APUNTES 1 : MATEMTICA II Matemtica II (DBMT01/54/V 2015/O Osorno O1 ) Prof : Nelson Herrera

OPERATORIA ALGEBRAICA : TRMINOS SEMEJANTES

Se denominan trminos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a2b y 5a2b son semejantes. Los trminos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.

Por ejemplo: -2a2 b + 5a2b = 3a2b, 10x2z322x2z3= -12x2z3

Si los trminos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: La operacin 12a2b + 13ab2 no se puede reducir ms, debido a que los trminos no son semejantes. ELIMINACIN DE PARNTESIS

Para eliminar parntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: (1) Si aparece un signo + delante de un parntesis (o ningn signo), se elimina el parntesis conservando los signos de los trminos que aparezcan dentro del parntesis. (2) Si aparece un signo - delante de un parntesis, se elimina el parntesis cambiando los signos de los trminos que aparezcan dentro del parntesis. Ejemplo: 2ab (a + ab) + (3a 4ab) = Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 2ab a ab + 3a - 4ab, reduciendo trminos semejantes: -2ab + 2a - ab

MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicacin de monomios: se multiplican los coeficientes entre s, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Por ejemplo: Ejemplo: (2x2y3z)*(4x4y2)= 8x6y5z

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 2ab + b2 = (a b)2

Suma por la diferencia de dos cantidades

(a + b) (a b) = a2 b2

Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma

x2 + (a b)x ab = (x + a) (x b)

Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma

x2 (a + b)x + ab = (x a) (x b)

Producto notable Expresin algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados a3 b3 = (a b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 ab) Suma de cubos a4 b4 = (a + b) (a b) (a2 + b2) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

2bc Trinomio al cuadrado

DIVISION SINTTICA

Es un mtodo rpido y exacto para dividir un polinomio entre un polinomio lineal de la forma . El mtodo se describe en la forma siguiente:

Se colocan los coeficientes de en orden descendente de las potencias de x, colocando cero como coeficiente de cada potencia que no aparezca.

Despus de escribir el divisor en la forma , se usa para generar la segunda y la tercera fila as: se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por ; se suma el producto al segundo coeficiente del dividendo, se multiplica esa suma por y se suma al tercer coeficiente del dividendo. El proceso se sigue hasta que un producto se suma al trmino constante del dividendo.

El ltimo nmero de la tercera fila es el residuo; los otros nmeros de la tercera fila son los coeficientes del cociente, que es de un grado menor que .

Ejemplo : Use la divisin sinttica para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir

, .

Solucin.

, .

.

Por tanto, el cociente es, .

Un residuo es .

El siguiente teorema proporciona un mtodo para hallar entre que nmeros reales se encuentran los ceros reales de un polinomio .

Cotas superior e inferior de ceros reales. Dado un polinomio con coeficientes reales de grado y tal que el coeficiente del trmino ensimo es positivo.

Si se divide sintticamente por entonces:

Si y todos los nmeros de las filas del cociente son no negativos, entonces es una cota superior de los ceros de .

Si y todos los nmeros de la fila del cociente alternan de signo, entonces es una cota inferior de los ceros de .

Ejemplo : Encuntrese el menor entero positivo y el mayor entero negativo que sean cotas superior e inferior del polinomio .

Para hallar la cota inferior, hay que obrar por inspeccin analizando con = - 1. -2, - 3 etc. Es fcil verificar que la cota inferior es = - 4 . Dividiendo sintticamente se tiene:

Obrando de manera similar se demuestra que = 6 es una cota superior de ese polinomio. Como consecuencia, cualquier cero del polinomio anterior es menor que 6 y mayor que -4.

Teorema de aislamiento de ceros. Si es un polinomio con coeficientes reales y si y son de signo opuesto, entonces existe al menos un cero real entre a y b.

Ejemplo : Muestre que existe al menos un cero real en el polinomio entre 2 y 3.

Solucin.

ya que y tienen signos opuestos, existen al menos un cero real entre 2 y 3.

Teorema de los ceros racionales. Todo cero racional del polinomio

es de la forma , donde b es un factor de y c

es un factor de .

Ejemplo: Hllense todos los posibles ceros racionales del polinomio .

, por tanto b consta de los divisores de 9 o sea: .

, por tanto c consta de los divisores de 2 o sea: .

O sea que los posibles ceros racionales de son los de la forma o sea que son:

.

As, si posee ceros racionales deben ser los listados anteriormente.

Ejemplo : Encuentre todos los ceros racionales de .

En este proceso, se van a utilizar varios teoremas as:

Como y hay dos variaciones de signo, existen dos ceros reales positivos o ninguno.

Como y hay una variacin de signo, se puede asegurar que hay un cero real negativo.

Como y , los posibles ceros racionales son: .

Se puede verificar que 2 es un cero real as:

por tanto, .

Los ceros de se hallan resolviendo la ecuacin cuadrtica y son y

2. As los ceros racionales de son: 2, -2, .

Aproximacin de ceros irracionales. Para hallar los ceros irracionales en forma aproximada, se buscan dos reales a y b tales que y sean de signo diferente. Se divide ese intervalo en una serie de subintervalos y se halla un c entre a y b que cumpla que y y sean de signo diferente.

El proceso se repite tantas veces como se desee, hasta obtener una aproximacin al cero irracional con la precisin pedida.