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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS NO
COMPORTAMENTO DE CASCAS CILÍNDRICAS
AUGUSTA FINOTTI BRAZÃO
GOIÂNIA 2011
AUGUSTA FINOTTI BRAZÃO
ANÁLISE DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS NO
COMPORTAMENTO DE CASCAS CILÍNDRICAS
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil.
Orientador: Dr. Frederico Martins Alves da Silva
GOIÂNIA 2011
AUGUSTA FINOTTI BRAZÃO
ANÁLISE DE IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS NO
COMPORTAMENTO DE CASCAS CILÍNDRICAS
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil.
Aprovada em ______ / ______ / ______.
__________________________________________________________ Prof. Dr. Frederico Martins Alves da Silva (Presidente) Universidade Federal de Goiás __________________________________________________________ Prof. Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (Examinador) Universidade Federal de Goiás __________________________________________________________ Prof. Dr. Zenón José Guzmán Nuñez del Prado (Examinador) Universidade Federal de Goiás
Atesto que as revisões solicitadas foram feitas:
_______________________________________
Orientador
Em: _______ / _______ / _______
À Cláudia, ao Márcio, à Maria Fernanda, ao Delcides Netto e a todos meus familiares com amor e carinho.
A. F. Brazão
AGRADECIMENTOS
É uma grande conquista graduar em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Goiás.
Tenho orgulho de saber que, apesar de todos os desafios, eu consegui. Mas esta vitória não é
só minha, por isso quero fazer meus agradecimentos.
Primeiramente, gostaria de agradecer a Deus, por ter me proporcionado oportunidades em que
pude ver os verdadeiros valores da vida.
Aos meus pais Márcio e Cláudia, por todo apoio, amor, dedicação e carinho que me
motivaram e ajudaram a seguir meu caminho, independente dos obstáculos. À minha filha
Maria Fernanda, por ser a razão da minha vida. Ao meu noivo Delcides Netto, por todo
companheirismo, paciência e amor. E a todos meus familiares, que sempre me apoiaram e
contribuíram para esta conquista, entre eles: Matheus, Leonardo, Vonice, Terezinha, Lutel,
Márcia, Antônio e Catarina.
Ao meu orientador, Professor Frederico, por sua dedicação e paciência, além do grande
entusiasmo em me ensinar desde a iniciação científica. Aos meus professores, Sylvia Regina,
Zenon e Daniel, pela motivação e pelo apoio.
A todos os meus professores, pela dedicação e pelo aprendizado que me proporcionaram, que
me fizeram chegar até aqui.
Aos meus amigos que fizeram parte desta jornada e que sempre tiveram comigo, tanto nos
bons quanto nos maus momentos.
A. F. Brazão
RESUMO
Utilizando a teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas, este trabalho apresenta uma
metodologia para a determinação dos campos de deslocamentos axial e circunferencial em
função do campo de deslocamento lateral de uma casca cilíndrica com imperfeição
geométrica inicial. A solução modal utilizada é obtida através do método da perturbação e é
capaz de atender as equações de equilíbrio no plano e as condições de contorno, simetria e
continuidade da casca cilíndrica com imperfeição geométrica inicial. A equação de
movimento na direção lateral é discretizada pelo método de Galerkin. São feitas análises não-
lineares estática e dinâmica, em que é possível detectar o real comportamento de cascas
cilíndricas imperfeitas. A qualidade do modelo proposto é comprovada com a convergência
do estudo do caminho pós-crítico, da relação freqüência-amplitude, da curva de sensibilidade
e do plano-fase. Observa-se que a influência da imperfeição geométrica inicial na capacidade
de carga e na freqüência natural da casca cilíndrica imperfeita ocorre de forma inversa, ou
seja, a medida que a amplitude da imperfeição aumenta ocorre a diminuição da capacidade de
carga e da freqüência natural. Além disso, o pré-carregamento estático tem um forte
comportamento na relação freqüência-amplitude da casca cilíndrica imperfeita.
Palavras-chaves: cascas; imperfeição; estática; dinâmica; não-linear.
A. F. Brazão
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Representação da aplicação de cascas cilíndricas em silo e reservatório ............ 15
Figura 2.1 – Geometria, sistema de coordenadas e campo de deslocamento da casca
cilíndrica. ............................................................................................................................. 22
Figura 2.2 – Campo de deslocamento lateral da casca cilíndrica imperfeita .......................... 23
Figura 2.3 – Resultantes dos esforços de membrana e convenção de sinais ........................... 26
Figura 2.4 – Resultantes dos esforços de flexão e convenção de sinais ................................. 26
Figura 3.1 – Caminho pós-crítico da casca cilíndrica, considerando diferentes expansões
para deslocamentos laterais e diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial................. 38
Figura 3.2 – Caminho pós-crítico para solução modal com seis graus de liberdade para
diferentes níveis de imperfeição ........................................................................................... 39
Figura 3.3 – Curva de sensibilidade para casca cilíndrica imperfeita axialmente
comprimida .......................................................................................................................... 39
Figura 3.4 – Relação frequência-amplitude da casca cilíndrica, considerando diferentes
expansões para deslocamentos laterais e diferentes níveis para a imperfeição geométrica
inicial ................................................................................................................................... 41
Figura 3.5 – Relação freqüência-amplitude para diferentes níveis de imperfeição geométrica
inicial. Modelo com seis graus de liberdade ......................................................................... 42
Figura 3.6 – Curva de sensibilidade da frequência natural para uma casca cilíndrica
imperfeita............................................................................................................................. 42
Figura 3.7 – Plano fase para a casca cilíndrica imperfeita (χ11 = 0,01) ao longo da relação
frequência-amplitude para diversas soluções modais ............................................................ 44
Figura 3.8 – Relação freqüência-amplitude considerando diferentes níveis de carregamento
axial estático e níveis de imperfeição geométrica inicial ....................................................... 45
A. F. Brazão
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Condições iniciais dos pontos A, B, C1 e C2 da Figura 3.4 .............................. 43
A. F. Brazão
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos romanos
C1 - Constante de integração
C2 - Constante de integração
E - módulo de elasticidade da casca cilíndrica
f - função axial para a determinação do campo de deslocamento axial
F - função da parcela da solução homogênea para a determinação do campo de
deslocamento axial
G - função da parcela da solução homogênea para a determinação do campo de
deslocamento axial
h - espessura da casca cilíndrica
kx - mudança de curvatura na direção axial
ky - mudança de curvatura na direção circunferencial
kxy - mudança de curvatura no plano x-y
L - comprimento da casca cilíndrica
R - raio da casca cilíndrica
n - número de ondas circunferenciais
Nx - esforço de membrana na direção axial
Nx+ - esforço de membrana incremental na direção axial
Ny - esforço de membrana na direção circunferencial
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas
A. F. Brazão
Ny+ - esforço de membrana incremental na direção circunferencial
Nxy - esforço de membrana cisalhante
Nxy+ - esforço de membrana incremental cisalhante
m - número de semi-ondas longitudinais
Mx - momento na direção axial
Mx+ - momento incremental na direção axial
My - momento na direção circunferencial
My+ - momento incremental na direção circunferencial
Mxy - momento torçor
Mxy+ - momento torçor incremental
P - carga na direção axial
Qx - esforço cisalhante transversal na face cuja a normal é x
Qy - esforço cisalhante transversal na face cuja a normal é y
Qx+ - esforço cisalhante transversal incremental na face cuja a normal é x
Qy+ - esforço cisalhante transversal incremental na face cuja a normal é y
t - tempo
u - deslocamento na direção longitudinal
v - deslocamento na direção circunferencial
w - deslocamento na direção lateral
wp - deslocamento incremental na direção lateral
wi - imperfeição geométrica inicial
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas
A. F. Brazão
w&& - aceleração
x - coordenada na direção longitudinal
y - coordenada na direção circunferencial
z - coordenada na direção lateral
Símbolos gregos
11χ - amplitude modal da imperfeição geométrica inicial
xε - deformação específica axial
xε - deformação específica axial em um ponto qualquer da casca
yε - deformação específica circunferencial
yε - deformação especifica circunferencial em um ponto qualquer da casca
yxγ - deformação específica angular
yxγ - deformação especifica angular em um ponto qualquer da casca
ρ - densidade do material da casca cilíndrica
xσ - tensão axial em um ponto qualquer
yσ - tensão circunferencial em um ponto qualquer
xyτ - tensão cisalhante em um ponto qualquer
0Γ - parâmetro adimensional do pré-carregamento axial estático
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas
A. F. Brazão
máxΓ - Parâmetro adimensional do nível máximo de carregamento
Ω - freqüência natural não-linear da casca cilíndrica
P0Ω - freqüência natural da casca cilíndrica perfeita
*Ω - Relação entre freqüência natural não-linear e freqüência natural linear da
casca perfeita
υ - coeficiente de Poisson
ijξ - amplitude modal da expansão para os deslocamentos laterais
Matrizes e Vetores
σ - vetor de tensões atuantes
ε - vetor de deformações especificas
C - matriz constitutiva do material
A. F. Brazão
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................... 14
1.1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 21
1.2. ESTRUTURA DA MONOGRAFIA .................................................................... 21
CAPÍTULO 2 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................ 22
2.1. CAMPO DE DEFORMAÇÕES........................................................................... 22
2.2. DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMENTO U E V ..................... 29
2.3. ESCOLHA DA EXPANSÃO MODAL PARA W ............................................... 33
CAPÍTULO 3 – RESULTADOS E DISCUSSÕES .......................................................... 36
3.1. ANÁLISE ESTÁTICA NÃO-LINEAR ............................................................... 36
3.2. ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR .............................................................. 40
CAPÍTULO 4 - CONCLUSÃO ......................................................................................... 47
4.1. TRABALHOS FUTUROS ................................................................................... 47
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 49
A. F. Brazão
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, a engenharia estrutural vem passando por grandes
aperfeiçoamentos, que vai desde os materiais empregados na construção até os procedimentos
de cálculo dos elementos. Devido a estes acontecimentos, as estruturas estão cada vez mais
esbeltas e leves. Um bom exemplo dessas estruturas são as cascas, um elemento cuja
espessura é menor que as outras dimensões. A combinação da simples geometria e da sua
eficiência para carregamentos axiais e pressões laterais faz com que a casca cilíndrica seja
uma das geometrias mais comuns entre as diversas cascas, tanto em aplicações industriais
quanto na natureza. Existem diversas aplicações de cascas cilíndricas nas mais variadas áreas
da engenharia como, por exemplo, a engenharia aeronáutica, a petrolífera, a mecânica e a civil
que tem suas aplicações em coberturas, reservatórios, silos, dentre outras (Figura 1.1). Apesar
de ter uma forma geométrica simples, uma casca cilíndrica pode apresentar um complexo
comportamento não-linear, quando submetida a uma excitação externa. Este comportamento
ainda não está totalmente compreendido e um grande conjunto de novos fenômenos não-
lineares ainda está sendo descoberto. Devido aos avanços teóricos e numéricos, a dinâmica
não-linear de cascas tem apresentado notáveis progressos. Uma das principais motivações
para o estudo do comportamento estático e dinâmico destas estruturas é a grande diferença
encontrada entre os resultados teóricos e experimentais reportados na literatura.
