LA DERIVADA y Sus Aplicaciones

LA DERIVADA

INTRODUCCIN

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variacin, condujo en el siglo XVII hastala nocin de derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el clculoinfinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptosson difciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuy la aparicin deuna buena notacin, que es la que usaremos. Las aplicaciones prcticas de esta teora no dejande aparecer.

1. Tasa de variacin media

Incremento de una funcin

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando alvalor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) yf(a) el incremento de la funcin.

Tasa de variacin media

Llamamos tasa de variacin media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la funcin y =f(x) en el intervalo

[a, b] al cociente entre los incrementos de la funcin y de lavariable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

Ejemplo 1. Halla la tasa de variacin media de la funcin

f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]Solucin

T.V.M. [0, 2] =

Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variacin media de la funcin f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2]

valga ln2.

2. Tasa de variacin instantnea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variacin media en el intervalo [a, a +h] sera . Nos interesa medir la tasa instantnea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es

decir :

A este valor se le llama la derivada de la funcin f en el punto a y se designa por ,

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por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmite de la tasa de variacin mediacuando el incremento de la variable tiende a 0.

=Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.Observacin 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , tambin puede expresarse

as:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la funcin f(x) = -x2 +4x el punto de abscisa x =1.

Observacin 2. Tambin se puede hablar de derivadas laterales, f + y f - (obligatorio que

f sea continua) segn se considere el lmite para h>0 o h

y - f(a) = f (a)(x-a) .

Ecuacin punto pendiente de la recta tangente a la grfica de f, pasa por el punto (a, f(a))y tiene como pendiente la derivada de f en a, f(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la grfica de y =-x2 +4x, unarecta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en esepunto, que tiene por ecuacin y 3 = 2(x-1)

Ejercicio 4. Hallar la ecuacin de la recta tangente aa

la grfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0Ejercicio 5. Qu valor debe tener a para que la recta y

=-x +6 y la curva y =-ax2 +5x 1 sean paralelas en x = 1.Indicacin. Dos rectas son paralelas cuando tienen la

misma pendiente

4. Funcin derivada. Reglas de derivacin. Clculo de derivadas

La funcin derivada

La funcin que a cada que a cada x le hace corresponder f(x) se llama la funcin derivadade f y se denota por f.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x) =k f(x) =0

2) f(x) = xn f(x) = nxn-1

3) f(x) = f(x) =

4) f(x) = ln x f(x) =

5) f(x) = ex = ex

6) f(x) = sen x f(x) = cos x

7) f(x) = cos x f(x) = -sen x

Reglas de derivacinSi f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:-(f +g)= f(a) + g(a)-(f.g)(a) = f(a).g(a) + g(a).f(a)Adems si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan x; d)

Ejercicio 7. Estudia en qu puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:


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a) f(x)=

Observacin: la grfica de esta funcin es:

b) y =

c) g(x)= Las grficas de estas funciones estn al final, para la comprobacin.Observacin. Si f se puede derivar en su dominio se puede llegar a la funcin (f )= f

, que se llama derivada segunda,

y f , f v que se dice son las derivadas sucesivas de f.

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) = ; c) h(x)= sen x.

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica:(fg)(a) = f(g(a)).g(a)Que se llama la regla de la cadena (derivada de la funcin compuesta o derivada de la funcin de

funcin)

Derivacin logartmica

Como aplicacin de la regla de la cadena se tiene, si y , y de aqu se llega almtodo de la derivacin logartmica.

Mtodo:

Sea 1 Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2 Se deriva 3 Se despeja y

[ ] [ ]


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que puede escribirse :

Observacin. La frmula por ser muy compleja[1]

no suele aplicarse es preferible aplicar el mtodo en cadaejercicio.

Ejemplo 4. Consideremos la funcin y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:

, y derivando los dos miembros de la igualdad

y=xx(ln x +1)

Derivada de la funcin inversa

Es otra aplicacin de la regla de la cadena.

