Análisis en Frecuenciaeespinosa/cap6.pdf · 2010-01-14 · Análisis en Frecuencia PLEV 2010 Una...

PLEV 2010PLEV 2010

Análisis en FrecuenciaAnálisis en FrecuenciaAnálisis en FrecuenciaAnálisis en FrecuenciaM.Sc. Javier A. Muñoz V. Eduardo E. Espinosa N.

Ingeniero Civil Electrónico Ingeniero Civil ElectrónicoIngeniero Civil Electrónico Ingeniero Civil Electró[email protected] [email protected]@udec.cl [email protected]

Javier Muñoz V.Universidad de Concepción Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.

Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica Eduardo Espinosa N.

PLEV 2010Análisis en FrecuenciaAnálisis en Frecuencia PLEV 2010Análisis en FrecuenciaAnálisis en Frecuencia

Una ventaja del enfoque de la respuesta en frecuencia es su aplicabilidad experimental, puesto

que las pruebas en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de

generadores de señales sinusoidales y un equipo de medición. Como resultado, se puede obtener

la F. de T. y/o M. de T. de sistemas en forma experimental independiente de la complejidad del

sistema. Además, este enfoque suele ser una poderosa herramienta en la etapa de diseño desistema. Además, este enfoque suele ser una poderosa herramienta en la etapa de diseño de

sistemas. .sistemas. .

Javier Muñoz V.- 2 -Universidad de Concepción Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.

- 2 -Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica Eduardo Espinosa N.


Hasta ahora todo el análisis se ha referido a S.L.I. en que la entrada no es una señal periódica.Hasta ahora todo el análisis se ha referido a S.L.I. en que la entrada no es una señal periódica.

Ahora quedan interrogantes tales como, ¿ qué señal aparece en la salida si se utiliza una entradaAhora quedan interrogantes tales como, ¿ qué señal aparece en la salida si se utiliza una entrada

sinusoidal ?. Por ejemplo, en el caso de tener un sistema con una F.de T. dada por h(s) = 1/(s + a),sinusoidal ?. Por ejemplo, en el caso de tener un sistema con una F.de T. dada por h(s) = 1/(s + a),

para una entrada sinusoidal u(t) = Asin(ωt) se tiene que la salida es,para una entrada sinusoidal u(t) = Asin(ωt) se tiene que la salida es,

( ) ( )( ) ( ) 1ω( ) ( )( ) ( )2 2

1y s L u t h s A

ωω

= =+ +

( ) ( )( ) ( )2 2

y s L u t h s As s aω

= =+ +

Por lo que la respuesta en el tiempo es,

s s aω+ +Por lo que la respuesta en el tiempo es,

( ) 1 11 1 s ay t L A L A A

ω ω ω− − − = = − ( ) 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 s ay t L A L A A

s s a a s a a s

ω ω ωω ω ω ω

− − − = = − + + + + + + ( )

2 2 2 2 2 2 2 2s s a a s a a sω ω ω ωω ω

+ + + + + +

( ) ( )at aA e A cos t sin t

ω ω ω ω− = − − ( ) ( )2 2 2 2

at aA e A cos t sin ta a

ω ω ω ωω ω ω

− = − − + + 2 2 2 2a aω ω ω

ω ω ω+ +

1atA e A sin t tanω ω ωω− − = + −

1

2 2 2 2

atA e A sin t tana a a

ω ω ωωω ω

− − = + − + +

Transiente

a a aω ω + +

Transiente Estacionaria




Se aprecia que la parte estacionaria de la salida es también una señal sinusoidal, pero deSe aprecia que la parte estacionaria de la salida es también una señal sinusoidal, pero de

amplitud y fase modificadas de acuerdo a la F. de T. del S.L.I.. Es decir, bastaría conocer la F. deamplitud y fase modificadas de acuerdo a la F. de T. del S.L.I.. Es decir, bastaría conocer la F. de

T. del sistema para predecir correctamente la amplitud y fase de la salida. Por otro lado, es sabidoT. del sistema para predecir correctamente la amplitud y fase de la salida. Por otro lado, es sabido

que una señal periódica arbitraria puede ser descompuesta en una sumatoria de señalesque una señal periódica arbitraria puede ser descompuesta en una sumatoria de señales

sinusoidales; por lo tanto, la salida de un S.L.I. a estas entradas será la sumatoria de la respuestasinusoidales; por lo tanto, la salida de un S.L.I. a estas entradas será la sumatoria de la respuesta

a cada sinusoidal, lo que puede ser abordado con el análisis en frecuencia. La salida del sistemaa cada sinusoidal, lo que puede ser abordado con el análisis en frecuencia. La salida del sistema

mostrado en la Fig. 6.18 se puede escribir como,mostrado en la Fig. 6.18 se puede escribir como,

∞

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t * u t h u t dτ τ τ∞

= = −∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t * u t h u t dτ τ τ−∞

= = −∫−∞∫

Fig. 6.18 Sistema S.L.I..Javier Muñoz V.- 4 -Universidad de Concepción

Fig. 6.18 Sistema S.L.I..Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.



donde h(t) es la respuesta impulso del S.L.I.. Considerando la entrada como u(t) = ejωt, quedonde h(t) es la respuesta impulso del S.L.I.. Considerando la entrada como u(t) = ejωt, que

corresponde a la base de generación de señales periódicas, en particular sinusoidales, se tienecorresponde a la base de generación de señales periódicas, en particular sinusoidales, se tiene

que, ∞ ∞ ∞que,( ) ( ) ( ) ( ) ( )j t j t j j t jy t h e d h e e d e h e d

ω τ ω ωτ ω ωττ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞

−= = =∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )y t h e d h e e d e h e dτ τ τ τ τ τ−∞ −∞ −∞

= = =∫ ∫ ∫−∞ −∞ −∞

donde el término integral corresponde a la T.F. de la respuesta a impulso del sistema; es decir,donde el término integral corresponde a la T.F. de la respuesta a impulso del sistema; es decir,

( ) ( ) jh h e dωτω τ τ∞

= ∫( ) ( ) jh h e dωτω τ τ= ∫( ) ( )−∞∫

luego, la señal de salida queda como, luego, la señal de salida queda como,

( ) ( ) j ty t h e ωω=( ) ( ) j ty t h e ωω=

donde se ve claramente que la señal periódica de entrada, ejωt, se ve reflejada en la salida comodonde se ve claramente que la señal periódica de entrada, e , se ve reflejada en la salida como

una señal de igual frecuencia a la señal de entrada, pero atenuada /amplificada yuna señal de igual frecuencia a la señal de entrada, pero atenuada /amplificada y

adelantada/retrasada en el factor h(ω). Nótese que h(ω) es una propiedad del sistema y es un

número complejo, el cual se puede representar en un plano complejo o en módulo y ángulo.número complejo, el cual se puede representar en un plano complejo o en módulo y ángulo.

Recordar que para obtener la T.F. de una señal se puede reemplazar s por jω en su T.L. bilateral.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode

El Diagrama de Bode es la gráfica de la T.F. de un sistema como se aprecia de la definiciónEl Diagrama de Bode es la gráfica de la T.F. de un sistema como se aprecia de la definición

siguiente.siguiente.

Def.: El Diagrama de Bode (D. de B.) es el gráfico del módulo, en dB, y la fase, en grados, de unaDef.: El Diagrama de Bode (D. de B.) es el gráfico del módulo, en dB, y la fase, en grados, de una

F. de T. con s = jω en función de la frecuencia en base logarítmica.F. de T. con s = jω en función de la frecuencia en base logarítmica.

Una ventaja de utilizar el D. de B. en el análisis de sistemas lineales, es que la multiplicaciónUna ventaja de utilizar el D. de B. en el análisis de sistemas lineales, es que la multiplicación

entre F. de T. se transforma en adición de magnitudes y fases, de los Bode respectivos. Estoentre F. de T. se transforma en adición de magnitudes y fases, de los Bode respectivos. Esto

debido a que se consideran dBs.debido a que se consideran dBs.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeEjemplo 35

1Dibujar el D. de B. para la F. de T.Ejemplo 35

( ) 1h s =Dibujar el D. de B. para la F. de T. ( )h s

s=s

En este caso por lo que( ) 1h ,ω = ( ) ( )1

90h , y arg h ºω ω= = −En este caso por lo que( ) 1h ,

jω

ω= ( ) ( )1

90h , y arg h ºω ωω

= = −( )jω ω

Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log |h(ω)|=20 log (1/ω)=-20 log (ω)Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log |h(ω)|=20 log (1/ω)=-20 log (ω)




1Dibujar el D. de B. para la F. de T.Ejemplo 36

( ) 1h s =Dibujar el D. de B. para la F. de T. ( )h s

s a=

+s a+

En este caso por lo que( ) 1h ,ω = ( ) ( ) 1 ωω ω −= = −En este caso por lo que( ) 1h ,

j aω

ω=

+ ( ) ( ) 1

2 2

1h , y arg h tan

aa

ωω ωω

−= = −+

( )j aω + ( ) ( )

2 2h , y arg h tan

aa

ω ωω

= = −+

Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log |h(ω)|Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log |h(ω)|

1 2 2 2 2120 20 10log log a log aω ω

= − + = − + 2 2

20 20 10log log a log aa

ω ωω

= − + = − + + aω +



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Primer Orden

En el caso de tener un sistema con una F.de T. dada por h(s) = 1/(s + a), para una entradaSistemas de Primer Orden

En el caso de tener un sistema con una F.de T. dada por h(s) = 1/(s + a), para una entrada

sinusoidal u(t) = Asin(ωt) se encontró que la salida es,sinusoidal u(t) = Asin(ωt) se encontró que la salida es,

ω ω ω ( ) 1aty t A e A sin t tanω ω ωω− − = + − ( ) 1

2 2 2 2

aty t A e A sin t tana a a

ωω ω

− − = + − + +


a a aω ω+ +


Analizando el módulo y la fase de la respuesta estacionaria del sistema se tiene que,

i. Si la señal de entrada es de baja frecuencia, ω << a, la salida se atenúa en -20logadB y seretrasa en 0°.