Sabe-se, a partir de resultados teóricos e experimentais encontrados na literatura,
que cascas cilíndricas submetidas a cargas estáticas, como a compressão axial, pressão radial
externa e torção, são suscetíveis a flambagem e podem apresentar uma capacidade de carga
muito menor do que a carga teórica crítica, devido principalmente aos efeitos das
imperfeições geométricas. As imperfeições mais deletérias para cascas cilíndricas são as
imperfeições geométricas iniciais, principalmente devido ao comportamento não linear de
cascas cilíndricas e a perda de rigidez da membrana, além do acoplamento modal e das
interações geradas por elas.
As imperfeições geométricas iniciais em cascas cilíndricas ocorrem, geralmente,
no momento em que a estrutura é fabricada, ou montada, provocando alguma alteração em
sua geometria. De acordo com a literatura, esta imperfeição geométrica tem influência no
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 15
A. F. Brazão
comportamento da casca cilíndrica, diminuindo sua capacidade de carga e alterando sua
freqüência natural.
Figura 1.1 –Representação da aplicação de cascas cilíndricas em silo e reservatório.
É possível encontrar na literatura diversos trabalhos que estudam a influência da
imperfeição geométrica no comportamento de cascas cilíndricas. Existem duas vertentes de
pesquisas, uma que faz a análise experimental enquanto a outra trata por soluções analítico-
numéricas. Essas vertentes, por sua vez, não são totalmente dissociadas, encontram-se na
literatura sobre o assunto trabalhos que envolvem estudos numéricos e experimentais.
Para realizar a análise numérica, diversos autores recorrem ao método dos
elementos finitos, como é o caso do trabalho realizado por Guggenberger (1995) que tem
como objetivo explicar o efeito de uma única imperfeição inicial localizada no
comportamento do carregamento de uma casca cilíndrica externamente pressurizada. A partir
de uma abrangente análise da estabilidade elástica não-linear, obtém os resultados numéricos
que são comparados com os resultados experimentais, chegando a uma boa concordância
entre eles, pelo menos qualitativamente. Já quantitativamente, os resultados apresentaram
discrepâncias nas cargas de flambagem e no número de ondas do modo de flambagem, que
podem ser atribuídos a diferenças intrínsecas aos modelos numérico e experimental.
Outro trabalho que também utiliza solução numérica através do método dos
elementos finitos é o dos autores Schenk e Schueller (2002), que estudam o efeito de
imperfeições geométricas aleatórias no limite de carregamento de cascas cilíndricas esbeltas
e isotrópicas sob carregamento axial. Para esta análise o conceito para a previsão numérica de
grande dispersão no limite de carregamento, observado nos experimentos, introduziu-se ao
método dos elementos finitos a técnica de simulação direta de Monte Carlo.
Devido à extensa capacidade de modelagem do método dos elementos finitos, que
tem sido aplicada para a determinação do carregamento limite, este conceito pode ser
estendido a uma análise mais complexa de flambagem, incluindo fontes adicionais de não-
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 16
A. F. Brazão
linearidades bem como estruturas mais complexas que as cascas cilíndricas. Uma pequena
desvantagem nessa abordagem é que a malha de elementos finitos para cascas cilíndricas
esbeltas tem que ser bastante refinada para que se reproduza a resposta da casca de forma
aceitável, exigindo um esforço computacional significativo. Entretanto, os autores acreditam
que, com a evolução contínua dos computadores digitais, esta desvantagem será superada em
um futuro imediato. Por último, este conceito precisa ser melhorado através da incorporação
de todas as incertezas que contribuem para a flambagem de cascas cilíndricas, por exemplo, a
espessura e as imperfeições nas condições de contorno.
Para realizar análises analítica-numéricas, diversos autores recorrem à função de
tensão de Airy para auxiliar a solução do sistema de equações de equilíbrio da casca, como é
o caso do trabalho de Amabili (2002), em que o autor estuda a resposta de grande-amplitude
de cascas cilíndricas perfeitas e imperfeitas simplesmente apoiadas para uma excitação
harmônica na vizinhança das freqüências naturais. A teoria não-linear de Donnell para cascas
abatidas é utilizada e as soluções são obtidas pelo método de Galerkin. As condições de
contorno no deslocamento radial e na continuidade do deslocamento circunferencial são
exatamente satisfeitos. Além disso, a casca cilíndrica está completamente cheia com um
fluido irrotacional, incompressível e não-viscoso. Sendo assim, é realizada uma série de
experimentos de vibrações forçadas de uma casca vazia e de uma cheia de água. A geometria
real da casca analisada foi medida e as imperfeições geométricas foram introduzidas no
modelo teórico.
Vários fenômenos não-lineares interessantes foram observados
experimentalmente e reproduzidos numericamente, tais como a não-linearidade da perda de
rigidez, os diferentes tipos de propagação de ondas nas proximidades da freqüência de
ressonância, a interação entre os modos com diferentes números de ondas circunferenciais e
as respostas no tempo da amplitude modal. Para todos os modos investigados, resultados
teóricos e numéricos são compatíveis. Isto indica que a teoria não-linear de Donnell para
cascas abatidas fornece resultados precisos dentro do limite de aplicabilidade da teoria, ou
seja, em cascas cilíndricas esbeltas. Para amplitude da vibração da ordem da espessura da
casca e com número de ondas circunferenciais maior do que quatro, o autor observa que
imperfeições geométricas com duas vezes o número de ondas circunferenciais provocam
maior efeito sobre a freqüência natural do que as imperfeições geométricas com uma vez o
número de ondas circunferenciais.
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 17
A. F. Brazão
Outro trabalho que utiliza função de tensão é o de Jansen (2004). O autor analisa o
comportamento não-linear das vibrações de cascas cilíndricas usando vários modelos
analítico-numéricos com diferentes níveis de precisão e complexidade. São comparadas as
relações freqüência-amplitude dos diferentes modelos de análise desenvolvidos tanto para
cascas isotrópicas quanto para ortotrópicas. Salienta-se que as pequenas discrepâncias entre os
resultados obtidos por diferentes pesquisadores para um determinado caso da literatura é
enganosa.
O autor observa que, em certos casos, a ocorrência de interações modais altera
drasticamente o comportamento não-linear de vibração e que os resultados calculados
dependem fortemente do método de análise escolhido. Nestes casos é necessário recorrer a
uma análise multimodal. Então, além da influência das interações modais, os efeitos das
condições de contorno, das imperfeições geométricas e do carregamento estático são questões
importantes para futuras investigações neste campo.
