Análisis Matemático I – CIBEX - UNLP

Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 2: Límites y Continuidad

2015 - Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

UNIDAD 2

Límites y continuidad

Contenidos de la Unidad 2: Límites para x → x0 �nito. Límites laterales. Límites �nitos,in�nitos y oscilantes. Reglas para operar con límites �nitos. Reglas para operar con límitesnulos y con límites in�nitos. Límites para x → ±∞. Asíntotas horizontales y verticales.Continuidad en un punto. Discontinuidades. Continuidad en intervalos. Teorema del ValorIntermedio.

Clase 2.1. Límite de una función f(x) para x tendiendo a un valor x0

Contenidos de la Clase: Límite para x→ x0 �nito. Límites laterales. Límites �nitos, in�nitosy oscilantes. Nociones intuitivas y de�niciones formales.

La noción de límite que exploramos en esta Unidad es el concepto fundamental que permitió el desar-rollo del Análisis Matemático, tal como lo veremos en este curso.

Cuando en las materias troncales de sus carreras les expliquen distintas leyes y modelos matemáticosde la Naturaleza, verán que no son su�cientes los cálculos algebraicos. No se asusten ahora, pero veránque mayormente se utilizan funciones, y que se las relaciona mediante derivadas (en situaciones locales oinstantáneas, dando lugar a ecuaciones diferenciales) y mediante integrales (en situaciones globales).

Para comprender el contenido de esos modelos, o más precisamente qué signi�can las derivadas eintegrales en esos modelos, necesitamos primero adquirir la noción de límite. Esta Unidad está dedicada,entonces, a sentar las bases del resto del curso.

2.1.1. Noción de límite para x tendiendo a un valor �nito

Vamos discutir algunas ideas, antes de hacer cuentas. Para empezar, ¾a qué se re�eren las palabrasque están en el título de esta sección?

Cuando hablamos de límite de una función y = f(x) hablamos de describir el comportamiento de lafunción en una región particular de su dominio. En primer lugar, no se trata de calcular solo un número,como hacemos para calcular el valor de f(x) en un dado valor de x. Se trata de observar todos los valoresque va tomando la función cuando x es variable, dentro de un cierto conjunto de valores de x. En segundolugar, el resultado esperado no es en principio un número, sino algo que nos permita caracterizar "elcomportamiento de la función".

Cuando decimos límite para x tendiendo a un valor �nito, por ejemplo para "x tendiendo a 0", estamosdiciendo que la región que nos interesa es la de valores de x bien cercanos a 0, y también que no vamos aconsiderar x estrictamente igual a 0.

Intentemos darle sentido a estas ideas en algunos ejemplos. De a poco incorporaremos ideas másprecisas, hasta llegar a las de�niciones formales.1

1Nos parece más importante hoy que incorporen las ideas, antes que las de�niciones �nales. Incluso no será importante

que se aprendan las de�niciones, sino que ganen con�anza en su propia intuición.

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CLASE 2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f(x) PARA x TENDIENDO A UN VALOR x0 66

Ejemplo 2.1.1. La energía de repulsión entre dos cargas eléctricas de valor Q1 y Q2 depende de ladistancia r que las separa. La ley de Coulomb enuncia que esta energía está dada por

kQ1Q2

r

donde k es una constante universal (la misma para electrones, protones, moléculas, bolitas de ruleman,etc.)

Consideremos dos electrones, que son partículas de carga negativa, y que al día de hoy se suponeque son realmente puntuales (es decir, no tienen un volumen propio). En consecuencia, dos electronespodrían ubicarse tan cerca uno del otro como logremos juntarlos. Para simpli�car supongamos que enciertas unidades la energía nos queda

2

r¾se puede calcular la energía de repulsión cuando la distancia es bien pequeña?¾si pensaron en una cierta distancia pequeña, por ejemplo 1, pueden pensar en una distanciamás pequeña?¾qué sucede con la energía a medida que se consideran distancias todavía más pequeñas?¾se puede calcular la energía cuando los dos electrones estén en el mismo lugar, es decir que ladistancia es r = 0?

En este ejemplo ya estamos pensando en un límite: el comportamiento de la función f(r) = 2/r cuandor tiende a 0.

Con más cuidado, notemos que una distancia siempre es positiva, o a lo sumo nula, pero nunca negativa.Como la expresión 2/r no está bien de�nida para r = 0, el dominio de esta función es el intervalo (0,+∞).El límite que estamos pensando involucra solamente valores de x mayores a 0, o lo que es lo mismo, a laderecha del 0.

Hay una notación particular para referirse a este estudio. Se dice que estamos calculando un límitelateral, que se anota en símbolos

lımr→0+

f(r)

y se lee "límite de f(r) para r tendiendo a 0 por la derecha". Hasta ahora esto es una pregunta: "¾cómose comporta la función f(r) cuando r tendiendo a 0 por la derecha?", que no hemos respondido.

Para continuar este estudio, tenemos al menos tres estrategias:

1. Exploración grá�ca. Si tenemos un buen grá�co de la función f(r), que llegue hasta r = 0 sintocarlo, podemos observar qué pasa con el valor de f(r) (es decir, la altura de la grá�ca) a medidaque r se vuelve más y más pequeño.

2. Exploración numérica. Podemos construir una tabla de valores (r, f(r)) con valores de r tanpequeños como se nos ocurra, y observar los correspondientes valores de f(r).

3. Exploración analítica. Es más abstracta que las anteriores, se trata de pensar qué pasa con lacuenta 2/r cuando r se hace arbitrariamente pequeño, sin llegar a valer cero.

Ejemplo 2.1.2. Sigamos con el ejemplo anterior. Empecemos con la exploración grá�ca. Ungrá�co de la función f(r) = 2/r, hecho con GeoGebra, se ve así:


¾qué sucede con la energía a medida que se consideran distancias cada vez más pequeñas?¾pueden ver la grá�ca a distancias tan pequeñas como ustedes quieran?si trabajan en la computadora y cambian la escala de los ejes, ¾pueden ver distancias máspequeñas que antes? ¾pueden ver cualquier distancia?

Aunque no puedan llegar a mirar arbitrariamente cerca de r = 0, lo que vemos nos alcanza para a�rmar:cuando r tiende a 0 por derecha, los valores de f(r) crecen por encima de cualquier valor dado.

Ahora que ya intuimos el resultado, hagamos una exploración numérica: completen la siguientetabla de valores, agregando algunos renglones:

r f(r) = 2/r

10.10.01...

¾tiene sentido llegar al valor de r > 0 más pequeño posible?a partir de los valores que hayan tabulado, ¾pueden intuir qué pasará con valores aún máspequeños?¾pueden a�rmar el mismo resultado que obtuvimos de la exploración grá�ca?

Ahora que ya hicimos una exploración numérica, intenten una exploración analítica: dado quetenemos un cociente con numerador constante (2) y denominador variable (r positivo),

¾cómo cambia el cociente cuando disminuir el denominador?¾hasta cuándo podemos disminuimos el denominador?¾hasta cuánto crece el resultado del cociente?

Como conclusión de cada estrategia de exploración obtenemos la misma información: f(r) crece arbi-trariamente grande y positivo a medida que r tiende a cero por derecha. Se dice que f(r) tiende a "in�nitopositivo" cuando r tiende a 0 por la derecha; con algunos símbolos, se puede decir lo mismo escribiendoque f(r)→ +∞ cuando r → 0+.

El resultado de esta exploración se anota

lımr→0+

2

r= +∞

y se lee "el límite de 2/r cuando r tiende a 0 por la derecha es más in�nito". No es el resultado deuna cuenta, sino el resultado de un estudio de comportamiento. Además, es muy importante advertir queel signo = no signi�ca una igualdad entre números: el lado izquierdo es un símbolo que representa el


comportamiento de la función en una región de su dominio, y en el lado derecho +∞ no es un número,sino un símbolo para indicar que los valores de la función devienen arbitrariamente grandes.

Esperamos que con este ejemplo tengan una mejor idea de lo que intentamos escribir en el primerpárrafo de esta clase: estudiar un límite para x → x0 es estudiar el comportamiento de la función paravalores de x arbitrariamente cercanos a x0 , sin llegar a considerar x igual a x0.

Además del comportamiento que vimos (un caso en que f(r) → +∞), hay otros comportamientosposibles. Y en general podemos explorar valores de x tanto a la derecha como a la izquierda de un ciertovalor x0. Sigamos discutiendo estas ideas en nuevos ejemplos (que deben trabajar ustedes).

Ejemplo 2.1.3. Supongamos que se quiere analizar la función f(x) =x2 − 1

x− 1cerca de x0 = 1.

Vemos que no está de�nida para x0 = 1, pero sí está de�nida alrededor de ese punto. Si bien nopodemos calcular f(1), podemos realizar una tabla con valores tan cercanos a 1 como querramos, paratratar de determinar el comportamiento de la función cerca de x0 = 1. Les proponemos completar lasiguiente tabla y a partir de ella, responder

¾cuál parece ser el valor al que la función se acerca cuando x está más y más cerca de 1?¾es distinta la respuesta al considerar x a la izquierda o a la derecha dex0 = 1?

x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derechax 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25

f(x) ?f(x) tiende a ... f(x) tiende a ...

Comprueben ahora si su respuesta es correcta gra�cando la función en una computadora. Recuerdenque no hay un punto encima de x0 = 1 (aunque en la pantalla no se note el hueco). Van a obtener algocomo

Cuando hablamos límite de f(x) para x tendiendo a 1 estamos interesados en el comportamiento de lafunción cuando los valores de x se mueven hacia x0 = 1, por ambos lados y tan cerca como se quiera, perosin llegar a tomarlo. En el ejemplo podemos inferir que a medida x que se acerca más y más a 1, tantopor la izquierda (se anota x→ 1−) como por la derecha (se anota x→ 1+), los valores de f(x) están cadavez más cerca del valor 2. En notación de límites, corresponde escribir los límites laterales

lımx→1−

f(x) = 2 y lımx→1+

f(x) = 2

El comportamiento de f(x), tanto por derecha como por izquierda, es �nito: los valores de la función seacercan al valor numérico 2. En estos casos, en que los límites laterales dan lo mismo por ambos lados, seanota simplemente que

lımx→1

f(x) = 2


Además de límites �nitos y de límites in�nitos, hay otro comportamiento que conviene discutir. Lascuentas son un poco más difíciles, pero con ayuda de una grá�ca podemos ir ganando intuición al respecto:

Ejemplo 2.1.4. Por medio de un grá�co de computadora, analicemos el comportamiento de f(x) =sen (1/x).

Con GeoGebra verán lo siguiente

¾cuál es el dominio de esta función?¾cuando x→ 0+, observan un crecimiento arbitrario de f(x)? ¾y cuando x→ 0−

¾cuando x → 0+, observan que la función se estabilice cerca de algún valor �nito? ¾y cuandox→ 0−

¾cómo describirían el comportamiento de la función cuando x→ 0+? ¾y cuando x→ 0−?Si no les queda claro el comportamiento, intenten ayudarse con una exploración numérica,construyendo una tabla de valores.Intenten una exploración analítica. Podrían preguntarse: ¾cómo se comporta u = 1/x cuandox→ 0+? Luego, ¾cómo se comporta la función sen(u) en esa región de valores de u?

En una situación como esta, se dice el límite de f(x) para x→ 0 no existe porque la función oscila.

Con estos ejemplos ya hemos presentado todos los casos de límite para x tendiendo a un valor dadox0. Veamos en algunas actividades si han quedado claras las ideas principales.

Actividad 2.1.5. Interpreten la información dada en cada ítem, y hagan un ejemplo grá�co es-quemático de cada situación:

Para cierta función f(x) se sabe que, cuando x→ 3−, f(x)→ 5.

Para cierta función g(x) se sabe que, cuando x→ 3+, g(x)→ −2.

Para cierta función h(x) se sabe que lımx→−1+ h(x) = 0, y que h(x)→√

2 cuando x→ −1−.

Para cierta función m(x) se sabe que lımx→1− m(x) = 0, y que lımx→1+ m(x) = 0.

Para cierta función r(t) se sabe que lımt→2 r(t) = 2.

Para cierta función k(x) se sabe que lımx→7− k(x) = +∞ y que lımx→7+ k(x) = −∞.

Para cierta función a(s) se sabe que lıms→−4 a(s) = +∞ y que lıms→+4 a(s) = 0.

Para cierta función p(x) se sabe que, cuando x → −5+el límite no existe porque la funciónoscila.

2.1.2. De�niciones de límites para x→ x0 (informales)


Estamos preparados para dejar bien escrito qué signi�ca cada límite que hemos presentado. Noten quehay una variedad de comportamientos, por eso hay una variedad de de�niciones de límite. Cada de�niciónestablece formalmente qué signi�ca un determinado comportamiento.

En realidad, las de�niciones formales son un poco duras de leer e interpretar. Se escriben con proposi-ciones lógicas y expresiones de distancias y desigualdades, para indicar conceptos como "arbitrariamentecerca", "arbitrariamente grande" o "su�cientemente cerca". En este curso vamos a presentar las mismasde�niciones, con todo rigor, pero en un lenguaje coloquial (con palabras en lugar de símbolos de lógica).Por eso decimos que son informales. Pueden buscar en libros, o en nuestro sitio web, la versión matemáti-camente precisa de estas de�niciones.

Límite lateral de f(x) cuando x tiende a x0 por izquierda: caso �nito

Describamos con cuidado qué signi�ca

lımx→x−0

f(x) = L

donde x0 es un número real, y L también es un número real. Por ejemplo, lımx→5− f(x) = 2.En primer lugar, para que este límite tenga sentido necesitamos que f(x) esté de�nida al menos en

un intervalo a la izquierda de x0. Es decir, en algún intervalo de la forma (a, x0) con a < x0. No importacuanto vale a, solo importa que exista alguno. Por ejemplo, podremos estudiar lımx→5− f(x) si el intervalo(−10,−5) está incluido en el dominio de f , pero también alcanzaría que (−5.01,−5) esté en el dominiode f .

Con este cuidado podemos enunciar la de�nición:

Definición 2.1.6. Sea f(x) una función de�nida al menos en un intervalo a la izquierda de x0, dela forma (x0 − r, x0).Si los valores de f(x) se mantienen tan cerca de un valor �jo L como se quiera, bajo la condición deconsiderar x < x0 y su�cientemente cerca de x0, escribimos

lımx→x−0

f(x) = L

que se lee �el límite lateral de f(x), cuando x tiende a x0 por la izquierda, es igual a L�.

Actividad 2.1.7.

Encuentren en las actividades anteriores un ejemplo que corresponda a esta de�nición.Dada la función

f(x) =

{2x− 1, si x < 4

x2 + 3, si x ≥ 4

estimen el valor del límite lımx→4− f(x) .

Observación 2.1.8. Un intervalo abierto de la forma (x0−r, x0), donde r es una distancia positivar > 0, se suele llamar entorno a izquierda de x0, de ancho r.

Dibujen un ejemplo, para recordarlo mejor.


Límite lateral de f(x) cuando x tiende a x0 por derecha: caso �nito

Analicemos ahora qué signi�ca la expresión

lımx→x+0

f(x) = L

donde x0 es un número real, y L también es un número real. Por ejemplo, lımx→5+ f(x) = 2.Con el mismo esquema que el caso por izquierda, podemos enunciar la de�nición:

Definición 2.1.9. Sea f(x) una función de�nida al menos en un intervalo a la derecha de x0, de laforma (x0, x0 + r).Si los valores de f(x) se mantienen tan cerca de un valor �jo L como se quiera, bajo la condición deconsiderar x > x0 y su�cientemente cerca de x0, escribimos

lımx→x+0

f(x) = L

que se lee �el límite lateral de f(x), cuando x tiende a x0 por derecha, es igual a L�.

Observación 2.1.10. Un intervalo abierto de la forma (x0, x0+r), donde r es una distancia positivar > 0, se suele llamar entorno a derecha de x0, de ancho r.

Dibujen un ejemplo, para recordarlo mejor.

Actividad 2.1.11.

Encuentren en las actividades anteriores un ejemplo que corresponda a esta de�nición.Dada la función

f(x) =

{2x− 1, si x < 4

x2 + 3, si x ≥ 4

estimen el valor del límite lımx→4+ f(x) .

Límite de f(x) cuando x tiende a x0 por ambos lados: caso �nito

En muchas ocasiones podemos analizar el comportamiento de una función f(x) cuando x se acerca ax0 tanto por la izquierda como por la derecha. En esos casos se habla simplemente de límite (y se entiendeque se consideran ambos lados). Cuando ese límite es �nito, escribiremos la expresión

lımx→x0

f(x) = L

donde x0 es un número real, y L también es un número real. Por ejemplo, lımx→0 f(x) = 3.Usando el esquema de los casos laterales, podemos enunciar la de�nición:

Definición 2.1.12. Sea f(x) una función de�nida al menos en un intervalo a la izquierda de x0, dela forma (x0 − r, x0), y en un intervalo a la derecha de x0, de la forma (x0, x0 + r).Si los valores de f(x) se mantienen tan cerca de L como se quiera, bajo la condición de considerarla distancia |x− x0| su�cientemente pequeña y no nula, escribimos

lımx→x0

f(x) = L

que se lee �el límite de f(x), cuando x tiende a x0, es igual a L�.


