3. Persamaan Linear Dalam IklanDalam kehidupan sehari-hari kita tidak bisa lepas dari persamaan linear. Apabila kita belanja di pasar dan dari sekumpulan barang belanjaan kita mendapatkan suatu harga tertentu, secara tidak langsung kita bersentuhan dengan persamaan linear. Atau, saat kita sedang menikmati makan siang di sebuah restoran cepat saji, dan di sana ditawarkan beberapa paket makanan yang merupakan kombinasi dari beberapa jenis makanan. Setiap paket pasti memiliki harga tertentu dan kita tidak tahu berapa harga untuk masing-masing makanan yang menyusun paket makanan tersebut. Sekali lagi, inipun sebenarnya adalah permasalahan persamaan linear. 

Kasus yang lain seperti iklan paket hemat cetak brosur full colour di atas. Di iklan tersebut dikatakan dengan Rp750.000,- kita dapat mencetak 2000 lembar brosur A4 cetak 1 muka atau 4000 lembar ½ A4 cetak 1 muka. Jika satu lembar A4 kita misalkan x dan cetak satu muka kita misalkan y, maka kita akan mendapatkan persamaan 750.000 = 2000(x + y) atau 750.000 = 4000 (½x + y)

derajat F atau 0 derajat C. Dengan memasukkan kedua nilai tersebut ke dalam persamaan F = mC + n maka diperoleh m = 9/5 dan n = 32. Itulah sebabnya kita mendapatkan hubungan F = 9/5C + 32Contoh-contoh di atas adalah penggunaan persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari. Apakah ada contoh penggunaan sistem persamaan linear dalam bidang lain? Ada. Kamu tentu pernah belajar tentang temperatur. Ada tiga skala yang kita kenal, Cecius, Reamur, dan Fahrenheit. Untuk mendapatkan rumus yang menghubungkan Celcius dengan Fahrenheit, kita tinggal menyatakan temperatur Fahrenheit = m temperatur Celcius + n atau F = mC + n dengan m dan n adalah konstanta. Pada tekanan satu atmosfer titik didih air adalah 212 derajat F atau 100 derajat C dan titik beku air adalah 32

4. Sistem Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem Koordinat Katesius.Bentuk umum dari persamaan linear

y = mx + bSistem persamaan linier ini perlu di pelajari secara mendalam karena penerapannya berperan penting dalam kehidupan untuk membantu dan memudahkan pekerjaan manusia. Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear yang telah diterapkan antara lain : rangkaian listrik, model ekonomi, jaringan komputer, dan lain – lain.Dalam bidang teknik informatika sistem persamaan linier juga diterapkan, yaitu dalam bentuk komputasi, pemrograman komputasi

dan komputasi numerik dengan menggunakan metode persamaan linier di dalamnya.Contohnya ialah penyelesaian persamaan linier program eliminasi gauss dengan menggunakan c++. Metode Eliminasi Gauss itu sendiri adalah metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Atau bisa disebut juga metode dimana bentuk matrik augmented, pada bagian kiri diubah menjadi matrik segitiga atas / segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

 

Kesimpulannya, Aljabar Linear amat penting dalam kehidupan seharian kita danmasih digunakan sehingga hari ini. Aljabar linear merupakan asas pengetahuan dalamMatematik dimana kita memerlukan kemahiran aljabar linear untuk menyelesaikan sesuatumasalah Matematik terutamnya yang berkaitan dengan sesuatu pemboleh ubah.Daripadamasalah tersebut, kita boleh membuat analisa ataupun hasil data yang diperolehi untukmembuat perbandingan dan menentukan sesuatu nilai jawapan itu.Oleh itu, aljabar linear bukan sahaja satu set langkah ataupun prosedur untukmenyelesaikan sesuatu masalah tetapi ialah suatu jenis pemikiran. Pelajar bukan sahaja belajar aljabar linear hanya untuk silibus sekolah semata-mata ataupun untuk lulus peperiksaan tetapimereka belajar untuk memahaminya dan mengaplikasikan dalam setiap masalah yang dihadapidalam kehidupan seharian.Kegunaan Aljabar Linear telah memudahkan dan membuat kerja seharian kitamenjadi lebih sistematik. Penggunaanya juga dapat menjimatkan sebarang kos dalamsuatu pekerjaan terutamnya dalam sector perkilangan mahupun dalam pentadbiran sesuatuorganisasi. Semua orang harus mempelajari Aljabar Linear agar dapat menggunakannyadalam kehidupan seharian

Dari contoh diatas kita bisa kita ambil Kesimpulan bahwa Penggunaan Aljabar linear sangatlah luas dalam berbagai Bidang.

