APOSTILA_CALCULO1
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Aula 1
Velocidade instanta^nea e derivadas
1.1 Velocidade instanta^nea
Um ponto movel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de umponto O.
Os
Ms = s(t)s = 0 0 1s = s(t )0 s = s(t + t)0
s
O deslocamento s, de M , em relac~ao ao ponto O, e a dista^ncia de O a M , se Mesta a direita de O, e e o negativo dessa dista^ncia seM esta a esquerda de O. Assim, s epositivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, a direita ou a esquerdade O.
Com estas convenc~oes, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo,sendo O sua origem.
O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s e uma func~ao davariavel t:
s = s(t)
Em um determinado instante t0, o deslocamento de M e s0 = s(t0). Em uminstante posterior t1, o deslocamento de M e s1 = s(t1).
A velocidade media do ponto M , no intervalo de tempo [t0; t1] e dada por
vm =s1 s0t1 t0 =
s(t1) s(t0)t1 t0
Podemos tambem escrever t1 = t0 + t, ou seja, t = t1 t0, e tambems = s(t1) s(t0) = s(t0 +t) s(t0).
1
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Velocidade instanta^nea e derivadas 2
Teremos ent~ao
vm =s(t0 +t) s(t0)
t=s
t
Por exemplo, vamos supor que s(t) = 12at2 (ponto movel uniformemente ace-
lerado). Assim, no instante t = 0 o ponto movel esta em s(0) = 12a 02 = 0.
A partir de um certo instante t0, temos uma variac~ao de tempo t. Seja t1 =t0 + t. Podemos ter t > 0 ou t < 0 (quando t < 0, t1 antecede t0). Teremosent~ao
s(t1) = s(t0 +t) =1
2a(t0 +t)
2 =1
2 at20 + 2at0t+ a(t)2
A variac~ao do deslocamento do ponto movel, nesse intervalo de tempo, sera
s = s(t1) s(t0) = 12at20 + at0t+
1
2a(t)2 1
2at20
ou seja,
s = at0t+a(t)2
2
A velocidade media do ponto, no intervalo de tempo [t0; t1], sera dada por
s
t=at0t+
a(t)2
2
t= at0 +
at
2
Se t 0, ent~ao tambem teremos s = at0t+ a(t)2
2 0. No entanto,
s
t= at0 +
at
2 at0
De um modo geral, denimos a velocidade instanta^nea v(t0), do pontoM , no instantet0, como sendo o limite da velocidade media no intervalo de t0 a t0 +t, quando ttende a zero (esta foi uma ideia de Isaac Newton), e escrevemos
v(t0) = limt!0
s
t
No nosso exemplo,
v(t0) = limt!0
at0 +
at
2
= at0
1.2 Derivada de uma func~ao
Uma func~ao f e uma lei que associa cada valor x de um certo conjunto A (o domniode f), um unico valor f(x) de um certo conjunto B (o contra-domnio de f). Neste
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Velocidade instanta^nea e derivadas 3
curso, teremos sempre A R e B R. Veja tambem a observac~ao 1.1, mais adiantenesta aula. Muitas vezes diremos \func~ao f(x)", em lugar de \func~ao f".
Dada uma func~ao f(x), a func~ao derivada f 0(x) (leia-se \f linha de x") e a func~aodenida quando consideramos, para cada x, sujeito a uma variac~ao x6= 0, a variac~aocorrespondente de y = f(x),
y = f = f(x+x) f(x)
e ent~ao calculamos o valor limite da raz~ao
f
x=f(x+x) f(x)
x
quando x se aproxima indenidamente de 0. Ou seja,
f 0(x) = limx!0
f
x= lim
x!0f(x+x) f(x)
x
Para um valor especco de x, digamos x = x0,
f 0(x0) = limx!0
f(x0 +x) f(x0)x
e a derivada de f (ou de f(x)), no ponto x0.
Como primeiro e importante exemplo, temos
Regra 1.1 Se f(x) = xn, n inteiro positivo, ent~ao f 0(x) = nxn1
Demonstrac~ao. Da algebra elementar, temos as seguintes formulas de fatorac~ao:
b2 a2 = (b a)(b+ a)b3 a3 = (b a)(b2 + ab+ a2)b4 a4 = (b a)(b3 + ab2 + a2b+ a3)
que o leitor pode vericar, simplesmente efetuando os produtos a direita, e ent~ao sim-plicando. De um modo geral, para n 4, vale a seguinte formula:
bn an = (b a)(bn1 + abn2 + a2bn3 + + an3b2 + an2b+ an1) (1.1)
Sendo f(x) = xn, temos para x6= 0,
f = f(x+x) f(x) = (x+x)n xn (1.2)
Substituindo b = x+x e a = x, em 1.1, temos b a = x, e ent~ao obtemos
f = x ((x+x)n1 + x (x+x)n2 + + xn2(x+x) + xn1)
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Velocidade instanta^nea e derivadas 4
do que ent~ao
f
x= (x+x)n1 + x (x+x)n2 + + xn2(x+x) + xn1
Da, limx!0
fx= xn1 + xn1 + + xn1| {z }
n parcelas
= nxn1.
Portanto, (xn)0 = nxn1.
1.2.1 Notac~oes simbolicas para derivadas, habitualmente usadas
Sendo y = f(x), tambem escrevemos y = f = f(x+x) f(x), e denotamosdy
dx= (derivada de y em relac~ao a x) = lim
x!0y
x
Assim temosdy
dx= f 0(x). Indicamos ainda
f 0(x0) =dy
dx
x=x0
=dy
dx
x=x0
A raz~aoy
x=f(x0 +x) f(x0)
x
e a taxa de variac~ao media de y, em relac~ao a x, no intervalo [x0; x0 + x] (ou nointervalo [x0 +x; x0], se x < 0).
O valor
f 0(x0) =dy
dx
x=x0
= limx!0
y
x
e chamado de taxa de variac~ao (instanta^nea) de y em relac~ao a x, no ponto x = x0.
Outras notac~oes frequentemente utilizadas para as derivadas (os smbolos abaixotem o mesmo signicado):
f 0(x) (notac~ao de Lagrange)
(f(x))0
df
dx(notac~ao de Leibniz, leia-se \de^ f de^ x")
dy
dx(sendo y = f(x))
d
dx(f(x))
_x(t) (notac~ao de Newton, derivada de x em relac~ao a variavel t (tempo))
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Velocidade instanta^nea e derivadas 5
Tambem tem o mesmo signicado as notac~oes para a derivada de f no ponto x0,
f 0(x0) (f(x))0jx=x0df
dx(x0)
dy
dx
x=x0
d
dx(f(x))jx=x0
Exemplo 1.1 De acordo com a regra 1.1, temos
(x)0 = (x1)0 = 1x11 = x0 = 1, ou seja (x)0 = 1.
(x2)0 = 2x21 = 2x.
(x3)0 = 3x31 = 3x2.
(x100)0 = 100x99.
Observac~ao 1.1 (Intervalos da reta, e domnios das func~oes que estudaremos)Aqui, e no restante do texto, estaremos assumindo sempre que nossas func~oes s~ao func~oesde uma variavel real x, com valores f(x) reais, e est~ao denidas em intervalos ou reuni~oesde intervalos de R, ou seja, tem os valores de x tomados em intervalos ou reuni~oes deintervalos.
Os intervalos de R s~ao conjuntos de uma das formas:
[a; b] = fx 2 R j a x bg (intervalo fechado de extremos a e b);]a; b[ = fx 2 R j a < x < bg (intervalo aberto de extremos a e b);[a; b[ = fx 2 R j a x < bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em b);]a; b] = fx 2 R j a < x bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em a):
sendo a e b numeros reais, com a < b. Os intervalos acima s~ao os intervalos limitados.
Os intervalos ilimitados s~ao conjuntos de uma das formas:
[a;+1[ = fx 2 R j x ag (intervalo fechado de a a +1);]a;+1[ = fx 2 R j x > ag (intervalo aberto de a a +1);]1; b] = fx 2 R j x bg (intervalo fechado de 1 a b);]1; b[ = fx 2 R j x < bg (intervalo aberto de 1 a b);
]1;+1[ = R (intervalo aberto de 1 a +1);sendo a e b numeros reais.
Assim, por exemplo,
1. f(x) =px e uma func~ao que esta denida para os valores reais de x para os
quaispx existe e e um numero real, ou seja, para x 0. Assim, dizemos que o
domnio ou campo de denic~ao de f e o intervalo D(f) = [0;+1[.
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Velocidade instanta^nea e derivadas 6
2. f(x) = 1=x e uma func~ao que esta denida para os valores reais de x para osquais 1=x existe e e um numero real, ou seja, para x6= 0. Assim, o domnio oucampo de denic~ao de f e o conjunto D(f) = R f0g, ou seja, a reuni~ao deintervalos ]1; 0[[ ]0;+1[.
3. f(x) =p2 x + 1p
x1 esta denida para os valores reais de x para os quaisp2 x e 1=px 1 existem e s~ao numeros reais, ou seja, para x 2 (2x 0)
e x > 1 (x 1 > 0). Assim, o domnio ou campo de denic~ao de f e o intervaloD(f) =]1; 2].
Para um valor especco de x, digamos x = x0, no domnio de uma func~ao f , aocalcularmos o limite
f 0(x0) = limx!0
f(x0 +x) f(x0)x
estamos supondo que algum intervalo aberto, contendo x0, tambem e parte do domniode f , de modo que x0 +x tambem estara no domnio de f quando x for n~ao nuloe sucientemente pequeno.
1.3 Primeiras regras de derivac~ao (ou diferenciac~ao)
Diferenciac~ao ou derivac~ao de uma func~ao e o processo de calculo da derivada da func~ao.
Regra 1.2 Se f(x) e uma func~ao e c e uma constante, ent~ao
(cf(x))0 = cf 0(x):
Ou seja, a derivada de uma constante vezes uma func~ao e a constante vezes a derivadada func~ao.
Regra 1.3 Sendo f(x) e g(x) duas func~oes,
(f(x) + g(x))0 = f 0(x) + g0(x):
Ou seja, a derivada de uma soma de duas func~oes e a soma das respectivas derivadas.
Demonstrac~oes das propriedades 1.2 e 1.3. Alguns fatos sobre limites s~ao assumidosintuitivamente.
(cf(x))0 = limx!0
cf(x+x) cf(x)x
= limx!0
c f(x+x) f(x)x
= c limx!0
f(x+x) f(x)x
= c limx!0
f
x= cf 0(x)
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Velocidade instanta^nea e derivadas 7
[f(x) + g(x)]0 = limx!0
[f(x+x) + g(x+x)] [f(x) + g(x)]x
= limx!0
[f(x+x) f(x)] + [g(x+x) g(x)]x
= limx!0
f(x+x) f(x)
x+g(x+x) g(x)
x
= limx!0
f(x+x) f(x)x
+ limx!0
g(x+x) g(x)x
= limx!0
f
x+ limx!0
g
x= f 0(x) + g0(x)
Exemplo 1.2 Sendo f(x) = 2x3 3x5, temos
f 0(x) = (2x3 3x5)0= (2x3 + (3)x5)0= (2x3)0 + ((3)x5)0 ((f + g)0 = f 0 + g0)= 2(x3)0 + (3)(x5)0 ((cf)0 = cf 0)= 2 3x2 + (3) 5x4 ((xn)0 = nxn1)= 6x2 15x4
Observac~ao 1.2 Por um argumento tal como no exemplo acima, temos tambem(f(x) g(x))0 = f 0(x) g0(x).
Regra 1.4 A derivada de uma func~ao constante e 0: se f(x) = c = constante,ent~ao f 0(x) = (c)0 = 0.
Demonstrac~ao. Sendo f(x) = c = constante, ent~ao
f = f(x+x) f(x) = c c = 0.Portanto, f
x= 0
x= 0 (f
xe 0 mesmo antes de calcularmos o limite). Logo
limx!0
fx= lim
x!00 = 0.
Assim, se c e uma constante, (c)0 = 0.
Exemplo 1.3 Sendo y = 3t6 + 21t2 98, calcular dydt.
Aplicando as regras acima estabelecidas, indicando por u0 a derivada de u emrelac~ao a t,
dy
dt= (3t6 + 21t2 98)0
= 18t5 + 42t
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Velocidade instanta^nea e derivadas 8
Exemplo 1.4 Sendo y =1
x, calcular
dy
dx.
Temos y =1
x, e ent~ao
y =1
x+x 1x=x (x+x)x(x+x)
= xx(x+x)
y
x= 1
x(x+x)
dy
dx= lim
x!0y
x= lim
x!01
x(x+x)= 1
x2
1.4 Problemas
1. A posic~ao de um ponto P sobre um eixo x, e dada por x(t) = 4t2 + 3t 2, comt medido em segundos e x(t) em centmetros.
(a) Determine as velocidades medias de P nos seguintes intervalos de tempo:[1; 1; 2], [1; 1; 1], [1; 1; 01], [1; 1; 001].
(b) Determine a velocidade de P no instante t = 1 seg.
