ANALİZ

1.) a) sgnx. sgn(x − 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

b) 12 23 xxxf )( fonksiyonu veriliyor. ),( 30c olacak şekilde ortalama

değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer

var ise bulunuz.

2.) 12

4

x

xy fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz.

3.) a) y = f(x) = x2−3x−4

x2−ax eğrisinin x ‒ eksenini kestiği noktalardaki teğetlerinin

birbirine dik olması için a ne olmalıdır? Araştırınız.

b) f(x) = x3 + 2x2 + cx + d fonksiyonunun IR de artan bir fonksiyon olması

için c ne olmalıdır? Araştırınız.

4.)

Şekilde görüldüğü gibi bir kenarının uzunluğu 20cm

olan kare biçimindeki bir karton levhanın

köşelerinden , bir kenarı x cm olan kare parçalar

kesilip atılıyor. Geri kalan parça, çizgiler boyunca

katlanarak üstü açık bir kare prizma yapılmak

isteniyor. Bu kare prizmanın hacminin en büyük

olması için x kaç cm olmalıdır? Bu durumdaki

hacmini hesaplayınız.

5.) a) 10 ,e sayısının değerini diferansiyel yardımı ile yaklaşık olarak bulunuz.

b) 22x

2xlim

3

8x

=? Limitini Hospital kuralını kullanmadan hesaplayınız.

6.) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

a) ?arcsin

2 dx

x

x

b) ∫

𝐝𝐱

√𝐱+𝟏+(√𝐱+𝟏)𝟑 c) ∫

𝐝𝐱

𝐞𝟐𝐱−𝟐𝐞𝐱

7. )

t

t

ey

ex

2

2

4

3 parametrik denklemleriyle verilen eğrinin 0t dan t = ln5 ‘e kadar

olan yayının uzunluğunu bulunuz.

8.) 2 8 19

( )5

x xy f x

x

fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çziniz

8.) Tabanı kare ve üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yapılmak

İsteniyor. 1200 dm 2 lik bir saç levhadan yapılacak en büyük su deposunun hacmini

türev yardımıyla bulunuz.

9.) y = 6 + 4x − x2 eğrisi ve y = 2x − 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanını şekil

çizerek integral yardımıyla bulunuz.

10.) (0 < 𝑎 < 𝑏) olmak üzere 222 )( abyx eğrisinin x - ekseni etrafında

döndürülmesinde meydana gelen cismin hacmini şekil çizerek integral yardımıyla

bulunuz.

x x

x

x

x

x

x

x

20cm

11) 2

3 1 1: , ( ) ( , , )

t tIR E t t t

t t

ile tanımlanan eğrinin )0,0,1( noktasındaki Frenet vektörlerini Gram-Schmidt

ortonormalleştirme metodunu kullanarak bulunuz.

12) 𝑉 ve 𝑊, 𝐸3 Öklid uzayındaki her bir noktada lineer bağımsız olacak şekilde iki

vektör alanı olmak üzere 𝐸1 =𝑉

‖𝑉‖, �̃� = 𝑊 − (𝑊.𝐸1)𝐸1 , 𝐸2 =

�̃�

‖�̃�‖ , 𝐸3 = 𝐸1×𝐸2

vektör alanları tanımlanıyor. ∀𝑃 ∈ 𝐸3 noktası için {𝐸1(𝑃), 𝐸2(𝑃), 𝐸3(𝑃) } kümesinin

bir çatı oluşturup oluşturmadığını araştırınız.

13)

3 1 1: , , , 2 ln

2I E t t t

t

eğrisinin birim hızlı olup olmadığını araştırınız.

Eğer birim hızlı değil ise yay parametresi cinsinden ifade ediniz.

14.) 12 23 xxxf )( fonksiyonu veriliyor. ),( 30c olacak şekilde ortalama değer

teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise

bulunuz.

15.) 4 623 nin değerini diferansiyel yardımıyla yaklaşık olarak hesaplayınız.

16.) (𝑎𝑛) = ((−𝟏)𝒏

𝒏𝟑) dizisinin alt ve üst limitlerini bulup, (𝑎𝑛) dizisinin limitinin olup

olmadığını araştırınız.

17.) 𝑅22 de 𝑆 = { [

1 −1−1 1

] , [ 2 −1 1 2

] , [ 1 1−1 −1

] , [ −1 −1 1 1

] } kümesinin lineer

bağımsız

olup olmadığını araştırınız. Eğer lineer bağımlı ise, vektörler arasındaki bağıntıyı

bulunuz.