5. PROGRAM LINEAR

Standar Kompetensi: Menyelesaikan masalah program linear

Kompetensi Dasar: 1. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel

2. Merancang model matematika dari masalah program linear

3. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan

penafsirannya

Setiap pengusaha pasti selalu menginginkan keuntungan sebanyak-banyaknya. Sebagai

contoh Pak Badrun seorang pengusaha mebel mengerjakan proses finishing 2 set kursi, yaitu

kursi tamu dan kursi makan. Dalam pengerjaannya ia dibantu beberapa karyawan. 1 set kursi

tamu memerlukan waktu 4 jam mengampelas dan 4 jam untuk mewarnai. 1 set kursi makan

memerlukan 3 jam untuk mengampelas dan 2 jam untuk mewarnai. Pak Badrun memiliki

waktu untuk mengerjakan pesanan selama 160 jam untuk mengampelas dan 100 jam untuk

mewarnai. Keuntungan bersih masing-masing kursi adalah RM 50.000 dan RM 40.000.

Permasalahannya sekarang adalah berapa jumlah masing-masing kursi diusahakam agar

diperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya. Untuk menyelesaikan permasalahan yang

dihadapi oleh Pak Badrun, maka digunakan program linear.

7. 2 Program Linear dan Model Matematika

Dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam bidang bisnis dan ekonomi sering

dijumpai persoalan optimasi. Persoalan ini dapat diselesaikan dengan program linear. Program

linear adalah metode atau cara untuk menyelesaikan masalah optimasi yang mengandung

batasan-batasan atau kendala-kendala. Kendala-kendala itu berbentuk sistem pertidaksamaan

linear. Dari beberapa penyelesaian sistem pertidaksamaan itu, yang berbentuk daerah

himpunan penyelesaian terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil terbaik.

Penyelesaian ini dinamakan penyelesaian optimum, yaitu nilai minimum atau nilai maksimum

dari suatu fungsi yang dikenakan pada sistem pertidaksamaan linear. Fungsi ini dinamakan

fungsi obyektif atau fungsi tujuan atau fungsi sasaran.

Untuk memecahkan masalah program linear maka terlebih dahulu kita menterjemahkan

masalah tersebut ke dalam bahasa matematika. Rumusan matematika ini disebut model

matematika. Sehingga model matematika adalah rumusan matematika yang dapat berupa

persamaan maupun pertidaksamaan yang diperoleh dari hasil menterjemahkan suatu masalah

ke dalam bahasa matematika.

Secara garis besar rumusan matematika ini terdiri dari dua bagian yaitu kendala-kendala

yang berbentuk sistem pertidaksamaan linear dan fungsi obyektif (fungsi tujuan).

Seorang pengusaha konveksi akan membuat dua macam baju, yaitu baju model I dan model II.

Baju model I membutuhkan 2 m katun dan 1 m tessa. Baju model II membutuhkan 1,5 m katun

dan 1,5 m tessa. Pengusaha itu mempunyai persediaan kain katun 300 m dan kain tessa 200 m.

Jika banyaknya baju model I adalah x dan baju model II y, maka tentukan model

matematikanya!

Penyelesaian:

Untuk membuat model matematika dari persoalan diatas, maka akan lebih mudah jika dibuat

tabel terlebih dahulu.