(c) Determine os intervalos de tempo em que P se move no sentido positivoe aqueles em que P se move no sentido negativo. (P se move no sentidopositivo ou negativo se x(t) aumenta ou diminui, respectivamente, a medidaem que t aumenta.)
2. Se um objeto e lancado verticalmente para cima, com velocidade inicial 110m/seg,sua altura h(t), acima do ch~ao (h = 0), apos t segundos, e dada (aproximada-mente) por h(t) = 110t 5t2 metros. Quais s~ao as velocidades do objeto nosinstantes t = 3 seg e t = 4 seg? Em que instante o objeto atinge sua alturamaxima? Em que instante atinge o ch~ao? Com que velocidade atinge o ch~ao?
3. Calcule f 0(x), para cada uma das func~oes f(x) dadas abaixo, cumprindo asseguintes etapas
i. Primeiro desenvolva a express~ao f = f(x+x) f(x), fazendo as simpli-cac~oes cabveis.
ii. Em seguida obtenha, uma express~ao simplicada para fx= f(x+x)f(x)
x.
iii. Finalmente, calcule o limite limx!0
f
x.
(a) f(x) = 17 6x(b) f(x) = 7x2 5
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Velocidade instanta^nea e derivadas 9
(c) f(x) = x3 + 2x
(d) f(x) =px
(e) f(x) =1
x+ 5
(f) f(x) = x5
(g) f(x) =6
x2
4. Usando as regras de derivac~ao estabelecidas, calcule as derivadas das seguintesfunc~oes.
(a) f(t) = 6t3 + 12t2 4t+ 7(b) f(t) = (3t+ 5)2 Sugest~ao: Primeiro desenvolva o quadrado.
(c) f(x) = (2x2 + 1)3 Sugest~ao: Primeiro desenvolva o cubo.(d) f(x) = (3x27x+1)(x2+x1) Sugest~ao: Primeiro desenvolva o produto.(e) f(x) = x3 x2 + 15
5. Determine o domnio de cada uma das seguintes func~oes. Represente-o como umintervalo ou uma reuni~ao de intervalos de R. No nosso contexto, o domnio deuma func~ao f e o conjunto de todos os numeros reais x para os quais f(x) e umnumero real.
(a) f(x) = x3 5x+ 3(b) f(x) = p4 x(c) f(x) = p4 x2(d) f(x) =
px2 5x+ 4
(e) f(x) =1p
2x x2
1.4.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) 11; 8; 11; 4; 11; 04; 11; 004 (cm/seg).
(b) 11 cm/seg
(c) P se move no sentido positivo quando t > 3=8, e no sentido negativo quandot < 3=8
2. 80m/seg e 70m/seg. Em t = 11 seg. Em t = 22 seg, com a velocidade de 110m/seg.3. (a) i. f = 6x
ii. fx = 6iii. f 0(x) = 6
(b) i. f = 14xx+ 7(x)2
ii. fx = 14x+ 7x
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Velocidade instanta^nea e derivadas 10
iii. f 0(x) = 14x
(c) i. f = (3x2 + 2)x+ 3x(x)2 + (x)3
ii. fx = 3x2 + 2 + 3x(x) + (x)2
iii. f 0(x) = 3x2 + 2
(d) i. f =px+xpx
ii. fx =px+xpxx
iii. f 0(x) = 12px. Sugest~ao. Ao calcular o limite lim
x!0fx , o leitor chegara
a express~ao 0=0, que n~ao tem signicado matematico. Para contornar esteproblema, devemos \ajeitar" fx , atraves das simplicac~oes dadas abaixo.
f
x=
px+xpx
x=
px+xpx
xpx+x+
pxp
x+x+px
=(x+x) x
x (px+x+px) =1p
x+x+px
Aqui zemos uso da identidade (papb)(pa+pb) = a b.
(e) i. f = 1x+x+5 1x+5 = x(x+x+5)(x+5)
ii. fx =1
(x+x+5)(x+5)
iii. f 0(x) = 1(x+5)2
(f) f 0(x) = 5x4
(g) f 0(x) = 12x3
4. (a) f 0(t) = 18t2 + 24t 4(b) f 0(t) = 18t+ 30
(c) f 0(x) = 48x5 + 48x3 12x(d) f 0(x) = 12x3 12x2 18x+ 8(e) f 0(x) = 3x2 2x
5. (a) R
(b) ]1; 4](c) [2; 2](d) ]1; 1] [ [4;+1[(e) ]0; 2[
-
Aula 2
Derivadas e retas tangentes. Novasregras de derivac~ao
2.1 A derivada como inclinac~ao de uma reta tangente
ao graco da func~ao
Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atraves do conceito de velocidadeinstanta^nea. Veremos agora uma interpretac~ao geometrica da derivada, em relac~ao aograco da func~ao y = f(x). Esta e uma ideia de Fermat.
x x0 x0 +
P0
Pf( )
x
y
r
t
0x
y
xx0 +
f( )x0
y = f(x)
Figura 2.1. A derivada da func~ao f , em x0, e a inclinac~ao da reta t, tangente ao gracode f em P0.
Fixado um valor x0, sendo denido f(x0), seja x 6= 0 um acrescimo (ou de-
11
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Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 12
crescimo) dado a x0. Sendo x1 = x0 +x, temos que a raz~ao
y
x=f(x0 +x) f(x0)
x=f(x1) f(x0)
x1 x0
e o coeciente angular da reta r, secante ao graco da curva y = f(x), passando pelospontos P0 = (x0; f(x0)) e P = (x1; f(x1)).
Observando os elementos geometricos da gura 2.1, temos que quando x tendea 0, o ponto P tem como posic~ao limite o ponto P0, e a reta secante P0P tera comoposic~ao limite a reta t, tangente ao graco de f no ponto P0.
Na gura, temos ainda, da geometria analtica elementar,
tg = tangente do a^ngulo
= coeciente angular (ou inclinac~ao) da reta secante P0P
=y
x:
tg = tangente do a^ngulo
= coeciente angular da reta t, tangente ao graco de f , no ponto P0:
Note aqui diferentes empregos (com diferentes signicados) da palavra tangente: a tan-gente (trigonometrica) do a^ngulo , nos da a inclinac~ao, ou declividade, ou coecienteangular, da reta t, que e (geometricamente) tangente ao graco de f (ou que tangenciao graco de f) no ponto P0.
Quando x tende a 0, tende a , e ent~ao yx= tg tende a tg.
Da, limx!0
y
x= tg.
Assim, com este argumento geometrico e intuitivo, interpretamos f 0(x0) = tg comosendo o coeciente angular (ou a inclinac~ao) da reta t, tangente ao graco de f (ouseja, tangente a curva y = f(x)) no ponto P0 = (x0; f(x0)).
Sabemos que a equac~ao de uma reta, de coeciente angular m, passando por umponto P0 = (x0; y0), e dada por
y y0 = m(x x0):
Assim sendo, temos que a equac~ao da reta t, tangente a curva y = f(x) no pontoP0 = (x0; y0) = (x0; f(x0)) e dada por
y y0 = f0(x0) (x x0)
Em geral, se queremos aproximar a func~ao f(x), nas proximidades de x0, por umafunc~ao da forma g(x) = ax+ b, tomamos g(x) = f(x0) + f
0(x0) (x x0). O graco
-
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 13
de g sera ent~ao a reta tangente ao graco de f no ponto P0. Dizemos que g(x) e umalinearizac~ao de f(x) nas proximidades de x0.
A reta normal a curva y = f(x), no ponto P0 dessa curva, e a reta que passa porP0 perpendicularmente a curva. Isto, e, r e normal a curva y = f(x), no ponto P0,quando r e perpendicular a reta tangente a curva nesse ponto.
Lembre-se que se duas retas s~ao perpendiculares, tendo coecientes angulares me m0, ent~ao m0 = 1=m.
Assim, se f 0(x0) 6= 0, a equac~ao da reta r, normal a curva y = f(x) no pontoP0 = (x0; y0) e
y y0 = 1
f 0(x0)(x x0)
Exemplo 2.1 Qual e a equac~ao da reta t, que tangencia a parabola y = x2, no pontoP = (1; 1)? Qual e a equac~ao da reta r, normal a parabola nesse ponto?
1
1
-1-1
x
y
P
t
r
Figura 2.2. Representac~ao graca da curva y = x2 e das retas t e r, tangente e normala curva no ponto P = (1; 1).
Soluc~ao. Sendo y = x2, temosdy
dx= 2x. Em P , temos x0 = 1. O coeciente
angular da reta t e dado por
dy
dx
x=1
= 2 (1) = 2:
-
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 14
Assim, a reta t, tangente a curva y = x2 no ponto P , tem equac~ao
y 1 = (2)(x (1))
ou seja, y = 2x 1.
Para escrever a equac~ao da reta r, normal a curva no ponto P , fazemos uso dofato de que a declividade da reta r e mr =
1
mt= 1
2.
Portanto, r tem equac~ao y 1 = 12(x+ 1), ou ainda y = 1
2x+ 3
2.
Na gura 2.2 temos a representac~ao da curva y = x2 e das retas t e r, respecti-vamente tangente e normal a curva no ponto P = (1; 1).
Exemplo 2.2 Determine o coeciente angular da reta tangente ao graco de y =f(x) = x2 4x, no ponto de abscissa (primeira coordenada) p. Em qual ponto a retatangente ao graco e horizontal?
Soluc~ao. O coeciente angular da reta tangente a curva y = x2 4x, no pontode abscissa p, e m = f 0(p). Como f 0(x) = 2x 4, temos m = 2p 4.
No ponto (p; f(p)) em que a reta tangente e horizontal, temos m = 0, ou seja,f 0(p) = 0. Logo, p = 2. Assim, o ponto procurado e (2;4).
2.2 Novas regras de derivac~ao
Regra 2.1 (Derivada de um produto)
(fg)0 = f 0g + fg0
Demonstrac~ao. Temos
f = f(x+x) f(x), g = g(x+x) g(x).
Portanto
f(x+x) = f(x) + f , g(x+x) = g(x) + g.
Assim sendo
(fg) = f(x+x)g(x+x) f(x)g(x)
= (f(x) + f)(g(x) + g) f(x)g(x)
= f(x)g(x) + f(x)(g) + (f)g(x) + (f)(g) f(x)g(x)
= f(x)(g) + (f)g(x) + (f)(g)
Portanto
-
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 15
(fg)
x= f(x)
g
x+f
xg(x) +
f
x(g)
= f(x)g
x+f
xg(x) +
f
x
g
xx
E assim,
limx!0
(fg)
x= lim
x!0
f(x)
g
x+f
xg(x) +
f
x
g
xx
= f(x)g0(x) + f 0(x)g(x) + f 0(x)g0(x) 0
= f 0(x)g(x) + g0(x)f(x)
Portanto, (f(x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x).
Observac~ao 2.1 Para um valor especco de x, digamos x = x0, temos
f = f(x0 +x) f(x0).
Embora n~ao tenhamos ainda mencionado, e fato que se podemos calcular o limitelimx!0
f
x= f 0(x0), ent~ao temos lim
x!0f = 0.
De fato,
limx!0
f = limx!0
f
xx = f 0(x0) 0 = 0:
Exemplo 2.3 Daremos um exemplo para ilustrar a regra da derivada de um produto,que acabamos de deduzir. Considere p(x) = (x2 + x+ 2)(3x 1)
Expandindo p(x), obtemos p(x) = 3x3 + 2x2 + 5x 2, de onde obtemos p0(x) =9x2 + 4x+ 5.
Por outro lado, se aplicarmos a formula da derivada de um produto, obtemos
p0(x) = (x2 + x+ 2)0(3x 1) + (x2 + x+ 2)(3x 1)0
= (2x+ 1)(3x 1) + (x2 + x+ 2) 3
= 9x2 + 4x+ 5
Regra 2.2 Sendo g uma func~ao derivavel, quando g6= 0 temos1
g
0
= g0
g2:
Demonstrac~ao. Como na deduc~ao da propriedade 2.1, temos g(x+x) = g(x) + g.
-
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 16
Sendo y = 1=g(x), temos
y =1
g(x+x)
1
g(x)
=1
g(x) + g
1
g(x)
=g(x) (g(x) + g)
(g(x) + g) g(x)
=g
(g(x) + g) g(x)
Logo,y
x=g
x
1
(g(x) + g)g(x)
e portanto
dy
dx= lim
x!0
y
x
= limx!0
g
x
1
(g(x) + g)g(x)
= g0(x) 1
(g(x))2=
g0(x)
(g(x))2
Aqui, zemos uso da observac~ao 2.1: sendo g derivavel, temos limx!0
g = 0.
Exemplo 2.4 Verique que, sendo n um inteiro positivo, (xn)0 = nxn1.
Soluc~ao. Aplicando o resultado da propriedade 2.2, temos
(xn)0 =
1
xn
0
= (xn)0
(xn)2=
nxn1
x2n= nxn1
Regra 2.3 (Derivada de um quociente)f
g
0
=f 0g fg0
g2
Demonstrac~ao. Deixamos a deduc~ao desta regra para o leitor. Para deduzi-la, basta
escreverf
g= f
1
ge ent~ao combinar as regras (propriedades) 2.1 e 2.2.
