Angulos revisões 7
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Profª Helena Borralho/2012-13 1
ÂNGULOS7ºanoClassificação de ângulos; ângulos adjacentes, complementares e suplementares; ângulos verticalmente opostos; ângulos de lados paralelos
ÂngulosUm ângulo é um conjunto de pontos do plano limitado por duas semirretas com a mesma origem.
Profª Helena Borralho/2012-13
Profª Helena Borralho 2012/13
ÂNGULOS GEOMETRICAMENTE IGUAIS OU CONGRUENTES
B Ξ E O símbolo Ξ lê-se “ é coincidente com”.C
AB
F D
E
Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Na figura ABC e DEF são ângulos congruentes.
Dependendo da sua amplitude, um ângulo pode ser:Ângulo Agudo:
Mede menos de 90°
Ângulo Reto:
Mede 90°
Ângulo Obtuso:
Maior do que 90° e menor do que 180°
Ângulo Raso:
Mede 180°
Ângulo Côncavo
Maior do que 180° e menor do que 360°
Giro:
Mede 360°
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BISSECTRIZ DE UM ÂNGULO
Cada ponto P da bissetriz B, está à mesma distância dos lados do ângulo.
Â
BP
A BISSECTRIZ de um ângulo Â, é a semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais.
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1
V.
Traçar a bissetriz de um ângulo. Com a régua traça uma semirreta a partir do ponto V (vértice do ângulo).
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2 A partir do ponto V, traça outra semirreta, formando, neste caso, um ângulo agudo.
V.
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3Com centro no ponto V, traça um arco de circunferência que intersete as duas semirretas, definindo o ponto A e B
V B
A
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4 Fazendo centro em A e B, traça dois arcos com raio maior que AB, de forma a que se intersetem.
V B
A
C
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V B
A
C
5 A partir do ponto V, traça uma semirretaque passe pelo ponto C.
A esta semirreta, que divide o ângulo em duas partes iguais, chamamos Bissetriz.
RELACÃO ENTRE ÂNGULOSÂNGULOS COMPLEMENTARES ÂNGULOS SUPLEMENTARES
ab
a + b = 90°
Dois ângulos cuja soma das suas amplitudes é 90°. Dois ângulos cuja soma das suas amplitudes é 180°.ba
a + b = 180°
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RELACÃO ENTRE ÂNGULOSÂNGULOS ADJACENTES ÂNGULOS CÔNCAVO E CONVEXODois ângulos que têm o mesmo vértice e um lado comum que os separa.
ba
a + b = 180°
Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos. Dois ângulos cuja soma é 360°. ângulo côncavo ângulo convexo
a
b
a + b = 360°
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ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos não adjacentes complementares.
São ângulos não adjacentes complementaresos ângulos: [BOC] e [DOE].
ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos adjacentes.
São ângulos adjacentesos ângulos: [DBA] e [CBD].
Exercício No desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos não adjacentes, mas com um lado comum.
São ângulos não adjacentes com um lado comumos ângulos: [DBA] e [EBA].
ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos não adjacentes, sem lados comuns.
São ângulos não adjacentes sem lados comunsos ângulos: [EBA] e [CBD].
ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos adjacentes suplementares.
São ângulos adjacentes suplementaresos ângulos: [COD] e [DOE].
.
a
d
c
b
<a = <b <c = <d
ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOSQuando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos
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ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOSÂNGULOS ADJACENTES
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ÂNGULOS DE LADOS PARALELOSNA FIGURA ABAIXO OS DOIS ÂNGULOS TÊM OS LADOS PARALELOS E SÃO AMBOS ÂNGULOS AGUDOS (A SUA AMPLITUDE É MAIOR DO QUE 0° E MENOR DO QUE 90°).
Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.
As duas retas são intersetadas por uma terceira reta, formam-se ângulos de lados paralelos
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ÂNGULOS DE LADOS PARALELOSNa figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90° e menor do que 180°.
Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.
