2 חדו"א נוסחאות נספח

y לפי אינטגרציה 1

הפונקציות את ממירים אזי y ע"פ אינטגרל לעשות ורוצים במידהבהתאם:

להיות הופכת y = x2 למשל או ,x = y2 להיות הופכת y = 2x למשל:

x = ±√yלמשל: הנמוך, לערכו y של הגבוה מערכו מתחילים אנחנו וכעת

הפונקציות: שתי בין הכלוא הצבוע השטח את לחשב

מתייחסים שאנחנו וכמובן (0, 0) , (2, 4) הינן החיתוך נקודות.(x = −√yל־ (ולא x =

√yל־

:x ע"פ אינטרציה לכן,

ˆ 2

0

(2x− x2

)dx =

[x2 − x3

3

]20

= 4− 8

3=

4

3

:y ע"פ ואילו

ˆ 4

0

(√y − y

2

)dy =

[2y

32

3− y2

4

]40

=16

3− 4 =

4

3

נפחים חישוב 2

הצורה של למשל מימדית, תלת צורה של נפח לחשב רוצים אנחנו עםהבאה:

A (x)ב־ נסמן (שאותו הדיסקית שטח של אינטגרל הוא נפחה אזיהעליונה, לנקדוה התחתונה מהנקודה משתנה]) שהוא [מכיוון

נמצא וקודקודו ב־0 מתחיל שבתמונה החרוט אנחנו כי נניח למשל,אזי: ב־5,

S =

ˆ 5

0

A (x) =

ˆ 5

0

2πrdx

מהן לדעת נצטרך אותו לדעת בשביל אבל xב־ תלוי r כאשרהפונקציות.

(דיסקים) הטבעות שיטת 2.1

הבא: הגוף את לחשב רוצים שאנחנו נניחנראה זה אזי ,xה־ ציר סביב 2 עד מ־0 y = 1

2x2 הפונקציה של הגרף

כך: בערךבדוגמא) כאן לחשב רוצים שאנו השטח לא הוא הצבוע (השטח

,yה־ ציר סביב דיסקית מסמל השחור הקו כאשרלכן: בנקודה, הפונקציה ערך הינו (r) הרדיוס הנוסחא הזה במקרה

מעגל של שטח כזכור, הדיסקית. של הנפח של האינטגרל הינו הנפחπ · r2 הינו:

V =

ˆ 2

0

π ·(1

2x2)2

dx = π

[x5

5 · 4

]20

...

לחשב, רוצים שאנחנו למה צמוד יהיה אינו הגרף שבו מצב להיות יכולהפנימי השטח את כאשר כזאת: דיסקית מעין לנו תיווצר בעצם לכן

לחשב.... רוצים איננוהצבוע): בשטח רק מעוניינים (אנחנו כך זאת לשרטט ניתן לכןת

ולכן:

V =

ˆ b

a

π(g (x)

2 − f (x)2)dx

1

הקליפות שיטת 2.2

שיווצר הגוף את נחשב שהפעם רק ממקודם, כמו הגרף אותו את ניקחגלילים שיוצרות קליפות אלו לנו שייצר מה .yה־ ציר סביב נסובב עם

הינה: הנוסחא הפעם ולכן

V =

ˆ b

a

(2πr · h) dx

הגובה. הינו hו־ הגליל) (היקף המעגל היקף זהו 2πr כאשר

הינו: השטח לכן,

V =

ˆ 2

0

2πx · 12x2dx = 2π ·

[x4

4 · 2

]20

= ...

הפונקציה ערך הינו והגובה r = x הינו הרדיוס שלנו שבמקרה מכיוון. 12x

2 בנקודה

אמיתיים לא אינטגרלים 3

.(a < t) [a, t]ב־ רציפה שהיא פונקציה f תהי הגדרה:הנ"ל האינטגרל כי נאמר אזי וסופי קיים limt→∞

´ taf (x) dx אם

ו־ מתכנס..´ taf (x) dx = limt→∞

´ taf (x) dx

אזי אינסוף) הוא הגבול (למשל קיים אינו limt→∞´ taf (x) dx אם

מתבדר. האינטגרל כי נאמרדוגמאות:

שהפונקציה בתנאי 1 מלבד מספר כל להיות יכול (זה limt→∞´ t1

1xα dx

בקטע). רציפה תהיה:α ≤ 1 כאשר מתבדר ,α > 1 כאשר מתכנס

limx→∞ f (x) 6= 0 כי נניח .[a, t] קטע בכל רציפה f תהי משפט:מתבדר.

´∞af (x) dx האינטגרל אזי

השוואה משפטי 3.1

.[a,∞)ב־ וחיוביות רציפות פונקציות f, g תהיינה.limx→∞

f(x)g(x) ב־ נתבונן

מקרים: שלושה ישנם

א.

0 < limx→∞

f (x)

g (x)= L <∞

"תיקו"). ־ הדבר אותו היא (ההתנהגותמתכנס.

´∞ag (x) dx⇐⇒ מתכנס

´∞af (x) dx

ב.

limx→∞

f (x)

g (x)= 0

מתכנס.´∞af (x) dx ⇐ מתכנס

´∞ag (x) dx

מתבדר.´∞ag (x) dx ⇐ מתבדר

´∞af (x) dx

ג.

limx→∞

f (x)

g (x)=∞

מתכנס.´∞ag (x) dx ⇐ מתכנס

´∞af (x) dx

מתבדר.´∞af (x) dx ⇐ מתבדר

´∞ag (x) dx

בלבד)? באינסוף (כשמדובר כזאת שאלה פותרים איךמתבדר. או מתכנס

´∞1

1x2+3x+5dx האם לבדוק צריכים ואנחנו נניח

הפונקציות שתי את נשווה לכן , 1x2 כמו מתנהגת 14x2+3x+5 כי ננחש

ונקבל:

ששתי ומכאן1x21

4x2+3x+5

= 4x2+3x+5x2 =

x2(4+ 3x+

5x2)

x2 −−−−→x→∞

4

דבר, אותו מתנהגות הפונקציותמתבדר. הנ"ל האינטגרל לכן

מוציאים אנחנו למעלה כמו אינטגרל לנו נתון כאשר כזה: הוא הכללומשווים. ובמכנה במונה גבוה הכי החזקה את

.√xx3 ⇐

√x+2

x3+4x+1 למשל:הוא שאינטגרל להוכיח כדי השווה בכללי להשתמש גם כמובן ניתןלמשל אותו נשווה אזי

´∞1

xex כי להוכיח נרצה למשל: מתכנס/מתבדר,

xex ש־ זה את יגרור מתכנס x

x3 ש־ זה גרירה: נקבל שלבסוף ונראה xx3 ל־

מתכנס.