Exemplo 2.5 Calcular y0, sendo y =x3 1
x3 + 1
-
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 17
Soluc~ao. Aplicando a formula para a derivada de um quociente, temos
y0 =
x3 1
x3 + 1
0=(x3 1)0(x3 + 1) (x3 + 1)0(x3 1)
(x3 + 1)2
=3x2(x3 + 1) 3x2(x3 1)
(x3 + 1)2
=6x2
(x3 + 1)2
2.3 Problemas
1. Utilizando regras de derivac~ao previamente estabelecidas, calcule as derivadas dasseguintes func~oes.
(a) f(x) =4x 5
3x+ 2
(b) f(z) =8 z + 3z2
2 9z
(c) f(w) =2w
w3 7
(d) s(t) = t2 +1
t2
(e) f(x) =1
1 + x+ x2 + x3
(f) f(x) =x2 + 9x+ 2
7
2. Deduza a seguinte formula de derivac~ao:
(fgh)0 = f 0gh+ fg0h+ fgh0
De^ um bom palpite (chute) sobre como seria a formula para (f1f2 fn1fn)0.
3. Ache as equac~oes das retas tangentes ao graco de y =5
1 + x2, nos pontos
P = (0; 5), Q = (1; 5=2) e R = (2; 1). Esboce (caprichadamente) o gracodessa curva, plotando pontos com os seguintes valores de x: 3, 2, 1, 0, 1,2 e 3. No mesmo sistema cartesiano, esboce tambem as retas tangentes a curvanos pontos P , Q e R.
4. Escreva as equac~oes das retas tangente e normal a curva y = x3 3x2 x + 5no ponto de abcissa x = 3.
5. Determine as equac~oes das retas t e n, respectivamente tangente e normal a curvay = x2, no ponto de abcissa p.
-
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac~ao 18
6. (Teste sua sensibilidade sobre derivadas) Esboce o graco de y = x24, plotandoos pontos de abcissas (valores de x) 2, 1, 0, 1, 2 e 3. Em cada um dessespontos, esboce a reta tangente ao graco, e tente adivinhar o seu coecienteangular. Marque seu chute ao lado do ponto. Em seguida, calcule cada coecienteangular usando a derivada y0. Compare seu chute com a resposta exata.
2.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) f 0(x) =23
(3x+ 2)2
(b) f 0(z) =27z2 + 12z + 70
(2 9z)2
(c) f 0(w) =4w3 14
(w3 7)2
(d) s0(t) = 2t2
t3
(e) f 0(x) = 1 + 2x+ 3x2
(1 + x+ x2 + x3)2
(f) f 0(x) =2x+ 9
7(Quando c e uma constante, temos a regra
fc
0
= f0
c)
2. (f1f2 fn1fn)0 = f 01f2 fn1fn + f1f
0
2 fn1fn + + f1f2 f0
n1fn +f1f2 fn1f
0
n.
3. As equac~oes das tre^s retas s~ao, respectivamente, y = 5, 5x+2y10 = 0, e 4x5y+13 =0.
4. Reta tangente: y = 8x 22. Reta normal: x+ 8y 19 = 0.
5. t : y = 2px p2;
n : y = x
2p+1
2+ p2 (se p6= 0); n : x = 0 (se p = 0).
-
Aula 3
Derivac~ao em cadeia e derivac~aoimplcita
A regra da cadeia e uma regra de derivac~ao que nos permite calcular a derivada deuma composic~ao (ou um encadeamento) de func~oes, tais como f(g(x)) ou f(g(h(x))),conhecendo-se as derivadas f 0(x), g0(x) e h0(x).
Quando temos uma func~ao composta, tal como y = (x3 + x 1)10, podemosdecompo^-la em func~oes elementares. Simplesmente escrevemos
y = u10; u = x3 + x 1:
Na notac~ao de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que
dy
dx=dy
du dudx
No caso, teremos ent~ao
dy
dx=dy
du dudx
= 10u9 (3x2 + 1)= 10(x3 + x 1)9(3x2 + 1)
Repetindo tudo, passando da notac~ao de Leibniz para a notac~ao de Lagrange,temos
y = f(u); u = g(x)
e ent~ao
dy
dx=dy
du dudx
= f 0(u) g0(x)= f 0(g(x)) g0(x)
19
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 20
Regra 3.1 (Derivac~ao em cadeia) Se y = f(u) e u = g(x) ent~ao
dy
dx=dy
du dudx
Em outras palavras, sendo y = f(g(x)), tem-se
y0 = [f(g(x))]0 = f 0(g(x)) g0(x):
Observac~ao 3.1 A ideia intuitiva que inspira a regra da cadeia e a seguinte: sendoy = f(u) e u = g(x), temos u = g(x+x) g(x) e, y = f(u+u) f(u)
Assumindo, para simplicar, que u6= 0 sempre que x6= 0 (o que nem sempreocorre!), temos
y
x=y
u ux
Quando x tende a 0, u tambem tende a 0 (observac~ao 2.1), e assim
limx!0
y
x= lim
u!0
y
u limx!0
u
x
e portantody
dx=dy
du dudx
Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma deduc~ao mais rigorosa da regra da cadeia,um procedimento possvel mas deveras sosticado.
Exemplo 3.1 Calculardy
dx, sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8.
Soluc~ao. Escrevemos
y = u8; u = v10 + 1; v = x2 + 1
Assim, estamos compondo (encadeando) tre^s func~oes. Aplicando a regra da cadeiatemos
dy
dx=dy
du dudx
=dy
du dudv dvdx
= 8u7 10v9 2x= 160(v10 + 1)7(x2 + 1)9x
= 160x((x2 + 1)10 + 1)7(x2 + 1)9
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 21
3.1 Derivadas de func~oes dadas implicitamente
Muitas vezes, duas variaveis x e y s~ao tais que, em um certo intervalo de valores de x,y depende de x, ou seja, y e uma func~ao da variavel x, mas em lugar de uma formulay = f(x), temos uma equac~ao F (x; y) = c, inter-relacionando ambas as variaveis, talcomo nos dois exemplos abaixo.
(1) x2 + y2 = 2
(2) x3 + y3 = x+ y + xy
As vezes, e possvel resolver a equac~ao dada em y, ou seja, \isolar" y no primeiromembro da equac~ao, expressando explicitamente y como variavel dependendo de x. Porexemplo, no caso da equac~ao (1), podemos fazer
y2 = 2 x2
e ent~aoy =
p2 x2
Neste caso, deduzimos ent~ao que as func~oes
y = f1(x) =p2 x2 e y = f2(x) =
p2 x2
ambas satisfazem a equac~ao x2 + y2 = 2.
No caso da equac~ao (2), podemos vericar que, por exemplo, o par (1; 0) satisfaza equac~ao, mas n~ao nos e obvio como resolver a equac~ao em y e obter uma func~aoy = f(x) satifazendo f(1) = 0 e x3 + (f(x))3 = x+ f(x) + xf(x).
No entanto, em ambos os casos, e quase sempre possvel obter a derivadady
dx, em
um determinado ponto x0, se conhecemos tambem o valor correspondente y0.
Para isto, derivamos ambos os membros da equac~ao F (x; y) = c, considerando y comofunc~ao de x, e usamos as regras de derivac~ao, bem como a regra da cadeia, quandonecessario.
Exemplo 3.2 Obtendody
dx, a partir da equac~ao x2 + y2 = 2, por derivac~ao implcita.
Denotaremos por ()0 a derivada da express~ao (a express~ao que estiver entrepare^nteses), em relac~ao a x. Inicialmente notamos que, sendo y uma func~ao de x,temos, pela regra da cadeia, (y2)0 = 2y y0.
Para obtermosdy
dx(ou y0) no caso da equac~ao x2 + y2 = 2, fazemos
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 22
x2 + y2 = 2
(x2 + y2)0 = (2)0
(x2)0 + (y2)0 = 0
2x+ 2yy0 = 0
yy0 = xy0 = x
y
Isto quer dizer que, se y e func~ao de x satisfazendo x2 + y2 = 2, ent~aody
dx= x
y.
Como vimos, as func~oes y = f1(x) =p2 x2 e y = f2(x) =
p2 x2 ambas
satisfazem x2 + y2 = 2. Pela derivac~ao \implcita" efetuada acima, temos
1. Se y = f1(x), ent~aody
dx= x
y= x
f1(x). Neste caso, y0 = xp
2 x2 ;
2. Se y = f2(x), ent~aody
dx= x
y= x
f2(x). Neste caso, y0 =
xp2 x2
Exemplo 3.3 Obtendody
dx, a partir da equac~ao x3+ y3 = x2y2+ x+ y, por derivac~ao
implcita.
Para obtermosdy
dx(ou y0) no caso da equac~ao x3 + y3 = x2y2 + x+ y, fazemos
x3 + y3 = x2y2 + x+ y
(x3 + y3)0 = (x2y2 + x+ y)0
3x2 + 3y2y0 = (x2y2)0 + 1 + y0
3x2 + 3y2y0 = (x2)0y2 + x2(y2)0 + 1 + y0
3x2 + 3y2y0 = 2xy2 + x2 2yy0 + 1 + y0
Obtemos ent~ao y0, deixando no primeiro membro somente os termos com y0:
3y2y0 2x2yy0 y0 = 1 + 2xy2 3x2(3y2 2x2y 1)y0 = 1 + 2xy2 3x2
y0 =1 + 2xy2 3x23y2 2x2y 1
Exemplo 3.4 Obter a reta tangente a curva x3+y3 = x2y2+x+y no ponto P = (1; 0).
Note que o problema so faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence a curva:13 + 03 = 12 02 + 1 + 0.
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 23
Primeiro obtemosdy
dx, por derivac~ao implcita, a partir da equac~ao x3 + y3 =
x2y2 + x+ y.
Isto ja foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y0 =1 + 2xy2 3x23y2 2x2y 1 .
O coeciente angular da reta tangente procurada e
dy
dx
x=1y=0
=1 + 2xy2 3x23y2 2x2y 1
x=1y=0
=1 31 = 2
Assim sendo, a reta procurada tem equac~ao y0 = 2(x1), ou seja, y = 2x2.
3.2 Derivada da func~ao pote^ncia f (x) = xr, sendo r
um numero racional
Da algebra elementar, temos
x1
2 =px (x 0)
x1
3 = 3px (x real qualquer)
x1
n = npx (n > 0, x 0 se n e par, x qualquer se n e mpar)
xp
q = qpxp (q > 0; quando q e par, x 0 se p e mpar positivo, e x > 0 se p e impar
negativo)
Regra 3.2
(x1
n )0 =1
n x 1n1
ou seja,
( npx)0 =
1
nnpxn1
Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0,
(xp
q )0 =p
q xpq1
Portanto, se r e um expoente racional,
(xr)0 = rxr1
Demonstrac~ao da regra 3.2.
Se y = x1
n , ent~ao yn = x.
Aplicando derivac~ao implcita obtemos
nyn1y0 = 1
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 24
Portanto y0 =1
nyn1=1
n y1n = 1
n (x 1n )1n = 1
n x 1nn = 1
n x 1n1
Demonstrac~ao da regra 3.3.
Sendo p e q inteiros, q > 0, se y = xp
q , ent~ao yq = xp.
Por derivac~ao implcita, obtemos ent~ao
(yq)0 = (xp)0 ou, equivalentemente qyq1y0 = pxp1.
Assim, y0 =pxp1
qyq1=pxpx1
qyqy1=pxpx1
qxpy1=p
qyx1 =
p
qxp=qx1 =
p
qxp
q1
Exemplo 3.5 Calcular a derivada de f(x) = 3p3x2 + 3x+ 5
Soluc~ao. Temos f(x) = (3x2 + 3x+ 5)1
3 .
Aplicando derivac~ao em cadeia e a regra 3.3, temos
f 0(x) = [(3x2 + 3x+ 5)1
3 ]0
=1
3(3x2 + 3x+ 5)
2
3 (3x2 + 3x+ 5)0
=1
3(3x2 + 3x+ 5)
2
3 (6x+ 3)
= (3x2 + 3x+ 5)2
3 (2x+ 1)
=2x+ 1
(3x2 + 3x+ 5)2=3
=2x+ 1
3
p(3x2 + 3x+ 5)2
Soluc~ao alternativa. Sendo y = f(x), temos
y =3p3x2 + 3x+ 5
e portantoy3 = 3x2 + 3x+ 5
Aplicando derivac~ao implcita, obtemos
3y2y0 = 6x+ 3, ou seja, y0 =6x+ 3
3y2
de onde
y0 =2x+ 1
( 3p3x2 + 3x+ 5)2
=2x+ 1
3
p(3x2 + 3x+ 5)2
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 25
3.3 Problemas
1. Calculedy
dx
(a) y =
x3
3+ 1
5+
x2
2+ 1
4
(b) y =((x3 + 7)4 + x)5
x2 + 1
(c) y =
x
x+ 1
10
2. Calcule as derivadas das seguintes func~oes.
(a) f(x) = (x2 3x+ 8)3
(b) f(x) =x
(x2 1)4(c) F (v) = (17v 5)1000(d) s(t) = (4t5 3t3 + 2t)2
(e) k(u) =(u2 + 1)3
(4u 5)5
3. Determine (i) a equac~ao da reta tangente a curva no ponto indicado e (ii) ospontos do graco em que reta tangente a curva e horizontal, nos casos
(a) y = (4x2 8x+ 3)4, P = (2; 81).(b) y = (2x 1)10, P = (1; 1).
