Apresentação Sistemas
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ECO018: MODELAGEM E
ANÁLISE DE SISTEMAS
DINÂMICOS
Professor: Msc. André Chaves Magalhães
Dr. Dair José de Oliveira 1
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IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: MODELO
MATEMÁTICO DE UM SISTEMA DINÂMICO DE
QUARTA ORDEM
Amanda de Souza Limas
Clara Duarte de Sant Anna
Luan Carlos de Almeida Silva
Zélia Gabriela Ferreira Gomes
2
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Modelo Matemático
• “Modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como o conjunto
de equações que representa a dinâmica do sistema com precisão, ou pelo
menos, razoavelmente bem.” Ogata (2010)
• Pode ser representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter
vários modelos matemáticos (Função de Transferência, Variáveis de Estados,
Diagrama de Blocos, Método dos Mínimos Quadrados).
3
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Modelo Matemático
• Objetivo: analisar o comportamento de uma variável contínua de interesse,
analisando se ocorre:
o A tendência a um valor finito após a aplicação de uma excitação;
o Possibilidade de diminuir o tempo do regime transitório.
4
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Modelo Matemático
• A dinâmica de muitos sistemas pode ser descrita através de equações
diferenciais;
• Conhecidos os valores de entrada e saída de um sistema, é possível obter um
modelo matemático que descreve o comportamento do sistema
5
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Modelo Matemático
6
• O modelo matemático é do tipo:
Com n≥m, onde y representa a saída e x é a entrada
xbxbxbxbxbyayayayaya mmmmm
nnnnn
1)2(
2)1(
1)(
01)2(
2)1(
1)(
0 ......
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Modelo Matemático
7
• O sistema trabalhado neste trabalho é de quarta ordem e a equação a qual
pretende-se encontrar é do tipo:
ubyat
ya
t
ya
t
ya
t
y0012
2
23
3
34
4
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Modelo Matemático
• Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação,
encontramos a equação equivalente:
(Função de Transferência)
8
sasasasas
b
sU
sYsGs
0123
4
0
²³)(
)()(
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Modelo Matemático
• Esse é um procedimento que exemplifica a identificação de sistemas de
modo que, para tanto, se faz necessário determinar os parâmetros reais a0, a1,
a2, a3 e b0.
9
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Objetivos
• Projetar e construir um sistema físico de quarta ordem (Filtro ativo de quarta
ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta Chebyshev do tipo 1);
• Obter uma representação por função de transferência de quarta ordem;
10
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Objetivos
• Validar FT a partir de um conjunto de dados, empregando a teoria de
modelagem e análise de sistemas dinâmicos;
• Encontrar outras três formas de representações matemáticas – Modelo por
Variáveis de Estados, Diagrama de Blocos e Método dos Mínimos Qua-
drados.
11
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Softwares utilizados
• MATLAB;
• PSIM
12
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Teoria sobre identificação de sistemas
• A identificação de sistemas dinâmicos pode ser definida como a utilização de
procedimentos numéricos;
• Visam obter modelos de sistemas dinâmicos, a partir de medidas das suas
entradas e saídas.
13
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Teoria sobre identificação de sistemas
• Os procedimentos para identificação de sistemas:
I. Coleta de dados;
II. Escolha da representação do modelo;
III. Escolha da estrutura do modelo;
IV. Estimação de parâmetros;
V. Testes de validação do modelo.
14
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Métodos dos mínimos quadrados
• Basicamente, para um sistema representado na forma de uma tabela com N
medidas (dados de entradas e saídas anteriores φ, deseja-se determinar os
coeficientes θ de uma equação que represente o sistema de maneira mais
adequada possível.
• O erro ξ da aproximação obtida é minimizado conforme um critério
quadrático J
15
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Métodos dos mínimos quadrados
16
• As equações seguintes expressam a conceituação:
)()'()( mmly
N
i
iJ1
')²(
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Métodos dos mínimos quadrados
• Denotando F o vetor transposto dos regressores, E o vetor de erro e y os
valores reais, tem-se a expressão de erro :
E = y – Fq
• Dessa forma, a função de custo pode ser escrita como
J = [y-Fq]’[y-Fq]
17
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Métodos dos mínimos quadrados
• Desenvolvendo a equação anterior, obtém-se:
J = y’y - 2q’F’y + q’F’Fq
• O vetor coeficientes que minimiza a função de custo é obtido derivando J em
relação à θ e igualando a expressão obtida a zero, resultando em:
-2F’y + 2F’Fq=0
18
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Métodos dos mínimos quadrados
• Assim, os valores estimados dos coeficientes da equação de modelagem são
dados por:
19
yFFF ']'[ 1
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Filtros
• Filtros são circuitos elétricos que permitem passagem de corrente elétrica ou
tensão elétrica em uma faixa de frequências e inibem a passagem em outras
frequências.