Model I

(x)

Model II

(y)

Persediaan kain

maksimum

Katun 2x 1,5y 300

Tessa x 1,5y 200

Banyaknya kain katun yang dibutuhkan untuk membuat kedua jenis model baju adalah

(2x+y)m. Karena persediaan kain katun adalah 300 m, maka diperoleh hubungan

2x +1,5 y 300

Contoh 5

sedangkan banyaknya kain tessa yang dibutuhkan untuk membuat kedua jenis model baju

adalah (x + 1,5y) m. Karena persediaan kain tessa adalah 200 m, maka diperoleh hubungan

x + 1,5 y 200

2 x + 3y 400

x dan y menyatakan banyaknya baju model I dan baju model II, maka x 0, y 0

sehingga diperoleh model matematika:

4x + 3y 600

2x+3y 400

x 0

y 0

Seorang pengusaha mebel mengerjakan proses finishing 2 set kursi, yaitu kursi tamu

dan kursi makan. Dalam pengerjaannya ia dibantu beberapa karyawan. 1 set kursi tamu

memerlukan waktu 4 jam mengampelas dan 4 jam untuk mewarnai. 1 set kursi makan

memerlukan 3 jam untuk mengampelas dan 2 jam untuk mewarnai. Pengusaha tersebut

memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 150 jam untuk mengampelas dan 100 jam

untuk mewarnai. Jika keuntungan bersih masing-masing kursi adalah RM 50.000 dan RM

40.000,00, maka tentukan model matematika agar keuntungan diperoleh sebesar-besarnya.

Penyelesaian:

Misalkan banyaknya kursi tamu = x, dan banyaknya kursi makan = y maka persoalan di atas

dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut ini:

Kursi tamu

(x)

Kursi makan

(y)Waktu

mengampelas 4x 3y 150

mewarnai 4x 2y 100

biaya 50000x 40000y

Contoh 6

Waktu yang digunakan untuk mengampelas kedua set kursi tersebut adalah (4x+3y) jam

dengan waktu yang tersedia maksimum 150 jam sehingga diperoleh hubungan:

4x + 3y 150…………(1)

Waktu yang digunakan untuk mewarnai kedua set kursi tersebut adalah (4x + 2y) jam dengan

waktu yang tersedia maksimum 100 jam sehingga diperoleh hubungan:

4x + 2 y 100

2 x + y 50………….(2)

x dan y menyatakan banyaknya set kursi tamu dan kursi makan maka diperoleh: x 0, y 0,

dengan x, y C………….(3).

Keuntungan yang diperoleh dari kedua set kursi adalah z = 50.000x + 40.000 y.

Jadi model matematika untuk persoalan diatas adalah

Fungsi obyektif: menentukan nilai maksimum z = 50000x + 40000y

Kendala:

4x + 3y 150

2x + y 50

x 0

y 0

dengan x, y C

Seorang peternak gurami setiap harinya memerlukan dua jenis makanan. Makanan jenis I

dalam setiap kilogramnya mengandung 600 gram bahan A dan 400 gram bahan B, sedangkan

makanan jenis II dalam setiap kilogramnya mengandung 800 gram bahan A dan 200 gram

bahan B. Setiap hari, 1000 ekor anak udang dalam satu kolam memerlukan sekurang-

kurangnya 2000 gram bahan A dan 1200 gram bahan B. Jumlah makanan jenis I dan jenis II

untuk 1000 ekor anak udang setiap harinya minimum 5 kg. Harga tiap kilogram makanan jenis

I adalah RM 4000.00 dan makanan jenis II adalah RM 6000.00. Buatlah model matematikanya,

agar kos makanan bagi anak udang setiap hari semurah-murahnya.

Penyelesaian

Misal banyaknya makanan jenis I adalah x dan makanan jenis II adalah y, maka persoalan

tersebut dapat dinyatakan ke dalam table berikut ini:

Contoh 7

Jenis I Jenis II KeperluanBanyaknya makanan x y 5Bahan A 0,6x 0,8y 2Bahan B 0,4x 0,2y 1,2Biaya 4000x 6000y

Setiap harinya jumlah kedua jenis makanan sekurang-kurangnya 5 kg dengan sekurang-

kurangnya 2 kg bahan A dan 1,2 kg bahan B, maka diperoleh hubungan:

a. x + y 5

b. 0,6x + 0,8y 2

6x + 8y 20

3x + 4y 10

c. 0,4x + 0,2y 1,2

4x + 2y 12

2x+y 6

x dan y menyatakan banyaknya makanan anak udang , sehingga x dan y tidak mungkin negatif

maka:

x 0, y 0, dengan x, y R

Jadi model matematiknya adalah:

Objektif : meminimumkan z = 4000x + 6000y

Pengiraannya : 3x + 4y 10

2x + y 6

x 0; y 0 dengan x, y R

7. Bagaimana Matematika Digunakan oleh Para Ahli

Jika Anda masih bertanya-tanya, “untuk apa saya belajar matematika?”, “apa perlunya matematika

hingga diajarkan di semua level pendidikan?”, ada baiknya Anda simak tulisan saya berikut ini.