4. Se k(x) = f(g(x)), com f(2) = 4, g(2) = 2, f 0(2) = 3 e g0(2) = 5, calculek0(2).
5. Determine y0 sendo y uma func~ao de x dada implicitamente pela equac~ao
(a) 2x3 + x2y + y3 = 1
(b)1
x2+1
y2= 1
(c) (y2 9)4 = (4x2 + 3x 1)2
6. Verique primeiramente que o ponto P pertence a curva dada e ache a equac~aoda reta tangente a curva no ponto P .
(a) xy = 16, P = (2; 8);(b) 2x3 x2y + y3 1 = 0, P = (2;3).
7. Calcule as derivadas das seguintes func~oes.
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 26
(a) f(x) = 3p8x3 + 27
(b) f(x) = (7x+px2 + 3)6
(c) f(t) =4
(9t2 + 16)2=3
(d) g(z) =3p2z + 3p3z + 2
(e) F (v) =5
5pv5 32
8. Calcule dydxse
(a) 6x+pxy 3y = 4
(b) 3x2 + 3pxy = 2y2 + 20
9. Uma func~ao e par se f(x) = f(x) para todo x em seu domnio, e e mpar sef(x) = f(x) para todo x em seu domnio. Sendo f derivavel, demonstre que(a) Se f e par, ent~ao f 0 e mpar (ou seja, se f(x) = f(x) para todo x no
domnio de f), ent~ao f 0(x) = f 0(x);(b) Se f e mpar, ent~ao f 0 e par.
3.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a)dy
dx= 5x2
x3
3+ 1
4+ 4x
x2
2+ 1
3
(b)dy
dx=
5((x3 + 7)4 + x)4(12x2(x3 + 7)3 + 1)(x2 + 1) 2x((x3 + 7)4 + x)5(x2 + 1)2
(c)dy
dx=
10x9
(x+ 1)11
2. (a) f 0(x) = 3(x2 3x+ 8)2(2x 3)
(b) f 0(x) =(7x2 + 1)(x2 1)5
(c) F 0(v) = 17000(17v 5)999(d) s0(t) = 2(4t5 3t3 + 2t)3(20t4 9t2 + 2)
(e) k0(u) =(u2 + 1)2(4u2 30u 20)
(4u 5)6
3. (a) (i) y 81 = 864(x 2), (ii) (1; 1), (1=2; 0) e (3=2; 0).(b) (i) y 1 = 20(x 1), (ii) (1=2; 0).
4. k0(2) = 15.
-
Derivac~ao em cadeia e derivac~ao implcita 27
5. (a) y0 =(6x2 + 2xy)x2 + 3y2
(b) y0 = y3
x3
(c) y0 =(4x2 + 3x 1)(8x+ 3)
4y(y2 9)3
6. (a) 4x y + 16 = 0(b) y + 3 = 36
23(x 2)
7. (a) f 0(x) = 8x2(8x3 + 27)2=3 =8x2
3
p(8x3 + 27)2
(b) f 0(x) = 6(7x+px2 + 3)5
7 +
xpx2 + 3
(c) f 0(t) =48t
3
p(9t2 + 16)5
(d) g0(z) =3 3p2z + 32p(3z + 2)3
+2
3p3z + 2 3
p(2z + 3)2
(e) F 0(v) = 5v4(v5 32)6=5 = 5v4
5
p(v5 32)6
8. (a) y0 =12pxy + y
6pxy x
(b) y0 =18x5=3y2=3 + y
12x2=3y5=3 x9. (a) Se f e uma func~ao par, temos a igualdade f(x) = f(x). Derivando ambos
os membros em relac~ao a x, temos [f(x)]0 = f 0(x). Por derivac~ao em cadeia,aplicada ao primeiro membro, temos f 0(x) (x)0 = f 0(x), logo f 0(x) =f 0(x), ou seja f 0(x) = f 0(x). Conclumos ent~ao que se f e func~ao par, suaderivada f 0 e func~ao mpar.
-
Aula 4
Limites. Uma introduc~ao intuitiva
Nos captulos anteriores, zemos uso de um limite especial para calcular derivadas:f 0(x) = lim
x!0f(x+x)f(x)
x.
Neste captulo veremos os limites como ferramentas de estudo do comportamentode func~oes reais, provendo informac~oes importantes sobre seus gracos.
A denic~ao formal de limite e matematicamente sosticada, requerendo muitashoras de estudo para ser entendida. O leitor interessado podera encontra-la em bonslivros-textos de calculo. Ocorre porem que a denic~ao de limite tem pouca ou nenhu-ma serventia quando queremos calcular limites. Faremos uma explorac~ao intuitiva doconceito de limite e de suas propriedades, atraves de exemplos e interpretac~oes gracas.
Exemplo 4.1 Considere a func~ao f(x) = 2x+3. Quando x assume uma innidade devalores aproximando-se mais e mais de 0, o numero 2x + 3 assume uma innidade devalores aproximando-se de 2 0+ 3 = 3. Dizemos que o limite de f(x), quando x tendea 0, e igual a 3, e escrevemos
limx!0
f(x) = 3
Suponhamos que f(x) e uma func~ao real denida em uma reuni~ao de intervalos, eque x0 e um ponto no interior ou no extremo de um desses intervalos. Os matematicosdizem que lim
x!x0f(x) = L (L 2 R) quando podemos fazer f(x) arbitrariamente proximo
de L, tomando x sucientemente proximo de x0, mantendo x6= x0. No exemplo acima,podemos fazer f(x) proximo de 3 o quanto quisermos, bastando tomar x bem proximode 0.
Exemplo 4.2 Aqui temos uma lista de exemplos intuitivos.
28
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 29
1. limx!a
x = a (a 2 R)
2. limx!a
xn = an (n 2 N, a 2 R)
3. Sendo p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0, (an; : : : ; a0 todos reais),
limx!x0
p(x) = anxn0 + an1x
n10 + + a1x0 + a0 = p(x0)
4. limx!2
x3 3x2 + 1
=limx!2
(x3 3)limx!2
(x2 + 1)=8 34 + 1
= 1
Denic~ao 4.1 Nos exemplos acima, de limites com x tendendo a x0, tivemos semprex0 no domnio de f e lim
x!x0f(x) = f(x0). Quando isto ocorre, dizemos que f e
contnua no ponto x0.
No proximo exemplo, temos um limite em que x! x0, mas x0 n~ao esta no domniode f .
Exemplo 4.3 Calcular limx!2
x3 8x 2 .
Soluc~ao. Note que, sendo f(x) = x38x2 , temos que 262 D(f). Quando x se aproxima
de 2, x3 se aproxima de 8. Um calculo direto nos da ent~ao
limx!2
x3 8x 2 =
0
0
Este resultado, 0=0, e muito comum no calculo de limites, e n~ao tem signicado comovalor de um limite. A express~ao 0=0 e um smbolo de indeterminac~ao ocorrendo em umatentativa de calculo de um limite. A ocorre^ncia desta express~ao signica que o limiteainda n~ao foi calculado.
Para evitar o smbolo de indeterminac~ao 0=0, neste exemplo fazemos
limx!2
x3 8x 2 = limx!2
(x 2)(x2 + 2x+ 4)x 2
= limx!2
(x2 + 2x+ 4) (pois x 26= 0)= 22 + 2 2 + 4 = 12
Exemplo 4.4 (Calculo de um limite com mudanca de variavel)
limx!0
3px+ 1 1x
= ?
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 30
Um calculo direto nos da 0=0, uma indeterminac~ao.
Fazendo y = 3px+ 1, temos y3 = x+ 1, e portanto x = y3 1.
Quando x tende a 0, y tende a 1 (em smbolos: se x ! 0, ent~ao y ! 1). E atemos
limx!0
3px+ 1 1x
= limy!1
y 1y3 1
= limy!1
y 1(y 1)(y2 + y + 1)
= limy!1
1
y2 + y + 1=1
3
4.1 Limites innitos. Limites no innito
Consideremos agora a func~ao f(x) =1
x2. Temos que o domnio de f e o conjunto dos
numeros reais diferentes de 0: D(f) = R f0g.Observe a tabela 4.1. Ali zemos uso do fato de que f e uma func~ao par : f(x) =
f(x) para todo x 2 D(f).Na primeira coluna da tabela 4.1, temos valores de x cada vez mais proximos de
0. Na ultima coluna, vemos que os valores correspondentes de f(x) tornam-se cadavez maiores. Neste exemplo, podemos fazer f(x) ultrapassar qualquer numero positivo,tomando x sucientemente proximo de 0. Dizemos que o limite de f(x), quando xtende a 0 e \+ innito", e escrevemos
limx!0
f(x) = +1
ou seja,
limx!0
1
x2= +1
A interpretac~ao geometrica de limx!0
(1=x2) = +1 pode ser visualizada na gura4.1, onde temos um esboco do graco da curva y = 1=x2.
Agora observe a tabela 4.2. Notamos agora que, a medida que x cresce indenida-
mente, assumindo valores positivos cada vez maiores, f(x) =1
x2torna-se cada vez mais
proximo de 0. Isto tambem e sugerido pela gura 4.1. Neste caso, dizemos que o limitede f(x), quando x tende a \+ innito", e igual a 0, e escrevemos
limx!+1
1
x2= 0
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 31
Tabela 4.1.
x x2 f(x) = 1x2
1 1 10; 5 0; 25 100
25= 4
0; 2 0; 04 1004= 25
0; 1 0; 01 1000; 01 0; 0001 100000; 001 0; 000001 1000000
2
1-1 x
y
2
8
16
4
-2 0
Figura 4.1. limx!0
1=x2 = +1, ou seja, a medida que x se aproxima de 0, y = f(x)torna-se cada vez maior. Tambem lim
x!+11=x2 = 0, ou seja, a medida em que x cresce,
tomando valores cada vez maiores, f(x) aproxima-se de 0. E ainda limx!1
1=x2 = 0.
Nas tabelas 4.1 e 4.2 tambem ilustramos:
limx!0
x2 = 0 limx!+1
x2 = +1
Tambem podemos facilmente inferir
limx!1
x2 = +1 limx!1
1
x2= 0
Com estes exemplos simples damos incio a nossa algebra de limites:
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 32
Tabela 4.2.
x x2 f(x) = 1x2
1 1 1
2 4 14= 0; 25
5 25 125= 0; 04
10 100 0; 01
100 10000 0; 0001
103 106 106
(+1) + (+1) = +1 (1) + (1) = 1(1)2 = +1 (+1)(1) = 1(+1)3 = +1 (1)3 = 1(1)(inteiro positivo par) = +1 (1)(inteiro positivo mpar) = 11
1 = 0+1+ c = +1 (c constante) 1+ c = 1 (c constante)
c (+1) =(+1 se c > 01 se c < 0 c (1) =
(+1 se c < 01 se c > 0
+1c
=
(+1 se c > 01 se c < 0
1c
=
(+1 se c < 01 se c > 0
Mas atenc~ao! Cautela com essa nova \aritmetica"! Os \resultados"
11 , (+1) (+1), (1) + (+1), 0 (1)
s~ao novos smbolos de indeterminac~ao. Nada signicam como valores de limites. Sechegarmos a algum deles no calculo de um limite, temos que repensar o procedimentode calculo.
Exemplo 4.5 Calcular limx!+1
3x2 2x 1x3 + 4
Soluc~ao. Uma substituic~ao direta nos da
limx!+1
3x2 2x 1x3 + 4
=+1 (+1) 1
+1+ 4
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 33
Para evitarmos smbolos de indeterminac~ao, fazemos
limx!+1
3x2 2x 1x3 + 4
= limx!+1
x2(3 2x 1
x2)
x3(1 + 4x3)
= limx!+1
3 2x 1
x2
x(1 + 4x3)
=3 2
+1 1+1+1(1 + 4
+1)
=3 0
+1 (1 + 0) =3
+1 = 0
Nos limites da forma limx!1
p(x)
q(x), em que p(x) e q(x) s~ao polino^mios em x, prevalecem
os termos de maior grau de ambos os polino^mios, ou seja, se
p(x) = anxn + an1x
n1 + + a1x+ a0;
q(x) = bmxm + bm1x
m1 + + b1x+ b0
ent~ao limx!1
p(x)
q(x)= lim
x!1anx
n
bmxm.
Deixamos a deduc~ao disto para o leitor, como um exerccio.
Por exemplo, no exemplo que acabamos de estudar, bastaramos fazer
limx!+1
3x2 2x 1x3 + 4
= limx!+1
3x2
x3= lim
x!+13
x=
3
+1 = 0
Mas atenc~ao. Isto so vale para limites de quocientes de polino^mios, em quex! 1.