20
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Filtros
• São classificados em função da banda passante e em função da ordem dofiltro, podendo ser:
Passa Baixa;
Passa Alta;
Passa Faixa;
Rejeita Faixa;
Defasador ;
Variável de Estado.
21
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Filtros
• Os filtro também pode ser classificado quanto ao formato da resposta:
Bessel: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição suave
Butterworth: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição moderada
Chebyshev 1: faixa de passagem com oscilação, região de transição moderada e faixa derejeição plana
Chebyshev 2: faixa de passagem plana, região de transição moderada e faixa de rejeiçãocom oscilação
Elíptico: faixa de passagem e rejeição com oscilações e região de transição abrupta
22
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Filtros
• E de acordo com a sua topologia, sendo:
Cauer: Indutores e capacitores (passivo)
Sallen Key: Resistores e capacitores (ativo)
Realimentação múltipla: Resistores e capacitores (ativo)
Variáveis de estado: Resistores e capacitores (ativo)
Biquadrático: Resistores e capacitores (ativo)
23
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Filtros
• A Figura 1a seguir apresenta
a resposta característica de
cada tipo de filtro:
24Figura 1: Respostas de diferentes filtros
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Sistema físico
• Filtro ativo de quarta ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta
Chebyshev tipo 1:
25
Figura 2: Sistema físico montado no software PSIM
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Sistema físico
• Os valores de frequência de corte fc e fator de qualidade Q escolhidos foram:
-Primeira parte (1° amp-op): -Segunda parte (2° amp-op):
fc = 999,66 Hz fc = 1003,28 Hz
Q = 0,541525622 Q = 1,305756486
26
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Sistema físico
• Para o filtro de quarta ordem desejado, temos a frequência de corte e o fatorde qualidade:
fc = 1000 Hz
Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864 (Q > 0,707 -característico do filtro Chebyshev).
27
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Sistema físico
• Os valores dos resistores foram escolhidos e os valores de capacitância foram
determinados resolvendo-se o sistema de equações formado pelas equações:
28
21212
1
CCRRf c
)( 211
2121
RRC
CCRRQ
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Sistema físico
• Para uma simulação feita usando o software PSIM, o sinal de entrada é o da
figura a seguir:
29Figura 3: Sinal de entrada no PSIM
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Sistema físico
• O sinal de saída obtido está apresentado na figura a seguir:
30Figura 4: Sinal de saída no PSIM
![Page 31: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/31.jpg)
Sinal de entrada do sistema físico
• O sinal de entrada foi obtido no gerador de funções visto na Figura 5:
31Figura 5: Osciloscópio
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Sinal de saída do sistema físico
32Figura 6: Sinal de saída dado no osciloscópio
![Page 33: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/33.jpg)
Sinal de saída do sistema físico
• Comparando-se a Figura 6 com a Figura 1 pode-se concluir que a saída do
sistema físico se assemelha a saída característica do filtro Chebyshev tipo 1.
33
![Page 34: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/34.jpg)
Sinal de saída do sistema físico
• O fator de qualidade Q determina o formato da resposta do filtro, sendo:
Bessel: Q = 0,5
Butterworth: Q = 0,707
Chebyshev: Q > 0,707
• Como já mostrado previamente, os cálculos comprovam o tipo de filtro:
Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864
(Q > 0,707 - característico do filtro Chebyshev).
34
![Page 35: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/35.jpg)
Desenvolvimento matemático
• Função de transferência -G(s)- é a relação da transformada de Laplace da
saída para a transformada de Laplace da entrada.