Jansen (2007) analisa o comportamento de vibração não-linear de cascas
cilíndricas anisotrópicas imperfeitas sob pré-carregamento estático através do método da
perturbação As equações da casca cilíndrica são resolvidas juntamente com as funções de
tensões de Airy. Os efeitos sobre as vibrações lineares e não-lineares causados pelas
imperfeições geométricas no estado estático fundamental e no estado não-trivial estático são
incluídos no procedimento de perturbação. As condições de contorno da casca cilíndrica são
satisfeitas com precisão. O autor avalia, a partir dos resultados apresentados, a potencialidade
do método da perturbação e conclui que o procedimento da perturbação é útil para obter uma
visão do comportamento não-linear de estruturas, incluindo problemas com interações
modais. O método da perturbação apresentado pode ser usado para diversas estruturas e em
todos os níveis de complexidade de discretização de um problema semi-analítico. Segundo o
autor, os problemas não se restringem ao contexto semi-analítico, podendo ser aplicado a
problemas com soluções por elementos finitos.
Posteriormente, continuando na vertente de soluções analíticas para cascas
cilíndricas que utilizam a função de tensão de Airy, Huang e Han (2008) estudam a
flambagem de cascas cilíndricas feitas com material com gradação funcional, axialmente
comprimidas e com imperfeições geométricas iniciais, utilizando a teoria não-linear de
Donnell para cascas abatidas e as relações não-lineares de tensão-deformação para grandes
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 18
A. F. Brazão
deformações. As equações discretizadas para o estudo da flambagem de cascas cilíndricas
imperfeitas são obtidas utilizando o método de Galerkin.
Os resultados numéricos mostram os efeitos da imperfeição, do tipo de estrutura,
do expoente da função de gradação do material, da temperatura e dos parâmetros
dimensionais na flambagem. Conclui-se que as cascas cilíndricas com material com gradação
funcional axialmente comprimidas têm comportamento semelhante ao das cascas cilíndricas
isotrópicas, ou seja, são muito sensíveis à imperfeição. Observa-se que a imperfeição muda
significativamente o modo de flambagem e, enquanto o modo de flambagem está relacionado
com a forma de onda da imperfeição, a carga crítica está relacionada tanto com a amplitude
quanto com a forma da onda da imperfeição. Além disso, a carga crítica diminui com o
aumento de temperatura e decresce com o aumento da relação raio/espessura ou com a
diminuição da relação comprimento/raio. Observa-se que a relação raio/espessura é o fator
dimensional mais importante que afeta a carga crítica.
Jamal et al. (2002) investigam a estabilidade de cascas cilíndricas esbeltas sujeitas
a um carregamento axial de compressão sob a presença de imperfeições localizadas e/ou
distribuídas. Este estudo é resolvido com técnicas de perturbação para se calcular a redução da
carga de flambagem de uma casca cilíndrica imperfeita sob compressão axial. Confirma-se a
grande sensibilidade de cascas cilíndricas sob carregamento axial de compressão na presença
das imperfeições. Os resultados obtidos pelo método proposto mostram resultados
satisfatórios até 30-40% de redução da carga de flambagem. Observa-se também que a
imperfeição localizada tem uma menor influência sobre a redução da carga de flambagem em
comparação com a imperfeição distribuída. Nesse trabalho, os autores descrevem a equação
de equilíbrio da casca cilíndrica juntamente com a equação de compatibilidade dos
deslocamentos, que por sua vez, são descritos em função das funções de tensões de Airy.
Pellicano e Amabili (2006) investigam a estabilidade dinâmica de cascas
cilíndricas submetidas a carregamentos axiais estáticos e dinâmicos, usando tanto a teoria
não-linear de Donnell para cascas abatidas quanto a teoria de Sanders-Koiter para cascas são
aplicadas. Os resultados são comparados a fim de avaliar a precisão dessas teorias na previsão
da instabilidade inicial e na resposta pós-crítica não-linear. Os autores estudam o efeito do
fluido e da influência de imperfeições geométricas na estabilidade das cascas cilíndricas e no
seu comportamento pós-crítico. Os autores observam que a presença de um fluido contido na
casca provoca efeitos de segurança no início da instabilidade e que a casca cilíndrica
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 19
A. F. Brazão
analisada não é sensível a pequenas imperfeições geométricas no que diz a respeito do início
da instabilidade.
Zhang e Han (2007) investigam o comportamento de pré-flambagem e pós-
flambagem de cascas cilíndricas submetidas à torção. As equações governantes são baseadas
nas equações diferenciais não-lineares de Donnell e a teoria de camada limite da casca
cilíndrica é aplicada para obter soluções analíticas que atendam estritamente às condições de
contorno. Além disso, a técnica de perturbação é empregada para determinar as cargas de
flambagem e os caminhos pós-críticos. O autor analisa os efeitos dos parâmetros geométricos
no comportamento de pré- e pós-flambagem e observa, através dos resultados numéricos, que
a teoria de Donnell dá boas estimativas dos caminhos pós-flambagem da casca cilíndrica.
Confirma-se, então, que o equilíbrio do caminho pós-crítico de cascas cilíndricas submetidas
à torção são instáveis e as cascas relativamente curtas têm maior equilíbrio do caminho de
pós-crítico.
São analisados, também pelo autor, os efeitos das imperfeições iniciais no
comportamento das cascas cilíndricas. Através dos resultados obtidos para cascas cilíndricas
imperfeitas com diferentes imperfeições transversais iniciais, observa-se que imperfeições
extremamente pequenas, de fato, reduzem a carga crítica e fazem com que o equilíbrio do
caminho pós-crítico seja mais baixo. Conclui-se que a flambagem e a pós-flambagem de
cascas cilíndricas submetidas à torção apresentam uma sensibilidade à imperfeição. Além
disso, os efeitos tornam-se maiores para grandes imperfeições.
Del Prado, Gonçalves e Paidoussis (2009) estudam a influência simultânea das
imperfeições geométricas e do fluxo de um fluido na direção axial nas vibrações não-lineares
e nas instabilidades da casca cilíndrica simplesmente apoiada sob carregamento axial. Os
resultados mostram que a imperfeição tem grande influência sobre a carga crítica de
flambagem da casca, e que este efeito deletério aumenta com a velocidade do fluxo do fluido.
Por outro lado, a influência das imperfeições geométricas na freqüência natural da casca e na
relação não-linear de freqüência-amplitude é menor. Concluiu-se que na presença de qualquer
pequena imperfeição, o grau de segurança e toda a topologia das bacias de atração mudam
radicalmente.
Nas formulações analíticas, além das soluções que recorrem a função de tensão de
Airy, pode-se obter a solução das três equações de equilíbrio da casca cilíndrica com
imperfeição geométrica inicial simultaneamente. Determina-se o campo de deslocamento
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 20
A. F. Brazão
axial e circunferencial, u e v, respectivamente, em função do campo de deslocamento lateral
w. Mallon, Fey e Nijmeijern (2007), utilizaram este procedimento, determinaram os limites de
estabilidade dinâmica de uma casca cilíndrica com uma massa concentrada na extremidade
submetida a uma excitação de base e estudaram como esses resultados são afetados por uma
possível imperfeição geométrica. Então, dependendo da consideração da imperfeição
geométrica e do número de ondas circunferenciais, vários tipos de comportamento pós-crítico
são observados, como por exemplo, periódico, quase-periódico e caótico. Os autores
observam que, similar ao caso estático de flambagem, o valor crítico da amplitude da
aceleração de base prescrita para cada resposta harmônica muda significativamente para uma
resposta pós-crítica dependendo das imperfeições geométricas iniciais presentes na casca.
Em 2010, como continuação deste trabalho, Mallon, Fey e Nijmeijern (2010)
estudam novamente a estabilidade dinâmica de uma casca cilíndrica com massa concentrada
na extremidade submetida a uma excitação de base, tanto em abordagens numéricas quanto
experimentais. Então para poder comparar os resultados experimentais com os numéricos, um
modelo semi-analítico acoplado a um equipamento que produz excitações externas é
construido. Através deste modelo, mostra-se que a análise da estabilidade dinâmica de uma
casca cilíndrica com massa concentrada na extremidade, submetida a uma excitação de base,
deve estar concentrada perto da freqüência de ressonância, correspondendo a um modo no
qual as vibrações da massa concentrada na extremidade são dominantes. Os resultados
experimentais confirmaram qualitativamente as observações numéricas.
Silva, Gonçalves e Del Prado (2011) investigam um modelo de baixa dimensão
levando em consideração a influência dos modos na solução modal. Para isso, a solução
modal é obtida através do método da perturbação, que satisfaz, no plano, as equações de
equilíbrio e todas as condições de contorno, de continuidade e de simetria. Então a equação de
movimento transversal é discretizada utilizando o método de Galerkin. A importância de cada
modo na expansão modal proposta é estudada usando a decomposição de Karhunen-Loève.