Exemplo 4.6 Calcular limx!1
(x5 x3)
Temos
limx!1
(x5x3) = (1)5 (1)3 = (1) (1) = (1)+(+1), portantochegamos a um smbolo de indeterminac~ao.
Podemos no entanto fazer
limx!1
(x5 x3) = limx!1
x5(1 1x2) = +1 (1 0) = +1.
Exemplo 4.7 Calcular limx!0
1
x.
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 34
Soluc~ao. Aqui podemos ser induzidos a dizer, tal como no exemplo do limite limx!0
1x2,
que limx!0
1xe innito. Ok, mas qual \innito"? +1 ou 1 ? A resposta e, neste caso,
nenhum dos dois!
Se x se aproxima de 0 por valores positivos, ent~ao 1=x tende a +1. Porem se xse aproxima de 0 assumindo somente valores negativos, ent~ao 1=x tende a 1 (j1=xjca cada vez maior, porem 1=x mantem-se sempre < 0).
Neste caso, dizemos que n~ao existe o limite limx!0
1
x.
O comportamento da func~ao f(x) =1
x, nas proximidades de x = 0, sera melhor
estudado na proxima aula, quando introduziremos o conceito de limites laterais.
4.2 Ilustrac~oes geometricas da ocorre^ncia de alguns
limites
Na gura 4.2 temos o esboco de um graco de uma func~ao denida no conjuntoR fx0g, para a qual lim
x!x0f(x) = a e lim
x!x1f(x) = b = f(x1).
a
b
y = f(x)y
x0 x0 x1
Figura 4.2. x0 n~ao esta no domnio de f , limx!x0
f(x) = a, e limx!x1
f(x) = b = f(x1)
Na gura 4.3 temos o esboco de um graco de uma func~ao denida em todo oconjunto R, para a qual lim
x!+1f(x) = a e lim
x!1f(x) = b.
Na gura 4.4 temos o esboco de um graco de uma func~ao denida em R fag,para a qual lim
x!af(x) = +1. Na gura 4.5 temos o esboco de um graco de uma
func~ao denida em R fag, para a qual limx!a
f(x) = 1. Na gura 4.6 ilustramos oesboco de um graco de uma func~ao denida em Rfag, para a qual lim
x!af(x) = 1,
limx!1
f(x) = b e limx!+1
f(x) = 1.
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 35
a
b
y = f(x)y
x0
Figura 4.3. limx!+1
f(x) = a, e limx!1
f(x) = b
a
y = f(x)
y
x0
Figura 4.4. limx!a
f(x) = +1
a
y = f(x)
y
x0
Figura 4.5. limx!a
f(x) = 1
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 36
a
y = f(x)
y
x0
b
Figura 4.6. limx!a
f(x) = 1, limx!1
f(x) = b, e limx!+1
f(x) = 1
4.3 Problemas
1. Calcule os limites.
(a) limx!2
x2 4x 2 (b) limx!1
x2 x2x2 + 5x 7
(c) limk!4
k2 16pk 2 (d) limh!0
(x+ h)3 x3h
(e) limh!2
h3 + 8
h+ 2(f) lim
z!101
z 10(g) lim
x!11
(x 1)4 (h) limx!p2(x2 + 3)(x 4)
(i) limx!p2
15 (j) limx!1=2
2x2 + 5x 36x2 7x+ 2
(k) limx!2
x3 + 8
x4 16 (l) lims!46s 12s 9
(m) limx!1
x2
x 1 1
x 1
(n) limh!0
4p16 + hh
(o) limt!1
(4t2 + 5t 3)3(6t+ 5)4
(p) limh!0
(2 + h)2 22h
2. Demonstre que se
p(x) = anxn + an1x
n1 + + a1x+ a0; eq(x) = bmx
m + bm1xm1 + + b1x+ b0;
sendo a0; : : : ; an; b0; : : : ; bn numeros reais com an 6= 0 e bm 6= 0, ent~ao
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 37
(a) limx!1
p(x)
q(x)= lim
x!1anx
n
bmxm
(b) limx!1
p(x) = limx!1
anxn
3. Calcule os limites.
(a) limx!+1
2x+ 3
x+ 3px
(b) limx!+1
3px2 + 1
x+ 1
(c) limx!+1
2x2 x+ 3x3 8x 5 (d) limx!1
2x2 3x 4px2 + 1
(e) limx!+1
(2x+ 3)3(2 3x)2x5 + 5
(f) limx!+1
(px+ apx)
(g) limx!+1
(px2 + ax x) (h) lim
x!+1(x+ 3
p1 x3)
(i) limx!+1
( 3px+ 8x3 2x) (j) lim
x!+1x(px2 + 1 x)
4. Considerando as duas primeiras colunas da tabela 4.1, de valores para a func~aog(x) = x2, Jo~aozinho argumentou que, quanto mais proximo de 0 e o valor de x,mais proximo de 1 ca g(x). Explique porque^ Jo~aozinho esta certo. Isto querdizer que lim
x!0g(x) = 1 ? Explique.
4.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) 4 (b) 1=9 (c) 32 (d) 3x2 (e) 12 (f) n~ao existe (g) +1 (h) 5p2 20 (i) 15(j) 7 (k) 3=8 (l) 23 (m) 2 (n) 1=8 (o) 64 (p) 1=4
2. (a)
limx!1
p(x)
q(x)= lim
x!1
anxn1 + an1anx + + a1anxn1 +
a0anxn
bmxm
1 + bm1bmx + + b1bmxm1 +
b0bmxm
= lim
x!1anx
n
bmxm limx!1
1 + an1anx + + a1anxn1 +a0anxn
1 + bm1bmx + + b1bmxm1 +b0
bmxm
= limx!1
anxn
bmxm limx!1
1 + an11 + + a11 + a011 + bm11 + + b11 + b01
= limx!1
anxn
bmxm 1 + 0 + + 01 + 0 + + 0 = limx!1
anxn
bmxm
3. (a) 2 (b) 0 (c) 0(d) +1.Sugest~ao: lim
x!12x2 3x 4p
x2 + 1= lim
x!1x22 3x 4x2
qx21 + 1
x2
= limx!1 x22 3x 4x2
jxjq1 + 1
x2
.
Agora, como x! 1, temos x < 0, e ent~ao jxj = x.
-
Limites. Uma introduc~ao intuitiva 38
(e) 72
(f) 0. Sugest~ao:px+ apx = (
px+ apx)(px+ a+px)p
x+ a+px
.
(g) a=2 (h) 0. Sugest~ao: Para contornar a indeterminac~ao +11, facax+
3p1 x3 = (x+
3p1 x3)[x2 x 3p1 x3 + ( 3p1 x3)2]x2 x 3p1 x3 + ( 3p1 x3)2 , e use a identidade
(a+ b)(a2 ab+ b2) = a3 + b3.(i) 0. Sugest~ao: Aproveite a ideia usada na soluc~ao do problema anterior, agora fazendouso da identidade (a b)(a2 + ab+ b2) = a3 b3.(j) 1=2
-
Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, dene-se o valor absoluto ou modulo de x como sendo
jxj =(
x se x 0x se x < 0
Por exemplo, jp2j = p2, j+ 3j = +3, j 4j = 4, j0j = 0, j1 p2j = p2 1 (pois1p2 < 0).
Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a func~ao
f(x) = x+x
jxjcujo campo de denic~ao (domnio) e o conjunto R f0g.
Se x > 0, jxj = x e portanto f(x) = x + 1. Se x < 0, jxj = x e portantof(x) = x 1. O graco de f e esbocado na gura 5.1.
1
1
-1 x
y
-1
2-2
-2
2
Figura 5.1. Esboco do graco de f(x) = x+ xjxj.
39
-
Limites laterais 40
Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f(x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se< 0, f(x) tende a 1.
Dizemos ent~ao que o limite de f(x), quando x tende a 0 pela direita, e igual a 1,e denotamos
limx!0+
f(x) = 1
Dizemos tambem que o limite de f(x), quando x tende a 0 pela esquerda, e iguala 1, e denotamos
limx!0
f(x) = 1
De um modo geral, sendo f(x) uma func~ao, se x0 esta no interior ou e extremoinferior de um intervalo contido em D(f),
limx!x+
0
f(x) signica limx!x0x>x0
f(x)
Se x0 esta no interior ou e extremo superior de um intervalo contido em D(f),
limx!x
0
f(x) signica limx!x0x0
1
x= +1 lim
x!0
1
x= lim
x!0x
-
Limites laterais 41
(Tambem ilustramos que limx!+1
1x= lim
x!1
1x= 0.)
Neste caso, e conveniente denotar, introduzindo novos smbolos em nossa algebrade limites,
limx!0+
1
x=
1
0+= +1 lim
x!0
1
x=
1
0= 1
Observac~ao 5.1 Em geral, dizemos que
limx!x0
f(x) = 0+ se
(i) limx!x0
f(x) = 0, e
(ii) f(x) mantem-se > 0 quando x! x0, ou seja, f(x) > 0 para todo x suciente-mente proximo de x0.
Dizemos que limx!x0
f(x) = 0 se
(i) limx!x0
f(x) = 0, e
(ii) f(x) mantem-se < 0 quando x! x0, ou seja, f(x) < 0 para todo x suciente-mente proximo de x0.
Escrevemos ainda limx!x+
0
f(x) = 0+ para indicar que
(i) limx!x+
0
f(x) = 0, e (ii) f(x) > 0 quando x! x0 e x > x0.
Analogamente, podemos tambem conceituar os casos
limx!x+
0
f(x) = 0, limx!x
0
f(x) = 0, e limx!x
0
f(x) = 0+.
Nossa algebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos resultados:
c
0+=
(+1 se c > 01 se c < 0
c
0=
(1 se c > 0+1 se c < 0
Tambem e facil intuir que
+10+
= +1 +10
= 1 10+
= 1 10
= +1
Exemplo 5.2
limx!1
(x 1)2 = 0+, portanto limx!1
1
(x 1)2 =1
0+= +1.
-
Limites laterais 42
limx!0+
2x 3x
=30+
= 1
limx!+1
5
x 3 =5
+1 = 0+
Exemplo 5.3 Calcular limx!2+
x+ 2
jx+ 2j e limx!2x+ 2
jx+ 2j
Soluc~ao. Observe que x+ 2 > 0 se e somente se x > 2.Assim sendo, se x > 2, temos x+ 2 > 0 e ent~ao jx+ 2j = x+ 2.Por outro lado, se x < 2, temos x+ 2 < 0 e ent~ao jx+ 2j = (x+ 2).Assim sendo, temos
limx!2+
x+ 2
jx+ 2j = limx!2x>2
x+ 2
jx+ 2j = limx!2x>2
x+ 2
x+ 2= lim
x!21 = 1
limx!2
x+ 2
jx+ 2j = limx!2x
-
Limites laterais 43
a x
y
b0
f(a)
f(b)
Figura 5.3. f e contnua e diferenciavel no intervalo [a; b].
a x
y
b0
f(a)
f(b)
c d
Figura 5.4. f e contnua no intervalo [a; b], mas n~ao tem derivadas nos pontos c e d.
Na aula 4, estivemos observando que a func~ao f(x) = 1=x2 tem limite innito noponto 0: lim
x!0f(x) = +1. Aqui, nas proximidades de 0, o graco \salta" para cima dos
dois lados, apresentando uma quebra na curva do graco.
Quando uma func~ao f(x) e contnua nos pontos de um intervalo [a; b], a curvay = f(x), a x b, graco de f no intervalo [a; b], n~ao apresenta quebras ou saltos.
Intuitivamente falando, podemos desenhar o graco ligando o ponto inicial A =(a; f(a)) ao ponto nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o lapis do papel, tal como na gura5.3.
Observac~ao 5.4 (Uma func~ao contnua pode n~ao ter derivada sempre) Ja na gu-ra 5.4 temos uma ilustrac~ao de uma func~ao contnua no intervalo [a; b] que, no entanto,n~ao tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentesa c e d n~ao e possvel tracar retas tangentes ao graco de f .
Observac~ao 5.5 (Continuidade signica limx!0
f = 0) Na observac~ao 2.1, aula 2,
vimos que, sendo x0 2 D(f), se existe f 0(x0) ent~ao limx!0
f = 0. Na verdade, n~ao e
necessario termos f diferenciavel x0 para que tenhamos limx!0
f = 0.
-
Limites laterais 44
A condic~ao necessaria e suciente para que tenhamos limx!0
f = 0 e que f seja
contnua no ponto x0.
Vejamos: f = f(x0 +x) f(x0).Fazendo x = x0 + x, temos f = f(x) f(x0). Temos que x ! 0 se e
somente se x! x0.Se lim
x!0f = 0, ent~ao lim
x!x0(f(x) f(x0)) = 0, logo
limx!x0
f(x) = limx!x0
[(f(x) f(x0)) + f(x0)] = 0 + f(x0) = f(x0). Assim, f e contnuaem x0.
Se f e contnua em x0, limx!x0
f(x) = f(x0). Logo, limx!x0
(f(x) f(x0)) = 0, eent~ao lim
x!0f = 0.
Assim, limx!0
f = 0, limx!x0
f(x) = f(x0).
