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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Objetivo General:
Aplicar el criterio de la primera y segunda derivada a problemas dela vida cotidiana.
Objetivos Especficos:
1 Identificar cuando una funcin es creciente y decreciente,puntos de inflexin, cncava hacia arriba y cncava haciaabajo.
2 Encontrar puntos crticos, mximos y mnimos.
Carlos F. Piedra Cceda Licenciado en Matemtica APLICACIONES DE LA DERIVADA
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Definiciones y Teoremas:
Teorema I:Si f (x) >0 para cada valor de x en (a, b) entonces f escrecienteen (a, b).Si f (x) 0
0
y
f(x)
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Punto Crtico
Un punto crtico de una funcin f es cualquier punto xen el
dominio de f tal que f (x) =0 o f (x) no existe.
Ejemplo
x
(2, 11)
(2, 21)
y
1 2 3 4234 1 0
10
20
10
20
yx3 12x 5
Figura:
f(x) =x3 12x 5
f
(x) =3x2 12= 3x2 12=0
x2 =4x= 2
Los puntos crticos son -2 y 2.
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Ob
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Mximo relativo
ftiene un mximo relativo en csi existe un intervalo (a, b) que
contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x (a, b).
Mnimo relativo
ftiene un mnimo relativo en csi existe un intervalo(a, b) que
contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x (a, b).
Ejemplo
x
(2, 11)
(2, 21)
y
1 2 3 4234 1 0
10
20
10
20
yx3 12x 5
f(x) = x3 12x 5f(3) = 4f(2) = 11f(1) = 6
= f(3) < f(2) f(1) < f(2)Luego :
f(1) = 16f(2) = 21f(3) = 14
= f(1) > f(2) f(3) > f(2)
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Obj ti
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Teorema 2: Concavidad
1 Si f (x) >0 para cada valor de x en (a, b), entonces f es
cncava hacia arriba en (a, b).
2 Si f (x) 0f (0) = 4 0
x
y
0 11
(1, 1)(1, 1)1
(0, 2)
yx42x
22
Figura:
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Objetivos
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Punto de Inflexin
Un punto sobre la grfica de una funcin f donde exista la rectatangente y cambie la concavidad es un punto de inflexin.
c0 x
y
f(x)0
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Criterio de la primera derivada
1 Determinar los puntos crticos de f.
2 Determinar el signo de f a la izquierda y a la derecha de cadapunto crtico.
Si f (x) cambia de signo de positivo a negativo al pasar porun punto crtico x=c, entonces f(c) es un mximo relativo.Si f (x) cambia de signo de negativo a positivo al pasar porun punto crtico x=c, entonces f(c) es un mnimo relativo.Si f (x) no cambia de signo al pasar por un critico x=c,entonces f(c) no es un mximo o un mnimo relativo.
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Objetivos
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Criterio de la segunda derivada
1 Calcularf (x) y f (x).
2 Determinar los puntos crticos de f donde la derivada
f
(x) =0.3 Calcularf (c) para cada punto crtico c.Si f (c) 0, entonces ftiene un mnimo relativo en c.Si f (c) =0, entonces el criterio no es concluyente.
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Objetivos
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ObjetivosDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Ejemplo Aplicado
Ejemplo
Una empresa que produce leche, tiene envases de forma de cilindrocircular recto y de volumen 442,8cm3. Actualmente la empresarequiere que los envases de este tipo, tengan la menor cantidad de
metal, para as reducir el costo del material.
Resolucin
Para que los envases tengan menor cantidad de material, serequiere minimizar el rea de la superficie del cilindro circular
recto. Para esto denotamos a rcomo el radio de las bases y a hcomo la altura del cilindro. Ahora el rea de la superficie total delcilindro es:
A= 2r2 +2rh. (1)
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Objeti osDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
r
h
Figura:
r
Area2{r@}
Area(2r)h
2r
h
I ll
Figura:
Luego el volumen del cilindro es:
V =442,8
r2h=442,8
Despejandoh:
h=442,8
r2 (2)
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jDefiniciones y Teoremas
Ejemplo Aplicado
Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos:
A(r) =2r2 +885,6
r . (3)
que es la funcin a minimizar.
Ahora aplicando el criterio de la primera derivada:
A(r) =4r 885,6r2
= A(r) =0
4r 885,6r2
=0
r= 3
885,64
r=4,13cm
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Definiciones y TeoremasEjemplo Aplicado
Intervalo Punto de prueba A(r) A(r) Conclusiones
r< 4,13 3 A
(3) = 60,72 < 0 A es decreciente en (0;4,13)
r = 4,13 A(4,13) = 322,4 A tiene un mnimo en r = 4,13
r> 4,13 5 A(5) = 27,376 > 0 A es creciente en (4,13;+)
O tambin aplicando el criterio de la segunda derivada:
A(r) =4+ 1771,2r3
= A(4,13) =4(3, 14) + 1771,2(4,13)3
A(4,13) =12,56+ 1771,270,5
A(4,13) =12,56+25,1
A(4,13) =37,7
Por lo tanto como A(4,13) =37,7 >0 entonces A tiene unmnimo en r=4,13cm y es A(r) =322,4cm2.
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