Como ff -1= I, se tiene (ff 1)(x)= f (f 1(x))(f 1)(x)=1, luego despejando

(f 1)(x)= 1/f (f 1)(x),

Ejemplo 5. Consideremos la funcin y =arc tg x x = tg y, y derivando x = 1 +tg2y, de donde:

Ejercicio 9. Calcula la derivada de

Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio) Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ; b) ;

c) y = ; d) h(x) =cos3(x2-2);

e) y =e arc tg x; f) j(x) =arc sen(x + 3x2)

g) y = ; h) k(x) =(x2+1)cos x;

j) y = ln ; k) y = ;

5.Crecimiento y decrecimiento de una funcin

Proposicin. Si una funcin f es derivable en un punto a, y f(a)>0 entonces f es creciente en el punto a.

Figura 1

La demostracin de este resultado puede hacerse usando la definicin de derivada y e concepto de lmite, pero resulta


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evidente si se tiene en cuenta el significado geomtrico de la derivada (ver figura 1).Si f es derivable en un intervalo I y f >0 en ese intervalo entonces f crece en I.El recproco no se cumple en general.

Ejemplo 5. La funcin y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f (0) =0.Anlogamente si f es derivable en un punto a y f (a) =0 <

Si |a hay mximo relativo en (a, f(a))

f mximo

Ejercicio 9.Dada la funcin se pide estudiar el crecimiento y decrecimiento, mximos ymnimos relativos.

Condicin suficiente de extremoProposicin. Sea f una funcin derivable en a y tal que f (a)=0:a) Si f >0 entonces f tiene un mnimo relativo en el punto a.b) Si f

f(x) Crece Mximo Decrece

f '(x) + 0 -

f ''(x) - - -

f(x) Decrece Mnimo Crece

f '(x) - 0 +

f ''(x) +

Se presentarn en tablas estos resultados:

Ejercicio 10. Descomponer un nmero N en dos sumandos x e y de tal manera que x2 +6y sea mnimo.

Nota[2]

. Cuando busquemos los extremos absolutos de la funcin f, si esta es continua en un cerrado yderivable en el abierto, buscaremos los valores en que la derivada es cero y los compararemos con los delos extremos, el valor mas grande ser el mximo y el ms pequeo el mnimo.

Ejercicio 11. Se considera la funcin f(x) =x3 3x definida sobre el intervalo [-2,2], se pide hallar lospuntos donde f alcanza mximo absoluto.Ejercicio 12. Entre todos los rectngulos de 20cm de permetro halla el que tiene diagonal mnima.

7. Algunas precisiones sobre los extremos de funciones

OBSERVACIN 1. Decir que f posee un mximo local en un punto x0, significa que existe un intervalo (x0 -

r, x0 + r) tal que f(x) f(x0) para todo x perteneciente al conjunto

(x0 - r, x0 + r) Df .Anlogamente para mnimo local.Esta matizacin en la definicin de extremo, de intersecar el entorno con el dominio de f, Df, es

esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una funcin continua, definida en undominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos por el teorema de Weiertrars que losposee incluso absolutos), cuando stos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio.

OBSERVACIN 2. No se deben asociar tanto los extremos locales a las derivadas, ya que stospueden encontrarse en los puntos en que la funcin no es derivable.

Ejercicio 13. La funcin:

(su dominio es [-2,3])Cuya grfica se adjunta

Figura 3Tiene extremos locales? tiene extremos absolutos?. En caso afirmativo en qu puntos se alcanzan?. Razonas larespuestas.


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f (x) + 0 -

f (x)Convexa

P.inf

Cncava

Si no tuvieras las grficas cmo les localizaras?Teniendo expuesto anteriormente deduce razonadamente como se pueden calcular los extremos(absolutos y relativos) de una funcin.

Ejercicio 14. Calcula los extremos (indica si son absolutos o no) de las siguientes funciones, en caso de que existan:

a) f(x)=-x3 +3x; b) ; c)

d)

e)

8. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexin

Una funcin es convexa[3]

en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que la diferenciaentre la ordenada de la funcin y la ordenada de la tangente a la grfica de f en el punto (a, f(a)) espositiva en dicho intervalo.

Figura4

Anlogamente se dice que es cncava cuando dicha diferencia es negativa.Se dice que f tiene un punto de inflexin en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre laordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha.

Por lo tanto f tiene un punto de inflexin en a si endicho punto la tangente atraviesa a la grfica.