Quando existe f 0(x0), temos limx!0
f = 0 e ent~ao limx!x0
f(x) = f(x0), ou seja
Se f tem derivada em x0 ent~ao f e contnua em x0.
No entanto, podemos ter f contnua em x0, sem ter derivada em x0. Veja proble-mas 5 e 6 abaixo.
5.1 Problemas
-1/2
-1
1 20 x
y
Figura 5.5.
-
Limites laterais 45
1. Na gura 5.5 esta esbocado o graco de uma func~ao y = f(x). Complete asigualdades:
(a) limx!1
f(x) = (b) limx!1+
f(x) = (c) limx!2
f(x) =
(d) limx!2+
f(x) = (e) limx!0
f(x) = (f) limx!0+
f(x) =
(g) limx!+1
f(x) = (h) limx!1
f(x) =
2. Em que pontos a func~ao f do problema anterior e denida? Em quais pontos econtnua?
3. Calcule os limites laterais
(a) limx!
j xjx (b) limx!+
j xjx (c) limx!8
1
x 8(d) lim
x!8+
1
x 8 (e) limx!2+x2 5x+ 42 x (f) limx!2+
px 2
4. Calcule os limites limx!3+
f(x), limx!3
f(x) e diga se existe o limite limx!3
f(x).
Diga tambem se f e contnua no ponto 3.
(a) f(x) =
8 0 (ou com f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~ao f tem uma raiz no intervalo ]a; b[,isto e, existe x0, a < x0 < b, tal que f(x0) = 0.
Na pagina 60, desta aula, temos uma vers~ao equivalente desse teorema.
Este teorema esta ilustrado nos gracos das func~oes (contnuas) dos problemas 3e 5, pagina 56, da aula 6. A func~ao do problema 3 satisfaz f(0) > 0 e f(1) < 0, etambem f(2) < 0 e f(3) > 0, o que lhe garante a existe^ncia de uma raiz entre 0 e 1, ede uma outra entre 2 e 3. Ja a func~ao do problema 5 possui uma raiz no intervalo ]2; 3[.
1. Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que
(a) f(x) = x5 + x+ 1 possui uma raiz no intervalo ] 1; 0[.(b) A equac~ao x3 4x+ 2 = 0 tem tre^s razes reais distintas entre si.
2. Mostre que todo polino^mio p(x), de grau mpar, com coecientes reais, tem aomenos uma raiz real.Sugest~ao. Considere os limites lim
x!+1p(x) e lim
x!1p(x).
Para cada uma das func~oes dadas abaixo,
-
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas assntotas 67
(a) Determine o domnio da func~ao e, com base nisto, verique se a curva y = f(x)tem retas assntotas verticais.
(b) Calcule f 0(x) e determine os intervalos em que f e crescente e aqueles em que fe decrescente;
(c) Determine os pontos de maximo locais e os pontos de mnimo locais de f , bemcomo os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f 00(x) e determine os intervalos em que a curva y = f(x) e co^ncava paracima e aqueles em que ela e co^ncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inex~ao da curva y = f(x);
(f) Calcule as razes de f (soluc~oes da equac~ao f(x) = 0), quando isto n~ao for difcil;
(g) Verique se a curva y = f(x) tem retas assntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faca um esboco bonito do graco de f .
(i) Indique os pontos do graco onde a reta tangente e vertical e os pontos onde inexistetal reta tangente (procure por pontos onde f e contnua, mas f 0 n~ao e denida).
3. f(x) =x
x2 2
4. f(x) =x2
1 + x
5. f(x) =3px2 1
6. f(x) = 3p1 x3
7. f(x) = 3p6x2 x3
8. f(x) = 2x 2 3px3 + 1
7.1.1 Respostas e sugest~oes
Para os problemas de 3 a 8, daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda,
e o esboco do graco.
3. f 0(x) = x2 + 2
(x2 2)2 , f00(x) = 2x
3 + 12x
(x2 2)3
4. f 0(x) =2x+ x2
(1 + x)2, f 00(x) =
2
(1 + x)3
5. f 0(x) =2
3 3px, f 00(x) =
293px4
-
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas assntotas 68
6. f 0(x) =x2
3p(1 x3)2 , f
00(x) =2x
3p(1 x3)5
7. f 0(x) =4x x2
3p(6x2 x3)2 , f
00(x) =8x2
3p(6x2 x3)5
8. f 0(x) = 2 2x2
3p(x3 + 1)2
, f 00(x) =4x
3p(x3 + 1)5
Esbocos dos gracos:
3.
22 0 x
y4.
-1 0 x
y
y = x - 1x = - 1
(-2,-4)
5.
x
y
(0,-1)
1-1
6.
x
y
(0,1)
-1
(1,0)
y = -x
7.
x
y
(4,2
2 (6,0)
y = -x + 2
2
0
43 )_
Dado numerico:3p4 1;6
8.
x
y
(0,-2)
1/2 ,
(-1,2)
0
3 __
-
__
( 1/23 __
-4__
)
Dado numerico: 3p1=2 0;8
-
Aula 8
Maximos e mnimos
Nesta aula estaremos explorando procedimentos estrategicos para determinar os valoresextremos de uma func~ao f , ou seja, o valor maximo e o valor mnimo de uma func~aof , em um intervalo I R, sem recorrer a um esboco do graco de f nesse intervalo.
Um teorema da Analise Matematica, conhecido na literatura como Teorema deWeierstrass, nos garante:
(Teorema de Weierstrass) Se uma func~ao f e contnua em um intervalo fechado[a; b] (sendo a e b numeros reais), ent~ao existem pontos x0 e x1 em [a; b] tais quef(x0) e f(x1) s~ao, respectivamente, os valores maximo e mnimo de f(x), para x em[a; b].
Os pontos x0 e x1 aos quais se refere o teorema de Weierstrass s~ao chamadosponto de mnimo de f e ponto de maximo de f , respectivamente. O teorema e ilustradona gura 8.1.
Elucidando os conceitos aqui apresentados, sendo I D(f) um intervalo (limitado ouilimitado), dizemos que
1. f(x0) e o valor mnimo de f (ou de f(x)) em I se
f(x0) f(x), para todo x em I:
2. f(x1) e o valor maximo de f (ou de f(x)) em I se
f(x1) f(x), para todo x em I:Por exemplo, no intervalo I = [1;+1[, a func~ao dada por f(x) = x2 tem um
ponto de mnimo x0 = 0, sendo f(0) = 0 seu valor mnimo, pois x2 0 para todo
x 2 I. Nesse intervalo, f n~ao tem valor maximo pois limx!+1
f(x) = +1.
69
-
Maximos e mnimos 70
x
y
0 b
y = f(x)
a xx 1
Figura 8.1. A func~ao f , contnua em [a; b], tem x0 e x1 como seus pontos de mnimo ede maximo, respectivamente.
8.1 Estrategias para determinar maximos e mnimos
de uma func~ao contnua, em um intervalo
Como determinar os pontos de um intervalo fechado [a; b], onde uma func~ao contnuaf atinge seus valores maximo e mnimo? Uma soluc~ao deste problema seria esbocar ograco de f nesse intervalo, conforme as estrategias desenvolvidas nas aulas 6 e 7, eent~ao localizar os valores extremos de f . Mas como determinar os valores maximo emnimo de f , no intervalo [a; b], sem recorrer ao estudo do esboco de seu graco? Eisto que trataremos de responder.
Recapitulando um conceito introduzido na aula 6, diremos que x0 e um ponto demnimo local de f se existe um intervalo aberto I D(f), com x0 2 I, tal que
f(x0) f(x), para todo x em I
E neste caso, f(x0) e um valor mnimo local de f .Analogamente, diremos que x1 e um ponto de maximo local de f , e que f(x1) e umvalor maximo local de f , se existe um intervalo aberto I D(f), com x1 2 I, tal que
f(x1) f(x), para todo x em I
Teorema 8.1 Se f tem derivada em um intervalo aberto I, e se x0 2 I e ponto demnimo local de f , ent~ao f 0(x0) = 0. Se x1 2 I e ponto de maximo local de f , ent~aof 0(x1) = 0.
Demonstrac~ao. Mostraremos que f 0(x0) = 0, usando a denic~ao de derivada.
Tome x6= 0, com x0 +x 2 I.Ent~ao f(x0) f(x0 +x) e da f = f(x0 +x) f(x0) 0.
Se x > 0, temosf
x 0, e se x < 0, temos f
x 0.
Temos f 0(x0) = limx!0
f
x.
-
Maximos e mnimos 71
Neste caso, f 0(x0) = limx!0+
f
x= lim
x!0f
x.
Mas limx!0+
f
x= lim
x!0x>0
f
x 0 e lim
x!0f
x= lim
x!0x
-
Maximos e mnimos 72
Analogamente, se x1 e um ponto de maximo de f , ent~ao x1 tem uma das tre^s seguintescaractersticas:
(i) x1 e tambem um ponto de maximo local de f , e f tem derivada em x1. Nestecaso, conforme o teorema 8.1, f 0(x1) = 0.
(ii) x1 e um ponto de maximo local de f , mas f n~ao tem derivada no ponto x1.
(iii) x1 e um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x1 = a ou x1 = b.
Esses casos s~ao ilustrados na gura 8.3.
Um numero real x e chamado um ponto crtico de f quando f 0(x) = 0 ou quando fe contnua em x mas n~ao existe f 0(x).
Assim, um ponto de maximo ou de mnimo de uma func~ao f , em um intervalo [a; b],e um ponto crtico de f ou uma das extremidades do intervalo.
Exemplo 8.1 Determinar os valores maximo e mnimo de f(x) = 2x3+ 3x2 12x, nointervalo [3; 3].
Soluc~ao. A func~ao f e contnua no intervalo [3; 3]. Temos f 0(x) = 6x2 + 6x 12 =6(x2 + x 2). As soluc~oes de f 0(x) = 0 s~ao x1 = 2 e x2 = 1. Estes s~ao os pontoscrticos de f no intervalo [3; 3]. Calculando os valores de f nos extremos do intervaloe nos pontos crticos, temos:
f(x1) = f(2) = 20, f(x2) = f(1) = 7, f(3) = 9 e f(3) = 45.Assim sendo, por comparac~ao dos valores obtidos, o ponto de mnimo de f , para
3 x 3, e xmin = x2 = 1, sendo f(1) = 7 o valor mnimo de f nesse intervalo.Ja o ponto de maximo de f , para 3 x 3, e xmax = 3, sendo f(3) = 45 o valormaximo de f nesse intervalo. Como ilustrac~ao, temos um esboco do graco de f , nointervalo [3; 3], na gura 8.4.
-3 -2 1 3-7
45
x
y
9
20
Figura 8.4.
-
Maximos e mnimos 73
Exemplo 8.2 Determinar os valores maximo e mnimo de f(x) =3px2 (x 2)2, no
intervalo 1 x 1.
Soluc~ao. A func~ao f e contnua no intervalo [1; 1]. f 0(x) = 4(2x2 5x+ 2)3 3px
.
Temos f 0(x) = 0 se e somente se x = 2 ou x = 1=2.
Agora, 0 tambem e um ponto crtico de f , uma vez que f e contnua no ponto 0,mas n~ao se dene f 0(0).
Assim, Como 262 [1; 1], os pontos crticos de f s~ao x1 = 1=2 e x2 = 0.Calculando os valores de f nos extremos do intervalo e nos pontos crticos, temos:
f(x1) = f(1=2) =9
43p4 1; 4 ( 3p4 1; 6), f(0) = 0, f(1) = 9 e f(1) = 1.
Portanto, f(0) = 0 e o valor mnimo de f , enquanto que f(1) = 9 e seu valormaximo.
Quest~ao Como determinar os pontos de um intervalo I D(f), nos quais f atingeseus valores maximo e mnimo, se I e um intervalo aberto ou ilimitado, e f e contnuaem I?Neste caso, a resposta e:Sendo f contnua em um intervalo I, comparamos os valores de f nos extremos queefetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nos seus pontos crticos desseintervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f(x) quando x tende aextremos que n~ao pertencem ao intervalo.
Como reforco estrategico na pesquisa de maximos e mnimos locais, temos tambemo seguinte teorema.
Teorema 8.2 Sendo f uma func~ao contnua, com f 0 tambem contnua, em um in-tervalo aberto I, e x0 um ponto de I,
1. se f 0(x0) = 0 e f 00(x0) > 0, ent~ao x0 e um ponto de mnimo local de f ;
2. se f 0(x0) = 0 e f 00(x0) < 0, ent~ao x0 e um ponto de maximo local de f ;
x0x x0x
(x ) = 0 (x ) > 00
0'"
ff
(x ) = 0 (x ) < 00
0'"
ff
Figura 8.5.
N~ao faremos a demonstrac~ao do teorema 8.2 aqui, mas faremos a seguinte obser-vac~ao geometrica, que o torna intuitivamente obvio.
-
Maximos e mnimos 74
Se f 0(x0) = 0, a reta tangente ao graco de f , em P = (x0; f(x0)), e horizontal.