• A estrutura básica do filtro utilizado é mostrada na Figura 7:
35Figura 7: Filtro Passa Baixa Sallen Key
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Desenvolvimento matemático
• Denominando:
I1 a corrente no resistor 1;
I2 a corrente no capacitor 2;
I3 a corrente no resistor r;
I4 a corrente na entrada inversora do amplificador operacional;
Vi o sinal de tensão na entrada;
Vo o sinal da tensão na saída;
Va o sinal de tensão no ponto de nó entre R1 e R2(no ponto de introdução de C2 no circuito)
36
![Page 37: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/37.jpg)
Desenvolvimento matemático
• Temos:
I² =
I³ = com I1 = I2 + I3
37
1
1R
VVI Ai
sC
VV oA
2
1
sCR
VA
12
1
![Page 38: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/38.jpg)
Desenvolvimento matemático
• Desenvolvendo tem-se:
38
1R
VV Ai
sC
VV oA
2
1
sCR
VA
1
2
1
112
122
11
sCR
sCVsVCsVC
R
V
R
V AoA
Ai
o
i
A sVCR
VsC
RsCR
sCV 2
1
2
112
1 1
1
![Page 39: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/39.jpg)
Desenvolvimento matemático
• A tensão em C1:
• Com o ganho unitário:
VA = Vo(R2C1s+1)
39
sCR
VsC
V
A
C
1
2
11 1
1
oAo
A
VsCR
VV
sCR
VsC
1
1)1(
1
1
12
1
2
1
![Page 40: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/40.jpg)
Desenvolvimento matemático
Vo(R2C1s+1)
Vo(R2C1s+1)
40
sC
RsCR
sC2
112
1 1
1 oi sVC
R
V2
1
1
)1()1(
12
1212121
sCR
sCRsRCsCRsCo
i sVCR
V2
1
11
121221211211 ²1
R
V
R
sRCsRCsCCRRsCRsCRVo i
)(1)(
1
221211
sFsCRRRRsCV
V
i
o
![Page 41: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/41.jpg)
Desenvolvimento matemático
• Como a topologia da segunda parte do circuito é igual à topologia do
primeiro, temos F(s) = H(s), em que:
G(s) = F(s) H(s)
e:
41
1)()²(
1 = F(s)
12112121 sCRCRRRCCs
1)()²(
1 = H(s)
34334343 sCRCRRRCCs
![Page 42: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/42.jpg)
Desenvolvimento matemático
42
]1)()²([1]1)()²()[(]1)()²()[²(
1
]1)()²(][1)()²([
1)(
34334343343343431211343343432121
3433434312112121
CRCRsRRCCsCRCRsRRCCsCRCRsCRCRsRRCCsRRCCs
CRCRsRRCCsCRCRsRRCCssG
)²()³()(
1)(
43434231323141313131212121321421321321321432143214 RRCCRRCCRRCCRRCCRRCCRRCCsRRRCCCRRRCCCRRRCCCsRRRRCCCCs
sG
]1)(
1...
43332111 RCRCRCRCs
![Page 43: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/43.jpg)
Desenvolvimento matemático
• Substituindo os valores de , tem-se:
43
43214321 RRRRCCCC
134.124²1048762104.25³10525248735.41024445107.6
1)(
512416
sssssG
15131134 10601421788.110991207852.1²10081643167.4³10246831922.7
1)(
sssssG
![Page 44: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/44.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
• Para o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de
entrada, como:
44
xbxbxbxbxbyayayayaya mm
mmm
nn
nnn
1
)2(
2
)1(
1
)(
01
)2(
2
)1(
1
)(
0 ......
![Page 45: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/45.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
• Uma maneira de obter uma equação de estado e a equação de saída, para esse
caso, é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de
estado:
45
![Page 46: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/46.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
46
![Page 47: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/47.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
47
![Page 48: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/48.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
48
![Page 49: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/49.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
49
![Page 50: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/50.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
50
• Para validar as equações de variáveis de estado, foi utilizada a seguinte rotina
no MATLAB:
den = [1 7.246831922x103 4.081643167x1011 1.991207852x1013 1.601421788x1015];
num = [0 0 0 0 1.601421788x1015];
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);
ES = ss(A,B,C,D)
[y,t,x] = step(ES);
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Validação do modelo por variáveis de estado
• Desse modo, a imagem gerada
está representada na Figura 7.5:
51
Figura 7.5: Resposta ao degrau para a
validação das equações de espaço de estados
![Page 52: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/52.jpg)
Validação do modelo por variáveis de estado
• A Figura 7.5 representa a saída para o sinal de entrada como degrau. Esta
imagem é semelhante ao sinal esperado, como na Figura 8(b), comprovando
a validade da equação de espaços de estado.
52
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Validação da Função de Transferência
• No Simulink, um sinal da foi aplicado (Figura 8 - a)a um bloco de função de
transferência com os dados da FT gerando a saída vista na Figura 8(b):
53Figura 8 - Validação da Função de Transferência com (a) sinal de excitação e (b) sinal de saída
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Validação da Função de Transferência
• O sinal estabilizado na Figura 9(b) indica que a função de transferência é
coerente com o sistema em estudo:
54Figura 9 - Validação da função de transferência a partir de uma forma de onda quadrada com (a) entrada e (b) saída
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Validação da Função de Transferência
• A Figura 10(a) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 8 e a Figura
10(b) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 9:
55
Figura 10(a) Figura 10(b)
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Validação da Função de Transferência
• É notável que a Figura 6 (saída do sistema físico) é semelhante à Figura 9(b),
indicando a validade da função de transferência.