אמיתי לא אינטגרל של שני מקרה 3.2

אם .(a, b] בקטע רציפה פונקציה f תהי הגדרה:

מתכנס´ btf (x) dx כי נאמר אזי (וסופי) קיים limt→a+

´ btf (x) dx

ו־שהגבול (או גבול אין אם .

´ baf (x) dx = limt→a+

´ btf (x) dx

מתבדר. האינטגרל כי אומרים אזי אינסופי):α > 0 יהי משפט:

מתבדר.´ 10

1xα dx האינטגרל אזי α ≥ 1 אם

. 11−αל־ ושווה מתכנס

´ 10

1xα dx האינטגרל אזי α < 1 אם

אזי: (a, c] על וגם (a, b] על רציפה f אם ´משפט: cb f (x) dx הוא (ההפרש מתכנס.

´ caf (x) dx אםם מתכנס

´ baf (x) dx

.a+ל־ שואף tכש־ f של בהתנהגות רק תלויה ההתכנסות .(tב־ תלוי ובלתי קבוע שהוא

רק עכשיו נכון מממקום, מכירים שאנחנו ההשוואה משפטי כל כעת,ההפך:

.[a,∞)ב־ וחיוביות רציפות פונקציות f, g תהיינה.limx→∞

f(x)g(x) ב־ נתבונן

מקרים: שלושה ישנםא.

0 < limx→a+

f (x)

g (x)= L <∞

2

"תיקו"). ־ הדבר אותו היא (ההתנהגותמתכנס.

´∞ag (x) dx⇐⇒ מתכנס

´∞af (x) dx

ב.

limx→a+

f (x)

g (x)= 0

מתבדר.´∞af (x) dx ⇐ מתבדר

´∞ag (x) dx

מתכנס.´∞ag (x) dx ⇐ מתכנס

´∞af (x) dx

ג.

limx→a+

f (x)

g (x)=∞

מתבדר.´∞ag (x) dx ⇐ מתבדר

´∞af (x) dx

מתכנס.´∞af (x) dx ⇐ מתכנס

´∞ag (x) dx

החזקה את תמיד ניקח אנחנו להשוות, רוצים שאנחנו הזה, במקרהממקודם). (בשונה יותר הנמוכה

למשל:ובמכנה: במונה נמוכה הכי החזקה את ניקח ־

´ 10

1√x+x

dx

.1

x+√x

1√x

=√x√

x+x= 1

1+√x−−−−→x→0+

1

(תזכרות: מתכנס.´ 10

1x+√xdx אזי מתכנס

´ 10

1√xdx והאינטגרל היות

.(√x = x

12

: 1√x3

כמו מתנהגת הפונקציה 0 ע"י´ 10

1+x√x3+x5

dx דוגמא: עוד

.1+x√x3+x5

1√x3

= (1 + x)√x3√

x3·√1+x2

−−−−→x→0+

1

מתבדר. הנ"ל היאנגטל גם ולכן מתבדר´ 10

1√x3dx

.α < 1 אםם מתכנס´ a+1

a1

(x−a)α dx האינטגרל משפט:

ב־0 x כמו מתנהגת sin (x) כי מתכנס´ 10

1sin(x)dx האינטגרל למשל:

. 1√xכמו מתנהגת 1√

sin(x)ולכן

אמיתי לא אינטגרל של שלישי מקרה 3.3

אם .(b של בסביבה חסומה אינה f ) [a, b) בקטע רציפה f תהי ´הגדרה: baf (x) dx האינטגרל כי נאמר אזי limt→b−

´ taf (x) dx = l 6= 0

מתבדר.´ baf (x) dx האינטגרל כי נאמר אחרת לגבול. ושווה מתכנס

נכונים a+ של בסביבה חסומות לא פונקציות עבור שראינו המשפטיםלמשל: .a− של בסביבה חסומות לא פונקציות עבור ˆגם 2

1

1√2− x

dx =

ˆ t

1

1√2− x

dx =

[− (2− x)

12

1/2

]t1

=

− 2√2− t+ 2 −−−−→

t→2−2

אלמנטריים: מקרים ארבעה ישנם לסיכום:.[a,∞)ב־ רציפה f ־

´∞af (x) dx .1

.(−∞, b]ב־ רציפה f ־´ b−∞ f (x) dx.2

.a+ של בסביבה חסומה אינה f ־´ baf (x) dx .3

.b− של בסביבה חסומה אינה f ־´ baf (x) dx .4

אחת)? מבעיה יותר (שיש הזה מהסוג שאלות פותרים איךשבכל "אלמנטריים" אינטגרליים של לסכום היאנטגרל את מחלקים

אחת. בעיה רק יש מהם אחדלסכום שווה הוא ואז בסכום אינטגרל כל אםם מתכנס הכולל האינטגרלהכולל שהאינטגרל כדי כדי מתבדר מהם שאחד (מספיק האינטגרלים

יתבדר).∞´למשל:

−∞1x2 dx =

´ −1−∞

1x2 dx+

´ 0−1

1x2 dx +

´ 10

1x2 dx +

´∞1

1x2 dx

מתבדר. כולו האינטגרל ולכן מתבדרים הקופסא שבתוך האינטגרלים:´∞3

1x2−5x+6dx למשל: או

.3,∞ הבעיתיות: הנקודות את מוצאים ראשון: שלב.´ 43,´∞4

האינטגרל: את מפצלים שני: שלבאינטגרל: בכל דיון מקיימים שלישי: שלב

ב־∞. 1x2 כמו מתנהגת הפונקציה כי מתכנס ־

´∞4

1x2−5x+6dx

ניתן אזי 1x2−5x+6 = 1

(x−3)(x−2)ו־ היות :´ 43

1x2−5x+6dx לגבי

מתנהגת הפונקציה 3 ע"י ולכן, 1(x−3) הוא הבעייתי שהגורם לראות

הזאת: הפונקציה עם האינטגרל את נחשב אנחנו ולכן 1(x−3) כמו

ולכן: מתבדר´ 43

1x2−5x+6dx ולכן מתבדר,

´ 43

1(x−3)dx

מתבדר.´∞3

1x2−5x+6dx

את מוציאים :aב־ בעיה וישנה´ a ······dx לנו יש אם כללי, באופן

.(a− x את (או שאפשר כמה (x− a)