Conviene recordar esta de�nición con un grá�co:

Cuando x se acerca a x0 en el eje horizontal, f(x) se mantiene cerca L en el eje vertical. Es decir, lospuntos (x, f(x)) se mueven sobre la grá�ca manteniendo su altura cerca de L. El hecho de que f(x) estéo no esté de�nida en x0, no in�uye en este análisis.

Actividad 2.1.13.

Encuentren en las actividades anteriores un ejemplo que corresponda a esta de�nición.Dada la función f(x) = x2 − x+ 2, discutir si les parece cierto que lımx→2 f(x) = 4.

Observación 2.1.14. La unión de un entorno a izquierda de x0, de radio r > 0, y un entorno aderecha de x0, del mismo radio, se llama entorno reducido de centro x0 y radio r. Lo vamos a anotarcomo un entorno, con un subíndice para indicar que es reducido:

E0(x0, r) = {x : 0 < |x− x0| < r}Es decir, el entorno reducido E0(x0, r) es el conjunto de puntos vecinos a ambos lados de x0, hasta unadistancia r, excluyendo a x0. Se puede representar grá�camente

2.1.3. Cuando el límite no existe: límites in�nitos y comportamiento oscilante

Hasta ahora de�nimos límites para x → x0 que existen y dan un resultado �nito: cuando x se acercaa x0 la función se acerca a un determinado valor L, al menos lateralmente. Recuerden que también hay


casos en que la función no se acerca a ningún determinado punto. En esos casos se dice que el límite noexiste.

Sin embargo, hay formas de distinguir distintos comportamientos cuando el límite no existe. Comovimos en los primeros ejemplos, puede ser que la función crezca más allá de cualquier valor positivo, o quedecrezca por debajo de cualquier valor negativo, o que oscile.

Límites in�nitos

Describamos con cuidado qué signi�can las expresiones

lımx→x−0

f(x) = +∞ o lımx→x−0

f(x) = −∞

donde x0 es un número real. Por ejemplo, lımx→5− f(x) = −∞.Observen que estas expresiones no son igualdades entre números, sino que dan información acerca

de comportamientos. El ejemplo nos dice que la función toma valores negativos y con valor absolutoarbitrariamente grandes siempre que x esté su�cientemente cerca de 5 (y sea menor que él). Dicho de otromodo, �la función decrece hacia menos in�nito� .

El esquema es similar a las de�niciones anteriores. Caracterizaremos ahora a qué nos referimos con elresultado +∞ y las restantes de�niciones quedarán propuestas como actividad.

Definición 2.1.15. Sea f(x) una función de�nida al menos en un intervalo a la izquierda de x0, dela forma (x0 − r, x0).Si los valores de f(x) se mantienen positivos y tan grandes como se quiera, bajo la condición deconsiderar x < x0 y su�cientemente cerca de x0, escribimos

lımx→x−0

f(x) = +∞

que se lee �el límite lateral de f(x), cuando x tiende a x0 por izquierda, es +∞�.

El siguiente grá�co muestra este tipo de comportamiento (anotando a en lugar de x0):

Observen que no se dibuja nada del comportamiento de la función a la derecha de a, smplementeporque no es lo región que nos interesa en esta de�nición.

Actividad 2.1.16. Les proponemos ahora que construyan las de�niciones (informales) correspondi-entes a distintos casos en que la función crezca positiva o negativamente sin cota cuando x se acerca a x0.Es decir, que siguiendo el modelo de la de�nición 2.1.15 le den signi�cado a:

lımx→x−0f(x) = −∞

lımx→x+0f(x) = +∞

lımx→x+0f(x) = −∞

lımx→x0 f(x) = +∞


lımx→x0 f(x) = −∞Los grá�cos siguientes ilustran cada situación. Escriban debajo de cada grá�co a qué límite corresponde.

Límites oscilantes

Cuando una función f(x) esté de�nida en un entorno a la izquierda de x0 y el límite lımx→x−0no sea

un número �nito, ni sea más ni menos in�nito, sabremos que la función no se mantiene cerca de ningúnvalor dado, ni se hace arbitrariamente alta ni arbitrariamente baja. Podemos concluir que la función oscilaentre distintos valores sin estabilizar su comportamiento. En consecuencia, se dice que el límite de f(x)para x tendiendo a x0 por izquierda no existe porque es oscilante (o más brevemente, es oscilante).

Análogamente, cuando una función f(x) esté de�nida en un entorno a la derecha de x0 y el límitelımx→x+0

no sea un número �nito, ni sea más ni menos in�nito, se dice que el límite de f(x) para x

tendiendo a x0por derecha no existe porque es oscilante.

El ejemplo típico de este comportamiento es la función f(x) = sen

(1

x

)alrededor de x0 = 0, que ya

hemos gra�cado más arriba.

2.1.4. Algunas propiedades básicas de los límites

El límite de una función f(x) para x→ x0 (completo, considerando ambos lados a la vez) involucra elestudio de los dos límites laterales de f(x) para x→ x−0 y para x→ x+0 . Los resultados están claramenterelacionados, y conviene recordar que:

Propiedad 2.1.17. Dada una función f(x) de�nida en un entorno reducido de x0,

si lımx→x0

f(x) = L ( siendo L un número real �nito, +∞ o −∞), entonces tienen el mismo

resultado lımx→x+0

f(x) = lımx→x−0

f(x) = L.

recíprocamente, si tienen el mismo resultado lımx→x+0

f(x) = lımx→x−0

f(x) = L, entonces

lımx→x0

f(x) = L.

si no existe limx→x+0

f(x) (o bien no existe lımx→x−0

f(x)), entonces no existe lımx→x0

f(x).


si existen limx→x+0f(x) y lımx→x−0

f(x) pero son distintos, entonces no existe lımx→x0

f(x).

Muchas veces estudiaremos un lımx→x0 f(x) considerando ambos lados a la vez, para ahorrar tiempo.Pero apenas sospechen que el comportamiento puede ser distinto dependiendo del lado que se mire, tenganel cuidado de calcular los límites laterales por separado.

Otra propiedad básica es que un límite no puede dar dos resultados distintos. Si usan distintas técnicaso razonamientos, el resultado debe ser el mismo. Lo enunciamos así:

Propiedad 2.1.18. Dada una función f(x),

si existe limx→x−0f(x), su resultado es único.

si existe limx→x+0f(x), su resultado es único.

si existe limx→x0 f(x), su resultado es único.

Actividad 2.1.19.

Calculen los límites laterales de la función

f(x) =

{2x+ 1, si x < 2

x2 + k, si x > 2

donde k es un número �jo, por ambos lados de x0 = 2. ¾Para qué valor de k existe limx→2 f(x)?Para la función

g(x) =

{−1, si x < 0

1, si x > 0

decidan si es verdadera o falsa la a�rmación: "g(x) tiene dos límites distintos para x→ 1"

2.1.5. Asíntotas verticales

En los ejemplos en que el límite de f(x) para x tendiendo a x0 (por derecha o por izquierda) da unresultado in�nito, hemos comprobado que las grá�cas tienden a ubicarse �verticalmente�, acercándose másy más a la recta vertical de ecuación x = x0. Esta recta se llama asíntota vertical y resulta una guía visualpara trazar la grá�ca. Observen que a veces este comportamiento puede darse de un solo lado de la grá�ca(por izquierda o por derecha) y otras veces puede darse por ambos lados.

Definición 2.1.20. La recta x = x0 se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si

lımx→x−0

f(x) = +∞(o bien−∞) o lımx→x+0

f(x) = +∞(o bien−∞).

Siempre que encuentren una asíntota vertical conviene describir cual es el comportamiento de cada lado:si es asíntota vertical por izquierda (o por derecha) con valores arbitrariamente negativos (o positivos).

2.1.6. De�nición formal de límite

Por completitud, �nalizaremos esta clase presentando la de�nición formal de límite. En la clase 2.2encontrarán algunas actividades que les servirán para ver cómo se construye y utiliza esta de�nición.

No insistiremos con este tipo de trabajo formal. Sin embargo, recuerden que para cada límite intuitivoque usemos en el curso hay una demostración rigurosa que lo respalda.


Definición 2.1.21. Límite lateral por derecha, con resultado +∞

Sea f(x), de�nida al menos en un intervalo a derecha de x0, de la forma (x0, x0 + r).Se dice que

lımx→x+0

f(x) = +∞

si y solo si para cada M > 0 existe una distancia ε > 0 tal que

x0 < x < x0 + ε⇒ f(x) > M

Definición 2.1.22. Límite para x→ x0, con resultado �nito

Sea f(x), de�nida al menos en un entorno reducido de x0.Se dice que

lımx→x0

f(x) = L

si y solo si para cada ε > 0 existe una distancia δ > 0 tal que

0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

2.1.7. Ejercitación

Para terminar la clase, les proponemos que revisen los ejemplos de la sección 2.1.1 y discutan cómo seaplican las de�niciones en cada caso.

Dedicaremos la clase 2.2 a discutir ejercitación nueva.

CLASE 2.2. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 77

Clase 2.2. Actividades de integración

Contenidos de la clase: Ejercitación con límites para x tendiendo a un valor �nito. Re-conocimiento de situaciones y uso de las de�niciones correspondientes. Asíntotas verticales.

2.2.1. Exploración de límites

Ejercicio 2.2.1. Un paciente recibe una inyección de 150mg de un fármaco cada 4 horas. El grá�comuestra la cantidad de fármaco f(t) en el torrente sanguíneo después de t horas. Encontrar lım

t→12−f(t)

y lımt→12+

f(t) y explicar el signi�cado de estos límites laterales.

Ejercicio 2.2.2.Dadas las funciones que están gra�cadas a continuación, determinen el valor de cada cantidad indicada,

si existe. En caso de que no exista expliquen por qué.

1. a) lımx→1−

f(x); b) lımx→1+

f(x) ; c) f(1); d) lımx→5

h(x); e) f(5).

2. a) lımx→−3−

h(x); d) h(−3); g) lımx→0

h(x); j) lımx→2

h(x);

b) limx→−3+

h(x); e) lımx→0−

h(x); h) h(0) ; k) lımx→5−

h(x);

c) lımx→−3

h(x); f) lımx→0+

h(x); i) h(2); l) lımx→5+

h(x).

Ejercicio 2.2.3. Dada la función f(x) con grá�ca


1. exploren los siguientes límitesa) lım

x→−3−f(x); b) lım

x→−3+f(x); c) lım

x→0f(x); d) lım

x→2f(x); e) lım

x→5f(x).

2. hallen las ecuaciones de las asíntotas verticales.

Ejercicio 2.2.4. Dadas las siguientes funciones, indiquen en qué puntos tienen alguna asíntota vertical(si es que la tienen) y den la ecuación de cada asíntota.

Ejercicio 2.2.5. Realicen un grá�co posible para una función f(x) que cumpla

1. f(2) = 2, f(−3) = 0, lımx→2 f(x) = 0, lımx→−3−

f(x) = 1, lımx→−3+

f(x) = +∞.

2. f(0) = 4, f no esté de�nida en x = 3, lımx→3

f(x) = 0, f sea creciente en x > 3,

lımx→0

f(x) = +∞.

Indiquen si existe alguna asíntota vertical.


Ejercicio 2.2.6. Calculen los límites laterales de

f(x) =4

x− 2

cuando x tiende a 2. Indiquen si existe una asíntota vertical y describan el comportamiento de la funcióna cada lado de la misma.

Ejercicio 2.2.7. Por medio de una exploración analítica encuentren el valor de

1. lımx→0|x|

2. lımx→2

x2 − 4

x− 2

Describan grá�camente el comportamiento de cada función a ambos lados del punto estudiado.

Ejercicio 2.2.8. Sea la función f(x) =1

|x|+

1

x.

1. Identi�quen el dominio natural y encuentren una expresión a trozos para esta función.2. Calculen los límites laterales de f(x) cuando x→ 0. ¾Existe lım

x→0f(x)?

3. Comprueben que f tiene una asíntota vertical en x = 0.4. Gra�quen la función para comprobar los resultados.

Ejercicio 2.2.9.

1. Consideren la función: f(x) =x

x− 3, de�nida para x 6= 3.

a) mediante una grá�ca de computadora o tabla de valores para x cercanos a 3 analicen laexistencia de los límites laterales.

b) den una explicación analítica del comportamiento de f(x) a ambos lados de x = 3.

2. Repitan la actividad anterior pero ahora con la función: g(x) =x

(x− 3)2, de�nida para x 6= 3.

¾Por qué obtienen signos distintos que antes?

3. Por último, consideren ahora la función de�nida a trozos: h(x) =

{ x

x− 3si x < 3

x+ 1 si x ≥ 3.

4. ¾Podrían a�rmar que las grá�cas de las tres funciones se acercan a la recta vertical de ecuaciónx = 3 cuando x se acerca a 3? Describan en cada caso cómo se acercan las grá�cas a la asíntotavertical.

Ejercicio 2.2.10. A partir de las grá�cas de las funciones trigonométricas, les proponemos que de-terminen cuáles poseen asíntotas verticales y que den las ecuaciones de las mismas.

Ejercicio 2.2.11. Comprueben, a partir de su grá�ca, que la función logaritmo natural f(x) = lnxposee una asíntota vertical en x = 0.

¾Cuál es el lımx→0+ lnx?Observen que en este caso sólo puede considerarse asíntota vertical por derecha ya que Dom f =

(0,+∞).


2.2.2. Uso de las de�niciones de límite

Les proponemos un trabajo guiado sobre límites sencillos: el objetivo es demostrar formalmente queestos límites obtenidos por exploración cumplen con las de�niciones correspondientes.

Aunque no intentamos ser tan rigurosos en este curso, estas dos actividades guiadas les servirán paradescubrir cómo se construyen y se usan las de�niciones matemáticamente formales de límite.

Actividad 2.2.1. Consideren la función f(x) =1

x, para estudiar su límite cuando x → 0+. Una

exploración (grá�ca, numérica, analítica) nos permite intuir que

lımx→0+

1

x= +∞

Sin embargo, realmente no hemos calculado este límite. Solo lo hemos intuido. ¾Cómo podemosasegurar que esta intuición es correcta? La manera de demostrar que el límite es +∞ es aplicar lade�nición correspondiente.

En primer lugar, veri�quen que hay algún entorno a derecha de 0 donde la función está biende�nida.

Ahora, vean que los valores de la función se mantienen tan grandes como se quiera en alguna regiónapropiada de valores de x a la derecha de 0 (es decir, x > 0):

si pretenden que f(x) > 100, ¾qué tan cerca de 0 deben estar los valores de x > 0?si pretenden que f(x) > 1000, ¾qué tan cerca de 0 deben estar los valores de x > 0?si proponen un valor bien grande de M positivo, y pretenden que f(x) > M , ¾qué tan cerca de0 deben estar los valores de x > 0?¾encuentran una condición apropiada para los valores de x, que para cualquier valor de M > 0asegure que f(x) > M?

Si lograron contestar la última pregunta, han probado formalmente que lımx→0+1

x= +∞ (de acuerdo

a la de�nición 2.1.21).

Ejercicio 2.2.12. Hagan un trabajo similar al anterior para asegurar que lımx→0−1

x= −∞.

Actividad 2.2.2. Analicen si es cierto que lımx→2 (2x+ 1) = 5. Para ello,

en primer lugar, veri�quen que f(x) = 2x+1 está de�nida en algún entorno reducido de x0 = 2.luego, escriban la distancia entre f(x) = 2x + 1 y L = 5 como |f(x) − L| = |(2x + 1) − 5| =|2x− 4| = 2|x− 2|¾qué tan pequeña debe ser la distancia entre x y 2 para garantizar que |f(x)−L| es menor que0.1?¾qué tan pequeña debe ser la distancia entre x y 2 para garantizar que |f(x)−L| es menor que0.001?tomando ε > 0 como una distancia pequeña cualquiera, ¾qué tan pequeña debe ser la distanciaentre x y 2 para garantizar que |f(x)− L| < ε ?

Si encontraron una respuesta para la última pregunta, han probado formalmente que lımx→2 (2x+ 1) =5, de acuerdo a la de�nición 2.1.22.

CLASE 2.3. REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES 81

Clase 2.3. Reglas de cálculo de límites

Contenidos de la clase: Puntos de continuidad. Límites de funciones construidas medianteoperaciones entre funciones básicas. Reglas para operar con límites �nitos. Reglas paraoperar con límites nulos en los denominadores. Casos indeterminados.

2.3.1. Cuando los límites son evidentes: puntos de continuidad

La cuestión del límite de una función f(x) para x→ x0 aparece naturalmente cuando x0 es un punto�difícil�. Por ejemplo, un valor donde el denominador de un cociente se hace cero, o un punto donde lafunción cambia de fórmula. Sin embargo, podemos estudiar también puntos �fáciles�, donde la función nopresenta ningún obstáculo.

Ejemplo 2.3.1. Consideremos la función lineal f(x) = x + 3, de�nida en todo el eje real, y es-tudiemos sus límites para x→ 2.