Tulisan ini saya rangkum dari sebagian konten yang ada di situs “We Use Math“.

Berikut adalah sepuluh pekerjaan, dimana matematika dibutuhkan dalam bidang pekerjaan tersebut.

ANIMATOR

Animator adalah seorang pekerja seni yang pekerjaannya membuat gambar-gambar bergerak

(animasi).  Seorang animator bisa bekerja dalam berbagai bidang seperti dalam film, televisi, video

games, juga internet.

Seorang animator harus memiliki pemahaman yang cukup terhadap beberapa bidang matematika

terapan. Hal ini memungkinkan untuk menemukan sesuatu yang tidak diketahui dari sebuah set

persamaan sederhana, dan bekerja di luar aspek geometri ketika berurusan dengan benda-benda

yang bergerak dan berubah.

Sebagai contoh, seorang animator menggunakan aljabar linear untuk menunjukkan cara bagaimana

sebuah objek itu diputar dan digeser, dibesarkan dan dikecilkan, dan sebagainya. Pengetahuan

matematika lainnya yang dibutuhkan adalah aljabar, trigonometri, kalkulus, dan geometri.

ARSITEK

Arsitek adalah seseorang yang mendesain bangunan gedung, dan sebagainya, sehingga banguan itu

bisa fungsional, aman, dan ekonomis. Arsiteklah yang menggambar rancangan, semua bagian-

bagian gedung, termasuk pengaturan pipa-pipa dan sistem jaringan listrik. Mereka juga yang

memilihkan material dari bangunan-bangunan itu.

Matematika digunakan oleh arsitek untuk mengekspresikan gambaran desain pada gambar cetak

sehingga dapat digunakan oleh pekerja konstruksi untuk mewujudkannya dalam bentuk bangunan

nyata. Matematika diperlukan oleh para arsitek untuk menganalis dan menghitung masalah

struktural dalam rangka merancang sebuah solusi yang menjamin bahwa strukstur akan tetap

berdiri dan stabil.

Tanpa matematika mustahil gambaran desain yang ingin dibuat oleh arsitek itu bisa

direpresentasikan dalam bentuk gambaran cetak seperti itu.

Bidang matematika yang dibutuhkan diantaranya adalah aljabar, trigonometri, kalkulus, statistika

dan probabilitas, juga program linear.

ASTRONOT

 

Berikut adalah sebuah kutipan pernyataan seorang astronot NASA, Robert L. Stewart,

“It should be evident that each step in my career has rested on a firm foundation in mathematics. For me, the study of mathematics was the key that opened the doors to the universe.”

Astronot adalah seseorang yang dilatih dalam sebuah program penerbangan luar angkasa

(spaceflight program) untuk menjadi awak pesawat luar angkasa. Para awak itu bertugas untuk

mengatur dan menjalankan pesawat, termasuk melayani awak yang lain.

Ketika astronot terbang ke luar angkasa untuk melakukan misi, hal ini dimungkinkan karena

perhitungan matematis yang tepat dan akurat. Dimulai dengan perhitungan bagaimana agar

pesawat bisa meninggalkan atmosfer bumi, hingga bagaimana astronot mengendalikan pesawat.

Para desainer pesawat juga menggunakan matematika untuk  menghitung jarak, kecepatan,

kekuatan, termasuk perhitungan untuk keselamatan para astronot sendiri ketika membuat ruang

‘faring’ pesawat. Matematika yang dibutuhkan oleh para astronot diantaranya aljabar, trigonometri,

kalkulus, persamaan diferensial, dan aljabar linear.

ANALIS FORENSIK

Seorang analis forensik menggunakan teknik-teknik ilmiah untuk menyelidiki sebuah kasus kriminal.

Mereka biasa menggunakan sidik jari yang dianalisa menggunakan bantuan komputer. Mereka juga

menganalisa objek lain seperti darah, suara, juga analisa genetis sidik jari. Yang bersifat kimiawi,

mereka juga biasa menganalisa racun, narkoba, dan sebagainya.