3

טורים 4

סדרות על חזרה 4.1

מסוים. nמ־ החל an+1 > an ממש: עולה סדרהמסוים. nמ־ החל an+1 < an ממש: יורדת סדרה

אם לפי ואז לגזור אז ורק xב־ n את להמיר ניתן אזי an = f (n) אםממש. יורדת או ממש עולה הסדרה אם לדעת ניתן יורדת או עולה f ′

טורים 4.2

גדול להיות יכול ההתחלתי שהערך (כמובן .Sn =∑nk=0 ak הגדרה:

מ־0).מתכנס

∑∞n=0 an הטור כי נאמר אזי סופי, גבול יש Sn לסדרה אם

מתבדר. הטור כי נאמר אחרת .∑∞n=0 an = limn→∞ Snו־

.limn→∞ an = 0 בהכרח אזי מתכנס∑∞n=0 an הטור אם משפט:

.∑∞n=0 q

n = 11−q ו־ |q| < 1 אםם מתכנס

∑∞n=0 q

n הטור טענה:

טלסקופי טור 4.2.1

והאחרון), הראשון (בד"כ איברים שני של סכום בעצם שהוא טור זהו.∑∞n=1

1n(n+1) ⇒

1n(n+1) =

1n −

1n+1 למשל:

c > 0 קיים כי נניח חיוביים. טורים∑∞n=0 bnו־

∑∞n=0 an יהיו משפט:

אזי: מסוים) n0מ־ החל an ≥ c · bnש־ כךמתכנס.

∑∞n=0 an ⇐ מתכנס

∑∞n=0 bn

הטור כי נאמר מתכנס∑∞n=0 |an| אם טור.

∑∞n=0 an יהי הגדרה:

הטור כי נאמרי מתבדר,∑∞n=0 |an| אם בהחלט. מתכנס

∑∞n=0 an

בתנאי. מתכנס∑∞n=0 an

מתכנס (הטור∑∞n=0

4n+2

7n = 16 ·∑∞n=0

(47

)n= 112

3 קטנה: דוגמא.( 47 < 1 כי

גבולות עם השוואה משפטי 4.3

חיוביים. טורים∑∞n=0 bnו־

∑∞n=0 an יהיו

limn→∞anbn

= l 6= 0 אם .1

מתכנס.∑∞n=0 bn אםם מתכנס

∑∞n=0 an אזי:

אזי: ,limn→∞anbn

= 0 אם .2

מתכנס.∑∞n=0 an ⇐ מתכנס

∑∞n=0 bn

מתבדר.∑∞n=0 bn ⇐ מתבדר

∑∞n=0 an

אזי: ,limn→∞anbn

=∞ אם .3

מתכנס.∑∞n=0 bn ⇐ מתכנס

∑∞n=0 an

מתבדר.∑∞n=0 an ⇐ מתבדר

∑∞n=0 bn

באינסוף. האינטגרלים כמו רעיון אותו הוא והרעיון

(D'Alembert דלמבר (מבחן המנה מבחן 4.4

חיובית. סדרה an תהי.limn→∞

an+1

an= l כי נניח

מתכנס.∑∞n=0 an הטור אזי l < 1 אם

מתבדר.∑∞n=0 an הטור אזי l > 1 אם

יודעים. לא l = 1 אםבטור). עצרות לנו יש כאשר הזה במבחן נשתמש (בד"כ

(Cauchy קושי של (מבחן השורש מבחן 4.5

חיובית. סדרה an תהי.limn→∞ n

√an = l כי נניח

מתכנס.∑∞n=0 an הטור אזי l < 1 אם

מתבדר.∑∞n=0 an הטור אזי l > 1 אם

יודעים. לא l = 1 אם.limn→∞

n√n = 1 זה: למבחן חשובה תזכורת

האינטגרל מבחן 4.6

f (n) = anש־ כך f פונקציה קיימת כי נניח חיובית. סדרה (an) תהיגדול). מספיק n עבור (לפחות

.[a,∞) מהצורה בקטע ויורדת רציפה f כי נניחמתכנס.

´∞af (x) dx האינטגרל אםם מתכנס

∑∞n=0 an הטור אזי

זה: ממשפט הנובעת מסקנה לזכור כדאי

.α > 1 אםם מתכנס∑∞n=0

1nα הטור מסקנה:

(למשל): טריגונומטריות פונקציות עם טורים לגבי הערה

לחסום: שניתן לכך לב נשים אזי,∑∞n=0

sin2(n)2n הבא: בטור ניתקל אם

.sin (x) ≤ 1

מתכנס. שהטור ומכאן ־ sin2(n)2n ≤ 1

2n =(12

)nלכן:

מתחלף סימן עם טורים 5

קנטור של הלמה 5.1

הבאות: ההנחות את המקיימות סדרות (bn)ו־ (an) תהיינהעולה. (an) הסדרה א.יורדת. (bn) הסדרה ב.