18.) 𝑈 = {[010], [

111] , [

123] } kümesi veriliyor.

a) 𝑈 kümesinin𝑅13 vektör uzayının bir tabanı olup olmadığını araştırınız(10 P.).

b) 𝑈 bir taban ise 𝐴 = [132] vektörünü bu taban vektörlerin lineer birleşimi olarak yazınız.

19.)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3

𝑥 + 𝑦 + (𝑡2 − 5)𝑧 = 2

lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin

a) Çözümünün olmaması,

b) Tek çözümünün olması,

c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız.

20.) x

xxy

23 fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz.

ANALİTİK GEOMETRİ

1.) a) 𝐴(1, 0), 𝐵(−2, 3) ve C (−1, 1) olmak üzere, 𝐴𝐵𝐶 üçgeninde [𝐵𝐶] kenarına ait

yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.

b) 𝐴(2,1) noktasından geçen ve 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 doğrusu ile 45° lik açı yapan

doğruların

denklemlerini bulunuz.

2.)

tztyx

zyx

zyx

)5(

32

2

2

lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin

a) Çözümünün olmaması, b) Tek çözümünün olması,

c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız.

3.) a) 𝐴(𝑥1, 𝑦1) noktasının 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 doğrusuna olan en kısa uzaklığı 𝑑 ise,

𝑑 =| 𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐 |

√𝑎2+𝑏2 olduğunu gösteriniz.

b) Merkezi O olan bir ABCDEF düzgün altıgeni veriliyor. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

6𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ olduğunu gösteriniz.

4.)

12915

13401

00421

24531

B

matrisini satırca indirgenmiş eşelon forma getiriniz.

5.) a) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 çemberi ile 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 çemberinin

kesim

noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

b) 2𝑥 + 𝑎𝑦 + 6 = 0 ve 3𝑎𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0 doğruları 𝑦 = 𝑥 doğrusu üzerinde

kesiştiklerine göre 𝑎 kaçtır?

6.) a) 𝐴 = (5, 12) vektörü ile aynı doğrultu fakat zıt yönlü birim vektörü bulunuz.

b) 𝐴(−1, 2) ve 𝐵(3,1) noktaları ile 𝐶 = (𝑎, 3) vektörü veriliyor. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐶 ise 𝑎

kaçtır?

7.) a) 𝐴 = (−3, 4) vektörüne dik birim vektörleri bulunuz.

b) Köşeleri 𝐴(2,0) , 𝐴′(−2, 0) olan ve 𝐾(√2, 1) noktasından geçen elipsin

denklemini

bulunuz.

8.) 9𝑥2 + 25𝑦2 = 225 elipsinin

a) Eksen uzunluklarını.

b) Odaklar arası uzaklığını bulunuz.

9.) a) 𝑥2 + 4𝑦2 = 4 elipsine 𝐾(4, 0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını

bulunuz.

b) 𝑥2

16+

𝑦2

9= 1 elipsinin 𝑦 = 3𝑥 − 1 doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerini

bulunuz.

10.) a) Odakları 𝐹′(−2, 0) ve 𝐹(2, 0) olan ve 𝑃(−2, 3) noktasından geçe hiperbolün

denklemini bulunuz.

b) 𝑥2 − 4𝑦2 = 1 hiperbolüne 𝑃(2, −1) noktasından çizilen teğetin eğimini,

normalin

eğimini, teğetin denklemini ve normalin denklemini bulunuz.

LİNEER CEBİR

1. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz.

2 4,

3 5 3 1,

2 7 8.

x y z

x y z

x y z

2. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz:

2 5,

2 2 5,

7 10.

x y z

x y z

x y z

3. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz:

3 2 2 1,

3 0,

5 3 4 1.

x y z

x y z

x y z

4. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:

1 2 1 4

0 5 1 4

1 3 4 6

А

5. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız:

2 5,

2 2 3 6,

3 2 1.

x y z u

x y z u

x y z u

6. Aşağıdaki denklemin 2 5 0x

[2,2; 2,3] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz.

7. Matrisin öz değer ve öz vektörünü bulunuz.

1 4

9 1А

8. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz. 2 2

1 2 1 2 1 2( , ) 4 6L x x x x x x .

9. Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla

araştırınız. 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 3 3 2 2 4L x x x x x x x x x x x x .

10. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz: 3 23 3 0x x x .

11. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz:

3 2 2 1,

3 0,

5 3 4 1.

x y z

x y z

x y z

12. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz:

2 3,

2 2 3,

7 6.

x y z

x y z

x y z

13. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz:

2 4,

3 5 3 1,

2 7 8.

x y z

x y z

x y z

14. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:

1 3 1 5

0 5 1 4

1 5 4 8

А

15. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız:

2 3 3,

2 4 5 6,

3 4 1.

x y z u

x y z u

x y z u

16. Aşağıdaki denklemin 2 5 0x

[-2,3; -2,2] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz.