Para comprovar a qualidade do estudo em questão, foram estudadas a
convergência da relação freqüência-amplitude, as curvas de ressonância, os diagramas de
bifurcações e as repostas no tempo. Mostra-se que os deslocamentos no plano são descritos
como uma função das amplitudes modais fora do plano, reduzindo consideravelmente o
número de graus de liberdade do sistema discretizado. Os autores concluíram que isto leva a
uma solução modal eficiente para grandes deslocamentos, cerca de duas vezes a espessura da
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 21
A. F. Brazão
casca, na maioria das situações, envolvendo respostas livres e forçadas, com um número de
modos relativamente pequenos.
1.1. OBJETIVOS
Este trabalho tem como objetivo propor uma metodologia para determinação dos
campos de deslocamentos axial e circunferencial em função do campo de deslocamento
lateral de uma casca cilíndrica com imperfeição geométrica inicial. Essa metodologia deve ser
capaz de atender as condições de contorno do problema, de reduzir o número de graus de
liberdade do sistema e detectar o real comportamento de cascas cilíndricas imperfeitas nas
análises não-lineares estática e dinâmica.
1.2. ESTRUTURA DA MONOGRAFIA
Este trabalho está organizado em quatro capítulos, incluindo este de introdução, e
apresenta a formulação matemática da casca cilíndrica imperfeita, além de resultados obtidos
para análise não-linear estática e dinâmica. A estruturação se dá da seguinte forma:
♦ O capítulo 2 apresenta a formulação das equações de movimento de uma casca
cilíndrica imperfeita. O campo de deformações da superfície média segue a teoria
não-linear de Donnell para cascas abatidas;
♦ No capítulo 3 são apresentados os resultados das análises estática e dinâmica não-
lineares, além de discussões acerca do assunto;
♦ O capítulo 4 consiste nas principais conclusões deste trabalho.
A. F. Brazão
CAPÍTULO 2
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
Casca cilíndrica pode ser definida como um elemento estrutural cuja sua espessura
h é menor que o raio R e o comprimento L que a definem. Sendo assim, as teorias de casca
reduzem o problema tridimensional a um problema bidimensional.
As equações não-lineares de movimento são obtidas neste trabalho considerando o
campo de deformações proposto pela teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas.
Devido a sua precisão e sua simplicidade essa teoria é a mais utilizada para o estudo de
problemas não-lineares. Para cascas esbeltas, ou seja, em que a espessura é muito inferior ao
raio ( )RhR << , a precisão da teoria não-linear de Donnell é satisfeita para modos com um
grande número de ondas circunferenciais, n , onde a relação 11 2 <<n deve ser satisfeita.
Sendo assim, deve-se considerar 5≥n para garantir uma boa precisão.
2.1. CAMPO DE DEFORMAÇÕES
Considera-se uma casca cilíndrica simplesmente apoiada de raio R , espessura h ,
comprimento L , de material elástico linear com módulo de elasticidade E , coeficiente de
Poisson υ e densidade ρ . Esta casca está submetida a uma carga axial de compressão, P,
aplicada em suas extremidades. A geometria, o sistema de coordenadas (x, y, z) e o campo de
deslocamentos (u, v, w) estão ilustrados na Figura 2.1.
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 23
A. F. Brazão
Figura 2.1 – Geometria, sistema de coordenadas e campo de deslocamento da casca cilíndrica.
A Figura 2.2 representa um corte longitudinal da casca, sendo a linha tracejada a
representação da casca perfeita, ou seja, com raio R. Já a linha cheia representa a imperfeição
geométrica inicial dada por wi(x,y) e a linha traço-dois-pontos representa o deslocamento
lateral incremental dado por wp(x,y) devido às excitações externas. O deslocamento lateral
total, w(x,y), é dado pela soma da imperfeição geométrica inicial wi(x,y) com o deslocamento
lateral incremental wp(x,y). As considerações dos efeitos de imperfeição geométrica inicial da
casca cilíndrica não alteram o estado de tensões inicial da casca.
Figura 2.2 – Campo de deslocamento lateral da casca cilíndrica imperfeita.
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 24
A. F. Brazão
A partir da teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas, as deformações
específicas para uma casca cilíndrica perfeita são dadas por:
2,, 2
1xxx
wu +=ε (2.1)
2,, 2
1x
p
yy wR
wv ++=ε (2.2)
yxxyxy wwvu ,,,, ++=γ (2.3)
Substituindo w pela soma da imperfeição geométrica inicial wi com o
deslocamento lateral incremental wp nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) e excluindo os termos de
alta ordem em wi, chega-se ao campo de deformações da superfície média de uma casca
cilíndrica imperfeita:
xixpxpxxwwwu ,,
2,, 2
1++=ε
(2.4)
yiypxp
p
yy wwwR
wv ,,
2,, 2
1+++=ε
(2.5)
xpyiypxiypxpxyxy wwwwwwvu ,,,,,,,, ++++=γ (2.6)
onde xε ,
yε e xyγ são as deformações normais específicas e cisalhantes de um elemento da
superfície média; u, v são as componentes dos deslocamentos axial e circunferencial; wp é o
deslocamento lateral incremental; e wi é a imperfeição geométrica inicial.
Considera-se que as imperfeições geométricas iniciais não inserem mudanças de
curvatura na casca cilíndrica (DEL PRADO; GONÇALVES, PAÏDOUSSIS, 2009), portanto:
xxpx wk ,−= (2.7)
yypy wk ,−= (2.8)
xypxy wk ,−=
(2.9)
As deformações específicas de um ponto qualquer da casca, ( )xyyx γεε ,, ,
localizado a uma distância z da superfície média, ( )2/2/ hzh ≤≤− , são definidas por:
xxx kz+= εε (2.10)
yyy kz+= εε (2.11)
xyxyxy kz2+= γγ (2.12)
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 25
A. F. Brazão
Os esforços que atuam na casca cilíndrica são escritos na seguinte forma
matricial:
εCσ = (2.13)
onde σ e ε são, respectivamente, o vetor de tensões e o vetor de deformação, ambos relativos
a um ponto qualquer ao longo da espessura da casca.
Considerando um estado plano de tensões e um material linear, elástico e
isotrópico, a equação (2.13) é escrita da seguinte maneira:
( )
+
−−
−−
=
xy
y
x
xy
y
x
E
EE
EE
γ
ε
ε
υ
υυ
υυ
υ
υ
τ
σ
σ
1200
011
011
22
22
(2.14)
Conhecidas as relações tensão-deformação da casca cilíndrica em um ponto
qualquer, as resultantes dos esforços de membrana e de flexão são dadas por:
∫−
=2
2
h
h
xx dzN σ
(2.15)
∫−
=2
2
h
h
yy dzN σ (2.16)
∫−
=2
2
h
h
xyxy dzN τ (2.17)
∫−
=2
2
h
h
xx dzzM σ
(2.18)
∫−
=2
2
h
h
yy dzzM σ (2.19)
∫−
=2
2
h
h
xyxy dzzM τ (2.20)
onde yx NN , e xyN são os esforços de membrana e yx MM , e xyM são os esforços de flexão.
As resultantes dos esforços de flexão e de membrana, para uma casca imperfeita,
são dadas por:
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 26
A. F. Brazão
(
−++
+++−
=
R
wwv
wwwwwuhE
N
p
ypy
yiypxixpxpxx
υυυ
υυ
2,,
,,,,2
,,2
2
222)1(2
(2.21)
(
++
++++−
=
R
ww
vwwwwwuhE
N
p
yp
yyiypxixpxpxy
2,
,,,,,2
,,22222
)1(2υυυ
υ (2.22)
( )( )xpyiypxiypxpxxxy wwwwwwvu
hEN ,,,,,,,,12
+++++
=υ
(2.23)
( ) ( )yypxxpx wwhE
M ,,2
3
112υ
υ−
+−
−= (2.24)
( ) ( )yypxxpy ww
hEM ,,2
3
112−−
+−
−= υ
υ (2.25)
( ) xypxy whE
M ,
3
112 υ+
−= (2.26)
Figura 2.3 – Resultantes dos esforços de membrana e convenção de sinais.
Figura 2.4 – Resultantes dos esforços de flexão e convenção de sinais.
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 27
A. F. Brazão
As Figuras 2.3 e 2.4 ilustram um elemento infinitesimal da casca cilíndrica na
configuração deformada. Os esforços de membrana são dados por Nx, Ny, Nxy e Nyx enquanto
os esforços cisalhantes transversais são dados por Qx e Qy. Já os termos Mx, My, Mxy e Myx
representam os esforços de flexão. Ainda, nestas figuras, w,x e w,y são ângulos de rotação nas
direções x e y, respectivamente, sendo que w é o deslocamento lateral total, dado pela soma do
deslocamento lateral incremental wp e da imperfeição geométrica inicial wi. Os termos que
apresentam o sinal de adição (+) sobrescrito representam os esforços incrementais, como no
exemplo dado a seguir:
dxNNN xxxx ,+=+ (2.27)
Então, a partir de um elemento infinitesimal da casca cilíndrica dado pelas Figuras
2.3 e 2.4, faz-se análise do equilíbrio deste elemento para obter as equações de equilíbrio não-
lineares da casca. Sendo assim, realiza-se o somatório das forças nas direções x, y e z, e dos
momentos nas direções x e y do elemento. Gera-se assim um sistema de equações de
equilíbrio não-lineares da casca cilíndrica (BRUSH; ALMROTH, 1975). A seguir apresenta-
se a dedução desse sistema de equações.