Una exploración (grá�ca, numérica, o analítica) de valores de x cercanos a x0 = 2, sin tocarlo, nosindica que los valores de f(x) se acercan a 5 : existen los límites tanto por izquierda como por derecha,y ambos valen 5. Luego,

lımx→2

x+ 3 = 5

Además vemos que x0 = 2 está en el dominio de la función. Se puede evaluar sin di�cultad f(2) =2 + 3=5.

Encontramos entonces quelımx→2

f(x) = f(2)

No es casualidad que lımx→2 f(x) y f(2) coincidan, es lo que pasa con la mayoría de las funcionesen los puntos �fáciles�.

En este ejemplo encontramos que lımx→x0 f(x) da el mismo resultado que calcular f(x0). Sin embargo,queremos insistir en que calcular un límite para x → x0 y calcular el valor de una función f(x0) sonconceptos totalmente distintos. Cuando estos dos conceptos distintos dan el mismo resultado, se dice quela función es continua en x0.

Definición 2.3.2. Dada una función f(x), de�nida al menos en un entorno de un punto x0, se diceque f es continua en x0 si

lımx→x0

f(x) = f(x0)

Observemos que esta de�nición implica tres condiciones:


1. f(x0) está de�nida, es decir x0 pertenece al dominio de la función,2. f(x) está de�nida también en algún entorno de x0, se puede calcular, existe y es �nito lım

x→x0f(x),

3. los resultados de evaluar el límite y de evaluar la función son iguales.

Cuando no ocurre alguna de estas tres condiciones, la función no es continua en x0. Diremos que la funciónes discontinua (o que tiene una discontinuidad) en dicho punto.

Grá�camente, la continuidad de f(x) en x0 asegura que podemos unir el trazo de la grá�ca viniendo porla izquierda de x0 con el trazo viniendo por la derecha de x0, justo en el punto (x0, f(x0)) que representael valor de la función. Es decir, que el trazo no se interrumpe2 al pasar por (x0, f(x0)).

En la práctica, si sabemos de antemano que una función es continua en un punto, nos podemos ahorrarel trabajo de calcular un límite: usamos la de�nición de continuidad para asegurar que el límite existe yes igual al valor de la función en ese punto.

Actividad 2.3.3. Analicen la función recíproca f(x) = 1/x.

veri�quen que f(x) es continua en x = 1.veri�quen que f(x) no es continua en x = 0.

Recuerden que una misma función puede ser continua en algunos puntos, y a la vez ser discontinua enotros puntos.

Les proponemos revisar las funciones básicas vistas en la Unidad 1 y reconocer dónde son continuas.Mediante una exploración grá�ca pueden convencerse de que todas las funciones básicas en general soncontinuas, excepto en los pocos puntos en que tienen obstáculos. Podemos hacer una lista:

Propiedad 2.3.4.

Las funciones polinómicas (constante, lineal, cuadrática, cúbica, etc.) son continuas en cada puntode (−∞,+∞).La función recíproca f(x) = 1/x es continua en cada punto (−∞, 0) y en cada punto de (0,+∞).No es continua en x = 0.Las funciones seno y coseno son continuas en cada punto de (−∞,+∞).Las funciones exponenciales (de cualquier base) son continuas en cada punto de (−∞,+∞).Las funciones logaritmo (de cualquier base) son continuas en cada punto de (0,+∞).La función

√x es continua en (0,+∞). En x = 0 no se puede calcular el límite completo, solo por

derecha: lımx→0+√x =√

0 = 0.

Ejercicio 2.3.1. Gra�quen la siguiente función, usando sus conocimientos de rectas y parábolas:

f(x) =

2 + x, si x < −1

−x, si − 1 ≤ x < 1

(x− 1)2, si x ≥ 1

Indiquen para qué valores de a ∈ R existe lımx→a

f(x). Indiquen dónde es continua y dónde es discontinua

la función.

Ejercicio 2.3.2. Usando la noción de continuidad, calculen los siguientes límites y justi�quen susresultados:

1) lımx→5

(x2 − 3x+ 1

)2) lımx→25

√x 3) lımx→1 lnx 4) lımx→π cosx 5) lımx→0 e

x

2De ahí viene la palabra �continuidad�


2.3.2. Reglas para operar con límites

Una vez que podemos reconocer límites de funciones sencillas, podemos usarlos para calcular límitesde funciones más elaboradas. Nos referimos a funciones escritas como sumas, restas, productos, cocientesy composición de funciones sencillas.

Al estudiar funciones elaboradas, las formas de exploración intuitiva no resultan e�cientes. La explo-ración analítica se complica cuando combinamos términos y factores con distinto comportamiento, porejemplo en el producto de una cantidad muy pequeña por una muy grande. Hacer una tabla de valores engeneral lleva mucho tiempo, y no sabemos si elegimos los valores más representativos. Incluso una grá�cade computadora puede dar indicios erróneos porque vemos solo una región, nunca la grá�ca completa.

Ejemplo 2.3.5. Por ejemplo, no es evidente el comportamiento del límite

lımx→0+

x lnx

¾cómo se comporta cada factor?

Ejemplo 2.3.6. Gra�quen con GeoGebra f(x) = 20 exp(−10x2). ¾Les parece que tiene una asíntotavertical en x = 0? ¾Qué pasa si cambian la escala para ver alturas mayores que y = 20?

El modo práctico y e�ciente de calcular estos límites se basa en reglas prácticas, que relacionan límitesde funciones conocidas. Lo llamaremos álgebra de límites. La utilidad de las reglas prácticas se puedesintetizar en varios puntos:

Las reglas prácticas permiten analizar fórmulas complicadas en términos de expresiones más sen-cillas, sin necesidad de hacer las grá�cas.Describen con precisión cuándo se pueden usar, y cuándo no. Cuando las reglas no se pueden usar,es momento de tomar los recaudos necesarios y mirar tablas o grá�cos con mayor cuidado.Simpli�can los cálculos y razonamientos donde haya que evaluar límites.

El cálculo de límites mediante reglas se elabora en tres etapas:

1. Descomponer la expresión de la función que se estudia en términos de operaciones entre funcionesmás sencillas.

2. Reconocer los límites de esas funciones sencillas. Si es necesario, descompondrá cada expresiónhasta que sea realmente sencilla.

3. Aplicar las reglas propiamente dichas.

Para reconocer los límites de funciones básicas nos basamos en sus grá�cos, vistos en la Unidad 1, y en lanoción de continuidad.3

Reglas algebraicas de límites �nitos

La siguiente lista enumera las primeras propiedades de los límites que utilizaremos para el cálculo.

3Como ya mencionamos, sepan que cada límite que aceptamos está respaldado por demostraciones rigurosas. No insis-

tiremos con tales demostraciones en este curso.


Propiedad 2.3.7. Supongamos que lımx→a

f(x) y lımx→a

g(x) existen y son �nitos, y sea k una constante

real. Entonces

1. existe limx→a

(f(x) + g(x)) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x)

2. existe limx→a

(kf(x)) = k limx→a

f(x)

3. existe limx→a

(f(x).g(x)) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

4. si limx→a

g(x) 6= 0, existe limx→a

(f(x)

g(x)

)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)

En cada caso, deben calcular primero los límites de f(x) y g(x) por separado. Si existen, y son �nitos,la expresión de la derecha les dice cuál es el resultado de los límites planteados.

Ejemplo 2.3.8. Supongamos que lımx→2

f(x) = 4 y que lımx→2

g(x) = 5. Calculemos a partir de las reglas

anteriores los siguientes límites:

1. lımx→a

(5f(x)− g(x)) = 5 lımx→2

f(x)− lımx→2

g(x) = 5 · 4− 5 = 15.

Hemos utilizado las reglas 1 y 2 para llegar al resultado.

2. lımx→2

g(x)

f(x)− 2.

Calculemos primero el límite del denominador:

lımx→2

(f(x)− 2) = lımx→2

f(x)− 2 = 4− 2 = 2. Como es distinto de cero, se puede utilizar la

regla 4, y entonces

lımx→2

g(x)

f(x)− 2=

lımx→2 g(x)

lımx→2 (f(x)− 2)=

5

2

3. lımx→2

f(x).g(x)

4− f(x).

Como limx→2

(4− f(x)) = 4− limx→2

f(x) = 4− 4 = 0 , no puede utilizarse la regla del límite de un

cociente. Explorando el comportamiento del numerador y del denominador ¾qué piensan queocurre con este límite?

Intuitivamente estas reglas parecen ser ciertas. Para la primera, por ejemplo, si los valores de f(x)están muy cerca de L cuando x tiende a a, y los de g(x) están tan cerca como se quiera de M cuando xse acerca a a, es muy razonable pensar que los valores de f(x) + g(x) van a estar muy cerca de L+M . Lade�nición formal de límite nos permite demostrar efectivamente todas las propiedades. No lo haremos,peropueden encontrar más detalle en los libros sugeridos para este curso, o en nuestro sitio web.

Para recordar estas propiedades se las suele expresar diciendo:

el límite de una suma es la suma de los límites, si ambos existen y son �nitos.el límite de una constante por una función es el producto de la constante por el límite de la función,si este último existe y es �nito.el límite de un producto es el producto de los límites, si ambos existen y son �nitos.el límite de un cociente es el cociente de los límites, cuando ambos existen, son �nitos, y el límitedel denominador no es cero.

Afirmación 2.3.9. Las reglas que hemos enunciado para límites son válidas también para el cálculode límites laterales, cuando x→ a− o x→ a+.


2.3.3. Cuando el denominador de un cociente tiende a cero

Sabemos que el límite de un cociente es el cociente de los límites siempre que el denominador no tiendaa 0. ¾Y qué pasa cuando el denominador tiende a cero?

Primero insistimos en que no podemos usar directamente la regla del cociente. Segundo, no quieredecir que el límite no exista, simplemente, tenemos que seguir trabajando para averiguarlo.

Vamos a discutir dos casos:

que el numerador tienda a un límite �nito distinto de cero y el denominador tienda a cero (se sueledecir límite tipo "1/0")que el numerador tienda a cero, y el denominador también (se suele decir límite tipo "0/0")

"Límite tipo 1 sobre 0".

En estos casos, cuando el numerador tienda a un límite �nito distinto de cero y el denominador tiendaa cero, podemos asegurar que el valor absoluto del cociente tiende a in�nito (como cierta cantidad �nitadividido algo arbitrariamente pequeño).

Recomendamos entonces analizar los límites laterales, para decidir en cada lado si el límite del cocientees +∞ o −∞. El numerador seguramente mantiene el mismo signo desde ambos lados, pero el denominadorque tiende a cero puede tomar valores positivos o negativos según el lado que se mire. Finalmente, aplicamosla regla de signos de un cociente.

Ejemplo 2.3.10. Estudien los límites

lımx→3−

x3

x− 3y lım

x→3+

x3

x− 3

Primero estudiamos el numerador y el denominador por separado:- el numerador tiende a 27 por ambos lados de 3, porque x3 es una función continua en a = 3 (luegolımx→3 x

3 = 33 = 27)- el denominador tiende a 0 por ambos lados de 3, porque x−3 es una función continua en a = 3 (luegolımx→3 x − 3 = 3 − 3 = 0). Además, según x tienda a 3 por izquierda o por derecha, el denominadorx− 3 se acerca a cero con distinto signo:

por izquierda sabemos que x < 3, luego x− 3 < 0 (es negativo)

por derecha sabemos que x > 3, luego x− 3 > 0 (es positivo)

Entonces, lımx→3−x3

x− 3= −∞ y lımx→3+

x3

x− 3= +∞. Claramente, la función presenta una

asíntota vertical en a = 3.

"Límite tipo 0 sobre 0".

A lo largo del curso encontrarán muchos casos de cocientes de dos funciones donde tanto el numeradorcomo el denominador tienden a 0 cuando nos acercamos a cierto valor x0 del dominio.

Con esta información no podemos determinar la existencia del límite; de hecho, hay ejemplos del tipo�0 sobre 0� donde el límite del cociente es un número �nito L 6= 0, otros ejemplos donde el límite delcociente es cero, e incluso otros donde el límite del cociente es ±∞). Por esto se dice que se trata de unlímite indeterminado: la inspección del numerador y del denominador no es su�ciente para determinar nila existencia ni el valor del límite.

Ejemplo 2.3.11. Unos ejemplos muy básicos ayudan a comprender los posibles resultados:


analicen el lımx→0x3

x2. Si miran numerador y denominador por separado, resulta indeterminado

del tipo �0 sobre 0�. Pero si simpli�can primero (teniendo en cuenta que en el estudio del límiteno se mira el valor x = 0) encuentran

lımx→0

x3

x2= lım

x→0x = 0

analicen el lımx→0x



lımx→0

x

x2= lım

x→0

1

xque da ±∞ según el lado que se mire.

analicen el lımx→0x2



lımx→0

x2

x2= lım

x→01 = 1

Estos ejemplos son un poco tontos, porque es muy fácil simpli�car y evitarse las di�cultades. Sinembargo ilustran dos puntos clave:- que el límite de un cociente del tipo �0 sobre 0� puede dar distintos resultados,- y que en esos casos es muy útil simpli�car, para evitar la indeterminación.

En general, aprovechando que x está tan cerca de x0 como se quiera, pero sin ser nunca x0, intentamosmanipular algebraicamente la expresión para transformarla en otra donde sí podamos utilizar nuestrasreglas. Por ejemplo, discutan el siguiente

Ejemplo 2.3.12. En la Actividad 2.1.3, concluimos que lımx→1

f(x) = lımx→1

x2 − 1

x− 1=2 a partir de una

tabla de valores. Queremos comprobar nuestra respuesta mediante el uso del álgebra de límites. Pero,como el numerador y el denominador tienden a 0, no podemos hacerlo directamente. El límite esindeterminado y hay que trabajar un poco más:

1. Para x 6= 1 reescriban la función, factorizando el numerador. (Ayuda: para el numerador debenllegar a la expresión x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)).

2. Simpli�cando, comprueben que f(x) = x + 1, mientras x 6= 1. Recuerden que f(x) no estáde�nida para x = 1.

3. Calculen ahora lımx→1

f(x), usando la expresión simpli�cada.

4. ¾Verdad que resulta sencillo después de acomodar la expresión? Al simpli�car, se dice que hansalvado la indeterminación.

Para simpli�car cocientes serán útiles todas las operaciones algebraicas que hayan aprendido en elcolegio: factorear, simpli�car, sacar denominador común, racionalizar denominadores, etc. Si les resultanecesario un repaso, pueden encontrar ejercitación en el sitio web; sugerimos que consulten todas sus dudasen clase.


2.3.4. Límites de funciones compuestas

Muchas funciones se construyen como composición de funciones más sencillas, con la forma generalf(x) = g(u(x)). Al estudiar un límite de una función de la forma g(u(x)) podemos explorar por separadoel comportamiento de la "función de adentro" u(x) y el de la "función de afuera" g(u). Veamos un ejemplo.

Actividad 2.3.13. Analicen estas situaciones:

1. Comprueben que lımx→2

(x+ 1)2 = 9. ¾Qué reglas prácticas sobre límites utilizaron?

2. Proponemos ahora esta idea: llamando u(x) = x + 1, podemos escribir f(x) = (x+ 1)2 comouna función compuesta:

f(x) = (u(x))2

3. Ahora, cuando x → 2, tendremos u(x) = x + 1 → 3. ¾Les parece correcto razonar que, paraestudiar x→ 2, podríamos estudiar directamente u→ 3? Es decir,

lımx→2

(x+ 1)2 = lımu→3

u2?

¾Obtienen 9 como resultado?

Si consideramos las funciones u(x) = x+ 1 , g(u) = u2 y la composición f(x) = (g ◦ u) (x) = g(u(x)),los cálculos que hicimos nos muestran que, teniendo en cuenta que u→ 2,

lımx→1

(g ◦ u) (x) = lımx→1

g (u(x)) = lımu→2

f(u)

Este ejemplo sugiere una nueva regla: proponer una sustitución o un cambio de variables, que for-malmente está basada en la composición de funciones. La regla, con sus condiciones de aplicabilidad, seformula como:

Teorema 2.3.14. Sean u y g dos funciones que veri�can que Imu ⊂ Dom g.Si

1. existe el lımx→a u(x) = b2. g(u) es continua en el punto u = b (es decir, existe lımu→b g(u) = g(b)

entonces existe el lımx→a g(u(x)) y vale

lımx→a

g(u(x)) = lımu→b

g(u).

Esta regla justi�ca lo hecho en la Actividad 2.3.13, donde usamos la noción de función compuesta paracalcular límites. Las funciones u(x) = x + 1 y g(u) = u2 veri�can las hipótesis del enunciado, por lo quepodemos con�ar en que

lımx→2

(x+ 1)2 = lımu→3

u2 = 9

2.3.5. Desigualdades y regla de compresión

Terminamos esta clase discutiendo cómo se relacionan los límites de distintas funciones relacionadaspor desigualdades.

Actividad 2.3.15. Supongamos la siguiente situación entre dos funciones f(x) y g(x).


1. ¾Podrían señalar un entorno de 1 donde f(x) ≤ g(x)?2. ¾Existen los límites de f(x) y de g(x) cuando x tiende a 1? ¾Qué relación de orden hay entre

ellos?

Actividad 2.3.16. Consideren ahora las grá�cas de f(x), g(x) y h(x).