17. Matrisin özdeğer ve özvektörünü bulunuz.

3 4

9 3А

18. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz: 2 2

1 2 1 2 1 2( , ) 6 8L x x x x x x .

19. . Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla

araştırınız: 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 4 3 2 2 2L x x x x x x x x x x x x .

20. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz: 3 24 4 0x x x .

DİFERANSİYEL DENKLEMLER

1. Aşağıdaki değişkenlerine ayırılabilen diferansiyel denklemi çözünüz: 2 2( 1) 2 0x y xy , (0) 1y .

2. Aşağıdaki deiferansiyel denklemi çözünüz: 2 2( 2 ) 0y xy dx x dy .

3. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Bernoulli veya Langrange metodları yardımıyla

çözünüz:

tg secy y x x .

4. Aşağıdaki Bernoulli diferansiyel denklemini çözünüz: 3 34 2 0y x y xy .

5. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:

2 2 0x y x dx ydy

6. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: 2( )y xy y .

7. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Euler metodu yardımıyla çözünüz: IV 8 9 0y y y .

8. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:

6 9 8 xy y y xe .

9. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:

4 cosy y x x .

10. Aşağıdaki Riccati diferansiyel denklemini çözünüz: 2 22 1x x xy e y ye e ,

1

xy e .

11. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: IY xxy y e .

12. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:

3 0yy y y .

13. Aşağıdaki sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü

bulunuz:

5 3 ,

3 .

dxx y

dt

dyx y

dt

14. Aşağıdaki Cauchy problemini çözünüz:

2 0y y y , (2) 1y , (2) 2y .

15. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla

bulunuz:

3 2

2 3

dxx y

dt

dyx y

dt

16. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla

bulunuz:

4

2

2

dxx y z

dt

dyx y z

dt

dzx y z

dt

17. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün faz yörüngelerini oluşturunuz:

5 3 ,

3 .

dxx y

dt

dyx y

dt

18. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü varyasyyon metodu

yardımıyla bulunuz:

,

.

t

t

dxx y e

dt

dyx y e

dt

19. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün kararlılığını araştırınız 5

2

2 3x x y x

y x y y

20. Aşağıdaki lineer diferansiyel denklemi karakterize edici denklemlerinin köklerini

belirleyip, çözümlerinin kararlılığını araştırınız

2 0y y y y

KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

1. Denklemi çözünüz:

а) 7 32 0;u u

x y

б) ( 2 ) 0.u u

x y yx y

2. Denklemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz. 22 sin7 cos 7 0.tt tx xxu u x u x

3. Cauchy problemini çözünüz :

2

2

36 ,

1(0, ) 13 2, (0, ) .

9 49

tt xx

t

u u

u x x u xx

4. Drichlet problemini çözünüz:

2

( , ) 0, 0 3,

(3, ) sin 2 , 0 2 .

u r r

u

5. Deknlemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz: 2 25 4 3 0 ( , 0).tt tx xxx u txu x u t x

6. Fourier metodu yardımıyla çözünüz :

49 , 0 5, 0 ,

( ,0) 0, ( ,5) 0,

(0, ) 3 , (0, ) 19.

tt xx

t

u u x t

u t u t

u x x u x

7. Drichlet problemini çözünüz:

( , ) 0, 8 ,

(8, ) cos6 , 0 2 .

u r r

u

8. Cauchy problemini çözünüz:

а)

2 2( ) ( ) 15,

(2, ) 3 8;

u u

x y

u y y

б) 6 11 ,

4, 18 1.

u uu xy

x y

x u y

9. Denklemi çözünüz:

925 sin(23 ),

( ,0) 0, ( ,10) 0,

(0, ) 0, (0, ) 0.

ttt xx

t

u u e x

u t u t

u x u x

10. Cauchy problemini çözünüz:

2 14 17cos 5 , [0, ], ,60

( ,0) 16, [0, ].60

t xxu u t t x R

u t t

Kompleks Analiz

1) 𝑧𝜖ℂ olmak üzere 𝑧3 = −1 denkleminin köklerini bulunuz.

2) |𝑧 − 3𝚤| < 3 kompleks sayılarına karşılık gelen noktaların

geometrik yerini bulunuz ve 𝑥, 𝑦 – düzleminde belirleyiniz.

3) ∫𝑧2+3𝑧+𝑧

(𝑧−1)(𝑧+5)𝑑𝑧, |𝑧| =

3

2 integralini hesaplayınız.