ii. Si la señal de entrada es de alta frecuencia, ω >> a, la salida se atenúa en -20logωdB y seretrasa en 90°.

iii. si la señal de entrada es de frecuencia ω = a, la salida se atenúa en 20log1/(a√2)dB que esigual a -20loga - 10log2 dB = -20loga – 3.01 dB y se retrasa en 45°.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Primer OrdenSistemas de Primer Orden

El análisis anterior también puede derivarse del D. de B. del sistema, que se encuentra en la Fig.El análisis anterior también puede derivarse del D. de B. del sistema, que se encuentra en la Fig.

del ejemplo 36, para a = 10 (nótese que a es el polo del sistema). Es decir, teniendo el D. de B. dedel ejemplo 36, para a = 10 (nótese que a es el polo del sistema). Es decir, teniendo el D. de B. de

un sistema se puede predecir la atenuación/amplificación y/o el retraso/adelanto que se produciráun sistema se puede predecir la atenuación/amplificación y/o el retraso/adelanto que se producirá

a la salida de un S.L.I. para una entrada sinusoidal en S.S.. Asimismo, dado que una señala la salida de un S.L.I. para una entrada sinusoidal en S.S.. Asimismo, dado que una señal

periódica es la suma de un conjunto de sinusoidales, con la ayuda del D. de B. se podrá predecir laperiódica es la suma de un conjunto de sinusoidales, con la ayuda del D. de B. se podrá predecir la

salida para señales periódicas generales. Nótese también que el sistema tiene una magnitud quesalida para señales periódicas generales. Nótese también que el sistema tiene una magnitud que

cae 20 dB por década a partir de frecuencias superiores a a, lo que es idéntico al caso de la F. decae 20 dB por década a partir de frecuencias superiores a a, lo que es idéntico al caso de la F. de

T. dada por h(s) = 1/s. Esto se fundamenta en que la F. de T. dada por h(s) = 1/(s + a) tiene unaT. dada por h(s) = 1/s. Esto se fundamenta en que la F. de T. dada por h(s) = 1/(s + a) tiene una

T.F. dada por h(ω) = 1/(jω + a), por lo que para valores muy grandes de ω, el número complejo jωT.F. dada por h(ω) = 1/(jω + a), por lo que para valores muy grandes de ω, el número complejo jω

+ a tiende a jω por lo que h(ω) tiende más bien a 1/jω, que corresponde a la T.F. de la F. de T. dada+ a tiende a jω por lo que h(ω) tiende más bien a 1/jω, que corresponde a la T.F. de la F. de T. dada

por h(s) = 1/s.por h(s) = 1/s.




1Dibujar el D. de B. para la F. de T.

Ejemplo 37

( ) ( )1

h s =+

Dibujar el D. de B. para la F. de T. ( ) ( )h s

s s a=

+( )s s a+

En este caso por lo que( ) 1h ,ω = ( ) ( ) 1 ωω ω −= = − −En este caso por lo que( ) ( )

1h ,

j j aω

ω ω=

+ ( ) ( ) 1

2 2

190h , y arg h º tan

aa

ωω ωω ω

−= = − −+

( ) ( )j j aω ω + ( ) ( ) 2 2

90h , y arg h º tana

aω ω

ω ω= = − −

+Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log |h(ω)|Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log |h(ω)|

1 2 2120 20 10log log log aω ω

= − − + 2 2

20 20 10log log log aa

ω ωω ω

= − − + + aω ω +

El(la) módulo(fase) del D. de B. resultante es sin duda la suma de los(las) módulos(fases)El(la) módulo(fase) del D. de B. resultante es sin duda la suma de los(las) módulos(fases)

ilustrados en las figuras de los ejemplos 36 y 35.ilustrados en las figuras de los ejemplos 36 y 35.

El ejemplo anterior deja en evidencia que el D. de B de una F. de T. puede dibujarse por parte. EsEl ejemplo anterior deja en evidencia que el D. de B de una F. de T. puede dibujarse por parte. Es

decir, para cada polo y luego para cada cero, el D. de B. resultante es simplemente la suma dedecir, para cada polo y luego para cada cero, el D. de B. resultante es simplemente la suma de

cada uno de ellos.cada uno de ellos.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Segundo OrdenSistemas de Segundo Orden

El desafío es dibujar el D. de B. de un sistema de segundo orden, cuyo polinomio característicoEl desafío es dibujar el D. de B. de un sistema de segundo orden, cuyo polinomio característico

no puede reducirse al producto de dos raíces reales. En este caso la F. de T. a considerar es,no puede reducirse al producto de dos raíces reales. En este caso la F. de T. a considerar es,

( )2

nh s kω=( )

2 22

nh s ks s

ωξω ω

=+ +

( )2 22 n ns sξω ω+ +

Si ξ >1, el factor cuadrático se puede expresar como el producto de dos factores de primer ordenSi ξ >1, el factor cuadrático se puede expresar como el producto de dos factores de primer orden

con polos reales y se utilizan las reglas de construcción anteriores. Si este parámetro toma valorescon polos reales y se utilizan las reglas de construcción anteriores. Si este parámetro toma valores

0 < ξ < 1, el factor cuadrático no se puede reducir y se procede como explicado a continuación. Al0 < ξ < 1, el factor cuadrático no se puede reducir y se procede como explicado a continuación. Al

dividir la expresión por 2ωn , se obtiene,dividir la expresión por 2ωn , se obtiene,

( ) 1h s k=( )

( ) ( )22

1

2 1h s k

s sω ξ ω=

+ +( )

( ) ( )22 2 1n ns sω ξ ω+ +( ) ( )n n



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Segundo Orden

Por lo que su F.de T. es,

Sistemas de Segundo Orden

Por lo que su F.de T. es,

( ) 1 1( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1h k kω

ω ω ξ ω ω ω ω ξ ω ω= =

+ + − +( )

( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2n n n n

h k kj j j

ωω ω ξ ω ω ω ω ξ ω ω

= =+ + − +( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2n n n nj j jω ω ξ ω ω ω ω ξ ω ω+ + − +

El módulo del D. de B. resulta ser,El módulo del D. de B. resulta ser,

1 1( ) 1 1h k kω = =( )

( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2n n n n

h k kj j j

ωω ω ξ ω ω ω ω ξ ω ω

= =+ + − +( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2n n n nj j jω ω ξ ω ω ω ω ξ ω ω+ + − +

y la fase del D. de B es,( )ξ ω ω

y la fase del D. de B es,

( ) ( )12 nj

arg h tanξ ω ω

ω − = − ( ) ( )

( )1

2

2

1

njarg h tan

ξ ω ωω

ω ω− = −

− ( )1 nω ω−

El D. de B. para varias combinaciones de parámetros se muestran en la Fig. 6.19, todos losEl D. de B. para varias combinaciones de parámetros se muestran en la Fig. 6.19, todos los

cuales tienen una ganancia fija para bajas frecuencias y caen en 40 dB por década para altascuales tienen una ganancia fija para bajas frecuencias y caen en 40 dB por década para altas

frecuencias, siendo esta frecuencia umbral a en el sistema de primer orden (su polo) y ω en elfrecuencias, siendo esta frecuencia umbral a en el sistema de primer orden (su polo) y ωn en el

sistema de segundo orden (su frecuencia natural de oscilación).sistema de segundo orden (su frecuencia natural de oscilación).



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Segundo OrdenSistemas de Segundo Orden

Fig. 6.19 D. de B. de un sistema de segundo orden estándar.Javier Muñoz V.- 14 -Universidad de Concepción

Fig. 6.19 D. de B. de un sistema de segundo orden estándar.Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.



En los D. de B. anteriores es posible apreciar que los comportamientos asintóticos son fáciles deEn los D. de B. anteriores es posible apreciar que los comportamientos asintóticos son fáciles de

distinguir. Por ejemplo, sistemas de primer orden caen en 20 dB y los de segundo en 40 dB,distinguir. Por ejemplo, sistemas de primer orden caen en 20 dB y los de segundo en 40 dB,

después de la frecuencia característica de éstos. Este comportamiento asintótico se puededespués de la frecuencia característica de éstos. Este comportamiento asintótico se puede

generalizar como descrito a continuación, lo que permite construir un D. de B. aproximado engeneralizar como descrito a continuación, lo que permite construir un D. de B. aproximado en

forma rápida, que es conocido como el D. de B. Asintótico.forma rápida, que es conocido como el D. de B. Asintótico.

Diagrama de Bode AsintóticoDiagrama de Bode Asintótico

En general una década antes y una después de la frecuencia del polo se pueden utilizar losEn general una década antes y una después de la frecuencia del polo se pueden utilizar los

valores asintóticos. A continuación, se enuncian las reglas para la construcción del D. de B.valores asintóticos. A continuación, se enuncian las reglas para la construcción del D. de B.

asintótico para sistemas mínimos de fase. Para la introducción de reglas de construcción seasintótico para sistemas mínimos de fase. Para la introducción de reglas de construcción se

definen los sistemas tipo N.definen los sistemas tipo N.

Def.: Se definen los sistemas Tipo N como aquellos que tienen un polo de orden N en el origen yDef.: Se definen los sistemas Tipo N como aquellos que tienen un polo de orden N en el origen y

sistemas de Tipo -N a aquellos que tienen un cero de orden N en el origen.sistemas de Tipo -N a aquellos que tienen un cero de orden N en el origen.




A. Parte inicial del D. de B.A. Parte inicial del D. de B.

1Sistema Tipo 0. ( ) 1

h s =Sistema Tipo 0. ( )h ss a

=+s a+

- el módulo es 20logh(0) dB que es una recta horizontal,- el módulo es 20logh(0) dB que es una recta horizontal,- la fase es 0° que es una recta horizontal.- la fase es 0° que es una recta horizontal.