1. ¾Podrían señalar un entorno reducido de 1 donde f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)?2. ¾Qué ocurre ahora con los límites de las funciones cuando x tiende a 1?

Lo que vemos en este ejemplo es una situación bastante intuitiva: por un lado, los límites de f(x) yg(x) mantienen la misma relación de orden que las funciones. Por otro lado, si los límites de f(x) y g(x)coinciden, una función h(x) atrapada entre ellas tiene el mismo límite.

Esta situación se formaliza con los siguientes teoremas:

Teorema 2.3.17. Sean dos funciones f(x) y g(x) de�nidas en un entorno reducido de a. Si f(x) ≤g(x) para todo x n ese entorno reducido, y los límites de f y g existen cuando x→ a, entonces

lımx→a

f(x) ≤ lımx→a

g(x).


Teorema 2.3.18. Sean f(x), g(x) y h(x) funciones de�nidas en un entorno reducido de a. Si f(x) ≤g(x) ≤ h(x) para todo x en ese entorno reducido, y lım

x→af(x) = lım

x→ah(x) = L, entonces

lımx→a

g(x) = L.

Este último resultado se suele llamar la regla de la compresión, del encaje o del sandwich, porquegrá�camente la función que nos interesa se encuentra entre medio de las otras dos; cuando ambas tienenel mismo límite, la que está entre medio no tiene otra posibilidad que tener el mismo límite también.

Con los mismos razonamientos, estos resultados son válidos también para límites laterales cuando xtiende a a+ o a a−.

La utilidad de la regla decompresión aparece cuando no conocemos el límite de cierta función pero sítenemos la información de los límites de dos funciones que la acotan por abajo y por arriba. Como ejemplo,

vamos a utilizar este resultado para demostrar un límite importante: lımx→0

sen x

x= 1.

2.3.6. Un límite indeterminado especial: lımx→0sen xx

Hay casos de límites tipo "cero sobre cero" que no se pueden salvar mediante manipulación algebraica.Un caso importante es

lımx→0

sen x

x

Actividad 2.3.19. Hagan una grá�ca cuidadosa de sen xx cerca de x0 = 0, con ayuda de GeoGebra.

Obtendrán una grá�ca como esta:


¾Existe el límite lımx→0senxx ? ¾Cuánto parece valer?

Recuerden a partir de este ejercicio que

lımx→0

senx

x= 1

Este resultado se puede probar de varias maneras. Una de ellas es usando la regla de compresión. Lesproponemos hacerlo como una actividad guiada:

Actividad 2.3.20. Más arriba concluimos que lımx→0

sen x

x= 1, a través de un análisis grá�co.

Proponemos ahora hacer una demostración de este resultado.

1. En la circunferencia trigonométrica, gra�quen x, sen x y tanx para x pequeño y en el primercuadrante. Comprueben geométricamente que sen x ≤ x ≤ tanx.

2. invirtiendo desigualdad anterior, demuestren que si x > 0,cosx

sen x≤ 1

x≤ 1

sen x.

3. Multiplicando todos los términos por sen x > 0 veri�quen que cosx ≤ sen x

x≤ 1.

4. Apliquen la regla de la compresión para concluir que lımx→0+

sen x

x= 1.

5. Finalmente, observando que f(x) =sen x

xes una función par, utilicen la sustitución u = −x

para calcular por izquierda lımx→0−

sen x

x= 1 .


Dejamos la ejercitación de estos temas para la clase siguiente.

CLASE 2.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: EJERCITACIÓN CON LÍMITES PARA x→ x0. 91

Clase 2.4. Actividades de integración: ejercitación con límites para x→ x0.

Contenidos de la clase: Uso de reglas prácticas para calcular límites para x→ x0.

Ejercicio 2.4.1. Supongamos que las siguientes son las grá�cas de dos funciones f(x) y g(x). Calcular,si es que existen, los siguientes límites. Justi�quen a partir de las reglas de límites.

a) lımx→−2

[f(x) + 5g(x)] b) lımx→1

[f(x).g(x)] c) lımx→2

f(x)

g(x)

Ejercicio 2.4.2. Discutan si las siguientes funciones presentan asíntotas verticales. En cada casodescriban el comportamiento lateral.

1. a) f(x) =2

x− 5b) g(t) =

−1

(t+ 1)2c) h(x) =

3

x2 − 2x− 2d) f(t) =

x

x2 − 2x− 2

Ejercicio 2.4.3. Les proponemos que, usando las propiedades de los límites y de las funciones conti-nuas, realicen los siguientes cálculos:

1. Sabiendo que lımx→a

f(x) = L, calculen lımx→a

(f(x))2, lımx→a

(f(x))3, lımx→a

(f(x))4. Si n ∈ N, ¾qué valorpropondrían para lım

x→a(f(x))n?

2. lımx→2

(x2 + 3x5 − 7

)3. Consideremos la función polinomial p(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + . . .+ anxn. ¾Qué valor propondrían

para lımx→x0

p(x)?

Ejercicio 2.4.4. Supongamos que lımx→2

f(x) = 3.

1. Calcular lımx→2

x f(x) y lımx→2

f(x)− 3

5 + x.

2. Si lımx→2

f(x).g(x) = 5, ¾qué se puede decir sobre lımx→2

g(x)?

Ejercicio 2.4.5. Calcular los siguientes límites, aplicando las reglas permitidas.

a) lımx→2

x3 + 3− x(x2 − 1)2

; b) limx→2

(x2 − 1

)2x3 + 3− x

; c) limx→0

x+ 5

x3 + 3− x

Ejercicio 2.4.6.

1. Sea f(x) =x3 − 1

x− 1.

a) Calcular lımx→1+

f(x); lımx→1−

f(x).


b) ¾Existe lımx→1

f(x)?

c) Gra�car f(x).

2. Repetir los puntos (a,b,c), ahora con la función f(x) =x3 − 1

|x− 1|.

Ejercicio 2.4.7. Calcular los límites indicados. Cuando sea necesario, reescribir adecuadamente laexpresión.

1. f(x) =x+ 3

x2 − 9; lımx→1

f(x); lımx→−3

f(x)

2. g(u) =u− 4√u− 2

; lımu→4

g(u). Sugerencia4: multiplicar y dividir por√u+ 2 y utilizar luego el ejercicio

2.4.9.

3. f(t) =

√t− 5

t− 25; lımt→9

f(t); lımt→25

f(t)

4. f(h) =(3 + h)2 − 9

h; lımh→0

f(h)

Ejercicio 2.4.8. Calcular los siguientes límites.

1. lımx→−4

1

4+

1

x4 + x

2. lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h

3. lımx→0

(1

x− 1

x2 + x

)Ejercicio 2.4.9. En este ejercicio no les damos el punto x0 donde calcular el límite, sino que les

pedimos que consideren todos los x0 posibles. Operando con funciones conocidas indiquen para qué valoresde a ∈ R existe lım

x→af(x).

1. f(x) = tanx2. f(x) = e2x

3. f(x) = sinhx4. f(x) = coshx5. f(x) = n

√x (distinguir n par o impar)

Ejemplo 2.4.1. Utilizando que lımx→0

sen x

x= 1, podemos calcular varios límites. Como sugerencia

general, la idea es reescribir la función de forma que aparezca sen xx y luego aplicar reglas.

Calculemos por ejemplo limx→0

tanx

x. Como se trata de un cociente, inspeccionamos el numerador y

el denominador:

lımx→0 tanx = 0 (porque conocemos la grá�ca de la función tanx, que es continua en x = 0 )limx→0 x = 0

Nos encontramos con un límite tipo "cero sobre cero" que no se puede simpli�car. La estrategia esescribir

tanx

x=

1

x

sen x

cosx=

(1

cosx

)(sen xx

)4Esta técnica se llama de racionalización del denominador.


Como lımx→0 cosx = 1 (porque conocemos la grá�ca de la función cosx, continua en x = 0 ) ylımx→0

senxx = 1 , podemos a�rmar que

lımx→0

tanx

x= lım

x→0

(1

cosx

)(sen xx

)= lım

x→0

(1

cosx

)lımx→0

(sen xx

)= 1 ∗ 1 = 1

Ejercicio 2.4.10.

1. lımx→0

x2 − sen x

x

2. lımx→0

1− cosx

x. Sugerencia: multiplicar y dividir por 1+cosx y utilizar identidades trigonométricas.

3. lımx→0

cosx− 1

sen x. Sugerencia: multiplicar y dividir por x .

Ejercicio 2.4.11. Les proponemos calcular los siguientes límites, re-escribiéndolos en términos decomposiciones

a) limx→2

x2 − 4

x− 2, llamando u(x) = x− 2

b) limx→1

x3 − 1

x− 1, llamando u(x) = x− 1

Ejercicio 2.4.12. Les proponemos comprobar que limx→0

(x2sen

(1

x

))= 0.

1. ¾Por qué no se puede usar la regla del producto de límites?

2. Recordando que −1 ≤ sen

(1

x

)≤ 1, comprueben que −x2 ≤ x2sen

(1

x

)≤ x2.

3. Gra�quen las funciones f(x) = −x2 y h(x) = x2 en un mismo grá�co. En un entorno reducido de

0, ¾dónde debería estar la grá�ca de g(x) = x2sen

(1

x

)? ¾Qué valor propondrían para el límite

cuando x→ 0?4. Apliquen la regla de la compresión para justi�car la respuesta anterior.

Ejercicio 2.4.13.

1. Usando que −1 ≤ cosx ≤ 1 y −1 ≤ sen x ≤ 1 calcular los siguientes límites:

a) limx→+∞

cosx

x; b) lim

x→−∞

sen x

x.

(sugerencia: comparar con −1/x y con 1/x)

Ejercicio 2.4.14.

1. Suponiendo que 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 7 para x ≥ 0, calcular limx→4

f(x) .

2. En un mismo grá�co ubicar las funciones g(x) = 4x − 9 y h(x) = x2 − 4x + 7 y comprobargrá�camente el valor del límite propuesto.

3. ¾Se puede a�rmar algo sobre la existencia de limx→6

f(x)? Gra�car distintas posibilidades.

Ejercicio 2.4.15. Utilizando la propiedad de la compresión, calcular limx→0

x4 cos

(2

x

).


Ejercicio 2.4.16. Consideren las funciones g(x) = x4 − x2 + 2 y h(x) = x2 + 1.Gra�quen ambas con computadora, en un mismo plano.Hallen sus puntos de intersección y comprueben que h(x) ≤ g(x) para todo x.Suponiendo que cierta función f(x) veri�ca h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), ¾para qué valores de x = a se puedepredecir el valor de lim

x→af(x)?

CLASE 2.5. CONTINUIDAD Y TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO 95

Clase 2.5. Continuidad y Teorema del Valor Intermedio

Contenidos de la clase: Continuidad en intervalos. Reconocimiento de funciones conti-nuas. Clasi�cación de discontinuidades. Propiedades de funciones continuas en intervaloscerrados.

La noción de continuidad es intuitiva, la podemos asociar a una función "bien comportada". Losmodelos matemáticos de la Naturaleza generalmente presuponen que cada variable depende de las otrasen forma continua: si cambiamos muy poco una variable, van a cambiar muy poco las demás. Por ejemplo,el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo. El volumen deuna esfera, cuya fórmula es V (r) = 4

3πr3, varía continuamente con su radio. Pero también se presentan

discontinuidades en situaciones de la vida real, como por ejemplo en corrientes eléctricas. Otro ejemplopodría ser el electrocardiograma de una persona en el instante en que sufre un paro cardíaco. El ejercicio2.2.1 es otro ejemplo concreto: en el instante en el que se administra una medicación, la función que midesu concentración en la sangre se discontinúa.

En todos estos casos, es tan importante reconocer la continuidad de la función que se estudia comosaber distinguir las posibles discontinuidades y la razón por la cual ocurre la discontinuidad.

En esta clase vamos a discutir importantes propiedades de las funciones continuas.

2.5.1. Repaso de la noción de continuidad en un punto

En la clase 2.3 presentamos la noción de continuidad. Según la De�nición 2.3.2, una función f(x) escontinua en un punto x0 si cumple tres condiciones:

1. f(x0) está de�nida, es decir x0 pertenece al dominio de la función,2. f(x) está de�nida también en algún entorno de x0, se puede calcular, existe y es �nito lim

x→x0f(x),

3. los resultados de evaluar el límite y de evaluar la función son iguales.

Cuando no ocurre alguna de estas tres condiciones, se dice que la función no es discontinua (o tiene unadiscontinuidad) en dicho punto.

Actividad 2.5.1. En cada uno de los siguientes grá�cos,

analicen la existencia del límite (lateral y completo) de la función cuando x→ a¾está de�nida la función en a?¾dirían que la grá�ca de la función no tiene rupturas? ¾Por qué?Si la grá�ca tiene rupturas, ¾podrían cambiar la función en a para modi�car esa ruptura sinalterar el resto de la grá�ca?

Encontramos cuatro situaciones diferentes. En el primer caso, el trazo de la grá�ca puede seguirse sinnecesidad de levantar el lápiz del papel. En términos de límites, cuando la variable independiente x seacerca a a, vemos que la función f(x) tiende a f(a). En los otros casos, por algún motivo hay que levantarel lápiz del papel al pasar por x = a.

Recordando la de�nición de continuidad en un punto, el primer caso corresponde a una función continuaen x = a. Efectivamente la única función que cumple con las tres condiciones de la continuidad es la


correspondiente al primer grá�co. Analicemos por qué motivo las restantes no son continuas en el puntox0.

1. En el segundo grá�co, la función no está de�nida en x0; luego no puede ser continua allí. Observe-mos, sin embargo, que el límite cuando x→ x0 existe.

2. El grá�co que �gura en tercer lugar es similar al anterior; la diferencia es que ahora la función estáde�nida en x0. Sin embargo, f(x0) no coincide con el límite y por eso no es continua en x0.

3. Finalmente, en el último grá�co no existe el límite cuando x→ x0. La función resulta discontinuaen x0, independientemente de cómo esté de�nida f(x0).

Actividad 2.5.2. Analizar si las siguientes funciones son continuas o no en x0 = −1 , aclarandoen caso de ser discontinua cuál (o cuáles) de las tres condiciones no se veri�ca.

1. a) f(x) =x2 − 1

x+ 1; b) g(x) =

x2 − 1

x+ 1si x 6= −1

−2 si x = −1; c) h(x) =

x2 − 1

x+ 1si x 6= −1

0 si x = −1.

2. Gra�car las tres funciones, para comprobar los resultados obtenidos. (pueden usar computadora,o elaborar la expresión para reconozcer la grá�ca).

Continuidad lateral en un punto

Cuando no podemos tomar el límite por ambos lados, o cuando podemos pero los límites lateralesson distintos, podemos analizar separadamente la continuidad por izquierda o por derecha. Por ejemplo,podemos preguntar si la función f(x) =

√x es continua en x0 = 0. En estos casos se habla de continuidad

lateral.

Definición 2.5.3. Se dice que una función f(x) de�nida al menos en un intervalo (x0 − r, x0] escontinua en x0 por izquierda si

limx→x−0

f(x) = f(x0)

Se dice que una función f(x) de�nida al menos en un intervalo ([x0, x0 + r) es continua en x0 porderecha si

limx→x+0

f(x) = f(x0)

Ejemplo 2.5.4. Sea f(x) =

{x2 + 1, si x ≤ 0

2− x, si x > 0. Calculemos los límites laterales en x0 = 0.

limx→0−

f(x) = limx→0

x2 + 1 = 1

limx→0+

f(x) = limx→0

2− x = 2.

Como son diferentes, no existe limx→0

f(x) y por lo tanto f no es continua en 0. Sin embargo, como

f(0) = 1 = limx→0−

f(x), concluimos que f es continua por izquierda.

Actividad 2.5.5. Analicen si la función f(x) =√x es continua por derecha en x0 = 0. ¾Se puede

analizar la continuidad por izquierda?

Comparando las de�niciones 2.3.2 y 2.5.3 tenemos la siguiente propiedad:

Propiedad 2.5.6. Una función f(x) es continua en un punto x0 si y sólo si es continua por derechay por izquierda.


Demostración. Vamos a justi�car esta propiedad. Es un buen ejercicio para aplicar la de�nición decontinuidad y las propiedades de límites.

Si f(x) es continua en x0, entonces limx→x0

f(x) = f(x0). Pero entonces los límites laterales existen

y son iguales al límite original, es decir limx→x−0

f(x) = f(x0) y limx→x+0

f(x) = f(x0).

Por lo tanto, f resulta continua por izquierda y por derecha en x0.Recíprocamente, supongamos que f es continua por izquierda y por derecha en x0. Como lim

x→x−0f(x) = f(x0) y lim

x→x+0f(x) =

f(x0) , los límites laterales coinciden y, por lo tanto, existe limx→x0

f(x) y es igual a f(x0).

Es decir, f es continua en x0.

2.5.2. Continuidad en conjuntos

Actividad 2.5.7. Consideremos la función del Ejemplo 2.5.4.

1. ¾en qué valores la función es continua?2. en los puntos donde no es continua, analicen si es continua a derecha o a izquierda.