Se, alem disso, f 00(x0) > 0, temos a concavidade do graco de f , em P , voltadapara cima, e assim x0 e um ponto de mnimo local de f . Se f
00(x0) < 0, a concavidadedo graco de f , em P , e voltada para baixo, e x0 e ent~ao um ponto de maximo localde f . Estas duas possibilidades s~ao ilustradas na gura 8.5.
Exemplo 8.3 Determinar os valores maximo e mnimo de f(x) = x+1
x, para x > 0.
Soluc~ao. Estamos procurando os valores maximo e mnimo de f no intervalo ]0;+1[.Temos f 0(x) = 1 1
x2, e portanto f 0(x) = 0 (com x > 0) se e somente se x = 1.
Agora, limx!0+
f(x) = 0 +1
0+= +1 e lim
x!+1f(x) = +1. Portanto, f n~ao tem
valor maximo em ]0;+1[.
Temos ainda f 00(x) =2
x3e f 00(1) > 0. Assim, x1 = 1 e ponto de mnimo local de
f . Como f n~ao tem outros pontos crticos, 1 e o ponto de mnimo global de f , sendof(1) = 2 o valor mnimo de f no intervalo ]0;+1[.
8.2 Aplicac~oes a problemas de otimizac~ao
Exemplo 8.4 Qual e a maior area retangular que pode ser cercada com 200m de telade arame?
Soluc~ao.
(Passo 1) Analisamos o problema, e desenhamos um diagrama incluindo toda a infor-mac~ao. Introduzimos variaveis.
Fazemos isto na gura 8.6
x x
y
y
Figura 8.6. O permetro do reta^ngulo e 2x+ 2y.
(Passo 2) Expressamos a quantidade a ser maximizada como uma func~ao de umavariavel. Determinamos o domnio dessa func~ao a partir das condic~oes do problema.
-
Maximos e mnimos 75
A area do reta^ngulo deve ser maximizada, sob a condic~ao de que o permetro e200m.
Essa area e dada por A = xy. Como y = 100 x, temosA = A(x) = x(100 x)
e, nas condic~oes do problema, temos 0 x 100.(Passo 3) Determinamos o ponto de maximo e o valor maximo da func~ao, no intervaloem que ela esta denida.
Usando os procedimentos discutidos anteriormente, sendo A(x) = 100x x2,temos A0(x) = 100 2x.
A0(x) = 0 se e somente se x = 50. Temos A(50) = 50 (10050) = 502 = 2500.Temos ainda A(0) = A(100) = 0 (valor mnimo da area).
Assim, o valor maximo de A(x) e atingido quando x = 50m. Assim, o reta^ngulode permetro 200m, com area maxima, e um quadrado de 50m de lado.
Exemplo 8.5 Uma grande caixa deve ser construda cortando-se quadrados iguais dosquatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 3m por 8m, dobrando-se os quatrolados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que caram justapostas.Encontre o maior volume possvel para esta caixa.
Soluc~ao.
(1) Um diagrama contendo todas as informac~oes do problema, bem como a introduc~aode uma variavel, e mostrado na gura 8.7
8 - 2x
3 - 2x
x
x
8 - 2x
3 - 2x
Figura 8.7.
(2) O volume da caixa da gura 8.7 e dado por
V = V (x) = x(8 2x)(3 2x); para 0 x 3=2
(3) V 0(x) = 0 se e somente se x = 2=3 ou x = 3 (esta ultima soluc~ao esta descartada,pois 362 D(V )).
-
Maximos e mnimos 76
O unico ponto crtico de V e 2=3. Nas extremidades do domnio temos V = 0.Como V 0, o ponto crtico so pode ser maximo local, e portanto maximo absoluto.
Assim, x = 2=3 e ponto de maximo de V , e as dimens~oes da caixa de volumemaximo s~ao 20=3, 5=3 e 2=3m, tendo ela volume 200=27m3.
Exemplo 8.6 Deseja-se construir uma lata cilndrica totalmente fechada, de volume v,gastando-se, em sua confecc~ao, a menor quantidade de material possvel. Determine araz~ao entre a altura e o dia^metro dessa lata.
Soluc~ao.
(1) Diagramas contendo todas as informac~oes do problema, bem como a introduc~ao deuma variavel, est~ao na gura 8.8
r
h
rea da base
rea do topo 2 r
2 r
2 r
h
=
=
2 r h=rea da superfcielateral
v 2 r= h
rea da superfcie externa total2 r +
2 r 2 r h+=
Figura 8.8.
(2) A superfcie externa total da lata cilndrica, ilustrada na gura 8.8, e dada por
S = 2r2 + 2rh
Como r2h = v, temos h =v
r2, e ent~ao
S = S(r) = 2r2 +2v
r
sendo S(r) denida somente para r > 0.
(3) S 0(r) = 4r 2vr2.
S 0 = 0 se e somente se r = 3rv
2, e este e o unico ponto crtico de S no intervalo
r > 0.
Temos tambem que limr!0
S(r) = +1 e limr!+1
S(r) = +1. Assim, S(r) n~ao temvalor maximo, e seu unico ponto crtico so pode ser ponto de mnimo local. Isto e
conrmado observando-se que S 00(r) = 4 +4v
r3> 0 para todo r > 0. Portanto, o
-
Maximos e mnimos 77
graco de S = S(r) tem convavidade voltada para cima, o que conrma r = 3rv
2como seu ponto de mnimo local, e tambem ponto de mnimo absoluto da func~ao S.
Sendo r = 3pv=(2), temos
h
r=
v
r3=
v
3
rv
2
3 = v v2
= 2
Portanto, h = 2r, ou seja, a altura da lata deve ser igual ao dia^metro da base sequisermos minimizarmos o material a ser gasto em sua confecc~ao.
Este e o padr~ao, ao menos aproximado, de algumas latas de conservas, tais comolatas de creme de leite e de leite condensado. Por quest~oes de praticidade, muitas latasfogem deste padr~ao, como por exemplo as latas de oleo comestvel.
8.3 Problemas
Encontre os pontos de maximo e de mnimo, bem como os valores maximo e mnimo,das func~oes dadas, nos intervalos indicados.
1. f(x) = 3px(x+ 4), x 2 [4; 2]
Resposta. xmin = 1, xmax = 2, f(1) = 3, f(2) = 6 3p2 7; 6.
2. f(x) = x2 + 2x 4, x 2 [2; 2].Resposta. xmin = 1, xmax = 2, f(1) = 5, f(2) = 4.
3. f(x) =x
1 + x2, x 2 R.
Resposta. xmin = 1, xmax = 1, f(1) = 1=2, f(1) = 1=2.
4. f(x) =x
1 x2 , x6= 1.Resposta. f n~ao tem maximo, nem mnimo.
Resolva os seguintes problemas de otimizac~ao.
1. Um recipiente de lata, de forma cilndrica e aberto no topo, deve ter capacidadede v litros. Determine a raz~ao entre a altura h e o dia^metro d da base de modoque a quantidade de lata usada na sua fabricac~ao seja a menor possvel.
Resposta. h = d=2.
-
Maximos e mnimos 78
2. Um estudante quer construir um viveiro reta^ngular para seu hamster, usando aparede de um co^modo como um dos lados e cercando os demais tre^s lados com 3metros de tela disponveis, obtendo a maior area retangular possvel. Quais devemser as dimens~oes de seu viveiro?
Resposta. O viveiro deve ter 1;5m na frente e 0;75m nos lados.
3. Determinar as dimens~oes de um cilindro, de volume maximo, inscrito em umaesfera de raio R.
Sugest~ao. Faca um desenho visualizando o cilindro de perl dentro da esfera. Nodesenho, voce^ tera um reta^ngulo dentro de um crculo. Demarque a altura h docilindro, e dia^metro da sua base, 2r. Demarque tambem o raio R da esfera. Useo teorema de Pitagoras obter relac~oes entre h e r. O volume do cilindro e dadopor V = (area da base) (altura) = r2 h.Resposta. r = raio da base =
q2
3R. h = altura do cilindro =
p2r.
4. Determinar as dimens~oes de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cujaarea da superfcie externa total e a maxima possvel.
Resposta. r = raio da base =q
5+p5
10R, h = 2
q5p5
10R.
5. Na elipse x2
a2+y
2
b2= 1, inscreva um reta^ngulo, de
area maxima, com dois de seus lados paralelosao eixo x (e os outros dois paralelos ao eixo y).Sugest~ao. Os quatro vertices do reta^ngulo, to-dos pertencentes a elipse, ser~ao pontos (x; y),(x; y), (x;y) e (x;y).
x
y
(a,0)(-a,0)
(0,b)
(0,-b)
Resposta. O reta^ngulo tem dimens~oesp2a e
p2b.
6. Quer-se construir um tanque de aco para armazenar gas propano, com a forma deum cilindro circular reto, com um hemisferio (semi-esfera) em cada extremidade.Se a capacidade desejada para o tanque e 100 decmetros cubicos (litros), quaisas dimens~oes que exigem a menor quantidade de aco ? (Despreze a espessura dasparedes do tanque).
Resposta. O tanque deve ser esferico, de raio 3p75= 2; 88 metros.
7. Qual ponto da parabola y = x2 + 1 esta mais proximo do ponto A = (3; 1) ?Sugest~ao. A dista^ncia de um ponto qualquer P = (x; y) ao ponto A e dada pord =
p(x 3)2 + (y 1)2. Se P e um ponto da parabola, temos y = x2 + 1,
e ent~ao d =p(x 3)2 + x4. Como d 0, temos que d tera seu valor mnimo
quando d2 assumir seu valor mnimo. Assim, basta procurarmos o valor mnimode f(x) = (x 3)2 + x4. Resposta. (1; 2).
8. Um veterinario tem 100m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis,primeiro cercando uma regi~ao retangular e depois subdividindo essa regi~ao em seis
-
Maximos e mnimos 79
reta^ngulos menores, atraves de cinco cercas divisorias internas, paralelas a umdos lados. Que dimens~oes externas, dessa regi~ao retangular, maximizam sua areatotal, se o veterinario gasta os 100m de tela nessa construc~ao ?
Resposta. 25m por 50=7 7; 14m.9. Ao procurar o ponto da hiperbole x2 y2 = 1 mais proximo da origem, Jo~aozinhoraciocinou da seguinte maneira.
Temos que procurar, dentre os pontos da hiperbole, aquele para o qual d =px2 + y2 tem valor mnimo. Como d 0, d sera mnimo quando d2 for mnimo.
Agora, sendo P = (x; y) um ponto da hiperbole, temos y2 = x2 1, logo d2 =x2 + y2 = 2x2 1.Procurando o valor mnimo de d2 = f(x) = 2x2 1, calculamos f 0(x) = 4x.Temos f 0(x) = 0 se e somente se x = 0. Para x = 0 porem, temos y2 = 021 =1, uma impossibilidade. Logo, n~ao ha nenhum ponto da hiperbole cuja dista^nciaa origem seja mnima.
Explique o erro no raciocnio de Jo~aozinho,ja que um esboco da hiperbole (faca-o) re-vela que os pontos (1; 0) s~ao seus pontosmais proximos da origem. Sugest~ao. Paraquais valores de x dene-se d?
x y= 1
a b2
2 2
2__ ___
(-a,0)
(0,b)
(0,-b)
x
y
(a,0)
-
Aula 9
Func~oes exponenciais e logartmicas.
Uma revis~ao e o numero e
Nesta aula faremos uma pequena revis~ao das func~oes f(x) = ax e g(x) = loga x, sendoa uma constante real, a > 0 e a6= 1. Faremos ainda uma apresentac~ao do numero e,uma constante importante da matematica universitaria.
9.1 Pequena revis~ao de pote^ncias
Sabemos que, sendo a um numero real positivo,
a1=n = npa e am=n = n
pam
se m;n 2 Z, e n > 0. Assim dene-se a pote^ncia de base a e expoente p, ap (le^-se \aelevado a p"), para todo p 2 Q.
Se e um numero irracional, existe uma seque^ncia de numeros racionais que tendea (uma seque^ncia de aproximac~oes de por numeros racionais), ou seja, existe umaseque^ncia de numeros racionais
1; 2; 3; : : : ; n; : : :
tal que limn!+1
n = .
Por exemplo, se =p2 1;414213562, existe uma seque^ncia de aproximac~oes
dep2, cujos cinco primeiros termos s~ao dados na primeira coluna da tabela abaixo:
80
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 81
1 = 1;4 (21 = 1;96) j1 j 0;014213562 < 0;1
2 = 1;41 (22 = 1;9881) j2 j 0;004213562 < 0;01
3 = 1;414 (23 = 1;999396) j3 j 0;000213562 < 0;001
4 = 1;4142 (24 = 1;99996164) j4 j 0;000013562 < 0;0001
5 = 1;41421 (25 = 1;99998992) j5 j 0;000003562 < 0;00001
Uma calculadora nos fornece uma aproximac~ao dep2 com 12 casas decimais:
p2
1;414213562373. A seque^ncia acima, de aproximac~oes sucessivas dep2, e tal que
jn p2j < 10n, e assim lim
n!+1jn
p2j = 0, e ent~ao lim
n!+1n =
p2 (a segunda
coluna da tabela acima sugere que limn!+1
2n = 2).