1Sistema Tipo N. ( ) 1

h s =Sistema Tipo N. ( ) h s

s=s

- el módulo es 20N dB/dec que es una recta con pendiente negativa,- el módulo es 20N dB/dec que es una recta con pendiente negativa,- la fase es 90° N que es una recta horizontal.- la fase es 90° N que es una recta horizontal.

( ) h s s=Sistema Tipo -N. ( ) h s s=Sistema Tipo -N. ( )- el módulo es 20N dB/dec que es una recta con pendiente positiva,- la fase es 90°N que es una recta horizontal.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeB. Modificación en polos y ceros a medida que ω aumentaB. Modificación en polos y ceros a medida que ω aumenta

( ) 1Un polo de orden r. ( )

( )21

h s =Un polo de orden r. ( )( )2

h ss a

=+( )s a+

- el módulo baja en 20r dB/dec a partir de ω = a,- el módulo baja en 20r dB/dec a partir de ω = a,- la fase baja en 90°r a partir de ω = a.- la fase baja en 90°r a partir de ω = a.

( ) ( )3h s s a= +( ) ( )3h s s a= +Un cero de orden r. ( ) ( )h s s a= +

- el módulo sube en 20r dB/dec a partir de ω = a,- el módulo sube en 20r dB/dec a partir de ω = a,- la fase sube en 90°r a partir de ω = a.- la fase sube en 90°r a partir de ω = a.

C. Polos y Ceros Complejos

1

C. Polos y Ceros Complejos

Un polo complejo . ( )( )

1h s k=Un polo complejo . ( )

( ) ( )22 2 1

h s ks sω ξ ω

=+ +( ) ( )2 2 1n ns sω ξ ω+ +

- el módulo baja en 40 dB/dec a partir de ω = ωn,- el módulo baja en 40 dB/dec a partir de ω = ωn,- la fase baja en 180° a partir de ω = ωn.- la fase baja en 180° a partir de ω = ωn.

Un cero complejo . ( ) ( ) ( )22 2 1h s s sω ξ ω= + +Un cero complejo . ( ) ( ) ( )22 2 1n nh s s sω ξ ω= + +

- el módulo sube en 40 dB/dec a partir de ω = ω ,

( )- el módulo sube en 40 dB/dec a partir de ω = ωn,- la fase sube en 180° a partir de ω = ω .- la fase sube en 180° a partir de ω = ωn.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeD. Corrección de MagnitudD. Corrección de Magnitud

El D. de B. asintótico hasta aquí descrito resulta en rectas bien definidas. Sin embargo, se sabeEl D. de B. asintótico hasta aquí descrito resulta en rectas bien definidas. Sin embargo, se sabe

que las curvas son suaves. Una forma de corregirlo es mejorando la aproximación en lasque las curvas son suaves. Una forma de corregirlo es mejorando la aproximación en las

frecuencias de los polos y/o ceros . En efecto, si hay un polo(cero) de orden r en una frecuenciafrecuencias de los polos y/o ceros . En efecto, si hay un polo(cero) de orden r en una frecuencia

ω , en esta frecuencia se agregan -3r(3r) dB a la curva de magnitud.ωp, en esta frecuencia se agregan -3r(3r) dB a la curva de magnitud.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeEjemplo 38Ejemplo 38

( ) 1Dibujar el D. de B. asintótico ( ) 1

h s =+

Dibujar el D. de B. asintótico ( )10

h ss

=+10s +

Dibujar el D. de B. asintóticoDibujar el D. de B. asintótico

ω( )2

110 1000 0 2ns

h s k , con k , , .ω ω ξ+= = = =( )

2 2

110 1000 0 2

10 2

nn

sh s k , con k , , .

s s s

ω ω ξξω ω

+= = = =+ + +2 210 2 n ns s sξω ω+ + +



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas con RetardoSistemas con Retardo

El retardo tiene el comportamiento equivalente a un sistema de fase no-mínima, aportando unEl retardo tiene el comportamiento equivalente a un sistema de fase no-mínima, aportando un

retraso excesivo a altas frecuencias. La T.L. de un retardo t es,retraso excesivo a altas frecuencias. La T.L. de un retardo td es,

dt se

−

por lo que la T.F. es,

depor lo que la T.F. es,

( ) ( )t j j te e cos t j sin t

ω ω ω ω− −= = −( ) ( )d dt j j t

d de e cos t j sin tω ω ω ω− −= = −

Por lo tanto, el módulo es unitario y la fase,

( ) ( )d de e cos t j sin tω ω= = −Por lo tanto, el módulo es unitario y la fase,

( ) ( ) ( )sin tω ( ) ( ) ( )( )

1 dsin targ cos t j sin t tan t

ωω ω ω− − = − = − ( ) ( ) ( )

( )1 d

d d darg cos t j sin t tan tcos t

ω ω ωω

− − = − = − ( )dcos tω

Por consiguiente, el retardo en un sistema sólo altera la característica de fase de su D. de B..Por consiguiente, el retardo en un sistema sólo altera la característica de fase de su D. de B..



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Fase No-MínimaSistemas de Fase No-Mínima

Los sistemas de fase no mínima son los que tienen ceros y/o polos en el S.P.D.. Para estos casosLos sistemas de fase no mínima son los que tienen ceros y/o polos en el S.P.D.. Para estos casos

el D. de B. también representa una alternativa de análisis en el dominio de la frecuencia.el D. de B. también representa una alternativa de análisis en el dominio de la frecuencia.

Lamentablemente, se encuentra que distintos sistemas tienen igual módulo en el D. de B. y por loLamentablemente, se encuentra que distintos sistemas tienen igual módulo en el D. de B. y por lo

tanto esta información es insuficiente para su análisis y por lo tanto debe utilizarse la informacióntanto esta información es insuficiente para su análisis y por lo tanto debe utilizarse la información

contenida en la fase. La evaluación de la fase de sistemas de fase no-mínima por medio decontenida en la fase. La evaluación de la fase de sistemas de fase no-mínima por medio de

softwares tradicionales debe realizarse cuidadosamente, puesto que pueden utilizar funcionessoftwares tradicionales debe realizarse cuidadosamente, puesto que pueden utilizar funciones

trigonométricas con argumentos principales, lo que puede incurrir en errores. Por ejemplo, latrigonométricas con argumentos principales, lo que puede incurrir en errores. Por ejemplo, la

evaluación de la fase de 1 - j y de -1 + j es tan-1-1/1 y tan-11/-1, respectivamente, y resuelta serevaluación de la fase de 1 - j y de -1 + j es tan-1-1/1 y tan-11/-1, respectivamente, y resuelta ser

en ambos casos -45° si se utiliza la función tan-1 sólo con argumento principal. Sin embargo, -1 +en ambos casos -45° si se utiliza la función tan sólo con argumento principal. Sin embargo, -1 +

j se encuentra en el segundo cuadrante y por lo tanto su fase es -225° ó 135°, según la convenciónj se encuentra en el segundo cuadrante y por lo tanto su fase es -225° ó 135°, según la convención

de medición de ángulos, pero no es -45° (en este curso se prefiere 135°). En general, se miden ende medición de ángulos, pero no es -45° (en este curso se prefiere 135°). En general, se miden en

sentido antihorario(horario) los ángulos en el primer(tercer) y segundo(cuarto) cuadrante.sentido antihorario(horario) los ángulos en el primer(tercer) y segundo(cuarto) cuadrante.



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeEjemplo 39Ejemplo 39

( ) ( )1 1Dibujar el D. de B. de ( ) ( )1 2

1 1h s y h s= =

+ −Dibujar el D. de B. de ( ) ( )1 2

10 10h s y h s

s s= =

+ −10 10s s+ −

1 1( ) ( )1 1h y hω ω= = ,y sus módulos son( ) ( )1 2

1 1

10 10h y h

j jω ω

ω ω= =

+ −,y sus módulos son

10 10j jω ω+ −1 1( ) ( )1 2

1 1h y hω ω= =( ) ( )1 2

2 2 2 210 10h y hω ω

ω ω= =

+ +10 10ω ω+ +

Sin embargo, al tomar la fase de cada uno se tiene que

( ) 1 10arg h tan tanω ωω − − = − = − ( ) 1 10arg h tan tan

ω ωω − − = − − = − − ( ) 1 1

1 010 10

arg h tan tanω ωω − − = − = −

( ) 1 1

2 010 10

arg h tan tanω ωω − − = − − = − −

10 10 10 10

En particular, como jω - 10 está en el segundo cuadrante, el ángulo está entre 90° (para ω→ ∞) yEn particular, como jω - 10 está en el segundo cuadrante, el ángulo está entre 90° (para ω→ ∞) y

180° (para ω→ 0), por lo que el ángulo de 1/( jω - 10) estará entre -90° (para ω→ ∞) y -180° (para180° (para ω→ 0), por lo que el ángulo de 1/( jω - 10) estará entre -90° (para ω→ ∞) y -180° (para

ω→ 0), lo que queda representado por argh2(ω) = -180° + tan-1(ω/10).ω→ 0), lo que queda representado por argh2(ω) = -180° + tan-1(ω/10).



PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de Bode PLEV 2010Diagrama de BodeDiagrama de BodeSistemas de Fase No-MínimaSistemas de Fase No-Mínima

Fig. 6.20 D. de B. de sistemas no-mínimos de fase; a) 1/(s + 10), b) 1/(s - 10).Fig. 6.20 D. de B. de sistemas no-mínimos de fase; a) 1/(s + 10), b) 1/(s - 10).



PLEV 2010PLEV 2010

Criterio de Criterio de NyquistNyquistCriterio de Criterio de NyquistNyquist

Javier Muñoz V.Universidad de Concepción Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.

Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica Eduardo Espinosa N.

PLEV 2010Contenido del CapituloContenido del Capitulo PLEV 2010Contenido del CapituloContenido del CapituloCriterio de NyquistCriterio de Nyquist

I. IntroducciónI. Introducción

II. Teorema de Cauchy .II. Teorema de Cauchy .

III. Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos .III. Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos .

III. Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos .III. Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos .III. Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos .

IV. Estabilidad Relativa .IV. Estabilidad Relativa .



PLEV 2010IntroducciónIntroducción PLEV 2010IntroducciónIntroducciónEstabilidad es lo mínimo que se puede esperar al diseñar un sistema de control. EsteEstabilidad es lo mínimo que se puede esperar al diseñar un sistema de control. Este

concepto tiene acepciones simples en sistemas lineales lo que permite su utilizaciónconcepto tiene acepciones simples en sistemas lineales lo que permite su utilización

tanto para su análisis y diseño. En este capítulo se introducen los conceptos detanto para su análisis y diseño. En este capítulo se introducen los conceptos de

estabilidad absoluta y estabilidad relativa para el diseño de controladores.estabilidad absoluta y estabilidad relativa para el diseño de controladores.

El Criterio de Nyquist se deriva del cálculo complejo y su importancia radica alEl Criterio de Nyquist se deriva del cálculo complejo y su importancia radica al

proveer definiciones de margen de fase y margen de ganancia en sistemas deproveer definiciones de margen de fase y margen de ganancia en sistemas de

cualesquier orden. Es más, su extensión natural a sistemas discretos es tambiéncualesquier orden. Es más, su extensión natural a sistemas discretos es también

estudiada.estudiada.



PLEV 2010IntroducciónIntroducción PLEV 2010IntroducciónIntroducción

La estabilidad puede analizarse al considerar los tipos y grados de ésta.La estabilidad puede analizarse al considerar los tipos y grados de ésta.

Tipos :Tipos :Estable (entrada acotada/salida acotada y entrada cero estabilidad asintótica)Marginalmente estable.Marginalmente estable.Inestable.Inestable.

Grados :Grados :Estabilidad absoluta.Estabilidad absoluta.Estabilidad relativa.Estabilidad relativa.

Para el análisis de la estabilidad se tienen las siguientes herramientas,Para el análisis de la estabilidad se tienen las siguientes herramientas,Criterio de Routh-HurwitzCriterio de Routh-HurwitzCriterio de NyquistCriterio de NyquistDiagrama de BodeDiagrama de BodeDiagrama de NicholsDiagrama de Nichols



PLEV 2010IntroducciónIntroducción PLEV 2010IntroducciónIntroducciónA. DefinicionesA. Definiciones

• Se dice que un sistema es estable entrada -acotada/salida -acotada , si para condiciones• Se dice que un sistema es estable entrada -acotada/salida -acotada , si para condiciones

iniciales nulas (respuesta a estado cero), su salida es acotada para una entrada acotada; es decir,iniciales nulas (respuesta a estado cero), su salida es acotada para una entrada acotada; es decir,

u(t) tal que |u(t)| ≤ M |y(t)| ≤ N < ∞ t.u(t) tal que |u(t)| ≤ M |y(t)| ≤ N < ∞ t.

• Si la respuesta a entrada nula, sujeta a condiciones iniciales finitas, alcanza el cero cuando t• Si la respuesta a entrada nula, sujeta a condiciones iniciales finitas, alcanza el cero cuando t

tiende a infinito, se dice que el sistema es estable a entrada cero (o asintóticamente estable );tiende a infinito, se dice que el sistema es estable a entrada cero (o asintóticamente estable );

( )es decir, |y(t)| ≤ M < ∞ t ≥ to y ( ) 0lím y t =es decir, |y(t)| ≤ M < ∞ t ≥ to y ( ) 0tlím y t→∞

=

Afortunadamente, en sistemas lineales e invariantes en el tiempo, ambas definiciones necesitanAfortunadamente, en sistemas lineales e invariantes en el tiempo, ambas definiciones necesitan

del mismo requisito, éste es que todas los valores propios de la representación en variables dedel mismo requisito, éste es que todas los valores propios de la representación en variables de

estado del sistema tengan parte real negativa. Por esta razón los sistemas que cumplen con estaestado del sistema tengan parte real negativa. Por esta razón los sistemas que cumplen con esta

condición son conocidos simplemente como estables. Sin embargo, para que un sistema seacondición son conocidos simplemente como estables. Sin embargo, para que un sistema sea

estable entrada/salida sólo es necesario que los polos de su F. de T. estén en el S.P.I..estable entrada/salida sólo es necesario que los polos de su F. de T. estén en el S.P.I..




• Un sistema es marginalmente estable si no hay raíces del polinomio característico en el S.P.D.• Un sistema es marginalmente estable si no hay raíces del polinomio característico en el S.P.D.

y a lo más hay raíces simples sobre el eje imaginario.y a lo más hay raíces simples sobre el eje imaginario.

• Un sistema es inestable si por lo menos hay una raíz simple de la ecuación característica del

sistema en el S.P.D., o una raíz doble sobre el eje imaginario.

Fig. 6.1. L.G.R. de sistemas críticamente estables e inestablesFig. 6.1. L.G.R. de sistemas críticamente estables e inestables




B. Usos y Limitaciones del Criterio de Routh -HourwitzB. Usos y Limitaciones del Criterio de Routh -Hourwitz

( ) k¿ Cuál es el rango de k para que un sistema cuya F. de T. en L.D. es sea( ) ( )( )1 2

kl s

s s s=

+ +¿ Cuál es el rango de k para que un sistema cuya F. de T. en L.D. es sea

estable en L.C.? Para responder se obtiene la ecuación característica,

( ) ( )( )1 2l s

s s s=

+ +estable en L.C.? Para responder se obtiene la ecuación característica,

( )( )

( ) 3 21 1 0 3 2 0k

l s s s s k+ = + = ⇒ + + + =( ) ( )( )3 21 1 0 3 2 0

1 2

kl s s s s k

s s s+ = + = ⇒ + + + =

+ +( ) ( )( )

1 1 0 3 2 01 2

l s s s s ks s s

+ = + = ⇒ + + + =+ +

al aplicar Routh-Hurwitz se obtiene que a a > a por lo que 3 · 2 > k ó k < 6, por lo que laal aplicar Routh-Hurwitz se obtiene que a2a1 > a0 por lo que 3 · 2 > k ó k < 6, por lo que la

ganancia crítica es kc = 6 y el rango entonces es, 0 < k < 6. Otra interrogante interesante es: si k =ganancia crítica es kc = 6 y el rango entonces es, 0 < k < 6. Otra interrogante interesante es: si k =

2, ¿ en cuánto se puede aumentar la ganancia en L.D. antes de obtener un sistema inestable ?.2, ¿ en cuánto se puede aumentar la ganancia en L.D. antes de obtener un sistema inestable ?.

Como k = 2 y kc = 6 la ganancia k se puede aumentar en un kc/k = 6/2 = 3 p.u. = 300%. EstaComo k = 2 y kc = 6 la ganancia k se puede aumentar en un kc/k = 6/2 = 3 p.u. = 300%. Esta

cantidad se conoce como el Margen de Ganancia . En general se puede definir un “margen decantidad se conoce como el Margen de Ganancia . En general se puede definir un “margen de

estabilidad” como el cuociente entre el valor estable máximo al valor actual. Por lo que para laestabilidad” como el cuociente entre el valor estable máximo al valor actual. Por lo que para la

ganancia se tiene que,ganancia se tiene que,Ganancia establemáximaGanancia establemáxima

MargendeGanancia = M.G. = MargendeGanancia = M.G. = GananciaActualGananciaActual




Este concepto tiene las siguientes limitaciones, (a) no se puede aplicar siempre (no todos losEste concepto tiene las siguientes limitaciones, (a) no se puede aplicar siempre (no todos los

sistemas se hacen inestables cuando k → ∞) y (b) dos sistemas con igual M.G. pueden tenersistemas se hacen inestables cuando k → ∞) y (b) dos sistemas con igual M.G. pueden tener

comportamientos totalmente diferentes. Además, ¿ qué sucede si la planta incluye retraso ?. Encomportamientos totalmente diferentes. Además, ¿ qué sucede si la planta incluye retraso ?. En

este caso se podría tener,este caso se podría tener,( )n s( ) ( ) Ts

n sl s e−=( ) ( )

( )Tsl s e

d s

−=( )d s

por lo que la ecuación característica es, por lo que la ecuación característica es,

( ) ( ) 0Tsd s n s e−+ =( ) ( ) 0d s n s e+ =

la cual no corresponde a un polinomio y por tanto no se pueden definir los coeficientes a ,…,a ,ala cual no corresponde a un polinomio y por tanto no se pueden definir los coeficientes an-1,…,a1,a0n-1 1 0

sin utilizar una simplificación. Para estos casos se tiene el Criterio de Nyquist que se puedesin utilizar una simplificación. Para estos casos se tiene el Criterio de Nyquist que se puede

enunciar para sistemas continuos y discretos, y que está basado en la teoría de númerosenunciar para sistemas continuos y discretos, y que está basado en la teoría de números

complejos.complejos.



PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy

Sea la F. de T. en L.D.: l(ψ) (donde ψ puede ser s o z), entonces, la ecuación característicaSea la F. de T. en L.D.: l(ψ) (donde ψ puede ser s o z), entonces, la ecuación característica

es 1 + l(ψ) = f(ψ). Si ψ = σ + jω, entonces, f(σ + jω) = u + jv. Es decir, la función transformada f(σes 1 + l(ψ) = f(ψ). Si ψ = σ + jω, entonces, f(σ + jω) = u + jv. Es decir, la función transformada f(σ

+ jω) puede ser también un número complejo. La transformación también puede ser representada+ jω) puede ser también un número complejo. La transformación también puede ser representada

gráficamente como se ilustra en el ejemplo siguiente. Un contorno arbitrario es escogido paragráficamente como se ilustra en el ejemplo siguiente. Un contorno arbitrario es escogido para

mapearlo al plano f(ψ). La elección del contorno arbitrario será fundamental a la hora de proyectarmapearlo al plano f(ψ). La elección del contorno arbitrario será fundamental a la hora de proyectar

esta teoría al control automático, muy en particular al análisis de la estabilidad de sistemas. Por loesta teoría al control automático, muy en particular al análisis de la estabilidad de sistemas. Por lo

pronto, es necesario revisar algunos aspectos adicionales de la teoría de transformaciones.pronto, es necesario revisar algunos aspectos adicionales de la teoría de transformaciones.