En esta actividad, y en otras funciones que recuerden, vemos que las funciones que trabajamos soncontinuas en la mayoría de los puntos de su dominio. Para indicar que una función es continua en todo

un conjunto de puntos, se dice:

Definición 2.5.8. Se dice que una función f(x) es continua en un conjunto A cuando f(x) escontinua en cada punto x0 ∈ A.

También se usa un nombre para indicar todos los puntos donde una función es continua:

Definición 2.5.9. Dada una función f : D → R, se llama dominio de continuidad de f al conjuntode todos puntos donde f es continua,

dominio de continuidad de f = {x ∈ D : f es continua en x}

Muchas veces encontramos funciones "continuas en todo su dominio". Es decir, el dominio de de�ni-ción coincide con el dominio de continuidad. Cuidado que esto no quiere decir que no presenten discon-tinuidades, puede haber puntos donde las funciones son discontinuas porque no están de�nidas.

Ejemplo 2.5.10. Analicemos la función recíproca, f(x) = 1/x. Tengan a mano una grá�ca de lafunción.

¾Cuál es su dominio natural?¾Cuál es su dominio de continuidad?Veri�quen (usando la de�nición 2.3.2) que f(x) presenta una discontinuidad en x0 = 0.Expliquen por qué la función es "continua en todo su dominio", pero tiene discontinuidades.

Las funciones que son continuas en intervalos cerrados tienen propiedades particulares, que veremosmás adelante. Para eso es útil de�nir:

Definición 2.5.11. Se dice que una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] cuando escontinua en cualquier punto del intervalo abierto (a, b) y al menos continua por derecha en a ycontinua por izquierda en b.Además, si el dominio fuera semicerrado, se considerará solamente la continuidad lateral, a izquierdao a derecha según corresponda, en el extremo cerrado del intervalo.


Ejemplo 2.5.12. Estudiemos la función f : [0, 5]→ R de�nida por f(x) = x2(x−5). Encontramosque f es continua en todo su dominio. Lo que estamos indicando, en forma abreviada, es que

f(x) es continua en el intervalo abierto (0, 5), ya que si 0 < x0 < 5, limx→x0

(x2(x− 5)

)= x20(x0−5)

y f(x0) = x20(x0 − 5) son iguales.f(x) es continua por derecha en 0, ya que lim

x→0+

(x2(x− 5)

)= 0 y f(0) = 0 son iguales.

f(x) es continua por izquierda en 5, ya que limx→5−

(x2(x− 5)

)= 0 y f(5) = 0 son iguales.

2.5.3. Algebra de la continuidad

La continuidad depende de la existencia de límites (y del valor que toma la función). Por eso estamosaplicando una y otra vez las reglas de límites aprendidas en la clase 2.3.

Aunque suene repetido, resulta conveniente enunciar las propiedades de la continuidad, que se heredandirectamente de las propiedades ya vistas para límites. Como antes, llamaremos a estas reglas el álgebrade la continuidad.

Sumas, restas, productos y cocientes.

Propiedad 2.5.13. Sean f y g dos funciones continuas en un punto x0, y sea c una constante realcualquiera. Entonces las siguientes funciones también son continuas en x0:

• f + g • f − g • cf •f · g • fg

, si g(x0) 6= 0

Demostración. Demostremos que la suma de funciones continuas en x0 también es continua.Como lim

x→x0f(x) = f(x0) y lim

x→x0g(x) = g(x0) por ser ambas continuas en dicho punto, utilizando la

regla de límite para una suma de funciones podemos escribir

limx→x0

(f + g) (x) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x) = f(x0) + g(x0) = (f + g) (x0)

Esto prueba que f + g es continua en x0.

La demostración de las otras propiedades es similar.

Actividad 2.5.14. Haciendo uso de las reglas de límites, demostrar las restantes propiedades.

Con estas propiedades, a partir de funciones continuas podremos formar nuevas funciones continuas.Por eso es útil reconocer que las funciones básicas (presentadas en la Unidad 1) son continuas en todo sudominio. Recuerden que esto justi�ca el cálculo de límites "evidentes":

Afirmación 2.5.15. Cuando sabemos que una función f(x) es continua en un punto x0, podemosasegurar que el límite lim

x→x0f(x) existe y dar su valor: simplemente

limx→x0

f(x) = f(x0)

Composición.

De las posibles operaciones entre funciones, nos resta analizar la composición y su relación con lacontinuidad.

Propiedad 2.5.16. Si f es una función continua en x0, y g es otra función continua en f(x0),entonces g ◦ f es continua en x0. Es decir,

limx→x0

g(f(x)) = g(f(x0))


Demostración. Debemos calcular limx→x0

(g ◦ f) (x) = limx→x0

g (f(x)). Haciendo la sustitución5 u =

f(x) , como f es continua en x0 tendremos que

u = f(x)→ f(x0) cuando x→ x0

Entonceslimx→x0

g (f(x)) = limu→f(x0)

g(u) = g (f(x0))

por ser g continua en f(x0). A partir de estos resultados obtenemos limx→x0

g(f(x)) = g (f(x0)); es decir, la

composición resulta continua en x0.

Ejemplo 2.5.17. La función f(x) = cos

(x+ 1

x− 1

)es continua en todo punto x 6= 1, por ser com-

posición de u =x+ 1

x− 1que es continua en todo punto x 6= 1, con g(u) = cosu que es continua en

R.

2.5.4. Teorema del Valor Intermedio

Las funciones continuas en intervalos cerrados tienen propiedades importantes. En la práctica, cuandosabemos que una función es continua en un intervalo cerrado su análisis resulta muy sencillo.

El Teorema del Valor Intermedio es el punto de partida para justi�car todas esas propiedades. Antesde enunciarlo, exploremos su contenido.

Actividad 2.5.18. Consideremos la función f(x) = x2 en el intervalo [−1, 2]. Sabemos que es unafunción continua (¾por qué?), y que f(−1) = 1 y f(2) = 4. Les proponemos que miren el grá�co de lafunción en este intervalo y contesten las siguientes cuestiones:

¾Existe x ∈ (−1, 2) tal que f(x) = 1.5?¾Existe x ∈ (−1, 2) tal que f(x) = 2?¾Existe x ∈ (−1, 2) tal que f(x) = 3?Si tomamos cualquier N ∈ (1, 4), existe x ∈ (−1, 2) tal que f(x) = N?

La situación que acaban de comprobar en esta actividad es similar para cualquier función continua enun intervalo cerrado. Nos dice que una función continua en un intervalo [a, b] alcanza todos los valoresintermedios entre los valores de f(a) y f(b). De este hecho toma su nombre.

5Recordar el Teorema 2.3.14


Teorema 2.5.19. (del Valor Intermedio)Sea f una función continua sobre el intervalo cerrado [a, b] tal que f(a) 6= f(b). Entonces para todovalor N entre f(a) y f(b), existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = N .

Aunque la a�rmación parece muy intuitiva, su demostración es delicada y escapa al alcance de lostextos elementales de Análisis Matemático. Un enunciado equivalente al dado se conoce como Teoremade Bolzano (quien lo demostró en 1817).

El grá�co siguiente describe la situación planteada en el Teorema. Supongamos que f(a) < f(b). Alserf una función continua, el trazo no se corta entre (a, f(a)) y (b, f(b)). Por lo tanto si elegimos N talque f(a) < N < f(b) (noten que excluimos f(a) y f(b)), la recta horizontal y = N debe cortar a la grá�cade la función en algún punto intermedio. Llamemos c a la coordenada x de dicho punto. Por pertenecera la grá�ca, debe ser f(c) = N .

Actividad 2.5.20.

Realicen un grá�co que ilustre el resultado del Teorema del Valor Intermedio para el caso enque f(a) > f(b).Para convencerse de que el resultado no necesariamente es válido cuando f no es continua:gra�quen f(x) = [[x]] en el intervalo [0, 3/2]. Sabemos que f(0) = 0 y que f(3/2) = 1. ¾Existec ∈ (0, 3/2) tal que f(x) = 0.5?Para interpretar la hipótesis f(a) 6= f(b): gra�quen una función continua en un intervalo [a, b]tal que f(a) = f(b) y traten de aplicar el Teorema.

Observación 2.5.21. El Teorema del Valor Intermedio asegura que existe al menos un número c; nonos dice cuál es ese número, solamente garantiza su existencia. Por otro lado, podría haber más de unelemento en el dominio que toma el valor indicado. El número c es una solución de la ecuación f(c) = N ;por supuesto, puede darse el caso en que no podamos resolver la ecuación resultante. Por eso este tipo deteoremas suele decirse que son de existencia.

Ejemplo 2.5.22.

Consideremos f(x) = 2− x4, que es continua en todos los reales.� Analicemos primero en el intervalo [0, 2]. Como f(0) = 2 > f(2) = −14, el Teorema delValor Intermedio garantiza que para cualquier N tal que −14 < N < 2 existe c en el dominiotal que f(c) = N . Por ejemplo, tomemos N = 1. En este caso será 2− c4 = 1 que podemosdespejar para obtener c = ±1. Pero como c ∈ (0, 2), la única solución es c = 1.

� Consideremos ahora el intervalo [− 4√

2, 0]. Como f(− 4√

2) = 0 < f(0) = 2 , podemos elegirnuevamente N = 1. Repitiendo el argumento anterior, en este caso la única solución esc = −1.


� Gra�quen la función y la recta horizontal y = 1 para corroborar los resultados obtenidos.

Ejemplo 2.5.23.

Consideremos f(x) = x− x3, que es continua en todos los reales.

� En el intervalo [1

2, 2]: como f(1/2) = 3/8 6= f(2) = −6, eligiendoN = 0, podemos garantizar

la existencia de c ∈ (12 , 2) tal que c− c3 = 0. Comprueben que c = 1 es la solución buscada.� En el intervalo [−2, 2]: como f(−2) = 6 6= f(2) = −6, eligiendo nuevamente N = 0, comoc = 1 ∈ (−2, 2), éste podría ser el valor predicho por el Teorema.

� Gra�quen la función y la recta horizontal y = 0 para veri�car que en realidad existen tresintersecciones con la grá�ca de la función en el intervalo [−2, 2] . Sin embargo, el Teoremasólo garantiza la existencia de una solución.

2.5.5. Aplicaciones del Teorema del Valor Intermedio

Veamos algunos procedimientos prácticos que se basan en el Teorema del Valor Intermedio.

Aplicación: regiones de positividad y negatividad.

Actividad 2.5.24. Gra�quen distintas funciones continuas en el intervalo [0, 3] que no valgan ceroen el intervalo abierto (0, 3).

¾Qué pueden decir del signo de cada función en el intervalo (0, 3)?Supongamos que f(2) > 0. ¾Se puede a�rmar que f será positiva en todo el intervalo?

El ejemplo que acaban de analizar es una aplicación del Teorema del Valor Intermedio que resultamuy útil: identi�car el signo de una función continua en todo un intervalo. La idea es que si una funcióncontinua no se anula en todo un intervalo, entonces mantiene su signo en dicho intervalo. Dicho de otramanera, si sabemos que una función continua no se anula en un intervalo, basta con evaluar la función enun solo punto para conocer el signo en todo el intervalo.

Propiedad 2.5.25. Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] que NO se anula enningún punto de un intervalo abierto (a, b). Se veri�ca:

si hay un punto x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) > 0, entonces f(x) > 0 en todo el intervalo (a, b).si hay un punto x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) < 0, entonces f(x) < 0 en todo el intervalo (a, b).

Demostración. Vamos a demostrar el primer caso, por el absurdo.Supongamos que el enunciado falla, es decir que existe un punto x1 ∈ (a, b) tal que f(x1) < 0.Como f es continua en el intervalo cerrado que va entre x0 y x1, y f(x0) > 0 por hipótesis, el Teorema

del Valor Intermedio asegura debería existir c entre x0 y x1 tal que f(c) = 0. Pero ese número c ∈ (a, b),donde f NO se anula. Hemos llegado a un absurdo, que provino de suponer que f(x1) < 0 en algún puntox1 del dominio.

Por lo tanto, debe ser f(x) > 0 en todo el intervalo (a, b).

Actividad 2.5.26. Usando esta propiedad, encuentren las regiones donde f(x) = x3−x es positiva,y donde es negativa.


Aplicación: existencia y localización de soluciones de una ecuación.

Otra aplicación de este Teorema es la localización de raíces (o ceros) de una función.

Ejemplo 2.5.27. Necesitamos averiguar si el polinomio p(x) = x3 + 2x− 1 tiene una raíz entre 0 y1. Es decir, si existe c en el intervalo (0, 1) tal que p(c) = 0.

Como

p(x) es continua (por ser un polinomio)p(0) = −1 < 0p(1) = 2 > 0

tenemos p(0) < 0 < p(1). Entonces, por el Teorema del Valor Intermedio aplicado con N = 0 existe ccon 0 < c < 1 tal que p(c) = 0, es decir, hemos localizado una raíz del polinomio en ese intervalo.

Observen que no hemos encontrado la raíz. Sin embargo, la hemos localizado, en el sentido de queahora sabemos que se encuentra encerrada en el intervalo (0, 1). En las actividades de integración vamosa aprovechar este razonamiento re�nar la localización y aproximar la raíz con tantos decimales comoqueramos.

Aproximación de soluciones de una ecuación: método de bisección.

Cuando no podemos despejar la incógnita de una ecuación, se puede usar el Teorema del Valor Inter-medio para localizarla en intervalos cada vez más pequeños, logrando aproximar la solución con la precisióndeseada.

Ejemplo 2.5.28. Sea f(x) = x3 − x2 + x.

1. Demostrar que existe un número c entre 2 y 3 tal que f(c) = 10, usando el Teorema del ValorIntermedio.

2. Calculando el punto medio entre 2 y 3, decidir si la solución se encuentra en el intervalo (2,5

2)

o en (5

2, 3).

3. Volver a realizar el proceso (calcular el punto medio y elegir el intervalo donde está la raíz) hastahallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga al valor buscado c. Dar un valor aproximadopara c.

4. Gra�car en computadora la función en el intervalo [2, 3] y mediante un zoom adecuado compro-bar la respuesta.

Este método de aproximación de raíces se llama de bisección (o dicotómico), porque en cada paso dela aproximación (llamado iteración) se divide el intervalo donde se busca la solución en dos intervalos deigual longitud. Observemos que la única hipótesis para asegurar que estamos �encerrando� a la soluciónes que la función sea continua, que en uno de los extremos del intervalo la función sea menor a 10 y queen el otro extremos la función sea mayor a 10. Observen que también podríamos haber trabajado con lafunción g(x) = f(x)− 10 y buscar un punto c donde g(c) = 0.

En general, si f es una función continua y estamos interesados en encontrar una raíz de la ecuaciónf(x) = 0, este método de aproximación consiste en buscar un intervalo inicial donde aplicar el Teoremadel Valor Intermedio, es decir un intervalo [a, b] tal que los signos de f(a) y f(b) sean diferentes. Luegotomar el punto medio c = a+b

2 , y de acuerdo al valor de f(c), decidir si la raíz se encuentra en [a, c] oen [c, b] y volver a repetir el proceso hasta que la longitud del intervalo sea menor que cierta toleranciaelegida. Se suele elegir al último punto medio hallado como la aproximación de la raíz.


Es claro que repitiendo este proceso vamos aproximando a la raíz de la solución, aunque quizás nece-sitemos muchos pasos. Sin embargo, las hipótesis para que funcione son sencillas, y el método es muysimple de implementar en una computadora.

2.5.6. Clasi�cación de discontinuidades

Hasta aquí hemos de�nido y analizado la continuidad de una función en un determinado punto x0.Dado que las funciones continuas tienen propiedades particulares, es muy importante conocer dónde fallala continuidad para estar advertidos: donde falle la continuidad de una función, su grá�ca puede mostrarcomportamientos extraños.

La falla de alguna de las tres condiciones de continuidad6 determina la discontinuidad de la función.

Definición 2.5.29. Se dice que una función f(x) es discontinua en un punto x0 cuando la funciónno es continua en x0. Es decir, cuando falla alguna de las tres condiciones de la de�nición 2.3.2.,

Entre estas condiciones, la existencia del límite de la función parece ser la que de�ne, de alguna manera,si la discontinuidad puede arreglarse o no. De acuerdo a ésto, existe una clasi�cación de discontinuidades:

Definición 2.5.30. Sea f una función discontinua en x0.

Si existe el límite limx→xo

f(x) = L pero

f(a) no está de�nida

o bien

f(a) 6= L

, la discontinuidad se llama

evitable o removible.Si no existe el límite lim

x→xof(x), la discontinuidad en x0 se llama inevitable. Hay además dos

tipos de discontinuidad inevitable que reciben nombres particulares:� Si existen los límites laterales y son diferentes: lim

x→x−0f(x) = L− 6= lim

x→x+0f(x) = L+, se la

llama discontinuidad �nita o de salto.Se llama salto justamente al incremento del valor de la función al pasar de la izquierdaa la derecha de la discontinuidad, que se calcula restando L+ − L−.

� Si limx→x±o

f(x) = ±∞ , se la llama discontinuidad in�nita (corresponde a una asíntota

vertical).

Cuando la discontinuidad es evitable, se puede de�nir (o rede�nir, según corresponda) la función enese punto de modo que resulte continua.