Seorang analis forensik melakukan analisa pola darah dalam rangka untuk menceritakan kisah atau

kronologis kejahatan. Dapat diungkapkan, bahwa ternyata lokasi dimana darah ditemukan, dan

bentuk struktur darah pada pendaratan di tempat kejadian, keduanya bisa mengungkapkan arah

kemana darah bergerak dan seberapa besar kekuatan yang dibutuhkan untuk melukai korban.

Para analis forensik menggunakan matematika misalnya untuk mengetahui lokasi korban ketika

darah ditumpahkan, dan bahkan jenis senjata atau dampak yang bisa mencederai korban. Kadang-

kadang darah dari senjata (barang bukti) juga bisa digunakan untuk mengungkapkan mentalitas

korban.

Bidang matematika yang dibutuhkan diantaranya adalah aljabar, trigonometri, geometri, kalkkulus,

dan statistika.

ANALIS RISET PASAR

Seorang analis riset pasar bekerja mengumpulkan informasi apa yang orang-orang pikirkan tentang

sebuah produk. Mereka menolong perusahaan untuk mengetahui jenis produk apa dan bagaimana

yang diiginkan oleh pasar, dan berapa kisaran harga yang diinginkan. Mereka juga membantu proses

pemasaran produk-produk itu.

Para analis riset pasar menggunakan matematika di setiap pekerjaannya. Misalnya digambarkan

dalam berbagai aktivitas mereka berikut,

Menganalisa data statistika penjualan produk lama untuk prediksi penjualan produk di masa-

masa mendatang

Mengumpulkan data para kompetitor, menganalisa harga, penjualan, juga metode distribusi

dan pemasaran

Memikirkan metode dan prosedur pengumpulan data

Mengevaluasi produk dan membuat rekomendasi kepada perusahaan dan klien sehingga

pengambilan keputusan bisa dibuat untuk hasil yang lebih baik

Kemampuan perhitungan kuantitatif sangat dibutuhkan oleh seorang analis riset pasar. Oleh sebab

itu, kemampuan di bidang matematika, statistika, teori sampling, desain survey, dan ilmu komputer

akan sangat membantu. Bidang matematika yang perlu dikuasai diantaranya aljabar, geometri,

kalkulus, ekonometri, dan statistika.

BIOLOGIST

Biologist adalah ilmuwan yang mempelajari mengenai seluk beluk makhluk hidup dan menyelidiki

hubungannya dengan lingkungan sekitar.

Para ahli biologi menggunakan matematika, misalnya ketika  mereka membuat plot grafik untuk

sebuah kasus. Untuk membantunya memahami berbagai persamaan, menjalankan tes “trial and

errors”-nya ketika sedang melakukan sebuah riset terhadap sebuah sampel untuk mengembangkan

sebuah algoritma. Ahli biologi juga menggunakan berbagai perangkat lunak dimana matematika

menjadi dasar pengoperasiannya.

Bidang matematika yang dibutuhkan oleh para ahli biologi diantaranya adalah aljabar, geometri,

trigonometri, kalkulus, dan statistika.

EKONOM

Para ekonom adalah orang yang mempelajari kegiatan masyarakat dalam mendistribusikan berbagai

sumber daya seperti tanah, tenaga kerja, bahan baku, mesin dan berbagai peralatan untuk

memproduksi barang dan jasa.

Para ekonom dapat melakukan penelitian, mengumpulkan dan menganalisa data, memantau tren

ekonomi, dan mengembangkan prakiraan. Mereka melakukan penelitian dalam berbagai bidang

seperti biaya energi, inflasi, suku bunga, nilai tukar, pajak, tingkat pengangguran, dan sebagainya.

aktivitas-aktivitas matematis yang biasa dilakukan para ekonom dapat dilihat diantaranya pada

kegiatan,

Menggunakan model-model matematika untuk lebih memahami isu-isu seperti sifat dan

panjang siklus bisnis, dampak inflasi, atau efek kenaikan BBM pada kemiskinan dan

pengangguran

Mengembangkan metode dan prosedur pengumpulan data

Menerapkan pengetahuannya untuk memberikan masukan kepada pemerintah atau pelaku

bisnis dan organisasi