,,



PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchyEjemplo 29Para f(ψ)=2ψ+1 que tiene un cero en ψ = −1/2, determine su contorno transformado. ElEjemplo 29Para f(ψ)=2ψ+1 que tiene un cero en ψ = −1/2, determine su contorno transformado. El

contorno en ψ a transformar está en la Fig. 6.2(a). R.: f(σ +jω) = 2(σ + jω) + 1= 2σ+1+2 jω , por locontorno en ψ a transformar está en la Fig. 6.2(a). R.: f(σ +jω) = 2(σ + jω) + 1= 2σ+1+2 jω , por lo

que u =2σ+1, v=2ω . Ahora se procede a transformar cada segmento del contorno en ψ, ,que u =2σ+1, v=2ω . Ahora se procede a transformar cada segmento del contorno en ψ, ,

1 1 1 1 1 1A: B , : B :C ,σ ω σ ω⇒ = → − ⇒ = → − = −1 1 1 1 1 1

3 3 2 3 1 2

A: B , : B :C ,

u , v : u ,v

σ ω σ ω⇒ = → − ⇒ = → − = −⇒ = → − ⇒ = → − = −3 3 2 3 1 2u , v : u ,v

σ ω σ ω⇒ = → − ⇒ = → − = −⇒ = − = − → ⇒ = − → =1 1 1 1 1 1C : D , D : A ,σ ω σ ω⇒ = − = − → ⇒ = − → =1 1 1 1 1 1

1 2 2 1 3 2

C : D , D : A ,

u ,v u ,v

σ ω σ ω⇒ = − = − → ⇒ = − → =⇒ = − = − → ⇒ = − → =1 2 2 1 3 2u ,v u ,v⇒ = − = − → ⇒ = − → =

Fig. 6.2. Transformación de contorno; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformadoJavier Muñoz V.- 33 -Universidad de Concepción

Fig. 6.2. Transformación de contorno; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformadoJavier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.


PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchyA. Transformación o Mapeo de Contornos

Def.: La curva cerrada A:B:C:D se conoce como contorno, normalmente se les asigna un

A. Transformación o Mapeo de Contornos

Def.: La curva cerrada A:B:C:D se conoce como contorno, normalmente se les asigna un

nombre (letra griega) tal como Γ, y un sentido de recorrido que puede ser horario (+) o antihorarionombre (letra griega) tal como Γ, y un sentido de recorrido que puede ser horario (+) o antihorario

(−). ,(−). ,

Def.: Los (el) puntos (área) al lado derecho del sentido de recorrido de un contorno se dicenDef.: Los (el) puntos (área) al lado derecho del sentido de recorrido de un contorno se dicen

(dice) encerrados (encerrada).(dice) encerrados (encerrada).

Def.: El cambio del plano ψ = σ + jω al plano f(ψ) = u + jv del contorno Γ se conoce comoDef.: El cambio del plano ψ = σ + jω al plano f(ψ) = u + jv del contorno Γ se conoce como

transformación de contorno, también se conoce como mapeo de contorno.transformación de contorno, también se conoce como mapeo de contorno.

Def.: El número de encierros es la cantidad de veces que un punto está encerrado por unDef.: El número de encierros es la cantidad de veces que un punto está encerrado por un

contorno en sentido horario. Este valor será negativo si el contorno se mueve en sentidocontorno en sentido horario. Este valor será negativo si el contorno se mueve en sentido

antihorario. El valor se designa por N..antihorario. El valor se designa por N..

Nota: Para determinar el número de encierros se puede utilizar un vector auxiliar. El vector nace enNota: Para determinar el número de encierros se puede utilizar un vector auxiliar. El vector nace enel punto en cuestión y termina en un punto (ψ ) de prueba sobre el contorno. Al mover ψ en elel punto en cuestión y termina en un punto (ψ1) de prueba sobre el contorno. Al mover ψ1 en elsentido de recorrido del contorno, la flecha habrá recorrido 2πN grados, para llegar nuevamente al

1 1sentido de recorrido del contorno, la flecha habrá recorrido 2πN grados, para llegar nuevamente alpunto de partida.punto de partida.



PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchyB. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy

A continuación se revisan algunos ejemplos de mapeo de contornos haciendo hincapié en la

B. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy

A continuación se revisan algunos ejemplos de mapeo de contornos haciendo hincapié en la

presencia e incidencia de polos y ceros de f(ψ) en el resultado. Además, se comenta sobre lapresencia e incidencia de polos y ceros de f(ψ) en el resultado. Además, se comenta sobre la

ubicación de éstos respecto del contorno a transformar. Para efectos de simplificación, el contornoubicación de éstos respecto del contorno a transformar. Para efectos de simplificación, el contorno

a mapear es siempre el mismo.a mapear es siempre el mismo.

La funciónLa funciónf (ψ)=2ψ+1f (ψ)=2ψ+1tiene un cero en ψ = -1/2.tiene un cero en ψ = -1/2.

El plano f(ψ) encierra enEl plano f(ψ) encierra ensentido horario una vez elsentido horario una vez elorigen.origen.

Fig. 6.3. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformadoFig. 6.3. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado



PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchyB. Ejemplos de Contornos y Teorema de CauchyB. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy

La función :La función :f(ψ)= ψ/(ψ+2)f(ψ)= ψ/(ψ+2)tiene un cero en ψ = 0 y untiene un cero en ψ = 0 y unpolo en ψ = -2.El plano f(ψ) encierra ensentido horario una vez elorigen.

Fig. 6.4. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contornoFig. 6.4. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contornotransformadotransformado

La función :La función :f(ψ)= 1/(2ψ+1)f(ψ)= 1/(2ψ+1)tiene untiene unpolo en ψ = -1/2.polo en ψ = -1/2.El plano f(ψ) encierra enEl plano f(ψ) encierra ensentido anti-horario una vezsentido anti-horario una vezel origen.el origen.

Fig. 6.5. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contornoFig. 6.5. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contornotransformado

Javier Muñoz V.- 36 -Universidad de Concepción

transformado

Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.


PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchy PLEV 2010Teorema de Teorema de CauchyCauchyB. Ejemplos de Contornos y Teorema de CauchyB. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy

La función :La función :f(ψ)= ψ/(ψ+1/2)f(ψ)= ψ/(ψ+1/2)tiene un cero en ψ = 0 y untiene un cero en ψ = 0 y unpolo en ψ = -1/2.El plano f(ψ) no encierra elorigen.

Fig. 6.6. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contornoFig. 6.6. Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contornotransformadotransformado

Teorema : (Teorema de Cauchy) Si un contorno Γ en el plano ψ encierra η ceros y η polos deTeorema : (Teorema de Cauchy) Si un contorno Γ en el plano ψ encierra ηz ceros y ηp polos de

f(ψ)y no pasa a través de ningún polo y/o cero de f(ψ) a medida que se viaja en sentido horariof(ψ)y no pasa a través de ningún polo y/o cero de f(ψ) a medida que se viaja en sentido horario

sobre Γ, entonces, el contorno transformado f(ψ) encierra al origen del plano f(ψ), un número N =sobre Γ, entonces, el contorno transformado f(ψ) encierra al origen del plano f(ψ), un número N =

ηz − ηp de veces.z p




Nota 1: La ecuación característica es 1 + l(ψ) = 0, si l(ψ) se puede escribir como n(ψ)/d(ψ) =Nota 1: La ecuación característica es 1 + l(ψ) = 0, si l(ψ) se puede escribir como n(ψ)/d(ψ) =

l(ψ), entonces los ceros de l(ψ) son las raíces de n(ψ) y los polos de l(ψ) son las raíces de d(ψ).l(ψ), entonces los ceros de l(ψ) son las raíces de n(ψ) y los polos de l(ψ) son las raíces de d(ψ).

( ) ( )n ψNota 2: La ecuación característica se puede escribir como o

( )( ) ( )1 0

nf

d

ψψ

ψ+ = =Nota 2: La ecuación característica se puede escribir como o

( ) ( )1 0fd

ψψ

+ = =

( ) ( ) ( )0

d nf

ψ ψψ

+= =equivalentemente , por lo tanto, los ceros de f(Ψ) son los polos del

( )d ψ( ) ( ) ( )

( )0

d nf

d

ψ ψψ

ψ+

= =equivalentemente , por lo tanto, los ceros de f(Ψ) son los polos del( ) ( )0f

dψ

ψ= =

sistema en L.C. y los polos de l(Ψ) son también los polos de f(Ψ)sistema en L.C. y los polos de l(Ψ) son también los polos de f(Ψ)

Nota 3: Dado que f(ψ) = 1 + l(ψ), entonces, el origen de f(ψ) es equivalente a l(ψ) = −1 en elNota 3: Dado que f(ψ) = 1 + l(ψ), entonces, el origen de f(ψ) es equivalente a l(ψ) = −1 en el

plano l(ψ). Por lo tanto, el Teorema de Cauchy se escribe como,plano l(ψ). Por lo tanto, el Teorema de Cauchy se escribe como,




Teorema : (Teorema de Cauchy) Si un contorno Γ en el plano ψ encierra η ceros y η polos de 1Teorema : (Teorema de Cauchy) Si un contorno Γ en el plano ψ encierra ηz ceros y ηp polos de 1

+ l(ψ) y no pasa a través de ningún polo y/o cero de 1 + l(ψ) a medida que viaja en sentido horario+ l(ψ) y no pasa a través de ningún polo y/o cero de 1 + l(ψ) a medida que viaja en sentido horario

sobre Γ, entonces, el contorno transformado l(ψ) encierra al punto (−1, 0) del plano l(ψ), unsobre Γ, entonces, el contorno transformado l(ψ) encierra al punto (−1, 0) del plano l(ψ), un

número N = ηz − ηp de veces.número N = ηz − ηp de veces.

Cerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún polo de 1 + l(ψ) es factible puesto queCerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún polo de 1 + l(ψ) es factible puesto que

es equivalente a cerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún polo de l(ψ), la cual eses equivalente a cerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún polo de l(ψ), la cual es

una función conocida. Sin embargo, no es posible cerciorarse que el contorno no pasa a través deuna función conocida. Sin embargo, no es posible cerciorarse que el contorno no pasa a través de

ningún cero de 1 + l(ψ) y por lo tanto se debe asumir que no lo hace. Afortunadamente, losningún cero de 1 + l(ψ) y por lo tanto se debe asumir que no lo hace. Afortunadamente, los

resultados de aplicar el Teorema de Cauchy permiten verificar esta premisa.resultados de aplicar el Teorema de Cauchy permiten verificar esta premisa.



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas Continuos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas ContinuosNotar que para esta parte del análisis se considera a la variable ψ = s, para limitar el tratamientoNotar que para esta parte del análisis se considera a la variable ψ = s, para limitar el tratamiento

a sistemas continuos. Por otro lado, si la función 1 + l(s) tiene ceros (es decir, η ≠ 0) en el S.P.D.,a sistemas continuos. Por otro lado, si la función 1 + l(s) tiene ceros (es decir, ηz ≠ 0) en el S.P.D.,

entonces, el sistema es inestable. Por esto se usa un contorno Γ que encierra todo el S.P.D.entonces, el sistema es inestable. Por esto se usa un contorno Γ que encierra todo el S.P.D.

(contorno de Nyquist ó Γ, Fig. 6.7) y se inspecciona el valor resultante de η a partir del Teorema(contorno de Nyquist ó Γ, Fig. 6.7) y se inspecciona el valor resultante de ηz a partir del Teorema

de Cauchy. Entonces, si 1 + l(s) tiene Z ceros y P polos inestables (en el S.P.D.), el Teorema dede Cauchy. Entonces, si 1 + l(s) tiene Z ceros y P polos inestables (en el S.P.D.), el Teorema de

Cauchy afirma que el contorno transformado l(s) encierra al punto (-1, 0) un número N = Z – P deCauchy afirma que el contorno transformado l(s) encierra al punto (-1, 0) un número N = Z – P de

veces. Finalmente se puede enunciar el Criterio de Nyquist de manera de tener un sistema estableveces. Finalmente se puede enunciar el Criterio de Nyquist de manera de tener un sistema estable

como sigue,como sigue,

Fig. 6.7. Contorno de Nyquist para Sistemas Continuos


Fig. 6.7. Contorno de Nyquist para Sistemas Continuos



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas Continuos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas Continuos

Criterio de Nyquist : Un sistema realimentado continuo es estable si y sólo si el contorno en elCriterio de Nyquist : Un sistema realimentado continuo es estable si y sólo si el contorno en el

plano l(s) no encierra el punto (-1, 0) cuando el número de polos de l(s) en el S.P.D. del plano s esplano l(s) no encierra el punto (-1, 0) cuando el número de polos de l(s) en el S.P.D. del plano s es

cero.cero.

Este criterio se puede enunciar para el caso de que l(s) tiene P polos inestables (en el S.P.D.)Este criterio se puede enunciar para el caso de que l(s) tiene P polos inestables (en el S.P.D.)

como,

Criterio de Nyquist : Un sistema realimentado continuo es estable si y sólo si el contorno en elCriterio de Nyquist : Un sistema realimentado continuo es estable si y sólo si el contorno en el

plano l(s) encierra el punto (-1, 0) en sentido anti-horario un número de veces o bien N = -P igual alplano l(s) encierra el punto (-1, 0) en sentido anti-horario un número de veces o bien N = -P igual al

número de polos de l(s) con parte real positiva.número de polos de l(s) con parte real positiva.



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas Continuos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas ContinuosEjemplo 30

( ) 1Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquema

Ejemplo 30

( ) 1gr s =

+Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquema( )1

gr ss

=+

realimentado.1s +

realimentado.

Hay P = 0 polos inestables, por lo que N = 0 para tener un sistema estable. El contorno ΓHay P = 0 polos inestables, por lo que N = 0 para tener un sistema estable. El contorno Γtransformado es,transformado es,

Fig. 6.8. Nyquist ejemplo 30




Algunos aspectos generales a considerar para optimizar el tiempo dedicado a generar el

bosquejo del Nyquist de una función l(s) son,bosquejo del Nyquist de una función l(s) son,

A. Funciones con k VariableA. Funciones con k Variable

Dado que f(s) = 1 + l(s) y en general puede ser f(s) = 1 + kgr(s), el origen de f(s) es el puntoDado que f(s) = 1 + l(s) y en general puede ser f(s) = 1 + kgr(s), el origen de f(s) es el punto

−1/k de gr(s). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el−1/k de gr(s). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el

caso general 1 + kgr(s), con el punto dado por (-1/k, 0).caso general 1 + kgr(s), con el punto dado por (-1/k, 0).

B. Funciones en L.D. estrictamente propiasB. Funciones en L.D. estrictamente propias

Funciones estrictamente propias son aquellas en que el denominador tiene un orden mayor queFunciones estrictamente propias son aquellas en que el denominador tiene un orden mayor que

el numerador. En este caso el tramo BC del Contorno de Nyquist siempre se mapea al origen y noel numerador. En este caso el tramo BC del Contorno de Nyquist siempre se mapea al origen y no

aporta información respecto de la estabilidad del sistema. En estos casos sólo se ocupará el tramoaporta información respecto de la estabilidad del sistema. En estos casos sólo se ocupará el tramo

con jω con ω: −∞ → ∞.con jω con ω: −∞ → ∞.




C. Simetría respecto al eje realC. Simetría respecto al eje real

( )∏ +Para sólo basta obtener la transformación para ω:0→∞ dado que para ω:0→-∞( ) ( )

( )is z

gr s∏ +

=Para sólo basta obtener la transformación para ω:0→∞ dado que para ω:0→-∞( ) ( )( )

is zgr s

s p

∏ +=

+es simétrica.

( )js p+es simétrica.

D. Funciones con polos en s=0D. Funciones con polos en s=0

En este caso se re-define el contorno de Nyquist de manera de evitar los polos en el origen. En

general, si se tienen polos sobre el contorno a transformar se debe redefinir el contorno como en elgeneral, si se tienen polos sobre el contorno a transformar se debe redefinir el contorno como en el

ejemplo siguiente.




( ) 1=Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquemaEjemplo 31

( ) ( )1

1gr s

s sτ=

+Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquema

realimentado.

( ) ( )1gr s

s sτ=

+realimentado.

( )1s sτ +

El contorno de Nyquist se redefine como se ilustra en la Fig. 6.9 dado que gr(s) tiene un polo en elEl contorno de Nyquist se redefine como se ilustra en la Fig. 6.9 dado que gr(s) tiene un polo en elorigen. Luego,origen. Luego,

( ) 10AB : gr j jω −∞= = = − ∞ →( ) ( )

10

1AB : gr j j

j j jω

ω τ ω−∞= = = − ∞ →

+( ) ( )1j j jω τ ω +

( ) 010 0j j jBC : gr re e eθ π− −= = →( ) ( )

010 0

1

j j j

j jBC : gr re e e

re re

θ πθ θτ

− −= = →+

( ) ( )1j jre reθ θτ +

( ) 01 1 jj j j

πθ θ −− −= = = ∞ → ∞( ) ( )

0 21 1

1

jj j j

j jOA: gr re e e e

rre re

θ θθ θτ

−− −= = = ∞ → ∞+

( ) ( )1j jOA: gr re e e e

rre reθ θτ= = = ∞ → ∞

+( )

Fig. 6.9. Criterio de Nyquist contorno Fig. 6.9. Criterio de Nyquist contorno modificadoEl tramo AB puede ser revisado en detalle y se tiene que: modificadoEl tramo AB puede ser revisado en detalle y se tiene que:



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas Continuos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Continuospara Sistemas ContinuosEjemplo 31Ejemplo 31

( )21 jτω ω− − −( )2

2 2 4 2

1 jAB : gr j

j

τω ωωτω ω τ ω ω

− − −= =− +

Por lo que( )2 2 4 2

AB : gr jj

ωτω ω τ ω ω

= =− +

Por lo que

τω ω− − −( )21 j

AB : gr jτω ωω − − −= =( ) 2 2 4 2

1 jAB : gr j

j

τω ωωτω ω τ ω ω

− − −= =− +2 2 4 2

2 2

jτω ω τ ω ωτω τ

− +− −( ) 2 2

lim Re g jτω τω τ− −= = = −( ) 2 3 2 20 4 2 12 2

lim Re g jω

ω ττ ω ω τ ω→

= = = −+ +0 4 2 12 2ω τ ω ω τ ω→ + +

El resultado se muestra en la Fig. 6.10. Como elEl resultado se muestra en la Fig. 6.10. Como elcontorno transformado no encierra el (-1,0), elcontorno transformado no encierra el (-1,0), elsistema es estable.sistema es estable.

Fig. 6.10. Nyquist Ejemplo 31Fig. 6.10. Nyquist Ejemplo 31




E. Sistema con RetardoE. Sistema con Retardo

No hay un tratamiento especial. Desafortunadamente, el tratamiento de estos casos no es fácilNo hay un tratamiento especial. Desafortunadamente, el tratamiento de estos casos no es fácil

de realizar manualmente.de realizar manualmente.




Ejemplo 32Ejemplo 32

Estudie la estabilidad de la F.de T. en L.D. Si se utiliza en un esquema( ) 0 91 . sl s e−=Estudie la estabilidad de la F.de T. en L.D. Si se utiliza en un esquema( ) 0 91

1

. sl s es

−=+

realimentado.1s +

realimentado.