Sendo a 2 R, a > 0, e sendo um numero irracional, e 1; 2; 3; : : : umaseque^ncia de racionais com limite , a e denido como o limite da seque^ncia
a1 ; a2 ; a3; a4; : : :
Por exemplo, 2p2 e o limite da seque^ncia
21; 21;4; 21;41; 21;414; : : :
Uma calculadora nos fornece as aproximac~oes:
21 = 2
21;4 = 214=10 =10p214 2; 6390
21;41 = 2141=100 =100p2141 2; 6574
21;414 = 21414=1000 2; 664721;4142 = 214142=10000 2; 6651
No que diz respeito a pote^ncias de base real positiva e expoente real, temos asseguintes boas propriedades, que aceitaremos sem demonstrac~ao:
Se a 2 R, a > 0, e x; y 2 R
ax ay = ax+y(ax)y = axy
ax =1
ax; axy =
ax
ay; a0 = 1
ax bx = (ab)x; se tambem b > 0
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 82
9.2 A func~ao exponencial
Sendo a um numero real, positivo, a 6= 1, dene-se a func~ao exponencial de base apor
f(x) = ax; para todo x 2 RTomamos a6= 1 pela simples raz~ao de que 1x = 1 para todo x 2 R, o que torna
ax constante no caso em que a = 1 (func~oes constantes n~ao s~ao classicadas comofunc~oes exponenciais). Alem disso, tomamos a > 0 porque, se a < 0, ax n~ao se denepara uma innidade de valores reais de x. Por exemplo, se a = 4 ent~ao, para cadan 2 N, n 1, a1=2n = (4)1=2n = 2np4 n~ao se dene como numero real.Assumiremos que, se a > 0 e a 6= 1, a func~ao exponencial dada por f(x) = ax, econtnua em R, isto e,
limx!x0
ax = ax0 ; para todo x0 2 R
Assumiremos tambem que se a > 1, a func~ao f(x) = ax e crescente, com limx!+1
ax =
+1, e se 0 < a < 1 a func~ao e decrescente, com limx!+1
ax = 0+(= 0).
Na gura 9.1 temos esbocos dos gracos de f(x) = 2x e g(x) =12
x.
(a)
1
1
-1 x
y
1/2
2
2-2
4
0
(b)
1
1
-1 x
y
1/2
2
2-2
4
0
Figura 9.1. Gracos de (a) y = 2x, (b) y = (1=2)x.
Temos agora as seguintes novidades na algebra de limites:
Se a > 1, a+1 = +1, a1 = 1a+1
=1
+1 = 0+ (= 0)
Se 0 < a < 1, a+1 = 0+ (= 0), a1 =1
a+1=
1
0+= +1
Por exemplo,
limx!+1
2x = 2+1 = +1, limx!1
2x = 21 = 0, limx!+1
12
x=12
+1= 0, lim
x!1
12
x=
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 83
12
1= 2+1 = +1.
9.3 Logaritmos e func~oes logartmicas
Se a > 0, a 6= 1, e x > 0, o logaritmo de x na base a, denotado por loga x, e oexpoente ao qual devemos elevar a para obtermos x, ou seja
loga x = y se e somente se ay = x
Assim sendo,
aloga x = x
Por exemplo,
log2 8 = 3, pois 23 = 8;
log9 27 =32, pois 93=2 =
p93 = 33 = 27;
log214= 2, pois 22 = 1=4;
log1=2 16 = 4, pois12
4= 16;
log2 5 2; 3219, pois 22;3219 4; 9999.log2 5 n~ao e um numero racional, pois se log2 5 =
mn, com m e n inteiros positivos,
ent~ao 2m=n = 5. Da, 2m = (2m=n)n = 5n, o que e impossvel pois 2m e par e 5n empar.
Listamos aqui, sem deduc~ao, algumas propriedades elementares dos logaritmos:
Sendo x e y reais positivos, z real, e a > 0; a6= 1,
loga(xy) = loga x+ loga y
logax
y= loga x loga y
loga xz = z loga x
loga x1=z =
loga x
z(se z6= 0)
loga x =logb x
logb a; (se b > 0; b6= 1) (mudanca de base)
Assim, por exemplo, a passagem dos logaritmos decimais (base 10) para os logar-itmos de base 2 e dada por
log2 x =log10 x
log10 2=log x
log 2
Sendo a func~ao f(x) = ax contnua e crescente quando a > 0, e decrescentequando 0 < a < 1, temos que loga x e denida para todo x > 0.
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 84
Por exemplo, f(x) = 2x e crescente, 22 = 4 e 23 = 8. Pela continuidade de f , aimagem do intervalo [2; 3], pela func~ao f , e o intervalo [4; 8]. Existe ent~ao x0 2 [2; 3]tal que 2x0 = 5. Assim, log2 5 = x0. Portanto, realmente existe o numero real log2 5.
Alem disso, se a > 0, loga e crescente, e se 0 < a < 1, loga e decrescente.
Na gura 9.2, temos esbocos dos gracos de f(x) = log2 x e g(x) = log1=2 x.
Admitiremos que f(x) = loga x e contnua no seu domnio ]0;+1[, ou seja,
se x0 > 0 ent~ao limx!x0
loga x = loga x0
Alem disso, temos ainda (conra isto observando os gracos da gura 9.2).
limx!0+
loga x = loga(0+) =
(1 se a > 0+1 se 0 < a < 1
bem como tambem (conra observando os gracos da gura 9.2)
limx!+1
loga x = loga(+1) =(+1 se a > 01 se 0 < a < 1
(a)
1
1-1
x
y
1/2
2
2
-2
40
(b)
11
-1x
y
1/2
2
2
-2
40
Figura 9.2. Gracos de (a) y = log2 x, (b) y = log1=2 x.
9.4 O numero e
Na matematica universitaria, ha duas constantes numericas muito importantes. S~ao elaso numero pi, 3; 14159 , e o numero e, e 2; 71828 .
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 85
O numero e e denido como sendo o limite
e = limn!+1n2N
1 +
1
n
nPode ser demonstrado que o numero e e irracional.
Observe a tabela de valores (aproximados) de1 + 1
n
n, para n = 1, 10, 100,
1000, 10000, 100000, dada abaixo.
Tabela 9.1.
n 1=n 1 + 1n
1 + 1
n
n1 1 2 21 = 2
10 0; 1 1; 1 (1; 1)10 2; 59374100 0; 01 1; 01 (1; 01)100 2; 704811000 0; 001 1; 001 (1; 001)1000 2; 7169210000 0; 0001 1; 0001 (1; 0001)10000 2; 71815100000 0; 00001 1; 00001 (1; 00001)100000 2; 71828
Note que limn!+1
1 + 1
n
= 1 + 1
+1 = 1.
Assim, podemos enganosamente intuir que, quando n e muito grande,1 + 1
n
n 1n = 1 (mesmo calculadoras de boa qualidade podem nos induzir a este erro). Nestecaso, nossa intuic~ao e falha, pois pode ser demonstrado que o numero an =
1 + 1
n
ncresce a medida em que n cresce, sendo a1 = 2, e 2 < an < 3 para cada n 2. Natabela 9.1, ilustramos o fato de que
quando n e muito grande,
1 +
1
n
n 2; 71828
Assim sendo, temos um novo smbolo de indeterminac~ao: 11 .
Vamos admitir, sem demonstrac~ao, que tambem, para x real
limx!+1
1 + 1
x
x= e
Neste caso, podemos deduzir:
Proposic~ao 9.1
limx!1
1 +
1
x
x= e
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 86
Demonstrac~ao. De fato, fazendo a mudanca de variavel
x = (y + 1)temos y = x 1, e portanto x! 1 se e somente se y ! +1.
Assim, sendo
limx!1
1 +
1
x
x= lim
y!+1
1 1
y + 1
(y+1)= lim
y!+1
y
y + 1
(y+1)= lim
y!+1
y + 1
y
y+1= lim
y!+1
1 +
1
y
y+1= lim
y!+1
1 +
1
y
y limy!+1
1 +
1
y
= e 1 = e
Como conseque^ncia, temos tambem
Proposic~ao 9.2
limx!0
(1 + x)1
x = e
Demonstrac~ao. Mostraremos que
limx!0+
(1 + x)1
x = e, e limx!0
(1 + x)1
x = e.
Pondo = 1=x, temos que x! 0+ se e somente se ! +1. Da
limx!0+
(1 + x)1
x = lim!+1
1 +
1
= e
Alem disso, x! 0 se e somente se ! 1. Da, pela proposic~ao 9.1,
limx!0
(1 + x)1
x = lim!1
1 +
1
= e
Se x > 0, chama-se logaritmo natural ou logaritmo neperiano de x ao logaritmo
lnx = loge x
Como e 2; 71828 > 1, a func~ao f(x) = lnx e crescente e seu graco tem,qualitativamente, a forma do graco de g(x) = log2 x, gura 9.2 a.
-
Func~oes exponenciais e logartmicas. Uma revis~ao e o numero e 87
A passagem dos logaritmos naturais para os logaritmos decimais (base 10) e dadapor
log10 x =loge x
loge 10=
lnx
ln 10
9.5 Problemas
1. Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 11 e um smbolo de indeterminac~ao.
(a) limx!+1
1 + 2
x
xSugest~ao. Para contornar a indeterminac~ao 1+1, faca 1 + 2
x= 1 + 1
y
(b) limx!+1
x1+x
xSugest~ao. Para contornar a indeterminac~ao 1+1, faca x
1+x= 1 + 1
y
(c) limx!1
2x+32x+1
x+1(d) lim
x!+1
3x+12x+3
x(e) lim
x!1
3x+12x+3
x(f) lim
x!1
1 1
3x
2xRespostas. (a) e2 (b) 1=e (c) e (d) +1 (e) 0 (f) 1= 3
pe2
2. Mostre que, sendo a > 0, limh!0
ah1h
= ln a.
Sugest~ao: Trate o caso a = 1 em separado. Para a 6= 1, faca a mudanca devariavel ah 1 = z, e ent~ao h = ln(z + 1)= ln a.
3. Usando o resultado do problema anterior, calcule
(a) limn!+1
n a1=n 1 (sendo a > 0, a6= 1)(b) lim
x!0eax1x
Sugest~ao. limx!0
eax1x
= limx!0
(a eax1ax
) = a limx!0
eax1ax
(c) limx!0
eaxebxx
Sugest~ao. limx!0
eaxebxx
= limx!0
(eax1)(ebx1)x
(d) limx!0
eax1ebx1
Respostas. (a) ln a (b) a (c) a b (d) a=b
4. Sendo f(x) = 21
x , calcule os limites laterais limx!0+
f(x) e limx!0
f(x).
Resposta. +1 e 0, respectivamente.
5. Sendo g(x) =1
1 + 21
xa
, calcule os limites laterais limx!a+
g(x) e limx!a
g(x).
Resposta. 0 e 1, respectivamente.
-
Aula 10
Derivando func~oes exponenciais elogartmicas
Nesta aula estaremos deduzindo as derivadas das func~oes f(x) = ax e g(x) = loga x,sendo a uma constante real, a > 0 e a6= 1.
O que faz do numero e uma constante t~ao especial ? A resposta esta no seguinteteorema
Teorema 10.1
1. Se f(x) = ex, ent~ao f 0(x) = ex. Ou seja, a derivada da func~ao exponencial debase e coincide com a propria func~ao.
2. Se f(x) = ax (a > 0, a6= 1), ent~ao f 0(x) = ax ln a.Demonstrac~ao. Seja f(x) = ex. Ent~ao
limx!0
f
x= lim
x!0f(x+x) f(x)
x= lim
x!0ex+x ex
x
= limx!0
ex ex exx
= limx!0
ex ex 1x
= ex limx!0
ex 1x
= ex 1 = ex
Para justicar o ultimo passo na deduc~ao acima, nos resta demonstrar:
Proposic~ao 10.1
limh!0
eh 1h
= 1
88
-
Derivando func~oes exponenciais e logartmicas 89
Demonstrac~ao. Faremos o calculo do limite atraves de uma interessante mudanca devariavel.
Fazendo eh 1 = z, temos eh = 1 + z, e ent~ao h = loge(1 + z)Assim sendo, h! 0 se e somente se z ! 0, e ent~ao
limh!0
eh 1h
= limz!0
z
loge(1 + z)= lim
z!01
loge(1 + z)
z
= limz!0
1
loge
h(1 + z)1=z
i = 1loge e
=1
1= 1
Portanto, sendo f(x) = ex, temos limx!0
fx= ex.
Para calcular a derivada de ax, fazemos
ax = eloge ax
= ex loge a = ex ln a = e(ln a)x
Pela regra da cadeia, (eu)0 = eu u0, logo(ax)0 =
e(ln a)x
0= e(ln a)x ((ln a)x)0 = e(ln a)x ln a = ax ln a
Quanto a func~oes logartmicas, temos o seguinte
Teorema 10.2
1. (lnx)0 =1
x2. (ln jxj)0 = 1
x
3. (loga x)0 =
1
x ln a4. (loga jxj)0 =
1
x ln a
Demonstrac~ao. Se y = lnx, ent~ao y = l