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ab
c d
ef
g h
r
s
t
ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E EXTERNOSinternos
externos
(c, e) ; (d, f)
(a, g) ; (b, h)
Ângulos Alternos
- Ângulos alternos, internos ou externos, são congruentes
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ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E EXTERNOSOs ângulos de lados paralelos que se seguem denominam-se :
�̂�= �̂�(obtusos) �̂�= �̂� (agudos)�̂�= �̂�(obtusos)
�̂�= �̂� (agudos)Profª Helena Borralho/2012-13
CONCLUSÃO
78 65 34 21
<1 = <3 = <5 = <7<2 = <4 = <6 = <8<par + <ímpar = 180°Profª Helena Borralho/2012-13
ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos agudos alternos internos não congruentes.
São ângulos agudos alternos internos não congruentesos ângulos: b e c.
ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos agudos de lados paralelos.
São ângulos agudos de lados paralelosos ângulos: b e e.
ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos obtusos de lados paralelos.
São ângulos obtusos de lados paralelosos ângulos: c e e.
Exercício 1Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.
Exercício 1Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.
Dado que:- reta AC ∥ reta DF e- os ângulos ABE e FEB são ângulos alternos internosConcluiu-se que:- os ângulos ABE e FEB são ângulos congruentes, têm igual amplitude e
A amplitude do ângulo ABE é 90°.
Exercício 2Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Exercício 2Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Dado que:- reta que t u∥- o ângulo b é verticalmente oposto ao
ângulo de 50º e mede 50º,- ângulo b é alterno interno com o c e
também mede 50º e- c e d são verticalmente opostos e com igual amplitude
Concluiu-se que:
A amplitude do ângulo d é 50º.
Exercício 3Determina o valor da amplitude do ângulo d.
Exercício 3Determina o valor da amplitude do ângulo e.
Dado que:- reta que t ∥ u- o ângulo de 55° é verticalmente oposto ao ângulo b e este alterno interno com o c, que mede também 55°, e é suplementar com o ângulo e, dado que n ∥ o, medindo portanto 125°. (180°-55°).
A amplitude do ângulo e é 125º.
Exercício 4Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Exercício 4Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Dado que:- reta que [AB] ∥ [CD] e que- o ângulo de 60° é congruente ao ângulo a e este é adjacente e suplementar com o ângulo b, o ângulo b mede portanto 120°. (180°-60°=120°).
A amplitude do ângulo b é 120°.
Exercício 5Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Exercício 5Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Dado que:- O ângulo de 125° é adjacente e suplementar com o ângulo a, que mede portanto 55° (180°-125°) e- o ângulo a é verticalmente oposto ao ângulo b , e portanto com 55° de amplitude,A amplitude do ângulo c é igual a: 180°-(90°+55°)=35°.
A amplitude do ângulo c é 35°.
Exercício 6Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Exercício 6Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Dado que a reta r é paralela à reta s o ângulo com 135° de amplitude é congruente com o ângulo formado pelos ângulos adjacentes h e b, somando 135°.Como o ângulo b é um ângulo reto, o ângulo h mede:135° - 90° = 45°
A amplitude do ângulo h é 45°.
Exercício 7Determina o valor da amplitude do ângulo h.
Exercício 7Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Dado que a reta t é paralela à reta u, o ângulo com 120° de amplitude é alterno interno com o ângulo formado pelos ângulos adjacentes a e b.O ângulo b mede:120° - 40° = 80°
A amplitude do ângulo b é 80°.
Exercício 8Determina o valor da amplitude do ângulo b.
Exercício 8Determina o valor da amplitude do ângulo b.
O ângulo com 40° de amplitude é verticalmente oposto e congruente ao ângulo a.Os ângulos a e b são ângulos adjacentes e complementares, somando 90°.O ângulo b mede:90° - 40° = 50°
A amplitude do ângulo b é 50°.
Exercício 9Determina o valor da amplitude do ângulo c.
Exercício 9Determina o valor da amplitude do ângulo c.
O ângulo com 55° de amplitude é verticalmente oposto e congruente ao ângulo a, que é alterno interno e congruente ao ângulo b, dado que a reta m é paralela à reta n.Os ângulos b e c são ângulos adjacentes e suplementares, somando 180°.O ângulo c mede:180° - 55° = 125°
A amplitude do ângulo c é 125°.