El contorno transformado se muestra en la Fig. 6.11. La F. de T. en L.D. es estrictamente propia yEl contorno transformado se muestra en la Fig. 6.11. La F. de T. en L.D. es estrictamente propia y

además simétrica respecto del eje real, por lo tanto, sólo se grafica s = jω, con 0 ≤ ω ≤ . De laademás simétrica respecto del eje real, por lo tanto, sólo se grafica s = jω, con 0 ≤ ω ≤ . De la

Fig. 6.11 se puede apreciar que si - < -1/k < -0.5 ó 1 < -1/k < , entonces el sistema es estable.Fig. 6.11 se puede apreciar que si - < -1/k < -0.5 ó 1 < -1/k < , entonces el sistema es estable.

El rango para k resulta ser -1 < k < 2.El rango para k resulta ser -1 < k < 2.





( ) 1Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquemaEjemplo 33

( )( )31

gr s =Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquema

realimentado.

( )( )31

gr ss

=+

realimentado.( )1s +

Dado que P=0 entonces N=0 para tener un sistema estable. Se tiene que,Dado que P=0 entonces N=0 para tener un sistema estable. Se tiene que,

( ) ( ) ( )2 31 3 31 jω ω ω− + −( )

( )( ) ( )( ) ( )3 2 2

1 3 31

1

jgr j ,

j

ω ω ωω

ω ω ω ω

− + −= =

+ − + −Cuyo Nyquist se muestra en la Figura 6.12( )

( ) ( ) ( )3 2 22 31 1 3 3

gr j ,j

ωω ω ω ω

= =+ − + −

Cuyo Nyquist se muestra en la Figura 6.12( ) ( ) ( )1 3 3ω ω ω− + −

( )( ) ( ) ( )3 20 3 3 0Im gr j ,ω ω ω ω ω= ⇒ − = − =( )( ) ( ) ( )3 20 3 3 0Im gr j ,ω ω ω ω ω= ⇒ − = − =

0 3,ω ω= = ±

( ) ( )0 3

1

,ω ω= = ±

( ) ( ) 10 1 38

gr j ; gr j= = −( ) ( )0 1 38

gr j ; gr j= = −

Por lo tanto el sistema es estable siPor lo tanto el sistema es estable si

1 18k

−∞ < < −Fig. 6.12. Nyquist Ejemplo 33

1 18k

−∞ < < −Fig. 6.12. Nyquist Ejemplo 33



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos

Notar que para esta parte del análisis se considera a la variable ψ = z, para indicarNotar que para esta parte del análisis se considera a la variable ψ = z, para indicar

explícitamente el tratamiento de sistemas discretos. Por otro lado, si la función 1 + l(z) tiene cerosexplícitamente el tratamiento de sistemas discretos. Por otro lado, si la función 1 + l(z) tiene ceros

(es decir, η ≠ 0) en el exterior del círculo unitario, entonces, el sistema es inestable. Por esto se(es decir, ηz ≠ 0) en el exterior del círculo unitario, entonces, el sistema es inestable. Por esto se

debiera usar un contorno Γ que encierre perfectamente el exterior del círculo de radio unitario. Sindebiera usar un contorno Γ que encierre perfectamente el exterior del círculo de radio unitario. Sin

embargo, se puede replantear mediante la utilización de un contorno que encierre perfectamente elembargo, se puede replantear mediante la utilización de un contorno que encierre perfectamente el

interior del círculo de radio unitario (contorno de Nyquist ó Γ para sistemas discretos, Fig. 6.13).interior del círculo de radio unitario (contorno de Nyquist ó Γ para sistemas discretos, Fig. 6.13).

Dado que 1 + l(z) tiene n polos y n ceros (para l(z) propias o estrictamente propias), y si P son losDado que 1 + l(z) tiene n polos y n ceros (para l(z) propias o estrictamente propias), y si P son los

polos inestables y Z los ceros inestables, entonces al interior de círculo (área encerrada por elpolos inestables y Z los ceros inestables, entonces al interior de círculo (área encerrada por el

contorno a transformar) hay n - Z ceros y n - P polos. Por lo tanto, el Teorema de Cauchy afirmacontorno a transformar) hay n - Z ceros y n - P polos. Por lo tanto, el Teorema de Cauchy afirma

que el contorno transformado l(s) encierra al punto (-1, 0) un número N = n - Z - (n - P) = P - Z deque el contorno transformado l(s) encierra al punto (-1, 0) un número N = n - Z - (n - P) = P - Z de

veces. Finalmente se puede enunciar el Criterio de Nyquist de manera de tener un sistema estable,veces. Finalmente se puede enunciar el Criterio de Nyquist de manera de tener un sistema estable,



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas DiscretosCriterio de Nyquist : Un sistema realimentado discreto es estable si y sólo si el contorno en elCriterio de Nyquist : Un sistema realimentado discreto es estable si y sólo si el contorno en el

plano l(z) no encierra el punto (-1, 0) cuando el número de polos de l(z) en el exterior del círculoplano l(z) no encierra el punto (-1, 0) cuando el número de polos de l(z) en el exterior del círculo

unitario del plano z es cero.unitario del plano z es cero.

Este criterio se puede enunciar para el caso de que l(z) tiene P polos inestables (en el exteriorEste criterio se puede enunciar para el caso de que l(z) tiene P polos inestables (en el exterior

del círculo unitario) como,del círculo unitario) como,

Criterio de Nyquist: Un sistema realimentado discreto es estable si y sólo si el contorno en el

plano l(z) encierra el punto (-1, 0) en sentido horario un número de veces N = P igual al número deplano l(z) encierra el punto (-1, 0) en sentido horario un número de veces N = P igual al número de

polos de l(z) con módulo mayor que uno.polos de l(z) con módulo mayor que uno.

Similarmente al caso continuo, algunos aspectos generales a considerar para optimizar el tiempoSimilarmente al caso continuo, algunos aspectos generales a considerar para optimizar el tiempo

dedicado a generar el bosquejo del Nyquist de una función l(z) son,dedicado a generar el bosquejo del Nyquist de una función l(z) son,



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas DiscretosA. Funciones con k variable .A. Funciones con k variable .

Dado que f(z) = 1 + l(z) y en general puede ser f(z) = 1 + kgr(z), el origen de f(z) es el punto -1/k deDado que f(z) = 1 + l(z) y en general puede ser f(z) = 1 + kgr(z), el origen de f(z) es el punto -1/k de

gr(z). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el casogr(z). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el caso

general 1 + kgr(z), con el punto dado por (-1/k, 0).general 1 + kgr(z), con el punto dado por (-1/k, 0).

B. Simetría respecto al eje realB. Simetría respecto al eje real

( )∏Para sólo basta obtener la transformación para el contorno entre Ω:0→-π/T,( ) ( )iz z

gr z+

= ∏Para sólo basta obtener la transformación para el contorno entre Ω:0→-π/T,( ) ( )

( )iz z

gr zz p

+=

+∏∏

dado que para Ω: -π/T →2-π/T es simétrica

( )jz p+∏dado que para Ω: -π/T →2-π/T es simétrica.

6.13 Contorno de Nyquist para Sistemas DiscretosJavier Muñoz V.- 52 -Universidad de Concepción

6.13 Contorno de Nyquist para Sistemas DiscretosJavier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.


PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas DiscretosC. Funciones con polos z=1C. Funciones con polos z=1

En este caso se re-define el contorno de Nyquist de manera de evitar los polos en z = 1. EnEn este caso se re-define el contorno de Nyquist de manera de evitar los polos en z = 1. En

general, si se tienen polos sobre el contorno a transformar se debe redefinir el contorno.general, si se tienen polos sobre el contorno a transformar se debe redefinir el contorno.

D. Sistema con retardoD. Sistema con retardo

A diferencia de sistemas continuos, los retardos son equivalentes a polos en el origen (z = 0) y porA diferencia de sistemas continuos, los retardos son equivalentes a polos en el origen (z = 0) y por

lo tanto, no hay un tratamiento especial. Más aún, las soluciones para k pueden obtenerselo tanto, no hay un tratamiento especial. Más aún, las soluciones para k pueden obtenerse

analíticamenteanalíticamente



PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas DiscretosEjemplo 34

1Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D (a) si se utiliza en un esquemaEjemplo 34

( ) 1l z =Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D (a) si se utiliza en un esquema

realimentado.

( )1 5

l zz .

=−

realimentado.1 5z .−

Dado que P=1.El Nyquist de este sistema se muestra en la figura 6.14 y se puede observar que elDado que P=1.El Nyquist de este sistema se muestra en la figura 6.14 y se puede observar que el

contorno transformado rodea (-1,0) una vez en sentido horario, por lo tanto N=1 y el Teorema de

Cauchy indica entonces que Z=P-N=0; es decir, 1+l(z) tiene 0 ceros en el exterior del círculoCauchy indica entonces que Z=P-N=0; es decir, 1+l(z) tiene 0 ceros en el exterior del círculo

unitario, y por lo tanto el sistema es estable.




PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas Discretos PLEV 2010Criterio de Criterio de NyquistNyquist para Sistemas Discretospara Sistemas DiscretosEjemplo 35Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquemaEjemplo 35

( ) 1 5.l z k=Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D si se utiliza en un esquema

realimentado.( ) ( )

1 5

1 5

.l z k

z z .=

−realimentado. ( )1 5z z .−

Dado que P=1.El Nyquist de este sistema para k=1 se muestra en la figura 6.15 y se puedeDado que P=1.El Nyquist de este sistema para k=1 se muestra en la figura 6.15 y se puede

observar que el contorno transformado rodea (-1,0) una vez en sentido antihorario, por lo tanto N=-

1 y el teorema de cauchy indica entonces que Z=P-N=2; es decir , 1 + l(z) tiene 2 ceros en el1 y el teorema de cauchy indica entonces que Z=P-N=2; es decir , 1 + l(z) tiene 2 ceros en el

exterior del círculo unitario, y por lo tanto el sistema es inestable. Como P=1, N debiera ser 1 para

tener Z=0, entonces los puntos encerrados una vez en sentido horario corresponderían atener Z=0, entonces los puntos encerrados una vez en sentido horario corresponderían a

ubicaciones para (-1/k,0) estables. La fig 6.15 indica que esto se cumple para -3 < -1/k < -1.5 oubicaciones para (-1/k,0) estables. La fig 6.15 indica que esto se cumple para -3 < -1/k < -1.5 o

bien para 1/3 < k < 2/3bien para 1/3 < k < 2/3




PLEV 2010Estabilidad RelativaEstabilidad Relativa PLEV 2010Estabilidad RelativaEstabilidad Relativa

Al diseñar controladores se pueden utilizar los índices numéricos tales como sobrepaso y tiempoAl diseñar controladores se pueden utilizar los índices numéricos tales como sobrepaso y tiempo

de asentamiento. Sin embargo, en sistemas de orden mayor no es posible encontrar una relaciónde asentamiento. Sin embargo, en sistemas de orden mayor no es posible encontrar una relación

directa entre los parámetros de diseño y estos índices. Por otro lado, falta explorar el concepto dedirecta entre los parámetros de diseño y estos índices. Por otro lado, falta explorar el concepto de

estabilidad relativa. Es decir, determinar cuantitativamente cuán estable es un sistema. Esteestabilidad relativa. Es decir, determinar cuantitativamente cuán estable es un sistema. Este

tratamiento se puede realizar para sistemas continuos y discretos indistintamente.tratamiento se puede realizar para sistemas continuos y discretos indistintamente.

La idea es evaluar cuantitativamente cuan cerca/alejado está el contorno transformado de serLa idea es evaluar cuantitativamente cuan cerca/alejado está el contorno transformado de ser

inestable. Es decir, cuán alejada está la curva del punto (−1, 0). Para esto se cuantifica lainestable. Es decir, cuán alejada está la curva del punto (−1, 0). Para esto se cuantifica la

ubicación de los puntos α y β del Nyquist, Fig. 6.16. El punto α es donde la curva corta el eje real, yubicación de los puntos α y β del Nyquist, Fig. 6.16. El punto α es donde la curva corta el eje real, y

β es donde la curva corta al círculo unitario. Con estas indicaciones se definen los índices deβ es donde la curva corta al círculo unitario. Con estas indicaciones se definen los índices de

estabilidad.estabilidad.




Def: Se define margen de ganancia (punto α) a la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que seDef: Se define margen de ganancia (punto α) a la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se

puede añadir al lazo antes de que el sistema en L.C. se torne inestable.puede añadir al lazo antes de que el sistema en L.C. se torne inestable.

( )1Así el margen de ganancia (M.G.)= , donde ωp es la( ) ( )10 10

120 20 plog log l jω= −Así el margen de ganancia (M.G.)= , donde ωp es la( ) ( )10 1020 20 p

p

log log l jl j

ωω

= −

frecuencia angular de cruce de fase definida por la ecuación, arg l(j ωp )=180º, una representación( )pl jω

frecuencia angular de cruce de fase definida por la ecuación, arg l(j ωp )=180º, una representación

gráfica se muestra en la figura 6.16 para un Nyquist de un sistema continuo arbitrario.gráfica se muestra en la figura 6.16 para un Nyquist de un sistema continuo arbitrario.

Para un sistema discreto se puede establecer que el margen de ganancia (M.G.)=Para un sistema discreto se puede establecer que el margen de ganancia (M.G.)=

( )1donde Ωp es la frecuencia angular de cruce de fase

( ) ( )120 20 pj T

log log l eΩ= − donde Ωp es la frecuencia angular de cruce de fase

( ) ( )10 1020 20 p

pj Tlog log l e

l eΩ

= −

definida por la ecuación, arg l(ej Ωp T)=180º.( )l e

definida por la ecuación, arg l(ej Ωp T)=180º.




Def: Se define el margen de fase (punto β) como el ángulo en grados que el contornoDef: Se define el margen de fase (punto β) como el ángulo en grados que el contorno

transformado se debe rotar alrededor del origen para que el sistema en L.C. se torne inestable.transformado se debe rotar alrededor del origen para que el sistema en L.C. se torne inestable.

Así el margen de fase queda como M.F. =arg l(ω )= 180º, donde ω es la frecuencia angular deAsí el margen de fase queda como M.F. =arg l(ωg)= 180º, donde ωg es la frecuencia angular de

cruce de ganancia definida por la ecuación | l(jω ) | = 1 una representación gráfica se muestra encruce de ganancia definida por la ecuación | l(jωg) | = 1 una representación gráfica se muestra en

la Fig. 6.1x para un Nyquist de un sistema continuo arbitrario.la Fig. 6.1x para un Nyquist de un sistema continuo arbitrario.

Para un sistema discreto se puede establecer que el margen de fase queda comoPara un sistema discreto se puede establecer que el margen de fase queda como

M.F.= arg l(ejΩpT)+180º, donde Ω es la frecuencia angular de cruce de ganancia definida por laM.F.= arg l(ejΩpT)+180º, donde Ωp es la frecuencia angular de cruce de ganancia definida por la

ecuación | l(ejΩpT)| = 1ecuación | l(ejΩpT)| = 1




Es importante destacar que las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con F. de T. enEs importante destacar que las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con F. de T. en

L.D. de fase mínima (es decir, en sistemas con l(s) ó l(z) sin ceros ni polos inestables yL.D. de fase mínima (es decir, en sistemas con l(s) ó l(z) sin ceros ni polos inestables y

estrictamente propias.estrictamente propias.

Fig. 6.16. MF y MG de un NyquistFig. 6.16. MF y MG de un Nyquist




Es importante destacar que las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con F. de T. enEs importante destacar que las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con F. de T. en

L.D. de fase mínima (es decir, en sistemas con l(s) ó l(z) sin ceros ni polos inestables yL.D. de fase mínima (es decir, en sistemas con l(s) ó l(z) sin ceros ni polos inestables y

estrictamente propias.estrictamente propias.





Relación entre el Margen de Fase y un Sistema de Segundo Orden Continuo .Relación entre el Margen de Fase y un Sistema de Segundo Orden Continuo .

Un sistema de Segundo Orden que da origen a una F. de T en L.C como la estandar es,Un sistema de Segundo Orden que da origen a una F. de T en L.C como la estandar es,

( )2ω( ) ( )2

2

nl ss s

ωξω

=+

( ) ( )2 n

l ss s ξω

=+( )n

el cual tiene un M.G. infinito, pero un M.F. finito. Para encontrar la frecuencia de cruce deel cual tiene un M.G. infinito, pero un M.F. finito. Para encontrar la frecuencia de cruce deganancia se utiliza la definición,ganancia se utiliza la definición,

( )2

1nl j ,ωω = =( ) ( ) 1

2g

nl j ,j jω ω

ωωω ω ξω=

= =+( )2g

g g nj jω ω ω ω ξω= +de donde,de donde,

2ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 21 4 4 0n , ,

ω ω ω ω ξ ω ω ξ ω ω ω= = + + − =( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 21 4 4 0

4

nn g g n g n g n, ,ω ω ω ξ ω ω ξ ω ω ω

ω ω ξ ω= = + + − =

+ 4g g nω ω ξ ω+





Finalmente, 4 24 1 2ω ω ξ ξ= + −Finalmente,

Con este resultado se obtiene el M.F. como,

4 24 1 2g nω ω ξ ξ= + −

( ) ωCon este resultado se obtiene el M.F. como,

( ) 1180 180 90g

gM .F. º arg l j º º tgω

ω −= + = − −( )180 180 902

g

g

M .F. º arg l j º º tgωξω

= + = − −2 gξω

1 4 2 11 2

90 4 1 2º tg tgξξ ξ− −

= − + − =

1 4 2 1

4 2

1 290 4 1 2

2 4 1 2

º tg tgξξ ξ

ξ ξ ξ− − = − + − = + −4 22 4 1 2ξ ξ ξ + −

Este último resultado muestra que el M.F. es sólo función del factor de amortiguamiento. Es más,Este último resultado muestra que el M.F. es sólo función del factor de amortiguamiento. Es más,

al observar la gráfica del ξ vs M.F. (Fig. 6.17) se encuentra prácticamente una relación lineal dadaal observar la gráfica del ξ vs M.F. (Fig. 6.17) se encuentra prácticamente una relación lineal dada

por ξ ≈ 0.01·M.F., para valores de M.F. de hasta 60°. Este resultado es de suma importanciapor ξ ≈ 0.01·M.F., para valores de M.F. de hasta 60°. Este resultado es de suma importancia

puesto que en sistemas de orden superior no es posible especificar un factor de amortiguamiento;puesto que en sistemas de orden superior no es posible especificar un factor de amortiguamiento;

sin embargo, y gracias a esta relación se puede especificar un M.F. con resultados similares.sin embargo, y gracias a esta relación se puede especificar un M.F. con resultados similares.




En sistemas de segundo orden se recomienda un ξ de aproximadamente 0.3 lo que a su vezEn sistemas de segundo orden se recomienda un ξ de aproximadamente 0.3 lo que a su vez

implica un M.F. de 30°. Este resultado se puede extender a sistemas de orden mayor, puesto queimplica un M.F. de 30°. Este resultado se puede extender a sistemas de orden mayor, puesto que

el concepto es igualmente válido. En general, sistemas de orden mayor a 2 pueden ser diseñadosel concepto es igualmente válido. En general, sistemas de orden mayor a 2 pueden ser diseñados

para obtener un margen de fase de 30º a 60º y con un margen de ganancia superior a 6 dB.para obtener un margen de fase de 30º a 60º y con un margen de ganancia superior a 6 dB.

Fig. 6.17 El factor de amortiguamiento ξ en función del margen de fase M.F. para un sistema Fig. 6.17 El factor de amortiguamiento ξ en función del margen de fase M.F. para un sistema continuo


continuo



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