.an ≤ bn :n לכל ג..limn→∞ (bn − an) = 0 ד.

limn→∞ an = limn→∞ bnו־ מתכנסות (an) , (bn) הסדרות אזי

לייבניץ' משפט 5.2

(אלו limn→∞ an = ש־0 כך חיובית ממש, יורדת סדרה (an) תהילייבניץ'). במשפט להשתמש שנוכל לכך ההכרחיים התנאיים שלושת

מהצורה טור הוא לייבניץ' (טור מתכנס.∑∞n=0 (−1)

nan הטור אזי

הנ"ל).הסכומים סדרת את (Sn)וב־ S =

∑∞n=0 (−1)

nan נסמן: אם

. |S − Sn| < an+1 אזי: החלקיים

.(Sn =∑nk=0 ak (הערה:

אזי מ־10−6, קטנה שהיא (הפרש) שגיאה מחפשים ואנחנו נניח הסבר:בוודאי ואז an+1 < 10−6 יתקיים שעבורו n למצוא צריכים אנחנו

.|S − Sn| < 10−6 הרצויה: השגיאה את נקבל יתקייםשגיאה לכל ולכן מתכנס, הטור מתקיים, התנאים שלושת (תזכורת:ש־ כך n קיים יהיה תמיד כמובן] מאפס גדולה שהיא [בתנאי שנבחר

שלנו). מהשגיאה קטן יהיה an+1

4

לראות ניתן ־∑∞n=0

((−1)n ·

(1

2n−1

))הטור: את ניקח דוגמא:

ניתן לכן ל־0. ושואפת חיוביות ממש, יורדת אכן: היא 12n−1 שהסדרה

לייבניץ. במשפט בה להשתמש:(10−2 הינו השגיאה (גודל מתאים n למצוא בשביל כעת,

לכן, ,n = 50 נבחר , 12n+1 < 10−2 ⇒ 2n > 102 − 1⇒ n > 102−1

2

.|S − S50| < a51 < ש־10−2 המשפט ע"פ יודעים, אנחנוהטעות). סימן (על הערה:

הסכום אזי חיובי הוא החלקי בסכום שהוספנו האחרון המספר אםמעליו). מצאים ואנחנו הגבול את עברנו (כלומר, מדי גדול החלקימדי קטן החלקי הסכום אזי שלילי הוא שהוספנו האחרון המספר אם

לגבול). מתחת נמצאים אנחנו (כלומר,

חזקות טורי 6

מהצורה: טור הוא a (a ∈ R)ב־ ממורכז חזקות טור הגדרה:.∑∞n=0 an (x− a)

n

ב־1. שממורכז טור הוא∑∞n=0

(x−1)n2n+1 למשל:

התכנסות: משפטאזי ,x = x0 עבור מתכנס

∑∞n=0 anx

n הטור כי נניח .x0 6= 0 יהי.x ∈ (− |x0| , |x0|) כל עבור בהחלט מתכנס

∑∞n=0 anx

n הטורשעבור כלשהו) (קטע תחום מחפשים שאנחנו משמעו ההתכנסות תחום

יתכנס. הטור ־ אותו נציב אם בתוכו. שנמצא x כלמסקנה:

הבאות: מהצורות אחת הוא ההתכנסות תחום(בטורי .a0 + 0 + 0 + · · · הוא הטור x = 0 אם ־ {0} (R = 0) א.

.(00 = 1 מסמנים חזקות.R > 0 איזשהו עבור ,(−R,R) , [−R,R] , [−R,R) , (−R,R] ב.

.(R =∞ (כאשר R ג.הטור. של ההתכנסות רדיוס ־ נקרא R

לזכור: כדאי:∑∞n=0 anx

n הטור עבור.[−R,R]ל־ מחוץ ומתבדר (−R,R)ב־ בהחלט מתכנס הטור

כלומר:בהחלט. התכנסות יש |x| < R עבור

התבדרות. יש |x| > R עבוראו בתנאי התכנסות או בהחלט, התכנסות או יש ±Rב־

.(!!!Rב־ לטור קורה מה לבדוק צריך תמיד (ולכן התבדרותלהתבדרות. התכנסות בין המפריד הערך הוא R

ההתכנסות)? (רדיוס R את מוצאים כיצדמה קבוע, הוא x כאשר למעלה שתוארו המבחנים באחד משתמשים

.n זהו לאינסוף ששואףפשוטה: דוגמא

המנה: במבחן נשתמש כזה במקרה ־∑∞n=1

2nxn

n2

2n+1·|x|n+1

(n+1)2

2n|x|nn2

= 2·|x|·n2

(n+1)2−−−−→n→∞

2 · |x|

. 12 הינו ההתכנסות רדיוס לכן,היינו ואם ,1 היה ההתכנסות רדיוס אזי |x| בסוף לנו יוצא היה (אם

.(R =∞ אזי 0 בסוף מקבליםבקצוות: נבדוק כעת

בהחלט. מתכנס ־∑ 2n·( 1

2 )n

n2 =∑

1n2 :x = 1

2

בהחלט. מתכנס ־∑ 2n·(− 1

2 )n

n2 =∑ (−1)n

n2 :x = − 12

.[− 1

2 ,12

]ב־ בהחלט התכנסות

שמדובר מכך להתחיל פעם אף אסור התכנסות, תחום למצוא כשמנסיםהטור כי רק לנו אומר לייבניץ ומשפט היות ומדובר), (במידה לייבניץ בטור

בהחלט). או בתנאי אם לא (אך מתכנסלמשל: או

המנה: מבחן באמצעות ־∑∞n=1

xn

n הטור:

לבדוק רק (ונשאר 1 הוא שהרדיוס ומכאן n

√|x|nn = |x|

n√n−−−−→n→∞

|x|בקצוות).

חזקות טור של הזזה 6.1

רדיוס אזי∑∞n=0 an (x− a)

n :a סביב ממורכז והטור במידהומתבדר (a−R, a+R)ב־ בהחלט מתכנס בהתאם: הינו ההתכנסות

.[a−R, a+R]ל־ מחוץ

חזקות טורי של אריתמטיקה 6.2

כל עבור אזי .R התכנסות רדיוס עם חזקות טור∑∞n=0 anx

n יהיאותה ועם R רדיוס עם חזקות טור עם

∑∞n=0 c · anxn הטור ,c 6= 0

ההתכנסות. קטע בקצוות התנהגותR2ו־ R1 רדיוס עם חזקות טורי

∑∞n=0 bnx

nו־∑∞n=0 anx

n יהיובהתאמה.