Ejemplo 2.5.31. f(x) =senx

xes discontinua en x = 0, ya que no está de�nida allí. Sabemos, sin

embargo, que limx→0

senx

x= 1, es decir la discontinuidad es evitable. Entonces, de�niendo

g(x) =

{senx

x, si x 6= 0

1, si x = 0

esta nueva función coincide con la anterior en x 6= 0 y resulta continua en x = 0.

Observación 2.5.32. El mensaje de este ejemplo es el siguiente: cuando haya que trabajar con

f(x) =senx

x, será muy conveniente cambiarla por g(x), que es casi igual pero tiene la ventaja de estar

de�nida y ser continua en x = 0.

6Las condiciones están detalladas al principio de esta clase.


Para cualquier valor de x 6= 0, las conclusiones que obtengan para g(x) serán válidas también para

f(x) =senx

x.

Ejemplo 2.5.33. La función signo, f(x) =

−1, si x < 0

0, si x = 0

1, si x > 0

es discontinua en x = 0 porque

limx→0−

f(x) = −1 pero limx→0+

f(x) = 1. La discontinuidad es inevitable de tipo salto.

El salto mide la distancia vertical que hay entre los límites laterales, que en este caso es 1−(−1) = 2,como lo muestra la �gura. No hay manera de rede�nir la función en x = 0 para que resulte continua.

Cuando la discontinuidad es in�nita, la grá�ca presenta una asíntota vertical (como vimos al estudiarlímites in�nitos en la clase 2.1). Por ejemplo, la función f(x) = 1/x presenta en x = 0 una discontinuidadin�nita. Recuerden su grá�ca y otras asociadas a discontinuidades in�nitas.


Ejercicio 2.5.1. A partir de funciones básicas y del álgebra de la continuidad, muestren que

Todo polinomio p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn es una función continua.

Toda función racional f(x) =p(x)

q(x)es una función continua en su dominio, es decir, donde q(x) 6= 0.

Ejercicio 2.5.2. En el Ejercicio 2.4.9 comprobamos grá�camente que la función exponencial ex esuna función continua. Vamos a aceptar este hecho como verdadero, y aprovecharlo para obtener nuevasfunciones continuas.

Justi�car que las funciones hiperbólicas sinhx, coshx y tanhx son funciones continuas en R.

Ejercicio 2.5.3. Aprovechando todas las propiedades vistas hasta ahora, proponemos comprobar que

h(x) =cosx

2 + senxes continua para todo número real, y luego calcular

limx→π

cosx

2 + senxy lim

x→π/2

cosx

2 + senx.


Ejercicio 2.5.4. Analicen dónde son continuas las siguientes funciones. En cada caso, identi�quenlas funciones continuas que permiten escribir h (o parte de ella) como una composición.

a) h(x) = sen(x2); b) h(x) = (senx) 2; c ) h(x) =

cos((x+ 1)2

)x2 − 2x+ 3

.

Ejercicio 2.5.5. Como vieron en el ejemplo 2.5.31, la funciónsenx

xtiene una discontinuidad evitable

en x = 0. Usando su rede�nición con la discontinuidad evitada, veri�quen que pueden aplicar el teorema2.3.14 para calcular los siguientes límites indeterminados mediante un cambio de variables:

a) limx→0sen(3x)

x; b) limx→0

tan(x2)

xc) limx→π

sen(x)

x− π

Ejercicio 2.5.6. Encuentren el dominio de continuidad de las siguientes funciones. Justi�quen larespuesta.

a) f(x) = ln(x2 + 1

); b) f(x) = 3

√cosx

x− 1; c) f(x) = cosh

(x+ e2x

).

Ejercicio 2.5.7. A partir de todas las operaciones entre funciones continuas, podremos construirmuchas otras y asegurar dónde son continuas. La comprobación de la continuidad por de�nición esnecesaria en aquellos casos en los que no podamos utilizar el álgebra de límites. Ejemplos de esta situaciónson las funciones que están de�nidas a trozos: el punto en el que cambia la fórmula sólo puede analizarsepor de�nición de límites laterales.

Analicen la continuidad de la siguiente función:

f(x) =

√x2 − 3, si x < −2

cosπx, si − 2 ≤ x ≤ 1

x3 − 1 si x > 1

.

Para ello, estudien primero los intervalos abiertos donde vale cada fórmula, es decir, (−∞,−2), (−2, 1)y (1,+∞), aprovechando todas las reglas conocidas

Luego deben estudiar los puntos en los que cambia la de�nición: x1 = −2 y x2 = 1, en los que tendránque calcular el valor de la función y de los límites laterales.

Ejercicio 2.5.8. Consideremos la siguiente función:

f(x) =

1− (x+ 2)2 si − 2 < x ≤ −1

x si − 1 < x < 1

x− 1 si 1 ≤ x ≤ 2

.

Gra�quen la función y comprueben que no es continua ni en −1 ni en 1.Analicen la continuidad (por izquierda) de la función en x = 2.¾Si la función tuviera su dominio en el intervalo [1, 2] solamente, se podría decir que la función escontinua en todo su dominio?

Ejercicio 2.5.9. Analicemos dónde es continua la función h(x) = cot

(1

x

).

Llamando u = f(x) = 1/x y g(u) = cotu =cosu

senu, comprobar que f(x) es continua si x 6= 0 y

que g(u) es continua si u 6= kπ, donde k ∈ Z.Luego, a partir de la propiedad anterior concluir que g ◦ f es continua si x 6= 0 y x 6= 1

kπ , conk ∈ Z,k 6= 0

CLASE 2.6. LÍMITES PARA LA VARIABLE TENDIENDO INFINITO 106

Clase 2.6. Límites para la variable tendiendo in�nito

Contenidos de la clase: Límites para x→ ±∞. Cálculo intuitivo, por reglas y por de�nición.Asíntotas horizontales.

Consideremos el siguiente problema:

Actividad 2.6.1. Nivel de oxígeno en un estanque: Supongamos que h(t) mide el nivel de oxígenoen un estanque de modo que h(t) = 1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mideen semanas. Cuando comienza el experimento (t = 0) se vierten residuos orgánicos en el estanque y,con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser

h(t) = 1− t

t2 + 1.

Les proponemos las siguientes actividades:

1. La función g(t) = 100h(t) representa el porcentaje del nivel normal de oxígeno del estanqueen función del tiempo. Completen una tabla de valores para calcular qué porcentaje del nivelnormal de oxígeno hay en el estanque al comienzo del experimento, 1 semana, 2, 10 y 100semanas después.

2. Gra�quen (en una computadora) la función porcentaje para ayudarse con las siguientes pregun-tas:a) ¾Cuántas semanas deberán pasar para que en el estanque haya un 80% del nivel normal de

oxígeno? Y para que haya un 90%?b) ¾Qué ocurrirá con el porcentaje de nivel normal de oxígeno cuando t sea más y más grande?

Piensan que en algún momento se volverá al nivel normal?c) Si no se recupera nunca el nivel normal de oxígeno, ¾cuánto tiempo estiman que deberá

pasar para tener por lo menos un 99, 9% del porcentaje normal de oxígeno? Intenten daruna respuesta numérica aproximada.

Actividad 2.6.2. Consideremos la función f(x) = −2

x. Les proponemos que la gra�quen y res-

pondan las siguientes cuestiones:

1. ¾Podrían elegir un punto x para que la distancia entre la grá�ca de f(x) y el eje x sea 0.1? Ypara que sea 0.01?

2. Calculen f(100). ¾Es cierto que si x > 100, entonces |f(x)| < 0.02?3. Ubiquen sobre la grá�ca la recta horizontal y = −0.001. ¾Es cierto que existe un valor de x a

partir del cual la grá�ca de f(x) se encuentra encerrada entre el eje x (es decir y = 0) y la rectay = −0.001?

4. ¾Qué parece ocurrir con la grá�ca cuando x crece más y más?

2.6.1. Límite �nito para x→ +∞

Las dos actividades previas analizan el comportamiento de la grá�ca de cierta función f(x) cuandolos valores de x en el dominio crecen cada vez más. Esto se conoce como el estudio de la función cuandox tiende a más in�nito.

De los puntos (x, f(x)) pertenecientes a la grá�ca de la función y = f(x), estamos interesados enaquellos correspondientes a valores de x cada vez más grandes. El comportamiento de distintas funcionespuede ser muy diverso: la grá�ca puede crecer, decrecer, oscilar, etc. En el caso especial en que dichosvalores se estabilizan cerca de algún número real L, decimos que la función tiene límite para x tendiendo


a más in�nito, y que el límite vale L. El grá�co siguiente ilustra en general la situación que vimos en lasactividades 2.6.1 y 2.6.2 .

Definición 2.6.3. (informal) Sea f(x) una función de�nida en un intervalo (a,+∞). Escribimos

limx→+∞

f(x) = L

que se lee: �el límite de f(x), cuando x tiende a más in�nito, es igual a L� cuando los valores def(x) se mantienen tan cercanos como se quiera a un valor L, bajo la condición de tomar valores dex su�cientemente grandes.

La palabra tiende es clave para describir un límite: signi�ca que la variable x no está �ja sino quese mueve hacia cierto lugar. También signi�ca que x no llega a ese lugar: no hay un último valor de xque podamos considerar. Cuando x tiende a más in�nito, x se mueve hacia la derecha y sabemos que nohay un último número real. Nos interesa x grande, pero cada vez que se tome un valor de x bien grande,queda la posibilidad de tomar otros valores de x todavía más grandes.

Los valores de la función f(x) cambian cuando la variable x se mueve a la derecha. Cuando existe ellímite para x tendiendo a más in�nito, también se dice que f(x) tiende a L.

Observación 2.6.4. Al decir limx→+∞ f(x) = L estamos dando dos informaciones: por un lado queel límite existe, es decir que la función se estabiliza, y por el otro cuánto vale dicho límite.

Propiedad 2.6.5. Cuando el limx→+∞ f(x) existe, es único. Es decir, una función no puedeestabilizarse en dos valores de límite distintos.

Para las dos actividades previas, podemos escribir

limt→+∞

g(t) = 100, es decir que el nivel de oxígeno se acerca al nivel normal cuando el tiempo t crece

más y más, pero no lo alcanza nunca.

limx→+∞

f(x) = 0, es decir, la grá�ca de la función se acerca al eje x tanto como se quiera, aunque

no lo toque nunca.

Grá�camente, vemos que cuando limx→+∞

f(x) = L, la grá�ca de la función se estabiliza cerca de la grá�ca

de la recta horizontal y = L cuando x crece más y más (podríamos decir mirando a la derecha de lagrá�ca). Hay muchas maneras de estabilizarse. Las siguientes grá�cas muestran distintas posibilidades.


En los dos primeros grá�cos el valor de la función se acerca a L cuando x crece, en un caso por debajoy en el otro por arriba, sin llegar nunca a valer L. En el tercer grá�co vemos que en algunos tramos elvalor de la función se acerca a L, pasa por L y luego se aleja pero menos que antes; en todos los casoses correcto decir que los valores de la función se mantienen cada vez más cerca de L (como se lee en lade�nición).

2.6.2. Límite �nito para x→ −∞

La misma situación se puede explorar cuando x se hace muy grande negativamente.7 En este casodecimos que x tiende a menos in�nito o a in�nito negativamente, y anotamos x → −∞. Si la grá�ca deuna función f(x) se estabiliza cerca de un valor L cuando x crece más y más negativamente (podríamosdecir mirando a la izquierda de la grá�ca) decimos que existe el límite de f(x) para x tendiendo a −∞.La de�nición, similar a la 2.6.3, es la siguiente:

Definición 2.6.6. (informal) Sea f(x) una función de�nida en un intervalo (−∞, a). Escribimos

limx→−∞

f(x) = L

que se lee: �el límite de f(x), cuando x tiende a menos in�nito, es igual a L� cuando los valores def(x) se mantienen tan cercanos como se quiera a un valor L, bajo la condición de tomar valores dex su�cientemente grandes y negativos.

Actividad 2.6.7. Para las funciones g(t) = 100

(1− t

t2 + 1

)y f(x) = −2

x, de�nidas ahora en todo

su dominio natural, ¾qué valores propondrían para el límite cuando t (ó x) tiende a −∞? Compruebensu a�rmación mediante un tabla de valores y a partir de la grá�ca.

2.6.3. Cuando el límite no existe: límites in�nitos y comportamiento oscilante

Actividad 2.6.8. En otros casos puede ser que no exista el límite para x → +∞. Consideren lasgrá�cas siguientes:

7Decimos que un número x es grande y negativo cuando |x| es grande, con x < 0. Grá�camente, x se encuentra bien a

la izquierda del eje real. Noten que un número grande y negativo se resulta menor que uno pequeño y negativo, por estar

más a la izquierda.


¾Podrían decir si el límite cuando x → +∞ existe? Den un razonamiento a sus respuestas dis-cutiendo si se cumple o no la de�nición 2.6.3.

Podemos ver que la situación de estas funciones cuando x crece más y más es diferente a las anteriores.En el primer caso, se observa del grá�co que f(x) toma repetidamente un rango de valores sin estabilizarsealrededor de ningún valor de�nido. En esta caso, decimos que el límite no existe porque la función oscila.

En el segundo caso, se observa que los valores de f(x) crecen más y más. Si bien el límite no existe,hay una forma de indicar que la función toma valores arbitrariamente grandes: se dice que el límite noexiste porque la función tiende a más in�nito.

Ya hemos visto estos comportamientos cuando x tiende a x0 �nito. Ahora, cuando x tiende a ±∞,estos comportamientos son mucho más frecuentes.

Definición 2.6.9. Dada una función f(x), de�nida en un intervalo (a,+∞), decimos que

limx→+∞

f(x) = +∞

cuando los valores de f(x) se mantienen tan grandes como se quiera, bajo la condición de tomarvalores de x su�cientemente grandes

Observación 2.6.10. Hay que destacar que +∞ no es un número, y que la igualdad en estade�nición es simbólica. Al anotar limx→+∞ f(x) = +∞ que el límite no existe (en el sentido que lafunción no se estabiliza) pero que además informamos cómo se comporta la función cuando x crece.Podríamos decir que el límite "no existe pero sabemos que la función tiende a más in�nito"8. Usualmentese lee "el límite de f(x), cuando x tiende a más in�nito, es más in�nito".

Actividad 2.6.11. Construyan las de�niciones correspondientes a limx→+∞

f(x) = −∞,

limx→−∞

f(x) = +∞ y limx→−∞

f(x) = −∞ e ilustren grá�camente las distintas situaciones.

El límite para x tendiendo a −∞ es algo totalmente distinto que el límite para x tendiendo a +∞.Deben estudiarlos por separado. Según la función que analicen, podría ocurrir que uno exista y el otrono, o que existan los dos pero sean distintos, o que existan los dos y sean iguales.

2.6.4. Asíntotas horizontales

Cuando existe el límite limx→+∞

f(x) = L, la grá�ca de la función se mantiene cerca de la recta horizontal

y = L cuando x crece más y más positivamente, hacia la derecha. A dicha recta se la llama asíntotahorizontal derecha.


Cuando existe el límite limx→−∞

f(x) = M , la grá�ca de la función semantiene cerca de la recta horizontal

y = M cuando x crece más y más negativamente, hacia la izquierda. A dicha recta se la llama asíntotahorizontal izquierda.

Más generalmente, a cualquiera de ellas se las llama asíntota horizontal.

Definición 2.6.12. La recta y = l se llama asíntota horizontal de la grá�ca de y = f(x) si

limx→+∞

f(x) = l o limx→−∞

f(x) = l

Conviene indicar en cada caso si la asíntota horizontal funciona por derecha, por izquierda o por amboslados.

Actividad 2.6.13.

1. Analicen las grá�cas propuestas desde el comienzo de esta clase. ¾Alguna posee asíntota hori-zontal?

2. Consideremos la siguiente grá�ca

¾Posee alguna asíntota horizontal? ¾De qué lado? Justi�quen su respuesta.

2.6.5. Cuando los límites son evidentes

En lo que va de esta clase hemos hablado de límites para x → ±∞ en base a grá�cos (usaremos laexpresión x → ±∞ para referirnos abreviadamente a los límites para x → +∞ y para x → −∞). Sinembargo, un grá�co muestra solamente una ventana de la grá�ca completa de la función. ¾Hay algunaforma directa de calcular un límite haciendo una cuenta?

Tomemos el caso limx→+∞ f(x). Para asegurar la existencia del límite nunca será su�ciente tomar unvalor grande de x y evaluar f(x). Tampoco será su�ciente tomar una tabla con muchos valores de x. Enverdad, tampoco será su�ciente un grá�co ya que veremos sólo un intervalo del eje real. El límite no sepuede calcular evaluando la función, con estas técnicas sólo se puede intuir la existencia y el valor dellímite.

Lo que tenemos que hacer es: mirando la fórmula de una función f(x), debemos preguntarnos quépasará cuando x sea cada vez más grande y descubrir la respuesta. En algunos casos será bastante evidentey en otros casos puede ser muy complicado. Es importante que reconozcan los límites de las funcionesbásicas que repasamos en la Unidad 1. Aceptaremos como correctos esos límites evidentes de funcionesbásicas9.