Ejemplo 7. En la grfica aparece la funcin y = x3 y latangente en el punto x =0. Se aprecia que en dichopunto la grfica posee una inflexin.

Figura 5

Proposicin. Si la funcin es derivable en a y f(a)>0 se verifica que f es convexa en a.

Anlogamente si f es derivable en a y f(a)

Ejemplo 8. En la grfica de la figura se aprecia que la funcin es cncava en el punto 1 es convexa en elpunto 3/2 y tiene un punto de inflexin en el 0:

Ejercicio 15. Dada la funcin estudia la curvatura y los puntos de inflexin.

9. Aplicacin de la derivada a la representacin grfica de funcionesEl conocimiento de una funcin se completa perfectamente dibujando su grfica, los siguientes resultados danuna idea aproximada de sta:

I) Estudio de f (resumen)

1 Dominio de f.2 Puntos de corte con los ejes.3 Signo de la funcin (regiones en las que vara el signo).4 Simetras.- Si f(-x) = f(x), funcin par, simtricas respecto del eje de ordenadas.- Si f(-x) =-f(x), funcin impar, simtrica respecto del origen.5 Asntotas- Verticales

Si existe a tal que , x =a es la ecuacin de una asntota vertical.- Horizontales

Si , y =b es una asntota horizontal.- Oblicuas

Si y , y =m x +n es una asuntota oblicua.II) Estudio de f (resumen)

1 Crecimiento y decrecimiento.Si f (x)>0 , f es creciente. Si f (x)0 convexa , f

x - -1 1

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) Decrece Mnimo Crece

Mximo Decrece

x - - 0 +

f - 0 + 0 - 0

f inflexin inflexin inflexin

I) Estudio de f

1 D =R2 Puntos de corte, el (0, 0)3 Signo de f, negativa en x04 Simetras, f(-x) = -f(x), luego simtrica respecto del origen.5 Asuntotas.No hay verticales por que el dominio es todo RHorizontales y =0No hay oblicua.

II) Estudio de f

, f (x)=0 -x2+1=0, de donde x = 1

1 f decrece en los intervalos ]- , -1[ y ]1, [ y crece en ]-1, 1[2 Tiene un mnimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un mximo relativo en el punto(1, 1/2).III) Estudio de f

f (x)= =

f (x)=0

En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexinLa grfica es:


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Ejercicio 16. Representar las grficas de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c)

Ejemplo 9. La grfica de y = ln (x2+1) es:

Ejemplo 10. La grfica de y =ln (x2-1)

Ejercicio 17. Representa grficamente: a) y = x e x ; b) .

10. Aplicaciones de las derivadas a la resolucin de problemas de mximos y mnimos

(Incluimos los propuestos en selectividad )

Problema 1. Nos dicen que la funcin f(t) = t -2 es la derivada de la inflacin en funcin deltiempo en cierto pas, cuando 0 . Determinar el valor de t para el que la inflacin alcanza elvalor mnimo.

Problema 2. Se calcula que el valor de una accin t meses despus de salir al mercado durante el

primer ao viene dado por la funcin v(t)=t2-6t+10. Explique razonadamente en qu mes conviene


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comprar las acciones para adquirirlas al precio mas ventajoso.

Problema 3. La velocidad (en m./sg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metrosviene dado en funcin del espacio recorrido, x, por la siguiente expresin:f(x) =-000055 x (x-300)Deducir de forma razonada:Qu distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad mxima?cul es stavelocidad?Problema 4. El coste total en euros de la produccin de x litros de un determinado producto

viene dado por C(x) = . Definir la funcin que determina el coste medio por litroproducido y determinar de forma razonada con qu produccin dicho coste medio ser mnimo.cul es el valor de dicho coste?

Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina

de un motor viene dado por la funcin f(x) =2x2-12x +23, donde f indica los litros consumidos enuna hora y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada:a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mnimo.b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mximo.c) Dichos consumos.

Problema 6. El rendimiento, f(t), en un examen que dura una hora en funcin del tiempo t vienedado por

, Deducir razonadamente:a) Cundo el rendimiento es nulo.b) Cundo el rendimiento es mximo.c) Cundo el rendimiento es creciente y cundo es decreciente.