Primeiramente, tem-se que o somatório dos esforços na direção x é dado por:
( ) ( ) 0,, =++++−− dydxNNdxdyNNdyNdxN xxxyxyxyxxy (2.28)
Dividindo-se a equação (2.28) por dydx tem-se:
0,, =+ xxyxy NN (2.29)
que representa a equação de equilíbrio da casca cilíndrica na direção do eixo x.
Em seguida, obtém-se, a partir do somatório dos esforços na direção y:
( ) ( ) 0,, =++++−− dxdyNNdydxNNdxNdyN yyyxxyxyyxy (2.30)
Novamente, dividindo-se a equação (2.30) por dydx tem-se que:
0,, =+ yyxxy NN (2.31)
que representa a equação de equilíbrio da casca cilíndrica na direção do eixo y.
O somatório das forças em torno do eixo z fornece:
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 28
A. F. Brazão
0,,,
,,,,,,
,,,,,
=−−
−−−−
−−++
dxdywNdxdywN
dxdywNdxdywNdxdywNdxdywN
dxdywNdxdywNdxdyQdxdyQdydxp
xyxyxxy
yyyyyyxxxxxx
yxxyyxxyyyxx
(2.32)
Dividindo a equação (2.32) por dydx tem-se:
0,,,,,,
,,,,,,,,
=−−−−
−−−−++
xyxyxxyyyyyyy
xxxxxxyxxyyxxyyyxx
wNwNwNwN
wNwNwNwNQQp (2.33)
Observa-se que a equação (2.33) está em função dos esforços cisallhantes
transversais dados por Qx e Qy. Então, a partir do somatório dos momentos é possível
relacioná-los com os momentos fletores e de torção, como pode ser visto nas equações (2.34)
a (2.39). Inicialmente, o somatório dos momentos em torno do eixo x fornece:
0,, =+−− dydxQdydxMdydxM yyyxxy (2.34)
Dividindo a equação (2.34) por dydx tem-se:
yyyxxyQMM =+ ,, (2.35)
O somatório dos momentos em torno do eixo y é dado por:
0,, =−+ dxdyQdydxMdydxMxxxyxy
(2.36)
Dividindo a equação (2.39) por dydx tem-se:
xxxyxyQMM =+ ,, (2.37)
Substituindo-se as equações (2.35) e (2.37) na equação (2.33), chega-se a:
( )
pR
NwNwN
wwNMMM
y
xxxyyy
xyxyxyxxxxyxyyyy
−=−−
+−++
,,
,,,,, 2
(2.38)
Sendo assim, obtém-se o sistema de equações não-lineares dada por:
0,, =+ yxyxx NN
0,, =+yyxxy
NN
( )
( ) ( ) pwwNwwN
R
NwwNMMM
xyipxyxxipx
y
yyipyyyyxyxyxxx
−=+−+
−−++++
,,
,,,,
2
2
(2.39)
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 29
A. F. Brazão
Para as análises dinâmicas, deve-se inserir o termo de inércia da casca cilíndrica
que tem a mesma direção da pressão radial p. Desta maneira, substitui-se na terceira equação
de (2.39):
pwhp &&ρ−= (2.40)
obtendo-se a seguinte equação de equilíbrio transversal para análises dinâmicas:
( )
( ) ( )pxyipxyxxipx
y
yyipyyyyxyxyxxx
whwwNwwN
R
NwwNMMM
&&ρ=+−+
−−++++
,,
,,,,
2
2 (2.41)
O problema proposto, além de atender ao sistema de equações dado pela equação
(2.39), deve satisfazer as seguintes condições de contorno:
♦ A condição de antimetria do campo de deslocamentos axiais:
( ) 0,2/ =yLu (2.42)
♦ A condição de continuidade dos deslocamentos circunferenciais:
( ) ( )π2,0, xvxv = (2.43)
♦ Deslocamentos circunferenciais nulos nas extremidades da casca:
( ) ( ) 0,,0 == yLvyv (2.44)
♦ Deslocamentos radiais nulos nas bordas da casca:
( ) ( ) 0,,0 == yLwyw (2.45)
♦ Momento axial nulo nas extremidades da casca:
( ) ( ) 0,,0 == yLMyM xx (2.46)
♦ Esforço axial nas extremidades da casca deve ser igual a carga axial:
( ) ( ) PyLNyN xx == ,,0 (2.47)
A condição de contorno (2.47) pode ser escrita em termos dos deslocamentos
como apresentado na equação (2.21).
2.2. DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMENTO U E V
O número de graus de liberdade pode ser reduzido obtendo-se analiticamente as
amplitudes modais dos deslocamentos u e v em função das amplitudes modais de wp e wi.. Os
deslocamentos u e v são obtidos em função das amplitudes modais de wp satisfazendo as
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 30
A. F. Brazão
equações de equilíbrio, as condições de contorno, de simetria e de continuidade da casca
cilíndrica (SILVA, 2008; SILVA et al., 2011).
No presente estudo, onde se trata de casca cilíndrica imperfeita, os deslocamentos
u e v são obtidos em função das amplitudes modais de wp e wi, ou seja, do deslocamento
lateral incremental e da imperfeição geométrica inicial, respectivamente.
Primeiramente, considera-se a segunda equação do sistema de equações (2.39).
Então, a partir dela é possível escrever a derivada parcial do deslocamento axial, xy
u, , em
função de v, wp e wi:
(
−+++++
+++++
+++−
+−−−+
−=
R
wwwwwvwwv
wwwwwwwwww
wwwwwwww
wwwwvwwu
yp
ypxxpyiyypyyxpxyixx
xxpyiyyiypxypxixypxpypxxi
yypypxyixpxixypypxxi
xypxpypxxpxxxxpyixy
,
,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
222
2
2
)1(
1
υυυ
υυυυυ
(2.48)
Derivando a equação (2.48) duas vezes com relação à variável x e duas vezes com
relação à variável y, obtém-se:
(
++
+++++
+−+++
+++++
+++++
+++++
−−++−
−−−++
−=
R
www
wwwwwwwwww
wwvwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwvvu
xxyp
ypxxxxp
xxyiyypxxpxxyixxxypxpxxyypypxxypxxp
xypxxxpxxxxxxxxxpyixxxpxyixyypxyp
yypxxypxxxypxixxypxxixxyyiypxyyixyp
yyixxypxypxxxiypxxxxixyixyypyixxyyi
xpxxxyixxxyixpxxyixxpxxixxypxixxxyp
xypxxxiypxxxxixxxypxpxxypxxpxypxxxp
ypxxxxpxxxxpyixxxpxyixxxxxxyyxyxx
,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,
2
2323
334
2324
2342
2)1(
1
υ
υυυυ
υυυυυ
υυυυ
(2.49)
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 31
A. F. Brazão
( )(
+−++
++++
++++
++++
+++−−
−++−
−−−−
−+++
++++
++++
−=
R
wvwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwwwww
wwwwvvu
yyyp
xxyyyiyyyypyyypxxp
yyypxxixpxyyyixxpyyyiyyypyyp
xyyypxixyyypxpyyyyiypyyyypyp
yyyiyypyyiyyypxyyyixpxyyixyp
xyixyypxixyyypyyypxxiyypxxyi
ypxxyyixyyypxpxyypxypyyypxxp
yypxxypypxxyypxxyypyixxypyyi
xxpyyyixxyiyypxxyypypxyypxyp
yypxxypxxyyiypxyyixypyyixxyp
xyixyypyixxyypxxyyyyyyxyyy
,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,
22
6
22
663
32
3
22
23
232
321
1
υ
υυ
υυυυ
υυυ
υυυυ
υ
υ
(2.50)
Derivando a primeira equação do sistema de equações (2.39) duas vezes com
relação às variáveis x e y e substituindo as equações (2.49) e (2.50) na equação resultante,
chega-se à seguinte equação diferencial:
ypxxxxpyyyiyypxxyypyi
xxypyyixyypxyixypxyyiyypxxyiypxxyyi
xyypxypyypxxypypxxyypxxypxxpxypxxxi
yyyyiypyyyypypxyypxypxxpxxyixxypxxi
yyypyypypxxxxixyyixypxypxxxpxxxpxyi
yyypxxpxxypyyi
xxyp
yyiyyypxyixyyp
xxxxpyixxpyyyiyypxxypyiyyyypyyyp
yyypxxiyypxxyi
xxyp
yyyyxxyyxxxx
wwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwR
wwwww
wwwwwwwww
wwwwR
wvvvv
,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,
,,,,
,,,,,,,,,
,,,,
,
,,,4
32
24422
4222
2
3222
232
2
−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
++−−−
−++−−
++=++=∇
υ
υ
υυυυ
υυ
υυυ
(2.51)
Definidas a expansão modal para os deslocamentos radiais wp e a imperfeição
geométrica inicial wi, e substituindo-as na equação (2.51), obtém-se uma equação diferencial
parcial linear em v. A solução para os deslocamentos circunferenciais, v, é obtida a partir da