או גדול רדיוס עם חזקות טור הוא∑∞n=0 (an + bn)x

n הטור אזיל־ שווה הוא הרדיוס אזי R1 6= R2 אם .min (R1, R2)ל־ שווה

.min (R1, R2)

למשל:.2 רדיוס עם וטר

∑∞n=0

(x2

)n.1 רדיוס עם טור

∑∞n=0 x

n

.1 6= 2 כי 1 רדיוס עם טור ־∑∞n=0

(1 + 1

2n

)xn

בהמשך): בהרחבה תופיע (שגם חזקות טורי על הערהחזקות, כטור זה את למצוא צריכים ואנחנו 2

1−2x לנו: ונתון נניח1

1−♣ הבאה: מהצורה שהוא מה כל לטור להמיר יודעים אנחנו אזי.∑∞n=0 (♣)

nל־הוא: שנקבל מה שלנו, במקרה לכן

. 21−2x = 2

(1

1−2x

)= 2 ·

∑∞n=0 (2x)

n= 2 ·

∑∞n=0 2

nxn

הרציפות משפט 6.3

אזי .R התכנסות רדיוס עם זחקות טור f (x) =∑∞n=0 anx

n יהי.(−R,R)ב־ רציפה f הפונקציה

האינטגרציה משפט 6.4

הטור אזי .R התכנסות רדיוס עם חזקות טור∑∞n=0 anx

n יהי

.(−R,R) בקטע בהחלט מתכנס∑∞n=0

anxn+1

n+1

:x ∈ (−R,R) ולכל (−R,R)ב־ אינטגרבילית f הפונקציה בנוסף

ˆ x

0

f (t) dt =

∞∑n=0

anxn+1

n+ 1

.´ x0(∑∞n=0 ant

n) dt =∑∞n=0

(´ x0ant

ndt)ז"א:

הנגזרת משפט 6.5

הטור אזי .R התכנסות רדיוס עם חזקות טור∑∞n=0 anx

n יהיהפונקציה בנסוף, .(−R,R)ב־ בהחלט מתכנס

∑∞n=0 n · anxn−1

ו: (−R,R) בקטע גזירה f

f ′ (x) =

∞∑n=0

n · anxn−1

5

חזקות טורי של ותשובות לשאלות דוגמאות 6.6

f (x) = הפונקציה של 0 הנקודה סביב החזקות טור את מצאו 6.6.1x2

(1−2x)2

. 11−2x =

∑∞n=0 (2x)

n=∑∞n=0 2

nxn:ש לכך לב נשים כל ראשיתוכמו־כן:

2(1−2x)2 =

(1

1−2x

)′=∑∞n=0 n · 2n · xn−1 =

∑∞n=1 n · 2n · xn−1

שלמעלה). שיש הטור את (גוזריםרוצים: שאנחנו מה את לקבל כדי 2

(1−2x)2 את x2

2 ב־ נכפול

.x2

2 ·2

(1−2x)2 =∑∞n=1 n2

n · xn−1+2 =∑∞n=1 n2

n · xn+1 =

חזקות טורי של התכנסות ותחום התכנסות רדיוס מציאת 6.6.2

את למצוא רוצים ואנחנו∑∞n=1

(−2)nxn√n

כגון: טור לנו ונתון נניחההתכנסות. תחום ואת שלו ההתכנסות רדיוס

התכנסות: רדיוסהשורש: במבחן למשל נשתמש למעלה: שתואר כפי

n

√∣∣∣∣ (−2)n |x|n√n

∣∣∣∣ = n√2n |x|nn√n

12

=n√

2n |x|n

( n√n)

12

−−−−→n→∞

2 |x|1

. 12 הינו: ההתכנסות שרדיוס ומכאןבקצוות: נבדוק כעת,

מתכנס אינו הטור ,∑∞n=1

(−2)n( 12 )n

√n

=∑∞n=1

(−1)n√n

:x = 12

להוכיח יכול לייבניץ' (תזכורת: בתנאי מתכנס לייבניץ ע"פ אבל בהחלט,בהחלט מתכנס הטור אם כלומר, בהחלט, ולא בתנאי התכנסות רק לנובהחלט, מתכנס אינו הוא אבל לייבניץ', ע"פ מתכנס הוא בוודאי אזי

בתנאי). התכנסות להוכיח יכול לייבניץ'

כי מתבדר הטור ־∑∞n=1

(−2)n(− 12 )n

√n

=∑∞n=1

1n√n

:x = − 12

מתבדר.∑∞n=1

1

n12

.(− 1

2 ,12

]הינו: ההתכנסות תחום לכן

מתכנס הטור x של ערכים אילו עבור מצאית 6.6.3

שזה לכך לב לשים (כדאי∑∞n=1

(x−2)nn הבא: הטור את לנו ויש נניח

ערכים אילו עבור למצוא רוצים ואנחנו ב־2.)∑∞n=1

xn

n הטור של הזזהונקבל: השורש במבחן נשתמש אזי, מתכנס, הוא

n

√|x− 2|n

=|x− 2|n√n−−−−→n→∞

|x− 2|

.1 < x < 3 כלומר: ,|x− 2| < 1 כאשר רק מתכנס הטור לכןנוספת: דוגמא

השורש: במבחן נשתמש :∑∞n=0

1(4x−2)n

n

√1

|4x− 2|n−−−−→n→∞

1

|4x− 2|

.x > 34 או x < 1

4 כלומר: ,|4x− 2| > 1 כאשר רק מתכנס, הטור

הינו: והסכום q =(

14x−2

)אזי הטור, סכום את לחשב ונצטרך במידה

. 11−q

עם 0 הנקודה סביב טיילור טור באמצעות e1 של הקירוב חישוב 6.6.4εמ־ קטנה שהיא e1∣∣שגיאה − Pn,0 (1)∣∣ = ec

(n+1)! <e

(n+1)! < לגרנז': של השארית לפי

שיתקיים: כך n זהו למצוא שעלינו מה כל ולכן , 3(n+1)!

.ε < 3(n+1)!

את להחליף ניתן x של ערכים אילו עבור בטור: ערכים החלפת 6.6.5εמ־ קטנה שהיא שגיאה עם x− x3

3! ב־ sin (x)

.x− x3

3! +x5

5! − · · · :sin (x) של טיילור טור על נסתכלשבו הטור של הערך (שזה n = 3 ניקח אם לגרנז', שארית ע"פ כעת,

לגרנז': ע"פ אזי הערכים), את למצוא רוצים אנחנו

הזה שבמקרה יודעים אנחנו כי ־∣∣∣sin (x)− (x− x3

3!