Problema 7. En una pradera se tiene que vallar una zona de 400 m2, que debe tener forma derectngulo. Cada metro de valla cuesta 100 . Si x es la medida en metros de uno de sus lados, sepide:a) Obtener razonadamente la funcin f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre quvalores puede variar x.b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la funcin f(x) alcanza el valor mnimo. SI QUIERES PROBLEMAS RESUELTOS VISITA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Otros problemas del tema (derivadas) propuestos en selectividad

1. La funcin f(t)= 2`1t2+ 0`8 t-1, para , donde el tiempo, t, viene expresado en aos,proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los aos 1991 (t =0) y 2000 (t=9).a) Calcular de forma razonada la tasa de variacin media del beneficio de esta empresa en este periodo detiempo.b) Obtener de forma razonada la tasa de variacin media del beneficio de los ltimos aos.c) Qu podemos concluir acerca de la variacin del beneficio en los dos ltimos aos?

2. Mediante la utilizacin razonada de la relacin de la derivada de una funcin con sucrecimiento o decrecimiento, obtener en qu puntos del intervalo [-2, 2] son crecientes odecrecientes las funciones:

a) f(x) = x2


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b) f(x) =x3-7.

3. Obtener la derivada de la funcin en el punto de abscisa x = 4. Explicar lo quesignifica el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa de variacin instantnea en el punto deabscisa x = 5.c) Qu podemos concluir acerca de la variacin del beneficio en los dos ltimos aos?

Problemas propuestos

1. A un vendedor de ordenadores le cuesta 140000 ptas. cada modelo de la marca PCHE-COMPR. Hacomprobado que al precio de 240000 ptas. unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que por cada 2000ptas. de descuento en el precio puede vender 3 unidades ms al mes. Hllese a que precio debe venderlos paraobtener el mximo beneficio posible.

2. Se define una funcin del modo siguiente: F(x)= a) Hallar el dominio de definicin.b) Determinar la funcin derivada y dar su dominio.

3 Estudiar los mximos y mnimos de la funcin: y = los posee absolutos?

4. Representacin grfica de

5. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad, R(x), en miles de vienedada en funcin de la cantidad que se invierta x, en miles de por medio de la siguiente expresin:

R(x)= -0,001x2+0,5x+2,5 a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en dicho plan .(ensoluciones grficas es el 11)b) Qu cantidad obtendra?

6. El coste de produccin de x unidades diarias de un determinado producto es:

y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4) Halla el nmero de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea mximo.(en soluciones grficas es el 12)

7. En 1980 se fund una asociacin ecologista. Se sabe que el nmero de sus miembros havariado con los aos de acuerdo con la funcin.

N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x + 2)a) Cuntos fueron los socios fundadores?b) En qu perodos de tiempo aumenta el nmero de socios? (en soluciones grficas es el 14)

8. Dada la funcin y = , se pide:


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a) Representarla grficamente.b) Ecuacin de la recta tangente en el punto de abscisa x =1.c) Hallar sus mximos y mnimos relativos.

9. Hallar a y b para que la funcin f(x)=x3+ ax +b tenga un mximo en el punto (1,1)

10. Estudia y representa

Grficas de ejercicios propuestos.

y=

y=

y=

y=


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y =

Grfica de ejercicio 2

y=2.e-x


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g(x)=

Soluciones grficas de problemas de optimacin

Solucin grfica del problema 1

B(x)= (100000 2000x)(30 3x)

Solucin grfica problema 11.


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Solucin grfica del problema 12.

B(x)=(50-x/4)x ((1/4)x2 + 35x + 25) Solucin grfica problema 14


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El tema de derivadas est ms desarrollado en formato pdf en: Matemticas en el Bachillerato SI QUIERES PROBLEMAS RESUELTOS VISITA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

[1] Es fcil recordarla si uno se da cuenta que el primer sumando es lo que resulta si se deriva como exponencial y el segundo

sumando si se deriva como potencia.[2]

Teorema de Weiertrars[3]

En algunos libros a estas se les llama cncavas. Esta falta de acuerdo es por lo relativo de la curvatura. Depender sta de simiramos la curva desde arriba o desde abajo del eje de abscisas.No habr ambigedad pues la derivada segunda nos dar la curvatura.


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