soma de uma solução particular, vp, e de uma solução homogênea, vh, sendo esta última
considerada nula para satisfazer a continuidade dos deslocamentos na direção circunferencial
da casca (SILVA, 2008; SILVA et al., 2011). A solução particular é obtida substituindo a
expansão modal de wp e wi na equação (2.51), expandindo os produtos e potências das
funções trigonométricas e equacionando os coeficientes das funções harmônicas. Assim, a
solução modal para os deslocamentos circunferenciais, v, é obtida como uma função não-
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 32
A. F. Brazão
linear das amplitudes do deslocamento incremental e da imperfeição geométrica inicial. Então
a solução resultante satisfaz a condição de contorno (2.43) na média, a saber:
( ) ( ) 0,,0 == ∫∫ θθθθ dRLvdRv (2.52)
Substituindo as soluções modais de v, wp e wi na equação (2.49), é obtida a
derivada parcial de u em termos das amplitudes modais de wp e wi. Integrando a equação
resultante, obtém-se:
(
( ) ( )yxGxF
dydxdxdxR
wwwwwww
wwwwwwwwv
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwwvvu
xxyp
ypxxxxpxxyiyypxxpxxyi
xxxypxpxxyypypxxypxxpxypxxxpxxxxx
xxxxpyixxxpxyixyypxypyypxxypxxxypxi
xxypxxixxyyiypxyyixypyyixxypxypxxxi
ypxxxxixyixyypyixxyyixpxxxyixxxyixp
xxyixxpxxixxypxixxxypxypxxxiypxxxxi
xxxypxpxxypxxpxypxxxpypxxxxpypxxxxp
xxxxpyixxxpxyixxxxxxyy
,
223
233
342
32423
42
2)1(
1
,,,,,,,
,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
,,,,,,
++
++++
++++−
+++++
+++++
+++++
+++−−
++−+−
−−+
+−= ∫∫∫ ∫
υ
υ
υυυυυ
υυυυυ
υυυ
(2.53)
Os deslocamentos axiais ficam totalmente definidos se determinadas suas funções
( )xF e ( )yxG , , sendo que ( )xF e ( )yxG , são parcelas da solução homogênea da equação
diferencial parcial (2.53) como:
( ) ( ) ( ) ( )yFyFxyFxyxG 3212, ++= (2.54)
Substituindo (2.53) na primeira equação do sistema (2.39), obtém-se uma equação
diferencial ordinária não-homogênea de segunda ordem em ( )xF . Esta equação pode ser
escrita como:
( ) ( )xfxFxx
=, (2.55)
Resolvendo a equação (2.55) obtém-se:
( ) ( ) 21 CxCdxdxxfxF ++= ∫ ∫ (2.56)
As constantes de integração 1C e 2C , bem como as funções ( )yF1 , ( )yF2 e ( )yF3 ,
são obtidas impondo a condição de antimetria (2.42) e a condição de contorno (2.47).
Primeiramente, usa-se a condição de contorno não-linear (2.47) em 0=x e L , obtendo por
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 33
A. F. Brazão
inspeção dos termos, a constante 1C e as funções ( )yF1 e ( )yF2 , sendo que ( ) 01 =yF . Em
seguida, o valor da constante 2C e da função ( )yF3 é fornecido pela condição de antimetria
(2.42) De maneira que o campo de deslocamentos axiais fica totalmente definido.
Então, substituindo a expansão modal dos deslocamentos radiais wp e wi
juntamente com as expansões modais obtidas para u e v na equação de equilíbrio, que é a
terceira equação do sistema de equações (2.39) e, aplicando o método de Galerkin, obtém-se
um sistema discretizado de equações diferenciais ordinárias.
2.3. ESCOLHA DA EXPANSÃO MODAL PARA W
A expansão modal de u, v e w é obtida aplicando o método da perturbação, que é
capaz de fornecer os principais termos que devem estar presentes nos deslocamentos u, v e w
da casca cilíndrica. Obtendo-se a seguinte solução geral para o campo de deslocamentos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
=
+
=
+
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
L
xml
R
ynktw
L
xjm
R
ynitww
L
xml
R
ynktv
L
xmj
R
ynitvv
L
xml
R
ynktu
L
xjm
R
ynituu
k l
kl
i j
ij
k l
kl
i j
ij
k l
kl
i j
ij
π
π
π
π
π
π
coscos
sencos
cossen
sensen
sencos
coscos
4,2,0 4,2,0
5,3,1 5,3,1
4,2,0 4,2,0
5,3,1 5,3,1
4,2,0 4,2,0
5,3,1 5,3,1
(2.57)
Esta é a solução para uma casca infinitamente longa já que nenhuma condição de
contorno foi imposta durante a determinação dos termos de alta ordem (GONÇALVES;
BATISTA, 1988). Assim, o sistema dinâmico é reduzido a um sistema discretizado com n-
graus de liberdade, sendo que o número total de graus de liberdade é dado pela soma dos
graus de liberdade presentes na solução de cada componente do deslocamento. Por exemplo,
um sistema onde cada uma das três soluções modais tem três modos em sua solução, então
este sistema possui nove graus de liberdade.
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 34
A. F. Brazão
Segundo Silva (2008) e Silva et al. (2011), o campo de deslocamentos laterais de
uma casca perfeita simplesmente apoiada, impondo as condições de contorno (2.45) e (2.46),
pode ser escrito como:
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
+
+
++
+−
+
+
+
=
∑ ∑
∑ ∑∞
=
∞
=+
∞
=
∞
=
R
xm
R
xm
R
xm
R
ynht
R
xπmj
R
ynihtw
i j
ijp
πβ
β
βπβ
πβ
β
βαξ
ξ
α ββα
64cos124
6162cos
6cos
124
63cos
sencos
4,2,0 062
5,3,1 5,3,1
(2.58)
Neste trabalho será considerada a expansão modal dada pela equação abaixo, pois
há uma boa convergência dos resultados tanto para análise não-linear estática quanto
dinâmica, que será apresentada no próximo capítulo.
+
−
+
+
−+
+
+
+
=
L
xm
L
xm
R
ynh
L
xm
L
xmh
L
xm
R
ynh
L
xm
R
ynh
L
xm
R
ynh
L
xm
R
ynhwp
ππξ
ππξ
πξ
πξ
πξ
πξ
4cos
4
12cos
4
32cos
4cos
4
12cos
4
3
3sen
3cossen
3cos
3sencossencos
22
02
3331
1311
(2.59)
Após a escolha da solução modal para os deslocamentos transversais, obtêm-se os
campos de deslocamentos axiais (u) e circunferenciais (v), segundo a metodologia
apresentada neste capítulo. Substituem-se, em seguida, esses campos de deslocamentos na
terceira equação de (2.39) e, aplicando-se o método de Galerkin, chega-se a um sistema
discretizado de equações não-lineares.
Na literatura são encontradas outras abordagens para descrever os campos de
deslocamentos u, v e w, por exemplo, o método da perturbação e as funções de vigas, que
descrevem esses campos de deslocamentos a partir de um somatório de funções. Nestes casos
o número de graus de liberdade total do sistema é igual a soma do número de termos do
somatório relativo aos campos de deslocamentos u, v e w.
Outra abordagem, observada na literatura, é resolver a equação de equilíbrio
transversal da casca juntamente com a função de tensão de Airy, que está relacionada com o
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 35
A. F. Brazão
campo de deslocamento w. Nessa abordagem, o número de graus de liberdade é o número de
graus de liberdade utilizado para descrever o campo de deslocamento w.
Sendo assim, tanto a função de tensão de Airy quanto a abordagem proposta neste
trabalho são capazes de reduzir o numero de graus de liberdade, porém a abordagem proposta
é capaz de atender de forma precisa as condições de contorno da casca cilíndrica, mostrando-
se eficiente para grandes amplitudes de vibração e de deslocamentos (SILVA, 2008; SILVA;
GONÇALVES; DEL PRADO, 2011).