)∣∣∣ = |R4,0 (x)|.P3,0 (x) = P4,0 (x)

ראינו ועכשיור ,n+1 עבור היא השארית (כי 5 של תהיה השארית לכן:(n = 4 של לטור שווה n = 3 של שהטור

ב־1.) sin (x) , cos (x) את לחסום ניתן (כי =∣∣∣ sin5(c)

5! x5∣∣∣ ≤ ∣∣∣x5

5!

∣∣∣והוכחה a = π מסביב f (x) = cos (2x) של טיילור טור מציאת 6.6.6

x ∈ R לכל cos (2x)ל־ מתכנס הטור כי

f (π) = cos (2π) = 1

f ′ (x) = −2 sin (2x)⇒ f ′ (π) = 0

f ′′ (x) = −22 cos (2x)⇒ f ′′ (π) = −22

f ′′′ (x) = 23 sin (2x)⇒ f ′′′ (π) = 0

k לכל f (2k+1) (π) = 0 כי פשוטה באינדוקציה בקלות להוכיח ואפשר.k לכל f (2k) (π) = (−1)k 22k וכמו־כן

הוא: a = π מסביב f (x) = cos (2x) של טיילור טור לכן

∞∑n=0

(−1)n 22n

(2n)!(x− π)2n = 1− 22

2!(x− π)2 + · · ·

P2n,π (x) = הנגזרת): איפוס (על מלמעלה יודעים שאנחנו מה לפיlimn→∞R2n+1,π (x) = 0 כי להוכיח יהיה פשוט והכי P2n+1,π (x)כדי המבוקש) הטור אכן זהו ולכן אפס היא שהשארית נראה (כלומר,מתכנס a = π מסביב f (x) = cos (2x) של טיילור שטור להוכיח

.x ∈ R לכל cos (2x)ל־ש: כך xל־ π בין c קיים לגרנז', של השארית לפי

R2n+1,π (x) =f (2n+2) (c)

(2n+ 2)!(x− π)2n+2

כי: לראות ניתן f∣∣∣כעת (2n+2) (c)∣∣∣ = 22n+2 |cos (2c)| ≤ 22n+2

ולכן:

|R2n+1,π (x)| ≤22n

(2n+ 2)!|x− π|2n+2

=|2 (x− π)|2n+2

(2n+ 2)!−−−−→n→∞

0

מש"ל.

6

המצשווה את לפתור חזקות טורי באמצעות ניתן כיצד 6.6.7f ′ (x)− f (x) = x הדיפרנציאלית

ולכן ,f (x) =∑∞n=0 anx

n מהצורה פתרון למצוא צריכים אנחנו.f ′ (x) =

∑∞n=1 n · anxn−1

חזקות. כטור f ′ (x)− f (x) את נכתוב כעת,f ′ (x) = :f ′ (x) של הצורה את טיפה לשנות נצטרך זה בשבילאת בדיוק נקבל n = 0 שעבור לראות (ניתן

∑∞n=0 (n+ 1) an+1x

n

שיהיו היא הכללית המטרה הקודמת), בצורה n = ב־1 כמו הדבר אותו,n + 1 ובשני n באחד (ולא הטורים בשני x של חזקות אותם את לנוכעת כזה. תרגיל שפותרים לזכור חשוב שמאוד משהו זה ־ למשל)

הטורים: שני סכום את נכתוב

f ′ (x)− f (x) =∞∑n=0

(n+ 1) an+1xn −

∞∑n=0

anxn

טורים): של (אריתמטיקה איבר איבר נחסר כעת,

=

∞∑n=0

((n+ 1) an+1 − an)xn

לנו): שנתון מה (ע"פ לקבל רוצים שאנחנו מה כעת,

∞∑n=0

((n+ 1) an+1 + an)xn = 0 + 1 · x+ 0 · x2 + · · ·

הצדדים: בשני xn של המקדמים את נשווהa1 − a0 = 0 : n = 0

2a2 − a1 = 1 : n = 1

3a3 − a2 = 0 : n = 2

.n ≥ 2 לכל הלאה וכך:f (0) = ש־1 בנתון נשתמש

:f (0) = a0 = 1

a1 − 1 = 0 a1 = 1 : n = 0

2a2 − 1 = 1 a2 = 22 : n = 1

3a3 − 22 = 0⇒ a3 = 1

3a2 a3 = 22·3 : n = 2

לכל an = 2n! הכללי: האיבר את מושכל) (באופן לנחש ננסה כעת

.n > 1

an = 2n! :n > 1 לכל כי להוכיח ניתן פשוטה אינדוקציה בעזרת

הוא: שקיבלנו מה לכן,

f (x) = 1 + x+

∞∑n=2

2

n!xn = −1− x+

∞∑n=0

2

n!xn

הינו: שקיבלנו מה לכן ,ex =∑∞n=0

xn

n! כי יודעים ואנחנו

2ex − 1− x

והפתרון נכון אכן זה האם לבדוק זה לעשות, לנו שנותר מה כל כעת,לתנאים: מתאים אכן

f (0) = 2e0 − 1− 0 = 1X.f ′ (x)− f (x) = 2ex − 1− 2ex + 1 + x = xX

טיילור טורי 7

שגזירות פונקציות לכתוב הוא השאר) (בין טיילור טורי של הרעיוןטור. של בצורה מסויימת בנקודה פעמים אינסוף

פעמים אינסוף גזירה fוכ־ f (x) =∑∞n=0 an (x− a)

n כי נניחבהכרח: אזי a של בסביבה

an =f (n) (a)

n!

