)12220(

820 =++=

πI

)222(2 4321034

0 fffffhI ++++= και 8/3 π=h

98711580.0)18

3sin24

sin28

sin20(16

40 =++++=

ππππI

Για 99678517.0,16/4,8 80 === Ihn π

Με τον τύπο για ολοκλήρωση Romberg βρίσκουμε

,0000083.1,0001346.1,0022799.114

4,14

4,14

4

81

41

21

40

808

1

20

404

1

10

202

1

===−−

=−−

=−−

=

III

IIIIIIIII

Μπορούμε να συνεχίσουμε την ολοκλήρωση Romberg για να βρούμε


.00000001.1,99999987.0,99999158.014

4,14

4,14

4

83

82

42

3

42

82

3832

41

81

2822

21

41

242

===−−

=−−

=−−

=

III

IIIIIIIII

Arithmitiki_Oloklirosi0

Documents

Transcript of Arithmitiki_Oloklirosi0