A. F. Brazão
CAPÍTULO 3
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo, têm-se o objetivo de descrever corretamente o comportamento
não-linear de cascas cilíndricas imperfeitas tanto em análises estáticas quanto dinâmicas. Os
resultados obtidos neste trabalho são para uma casca cilíndrica imperfeita com R = 0,2 m,
L = 0,4 m, h = 0,002 m, E = 210 GPa, ν = 0,3 e ρ = 7850 kg/m³. A imperfeição geométrica
inicial, wi, é considerada na forma do modo fundamental da casca cilíndrica que é dada por:
=
L
xm
R
ynhwi
πχ sencos11
(3.1)
A geometria escolhida é largamente utilizada na literatura, apresentando vários
resultados numéricos e experimentais, o que facilita a comparação qualitativa dos resultados
deste trabalho. Para esta casca cilíndrica perfeita a menor carga de flambagem, assim como a
menor freqüência natural, são obtidas para (m, n) = (1,5) (GONÇALVES e DEL PRADO,
2005), sendo m o número de semi-ondas longitudinais e n o número de ondas
circunferenciais. Essa combinação de ondas será utilizada ao longo de todo o capítulo.
3.1. ANÁLISE ESTÁTICA NÃO-LINEAR
Para realizar a análise estática não-linear é necessário eliminar o termo de inércia
contido na terceira equação do sistema de equações (2.41). Inicialmente, realiza-se o estudo
do caminho pós-crítico que representa o comportamento da estrutura após atingir a carga
crítica de flambagem. Em cascas cilíndricas, após atingir a carga crítica a casca apresenta
perda de rigidez até atingir um mínimo pós-crítico e, em seguida, volta a ganhar carga axial
com o incremento da rigidez.
A Figura 3.1 ilustra o caminho pós-crítico da casca cilíndrica imperfeita para
diferentes números de graus de liberdade, variando para cada gráfico o nível de imperfeição
geométrica inicial. Os resultados foram obtidos resolvendo-se as equações de equilíbrio
discretizadas através do método de Newton-Raphson. Nos gráficos, a curva em azul
representa a solução modal para dois graus de liberdade que contêm os modos ξ11 e ξ02 na
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 37
A. F. Brazão
equação (2.59). Já para curva em vermelho, a expansão modal utilizada apresenta três graus
de liberdade que é obtida a partir da soma do modo ξ22 à solução modal com dois graus de
liberdade. Em verde, a curva representa a solução do sistema para quatro graus de liberdade,
onde se acrescenta o modo ξ13 na expansão modal com três graus de liberdade. A cor rosa
ilustra a curva para cinco graus de liberdade, onde é inserido na solução com quatro graus de
liberdade o modo ξ31. E por último, tem-se a curva para seis graus de liberdade, representada
pela cor laranja, que adiciona o modo ξ33 à expansão modal anterior.
Nestes gráficos, o eixo das abscissas representa o deslocamento lateral,
normalizado em relação à espessura da casca, de um ponto posicionado segundo as
coordenadas (x, y) = (L/2, 0), enquanto o eixo das ordenadas corresponde ao parâmetro de
carregamento axial, que está normalizado em relação à carga crítica estática da casca
cilíndrica perfeita dada por (BRUSH; ALMROTH, 1975):
( )2
2
13 υ−=
R
EhPcrit
(3.2)
Observa-se, na Figura 3.1, a convergência da expansão modal para deslocamentos
transversais da ordem de quatro vezes a espessura da casca à medida que se aumenta o
número de modos. O incremento do número de graus de liberdade provoca boa convergência
dos resultados para valores até o mínimo pós-crítico. Já para valores posteriores ao mínimo
pós-crítico, deve-se reter outros modos na solução modal (2.58) (SILVA; GONÇALVES;
DEL PRADO, 2011).
A partir dos gráficos apresentados na Figura 3.1, observa-se que o incremento no
nível da imperfeição geométrica inicial modifica o nível máximo de carregamento
representado pelo ponto Γmáximo. Além disso, a convergência do número de graus de liberdade
se mantém, independente da amplitude da imperfeição geométrica inicial.
Como observado na Figura 3.1, o nível de imperfeição geométrica modifica a
carga máxima suportada pela casca cilíndrica. Sendo assim, a Figura 3.2 ilustra o caminho
pós-crítico da casca cilíndrica, obtido com a solução modal de seis graus de liberdade, para
diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial. Observa-se, neste gráfico, a mudança da
carga máxima, representada pelos pontos A, B, C e D, de acordo com os níveis de imperfeição
0, 0,01, 0,05 e 0,10, respectivamente. Conclui-se que o aumento da imperfeição geométrica
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 38
A. F. Brazão
inicial provoca a diminuição da capacidade de carga axial (JAMAL et al., 2002; ZHANG;
HAN, 2007).
(a) Imperfeição geométrica χ11=0.01
(b) Imperfeição geométrica χ11=0.05
(c) Imperfeição geométrica χ11=0.10
Figura 3.1 –Caminho pós-crítico da casca cilíndrica, considerando diferentes expansões para deslocamentos
laterais e diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial.
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 39
A. F. Brazão
A partir da Figura 3.2 é possível construir um gráfico que mostre a variação da
carga axial máxima com a amplitude da imperfeição geométrica inicial. Este gráfico é
denominado curva de sensibilidade. De acordo com a literatura, estruturas do tipo casca são
sensíveis à imperfeição, ou seja, a carga máxima axial diminui com o incremento da
amplitude da imperfeição geométrica inicial.
Figura 3.2 – Caminho pós-crítico para solução modal com seis graus de liberdade para diferentes níveis de
imperfeição.
A Figura 3.3 ilustra a curva de sensibilidade da casca cilíndrica, onde o eixo das
abscissas corresponde à imperfeição geométrica inicial enquanto o eixo das ordenadas
corresponde ao carregamento axial máximo. Observa-se então que, quanto maior a
imperfeição geométrica inicial dada, menor é a carga máxima. Para a casca perfeita, ou seja,
χ11 = 0, o carregamento axial máximo corresponde a 1. Já para a casca imperfeita com uma
imperfeição de 30% da espessura da casca tem-se um decaimento em torno de 20% da carga
crítica em relação à casca perfeita.
Figura 3.3 – Curva de sensibilidade para casca cilíndrica imperfeita axialmente comprimida.
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 40
A. F. Brazão
3.2. ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR
Na análise não-linear das vibrações livres da casca cilíndrica utiliza-se um
procedimento semelhante ao desenvolvido na análise estática não linear para verificar a
convergência da solução modal. Para este estudo é necessário conhecer a relação da
freqüência não-linear da casca com sua correspondente amplitude de vibração, denominada
relação freqüência-amplitude. Para isto adota-se uma função harmônica aproximada que
relaciona a variação da amplitude de vibração com o tempo, transformando a análise no
domínio do tempo em uma análise no domínio da freqüência. Sendo assim, os modos da
expansão modal são substituídos segundo a equação (3.2) na equação (2.57), que por sua vez
é substituída no sistema de equações (2.41) que é discretizado utilizando o método de
Galerkin. Na equação (3.3) observa-se que os modos lineares estão associados à funções
harmônicas lineares, enquanto os modos quadráticos estão relacionados à funções harmônicas
quadráticas, e por último, têm-se os modos cúbicos associados às funções harmônicas cúbicas.
As potências das funções harmônicas são definidas pelo método da perturbação
(GONÇALVES; BATISTA, 1988).
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )tt
tt
tt
Ω=Ω=
Ω=Ω=
Ω=Ω=
3
3333
2
2222
3131
2
0202
3
13131111
coscos
coscos
coscos
ξξξξ
ξξξξ
ξξξξ
(3.3)
A Figura 3.4 ilustra a relação freqüência-amplitude da casca cilíndrica imperfeita
para diferentes graus de liberdade e níveis de imperfeição geométrica inicial. Nos gráficos, o
eixo das abscissas corresponde à freqüência normalizada em relação à freqüência natural da
casca cilíndrica perfeita, enquanto o eixo das ordenadas corresponde ao deslocamento lateral
para as coordenadas (x, y) = (L/2, 0) normalizado em relação à espessura. Observa-se então
que, para os modos com quatro, cinco e seis graus de liberdade, suas respectivas curvas são
coincidentes, o que mostra a convergência da resposta com o incremento do número de graus
de liberdade. Já a curva em preto corresponde à solução modal de seis graus de liberdade para
casca perfeita, que tem sua origem em 1. Independente do nível de imperfeição geométrica
inicial, o comportamento não-linear da casca cilíndrica é caracterizado pela perda de rigidez
inicial. Mais adiante, mostrar-se-á a convergência das soluções modais utilizadas a partir dos
planos fase da resposta não-linear da casca cilíndrica. Os pontos A, B, C1 e C2 da Figura 3.4a
são escolhidos para ilustrar essa convergência das respostas no plano fase.
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 41
A. F. Brazão
Em seguida, para analisar a influência da amplitude da imperfeição geométrica
inicial nas vibrações livres não-lineares da casca cilíndrica, realiza-se o estudo da relação
freqüência-amplitude para uma expansão modal com seis graus de liberdade, variando-se o
nível de imperfeição geométrica inicial, conforme a Figura 3.5. Observa-se então que quanto
maior o nível da imperfeição menor é a freqüência natural da casca (w(L/2, 0) = 0).