:a של בסביבה f של טיילור טור מכאן,

∞∑n=0

f (n) (a)

n!(x− a)n

אזי ,n ≥ 0 יהי .aב־ פעמים אינסוף גזירה פונקציה f תהי הגדרה:הוא: f של a הנקודה סביב n מסדר טיילור פולינום

Pn,a (x) =

n∑k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k

.a = 0 ,f (x) = cos (x) של טיילור פולינום את נחשב דוגמא:.k fלכל (k) (0) את לחשב צריךa0 = f (0) = 1⇐ cos (0) = 1

a1 = 0⇐ f ′ (0) = 0⇐ f ′ (x) = − sin (x)a2 = 1

2 ⇐ f ′′ (0) = −1 = 0⇐ f ′′ (x) = − cos (x)a3 = 0⇐ f ′′′ (0) = 0⇐ f ′′′ (x) = sin (x)

4 של מחזוריות שיש לראות ניתן ־ f (4) (x) = cos (x) = f (0) (x).1, 0,−1, 0, ל־...1 שוות הן ב־0, cos (x) של בנגזרות

הינו: הפונקציה של הטור לכן

P2n,0 (x) =

n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!= P2n+1,0 (0)

ניתן לכן ל־0, שווה 2n+ ה־1 האיבר כי היא האחרון לשיוויון הסיבההזה...). (במקרה P2n,0 (x) = P2n+1,0 (x) כי לומר

ביותר הטוב הקירוב הוא טיילור פולינום 7.1

הרעיון: את אסביר אלא המשפט של לניסוח אכנס לא אניפולינום אזי ,Pn,a (x) טיילור פולינום יש ולה f פונקציה לנו ויש נניח

לפונקציה. ביותר הטוב הקירוב הוא טיילורזה אזי שלה, ביותר הטוב הקירוב שהוא פולינום ישנו f לפונקצהי ואם

טיילור. פולינום בהכרח

לגרנז' שארית ־ טיילור משפט 7.2

ויהי n ≥ 0 יהי .a של בסביבה פעמים אינסוף גזירה פונקציה f תהי.n מסדר a של בסביבה f של טיילור פולינום Pn,a (x)

.Rn,a (x) = f (x)− Pn,a (x) נסמן:x בין c קיים אזיים פעמים, אינסוף xל־ a בין גזירה fש־ כך x יהי

ש: כך aל־

Rn,a (x) =f (n+1) (c)

(n+ 1)!(x− a)n

רוצים ואנחנו פונקציה של טיילור טור לנו יש כזה: הוא הבסיסי הרעיוןשגיאה כדי עד לפונקציה ביותר הטוב הקירוב שהוא הפולינום את לקבל

.10−6 שללגרנז'? בשארית הרעיון מה אז

אבל טיילור, טור של הקירוב הוא טוב הכי שהקירוב יודעים אנחנושנבחר...). ערך כל (או מ־10−6 קטן יהיה הוא מתי השאלה

7

.0 הנקודה סביב ,f (x) = cos (x) הפונקציה את למשל ניקחש־ ממקודם יודעים אנחנו

cos (x) =

∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!

וש־

P2n,0 (x) =

n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!

מ־ יותר קטן יהיה בניהם שההפרש כך n למצוא צריכים אנחנו כעת.10−6

נמצא לגרנז' שארית וע"פ ל־0 ושואף הולך הפער כי כזה שיש כמובןבאמצעות: אותו

R2n,0 =f (2n+1) (c) · x2n+1

(2n+ 1)!

ש־ יודעים אנחנו .xל־ 0 בין שהוא יודעים אנחנו c ולגבי לנו, נתון x

|R2n,0| =

∣∣∣∣∣f (2n+1) (c) · |x|2n+1

(2n+ 1)!

∣∣∣∣∣ < 10−6

: ∣∣∣∣∣כעת sin (c) · |x|2n+1

(2n+ 1)!

∣∣∣∣∣ < 10−6

מה כל לכן ב־1, sin (c) את לחסום יכולים שאנחנו יודעים אנחנו.xב־ שתלוי n עם ביטוי זה לנו שנשאר

:x = ש־2 למשל נניח

∣∣∣∣ 22n+1

(2n+ 1)!

∣∣∣∣ < 10−6 ⇒ 2 · 4n

(2n+ 1)!< 10−6

המתאים. nה־ את למצוא זה לנו שנותר מה וכלשאנחנו בגלל אבל .c את לחסום לפעמים הוא העניין מהשאלות בחלקאו עולה הפונקציה אם (תלוי x < c < a או a < c < xש־ יודעים

יורדת או עולה הפונקציה שאם לכך בהתאם צריך אזי יורדת),

נומרית אנליזה

החצייה שיטת 8

f תהי (תזכורת: הביניים ערך משפט על מתבססת השיטה עיקרון:c ∈ (a, b) קיים אזי ,f (a) · f (b) < ש־0 כך [a, b]ב־ רציפה פונקציה

.(f (c) = 0 ש־ כך

החצייה שיטת אלגוריתם 8.1

נגדיר .f (a0) ·f (b0) < ש־0 כך a0 < b0 יהיו רציפה. פונקציה f תהירקורסיבי: באופן (an) , (bn) הבאות הסדרות את

.an < bn עד חישבנו כי נניח.cn = an+bn

2 יהימסתיים. האלגוריתם ־ n את מחזירים ־ f (cn) = 0 אם

עם (ממשיכים an+1 = an, bn+1 = cn אזי: f (an) · f (cn) < 0 אםהקטע). של הראשון החצי

עם (ממשיכים an+1 = cn, bn+1 = bn אזי: f (bn) · f (cn) < 0 אםבקטע). של השני החצי

מתקיים: הבאים מהתנאים שאחד עד ממשיכים

איטרציות מספר Mכש־ איטרציות), של סופי (מספר n = M .1מראש. קבוע מקסימלי

הנדרש. הדיוק רמת את מייצגת δכש־ cn − an < δ .2

החישובים שמתחתו (ערך מראש קבוע חיובי εכש־ |f (cn)| < ε .3משמעותיים). אינם

השורש. של כקירוב שמקבלים האחרון cnה־ את מחזירים בסוף

מתחלפים, אינם שהסימנים החציה שיטת לגבי לזכור כדאיהאלגוריתם כל לאורך אזי f (a0) < 0 < f (b0) אם כלומר,היה אם בדיוק דבר (אותו f (an) < 0 < f (bn) יתקיים

.(f (bn) < 0 < f (an)