56
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Diagrama de blocos
• O Diagrama de blocos da FT é apresentado a seguir dividido em duas
imagens para melhor visualização:
57
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58
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59
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Diagrama de blocos
• Substituindo por valores reais o diagrama de blocos, temos a representação a
seguir:
60
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61
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62
![Page 63: Apresentação Sistemas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051419/55cf881655034664618d3432/html5/thumbnails/63.jpg)
Análise do comportamento dinâmico do
sistema
• Para fazer a análise do sistema, foi utilizado método de Routh de modo a
determinar a sua estabilidade, sendo:
s4 1 4.081643167 x 1011 1.601421788 x 1015
s³ 7.246831922 x 10³ 1.991207852 x 10³
s² 4.081643167x 1011 1.601421788 x 1015
s -2.843076016 x 106
s0 1.601421788 x 1015
Observa-se duas trocas de sinal na primeira coluna dos coeficientes. Essas duas trocas
de sinal mostram que o sistema é instável, com duas raízes no semi plano direito.63
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Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
• Código do MATLAB e resposta ao degrau:
A0 = 1.601421788e15;
A1 = 1.991207852e13;
A2 = 4.081643167e11;
A3 = 7.2468922e3;
A4 = 1;
B0 = 1.601421788e15;
64
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Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
• Função de transferência com os parâmetros encontrados pelo toolbox: G2=tf(B0,[A4 A3 A2 A1 A0])
figure
step(G2)
title('Resposta ao degrau')
xlabel('Tempo')
ylabel('Amplitude')
grid on;
hleg3 = legend('Modelo mínimos quadrados','Modelo toolbox','Location','SouthOutside');
%características da resposta ao degrau para G1 e G2
S1=stepinfo(G1)
S2=stepinfo(G2)65
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Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
S1 =
RiseTime: 0.0109
SettlingTime: 0.0195
SettlingMin: 0.0806
SettlingMax: 0.0893
Overshoot: 0
Undershoot: 0
Peak: 0.0893
PeakTime: 0.0522 66
S2 =
RiseTime: 0.0233
SettlingTime: 0.1343
SettlingMin: 0.9298
SettlingMax: 1.2629
Overshoot: 26.2889
Undershoot: 0
Peak: 1.2629
PeakTime: 0.0565
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Desenvolvimento do método dos mínimos
quadrados
• Função de transferência:
Transfer function:
1.601e015
---------------------------------------------------------------------------
s^4 + 7247 s^3 + 4.082e011 s^2 + 1.991e013 s + 1.601e015
67
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Apêndice B
• Vide arquivo em anexo para mais
detalhes
z =
1.0e+005 *
-0.0005
-0.0360 + 6.3887i
-0.0360 - 6.3887i
68
p =
1.0e+005 *
-0.0360 + 6.3887i
-0.0360 - 6.3887i
-0.0002 + 0.0006i
-0.0002 - 0.0006i
k =
0
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Conclusão
• À partir dos modelos matemáticos desenvolvidos no presente trablaho, foi
possível modelar e analisar um sistema físico de quarta ordem, bem como
comparar seus parâmetros (encontrados à partir dos diferentes modelos).
• Foi possível também estudar a estabilidade do sistema, sendo instável, com
dois polos no semi-plano direito.
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Referências
• SOUZA, Antonio C. Zambroni de, PINHEIRO, Carlos A. M., Introdução a Modelagem, Analise e Simulação de Sistemas Dinâmicos, 1 Edição, Interciência, 2008.
• OLIVEIRA, Dair José de, BRAGA, Denis de Carvalho. Laboratório 9: Introdução ao Toolbox de Identificação de Sistemas. 04-04 de jun de 2012. 18 p. Notas de Aula.
• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 5ª Edição, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010.
• PICHORIM, S. F. FILTROS ATIVOS. Notas de Aula
• http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/Amp-OP%20IV%20-%20filtros.pdf
• SILVA, J. T. L. e FILTROS ATIVOS: PROJETO. Notas de Aula
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Referências
• RUEDA, D. E. IMPLEMENTAÇÃO DE UM CIRCUITO ELETRÓNICO UNIVERSAL DE SUPORTE À IMPLEMENTAÇÃO DE FILTROS ANALÓGICOS NA BANDA DO ÁUDIO. Tese de Obtenção de Grau em Engenharia Eletroeletrônica.
• http://www.elt09.unifei.edu.br/roteiroslab/AmpOp_Lab8.pdf
• MELGES, D. CIRCUITOS ELÉTRICOS III. Notas de Aula
• FABRIZZIO, P. FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA. Notas de Aula
• SOUZA, A. A. de COMPARAÇÃO DE EFICIÊNCIA DE FILTROS DIGITAIS IIR E FIR. Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina - CEFET-SC CST em Sistemas de Telecomunicações.2008<http://www.sj.cefetsc.edu.br/~moecke/DISCIPLINAS/PSD3606/2008_2/Prj_2008_2_Adriano_Aurelio.pdf>
• INPE. ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA: SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (CONTINUAÇÃO).Notas de Aula
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