(a) Imperfeição geométrica χ11=0.01
(b) Imperfeição geométrica χ11=0.05
(c) Imperfeição geométrica χ11=0.10
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 42
A. F. Brazão
Figura 3.4 – Relação frequência-amplitude da casca cilíndrica, considerando diferentes expansões para
deslocamentos laterais e diferentes níveis para a imperfeição geométrica inicial
Figura 3.5 – Relação freqüência-amplitude para diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial. Modelo com
seis graus de liberdade.
Para estudar a sensibilidade da frequência natural à imperfeição da casca
cilíndrica imperfeita, analisa-se a Figura 3.6, onde o eixo das abscissas corresponde ao nível
da imperfeição da casca e o eixo das ordenadas à freqüência natural da casca imperfeita
normalizada em relação a frequência natural da casca perfeita. A freqüência natural da casca
imperfeita é obtida a partir da Figura 3.5 para w(L/2, 0) = 0. Observa-se que a freqüência
natural da casca cilíndrica imperfeita decresce conforme o nível de imperfeição geométrica
inicial aumenta.
Figura 3.6 – Curva de sensibilidade da frequência natural para uma casca cilíndrica imperfeita.
Os pontos A, B, C1 e C2 presentes na Figura 3.4a foram escolhidos para ilustrar a
convergência da expansão modal utilizada na análise das vibrações livres não-lineares. A
partir da freqüência correspondente de cada um desses pontos colhem-se na relação
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 43
A. F. Brazão
frequência-amplitude (Figura 3.4a) as condições iniciais para uma análise no tempo da
resposta da casca cilíndrica sob vibração livre. Os valores das condições iniciais utilizadas
estão apresentados na Tabela 4.1. Nesta tabela o parâmetro Ω* é a relação entre a frequência
natural não-linear e a frequência natural linear da casca perfeita.
Tabela 4.1 – Condições iniciais dos pontos A, B, C1 e C2 da Figura 3.4
Ponto G.D.L ξ11 ξ02 ξ22 ξ13 ξ31 ξ33
A
(Ω∗ = 0,97)
2 0,08 -0,0004 - - - -
3 0,08 -0,0004 0 - - -
4 0,08 -0,0004 0 0 - -
5 0,08 -0,0004 0 0 0 -
6 0,08 -0,0004 0 0 0 0
B
(Ω∗ = 0,99)
2 0,34 -0,0048 - - - -
3 0,36 -0,0054 -0,001 - - -
4 0,37 -0,0057 -0,0011 -0,0009 - -
5 0,37 -0,0057 -0,0011 -0,0009 0 -
6 0,08 -0,0004 -0,0011 -0,0009 0 0
C1
(Ω∗ = 0,98)
2 1,51 -0,0871 - - - -
3 1,4 -0,0751 -0,0132 - - -
C2
(Ω∗ = 0,98)
4 1,12 -0,0494 -0,0137 -0,023 - -
5 1,12 -0,0494 -0,0138 -0,023 0,0006 -
6 1,12 -0,0494 -0,0138 -0,023 0,0006 -0,0002
Inicialmente, faz-se a análise da resposta no domínio do tempo da casca cilíndrica
imperfeita (χ11 = 0,01) para o ponto A da Figura 3.4a, através do seu plano fase. Para isto,
atribuem-se as condições iniciais relativas a cada grau de liberdade e a cada modelo de
análise, obtendo-se os planos fases da casca cilíndrica imperfeita para cada situação de estudo,
como ilustrado na Figura 3.7a. Observa-se, a partir da Figura 3.4a, que o ponto A está
localizado para um valor de w(L/2, 0)/h próximo de zero. Isto significa que a relação
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 44
A. F. Brazão
frequência-amplitude é próxima dos resultados lineares, justificando a convergência de todas
as soluções modais utilizadas, como ilustrado na Figura 3.7a.
(a) Ω∗ = 0,97 (ponto A)
(b) Ω∗ = 0,99 (ponto B)
(c) Ω∗ = 0,98 (pontos C1e C2)
Figura 3.7 –Plano fase para a casca cilíndrica imperfeita (χ11 = 0,01) ao longo da relação frequência-amplitude
para diversas soluções modais.
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 45
A. F. Brazão
As Figuras 3.7b,c foram obtidas a partir das condições iniciais dadas pela Tabela
4.1, sendo que a Figura 3.7b refere-se ao ponto B da Figura 3.4a e a Figura 3.7c refere-se aos
pontos C1 e C2 da Figura 3.4a.
(a) Imperfeição geométrica χ11 = 0.01
(b) Imperfeição geométrica χ11 = 0.05
(c) Imperfeição geométrica χ11 = 0.10
Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 46
A. F. Brazão
Figura 3.8 –Relação freqüência-amplitude considerando diferentes níveis de carregamento axial estático e níveis
de imperfeição geométrica inicial.
Notam-se nas Figuras 3.7b,c que as soluções com 2 e 3 graus de liberdade
apresentam planos fases distintos dos das soluções com 4, 5 e 6 graus de liberdade. Conforme
se caminha sobre as relações frequências-amplitudes da Figura 3.4a, as respostas das soluções
modais com 2 e 3 graus de liberdade divergem das soluções modais com 4, 5 e 6 graus de
liberdade, como ilustrado nas Figuras 3.7b,c. Essa divergência ocorre porque a não-
linearidade da relação frequência-amplitude se dá com a participação dos modos não-lineares
da solução modal, independente do nível de imperfeição geométrica inicial.
Em muitas aplicações práticas, a casca cilíndrica imperfeita encontra-se submetida
a um pré-carregamento axial estático, Γ0. Sendo assim, procura-se observar a influência desse
pré-carregamento na relação frequência-amplitude da casca cilíndrica imperfeita. A Figura 3.8
apresenta a variação do deslocamento lateral segundo as coordenadas (x, y) = (L/2, 0),
normalizado em relação à espessura com o parâmetro de freqüência natural não-linear,
Ω, normalizado em relação a freqüência natural da casca cilíndrica perfeita Ω0P, para valores
crescentes do pré-carregamento estático, Γ0. Para efeito de comparação, apresentam-se, nessas
figuras, a relação frequência-amplitude para a casca cilíndrica imperfeita sem o pré-
carregamento estático, dada pela curva em preto. Esta análise foi feita para a expansão modal
com seis graus de liberdade, segundo a equação (2.57). Observa-se nessas figuras que o
acréscimo do pré-carregamento estático provoca a diminuição da frequência natural da casca
cilíndrica imperfeita, independente do nível de imperfeição geométrica inicial. Nota-se ainda
que o pré-carregamento estático altera a não-linearidade da relação frequência-amplitude
(perda de rigidez), demonstrada pela alteração da curvatura das relações frequência-
amplitude. Esses resultados estão qualitativamente compatíveis com os encontrados na
literatura (DEL PRADO; GONÇALVES; PAIDOUSSIS, 2009).
CAPÍTULO 4
CONCLUSÃO
Este trabalho propôs uma metodologia para obtenção dos campos de
deslocamentos circunferencial e axial em função do campo de deslocamento lateral de uma
casca cilíndrica com imperfeição geométrica inicial. Desta forma, tem-se uma solução mais
precisa quando comparadas com aquelas que utilizam a função de tensão. Esta metodologia,
além da qualidade da solução, permite reduzir de forma significativa o número de incógnitas
do problema, sendo a dimensão final do problema igual ao número de modos utilizados para
descrever o campo de deslocamentos laterais da casca cilíndrica imperfeita. A partir da
análise dos resultados pode-se afirmar que:
♦ a metodologia proposta para a obtenção da expansão modal dos deslocamentos axial
e circunferencial em função do campo de deslocamento transversal, atende as
condições de contorno, de simetria e de continuidade de uma a casca cilíndrica com
imperfeição geométrica inicial;
♦ o modelo com seis graus de liberdade empregado nas análises apresentou
convergência para deslocamentos com grande amplitude, mostrando-se eficiente
para as análises estáticas e dinâmicas;
♦ a influência da imperfeição geométrica na capacidade de carga e na freqüência
natural da casca cilíndrica imperfeita ocorre de forma inversa, ou seja, à medida em
que a amplitude da imperfeição aumenta ocorre a diminuição da capacidade de
carga e da frequência natural;
♦ o pré-carregamento estático tem uma forte influência na relação frequência-
amplitude da casca cilíndrica imperfeita.
Os resultados obtidos com a metodologia proposta estão de acordo com os
observados na literatura sobre o assunto.s
4.1. TRABALHOS FUTUROS
Como continuação natural da análise do comportamentos estático e dinâmico de
cascas cilíndricas imperfeitas, sugere-se:
Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 48
A. F. Brazão
♦ a análise das vibrações forçadas, com carregamentos axiais e pressões laterais
dependentes do tempo;
♦ a implementação de outros modelos de imperfeição geométrica, tais como:
localizadas e de natureza aleatória;
♦ a análise dos fenômenos dinâmicos não-lineares que podem surgir nos diagramas de
bifurcação, bacias de atração e fatores de integridade da casca imperfeita.
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