ניוטון־רפסון שיטת 8.2

בנקודה f (x) של לגרף המשיק את מעבירים .x0 התחלתי ערך בוחרים.(x0, f (x0))

הכללית: הנוסחא

xn+1 = xn −f (xn)

f ′ (xn)

הקמורות הפונקציות משפט

ממש ועולה קמורה f כי נניח רציפה. שנייה נגזרת עם פונקציה f תהי.f (r) = 0 ש־ כך r ∈ I קיים כי נניח .I בקטע

ניוטון־רפסון סדרת ,x0 ∈ I ולכן Iב־ f של היחיד השורש הוא r אזי.rל־ תתכנס x0 התחלתי ערך עם

הסבר:

לשורש להגיע כדי רפסון ניטון בשיטת להשתמש רוצים אנחנו כאשרבפונקציה I קטע למצוא צריכים אנחנו ,(f הפונקציה (בהינתן מסוים

ש:

.f (r) = ש־0 כך r ∈ I קיים כלומר, הפונקציה, של שורש בו יש א.

.(x ≥ 0 עבור f (x) = x2 (למשל ועולה קמורה תהיה f ,I שבקטע ב.

לשורש. תתכנס ניוטון־רפסון סדרת אזי x0 ∈ I שנבחר ברגע ואז,

.2 תמיד הוא הסדרה של ההתכנסות סדר ניוטון־רפסון בשיטת

8

האיטרציה שיטת 8.3

פונקציה לוקחים (כלומר, g (x) = x מהצורה משאוות פותרים השיטה:הגרף). באותו y = x הישר את ומעבירים כלשהי

(כשאר g הפונקציה של שבת נקודת נקראת g (l) = lש־ כך l נקודהנפגשות). g (x) והפונקציה y = x שבה נקודה ישנה

האיטרציה: סדרת.xn+1 = g (xn) :n ≥ 0 לכל התחלתי. ערך x0

.g של שבת לנקודת מתכנסת היא אזי מתכנסת, (xn) הסדרה אםכך 0 ≤ λ < 1 קיים אם I בקטע מכווצת נקראת g פונקציה הגדרה:

.|g (x)− g (y)| ≤ λ · |x− y| x, y ∈ I שלכל:I בקטע מכווצת פונקציה g תהי משפט:

היחידה השבת נקודת היא אזי ,I בקטע g של שבת נקודת יש אם .1.Iב־

x0 ∈ I התחלתי קטע כל עבור אזי ,g של l שבת נקודת Iב־ יש אם .2.(xn+1 = g (xn)) lל־ תתכנס האיטרציה סידרת

המושכות: הנקודות משפטהפונקציה של שבת נקודת l תהי רציפה. g′ש־ כך גזירה פונקציה g תהי

.gהזה, בקטע x0 שלכל כך l מסביב קטע קיים אזי |g′ (l)| < 1 אם

.g של מושכת שבת נקודת נקראת הזה בקטע l סדרתפונקציה): של מכווץ קטע למצוא (כיצד הסבר:g של שבת נקודת lו־ ,g הפונקציה לנו בהניתן

מושכת. נקודה היא l ⇐ |g′ (l)| < 1דוחה. נקודה היא l ⇐ |g′ (l)| > 1

.(l בנקודה השיפוע הוא אותנו שמעניין (מהמכווצת. g הפונקציה ,|g′ (x)| < x < 1 שבו בקטע

הוא האיטרציה סדרת של ההתכנסות סדר אז שבת, נקודת היא l אם.g(k) 6= ש־0 כך הראשון kה־

לשאלה דוגמא 8.3.1

g (x) = x+ sin (x) תהיהפונקציה? השבת נקודות הן מה א.

sin (x) + x = כלומר: g (x) = x מקיימות: השבת נקודות תשובה:.x = kπ כאשר הן השבת נקודות לכן ,x⇒ sin (x) = 0

שיטת בעזרת לקרב ניתן g הפונקציה של השבת מנקודת אילו ב.ההתכנסות? סדר יהיה ומה הפשוטה האיטרציה

.g′ (x) = 1 + cos (x) תשובה:לכן: ,kπ מהצורה הן השבת שנקודות יודעים אנחנו כעת

.|g′ (kπ)| =∣∣∣1 + (−1)k

∣∣∣לקרב אפשר ואי דוחה הנקודה ולכן |g′ (kπ)| = 2 > 1 אזי זוגי: k אם

הפשוטה. האיטרציה שיטת באצמעות אותהואפשר משוכת היא והנקודה |g′ (kπ)| = 0 < 1 אזי אי־זוגי: k אם

הפשוטה. האיטרציה שיטת במאצעות אותה לקרבההתכנסות: סדר לגבי כעת,

g′′′ (x) = זאת: ולעומת ,g′′ (x) = − sin (x) ⇒ g′′ (kπ) = 0אי־זוגי). הוא k (תזכורת: − cos (x)⇒ g′′′ (kπ) = 1

מתאפסת). שאינה הראושנה (הנגזרת 3 הוא ההתכנסות סדר ־ לכן

נגזרות: של נוסחאות 9

c ∈ Rהפונקציה הנגזרת

f (x) = c f ′ = 0

f (x) = cx f ′ = c

f (x) = cxn f ′ = n · cxn−1

(f + g) (x) = f ′ + g′

(f · g) (x) = f ′ · g′(1f

)(x) = − f ′

f2

f (x) =√x f ′ = 1

2√x(

gf

)(x) = f ·g′−f ′·g

f2

טיילור טורי 10

sinh (x) =

∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!

cosh (x) =

∞∑n=0

x2n

(2n)!

או עולה היא סדרה אם לבדוק ניתן כיצד 11יורדת?

על המון למדנו ולא היות פשוטות שיטות בשתי רק שמדובר (כמובןהתחלנו...) רק אלא סדרות,

ובודקים: (עוקבים) איברים שני לוקחים ראשונה שיטה

עולה. הסדרה ־an+1

an> 1 אם יורדת. הסדרה ־

an+1

an< 1 אם

ובודקים: (עוקבים) איברים שני לוקחים שנייה שיטההסדרה ־ an+1 − an < 0 ואם: עולה, הסדרה an+1 − an > 0 אם:

יורדת.

9