Actividad 2.6.14. A partir de la grá�ca de la función exponencial, analizar si existen limx→−∞

ex y

limx→+∞

ex. ¾Posee esta función alguna asíntota horizontal? Si la respuesta es a�rmativa, ¾describe el

comportamiento a derecha o a izquierda?

9Se pueden probar trabajando con la de�nición de límite, pero no lo haremos en este curso.


Cuando consideren una función más elaborada, expresada con operaciones entre funciones básicas(como suma, producto, cociente, composición), empiecen por explorar cada función que sencilla que apareceen la expresión. En el resto de la clase veremos reglas prácticas que permitan determinar la existenciay valor de algunos límites elaborados, siempre a partir de los límites que reconozcamos en funciones mássencillas.

2.6.6. Algebra de límites �nitos, cuando x→ ±∞

Se pueden aplicar las técnicas 2.3.7, aprendidas para x → x0, al cálculo de límites cuando x → ±∞.Los enunciados son similares:

Propiedad 2.6.15. Supongamos que limx→+∞

f(x) y limx→+∞

g(x) existen y son �nitos, y sea k una

constante real. Entonces

1. existe limx→+∞

(f(x) + g(x)) = limx→+∞

f(x) + limx→+∞

g(x)


(kf(x)) = k limx→+∞

f(x)


(f(x).g(x)) = limx→+∞

f(x) · limx→+∞

g(x)

4. si limx→+∞

g(x) 6= 0, existe limx→+∞

(f(x)

g(x)

)=

limx→+∞ f(x)

limx→+∞ g(x)

En cada caso, deben calcular primero los límites de f(x) y g(x) por separado. Si existen, y son �nitos,la expresión de la derecha les dice cuál es el resultado de los límites planteados.Reglas similares valen para x→ −∞.

Ejemplo 2.6.16. Calculemos limx→−∞ (1− ex)

(2− 1

x

)Inspeccionamos cada función que interviene:

limx→−∞ ex = 0 (porque conocemos el grá�co de y = ex)

limx→−∞ 1 = 1 (porque conocemos el grá�co de una función constante)luego limx→−∞ (1− ex) = 1

limx→−∞1

x= 0 (porque conocemos el grá�co de y =

1

x)

limx→−∞ 2 = 2 (porque conocemos el grá�co de una función constante)

luego limx→−∞

(2− 1

x

)= 2

luego limx→−∞ (1− ex)

(2− 1

x

)= 1 ∗ 2 = 2

2.6.7. Algebra de límites in�nitos

Cuando analicemos el límite de una suma, o de un producto, o de un cociente, o de una funcióncompuesta, es posible que alguna de las funciones involucradas tienda a in�nito. Claramente no podemossumar, multiplicar o dividir in�nitos (no están en las tablas del colegio!). Sin embargo, en muchos casospodemos determinar fácilmente el comportamiento de la función completa (de la suma, del producto, delcociente, etc.). En otros casos no es tan fácil: si no salen a primera vista, se los llama casos indeterminados.Signi�ca que hay que trabajar un poco más para resolverlos.

Hagamos un rápido panorama de posibilidades, y dejemos los ejemplos para la práctica.


Cuando aparecen in�nitos en una suma

Consideren un límite de la forma limx→a (f(x) + g(x)), donde x → a puede representar a �nito oin�nito. Si:

limx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = L �nito, entonces lımx→a (f(x) + g(x)) = +∞limx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = +∞, entonces lımx→a (f(x) + g(x)) = +∞limx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = +∞, no podemos anticipar el resultado de lımx→a (f(x)− g(x)).Según las funciones en cuestión, podríamos obtener un límite �nito y no nulo, o bien cero, o bien±∞. Intuitivamente, se trata de ver cuál in�nito es más "importante". Se trata de un caso inde-terminado, y se recomienda operar para reescribir la resta, antes de calcular el límite.

Cuando aparecen in�nitos o ceros en un producto

Consideren un límite de la forma lımx→a (f(x) g(x)), donde x→ a puede representar a �nito o in�nito.Si:

limx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = L �nito y no nulo, entonces lımx→a (f(x) g(x)) = ±∞,dependiendo del signo de L.limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = ±∞, entonces lımx→a (f(x) g(x)) = ±∞, dependiendo delsigno de cada función.limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = 0, no podemos anticipar el resultado de lımx→a (f(x) g(x)).Según las funciones en cuestión, podríamos obtener un límite �nito y no nulo, o bien cero, o bien±∞. Intuitivamente, se trata de si es más "importante" el in�nito o el cero. Se trata de un casoindeterminado, y se recomienda operar para reescribir el producto, antes de calcular el límite.

Cuando aparecen in�nitos o ceros en un cociente

Consideren un límite de la forma lımx→a (f(x)/g(x)), donde x→ a puede representar a �nito o in�nito.Si:

limx→a f(x) = +∞ y limx→a g(x) = L �nito y no nulo, entonces lımx→a (f(x)/g(x)) = ±∞,dependiendo del signo de L.limx→a f(x) = 0 y limx→a g(x) = ±∞, entonces lımx→a (f(x)/g(x)) = 0.limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = 0, entonces lımx→a (f(x)/g(x)) = ±∞, dependiendo del signode cada función.limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = ±∞, no podemos anticipar el resultado de lımx→a (f(x)/g(x)).Según las funciones en cuestión, podríamos obtener un límite �nito y no nulo, o bien cero, obien ±∞. Intuitivamente, se trata de si es más "importante" el in�nito del numerador o el deldenominador. Se trata de un caso indeterminado, y se recomienda operar para reescribir el cociente,antes de calcular el límite.

Este último caso indeterminado se conoce como "límite tipo∞∞

" y probablemente es el más frecuente

cuando estudiamos límites para x→ ±∞. Por eso vamos a discutir algunas recomendaciones: a estrategiapara resolverlos es reescribir las funciones del numerador y/o del denominador para poder hacer alguna

simpli�cación. Si lo logramos, y las nuevas expresiones ya no son del tipo "∞∞

", se dice que salvamos la

indeterminación.

Ejemplo 2.6.17. Un caso importante es el de cocientes de polinomios. Vamos a calcular como

ejemplo el lımx→+∞x2 + 1

x− 1.


Explorando los límites del numerador y del denominador cuando x→ +∞, vemos que los dos dan+∞. Luego el límite del cociente es indeterminado.

1. En estos casos conviene sacar de factor común la mayor potencia de x, en el numerador y en eldenominador:

x2 + 1

x− 1=x2(1 + 1/x2

)x (1− 1/x))

No hay problema en dividir por x porque nos interesa x 6= 0 (de hecho, x bien grande).2. Luego se puede simpli�car

x2 + 1

x− 1= x

[1 + 1/x2

1− 1/x

]con lo cual reescribimos el cociente original como un producto.

3. Como el primer factor tiende a +∞ y el segundo factor tiende a 1 (háganlo con cuidado, conlas reglas que ya vimos), podemos a�rmar que

lımx→+∞

x2 + 1

x− 1= +∞

Gra�quen f(x) =x2 + 1

x− 1y veri�quen el resultado.

Un límite tipo "∞/∞" especial: lımx→+∞ex

x

El límite lımx→+∞ex

xaparece con frecuencia en modelos aplicados. Una inspección basta para ver que

tanto el numerador como el denominador tienden a +∞: el límite es indeterminado del tipo "∞∞

", pero no

podemos simpli�car (½las propiedades de ex no permiten extraer un x de factor común!). Se puede estudiareste límite de varias maneras, pero todavía no estamos preparados para eso. Mientras tanto, veamos elresultado en un grá�co:

El grá�co sugiere que la funciónex

xtoma valores arbitrariamente grandes cuando x → +∞. Este

resultado es correcto, y lo demostraremos analíticamente más adelante.

Recuerden a partir de este ejercicio que

lımx→+∞

ex

x= +∞


2.6.8. Límite de funciones compuestas cuando intervienen in�nitos

Hemos visto cómo proceder con el límite de funciones compuestas, de la forma lımx→a g(u(x)), cuandolımx→a u(x) = b es �nito, y cuando lımu→b g(u) también es �nito, en el teorema 2.3.14.

Este resultado se puede extender a casos donde lımx→a u(x) = ±∞. También se puede extender acasos donde lımu→b g(u) = ±∞. Lo podemos enunciar en forma extendida re�riéndonos al lımx→a g(u(x))como sigue:

Teorema 2.6.18. Sean u y g dos funciones que veri�can que Imu ⊂ Dom f .Si

1. lımx→a

u(x) = b donde a es un símbolo que puede representar un número �nito, +∞ o −∞, y b

es un símbolo que puede representar +∞ o −∞,2. lımu→b f(u) = c, donde c es un símbolo que puede representar un número �nito, +∞ o −∞,

entonces

lımx→a

g(u(x)) = lımu→b

g(u)

donde la igualdad es simbólica, indicando que si el lado derecho es un límite in�nito, el lado izquierdotambién lo es ( o que si el lado derecho es un límite �nito, el lado izquierdo también es �nito y da elmismo número).

En el caso en que lımx→a

u(x) = b sea un número �nito, si además del punto 2. se veri�ca que g(u) es

continua en u = b, entonceslımx→a

g(u(x)) = lımu→b

g(u)

Ejemplos donde b es +∞ o −∞ se discuten en la siguiente actividad.

Actividad 2.6.19.

1. Recordando la grá�ca de 1/x, comprobar que es cierto que u = 1/x veri�caa) u→ 0+ cuando x→ +∞b) u→ 0− cuando x→ −∞c) u→ +∞ cuando x→ 0+

d) u→ −∞ cuando x→ 0−

2. Haciendo el cambio u = 1/x, calcular los siguientes límites:

a) lımx→+∞

x

x+ 1; b) lım

x→+∞

x+ 1

x2 − 33. Supongamos que lım

u→0+f(u) = c (c �nito o in�nito). Calcular lım

x→+∞f(1/x). Sugerencia: llamar

u = 1/x y utilizar el inciso anterior).4. Supongamos ahora que lım

u→+∞f(u) = c (c �nito o in�nito). Calcular lım

x→0+f(1/x). Sugerencia:

volver a llamar llamar u = 1/x.5. ¾Podrían sugerir un mecanismo para convertir un límite lım

x→−∞f(x) en otro donde la variable

u→ 0−?

En muchos cálculos de límite será útil recordar las propiedades de la sustitución u = 1/x.

2.6.9. Discusión de algunos límites indeterminados

Ahora, miremos los siguientes límites:


lımx→0

(1

x2− 2

x4

). Cada término tiende a +∞, pero NO TIENE SENTIDO restar +∞−∞. Pero

además, no podemos anticipar qué pasa cuando restamos dos cantidades muy grandes (es decir,cuál término domina en la resta). Se dice que es un "límite tipo in�nito menos in�nito".

lımx→+∞

x− 1

x2. Tanto numerador como denominador tienden a +∞, pero NO TIENE SENTIDO

dividir+∞+∞

. Y tampoco podemos anticipar qué pasa cuando dividimos dos cantidades muy

grandes (es decir, cuál término domina en el cociente). Se dice que es un "límite tipo in�nito sobrein�nito".

lımx→+∞

e−x(x2 + 1

). Tenemos un producto donde el primer factor tiende a 0 y el segundo factor

tiende a +∞. NO TIENE SENTIDO multiplicar 0 · ∞. Y tampoco podemos anticipar qué pasacuando multiplicamos una cantidad muy pequeña por una muy grande (es decir, cuál factor dominaen el producto). Se dice que es un "límite tipo cero por in�nito".

En estos tipos de límite no se puede aplicar las reglas (o, como también se dice, el álgebra de límites)ni se puede intuir fácilmente el resultado. Es decir, son límites indeterminados. Según las funciones queestén en juego, estos límites pueden dar 0, ±∞, o un número real no nulo.

En cada caso trataremos de operar con la expresión para reescribirla como otra equivalente, en la quese puedan aplicar reglas. Si lo logramos se dice que salvamos la indeterminación.

A nivel intuitivo, y en lenguaje informal, podemos decir que hay una competencia entre expresionesque tienden a in�nito. Cuando no podemos salvar la indeterminación algebraicamente queda la opción dedescubrir cuál de la expresiones tiende más rápido a in�nito y domina la competencia. Este análisis sellama comparación de órdenes de magnitud.

Actividad 2.6.20. Proponemos estudiar los límites planteados más arriba. Para reescribir las ex-presiones indeterminadas, suele haber varias formas de encararlos. Damos más de una sugerencia paraque vayan descubriendo distintos modos de trabajo.

Para lımx→0

(1

x2− 2

x4

),

1. realicen la resta de las fracciones y luego tomen límite.

2. propongan el cambio de variable u =1

x2,

a) factoricen la expresión y luego tomen límite.b) saquen factor común la mayor potencia (en este caso u2) y luego tomen límite.

Para lımx→+∞

x− 1

x2,

1. saquen factor común la mayor potencia del numerador, simpli�quen y luego tomen límite.2. distribuyan el cociente, simpli�quen y luego tomen límite.

3. �nalmente, propongan la sustitución u =1

x.

El tercer caso no se puede resolver algebraicamente. Por ahora lo dejamos como ejemplo: pode-mos encontrarnos con límites indeterminados que necesitan el auxilio de expertos! En la segundaparte del curso volveremos sobre este tipo de límites. Por ahora, les sugerimos que gra�quencon computadora para convencerse de que el límite existe, lım

x→+∞e−x

(x2 + 1

)= 0.

En general, la manera de trabajar límites indeterminados del "tipo in�nito menos in�nito" (enfaticemosuna vez más que esta no es una operación entre números, solamente estamos indicando la suma de dosfunciones, una de las cuales tiende a +∞ y la otra a −∞) es desarrollar la resta y escribir la expresión


como una multiplicación. Esto es especialmente válido para límites de polinomios cuando la variable tiendea ±∞. Veamos algunos ejemplos.

Actividad 2.6.21. La sugerencia, en todos los casos, es sacar factor común la mayor potencia dex para analizar luego el producto obtenido.

Calculemos los siguientes límites:

1. lımx→+∞

x3 − 3x+ 1 = lımx→+∞

x3(

1− 3

x2+

1

x3

)= +∞ : porque x3 → +∞ y la expresión entre

paréntesis tiende a 1.

2. lımx→+∞

2− x2 − 3x = lımx→+∞

x2(

2

x2− 1− 3

x

)= −∞ : porque x2 → +∞ y la expresión entre

paréntesis tiende a −1.

3. lımx→−∞

x3 − 3x+ 1 = lımx→−∞

x3(

1− 3

x2+

1

x3

)= −∞ : porque x3 → −∞ y la expresión entre

paréntesis tiende a 1.

4. lımx→−∞

2− x2 − 3x = lımx→−∞

x2(

2

x2− 1− 3

x

)= −∞ : porque x2 → +∞ y la expresión entre

paréntesis tiende a −1.

La técnica de factorear la potencia más alta de x nos permite estudiar también algunos límites inde-terminados del "tipo in�nito sobre in�nito" .

2.6.10. De�nición formal de límite cuando x→ +∞Dar una de�nición formal de límite para x→ +∞ signi�ca darle un sentido preciso a las frases �f(x)

es tan grande como se quiera� , �f(x) está tan cerca de L como se quiera� , �x es su�cientemente grande�,etc., con las que hemos presentado en forma intuitiva pero informal el límite, tal como lo hemos hechoantes para el caso x→ x0.

Para no dejarlos con la ansiedad de conocer las de�niciones más rigurosas, les presentamos dos enuncia-dos. En la clase 2.7 presentamos algunas actividades para mostrarle cómo se trabaja con estas de�niciones.

Definición 2.6.22. Límite para x→ +∞, con resultado +∞

Sea f(x), de�nida al menos en un intervalo de la forma (a,+∞).Se dice que

lımx→+∞

f(x) = +∞

si y solo si para cada M > 0 existe un valor R > 0 tal que

x > R⇒ f(x) > M

Definición 2.6.23. Límite para x→ +∞, con resultado �nito

Sea f(x), de�nida al menos en un intervalo de la forma (a,+∞).Se dice que

lımx→+∞

f(x) = L

si y solo si para cada ε > 0 existe un valor R > 0 tal que

x > R⇒ |f(x)− L| < ε



Ejercicio 2.6.1. Para la función cuyas grá�cas se presentan, analicen si existen los límites en +∞ yen −∞ y, si corresponde, den las ecuaciones de las asíntotas horizontales.

Ejercicio 2.6.2. A partir de los grá�cos ya conocidos, evalúen la existencia de los siguientes límites:

1. lımx→+∞ x2 y lımx→−∞ x

2

2. lımx→+∞ 1/x y lımx→−∞ 1/x

3. lımx→+∞ x3 y lımx→−∞ x

3

4. lımx→+∞ cosx y lımx→−∞ cosxSi los límites existen, den la ecuación de la correspondiente asíntota horizontal. Si no existen,indiquen si son in�nitos u oscilantes.

Ejercicio 2.6.3. Propongan grá�cas de funciones que veri�quen:

1. lımx→−∞

f(x) = lımx→+∞

f(x) = 2; f(0) = 0.

2. lımx→−∞

f(x) = +∞; lımx→+∞

f(x) = 2; f(0) = 0.

3. No exista lımx→−∞

f(x); lımx→+∞

f(x) = 2; f(0) = 0.

4. lımx→−∞

f(x) = 1; f(0) = 0; f sea impar.

Ejercicio 2.6.4. Estos ejercicios son un entrenamiento para intuir la existencia y valor de algunoslímites, a partir de las funciones básicas que intervienen. Recomendamos pensarlos resolverlos por explo-ración analítica y luego veri�car sus resultados gra�cando en computadora.

Determinen los límites de f(x) cuando x→ +∞ y cuando x→ −∞ en los siguientes casos:

1. f(x) = x3 + x2. f(x) = (3− x)(1 + x)2 Sugerencia: pensar en cada factor y en el signo del producto.3. f(x) = x3 − x Sugerencia: factorizar y pensar en el signo del producto.

4. f(x) = x4+2x4

Sugerencia: factorizar x4 en el numerador y simpli�car.

Ejercicio 2.6.5. Calculen

1. lımx→+∞

−2x3 − 3x2; b) lımx→−∞

3x3 − 5x5 + 1.

2. Consideremos el polinomio p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, donde an 6= 0 (es el término que indica

el grado del polinomio). Calculen

lımx→−∞

p(x) y lımx→+∞

p(x),

analizando por separado los casos n par o impar, y an < 0 o an > 0.


Ejercicio 2.6.6. La sugerencia, en todos los casos, es sacar factor común la mayor potencia de x ,tanto en el numerador como en el denominador, simpli�car y analizar luego el producto (o el cociente)obtenido.

1. Damos primero algunos ejemplos:

a) lımx→+∞

2x3 − 2

3x2 − 2 + 5x= lım

x→+∞

x3(2− 2/x3

)x2 (3− 2/x2 + 5/x)

= lımx→+∞

x

(2− 2/x3

3− 2/x2 + 5/x

)= +∞;

porque x→ +∞ y la expresión entre paréntesis tiende a 2/3.

b) lımx→−∞

2x3 − 2

3x2 − 2 + 5x= lımx→−∞

x

(2− 2/x3

3− 2/x2 + 5/x

)= −∞: porque x→ −∞ y la expresión en-

tre paréntesis tiende a 2/3.2. Procediendo de la misma manera, calculen

a) lımx→±∞

−2x3 − 1

3x2 − 2 + 5x

b) lımx→±∞

−2x− 1

3x2 − 2x+ 5

c) lımx→±∞

−2x3 − 1

3x3 + 5x+ 6.

Ejercicio 2.6.7. Supongamos dos polinomios p(x) = a0+a1x+· · ·+anxn y q(x) = b0+b1x+· · ·+bmxm.

¾Pueden encontrar una regla para predecir el lımx→±∞

p(x)

q(x), según el grado de cada polinomio y el signo

de los coe�cientes principales?


Clase 2.7. Actividades de Integración

Contenidos de la clase: Límite cuando x→ ±∞. Asintotas horizontales. Continuidad y dis-continuidades. Cálculo aproximado de soluciones de una ecuación por el método dicotómico.


Límites

Ejercicio 2.7.1. Gra�quen una función que cumpla

1. lımx→−∞

f(x) = 2 y lımx→+∞

f(x) = −∞.

2. lımx→−∞

f(x) = 0 y tenga una asíntota horizontal y = 2 .

3. lımx→−∞

f(x) = 2 y no posea asíntota horizontal a derecha.

Ejercicio 2.7.2. La potencia de x que domina una expresión también se puede reconocer en raíces.Calcular los siguientes límites:

1. a) lımx→+∞

√x2 − x+ 1; b) lım

x→−∞

√x2 − x+ 1. Sugerencia: sacar factor común la mayor poten-

cia. ATENCION: recuerden que√x2 = |x|.

2. a) lımx→+∞

√3x2 − 1

x− 2x2 + 2; b) lım

x→−∞

√3x2 − 1

x− 2x2 + 2.

¾Pueden encontrar una regla para predecir estos límites, según las potencias involucradas?

Ejercicio 2.7.3.

1. Consideremos f(x) = x y g(x) = sen(1/x). Calculen lımx→+∞

f(x) y lımx→+∞

g(x).

2. Comprueben que lımx→+∞

f(x)g(x) es un límite "tipo ∞ por 0".

3. Para salvar la indeterminación, hagan la sustitución u = 1/x y reinterpreten el límite como el deun cociente. ¾Quedó reescrito como un límite conocido?

En muchos casos, los límites "tipo 0 por ∞" se pueden reescribir como límites "tipo 0 sobre 0" o "tipo ∞sobre ∞" para discutirlos desde otro punto de vista.

Ejercicio 2.7.4. Calcular los siguientes límites.

1. lımx→+∞

2

x+ 7− 1

x

2. lımx→+∞

x

x+ 1; lımx→−∞

x

x+ 1.

3. lımx→±∞

x+ 1

x2 − 3.

4. limx→±∞

3− x2

x+ 1.

Ejercicio 2.7.5. Usando que lımx→+∞ ex/x = +∞, y las de�niciones de funciones hiperbólicas,

calculen

lımx→+∞senh x

x

lımx→+∞coshx

x


Ejercicio 2.7.6. Sea la función h(x) =2x√x2 + 1

.

1. Cuando x es muy grande, x2 + 1 se parece bastante a x2. Usen esta observación para intuir a quése parece h(x) cuando x es muy grande.

2. Mediante una tabla de valores para x > 0 grandes, estimen el valor de lımx→+∞ h(x) y hallenla ecuación de la asíntota horizontal derecha (pueden usar GeoGebra para generar una tabla devalores, habilitando la Vista de Hoja de Cálculo; el uso es similar al de planillas Excel).

3. Gra�quen con computadora para veri�car el resultado obtenido.4. Comprueben que h(x) es una función impar y hallen la asíntota horizontal asociada a lım

x→−∞h(x).

Continuidad

Ejercicio 2.7.7. Aplicando las propiedades de funciones continuas, calculen los límites indicados.

a) lımx→3

3 +√x√

3 + x; b) lım

x→π/2sen (x+ cosx); c) lım

x→2ex

2−4.

Ejercicio 2.7.8.

1. A partir de la grá�ca de f , hallar los puntos donde es discontinua y explicar en cada caso por quélo es.

2. Determinar si en alguno de esos puntos la función es continua a derecha o a izquierda.3. Indicar en qué intervalos es continua.

Ejercicio 2.7.9. Hallar el dominio de las siguientes funciones y comprobar, utilizando las propiedadesque correspondan, que son continuas en todo su dominio.

a) f(x) =2x− 3x2

1− x2; b) g(t) = t2 +

√7− t; c) f(u) = ln (u+ 9); d) h(x) = cos

(5x2 + e2x

).

Ejercicio 2.7.10. Trazar la grá�ca de una función tal que:

1. sea continua en toda la recta salvo en x = 3, donde sea continua a izquierda pero no a derecha.


2. tenga una discontinuidad evitable en x = 3, una discontinuidad de salto en x = 4 y sea continuaen el resto de la recta.

Ejercicio 2.7.11. Supongamos que f y g son dos funciones continuas en todos los números realestales que f(3) = 5 y lım

x→3(2f(x)− g(x)) = 4. Calcular g(3), justi�cando los pasos realizados.

Ejercicio 2.7.12. Analizar si las siguientes funciones son continuas o discontinuas en el punto indi-cado. Gra�car las funciones para comprobar el resultado.

a) f(x) =

1

x− 1, si x 6= 1

2, si x = 1; a = 1 b) f(x) =

{ex, si x < 0

x2, si x ≥ 0; a = 0

Ejercicio 2.7.13. Analizar la continuidad de las siguientes funciones. En aquellos puntos donde seandiscontinuas, clasi�car el tipo de discontinuidad. Si se trata de una discontinuidad evitable, indicar el valorque debería ser asignado en ese punto para que resulte continua. Si se trata de una discontinuidad �nita,indicar el valor del salto.

a) f(x) =

{x2, si x < 1√x, si x > 1

; b) f(x) =

x+ 1, si x ≤ 0

2− x, si 0 < x < 3

(x− 2)2 , si x ≥ 3

;

c) f(x) =

x+ 1, si x ≤ 0

1/x, si 0 < x ≤ 13√

2− x, si x > 1

.

Ejercicio 2.7.14. El módulo de la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa m auna distancia r del centro del planeta es

F (r) =

GMmr

R3, si r < R

GMm

r2, si r ≥ R

,

donde M es la masa de la tierra, R es su radio y G es la constante gravitacional. ¾Es F una funcióncontinua de r?

Ejercicio 2.7.15. Comprobar que f es continua para x 6= 2 y hallar el valor adecuado de c para quela función f sea continua en toda la recta real

f(x) =

{cx2 + 2x, si x < 2

x3 − cx, si x ≥ 2.

Ejercicio 2.7.16. Comprobar que las siguientes funciones tienen una discontinuidad evitable en elpunto indicado, y determinar el valor que debería tener la función en el punto para ser continua.

a) f(x) =x4 − 1

x− 1; a = 1;

b) f(x) =x3 − x2 − 2x

x− 2; a = 2;


Ejercicio 2.7.17.

1. Comprobar que la función valor absoluto F (x) = |x| es continua en todas partes.2. Sea f una función continua sobre cierto intervalo. Comprobar que |f | también lo es.

Teorema del Valor Intermedio

Ejercicio 2.7.18. Supongamos que f es una función continua en [0, 1], excepto en x = 0.25, y quesabemos también que f(0) = 1 y que f(1) = 3. Gra�quen dos posibles ejemplos de funciones bajo esascondiciones: una que veri�que la conclusión del Teorema del Valor Intermedio, y otra que no lo haga, paraN = 2.

Ejercicio 2.7.19. Supongamos que f es una función continua en el intervalo [1, 5] tal que x = 1 yx = 4 son los únicos puntos del intervalo donde f(x) = 6. Si f(2) = 8, ¾podemos a�rmar que f(3) > 6?Gra�car la situación.

Ejercicio 2.7.20. Aplicando el Teorema del Valor Intermedio, comprueben que existe un número cpositivo tal que c2 = 2. (esta es una manera de demostrar la existencia del número

√2 dentro de los

reales.)

Intersección entre curvas. En general, encontrar la intersección entre las grá�cas de dos funcionesf(x) y g(x) signi�ca hallar un valor de x tal que f(x) = g(x). Es decir, se trata de hallar la raíz de laecuación f(x)− g(x) = 0. Claro que esta ecuación puede ser difícil o imposible de resolver despejando.

Una aplicación del Teorema del Valor Intermedio es el problema de asegurar la intersección entredos curvas. Aunque no podamos resolver la ecuación f(x) = g(x), podemos estudiar una nueva funciónh(x) = f(x)− g(x), ver si es continua, y aplicarle el teorema para localizar sus raíces.

Ejercicio 2.7.21.

Gra�quen en un mismo plano (por ejemplo con GeoGebra) las funciones f(x) = cosx y g(x) = x.Comprueben que las grá�cas se cortan una vez entre x = 0 y x = π/2.Para comprobar analíticamente que hay intersección entre las grá�cas habría que resolver laecuación cosx = x, que es bastante difícil (es una ecuación trascendente, no se resuelve pormétodos algebaicos).Para justi�car que hay solución, aunque no la calculen, proponemos:� consideren la función h(x) = cos (x)− x.� analicen por el Teorema del Valor Intermedio si existe x0, 0 < x0 < π/2, tal que cos (x0)−x0 =

0Para aproximar la solución, apliquen el método de bisección.

Ejercicio 2.7.22. Analizar si existe algún número que sea exactamente igual a su cubo más 1.Sugerencia: si x es el número buscado, plantear la ecuación que debe satisfacer y aplicar el Teorema

del Valor Intermedio.

Ejercicio 2.7.23. Comprueben que la ecuación siguiente tiene al menos una solución en el intervalo[0, 1] y aproximen su valor:

a) x3 − 3x+ 1 = 0


Ejercicio 2.7.24. Un monje tibetano sale de su monasterio a las 7.00 A.M. y emprende su caminohabitual hacia la cima de de la montaña, a donde llega a las 7.00 P.M. A la mañana siguiente inicia elregreso desde la cima por la misma ruta a las 7.00 A.M. y llega al monasterio a las 7.00 P.M. Medianteel Teorema del Valor Intermedio, demostrar que sin importar de qué manera lo haga, existe un punto delcamino por el cual el monje pasará a la misma hora en ambos días.

2.7.2. Discusión de las de�niciones de límite para x→ +∞Proponemos aquí dos actividades guiadas para descubrir cómo se construyen y se usan las de�niciones

de límite cuando x→ +∞ que hemos introducido en la clase anterior.

Actividad 2.7.1. Discutamos un caso en que lımx→+∞

f(x) = +∞:

1. Si estamos tomando límite cuando x → +∞, ¾se puede tomar x > 10? ¾Y x > 100? ¾Hay algúnimpedimento para pedir x > M , con M un número positivo cualquiera?

2. Supongamos f(x) = x2 − 1. Podemos comprobar que lımx→+∞

f(x) = +∞ (grá�camente o por una

tabla de valores). Esto quiere decir que f(x) puede ser tan grande como queramos, basta tomar xsu�cientemente grande.a) ¾Es posible encontrar que f(x) > 100 a partir de algún valor de x? (respuesta: debe ser

x >√

99). ¾Cómo debe ser x para que f(x) > 1000?b) Llamemos M a un número tan grande como quieran. Si pretendemos que f(x) > M , ¾cómo

debe ser x?

Si contestaron la última pregunta, pueden asegurar que f(x) se mantiene mayor que cualquier valor M ,con la condición de tomar x su�cientemente grande. Este es el contenido preciso de la de�nición de

lımx→+∞

f(x) = +∞ (de�nición 2.6.22).

Actividad 2.7.2. Veamos ahora un caso en que lımx→∞

f(x) =L, es decir, un resultado �nito.

Consideremos f(x) = 3 +1

x. Podemos comprobar que lım

x→∞f(x) =3 (grá�camente o por una tabla de

valores). Esto quiere decir que podemos hacer f(x) tan cercano a 3 como queramos, siempre que tomemosx su�cientemente grande.

Recordemos que la distancia entre f(x) y 3 se escribe como |f(x) − 3|. Si f(x) está muy cerca de 3,debemos escribir que |f(x)− 3| es muy pequeño.

1. Por ejemplo, ¾será posible encontrar que |f(x)−3| < 0.1 para x su�cientemente grande? Escribamosqué signi�ca:

|f(x)− 3| = |3 +1

x− 3| = |1

x|

Como x tiende a +∞, en particular será positivo. Entonces estamos buscando que

|1x| = 1

x< 0.1

y, despejando, podemos ver que

x >1

0.1= 10

En este caso, x su�cientemente grande signi�ca mayor que 10.2. ¾Es posible encontrar que |f(x)− 3| < 0.01 para x su�cientemente grande? ¾cómo deberá ser x?3. Llamemos ε (se lee "épsilon") a un número positivo tan pequeño como quieran. Si pedimos ahora

que |f(x)− 3| < ε , ¾cómo deberá ser x?

Si contestaron la última pregunta, pueden asegurar que la distancia entre f(x) y L = 3 se mantiene menorque cualquier valor ε, con la condición de tomar x su�cientemente grande. Este es el contenido preciso dela de�nición de lım

x→+∞f(x) = L (de�nición 2.6.23).


Ejercicio 2.7.25. Para visualizar un poco más cómo funciona la de�nición formal de límite,

1. Gra�quen en computadora la función f(x) = 3 +1

xestudiada en la Actividad 2.7.2.

2. Eligiendo ε = 0.1, 0.05, 0.01, gra�quen las rectas horizontales y = 3− ε e y = 3 + ε3. Veri�quen para cada ε que existe un valor R a partir del cual la grá�ca de f(x) se encuentra entre

las rectas y = 3 − ε e y = 3 + ε (probablemente tengan que correr la región que miran hacia laderecha).

4. Revisen la Actividad 2.7.2, intentando relacionar cada paso con lo que ven en los grá�cos.

Hasta ahora hemos aceptado grá�camente que las funciones trigonométricas, donde están de�nidas,son continuas. Vamos ahora a comprobar este hecho con más cuidado:

Desafío (para pensar más) 2.7.26.

Sobre la circunferencia trigonométrica (de radio R = 1), las coordenadas de un punto P quedetermina un ángulo α tendrán la forma P = (cosα, senα). Gra�car y hacer tender α a 0 paraveri�car que

lımα→0

cosα = 1 y lımα→0

senα = 0

Como cos 0 = 1 y sen0 = 0, esto prueba que las funciones seno y coseno son continuas en α = 0.Para probar que son continuas en todo x0 real: a partir de las fórmulas que describen el seno y elcoseno de una suma, y de los límites anteriores, comprobar que

lımx→x0

cosx = cosx0 y lımx→x0

senx = senx0

A partir de las de�niciones de tanx, cotx, secx, cscx como cocientes entre senos y cosenos,comprobar que estas funciones trigonométricas también son continuas en todo su dominio. Indicary clasi�car las discontinuidades de cada una de ellas.

Análisis Matemático I – CIBEX - UNLP

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